Post on 04-Aug-2015
CUADERNO DE TRABAJOMATEMÁTICAS II
ADAPTADO AL PROGRAMA DE ESTUDIO DE
NIVEL BACHILLERATO
COLEGIADO DE MATEMATICAS
NOMBRE DEL ALUMNO
NUMERO DE LISTA
_____________
GRUPO
PERIODO 2012-A
1
TEMARIO
PRIMER PARCIAL
BLOQUE I
TRIÁNGULOS: ÁNGULOS Y RELACIONES MÉTRICAS
Clasificación de ángulos Definición y clasificación de los triángulos por: la medida de sus lados y de sus ángulos
BLOQUE II
COMPRENDE LA CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS
Criterios de congruencia Relación de igualdad que existe entre los elementos de triángulos congruentes
BLOQUE III
RESUELVE PROBLEMAS DE SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS Y TEOREMA DE PITÁGORAS
Características de triángulos semejantes Criterios de semejanza de triángulos Teorema de Thales Teorema de Pitágoras Relaciones de proporcionalidad entre catetos e hipotenusa al trazar la altura sobre ésta
BLOQUE IV
RECONOCE LAS PROPIEDADES DE LOS POLÍGONOS
Clasificación de los polígonos Propiedades y elementos de los polígonos Relaciones y propiedades de los polígonos
SEGUNDO PARCIAL
BLOQUE V
EMPLEA LA CIRCUNFERENCIA
Propiedades de los elementos asociados a una circunferencia Características y propiedades de los diversos tipos de ángulos en la circunferencia
BLOQUE VI
DESCRIBE LAS RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA RESOLVER TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Diferentes unidades de medida de ángulos y describe las diferencias conceptuales entre ellas Funciones trigonométricas directas y recíprocas de ángulos agudos
BLOQUE VII
APLICA LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Funciones trigonométricas en el plano cartesiano Ángulo de referencia ángulos situados en los cuadrantes II, III y IV Funciones trigonométricas en el círculo unitario
2
TERCER PARCIAL
BLOQUE VIII
APLICA LAS LEYES DE LOS SENOS Y COSENOS
Leyes de los senos y cosenos así como los elementos necesarios para la aplicación de una u otra
BLOQUE IX
APLICA LA ESTADÍSTICA ELEMENTAL
Medidas de tendencia central para datos no agrupados Características de las medidas de tendencia central Medidas de dispersión: rango, varianza y desviación típica para datos agrupados por clases Características de las medidas de tendencia central
BLOQUE X
EMPLEA LOS CONCEPTOS ELEMENTALES DE PROBABILIDAD
Eventos deterministas y aleatorios Espacio muestral de diversos tipos de eventos Probabilidad clásica de un evento aleatorio Probabilidad de eventos compuestos
MATERIALES
JUEGO DE GEOMETRÍA (PERMANENTE)
CALCULADORA CIENTIFICA
CUADERNOS DE TRABAJO
3
HOJA DE REPORTES DEL ALUMNO
NOMBRE DEL ALUMNO ________________________________________________________
FECHA MOTIVO FIRMA DE ENTERADO DEL PADRE
REPORTES CON EL VISTO BUENO DE LA DIRECCIÓN DE LA ESCUELA
FECHA MOTIVO FIRMA DE LA DIRECTORA FIRMA DE ENTERADO DEL PADRE
4
ANGULO
Un ángulo se define como:
La abertura entre dos rectas ó semirrectas con un mismo origen.
A las rectas se les llama lados y al origen vértice.
En conclusión los ángulos están formados por segmentos de recta, semirrectas y rectas que se intersectan en un punto que es común.
Todos los ángulos tienen un lado fijo, donde inicia el ángulo y un lado móvil y pueden tener cualquier posición.
Los símbolos de ángulo son: ó
CLASIFICACIÓN DE ANGULOS
Los ángulos se clasifican de acuerdo a la medida de la abertura de las dos semirrectas.
Se les dan nombres específicos según su medida, en forma general se pueden trazar sin necesidad de hacer mediciones pero teniendo en cuenta las definiciones de cada uno.
Se toman como referencia los ejes del plano cartesiano.
ANGULO AGUDO ANGULO RECTO ANGULO OBTUSO
Es menor de 900 Mide 900 Es mayor de 900 y menor de 1800
C
B A
F
G D
M
N O
0° < ABC < 900 DGF = 900 900 < ONM < 1800
ANGULO LLANO ANGULO ENTRANTE ANGULO PERIGONAL
Es igual a 1800 Es mayor de 1800 y menor de 3600 Mide 3600
Q P R
Y X
Z
A
B C
RPQ = 1800 1800 < XYZ < 3600 ABC = 3600
Las definiciones en forma general se plantean: El ángulo agudo mide más de 0° pero menos de 900. El ángulo recto mide exactamente 900. El ángulo obtuso mide más de 900 pero menos de 1800. El ángulo llano mide exactamente 1800. El ángulo entrante mide más de 1800 pero menos de 3600. El ángulo perigonal ó de vuelta completa mide exactamente 3600.
Para dar respuesta a una pregunta sobre definición de ángulos se pueden tomar cualquiera de las definiciones
5
TRAZAR LOS SIGUIENTES ANGULOS Y ESCRIBE SU NOMBRE
68° 123° 247°
POR SU MAGNITUD EL ÁNGULO SE LLAMA
POR SU MAGNITUD EL ÁNGULO SE LLAMA
POR SU MAGNITUD EL ÁNGULO SE LLAMA
90° 360° 25°
POR SU MAGNITUD EL ÁNGULO SE LLAMA
POR SU MAGNITUD EL ÁNGULO SE LLAMA
POR SU MAGNITUD EL ÁNGULO SE LLAMA
162° 0° 180°
POR SU MAGNITUD EL ÁNGULO SE POR SU MAGNITUD EL ÁNGULO SE POR SU MAGNITUD EL ÁNGULO SE
LLAMA LLAMA LLAMA
6ANGULOS ADYACENTES
Los ángulos adyacentes son:
Dos ángulos que tienen un lado coolineal y su vértice y un lado común.
Otra definición nos dice que:
Son los ángulos que comparten una recta y la otra que los forma es la misma para los dos ángulos
La suma de dos ángulos adyacentes es igual a 180°
C
D B A
Por lo tanto
ABC + CBD = 180°
Construye ángulos adyacentes, tomando como base el que se indica y construya su gráfica
RPQ = 73° (Horizontal) MNO = 1230 (Oblicuo)
ABC = 1100 (Vertical) DEF = 480 (Oblicuo)
7ANGULOS OPUESTOS POR EL VERTICE
Los ángulos opuestos por el vértice son:
Dos ángulos iguales que se obtienen de dos rectas que se cortan y no son adyacentes.
Otra definición nos dice que:
Son dos ángulos tales que los lados de uno de ellos, son la prolongación de los lados del otro.GRAFICA
A D
0
B C
En la figura los ángulos opuestos por el vértice son:_______ y _______ ; _______ y _______
De las siguientes gráficas y de acuerdo a los datos que se indican obtener el valor de los ángulos
GRAFICA DESARROLLO MEDIDA DE LOS ANGULOS
c d b a
d = 54°
a =
b =
c =
GRAFICA DESARROLLO MEDIDA DE LOS ANGULOS
e
f g
h
e = 3a +12° f = 2a – 5 °
a =
g =
h =
GRAFICA DESARROLLO MEDIDA DE LOS ANGULOS
n m p q
x =
p=
m = x + 15° n = 2x + 5° q =
8
ANGULOS ENTRE PARALELAS
Se definen como:Son pares de ángulos iguales se forman entre unas líneas paralelas y una secante.
De acuerdo a la posición de los ángulos con respecto a las líneas paralelas y la secante reciben diferentes nombres.
ANGULOS CORRESPONDIENTES
Son dos ángulos iguales pero uno dentro de las paralelas y otro fuera pero del mismo lado de la secante.
ALTERNOS INTERNOS
Son dos ángulos iguales dentro de las paralelas a ambos lados de la secante.ALTERNOS EXTERNOS
Son dos ángulos iguales fuera de las paralelas a ambos lados de la secante.1800.
CONJUGADOS O COLATERALES INTERNOS
Son dos ángulos que se encuentran dentro de las paralelas del mismo lado de la secante que sumados son igual a 1800.
CONJUGADOS O COLATERALES EXTERNOS
Son dos ángulos que se encuentran fuera de las paralelas del mismo lado de la secante que sumados son igual a 1800.
De la siguiente figura contesta lo que se te pide y si son ángulos entre paralelas de acuerdo a las definiciones.
