Post on 03-Jan-2016
DESIGUALDADES E IN ECUACI ON ES
I N E CUA CI ÓNA sí:
)x(G)x(F
Símb olos d ere lación d e orden
E xp resionesmatemáticas
I N T E R V A L O
Intervalo noA cotado
X n
X X X Xa b
IntervaloA b ier to
IntervaloC er rad o
q P
IntervaloSemi ab ier to
Intervalo noacotad o
t r m +
*n;x
nx
*ó
b;ax
bxa
]p;q[x
bxq
]r;tx
rxt
;m[x
mx
* x;x . . .
. . .
kbka
kba:Si)i
m
b
m
a
b mam
)0m(mba:Si)i i
nb
na
b nan
)0n(nba:Si)i ii
TEO R EM A S
E s unaDesig ualdad
7<135>3
IN ECUACIÓN P OLIN OM IAL
}na;....;2a;1a;0a{;0na...1nx1anx0a)x(P
0
A sí:
I N E C U A C I Ó N L I N E A L
}b;1{
0
0bax
For m a:
I N E C U A C I Ó N C U A D R Á T I C A
For m a:
}c;b;a{0
0cb x2ax)x(F
I N E C U A C I Ó N D E G R A D OS U P E R I O R
C uan d o : n ³ 3
(E x p li c ac ió n e n c lase )
S E R E S U E L V ES E R E SU E L V E
cr iticop untosp o r
0)x(Q)x(P
0)X(F
yenlefactor izabE s
tr inom ioE l
0:Si
x
02)100x(*
PCTE s
tr inom ioE l
0:Si
0x
1x2x*
0a
x)(E s
tr inom ioE l
0:Si
N ota :
I mpor tante:E n la resolución d e la
Inec . cuad rática y sup er iores imp or tante ap licar el
método d e “PUNTO SC RÍTIC O S” . . .
T A M B I É N E S A P L I C A B L E
0)x(G0)x(F
0)x(G0)x(F
0)x(G)x(F
0)x(G0)x(F
0)x(G0)x(F
0)x(G)x(F1
2
I N E C U A C I Ó N E X P O N E N C I A L
1a0:Si)x(G)x(F
)x(Ga)x(Fa
1a:Si)x(G)x(F
)x(Ga)x(Fa
1
2
A sí:
I N E C U A C I Ó N I R R A C I O N A L
:S.C
)......x(2Q)x(P0)x(Q
...............................0)x(P
)(:.S.C
...............................0)x(Q
).......x(2Q)x(P0)x(Q
................................0)x(P
)x(Q)x(P;)x(Q)x(P
1
. . .
O BSER VACIO N ES
T razad o d e la g r áfi c a d e lPo l ino m io : cb x2ax)x(P
D e las ra íc e s
Ra íc e s sim é tr i c as uo p u e stas
U na raíz e s: x =m , lao tra e s : x = m
1
2
si
se c u m p le
02x1x
Raíc e s re c íp ro c aso inv e r sas
si
U na raíz e s: , l a
o tra e s :
m1x
m
1ax
se c u m p le
1ax1x
E c u ac io ne s c uad r átic asE q u iv ale n te s
si l as e c uac io ne s so n :
0m;0pnx2m x
0a;0cb x2ax
tie ne n
las m ism as ra íc e so so luc io n e s
se c u m p le
p
c
n
b
m
a
si >0
si =0
si <0
P
P
y
x
a> 0
a< 0
x1 x 2
P
P
P
P
y
y
x
x
a> 0
a> 0
a< 0
a< 0
x1
x2
ECUACI Ó N CUADRÁTICA
F O R M A G E N E R A L
0a;0cb x2ax
Se resuelve p o r
Factor ización Fórmula
0)x(B0)x(A
0)x(B)x(A
a2ac42bb
2,1x
N A TU R A L E ZA D E R A Í C E S
d ep e nd e
antem inD iscr i
ac42b
si
> 0Raíces re ales
d i fe rentesx x1 2
> 0Raíces re ales
ig uale sx = x1 2
< 0Raíces co m p le jo s
co n jugad asx =
x1
2
=m n im ; n
m +ni
A d em às:
0Raíces reale s
1i x x1 2
so n raíces d e la ec uac ió n
P R O P I E D A D E SD E L A S R A ÍC E S
D i ferenc i a
P rod uc to
Su m aab
2x1x
ac
2x1x
|a||2x1x|
2x1x42)2x1x(2)2x1x(
F O R M A C I Ó N D EL A E C U A C IÓ N
Si se tie ne las raíce sse d eb e calcu lar :
Sum a = 5 P rod ucto =P
d o nd e
0PSx2x
I mpor tante:Se a la e cuac ió n: ax +b x+c=0a 0; d e raíces x xd o nd e : {a, b , c } Q
Si : e s raíz
e nto nces:
e s la otra raíz i r rac io nal
2
1 2
nm1x
nm2x
ECUACIÓ N LIN EAL
Fo r m a G e n e ral
ax + b = 0
A N Á L I S IS D E S U R A Í Z TE O R E M A S
sia
bxb0a
so luc ión ún ica(co m p atib le d e ter m inad a)
0x00b0a
“ x” ad m ite cualq u ie r so luc ió n(co m p atib le ind e te rm inad a)
bx00b0a no ex iste n ing ún valo r “ x”q ue m ul tip l icad o p o r cero
d a co m o resul tand o b(inco m p atib le )
si
si
d e
Tran sp osición C an celación
si si
bcacba
b cacb
ab
cacab
bcacba
0c:Si
bac
b
c
a
0c:Si
bab cac
c:Si
bacbba
CLASIFICACIÓ N DE LAS ECUACIO N ES
Se g ún
su
E S TR U C T U R A
P o l i n om ia l d e u n a S o la V a r iab le
E s aq ue lla ecuación q ue p resenta lasig u iente fo rm a g eneral :
d o nd e :
:Sea P (x) un p ol inom io no c onstante,“ a” es una raíz d e P (x) s i: P(a)=0
P (x)=(x a)q (x)
