Control Analógico I - Isidro Lázaro...Control Analógico I OBJETIVO Y JUSTIFICACION: El i l didá...

Control Analógico Ig

OBJETIVO Y JUSTIFICACION:El i l didá i i fi lid d i El presente material didáctico tiene como finalidad proporcionar una herramienta de apoyo didáctico para la enseñanza del Control Analógico I, en donde al estudiante de la asignatura mencionada se le muestra un panorama completo de los i t d t l ló i El t i l didá ti t dsistemas de control analógico. El material didáctico presentado

sirve de apoyo para las unidades I, II, III, IV y V que constituyen el programa completo de la materia de Control Analógico I, la cual es impartida en los tres programas que ofrece la Facultad de I i í Elé t i I i Elé t i I i í El t ó iIngeniería Eléctrica Ingeniera Eléctrica, Ingeniería Electrónica e Ingeniería en Computación. El material abarca desde la evolución de la Teoría de Control, terminología básica, diferencias entre sistemas de lazo abierto y cerrado, el modelado d i t li l t t it i t bilid d l di ñde sistemas lineales, respuesta transitoria, estabilidad y el diseño del control y su correspondiente sintonización. El material presenta diversas ilustraciones que permiten al estudiante comprender más fácilmente las diversas temáticas tratadas.

CONTROL ANALÓGICO I

INTRODUCCIÓN A LOS SISTEMAS DE CONTROLCONTROL

M.I. ISIDRO I. LÁZARO CASTILLOM.I. ISIDRO I. LÁZARO CASTILLO

La NASA prepara ya el primer viaje tripulado a Martetripulado a Marte

"Nuestra experiencia nos ha dado la base para comenzar a dar forma a la capacidad vinculada con la preparación espacial que se necesita para crear una presencia permanente en la Luna y (para lospermanente en la Luna y (para los viajes) a Marte"

El proyecto contempla el viaje tripulado a Marte y la presenciaEl proyecto contempla el viaje tripulado a Marte y la presencia "permanente" en la Luna... aunque tendremos que esperar unas décadasEn el primer paso del proyecto, la agencia espacial estadounidense anunció que ha asignado a diez centros de investigación y laboratorios la preparación de los sistemas con que contarán sus nuevas naves.

http://www youtube com/watch?v=9pi19s 9unYhttp://www.youtube.com/watch?v=9pi19s-9unY

RETOS DEL FUTURO

REVISIÓN HISTORICA

PERIODO DEL ARTE (HASTA 1900) PERIODO DEL ARTE (HASTA 1900) PERIODO PRE-CLÁSICO (1900-1940)

PERIODO CLÁSICO (1935 1960) PERIODO CLÁSICO (1935-1960) CONTROL MODERNO (1955-)

INICIOS DEL CONTROLINICIOS DEL CONTROLSE CARACTERIZA POR QUE LOS AVANCES SE HICIERON

EN BASE AL ARTE E INTUICIÓN SIN LA APLICACIÓNEN BASE AL ARTE E INTUICIÓN , SIN LA APLICACIÓN DE LA TEORÍA

RELOJ DE AGUA DE KTESIBIOS 270 A.C

Libro de pneumáticap

Herón de Alejandría publicó un libro donde se describen varios

mecanismos de nivel de agua con reguladores de flotador.

Medidor de tiempo

La Fuente mágica de Herón de Alejandría

DISPOSITIVO DE HERÓN(apertura de puertas)(apertura de puertas)

Simulación del dispositivo de Herónp

Trabajos de Cornelis Drebbelj

El trabajo más significativo de Cornelius El trabajo más significativo de Cornelius Drebbel fue el primer submarino útilen 1620 donde también utilizó sistemasen 1620, donde también utilizó sistemas realimentados.

Incubadora de Drebbel

Drebbel también inventó una incubadora de pollos con un termostato de mercurio que permitía mantener la temperatura constante.

Se trata del primer sistema con controlador del que se tiene

constancia.

REGULADOR DE VELOCIDAD

JAMES WATT 1778 JAMES WATT, 1778

Cilindro de potenciap

Aceite a presión

Motor CargaVálvula piloto

Cierra

Combustible

Válvula de control

http://www.youtube.com/watch?v=le_AQursCLk&feature=related

http://www.youtube.com/watch?v=uxTA3KTpuxk

Transporte subterráneo de Londres 1890 Transporte subterráneo de Londres 1890 (J. H. Greathead).

OTROS HECHOS RELEVANTES

AñoHecho relevante

1789 Surgen gobernadores típicos patentados por William Siemens con una sustitución de acción1789 Surgen gobernadores típicos patentados por William Siemens, con una sustitución de acciónintegral por la proporcional, produciendo reguladores con puntos de operación flotantes.

1826-1836 J. V. Poncelet publica artículos en donde se mostraba la dinámica de los reguladores empleandoecuaciones diferenciales, pero encontraron dificultades para determinar las condiciones deestabilidadestabilidad.

1862 Thomas Pickering y William Harthell inventaron un regulador de alta velocidad físicamente máspequeño que el de James Watt.

1868 James Clerk Maxwell publica el artículo “On Governor”, en el cual describe como derivar lasecuaciones diferenciales de varios reguladores. Además muestra que mediante el análisis de loscoeficientes de las ecuaciones diferenciales de segundo, tercero y cuarto orden se puededeterminar la estabilidad del sistema.

1874 Edgard J. Routh retoma los trabajos de Maxwell y publica su artículo “Tratado sobre laestabilidad de un estado de movimiento dado”, el cual contiene lo que ahora conocemos como elcriterio de estabilidad de Routh-Hurwitz.

1895 Adolf Hurwitz resolvía el problema de la estabilidad de sistemas lineales en términos de unconjunto de determinantes.

PERIODO PRE-CLÁSICO

Había falta de entendimiento teórico con Había falta de entendimiento teórico con el lenguaje no común para discutir los problemasproblemas.

No había análisis simples ni métodos de diseñodiseño.

HECHOS RELEVANTESAño

Hecho relevante

1913 Henry Ford mecanizó el ensamble de la producción de automóviles1913 Henry Ford mecanizó el ensamble de la producción de automóviles.

1922 Nicholas Minorsky presentó un claro análisis de los sistemas de control de posición y formuló la ley decontrol que hoy se conoce como control PID y propuso un modelo matemático para describir el controlde barcos.

1928 Mason desarrolló un amplificador neumático retroalimentado negativamente; él comenzóexperimentando con retroalimentación con parte de la salida del amplificador y produjo un circuitoretroalimentado que linealizó la operación de la válvula.

1932 Harry Nyquist propuso una solución al análisis de los sistemas de amplificación retroalimentados basadoen la forma de la respuesta de la frecuencia de la ganancia en lazo abierto.