1 2
3 4
5 6
7 8
AB CD
EF es secante a las paralelas
Número de ángulos que se forman Ángulos que se forman Ángulos que se forman dentro de las paralelas
Ángulos que se forman fuera de las paralelas
Ángulos que se forman a la derecha de la secante
Ángulos que se forman a la izquierda de la secante
Ángulos Correspondientes Ángulos alternos internos
Ángulos alternos externos Ángulos conjugados internos Ángulos conjugados externos
9
a b c d e f g h
Ángulos que se forman Ángulos correspondientes Ángulos alternos internos
Ángulos alternos externos Ángulos conjugados internos Ángulos conjugados externos
m o
p s
t v
x y
Ángulos que se forman Ángulos correspondientes Ángulos alternos internos
Ángulos alternos externos Ángulos conjugados internos Ángulos conjugados externos
Si el ángulo a mide 54° ¿cuánto miden los demás ángulos
FIGURA OPERACIONES RESPUESTAS
a b c d
e f
g h
a =
b =
c =
d =
e =
f =
g =
h =
10
De la siguiente figura y de acuerdo a los datos obtener la medida del ángulos “ a “ y el ángulo “ z “
FIGURA OPERACIONES RESPUESTAS
a b
y z
a = 2 x + 8 ° = z = x + 6°
x =
a =
z =
ANGULOS COMPLEMENTARIOS
Son dos ángulos que sumados dan como resultado un ángulo recto es decir, un ángulo de 900.
De acuerdo a las características anteriores construir ángulos complementarios y encontrar en valor de los dos, en algunos casos se darán valores desconocidos en los cuales se aplicaran ecuaciones de primer grado con una incógnita y traza la gráfica.
MNO = (3x + 8)° ONP = (2x + 7)° GHI = (4x + 2)° IHJ = (3x + 4)°
MST mide 6° más que el triple de su complemento ABC = 3x° y el BD = (2x + 30)°
11
RPQ = 5y° ; QPS = 2y° CDE = 45 y es igual a su complemento
ANGULOS SUPLEMENTARIOS
Son dos ángulos que sumados son igual a 1800.
También se definen como:
Dos ángulos que sumados son iguala a dos ángulos rectos.
Obtener el valor de los siguientes ángulos complementarios.
ABC = 1110 Hallar su suplemento DEF = 670 24´ Hallar su suplemento
GHI = 670 35´ 17´´ Hallar su suplemento < JKL = 6x° ; < LKT = (2x + 10)°
12
TRIANGULOS
Existen diferentes definiciones de triángulo, entre las más usuales tenemos las siguientes:
Polígono de tres lados Es la porción de plano limitada por tres rectas que se cortande dos en dos
Se debe de tener en cuenta que el triángulo es la superficie o área que se encuentra dentro de los lados
NOTACIÓN DE TRIANGULO
Se traza un triángulo pequeño antes de las letras que lo identifican.
Los triángulos tienen nueve elementos,
a) Tres vértices
b) Tres lados
c) Tres ángulosCLASIFICACION DE TRIANGULOS
Los triángulos se clasifican por la medida de sus lados ó la medida de sus ángulos, por lo que tenemos que:POR LA MEDIDA DE SUS LADOS
TRIANGULO EQUILÁTERO
Tiene sus tres lados iguales
TRIANGULO ISÓSCELES
Tiene dos lados iguales y uno desiguales
TRIANGULO ESCALENO
Tiene sus tres lados desiguales
POR LA MEDIDA DE SUS ANGULOS
TRIANGULO ACUTANGULO
Tiene sus tres ángulos menores de 90°
TRIANGULO RECTANGULO
Tiene un ángulo de 90°
TRIANGULO OBTUSANGULO
Tiene un ángulo mayor de 90°
De acuerdo a las definiciones traza los siguientes triángulos
EQUILATERO ACUTANGULO ISÓSCELES ACUTANGULO ESCALENO ACUTANGULO
13
EQUILATERO RECTANGULO ISOSCELES RECTANGULO ESCALENO RECTANGULO
EQUILATERO OBTUSANGULO ISOSCELES OBTSANGULO ESCALENO OBTUSANGULO
RECTAS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO
Una recta notable de un triángulo, es una recta con características especiales y se tiene cuatroMEDIATRIZ
Es la reta perpendicular a un lado de un triángulo, que lo divide en dos segmentos igualesMEDIANA
Es el segmento de recta que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.BISECTRIZ
Es la recta que divide a un ángulo en dos igualesALTURA
Es el segmento de recta perpendicular de un lado al vértice opuesto.
PUNTOS NOTABLES
Es el punto la intersección de las tres rectas de cada una de las anteriores y se llamanCIRCUNCENTRO
Es el punto de intersección de las tres mediatrices de cualquier triángulo
El CIRCUNCENTRO, es el centro de una circunferencia circunscrita a un triángulo BARICENTRO
Es el punto de intersección de las tres medianas de cualquier triángulo
El BARICENTRO, es el punto de equilibrio de un triángulo.
ORTOCENTROEs el punto de intersección de las tres alturas de cualquier triángulo
INCENTROEs el punto de intersección de las tres bisectrices de cualquier triángulo
El INCENTRO, es el centro de una circunferencia inscrita a un triángulo.
CIRCUNSCRITA quiere decir que una circunferencia se encuentra fuera de una figura y toca todos sus vértices.
INSCRITA quiere decir que una circunferencia se encuentra dentro de una figura y toca todos sus lados.
Se debe de tener en cuenta que algunos de los puntos de intersección se pueden localizar dentro o fuera de los triángulos, según sus características.
14
Traza un triángulo equilátero y una mediana Traza un triángulo isósceles y una mediatriz
Traza un triángulo escaleno y una altura Traza un triángulo isósceles y una bisectriz
TRAZA LAS SIGUIENTES FIGURAS DE ACUERDO A LAS INDICACIONES
Un triángulo isósceles acutángulo, sus tres bisectrices,el incentro y la circunferencia inscrita
Un triángulo equilátero sus tres medianas, y el baricentro
15
Un triángulo escaleno obtusángulo sus tres alturas, el ortocentro
Un triángulo isósceles rectángulo sus tres medianas y el circuncentro
SUMA DE ANGULOS INTERIORES DEL TRIANGULO
Definición:
La suma de ángulos interiores de cualquier triángulo es igual a 180°
Otra definición nos dice que:
Las suma de los tres ángulos de un triángulo es igual a dos ángulos rectos
A + B + C = 180°
Para demostrar lo anterior de acuerdo a la siguiente figura tenemos.
B
P 1 2 Q
A C
Para demostrar lo anterior de acuerdo a la siguiente grafica
Al ABC
Se trazar una línea paralela que pasa por un vértice B del triángulo opuesta al lado AC, se forma un ángulo llano que da origen a la siguiente demostración.
a.- PQ l l AC Por construcción
b.- A = 1 Por ser alternos internos
c.- C = 2 Por ser alternos internos
c.- 1 + B + 2 = 180° Por formar un ángulo llano
d.- A + B + C = 180° Sustituyendo (a) en (c)16
Obtener el valor de los ángulos y trazar las figuras de acuerdo a los valores.
En el ∆ ABC el A = 43° ; el B = 64° ; el C = ?
DESARROLLO FIGURA RESULTADOS
Por la medida de sus lados el ∆ es: Por la medida de sus ángulos el ∆ es:
En el ∆ DEF el D = 55° ; el E = ? ; el F = 61°
DESARROLLO FIGURA RESULTADOS
Por la medida de sus lados el ∆ es: Por la medida de sus ángulos el ∆ es:
En el ∆ GHJ el G = ? ; el H = 60° ; el J = 80°
DESARROLLO FIGURA RESULTADOS
Por la medida de sus lados el ∆ es: Por la medida de sus ángulos el ∆ es:
17
En el ∆ KLM el K = 82° 16 ´ ; el L = 53° 47 ´ ; el M = ?
DESARROLLO FIGURA RESULTADOS
Por la medida de sus lados el ∆ es: Por la medida de sus ángulos el ∆ es:
ANGULOS EXTERIORES DE UN TRIÁNGULO
Definiciones:a. Un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los otros dos ángulos interiores del triángulo
que no son adyacentes.b. Un ángulo interior de un triangulo se forma por el lada del triángulo y la prolongación del otro.c. La suma de un ángulo exterior y el ángulo interior adyacente es igual a 180°.d. Un ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los dos no adyacentes.
De acuerdo a la figura tenemos:
FIGURA
DE LAS SIGUIENTES FIGURAS OBTEN LOS ANGULOS FALTANTES
FIGURA DESARROLLO RESULTADOS
k =
t =
j =
J =
18
FIGURA DESARROLLO RESULTADOS
Q =
q =
j =
J =
FIGURA DESARROLLO RESULTADOS
W =
En el ∆ ABC el A = 3x ; el B = 5x ; el C = 4x
DESARROLLO FIGURA RESULTADOS
A =
B =
C =
Por la medida de sus lados el ∆ es: Por la medida de sus ángulos el ∆ es:
CONGRUENCIA
Congruencia, “Son dos figuras con igual forma y tamaño””, por lo que las propiedades de una figura son válidas para la otra figura.
Otra definición de congruencia nos dice que: “Es cuando dos figuras que coinciden exactamente”
El símbolo de congruencia es , que quiere decir; igual tamaño y, igual forma.
TRIANGULOS CONGRUENTES
Dos triángulos son congruentes cuando:
“Tiene la misma forma y el mismo tamaño”
Es decir que sus lados y ángulos correspondientes son iguales.POSTULADOS DE CONGRUENCIA
POSTULADO LAL
“Si dos triángulos tienen 2 lados y el ángulos comprendido entre ellos iguales, entonces los triángulos son congruentes”
19
Construye triángulos congruentes de acuerdo a este postulado y justifícalos.