1934 Harold S. Black inventa el amplificador retroalimentado ante la necesidad de fomentar la telefonía alarga distancia compensando las pérdidas en los cables de transmisión.

1934 Harold Locked Hazen publica el artículo “Theory of Servomechanism”, en donde se introduce porp y f , pprimera vez el término servomecanismo.

Trabajos de Minorskyj y

Control de dirección de un barco Control de dirección de un barco

PERIODO CLÁSICO

Ocurrieron adelantos en comprensión y p yanálisis de sistemas de control, surgiendo varios grupos de trabajo en varios países.

El mejor trabajo conocido vino de tres grupos El mejor trabajo conocido vino de tres grupos formados en los EE.UU, aunque el desarrollo de la teoría de control en EE.UU, y Europa Occidental fue algo diferente al desarrolladoOccidental fue algo diferente al desarrollado en Europa del Este y en Rusia, derivado del trabajo de Vyschnegndsky en Rusia y del trabajo de Barkhausen en Alemania seguidotrabajo de Barkhausen en Alemania, seguido por desarrollos de Cremer, Leonhard y Mikhailov.

En 1940 Hendrik Bode quien había En 1940 Hendrik Bode, quien había estudiado extensamente los métodos de diseño en el dominio de la frecuenciadiseño en el dominio de la frecuencia.

En 1942, J. G. Ziegler y N. B. Nichols, propusieron unas fórmulas empíricaspropusieron unas fórmulas empíricas para sintonizar las ganancias de los controladores PI y PIDcontroladores PI y PID.

En 1948, Walter R. Evans mientras En 1948, Walter R. Evans mientras trabajaba en el campo de guía y control de aviones para la industria de la paviación Americana del Norte.

Desarrollo el método del lugar de las raíces para determinar la estabilidad de plos sistemas lineales de una sola entrada.

OTROS HECHOSAño

Hecho relevante

1941 El ruso A. N. Kolmogorov desarrolla la teoría de procesos estocásticos estacionarios en tiempo discreto.

1945 H. Bode publica lo resultados de su trabajo en su libro “Network análisis and Feedback amplifier Design”

1946 La escuela de Moore de Ingeniería Eléctrica de la Universidad de Pennsylvania desarrolla la ENIAC(Electronic Numerical and Automatic Calculator), primera computadora capaz de integrar un sistema deecuaciones diferenciales ordinarias.

1947 James, Nichols y Phillips publican el desarrollo completo de técnicas para el diseño de servomecanismos.

1947 Un C-54 atravesó el Atlántico sin que un ser humano tocara los mandos desde el despegue hasta elaterrizaje. El avión fue controlado por el piloto automático propuesto por Sperry.

1938 Hendrik Bode utilizó la magnitud y la fase de la gráficas de respuesta a la frecuencia de una funcióncompleja para investigar la estabilidad en lazo cerrado usando conceptos de margen de fase y margen deganancia.

CONTROL MODERNO

Conforme las plantas modernas con Conforme las plantas modernas con muchas entradas y salidas se vuelven más y más complejas la descripción demás y más complejas, la descripción de un sistema de control moderno requiere una gran cantidad de ecuacionesuna gran cantidad de ecuaciones.

CONTROL MODERNO La trayectoria del crecimiento estaba

d t i d did d f tdeterminada en gran medida por dos factores: a) El problema planteado por el gobierno para el

lanzamiento y guía de misiles además de lalanzamiento y guía de misiles, además de la operación de vehículos espaciales.

b) La llegada de la computadora digital.

CONTROL MODERNO

Desde 1960 debido a que la Desde 1960, debido a que ladisponibilidad de las computadorasdigitales hizo posible el análisis en eldigitales hizo posible el análisis en eldominio del tiempo de sistemascomplejoscomplejos

Computadora Analógica Computadora Analógica

Nordsieck Differencial Analyzer, 1956

ENIAC Universidad de pennsylvania ENIAC, Universidad de pennsylvania, 1945

UNIVAC 1955 UNIVAC, 1955

INSTRUMENTACIÓN Y CONTROL DIGITALDIGITAL

PID ANALÓGICO

PID DIGITAL

El diseño y la implementación de sistemasEl diseño y la implementación de sistemasprácticos fue mucho más fuertementeinfluenciado a través de “el reemplazarlos tubos electrónicos por semiconductorestales como los diodos y transistores.”y

Control óptimo tanto de sistemas Control óptimo, tanto de sistemas determinísticos como estocásticos

1970 Control adaptable 1970- Control adaptable De 1980 hasta la fecha, los

d b i i t l t í d t ldescubrimientos en la teoría de control moderna se centran en el control

b t l t l d Hrobusto, el control de H∞ . Control Fuzzy

TERMINOLOGÍA

Objetivos Resultados

Sistema de Controlj

Entradas o referenciasSalidas o variables controladas

Pl ( i l )Planta (sistema a controlar)ControladorActuadoresTransductoresD d Detector de error

DefinicionesDefiniciones Sistema. Se emplea para describir a un conjunto de componentes que

interactúan con el fin de realizar un objetivo determinado Existen interactúan, con el fin de realizar un objetivo determinado. Existen diversos tipos: físicos, químicos, biológicos, etc.

Variable controlada. Es la salida del sistema, es decir la variable que se mide y controla se mide y controla.

Variable manipulada. cantidad o condición que el controlador modifica para afectar el valor de la variable controlada.

Planta. Se refiere a cualquier objeto, proceso, máquina o entidad dinámica que se va a controlar, esta puede ser de diferentes tipos, por ejemplo:Fí i hí l b i i l h Físicos.- vehículos, robots, mecanismos, naves espaciales, hornos, motores, etc.Industriales.- refinerías, procesamiento de metales, manufactura de semiconductores, etc.Bi ló i l i l h Biológicos.- plantas, animales, humanos.

Proceso. Cualquier operación que deba controlarse. Además, existen varios tipos de procesos tales como: químicos, físicos, biológicos, económicos, etc.

Perturbación. Señal no deseada que tiende a afectar el comportamiento de una planta. Si la perturbación se genera dentro del sistema se denomina interna en tanto que una perturbación del sistema se denomina interna, en tanto que una perturbación externa se produce fuera del sistema y representa una entrada.

Controlador. Este genera la entrada de control que se aplicará a la

planta.

Salidas. En general, las salidas describen el Salidas. En general, las salidas describen el estado de operación de la planta que está siendo controlada.

Tipos de sistemas:p - SISO (Single-input Single-Output): Simple

Entrada Simple Salida. - MIMO (Multi-Input Multi-Output): Múltiple

Entrada Múltiple Salida.