ISOSCELES – OBTUSANGULOS JUSTIFICACION
ESCALENOS – RECTÁNGULOS JUSTIFICACION
POSTULADO ALA
“Si dos triángulos tienen 2 ángulos y el lado comprendido entre ellos iguales, entonces los triángulos son congruentes”
Construye triángulos congruentes de acuerdo a este postulado y justifícalos.
ISOSCELES – RECTÁNGULOS JUSTIFICACION
EQUILATEROS – ACUTANGULOS JUSTIFICACION
20POSTULADO LLL
“Si dos triángulos tienen sus 3 lados iguales, entonces los triángulos son congruentes”
Construye triángulos congruentes de acuerdo a este postulado y justifícalos.
ISOSCELES – ACUTANGULOS JUSTIFICACION
ESCALENOS – OBTUSANGULOS JUSTIFICACION
SEMEJANZA DE FIGURAS GEOMÉTRICAS
SEMEJANZA Se define como:
“ Son dos figuras con la misma forma, pero no necesariamente el mismo tamaño
Otra definición indica que:
“ Las figuras tienen sus ángulos correspondientes iguales y sus lados homólogos proporcionales”
Es decir, que una puede ser mayor que otra, pero sus componentes guardan relación entre si.
El símbolo de semejanza es:
Que quiere decir:
Igual forma.
SEMEJANZA DE TRIANGULOSDos triángulos son semejantes, cuando:
“ Tienen sus ángulos iguales y sus lados homólogos proporcionales”
Homólogo quiere decir:
Lados que se oponen a ángulos iguales.
POSTULADOS DE SEMEJANZA
POSTULADO AA
Dos triángulos son semejantes cuando tienen dos ángulos respectivamente iguale
21
Construye triángulos semejantes de acuerdo a este postulado y justifícalos.
ACUTANGULOS – ESCALENOS JUSTIFICACION
RECTANGULOS – ISÓSCELES JUSTIFICACION
POSTULADO LAL
Dos triángulos son semejantes cuando tienen un ángulo igual y los lados adyacentes proporcionales
Construye triángulos semejantes de acuerdo a este postulado y justifícalos.
ISOSCELES – RECTÁNGULOS JUSTIFICACION
22
POSTULADO LLL
Dos triángulos son semejantes cuando tienen sus tres lados proporcionalesConstruye triángulos semejantes de acuerdo a este postulado y justifícalos.
ISOSCELES – ACUTANGULOS JUSTIFICACION
ESCALENOS – OBTUSANGULOS JUSTIFICACION
TEOREMA DE THALES
Teorema básico de la proporcionalidad se define como:
Toda paralela a un lado de un triángulo forma con los otros dos lados un triángulo semejante al primero C HIPOTESIS
En el ABC
TESIS
D E DEC ABC
TRAZO AUXILIAR
A F B EF // AB
RAZONAMIENTO RAZÓN
1.- En el ABC, DE // AB por hipótesis
2.- C = C Por identidad
3.- A = CDE, B = CDE Por se correspondientes entre paralelas
4.-CD
CA=
CE
CBEl ABC DCE por el postulado de semejanza (AA)
23TEOREMA DE PITAGORAS
El teorema de Pitágoras solo es aplicable en triángulos rectángulos.Con el podemos encontrar la medida de los lados o la medida de la hipotenusa.
Se define como:
En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de la hipotenusa, es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
DEDUCCIÓN DEL TEOREMA DE PITÁGORAS
En el triángulo ABC
AB = c (cateto)
BC = a (hipotenusa)
CA = b (cateto)
TEOREMA DE PITÁGORAS
(BC)2 = (AB)2 + (CA)2
a2 = b2 + c2
CONSTRUCCIÓN AUXILIAR
Se traza la altura AD = h, desde el vértice A, a la hipotenusa BC
SE FORMAN LOS TRIANGULOS SEMEJANTES
ABC ABD ADC
DEMOSTRACION
b
a=
CD
b y
c
a=
DB
c
b2 = a . CD y c2 = a . DB
Sumando miembro a miembro
b2 + c2 = (a . CD ) + (a . DB)
Factorizando ( a ) en el Segundo miembro
b2 + c2 = a(CD + DB)
Pero
CD + DB = a
Por lo tanto
b2 + c2 = a . a
b2 + c2 = a2
Lo que se quería demostrar
El teorema de Pitágoras tiene dos corolarios, con los que se obtiene la hipotenusa o cualquiera de los catetos.
COROLARIO 1
La hipotenusa es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los catetos
COROLARIO 2
Un cateto es igual a la raíz cuadrada del cuadrado de la hipotenusa menos el cuadrado del otro
C
ab D
A c B
cateto
De la igualdad
b2 + c2 = a2
Despejando “ a ”
a2 = b2 + c2
Transponiendo la potencia
a = 22 cb
De la igualdad
b2 + c2 = a2
Despejando un cateto
“b” “c”
b2 = a2 – c2 c2 = a2 – b2
Transponiendo la potencia
b = 22 ca = 22 ba
24
Aplicando los dos corolarios del teorema de Pitágoras obtén el lado faltante en los siguientes triángulos rectángulos, tomando como base la figura anterior.
b = 10 cm ; c = 8 cm
DESARROLLO FIGURA
a = 12 mm; b = 8 mm
DESARROLLO FIGURA
a = 20 mm ; c = 22 mm
DESARROLLO FIGURA
25
b = 32 cm ; c = 24 mm
DESARROLLO FIGURA
a = 17 mm ; c = 4 mm
DESARROLLO FIGURA
b = 25 cm ; c = 19 cmDESARROLLO FIGURA
26
a = 10 cm ; b = 6 cmDESARROLLO FIGURA
b = 12 cm ; c = 14 cmDESARROLLO FIGURA
a = 25 m ; b = 14 mDESARROLLO FIGURA
27
b = 2 cm ; c = 12 mm
DESARROLLO FIGURA
a = 5 m ; b = 34 cm
DESARROLLO FIGURA
Hallar la medida de los lados de un triángulo isósceles, de acuerdo a los datos
Base = 6 cm ; altura = 4 cm
DESARROLLO FIGURA
28
Base = 40 mm; altura = 45 mm
DESARROLLO FIGURA
Hallar la altura de un triángulo equilátero, cuando se conoce uno de sus lados
Lado = 12 cm
DESARROLLO FIGURA
Lado = 25 m
DESARROLLO FIGURA
29
Aplicando el teorema de Pitágoras resuelve los siguientes problemas.
¿Cuál es la altura de una persona que proyecta una sombra sobre el piso de 45 cm, y la distancia de su cabeza al final de la sombra es de 95 cm?
PLANTEAMIENTO Y DESARROLLO GRAFICA RESPUESTA AL PROBLEMA
El tirante que sostiene a una antena es de 8.5 m, y la distancia del pie de la antena al tirante es de 4.5 m, ¿Cuánto mide la antena?
PLANTEAMIENTO Y DESARROLLO GRAFICA RESPUESTA AL PROBLEMA
Un ciclista tiene que bajar una pendiente de 795m, en el sitio donde termina la pendiente al pie de la montaña es de 215m ¿Qué altura tiene la montaña?
PLANTEAMIENTO Y DESARROLLO GRAFICA RESPUESTA AL PROBLEMA
30
¿Cuál es la altura de un poste de luz, que tiene un tirante de 4.5 m, y unas distancia desde la base al tirante de 3.25 m?
PLANTEAMIENTO Y DESARROLLO GRAFICA RESPUESTA AL PROBLEMA
Un ingeniero quiere saber cuántos metros de material va a comprar para instalar 4 tirantes para sostener una torre de telecomunicaciones de 17 m de altura, si desde la base de la torre a la base de los tirantes es de 9 m.
PLANTEAMIENTO Y DESARROLLO GRAFICA RESPUESTA AL PROBLEMA
Se quieren colocar 6 tirantes desde una torre de 13 metros, la distancia sobre el piso desde la torre es de 7.75 m, ¿Cuánto alambre se debe de comprar?
PLANTEAMIENTO Y DESARROLLO GRAFICA RESPUESTA AL PROBLEMA
31
POLIGONOS
DEFINICIÓN:
Un polígono es una figura formada por segmentos de recta unidos consecutivamente.
Los polígonos se clasificaciones por la medida de sus lados y la medida de sus ángulos:
POR LA MEDIDA DE SUS LADOS POR LA MEDIDA DE SUS ANGULOS
a) Regulares
b) Irregulares
a) Convexos
b) Cóncavos
a).- Regulares, son aquellos que tienen sus lados y ángulos iguales, es decir que son equiángulos y equiláteros.
Equiláteros, quiere decir que tiene todos sus lados iguales
Equiángulos quiere decir que todos sus ángulos son iguales.Construye polígonos regulares de acuerdo al número de lados que se indica
CUATRO LADOS CINCO LADOS SEIS LADOS
b).- Irregulares, Son aquellos que tienen lados y ángulos desiguales.
En el caso de estos polígonos pueden tener sus lados iguales ó sus ángulos, pero no cumplen una de las dos condiciones.
Construye polígonos irregulares de acuerdo al número de lados que se indica
CUATRO LADOS CINCO LADOS SEIS LADOS
32
Los polígonos también se clasifican en:
a).- Convexos, Son polígonos que tiene sus ángulos interiores menores de 180°
Construye tres polígonos cóncavos de acuerdo a las características
CUATRO LADOS CINCO LADOS SEIS LADOS
a).- Cóncavos, Son polígonos que tiene por lo menos un ángulo mayor de 180°
Construye tres polígonos convexos de acuerdo a las características
CUATRO LADOS CINCO LADOS SEIS LADOS
ELEMENTOS DE LOS POLIGONOS
Para poder obtener los elementos de un polígono es necesario auxiliarse de la circunferencia para fundamentar las definiciones respectivas.
RADIO
Es la medida del radio de una circunferencia circunscrita al vértice del polígono.
FIGURA
33
APOTEMA
Es la medida del radio de una circunferencia circunscrita al punto medio de un polígono
FIGURA FORMULA
apotema =2
2
2
ladoradio
DIAGONAL
Es el segmento de recta que une dos vértices no consecutivos de un polígono.
Existen dos formas de trazar las diagonales, las que se trazan desde un vértice y las diagonales totales del polígono, para obtenerlas se utilizan las siguientes fórmulas.
Desde uno de los vértices.d = n – 3
Diagonales totales.
D = 2
)3( nn
n representa el número de lados del polígono.
Calcular el número de diagonales desde un vértice y las diagonales totales de los siguientes polígonos
TRES LADOS CUATRO LADOS CINCO LADOS
UN VERTICE TOTALES UN VERTICE TOTALES UN VERTICE TOTALES
34
CUADRILATERO CONCAVO CINCO LADOS CONVEXO SEIS LADOS CONCAVO
UN VERTICE TOTALES UN VERTICE TOTALES UN VERTICE TOTALES
Las medida de las diagonales también se pueden utilizando ecuaciones de primer grado o sistemas de ecuaciones de dos incógnitas.
ANGULOS EXTERIORES DE UN POLIGONO
La suma de los ángulos exteriores de cualquier polígono es de 360°, por lo que para la obtención de la medida de uno de los ángulos exteriores se utiliza la siguiente formula.
< e =n
360
En donde n es el número de lados del polígono.
Obtener lo que se indica en cada recuadro.POLIGONO REGULAR DE CUATRO LADOS
MEDIDA DE UN ANGULO INTERIOR
SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERIORES
MEDIDA DE UN ANGULO EXTERIOR
FIGURA
35
POLIGONO REGULAR DE CINCO LADOS
MEDIDA DE UN ANGULO INTERIOR
SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERIORES
MEDIDA DE UN ANGULO EXTERIOR
FIGURA
POLIGONO REGULAR DE SEIS LADOS
MEDIDA DE UN ANGULO INTERIOR
SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERIORES
MEDIDA DE UN ANGULO EXTERIOR
FIGURA
AREA Y PERIMETRO
El perímetro es el contorno de un polígono
El área es la superficie de un polígono limitada por el perímetro
Para calcular el área y perímetro de los polígonos se debe de tomar en cuenta, si es regular o irregular, en el cado de los polígonos regulares se tienen fórmulas que permiten obtenerla directamente de los datos ó realizar un proceso más complicado, en los irregulares también tienen formulas pero en algunos es necesario realizar triangulaciones, se calcula el área de cada triángulo y sumarlas para obtener el área del polígono.Los resultados de las áreas se dan en unidades al cuadrado
CUADRO DE FORMULAS
REGULARES IRREGULARES
PERIMETRO AREA PERIMETRO AREA
TRIANGULOEQUILATERO
P = 3l A = 2
bh TRIANGULO P = a + b + c A = ))()(( csbsasS PPPP
CUADRADO P = 4l A = l2 RECTANGULO P = 2(b + h) A = bh
POLIGONO REGULAR DE DE 5 LADOS O MAS
P = nl A = 2
pa ROMBO P = 4L A = 2
Dd
ROMBOIDE O PARALELOGRAMO
P = 2(b + h) A = bh
sp = 2
cba TRAPECIO P = a + b +c + d A = 2
)( hbB
36AREA Y PERIMETRO DE UN TRIÁNGULO
Los resultados de las áreas se dan en unidades al cuadradoOBTENER EL PERIMETRO Y AREA DE LAS SIGUIENTES FIGURAS DE ACUERDO A LAS MEDIDAD QUE SE INDICAN
En caso de que las figuras sobresalgan de los espacios trazar una a escalaAB = 11 cm , BC = 16 cm , CA = 23 cm
PERIMETRO AREA FIGURA
Por la medida de sus lados el triángulo es
Por la medida de sus ángulos el
triángulo es
DE = EF = FG = 15 m
PERIMETRO AREA FIGURA
Por la medida de sus lados el triángulo es
Por la medida de sus ángulos el
triángulo es
MN = 22 cm ; NO = 15 cm ; OM = MN
PERIMETRO AREA FIGURA
Por la medida de sus lados el
triángulo es
Por la medida de sus ángulos el
triángulo es
Un rectángulo mide 42 m de ancho y 48 m de largo Un cuadrado mide 3.7 cm por lado
PERIMETRO AREA PERIMETRO AREA
37
Un octágono que mide 5.2 cm por lado Un rombo, la diagonal mayor mide 5 cm y la diagonal menor de 8 cm
PERIMETRO AREA PERIMETRO AREA
FIGURA FIGURA
Calcular el lado de un cuadrado que mide 32.49 cm2 Calcular el número de lados de un polígono regular que su perímetro mide 25.3 cm y uno de sus lados mide 2.3 cm
FIGURA FIGURA
38
CALCULAR EL ÁREA DE LAS SIGUIENTES APLICANDO LA FORMULA DE HERON
FIGURA OBTENCION DEL AREA DE LOS TRIANGULOS AREA DEL POLÍGONO
FIGURA OBTENCION DEL AREA DE LOS TRIANGULOS AREA DEL POLÍGONO
FIGURA OBTENCION DEL AREA DE LOS TRIANGULOS AREA DEL POLÍGONO
39
CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO.
DEFINICIONESCIRCUNFERENCIA. Es la línea curva cerrada en la que todos sus puntos se encuentran a la misma distancia de un punto fijo llamado centro.
CIRCULO, Es el conjunto de la circunferencia y los puntos interiores a la mismaGRAFICAS
CIRCUNFERENCIA CIRCULO
ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
RECTAS NOTABLES DE LA CIRCUNFERENCIA
RADIOEs el segmento que une el centro a cualquier punto de la circunferencia
DIAMETROEs la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia
CUERDAEs un segmento de recta que une
dos puntos de la circunferencia
ARCOEs una parte de la circunferencia
determinada por un ángulo
TANGENTEEs la recta que toca a la circunferencia
en uno de sus puntos
SECANTEEs la recta que corta a una
circunferencia en dos de sus puntos
40ANGULOS DE LA CIRCUNFERENCIA
De acuerdo a la posición del vértice de un ángulo en la circunferencia se les da un nombre y para la obtención de su medida se tienen formulas determinadas.
ANGULO CENTRAL
Tiene su vértice en el centro de la
circunferencia.
Están formados por dos radios.El ángulo central es igual a su arco
FORMULA
c = Arco
ANGULO INSCRITO
Es el que tiene su vértice en cualquier punto de la circunferencia.
Están formados por dos secantes.
El ángulo inscrito es igual a la mitad del ángulo central
FORMULA
ins = 2
AB
ANGULO INTERIOR
Tiene su vértice en un punto dentro de la circunferencia.
El ángulo interior es igual a la mitad de la suma de los dos semiarcos
FORMULA
i =2
BDAC
ANGULO EXTERIOR
Es aquel que tiene su vértice fuera de la circunferencia y sus lados cortan a la
circunferencia
El ángulo interior es igual a la mitad de la diferencia de los dos semiarcos
e =2
BDAC
41Resuelve los siguientes ejercicios de ángulos
Hallar la medida de “ x “ si el arco de un ángulo central AC = 70° y el ABC = 6x – 2°
Hallar la medida de “ x “ si el arco de un ángulo central DF = 127° y el DEF = 8x + 7°
DESARROLLO GRAFICA DESARROLLO GRAFICA
Hallar la medida de un ángulo inscrito que su arco mide 105° Hallar la medida del arco de un ángulo inscrito si este mide 38° 22´
DESARROLLO GRAFICA DESARROLLO GRAFICA
Hallar la medida de un ángulo interior que su arcos miden 46° y 122°
Hallar la medida de un arco de un ángulo interior si el ángulo mide 44° y el otro arco 86°
DESARROLLO GRAFICA DESARROLLO GRAFICA
Hallar la medida de un ángulo exterior que sus arcos miden 52° y 134°
Hallar la medida de un arco de un ángulo exterior si este mide 42° y el otro arco 130°
DESARROLLO GRAFICA DESARROLLO GRAFICA
42
PERIMETRO Y AREA DE LA CIRCUNFERENCIA
El perímetro se encuentra a la circunferencia de acuerdo a la siguiente formula de acuerdo a los datos que se indiquen.
P = 2π r P = π d
Se debe de tomar en cuenta que el perímetro es la longitud de una circunferencia.