Sensores Dispositivo o elemento utilizado Sensores. Dispositivo o elemento utilizado para determinar una cantidad física, generalmente son empleados para medir elgeneralmente son empleados para medir el comportamiento de una planta a través de sus salidas.

Sensor de presión sensor de carga sensor de nivel

Sistemas de control realimentado Es Sistemas de control realimentado. Es aquel que tiende a mantener una relación preestablecida entre la salida yrelación preestablecida entre la salida y la entrada de referencia, comparándolas y usando la diferencia como medio dey usando la diferencia como medio de control.

CLASIFICACIÓN DE LOS SISTEMAS

Sistemas de control de lazo abierto Sistemas de control de lazo abierto.En este, la salida no tiene efecto sobre la acción de controlla acción de control.

Control Planta

Entrada Salida

Ejemplos

Lavadora Lavadora

Cafetera Cafetera

Planchadora Planchadora

Tostador

Sistemas de Lazo cerrado

En este tipo de sistema la señal de En este tipo de sistema la señal de salida se compara con la entrada y la señal de error producido se aplica alseñal de error producido se aplica al controlador con el fin de reducir el error y llevar la salida del sistema al valory llevar la salida del sistema al valor deseado.

+Referencia

Error de retroalimentación

Salidal d

-controlador planta

sensor

Ejemplos

Sistema de control de nivel de líquido Sistema de control de nivel de líquido.

Sistema térmico con retroalimentación Sistema térmico con retroalimentación manual.

Termómetro

Agua caliente

DrenajeAgua fría

Ejemplos de sistemas retroalimentadosretroalimentados

Planta armadora de autos Planta armadora de autos

Dosificación y embalaje Dosificación y embalaje

Proceso general de la generación del papelpapel

Ventajas y desventajasj y j

La precisión de los sistemas de lazo abierto pdepende directamente del conocimiento de la planta para lograr una calibración adecuada del controladordel controlador.

Los sistemas de lazo abierto no presentan problemas de inestabilidadproblemas de inestabilidad.

El diseño apropiado de los sistemas de lazo cerrado generalmente incrementan la precisión por esta razón su funcionamiento es conforme al valor deseado.

Una ventaja del control de lazo cerrado Una ventaja del control de lazo cerrado es que es relativamente insensible a las perturbaciones externas y a lasperturbaciones externas y a las variaciones internas de parámetros del sistemasistema.

Si un sistema de lazo cerrado no esta bien diseñado este puede tender haciabien diseñado, este puede tender hacia la inestabilidad.

Técnicas de proyecto de diseñoSistema a controlar

Establecer especificaciones

Modelomatemático

Análisis y validación del modelo

Cumple ?

Diseño del controlador y análisis del comportamiento

Cumple ?

Desarrollo

Procedimiento

Establecer especificaciones del sistema Establecer especificaciones del sistema. Obtener el modelo del sistema.

A áli i lid ió d l d l Análisis y validación del modelo. Diseño del controlador Análisis del comportamiento del sistema

Referencias

1.- Bennett S., A brief History of Automatic Control, IEEE Control Systems Vol 16 No 3 pp 17 25 June 1996Systems, Vol. 16, No. 3, pp. 17-25, June 1996.

2.- Dorf B, Sistemas de Control Moderno, Pearson Prentice Hall, 10ª edición, 2005.

3.- Nise S. N., Control Systems Engineering, John Wiley & Sons, 4th Edition 2004Edition, 2004.

4.- Navarro R, Ingeniería de Control Analógica y Digital, McGraw Hill, 1ra Edición, 2004.

5.- Ogata K., Ingeniería de Control Moderno, Pearson Prentice Hall, 4tª edición 2003edición, 2003.

6.- Sinha N. K., Control Systems, John Wiley & Sons, 2nd Edition, 1994. 7.- Masten M. K., Aström K. J., Lewis L. F., Modern Control Systems an

IEEE/EAB Self-Study Course, IEEE, 1995.8 F kli F G P ll J D E i N i i A C t l d Si t 8.- Franklin F. Gene, Powell J. D., Emami-Naeini A., Control de Sistemas Dinámicos con Retroalimentación, Addison-Wesley Iberoamericana, 1ra Edición, 1991.

MODELADO MATEMÁTICOS DE SISTEMAS DE CONTROLUnidad IIUnidad II

FUNCION DE TRANSFERENCIA

La función de transferencia de un sistema se define como la relación entre la t f d d L l d l i bl d lid l t f d d L l transformada de Laplace de la variable de salida y la transformada de Laplace de la variable de entrada, suponiendo que todas las condiciones iniciales se

hacen igual a cero.

L( ) ( )L( ) ( )

y Y su U s

...( )( ) ...

m mm m

n nn n

b s b s bY s n mU s a s a s a

Dominio del tiempo Dominio de la frecuencia

Ec. Diferencial Ec. Algebraica

¿Por qué Transformada de Laplace? De hecho, la transformada de Laplace

Laplace?, p

permite resolver ecuaciones diferenciales lineales mediante la transformación en ecuaciones algebraicas con lo cual se facilita ecuaciones algebraicas con lo cual se facilita su estudio.

Una vez que se ha estudiado el comportamiento de los sistemas dinámicos, se puede proceder a diseñar y analizar los sistemas de control de manera simple.

OBTENCIÓN DE F.T DE SISTEMASSISTEMAS

Considere un circuito eléctrico RC de la figura 2.3, aplique las leyes de voltajes d ki hh ff bt l ió dif i l i l di á i d l de kirchhoff para obtener la ecuación diferencial que rige la dinámica del sistema y a partir de esta determine la función de transferencia del circuito

considerando como salida Vo(t) y como entrada Vi(t).

Ci(t) Vo(t)+

Vi (t)

C( ) o( )

Aplicando la ley de voltajes de KirchhoffAplicando la ley de voltajes de Kirchhoff

0( ) ( ) ( ) 0iV t i t R V t

Además

01( ) ( )V t i t dtC

0 ( )( ) dV ti t Cdt

Sustituyendo las ecuaciones anteriores en la primera

( )( ) ( ) 0 idV tV t RC V t

( )dV t00

( ) ( ) ( ) idV tRC V t V t

Aplicando L Aplicando

0 0( ) ( ) ( ) iE s RCsE s E s

0 ( ) 1E s

Factorizando y reacomodando

( ) 1iE s RCs

Obsérvese que el polo del sistema está localizado en.

Diagramas de bloquesg q

Esta representación gráfica permite Esta representación gráfica permite describir de manera clara el funcionamiento de un sistema real funcionamiento de un sistema real (amplificadores, control de motores, circuitos eléctricos servomecanismo circuitos eléctricos, servomecanismo, hornos, etc.), debido a que muestra como se realiza el flujo de señales como se realiza el flujo de señales dentro del mismo.

Elementos básicos

Punto de suma: Indica la suma o resta de señales. Puntos de toma o derivación: Se emplea para indicar que alguna

señal sale a diferentes lugares.

+ +C(s)R(s)

R1(s) Y(s)

C(s)=R1(s)+ R2(s)-R3(s) Y(s)

a) b) c)

a) diagrama de bloque b) punto de suma c) punto de toma

Reglas para reducir diagramas de bloquesbloques Una regla para simplificar un diagrama de bloques

i t d l l t d t h i l consiste en desplazar los puntos de toma hacia la salida y los puntos de suma hacia la entrada e ir reduciendo los lazos internos de retroalimentación aplicando las reglas de las tablas siguientesaplicando las reglas de las tablas siguientes.

En toda simplificación de diagrama de bloques se deben li l i i l bá icumplir las siguientes reglas básicas.

El producto de F.T. a lo largo de un trayecto desde la entrada hasta la salida (siguiendo el sentido de las fl h ) d b t tflechas) debe permanecer constante.

El producto de F.T. a lo largo de un lazo también debe permanecer constante.

Ejemploj p

Reduzca el diagrama de bloques mostrado en la figura ( )( )

Y sR s

Reduzca el diagrama de bloques mostrado en la figura y obtenga la función de transferencia

1( )G s 2 ( )G s 3 ( )G s

2 ( )H s

- -1( )G s 2 ( ) 3( )

1( )H s

Usando regla 6 Usando regla 6

2 ( )H s

Y(s)R(s)

1( )G s 2 ( )G s 3 ( )G s-

1( )G s 1( )H s

Ahora a partir de la regla 9 y 4 obtenemos el sistema mostrado Ahora a partir de la regla 9 y 4 obtenemos el sistema mostrado

Y(s)R(s) + +-

2 ( )H s3

1( )G s

( )( )

H sG s

1 2( ) ( )G s G s3 ( )G s

De igual forma usando la regla 4 al esquema de la figura obtenemos

( )( )

H sG s

Y(s)R(s) +

( )( )

H sG s

1 2 3( ) ( ) ( )G s G s G s

Por regla 13 y 2 aplicada a la figura obtenemos

Y(s)R(s) + +-

( )( )

H sG s

1 2 3( ) ( ) ( )G s G s G s

1 2 31

( )1 ( ) ( ) ( )( )

H sG s G s G sG s

Si lifi d í l 13 l i t d l fi ll l Simplificando vía regla 13 el sistema de la figura llegamos al esquema mostrado

1 2 3( ) ( ) ( )G s G s G sY(s)R(s) +

1 2 3 2

2 3 1 3

( ) ( ) ( )1 ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

1 ( ) ( ) ( ) ( )

G s G s H sG s G s G s H sG s G s H s G s

Simplificando Simplificando

Y(s)R(s)1 2 3

2 3 1 1 2 2 1 2 3

( ) ( ) ( )1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

G s G s G sG s G s H s G s G s H s G s G s G s

MATRIZ DE TRANSFERENCIA

Para un sistema MIMO, se tienen r entradas u1, u2,.., ur y m lid d fi id

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )

y t u ty t u t

y t U t

salidas y1, y2,…,ym definidos como

( ) ( )

y t U t

y t u t

La matriz de transferencia G(s) relaciona la salida Y(s) con

( ) ( ) ( )Y s G s U sla entrada U(s), o sea

DondeU(s) vector de entradas de orden rY(s) vector de salida de orden m G(s) matriz de transferencia de orden mxrG(s) matriz de transferencia de orden mxr

EJEMPLO DE SISTEMA MIMO

SISTEMA DE SUSPENSION DE UN SISTEMA DE SUSPENSION DE UN AUTOBUS

x1(t)M1Auto

Sistemade suspensión

Elasticidad de la llanta

Masa de lasuspensión

f(t)K2

Modelos matemáticos de sistemas físicos y conceptos de no linealidadesno linealidades

Durante el proceso de diseño de control Durante el proceso de diseño de control hay que resolver la siguiente disyuntiva.

Simplicidad vs. Exactitud

Se debe establecer un compromiso Se debe establecer un compromiso entre la simplicidad y la exactitud en el resultado del análisisresultado del análisis.

Al plantear un modelo matemático Al plantear un modelo matemático debemos decidir entre:

Lineal vs No lineal Lineal vs No lineal

K depende de x

Ventajas de la linealidadj

Aplicación del principio de Aplicación del principio de superposición.

u(t)u(t)

u1(t)Ku1(t)

u2(t)u2(t) y2(t)

y(t)=y1(t)+y2(t)

Ejemplo de no linealidadesj p

y(t) y(t) y(t) y(t)

u(t) u(t) u(t)

a) Saturación

b) Saturación de amplificador

c) Zona muerta d) On- Off

Sistemas con parámetros concentrados Sistemas con parámetros concentrados vs distribuidos

Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo vs Sistemas Lineales Variantes en el TiempoLineales Variantes en el Tiempo

SLIT SLVTSLIT SLVT

Clasificación de los sistemas de controlcontrol

Incrementa la facilidad de análisis Incremento de realismo

Estocásticos Dinámicos

EstocásticosDeterminísticos

Parámetros concentrados Parámetros distribuidos

Lineales No linealesLineales No lineales

Coeficientes constantes Coeficientes variables

SLIT SLVT

Continuo Discreto

Primer orden Segundo ordenOrden n

Sistemas acoplados

Modelado de Sistemas de nivel de líquidolíquido

( )( ) ( )i o

dh tq t q t Cdt

( )( )

( )( ) ( )

h tRq t

1 ( )( ) ( )i

dh tq t h t CR dt

Sistemas de nível de líquidoq

1 ( )( ) ( )

dh th C1

Aplicando la transformada de Laplace

( )( ) ( )i

dh tq t h t CR dt

1( ) ( ) ( )Qi s H s CsH s

( ) ( )( )

Qi s H s CsR

( )( )i

H s RQ s CRsCs

Modelado de sistemas eléctricos

Las leyes básicas que rigen los circuitos eléctricos son las leyes de corriente y voltaje de kirchhoff. Los elementos de un circuito incluyen resistores, capacitares, inductores, fuentes de voltaje y de corriente. Para obtener la función de transferencia de los circuitos eléctricos es

conveniente tratar los elementos pasivos como impedancias complejas.

Componente Voltaje Corriente Impedancia Admitancia

C1( ) ( )

i d( )( ) dv ti t C 1

LiL( )( ) di tV t L

1( ) ( )t

i t v t dtL

Ls 1Ls

p j pZ(s) Y(s)

+ Vc - 0

( ) ( )v t i t dtC

( )( )i t C

R( ) ( )v t Ri t

( )( ) v ti tR

R 1 GR

EJEMPLO DE MODELADO DE CIRCUITOS ELÉCTRICOSCIRCUITOS ELÉCTRICOS

Encontrar la función de transferencia Encontrar la función de transferencia para el circuito mostrado en la figura.