C = 2π r C = π d
El área es la superficie del círculo y la medida se obtiene de la siguiente formula
A = π r2
OBTEN LO QUE SE INDICA EN CADA RECUADRO
Una circunferencia de 3 cm de radio Una circunferencia de 8 cm de diámetro Una circunferencia de 5 cm de radio
GRAFICA GRAFICA GRAFICA
PERIMETRO AREA PERIMETRO AREA PERIMETRO AREA
Si la longitud de una circunferencia es de 15.708 cm, ¿Cuál es la
medida de su radio
Si el área de un círculo 19.635 cm2
¿Cuánto mide el diámetro?
Calcular el área de un circulo que su
circunferencia mide 11 π
¿Cuánto mide su diámetro? ¿Cuánto mide su radio? ¿cuánto mide su radio en cm?
43
APLICANDO LAS ÁREAS Y PERIMETROS DE LOS POLÍGONOS Y LA CIRCUNFERENCIA OBTEN
El diámetro de una circunferencia mide 7 cm, ¿cuánto mide el lado del cuadrado inscrito en ella? Luego calcula el área entre el cuadrado y la circunferencia.
FIGURA PERIMETRO DE LA CIRCUNFERENCIA PERIMETRO DEL CUADRADO AREA DEL CIRCULO
AREA DEL CUADRADO AREA ENTRE LA CIRCUNFERENCIA Y EL CÍRCULO
DIFERENCIA DE LOS PERIMETROS DE LAS FIGURAS
Traza una circunferencia de 3.2 cm, un pentágono inscrito y calcula lo que se indica en cada recuadro
FIGURA PERIMETRO DE LA CIRCUNFERENCIA PERIMETRO DEL PENTAGONO AREA DEL CIRCULO
AREA DEL PENTAGONO AREA ENTRE LA CIRCUNFERENCIA Y EL CÍRCULO
DIFERENCIA DE LOS PERIMETROS DE LAS FIGURAS
Un caballo está amarrado de una cuerda de 4 metros desde una estaca y se quiere saber cuál es el perimero y área en que se puede desplazar el caballo
GRAFICA PERIMETRO DE LA CIRCUNFERENCIA AREA DEL CIRCULO
44FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
FUNCIONES TRIGONOMETRICAS PARA ANGULOS AGUDOS
SISTEMA CIRCULAR
En el sistema circular la base para desarrollarlo es la circunferencia y la unidad de medida de! sistema se llama RADIAN. El radián es el ángulo dentro de la circunferencia cuyos lados comprenden un arco cuya longitud es igual al radio de la
circunferencia.
GRAFICA
A
El arco AB , es igual a la medida del radio
Por lo tanto el < AOB es igual a un radian
Teniendo en cuenta que la longitud de una circunferencia es igual a 2 radianes que a su vez son iguales a 360" ,
entonces tenemos que;
r
O 57° 18´ r
Longitud de la circunferencia = 2 radianes
c = 2 c = 2 (3.14) radianes
c = 6.28 radianes
UN RADIAN ES IGUAL A:
r = 28.6
3600
r = 57° 18'
RELACIÓN ENTRE GRADOS SEXAGESIMALES y EL RADIAN
El grado sexagesimal tendrá corno símbolo (S) y el radián (R), por lo tanto:
0360
S =
2
R
0180
S =
R
Simplificando si = 3.14
0180
S =
14.3
R
Aplicando la formula anterior obtener lo que se indica en los siguientes recuadros.
EXPRESAR EN GRADOS SEXAGECIMALES LOS SIGUIENTES RADIANES
3.6 r 29 r 12 r
45
4.6 r 2.5 r 1.6 R
2 3
EXPRESAR EN RADIANES LOS SIGUIENTES GRADOS SEXAGECIMALES
90° 216° 43° 18 ´
612° 527° 196° 42 ´
46FUNCIONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS AGUDOS
RAZONES TRIGONOMETRICAS
Todo ángulo agudo es aquel que mide menos de 900, las funciones trigonométricas son aplicables en triángulos rectángulos, estos tiene seis elementos (tres ángulos y tres lados), que de acuerdo a su posición se llaman.
Angulo agudo
Hipotenusa Cateto
Angulo recto Cateto Angulo agudo
De acuerdo a la gráfica contesta las siguientes preguntas.
Los catetos forman el : ______________________________
La hipotenusa es el lado ___________________ en cualquier triángulo rectángulo.
La medida del ángulo recto es igual a _____________ La medida del ángulo agudo es ______________
Las seis funciones trigonométricas son: _____________ , ______________ , ____ __________
_____________ , ______________ , ______________
Las tres primeras se llaman: ________________ Las tres segundas se llaman: ___________________
Plantea las seis funciones trigonométricas en forma general.
En el siguiente triángulo rectángulo plantea las seis funciones trigonométricas con las letras correspondientes a los
dos ángulos agudos.
FIGURA FUNCIONES TRIGONOMETRICAS PARA EL ANGULO B
FUNCIONES TRIGONOMETICAS PARA EL ANGULO C
C
b a
A c B
47FUNCIONES RECIPROCAS
Las funciones reciprocas son aquellas que se aplican al mismo ángulo de un triángulo y que4 al multiplicarse dan como resultado la unidad.
GRAFICA FUNCIONES RECIPROCAS PARA EL ANGULO B
C
a b
A c B
sen B x csc B = 1 cos B x sec B = 1 tan B x ctg B = 1
de donde
sen B = Bcsc
1 cos B =
Bsec
1 Tan B =
Bcot
1
o bien
csc B = senB
1 sec B =
Bcos
1 cot B =
Btan
1
CALCULO DE VALORES DE 30°, 45° Y 60°
Traza un triángulo equilátero de lados iguales a dos unidades, traza una bisectriz al lado base, de uno de los triángulos resultantes por la medida de los ángulos internos encontramos el ángulo de 30°, para encontrar su valor y aplicando el teorema de Pitágoras obtén el valor del cateto faltante.
GRAFICA OBTENCION DEL CATETO FALTANTE Sen 30° Cos 30°
Tan 30° Cot 30° Sec 30° Csc 30°
De acuerdo a la misma gráfica obtén los valores para el ángulo de 60°
sen 60° cos 60° tan 60°
48
cot 60° sec 60° csc 60°
Para la obtención de los valores del ángulo de 45° trazaremos un cuadrado de una unidad por lado, se traza una bisectriz, se obtienen dos triángulos rectángulos, la bisectriz dividió el ángulo de 90° en dos iguales que miden 45°, para determinar los valores del ángulo se aplica el teorema de Pitágoras para obtener la hipotenusa.
GRAFICA OBTENCIÓN DEL CATETO FALTANTE
sen 45° cos 45° tan 45°
sen 45° cos 45° tan 45°
49
TABLA DE VALORES DE LOS ANGULOS DE 30° , 45° y 60°
ANGULO sen Cos Tan cot sec csc
30°
45°
60°
Empleando tu calculadora obtén los valores de las seis funciones trigonométricas de los siguientes grados expresados en grados
sen x cos x tan x ctg x sec x csc x
20°
45°
70°
185°
275°
412°
Empleando la calculadora obtén los valores de las seis funciones trigonométricas de los siguientes ángulos expresados en radianes
sen x cos x tan x ctg x sec x csc x
6
3
2
2
3
2
Obtén la medida de los ángulos en radianes y en grados, a partir de la razón trigonométrica que se proporciona
sen x cos x Tanx ctg x sec x csc x
0.8520 0.2425 3.2 0.3125 4.1237 1.1737
Grados
Radianes
50RESOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS
Obtener los valores faltantes del triángulo rectángulo ABC, si el a = 17 m y b = 24 m
OBTENER c A C FIGURA
Obtener los valores faltantes del triángulo rectángulo ABC, si el A = 46° 25´ y c = 53 cm
OBTENER a OBTENER b C FIGURA
Obtener los valores faltantes del triángulo rectángulo DEF, si el e = 36 cm y f = 29 cm
OBTENER d D F FIGURA
Obtener los valores faltantes del triángulo rectángulo DEF, si el F = 64° y d = 7 m
OBTENER e OBTENER f D FIGURA
51
Obtener los valores faltantes del triángulo rectángulo RPQ, si el R = 78° y r = 8 m
OBTENER p OBTENER q Q FIGURA
Obtener los valores faltantes del triángulo rectángulo ABC, si el A = 65° y a = 19 mm
OBTENER b OBTENER c C FIGURA
Obtener los valores faltantes del triángulo rectángulo ARP, si el a = 18 u y r = 24 u
OBTENER p A P FIGURA
Obtener los valores faltantes del triángulo rectángulo INM, si el i = 9 m y m = 9 cm
OBTENER n I M FIGURA
52
Obtener los valores faltantes del triángulo rectángulo ABC, si el a = 34 u y b = 56 u
OBTENER c A C FIGURA
Obtener los valores faltantes del triángulo rectángulo DEF, si el D = 48° 19 ´ y e = 63 m
OBTENER d OBTENER f F FIGURA
Obtener los valores faltantes del triángulo rectángulo GHI, si el i = 225 u y h = 312 u
OBTENER g G I FIGURA
Obtener los valores faltantes del triángulo rectángulo JKL, si el L = 65° y j = 33.78 m
OBTENER k OBTENER l J FIGURA
53APLICANDO LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS OBTEN LO QUE SE INDICA EN LOS SIGUIENTES PROBLEMAS
Una columna de 38 m de altura proyecta una sombra sobre el piso de 42 m, hallar el ángulo de inclinación de los rayos del sol
GRAFICA DESARROLLO RESPUESTA AL PROBLEMA
¿Cuál será la altura de una torre que su cúspide se observa desde 750 m, en línea recta desde su base con un ángulo de elevación de 15° 24 ´ ?