RLiL R

Vi(t)+

-V0(t)+

Transformando los elementos en impedancias complejas

LI( ) R0

1( )V s CsLsI(s)

Vi(s)+

-V0(s)+

1( )iV s R LsCs

0 ( ) 1

Simplificando

2( ) 1

iV s LCs RCs

Sistemas mecánicos

Los sistemas mecánicos son aquellos que están compuestos por masas que al aplicárseles una fuerza se ponen en movimiento, dos elementos adicionales como son el resorte y el amortiguador, son empleados en estos sistemas para

l f d ió l f i ió d representar los efectos de torsión y la fricción que puede presentarse.

Algunos ejemplos de estos sistemas son: Grúas, Sistemas de suspensión de automóviles, Servomecanismos Brazos manipuladores

Sistemas de posición, etc.

Modelado de sistema mecánicos

Sistema de suspensión de un Sistema de suspensión de un automóvil

( ) ( )( ) ( ) v

dx t d x tf t Kx t f mdt dt

Modelado cont.

A li d l t f d d L l d té i

( ) ( )

( ) - ( ) - vdx t d x tf t Kx t f mdt dt

Aplicando la transformada de Laplace a cada término(considerando condiciones iniciales igual a cero)

( ) ( ) ( ) ( )F KX f X X2

( ) - ( ) - ( ) ( )

( ) ( )v

F s KX s f sX s ms X s

F s X s ms f s K

( )( ) v

X sF s ms f s K

Modelado usando impedancias mecánicasmecánicas

En general los sistemas de control contienen componentes tanto mecánicos como eléctricos. Desde el punto de vista de su modelo matemático, la descripción de los elementos mecánicos y eléctricos es análoga.

( )( )

F sX s

2( ) d xf t Mdt

Impedancia

Es la propiedad que tiene unelemento para almacenar energía cinética debido a su

Componente Definición Relación

Su análogo es la inductancia

Resorte

x(t) ( ) ( )f t Kx t K

energía cinética debido a su movimiento de traslación.

Es un elemento que tiene la propiedad de almacenar energía potencial, su análogo es un capacitor.

( )( ) vdx tf t f

Este elemento representa la fuerza de fricción viscosa entre una fuerza aplicada y la velocidad.

Amortiguador

Considera el sistema masa-resorte-fricción mostrado en la figura, donde K es la constante del resorte, fv la fricción viscosa y M la masa

del cuerpo. Obtenga la función de transferencia y .( )( )

X sF s

( )( )

V sF s

M f(t)

M f(t)fv

Aplicando el concepto de las impedancias mecánicas bajoAplicando el concepto de las impedancias mecánicas bajola siguiente estructura:

Suma de impedancias mecanicas Suma de fuerzas aplicadasX s

De aquí, tenemos:

2( ) ( ) vF s X s Ms K f s

De aquí, tenemos:

( ) 1( ) v

X sF s Ms f s K

Para el caso de dos grados de libertad:

Suma de impedancias mecánicas Suma de impedancias mecánica mutuas conectadas al movimiento de x entre x y x

Suma de impedancias mecánica mutuas Suma de impedancias meentre x y x

Suma de fuerzasaplicadas a x

Suma de fuerzas cánicas aplicadas a xconectadas al movimiento de x

Modelado de sistemas mecánicos rotacionalesrotacionales

En el caso de los sistemas mecánicos de rotación, los cuerpos experimentan un movimiento de rotación en lugar de uno de

traslación. Estos sistemas tienen como elementos los mostrados

( )( )

T( )t (t)

( )( ) d tT t Jdt

Impedancia Componente Definición Relación

Es la propiedad que tiene un elemento de almacenar energía cinética del movimiento de rotación.

Inercia

T( )t (t)

Resorte torsional

( ) ( )T t K t K

Es un elemento que representa la torsión de una varilla o eje cuando está sometido a un par aplicado.

torsional

( )( ) vd tT t f

T( )t (t)

Este elemento representa la fuerza de fricción viscosa entre el par aplicado y la velocidad angular.

Amortiguadorv

Modelado de sistemas mecánicos rotacionalesrotacionales

Una de las herramientas básicas que se utilizan para describir l di á i d l i á i i l lla dinámica de los sistemas mecánicos rotacionales son las leyes de Newton, la cual establece que: “La suma algebraica de los momentos o pares aplicados alrededor de un eje fijo es igual al producto de la inercia por la aceleración angularigual al producto de la inercia por la aceleración angular alrededor del eje”. Esto puede expresarse mediante la siguiente ecuación.

Donde J es la inercia

Pares J

es la aceleración angular

Ejemploj p

La figura muestra la representación de un motor que está sujeto a una flecha óflexible, la fricción de los cojinetes se representa por medio de una constante.

Determinar la función de transferencia .T ( )m (t)mT

Cojinetes

primero se realiza una representación esquemática del mismo, empleando los elementos de la tabla

T ( )m t (t)

Ejemploj p

El análisis del sistema de la figura se El análisis del sistema de la figura se realiza a partir del diagrama de cuerpo librelibre.

2J 2( ) ( )m v mT s K s f s s J s s

Aplicando suma de pares

T ( )m s 2mJ s s

vf s sJm

Obteniendo la F.T.

K s 2 ( )m v mJ s f s K s T s

Suma de impedancias mecánicas

Suma de pares aplicados

Se observa que

Suma de pares aplicadosconectadas al movimiento en s

Tren de engranesg

Cuando se utilizan sistemas mecánicos rotacionales tales como motores o generadores, es común que se presente la necesidad de requerir un par diferente al que se genera para aplicarlo a la carga, en esta

situación suelen emplearse los trenes de engranes.

2 1 1( )t r N

1 2 2( )t r N

2 1 2( ) ( )( ) ( )

T t t NT t t N

1 2 1( ) ( )T t t N

N2 ( )T t

1( )T tN1

N1 ( )t 2 ( )tN1

1( )N2

1 ( ) 2 ( )

Modelado de un Motor de CD

Para un motor de CD controlado por armadura como el mostrado en la

figura.