GRAFICA DESARROLLO RESPUESTA AL PROBLEMA
Hallar la altura de un avión, si la sombra proyectada está a 156 m del píe de la vertical, cuando el sol esta a 67° sobre el horizonte
GRAFICA DESARROLLO RESPUESTA AL PROBLEMA
¿Cuál es la altura de una escalera que se apoya en el borde de una ventana que tiene una altura de 6.9 m desde el suelo y forma un ángulo con la pared de 32° 67 ´ ?
GRAFICA DESARROLLO RESPUESTA AL PROBLEMA
54Una antena de televisión está sostenida por tres cables del mismo tamaño, cada uno mide 10 m y están sujetados al piso a
una distancia de la base de la antena de 3.5
GRAFICA DESARROLLO
¿Cuánto mide la antena?
¿Qué ángulo forma una de los cables en relación con el piso?
Una escalera esta recargada en una pared, la distancia del extremo inferior de la escalera a la base de la pared es de 2.5 m y el ángulo de elevación es de 68°
GRAFICA DESARROLLO
¿Cuánto mide la escalera?
¿Qué altura alcanza la escalera en la pared?
Seis cables sujetan una antena de 32 m, de dos secciones, tres cables de la primera sección están a una distancia de 4.3 m, y los tres de la segunda sección a 5.6 de la base
GRAFICA DESARROLLO
¿Cuánto mide un cable de cada sección?
¿En total cuánto cable se necesita para sujetar la antena?
¿Qué ángulo forma los cables de cada sección con relación al piso?
55FUNCIONES TRIGONOMETRICAS PARA ÁNGULOS DE CUALQUIER MAGNITUD
Las funciones trigonométricas se pueden aplicar a ángulos de cualquier medida o magnitud, en los cuales se consideran los ejes del plano cartesiano para su ubicación en los cuadrantes que determinan el signo de los componentes del ángulo del lado inicial y del lado terminal.
Angulo dirigido, es aquel que además de tomar en cuenta la amplitud, se toma en cuenta su sentido o dirección.
Angulo en posición normal, es todo ángulo que tiene como lado inicial el eje de abscisas positivo y el vértice coincide con el origen del plano cartesiano.
Ángulos coterminales, son aquellos que están colocados en posición normal, pero son coincidentes con sus lados terminal, es los ángulos de 0°, 90°, 180°, 270°, 360° y sus ángulos coterminales se llaman ángulos cuadrangulares.
SIGNOS Y VALORES DE LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
En el plano cartesiano se determina un punto cualquiera “ P “, el cual tiene como coordenadas la posición de los ejes, abscisa para el eje de las “ x “ cateto adyacente y ordenada para el eje de las “ y “ cateto opuesto, el vector que se obtiene al unir el origen y el punto se le llama hipotenusa con estos valores se pueden obtener las seis funciones trigonométricas del ángulo en los cuatro cuadrantes.
Trazar las gráficas a cada cuadrante, obtén las seis funciones trigonométricas y determina los signos de cada una y al final llena el cuadro que se indica.
PRIMER CUADRANTE
GRAFICA sen Θ cos Θ tan Θ
cot Θ sec Θ csc Θ
SEGUNDO CUADRANTE
GRAFICA sen Θ cos Θ tan Θ
cot Θ sec Θ csc Θ
56
TERCER CUADRANTE
GRAFICA sen Θ cos Θ tan Θ
cot Θ sec Θ csc Θ
CUARTO CUADRANTE
GRAFICA sen Θ cos Θ tan Θ
cot Θ sec Θ csc Θ
CUADRO DE SIGNOS DE LAS FUNCIONES
seno coseno tangente Cotangente secante cosecante
CUADRANTE I
CUADRANTE II
CUADRANTE III
CUADRANTE IV
Tomando como base el cuadro de signos de funciones se pueden ubicar los cuadrantes a que pertenece una función trigonométrica, se debe de tener en cuenta que la hipotenusa siempre es positiva , la abscisa es el lado inicial y la ordenada el lado terminal de la función.
57
Obtén la gráfica o gráficas de las siguientes funciones trigonométricas y el lado faltante por el teorema de Pitágoras.
cos Θ =5
4
DESARROLLO sen Θ tan Θ
cot Θ sec Θ csc Θ
sen Θ = 5
2
DESARROLLO Cos Θ tan Θ
cot Θ sec Θ csc Θ
tan Θ = 7
4
DESARROLLO sen Θ cos Θ
cot Θ sec Θ csc Θ
cot Θ = 8
3
DESARROLLO sen Θ cos Θ tan Θ
sec Θ csc Θ
58
sec Θ = 3
5
DESARROLLO sen Θ cos Θ tan Θ
cot Θ csc Θ
csc Θ = 4
7
DESARROLLO sen Θ cos Θ tan Θ
cot Θ sec Θ
CIRCULO TRIGONOMETRICO
Representación de las funciones trigonométricas de un ángulo por medio de segmentos de recta .
Si se escoge una unidad de medida de longitud tal que el denominador de todas las razones sea la unidad, se toma el círculo trigonométrico, en el cual el radio es la unidad de longitud r = 1.
GRAFICA
Se trazan dos diámetros AA´ y BB´ perpendiculares que coincidan con los ejes del plano cartesiano xx´ y yy´.
Sea OAP un ángulo Θ, siendo OA la posición inicial del ángulo y OP la posición terminal, se traza PM perpendicular a AO y PQ perpendicular a OB.
En la gráfica se forma el triángulo MOP tiene como hipotenusa a OP = r = 1 y se obtiene seno y coseno.59
seno Coseno
En A, se traza AT perpendicular al radio OA, hasta encontrarse con la prolongación de OP, para obtener la tangente se realizan las igualdades PM = AT y OM = OA y para la secante OP = OT y OM = OA.
tangente Secante
Para obtener la cotangente y la cosecante se traza BS perpendicular a OB en B hasta encontrarse con la prolongación OP, el ángulo BOS es complementario del ángulo Θ entonces la tangente del ángulo BOS es igual a la cotangente del ángulo Θ y la secante del ángulo BOS es igual a la cotangente del ángulo Θ
cotangente Cosecante
Así las funciones del ángulo Θ quedan representados por los siguientes segmentos de recta en todos los cuadrantes y se toman en cuentas los signos correspondientes, podemos determinar la posición del segmento en el plano cartesiano tomando como referencia el origen.
sen Θ = PM, perpendicular bajada del punto terminal del arco al diámetro AA
cos Θ = OM,
tan Θ = AT,
cot Θ = BS,
sec Θ = OT,
cos Θ = OS,
distancia del centro al pie del seno
Perpendicular de AS al diámetro AA´, hasta encontrarse con la prolongación del radio que pasa por el punto P.
Perpendicular en B al diámetro BB´, hasta encontrarse con la prolongación del radio que pasa por el punto P
Distancia del centro a la extremidad de la tangente.
Distancia del centro a la extremidad de la cotangente
Las funciones trigonométricas del ángulo Θ en el primer cuadrante son positivas.
Para cualquier cuadrante en el que el lado terminal, la tangente se obtiene por medio de la perpendicular en el punto A y la cotangente por medio de la perpendicular en el punto B. para su planteamiento se toman en cuenta los valores y signos de las funciones.
GRAFICAS
SEGUNDO CUADRANTE TERCER CUADRANTE CUARTO CUADRANTE
+
SIGNOS DE LOS SEGMENTOS DE RECTA
2° cuadrante 3° cuadrante 4° cuadrante
60GRAFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
Seno
Coseno
Tangente Cotangente
61
Secante Cosecante
VARIACION DE LAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS
SENOEl valor varia de 1 a -1 y su valor absoluto siempre quedará comprendido entre 0 a 1
PRIMER CUADRANTEDe 0° a 90°
SEGUNDO CUADRANTEDe 90° a 180°
TERCER CUADRANTEDe 180° a 270°
CUARTO CUADRANTE270° a 360°
COSENOEl valor varía de -1 a 1 y su valor absoluto siempre queda comprendido entre o y 1
PRIMER CUADRANTEDe 0° a 90°
SEGUNDO CUADRANTEDe 90° a 180°
TERCER CUADRANTEDe 180° a 270°
CUARTO CUADRANTE270° a 360°
TANGENTE
El valor varía de + a -PRIMER CUADRANTE
De 0° a 90°SEGUNDO CUADRANTE
De 90° a 180°TERCER CUADRANTE
De 180° a 270°CUARTO CUADRANTE
270° a 360°
COTANGENTEEl valor varía de + a -
PRIMER CUADRANTEDe 0° a 90°
SEGUNDO CUADRANTEDe 90° a 180°
TERCER CUADRANTEDe 180° a 270°
CUARTO CUADRANTE270° a 360°
SECANTE
El valor varía de + a -PRIMER CUADRANTE
De 0° a 90°SEGUNDO CUADRANTE
De 90° a 180°TERCER CUADRANTE
De 180° a 270°CUARTO CUADRANTE
270° a 360°
El valor varía de + a -PRIMER CUADRANTE
De 0° a 90°SEGUNDO CUADRANTE
De 90° a 180°TERCER CUADRANTE
De 180° a 270°CUARTO CUADRANTE
270° a 360°
62
LEYES DE SENOS Y COSENOS
Estas leyes son aplicables a triángulos oblicuángulos.