Considerando los siguientes parámetros para el motor:

i ( )t

g p pia Corriente de armadura (Amp)Ra Resistencia de armadura ()eb(t) Fuerza contraelectromotriz (Volts)T(t) Par del motor(t) Desplazamiento del Motor (Rad)

(t)T(t)

Va(t) eb

Ka Constante del Par (N-m/Amp)La Inductancia de la armadura (Henrios)Va(t) Voltaje aplicado en la armadura (Volts)Kb(t) Constante de la fuerza electromotriz (V/rad/seg)

Velocidad angular del motor (rad/seg)

t Flujo magnético en el entrehierro (Webers)J Inercia del motor (Kg-m2)f Coeficiente de fricción viscosa (N-m-s/rad)

Modelado de la parte eléctrica.Por ley de voltajes de kirchhoff al circuito de armadura tenemos

( )( ) ( ) ( ) 0aa a a a b

di tV t R i t L e tdt

( )( ) ( ) ( )adi tV t R i t L e t( )( ) ( ) ( )a

a a a a bV t R i t L e tdt

Relación eléctrica-mecánica.La fuerza contraelectromotriz eb(t) se relaciona con la velocidad con la ecuación

( ) ( )b be t K tel par desarrollado por el motor depende de la corriente de armadura y del flujo en el entrehierro.

( ) ( ) ( )t aT t K t i t

( )T K i t

Si consideramos que el flujo magnético es constante

( )a aT K i t

Modelado de la parte mecánica.En un motor de CD controlado por armadura el par producido está dado por

2( ) ( )( ) d t d tT t f Jdt dt

Si id l l id d lid

( )( ) d ttdt

Si consideramos la velocidad como salida

( )( ) ( ) d tT t f t Jdt

entonces

Aplicando la transformada de Laplace a las ecuaciones Aplicando la transformada de Laplace a las ecuaciones

( ) ( ) ( ) ( )a a a a b aR I s L sI s E s V s Ia(s)

Las+Ra

Va(s) 1

( ) ( )b bE s K s Ka

Ia(s) T(s)

( ) ( )a aT s K I s T(s) (s)

( ) ( ) ( )T s Js s f s Eb(s) (s)Kb

Representación en diagrama de bloquesp g q

Ia(s)Va(s) +Las+Ra

T(s) (s)

-Eb(s)

Simplificando

( ) Ks

( )( )

a a a a b

KsV s L s R Js f K K

Referencias

1.- Nise S. N., Control Systems Engineering, John Wiley & Sons, 4th Edition 2004Edition, 2004.

2.- Dorf B, Sistemas de Control Moderno, Pearson Prentice Hall, 10ª Edición, 2005.

3.- Navarro R, Ingeniería de Control Analógica y Digital, McGraw Hill, 1ra Edición 2004Edición, 2004.

4.- Ogata K., Ingeniería de Control Moderno, Pearson Prentice Hall, 4tª Edición, 2003.

5.- Sinha N. K., Control Systems, John Wiley & Sons, 2nd Edition, 1994.6 L i P H & Y C Si t d C t l I i í 1 6.- Lewis P. H. & Yang C., Sistemas de Control en Ingeniería,1ra Edición, Prentice Hall, 1999.

7.- D´azzo J. J., Sistemas Retroalimentados de Control, 4a edición, Paraninfo, 1989.8 K C B Si t d C t l A t áti Sé ti Edi ió 8.- Kuo C. B, Sistemas de Control Automático, Séptima Edición, Prentice Hall, 1996.

9.- Phillips L. Ch., Harbor R. D., Feedback Control Systems, Third Edition, Prentice Hall, 1996.

ANÁLISIS DE RESPUESTATRANSITORIACapítulo III

INTRODUCCIÓN

Al modelar un sistema lineal e invarianteen el tiempo, el ingeniero de controlemplea esta información con objeto deanalizar la respuesta transitoria y deestado estable, a fin de ver si estascaracterísticas cumplen elcomportamiento deseado.

SEÑALES DE PRUEBA TÍPICAS

Las señales de entrada más comunes son:

•Función escalón•Función rampa•Función aceleración o parabólica•Función impulso•Función senoidal

Las señales de entrada más comunes son:

•Función escalón•Función rampa•Función aceleración o parabólica•Función impulso•Función senoidal

RESPUESTA AL ESCALÓN DESISTEMAS DE PRIMER ORDEN

Para obtener la respuesta de un sistemade primer orden ante una entrada escalón,se considerará el sistema mostrado en lafigura.

+ KE(s)

R(s)Y(s)

sKR(s)

CONTINUAEl cual muestra la función de transferencia del mismo.

( )( ) 1Y s KR s s

Aplicando una entrada escalón unitario ( ) al sistema (3.2),obtenemos (3.3)

1( )R ss

Aplicando una entrada escalón unitario ( ) al sistema (3.2),obtenemos (3.3)

1( )R ss

KY ss s

Desarrollando en fracciones parciales, tenemos

1( )1 1

K A BY ss s s s

CONTINUACalculando cada una de las constantes, mediante la fórmula deHeaveside, obtenemos

KA s Ks s

KB s Ks s

Por lo quePor lo que

K KY ss s

Finalmente para encontrar la respuesta en el tiempo aplicamos latransformada inversa de Laplace

-1 ( ) 1K KY ss s

CONTINUA

Y t K Ke

Donde:K es la ganancia de CDes la constante de tiempo en seg

Para el caso en el que K=1, la ecuación (3.9) se reduce a

Donde:K es la ganancia de CDes la constante de tiempo en seg

Para el caso en el que K=1, la ecuación (3.9) se reduce a

( ) 1t

Obsérvese que para el caso de la ecuación (3.9), se tiene que

t = 0 Y(t) 0 (valor inicial)t = K Y(t) 1 (valor final)

Un sistema de primer orden se caracteriza por dos parámetros: laganancia de CD y su constante de tiempo .

CONSTANTE DE TIEMPO

Respuesta al escalón de un sistema deprimer orden.

Pendiente1

0( )( ) 1Y s KR s s

Respuesta al escalón de un sistema deprimer orden.

2 3 4 5 t

86 .5 K%

95 K %98

99 .3 K %

0.632K

( )( ) 1Y s KR s s

El valor de determina la velocidad de respuesta del sistema en lossistemas de primer orden.

TIEMPO DE CRECIMIENTO tr

Este parámetro se define como el tiempo que le toma a la respuestadel sistema para ir del 0.1 al 0.9 de su valor final, cuando se haaplicado una entrada escalón.

Para el caso general, la respuesta del sistema está dada laecuación

Y t K Ke( )

Y t K Ke

Tomando 0.1K de su valor final cuando t=tr1, tenemos1

K K Ke1

CONTINUA

Aplicando ln para despejar tr1, tenemos

11ln( 0.9) ln( ) ln( )

rtrte e

0.11rt De manera similar para 0.9 de su valor final (0.9K) ent=tr2, obtenemos

10.11rt

De manera similar para 0.9 de su valor final (0.9K) ent=tr2, obtenemos

K K Ke2

eDespejando tr2

ln(0.1) ln( )

e 2 2.3rt

CONTINUA

Calculando el tiempo de crecimiento mediante la diferencia

2.3 0.11rt

Tiempo de establecimiento tsTiempo de establecimiento ts

Se define como el tiempo que requiere la respuesta de un sistema enalcanzar y permanecer dentro del 2% de su valor final, cuando seaplica una entrada escalón.

K K Ke 0.02

3.91 4st

EFECTO DE UN POLOADICIONAL

Para determinar el efecto de un polo adicionalconsideraremos la función de transferencia dada porla ecuación (3.15), en ella se tiene un polo fijoubicando en s=-1 y otro móvil designado por p

( )( ) ( 1)( )

Y s pR s s s p

( )( ) ( 1)( )

Y s pR s s s p

Aplicando una entrada escalón unitario

( )( 1)( )

pY ss s s p

CONTINUACIÓNDesarrollando en fracciones parciales

( )( 1)( ) 1

p A B CY ss s s p s s s p

Donde para evaluar cada constante empleamos la fórmula deHeaveside

1( 1)( )

pAs s p

1( ) 1

p pBs s p p0

1( 1)( )

pAs s p

1( ) 1

p pBs s p p

1( 1) ( 1) 1

p pCs s p p p

Aplicando , llegamos a-1L

ee ptt

CONTINUACION

5 55 1 5 1( ) 1 15 1 5 1 4 4

t t t tY t e ee e

En este caso la respuesta dominante (Yd(t)) es5( ) 14

tdY t e

5( ) 14

tdY t e

Entonces, el término rápido es

51( )4

tfY t e

CONTINUA

Efecto de un cero adicional en un sistema

dominante de primer orden

Consideraremos ahora el caso de un sistemadominante de primer orden con polo ubicado en s=-1y un cero con posición variable designado como z.

5 ( )( )( ) ( 1)( 5)

z s zY sR s s s

si aplicamos una entrada escalón unitario al sistematenemossi aplicamos una entrada escalón unitario al sistematenemos

5 ( ) 1( )( 1)( 5)

z s zY ss s s

5 ( )( )

( 1)( 5) ( 1) 5z s z A B CY s

s s s s s s

CONTINUA

1 5 5s

s z szA

5 5( 1) 1 151 5 1 1 5 4

s z s z zz zBs s s z

5 5( 5) 5 5 55 11 5 5 5 1 20 4

s z s z z zz zCs s s z z

Sustituyendo los valores

5 5( 5) 5 5 55 11 5 5 5 1 20 4

s z s z z zz zCs s s z z

5 ( ) 1 5 1 1 1( )

( 1)( 5) 4 ( 1) 4 5z s zY s

s s s s s s

55 ( 1) 1 ( 5)( ) 14 4

t tz zY tz ze e

Aplicando , llegamos a-1L

Efecto de un cero en el semiplano izquierdo

Efecto de un cero en el semiplanoderecho

Continuación

•Cuando existe un polo cercano del origen, laconstante de tiempo de este polo es la que domina larespuesta del sistema.•La dominancia del polo se elimina si hay un ceromuy cerca de ese polo.•Los polos adicionales retardan la respuesta delsistema, mientras que los ceros en el semiplanoizquierdo la aceleran.•Los ceros en el semiplano derecho hacen que larespuesta parta en la dirección negativa antes deseguir a la respuesta dominante.

SISTEMA DE SEGUNDO ORDEN

Para analizar la respuesta de este tipo desistemas se considerará

Donde:r(t) = función de entrada (escalón)=factor de amortiguamiento= frecuencia natural no amortiguada (rad/seg)

)()()(2)( 222

trtydttdy

Para analizar la respuesta de este tipo desistemas se considerará

Donde:r(t) = función de entrada (escalón)=factor de amortiguamiento= frecuencia natural no amortiguada (rad/seg)

CARACTERISTICAS

La función de transferencia es:

Con polos en:Los polos pueden caer en tres casos distintos: polos reales y diferentes (Sistema

sobreamortiguado). polos reales e iguales (Sistema críticamente

amortiguado). polos complejos conjugados (Sistema

subamortiguado).

sssRsY

22 )1( nns

La función de transferencia es:

Con polos en:Los polos pueden caer en tres casos distintos: polos reales y diferentes (Sistema

sobreamortiguado). polos reales e iguales (Sistema críticamente

amortiguado). polos complejos conjugados (Sistema

subamortiguado).

TIPOS DE RESPUESTA

Plano s

22 1n ns

21 1n ns t

jPlano s y(t)

Polos Respuesta

Plano s

Caso subamortiguado

Realizando una expansión en fracciones parciales

Completando el cuadrado perfecto

usando

En donde a se le llama frecuencia natural amortiguada

Y ss s s

21( )2

s wY ss s w s w

Realizando una expansión en fracciones parciales

Completando el cuadrado perfecto

usando

En donde a se le llama frecuencia natural amortiguada

21( )2

s wY ss s w s w

2 2 2 2 2 22 2 ( ) ( ) n n n n n ns w s w s w s w w w

22 2 2 22 (1 ) n n n ns w s w s w w

nw 2 2 2(1 )d nw

Sustituyendo tenemos:

Reacomodando la expresión anterior

Considerando las siguientes transformadas de Laplace

21( ) n

s wY ss s w

2 2 2 2

1( )( ) ( )

s w w wY ss s w s w w

Sustituyendo tenemos:

Reacomodando la expresión anterior

Considerando las siguientes transformadas de Laplace

2 2 2 2

1( )( ) ( )

s w w wY ss s w s w w

2 2 2 2

1( )( ) ( )

s w wY ss s w s w

( )cos( )

at A s aAe wts a w

L 2 2( )

at BwBe senwts a w

Al aplicar la transformada inversa deLaplace a la ecuación anterior con

se tieneFactorizando

1A 2 21 1n n

Al aplicar la transformada inversa deLaplace a la ecuación anterior con

se tieneFactorizando

2( ) 1 cos

1n nw t w t

d dy t e w t e senw t

2( ) 1 cos

d dy t e w t senw t

Esta última se puede escribir como:

1( ) 1 sen 11

ntny t te

Esta última se puede escribir como:

donde 21 1

Especificación de la Respuestatransitoria

Tolerancia admisible

5% o 2%

Tiempo pico tp.- Es el tiempo que tarda la respuesta enalcanzar el primer pico o máximo.

ttr tp ts0

Para determinar el tp podemos observar que este ocurre cuando

existe un máximo en la función, es decir cuando ,

Completando el trinomio cuadrado perfecto

1 ( ) ( )dy sy s y odt

wdy sdt s w s w s

Para determinar el tp podemos observar que este ocurre cuando

existe un máximo en la función, es decir cuando ,

Completando el trinomio cuadrado perfecto

wdy sdt s w s w s

2 2 2 2 2 22n

n n n n

wdydt s w s w w w

Aplicando transformada inversa

2 2 2( ) (1 )n

wdydt s w w

( ) (1 )

w wdydt s w w

( ) (1 )

w wdydt s w w

2sin( 1 ) 0

1nw tn

nwdy e w t

Analizando esta expresión, notamos que para queestá sea cero, debe ocurrir que

Máximo sobreimpulso Mp. Es el valor máximo que alcanza larespuesta del sistema medido desde la unidad, si el valor final esdiferente de la unidad se utiliza la siguiente expresión.