Un triángulo oblicuángulo es aquel que no tiene ángulos rectos o sea son todos aquellos triángulos acutángulos, que son los que tienen sus tres ángulos agudos y oblicuángulos, que tiene dos ángulos agudos y un obtuso.
Para obtener los seis elementos de los triángulos oblicuángulos es necesario conocer tres de ellos y en lo general se presentan cuatro casos que son:
a) Cuándo se conocen un lado y dos ángulos.b) Cuándo se conocen dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos.c) Cuándo se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos.d) Cuando se conocen sus tres lados.
Dependiendo de cual es el caso se aplican dos teoremas que se llaman:
a) Ley de los senosb) Ley de los cosenos
El teorema de los senos nos dice que:“EN TODO TRIANGULO, LOS LADOS SON PROPORCIONALES A LOS SENOS DE SUS ANGULOS OPUESTOS”
Se plantea:
Csen
c
Bsen
b
Asen
a
RESUELVE LOS SIGUIENTES EJERCICIOS DE ACUERDO A LOS DATOS QUE SE INDICAN Y OBTEN LAS MEDIDAS FALTANTES
EN LOS SIGUIENTES TRIANGULOS
a = 75.50 m < B = 700 59´ < C = 440 44´
b c < A GRAFICA
d = 23.58 m e = 19.35 m < D = 620 32´ 19´´
c < C < E GRAFICA
63
a = 27.3 u < B = 380 20´ < C = 770 10´
b c < A GRAFICA
b = 25.36 u < A = 540 8´ < C = 270 15´
a c < B GRAFICA
c = 18 cm < A = 750 59´ < C = 770 10´
a b < B GRAFICA
64
a = 12 cm < A = 430 59´ < C = 670 10´
b c < B GRAFICA
LEY DE LOS COSENOS
El teorema de los cosenos indica que:
“EN TODO TRIÁNGULO OBLICUANGULO, EL COSENO DE UN ANGULO ES IGUAL A LA SUMA DE LOS CUADRADOS DE LOS LADOS QUE LOS FORMEN, MENOS EL CUADRADO DEL LADO OPUESTO,
DIVIDIDO ENTRE EL DOBLE PRODUCTO DE LOS LADOS QUE LOS FORMEN”
Por lo que obtenemos las siguientes formulas:
Cos < A = ab
acb
2
222 Cos < B =
ac
bca
2
222 Cos < C =
ab
cba
2
222
En el caso de conocer dos lados y un ángulo se define como:“EN TODO TRIANGULO, EL CUADRADO DE UN LADO CUALQUIERA ES IGUAL A LA SUMA DE LOS CUADRADOS DE LOS
OTROS DOS MENOS EL DOBLE PRODUCTO DE ESTOS LADOS POR EL COSENO DEL ÁNGULO COMPRENDIDO”
Por lo que obtenemos las siguientes formulas.
a2 = b2 + c2 – 2bc cos < A
b2 = a2 + c2 – 2ac cos < B
c2 = a2 + b2 – 2ab cos < C
RESOLVER LOS SIGUIENTES EJERCICIOS DE ACUERDO A LOS DATOS QUE SE INDICAN
En el triangulo ABC a = 31 m b = 42 m c = 53 m
< A < B < C GRAFICA
65
En el triangulo DEF d = 4 u e = 5 u f = 6 u
< D < E < F GRAFICA
En el triangulo MNO m = 48 u n = 35 u o = 26 u
< M < N < O GRAFICA
En el triangulo GHI g = 13 cm h = 14 cm i = 17 cm
< G < H < I GRAFICA
En el triangulo ABC a = 15 m b = 22 m c = 20 m
< A < B < C GRAFICA
71
En el triangulo MNB m = 48 u n = 33 u b = 24 u
< M < N < B GRAFICA
En el triangulo RPQ r = 26.64 cm p = 37.40 cm q = 50.22 cm
< A < B < C GRAFICA
67
ESTADISTICA ELEMENTAL
Definición de estadística.
Es la ciencia con base matemática encargada de recoger, analizar e interpretar los datos relativos a un conjunto de elementos.
La estadística permite obtener conclusiones que deben ser validas y sirven para tomar decisiones razonables de acuerdo a los datos que se están estudiando.
El estudio se realiza en una población, pero cuando ésta es grande se toma una muestra representativa.
Población es el conjunto de elementos sobre los cuales se realiza la investigación
Muestra, es una parte de la población a estudiar, pero ésta debe de ser representativa-
Ejemplo:
Se quiere saber cuáles son las causas por las cuales a los alumnos se les hace tarde para llegar a clases en el plantel 06 del COBAT.
Población, todos los alumnos de los dos turnos del plantel 06, total 1150
Muestra representativa diez alumnos en forma aleatoria de cada grupo, total 120
En el ejercicio anterior se dio a conocer una variable de estudio a la que se llama variable estadística que no es otra cosa que lo que se va estudiar.
En el ejemplo anterior la variable es causas por las que los alumnos llegan tarde a clase.
Las variables pueden ser cuantitativas, que son aquellas que se pueden medir y se representan con números, como la edad, el peso, el salario, número de hijos de una familia, etc., estas pueden ser continuas ó discretas.
Variables continuas, son aquellas en las cuales se obtienen valores reales entre dos valores dados, un ejemplo de éstas es la estatura de los alumnos de una grupo, el más alto es de 1.78 cm y el más bajo 1.42 cm, estas se pueden dar con números enteros y decimales entre ellos.
Variables discretas, solo toman números enteros, como ejemplo podemos citar el número de hijos que tienen las familias de una comunidad, no se puede decir que tiene 1.5 hijos.
Variables cualitativas, son aquellas que representa un atributo y no son medibles como: el sexo, nacionalidad, estado civil, etc.
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
Son los valores que se ubican en la parte central de un conjunto de datos, y permite analizarlos de un valor central.
Las medidas de tendencia central son:
a) Media aritmética, que también se conoce como promedio y se obtiene de dividir todos las datos entre el número de casos
b) Moda, es el valor que más se repite en el estudio.
c) Mediana, es el valor central o punto de medio de los datos, este se obtiene de datos ordenados, cuando son número impar se encuentra en el centro de los datos, cuando se trata de un número par de elementos en el estudio es el promedio de los dos centrales.
Los datos de un estudio pueden ser
a) No agrupados, cuando se trata de estudios simples y se tienen pocos datos
b) Agrupados, cuando el estudio tienen demasiados datos
Los datos pueden representarse en una tabla de datos o tabla de frecuencias y los datos se pueden representar con una grafica.
Teniendo como base las definiciones anteriores y el procedimiento de trabajo realiza el siguiente ejercicio.68
El edades de los alumnos de un grupo de alumnos de una universidad son:
24, 18, 19, 22, 21, 20, 20, 19, 23, 23, 24, 25, 24, 19, 21, 23, 20, 22, 24, 19, 21, 22, 21, 23, 21, 24, 19, 21, 24, 23, 21, 21, 23, 20
Ordena los datos de menor a mayor
______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________
TABLA DE FRECUENCIAS
Edad (en años)
Frecuencia Absoluta
Edad por frecuenciaabsoluta
19
20
21
22
23
24
Totales
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
MEDIA (Calculo del promedio) MODA MEDIANA
En una tienda de mayoreo vendieron las siguientes prendas
TABLA DE FRECUENCIAS
Artículos Cantidad vendida
Pantalones 550
Camisas 710
Faldas 425
Blusas 815
Conjuntos 448
Trajes 510
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
MEDIA (Calculo del promedio) MODA MEDIANA
69
Obtén las medidas de tendencia central de los promedios de los alumnos del 411
8.5 6.0 5.9 9.0 9.5 8.2 9.3 9.1 9.5 9.3 5.9 6.8 7.6 5.5 9.2 9.0 8.9 6.5 9.5 5.5
9.3 7.5 8.3 6.0 9.4 9.9 9.5 6.5 5.9 5.5 9.9 5.4 9.9 9.5 6.9 5.3 6.2 5.9 9.5 9.4
Ordena los datos
Tabla de frecuencias acumulada Gráfica de barras
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
MEDIA (Calculo del promedio) MODA MEDIANA
También se tiene la tabla de frecuencia relativa.
La frecuencia relativa nos indica el porcentaje que representa la frecuencia absoluta de cada valor de la variable con respecto del total de observaciones.
Otra columna que se agrega al cuadro es el de frecuencia relativa acumulada, que nos indica el porcentaje de observaciones que hemos recorrido.
Con todos estos elementos la tabla va a constar de 5 columnas y se deben de obtener los resultados para cada una de ellas.
70
Obtén lo que se indica en cada columna, utilizando tu calculadora.
Un estudio arrojo los siguientes datos
Número de hijos por pareja f1 n1 F1 N1
0 24
1 50
2 80
3 36
4 50
5 48
6 35
7 26
8 12
TotalSimbología f1= frecuencia; n1= Frecuencia relativa; F1= Frecuencia acumulada; N1= Frecuencia relativa acumulada
MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL
MEDIA MODA
MEDIANA
Medidas de dispersiónLas medidas de dispersión son valores que indican la variabilidad de un conjunto de datos con respecto a la media.
Rango.Se le llama rango o recorrido, a la diferencia del valor mayor y el valor menor de los datos.La formula de trabajo es: R = Vmax – vmin
En una recaudería se venden diariamente los siguientes kilos de tomate.
21 19 18 20 21 22 20 18 22 21 19 22 18 22 21
18 21 22 20 21 18 19 21 20 22 22 20 21 20 19
Ordena los datos
Obtén lo que se pide en cada recuadro
Media Moda Rango
Mediana
71
DESVIACION MEDIA
Se define como la diferencia entre cada dato y la media e indica cómo se desvía cada dato respecto a la media aritmética.
La fórmula para su obtención es n
xxDM
)(
Las estaturas de 10 estudiantes que están en el equipo de básquet bol son
1.75 1.68 1.73 1.75 1.82 1.79 1.72 1.76 1.74 1.77
Ordena los datos
Utilizando tu calculadora obtén los datos de la siguiente tabla
Estaturas f1 n1 F1 N1 (x - x)
Total
Obtén lo que se pide en cada recuadro
Media Moda Rango
Mediana Desviación media
Varianza
Es la medida que nos permite conocer la dispersión de los valores de una muestra respecto de su media aritmética
La fórmula es: n
xxs
2
2)(
El número de hijos que tienen las familias de la colonia el llanito son
5 7 0 2 4 3 6 1 1 0 7 5 3 1 2
4 6 3 3 3 2 5 6 7 0 3 4 2 5 3
3 4 2 2 6 5 6 6 3 4 2 3 1 0 772
Ordena los datos
Tabla de frecuencias
Número de hijos f1 n1 F1 N1 ( x – x ) ( x – x )2
Total
Obtén lo que se pide en cada recuadro
MODA MEDIANA RANGO
MEDIA DESVIACION MEDIA VARIANZA
Desviación típica ó estándar
La desviación típica ó estándar es la raíz cuadrada de la varianza
La fórmula para su obtención es
n
xxs
2)(
De la siguiente serie de números realiza lo que se pide
10 12 2 9 15 6 7 8 12 9
Datos ordenados
73
Tabla de frecuencias
Serie de números f fa fr fra I x - x I ( x – x ) ( x – x )2
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Total
Obtén lo que se pide en cada recuadro
MEDIA RANGO VARIANZA
MODA DESVIACION MEDIA DESVIACION MEDIA
MEDIANA
Del siguiente cuadro obtén lo que se indica
x f fx Fa fr fra I x - x I ( x – x ) ( x – x )2
0 1
1 2
2 5
3 14
4 8
5 3
6 1
totales74
Obtén lo que se pide en cada recuadro
MEDIA RANGO VARIANZA
MODA DESVIACION MEDIA DESVIACION MEDIA
MEDIANA
Del siguiente cuadro obtén lo que se indica
x f fx Fa fr fra I x - x I ( x – x ) ( x – x )2
0 2
1 3
2 5
3 7
4 9
5 4
totales
Obtén lo que se pide en cada recuadro
MEDIA RANGO VARIANZA
MODA DESVIACION MEDIA DESVIACION MEDIA
MEDIANA
75
PROBABILIDAD
Conceptos elementales de probabilidad
Definición:
Es la relación entre el número de resultados a favor de un suceso y el número total de
resultados posibles
Experimento
Es una acción bien definida que da un resultado bien definido
Ejemplos de experimentos
Meter la mano en agua caliente.Lanzar una moneda al aireArrojar una piedra desde el quinto piso de un edificioLanzar un dado a una mesa
Tipos de experimentos
Determinista
El resultado se conoce desde antes de realizar el experimento
Ejemplos
Meter la mano en agua calienteArrojar una piedra desde el quinto piso de un edificio
Aleatorio
Se conocen los posibles resultados, pero no el que se obtiene al momento
Ejemplos
Lanzar una moneda al aireLanzar un dado en la mesa
Espacio muestral
Es el conjunto de posibles resultados en un experimente aleatorio
Ejemplos:
Al lanza al aire una moneda el espacio muestral es (águila ó sol)Al lanza un dado a la mesa El espacio muestral es (1, 2, 3, 4, 5, 6)
Obtener el espacio muestral al lanzar dos monedas al aire al mismo tiempo
_______________________________________________________________________________________
Obtener el espacio muestral al lanzar dos dados sobre una mesa
_______________________________________________________________________________________
_______________________________________________________________________________________
Diagrama del árbol
Se consideran como un auxiliar para poder definir correctamente el espacio muestral
Por ejemplo al lanzar dos monedas al aire cuando caen al suelo determinan el siguiente espacio muestral.
Dibuja el diagrama del árbol que represente el lanzamiento de tres monedas al aire
76
Para obtener la probabilidad de un resultado en un experimento aleatorio utilizaremos la siguiente fórmula.
posiblesresultadosdetotalnúmero
leventodefavorableNúmeroAP
........
......)(
Realiza los siguientes ejercicios
Obtén la probabilidad de que salga 3 al lanzar
un dado
Obtén la posibilidad de que salga un número par al lanzar un dado
Obtén la probabilidad de que al lanzar una moneda caiga sol
Obtén la probabilidad de que al lanzar un dado caiga un número impar
Diagramas de Venn
Son las representaciones gráficas del espacio muestral de un suceso.
Se representa mediante conjuntos.
Un conjunto es un número limitado de elementos que tienen ciertas características en común
El espacio muestral total se representa con un rectángulo, y los conjuntos particulares del espacio muestral con círculos.
Espacio muestral
Conjunto
77
Considera el siguiente espacio muestral, obtén los conjuntos que se indican y traza el diagrama de Venn correspondiente
Espacio muestral (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25)
Conjunto de los múltiplos de 2
A (
Conjunto de los múltiplos de 4
B (
Del siguiente espacio muestral obtén los conjuntos que se indican y traza el diagrama de Venn correspondienteEspacio muestral (1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18))
Conjunto de los múltiplos de 3
D (
Conjunto de los múltiplos de 6
E (
Del siguiente espacio muestral, obtén los conjuntos que se indican y traza el diagrama de Venn correspondiente
Espacio muestral (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25)
Conjunto de los múltiplos de 2
F (
Conjunto de los múltiplos de 3
G (
Conjunto de los múltiplos de 6
H (
78
Existen operaciones que se realizan con los conjunto y permiten ver la probabilidad de que ocurra un evento, en este curso solo nos limitaremos de obtener la unión y la intersección.
Unión, Es el conjunto de elementos que se obtienen de unir dos o más conjuntos.
Si nosotros queremos saber que existe esta operación en dos conjunto se deben de sombrear los dos.
En la intersección solo se sombrea la parte en la que están enlazados los conjuntos.
De los siguientes conjuntos obtener la unión e intersección de los conjuntos
A ( 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10)
B (0, 2, 4, 8, 10, 12, 14, 16, 18)UNIÓN INTERSECCION
C (1, 2, 3, 4, 5)
D (4, 5, 6, 7, 8, 9)
UNIÓN INTERSECCION
E (a, b, c, d, e)
D (a, b, c, d, e, f, g)
UNIÓN INTERSECCION
79
Sean los conjuntos
A (20, 30, 40, 50)
B (40, 50, 60, 70)
C (20, 40, 60, 90, 120)A unión B A unión C
B unión C A unión B unión C
A intersección B A intersección C
80
B intersección C A intersección B intersección C
LEY ADITIVA DE LA PROBABILIDAD
Es la probabilidad de que ocurra uno de los dos sucesos A ó B, es igual a la suma de las probabilidades de que ocurra cada uno de ellos.
La formula que se utiliza es.
P = (A ó B) = P(A) + P(B)
Calcula la probabilidad de sacar un múltiplo de 2 o un 3 al lanzar un dado de seis caras
DATOS Y OPERACIONES GRAFICA
E (
A (
B (
Calcula la probabilidad de sacar un número múltiplo de de 2 o un número múltiplo de 3 al tirar un dado de 8 caras.
DATOS Y OPERACIONES GRAFICA
E (
A (
B (
81
LEY MULTUPLICATIVA DE LAS PROBABILIDADES
¿Cuál es la altura de un poste de luz, que tiene un tirante de 4.5 m, y unas distancia desde la base al tirante de 3.25 m?
PLANTEAMIENTO Y DESARROLLO GRAFICA RESPUESTA AL PROBLEMA
Un ingeniero quiere saber cuántos metros de material va a comprar para instalar 4 tirantes para sostener una torre de telecomunicaciones de 17 m de altura, si desde la base de la torre a la base de los tirantes es de 9 m.
PLANTEAMIENTO Y DESARROLLO GRAFICA RESPUESTA AL PROBLEMA
82