Por lo que para determinar el máximo sobreimpulso podemosevaluar en t=tp, así

max finalp

Máximo sobreimpulso Mp. Es el valor máximo que alcanza larespuesta del sistema medido desde la unidad, si el valor final esdiferente de la unidad se utiliza la siguiente expresión.

Por lo que para determinar el máximo sobreimpulso podemosevaluar en t=tp, así

max finalp

2( ) 1 cos

1n pw t

p d p d py t e w t senw t

senety n

1cos1)(

Por lo que

De la definición tenemos que

Sustituyendo, llegamos a

21( ) 1n

wpy t e

Por lo que

De la definición tenemos que

Sustituyendo, llegamos a( ) 1p pM y t

21pM e

21% 100pM e

Influencia de los factores y enla respuesta del sistema.

Si Varia mientras permanece constante (0 < <1).

los parámetros ts, tp y %Mp, varían conforme se mueve el factor de

amortiguamiento

n0.707

0.1 0.3

nSi Varia mientras permanece constante (0 < <1).

los parámetros ts, tp y %Mp, varían conforme se mueve el factor de

amortiguamiento

se varía mientras es constante ( )

obsérvese que el sobreimpulso es constante y que el tp y el tsdisminuyen a medida que aumenta.

1n 0.5n

45 (0.707)arcsen2n

n 0.707

se varía mientras es constante ( )

obsérvese que el sobreimpulso es constante y que el tp y el tsdisminuyen a medida que aumenta.

Si se varía tanto como pero manteniendo su producto constante

En este caso el ts permanece constante, mientras que varía en la respuesta

del sistema el %Mp y el tp

j3 .3 3 3 0 3 yn .

1 0 0 1 yn .

3.333 0 3 yn .

Si se varía tanto como pero manteniendo su producto constante

En este caso el ts permanece constante, mientras que varía en la respuesta

del sistema el %Mp y el tp

1 0 0 1 yn .

1 .4 1 4 0 7 0 7 yn .

1.414 0 707 yn .

10 0 1 yn .

Caso críticamente amortiguado

consideraremos el tipo de sistemas con que tienen la forma

Realizando la factorización, tenemos

Haciendo una expansión en fracciones parciales

Aplicando la transformada inversa de Laplace a la ecuación anterior, llegamos a

Factorizando, obtenemos

wY ss w s w s

1( )( )

wY ss w s

consideraremos el tipo de sistemas con que tienen la forma

Realizando la factorización, tenemos

Haciendo una expansión en fracciones parciales

Aplicando la transformada inversa de Laplace a la ecuación anterior, llegamos a

Factorizando, obtenemos

21 1( ) n

wY ss s w s w

ee ttn

nntty 1)(

( ) 1 (1 )nw tny t e w t

Caso sobreamortiguado

Este tipo de sistemas se presentan cuando la función de transferenciadada por la ecuación (3.34), presenta dos polos reales y diferentes, estoocurre porque , en este caso los polos del denominador estánlocalizados en

Donde . Partiendo de la función de transferencia dada por

Si aplicamos , entonces

21 1n np w w

Este tipo de sistemas se presentan cuando la función de transferenciadada por la ecuación (3.34), presenta dos polos reales y diferentes, estoocurre porque , en este caso los polos del denominador estánlocalizados en

Donde . Partiendo de la función de transferencia dada por

Si aplicamos , entonces

22 1n np w w

1 2p p

))(()()(

sRsY n

ssR 1)(

Realizando una expansión en fracciones parciales, llegamos a

Reescribiendo

Por lo que

1( )( )( )

nwY ss p s p s

1 2 2 2 1 1 2

1 1 1( ) ( ) ( )( ) ( )

nY s wp p p p p p ps p s p s

Realizando una expansión en fracciones parciales, llegamos a

Reescribiendo

Por lo que

1 2 2 2 1 1 2

1 1 1( ) ( ) ( )( ) ( )

nY s wp p p p p p ps p s p s

2 2 2 2 2 2 21 2 1 1 ( 1)n n n n n n np p w w w

11)(112212

psppspppw

tptpn e

pppwty 12

2 111)(

La figura muestra la respuesta del sistema ante la aplicación de una

entrada escalón unitario y la variación de la posición del polo p.

Sistemas dominantes de segundoorden

Al igual que en los sistemas de primer orden, es posible analizar ladinámica del sistema cuando existen polos adicionales.

Con el fin de simplificar el análisis consideraremos y , así

tenemos

Si analizamos el polinomio del denominador

( )( ) 2

pY sR s s p s s

0.5 2 1n

Al igual que en los sistemas de primer orden, es posible analizar ladinámica del sistema cuando existen polos adicionales.

Con el fin de simplificar el análisis consideraremos y , así

tenemos

Si analizamos el polinomio del denominador

( )( ) 2(0.5) 1

Y s pR s s p s s

0.866 j

Plano s

0.866j

Ejemplo de respuesta transitoria de un sistema de suspensión de unautomóvil

Ejemplo de respuesta transitoria deun sistema de nivel de líquido

Referencias

1.- Lázaro I, Ingeniería de Sistemas de Control Continuo, Ed.Universitaria, 1ra Edición, 2008.

2.-Rohrs Ch. E., Melsa J. L., Shultz D. G., Sistemas de ControlLineal, McGraw-Hill, 1ra Edición, 1994.

3.- Ogata K., Ingeniería de Control Moderno, Pearson PrenticeHall, 4tª Edición, 2003.

4.- Nise S. N., Control Systems Engineering, John Wiley & Sons,4th Edition, 2004.

5.- Hostetter G. H., Savant C. J., Stefani R. T., Sistemas deControl, McGraw-Hill, 1ra Edición, 1990.

6.- Dorf B, Sistemas de Control Moderno, Pearson Prentice Hall,10ª Edición, 2005.

7.- Sinha N. K., Control Systems, John Wiley & Sons, 2ndEdition, 1994.

8.- Kuo C. B, Sistemas de Control Automático, Séptima edición,Edición, Prentice Hall, 1996.