Raíz d e un p o linom io
00a;0na...2nx2a1nx1anx0a
incóg n i talaes"x"
escoeficientson;na;...2a;1a;0a
p o linom io
unes;na...2nx2a1nx1anx0a)x(P
F raccion ar ias
C uand o p resenta la incóg n ita en sud enom inad or :E jm :
9x4
9x5x
I r racion a les
C uand o la incó g n ita se encuentra afec tad o p o r un sig no rad ical .E jm :
74x1x
LinealesC uadráticasC úbicasG rado Super ior
e l
N Ú M E R O D E E C U A C I O N E S
se rá
C omp atib le Incomp atib leo inconsistente
cuand o cuand o
A d mite p o r lomenos una so luc ió n
N o ex iste n ing unaso luc ión: C .S.=
y es así
D e te rm inad a Ind e ter m inad a
si si
E x iste un númerofin i to d e so luc iones
E x iste un númerofin i to d e so luc iones
asi asi
D ad a: x =xtiene 3 so luc iones
1; 0; 1C .S.={ 1;0;1}
3
D ad a: 2(x 1)=2x 2tiene infin i tas
so luc ionesC .S.=
D ad a:4(x 3)+2x+5=6+2(3x 6)
al red uc ir se ob tiene :5=6
ésta e s ab surd a
CO N CEP TO S FUN DAM EN TALES
S o lu ciónC on ju n toS o lu ción
R eso lu ción d e u na ecu ación
E cu acion esE qu iva len tes
así así así así
D ad a la e c u ac ió n :x -5x =x -11x +6p ara: x =1 4 = 4
3 2 2
p ara: x =2 = p ara: x =3 = Lu e g o las so luc io ne sso n : x =1, x =2, x =3
C o m o las so lu c io n e s d e la e c uac ió n :x -5x =x -11x +6so n : x =1, x =2, x =3e n to n c e s e l c o n jun toso luc ió n (C .S.) e s :C .S.0{1;2;3}
3 2 2
C o n se g u ir lo se le transfo r m a su c e si -v am e n te e n o tras e q uiv a le n c ias
así
Si: x =x1e r x x =02d o
3
3 x (x =0
3ro x (x +1)(x x =04to x =0 ;x = 1; x =1
C .S. ={ 1;0;1}
2
Las e c uac io n e s:
So n e q u iva le n te s p ue s toq ue am b as e c uac io ne sse ve r ifi c an so lam e n tep ara: x =12
x236x5
143x2
2x
so n es e l es d o s
A q u e l lo s va lo re s q uea su m en la s in c ó g n i ta s
la s c u ale s ve r ifi c a n un ad e te r m in a d a e c ua c ió n
C o n jun to fo r m a d op o r to d a s la s
c o lu c io n e s
E fe c tu ar e n e l la s to d asla s o p e ra c io n e s n e c e sa r ias p a ra
o b ten e r su s s o l uc i o n e s
E c ua c io n e s s o n e q u iv ale n te s s i ti en e n la s m ism a s so lu c io n e s
TEO RÍ A DE ECUACI O N ESuna
IG U A L D A D
U na relació n de co m para ció n que se esta b lece en tre do s expresio n es e l cua lno s ind ica qu e tien en el m ism o valo r.
m iem b rod o2m iem b roe r1
BA
una
C L A S E S D E I G U A L D A D
A bso lu tas - I n con d i cion a les R ela tiva s - C on d icio na les
e s e s
A q ue lla q ue se ve r ifi ca p arato d o s lo s valo re s asig nad o s
a sus in có g n i tas .E je m : (x +1) =x +2x+1
La ig uald ad se ve r ifi ca p aracua lq u ie r valo r re al d e “ x ”
2 2
A q ue lla q ue se ve r ifi ca p arac ie r to valo re s p ar ti cu lare s q ue se le s a tr ib uye a su in có g n i tas.
E je m : 2x+1=x+7Se ve r ifi ca só lo si : x=6
2(6)+1=6+7
E C U A C I Ó N
Ig ua ld ad d e d o se xp re s io ne s m ate m átic as
q ue al m e n o s co n tie ne una var iab le , l l am ad a
in có g n i ta
E xp resionesM atemáticas
,...)y,x(,...)y,x( RP
Var iables
FUN CIÓN
R E L A C I ÓNSe l lam a re lac ió n , a to d ov ínc u lo d e e le m e n to s.
E N U N P A R O R D E N A D O
E N U N D I A G R A M A C A R T E S I A N O
A sí:
H={(3;5)(6;7)(4;8)}R={(2;7)(3;7)( 2;7)}
* Son funciones, p orq ue las p r i m e r as co m p o n e n te s so n d iferentes.Pero :F={(7;2)(3;5)(7;8)}No es función, p orque se ob serva que los p r imeros comp onentes se rep iten: 7; 3; 7.
C onformad o por los p r imeros comp onentes d e los p ares ord enand os.
C onform ad o p or las segundas comp onentes d e los p ares ord enad os.
D om in io:
R an go:
A sí:
h: es función, p orque cuando trazamos una recta perp endicular a “x” , en cualquier punto siempre cor ta en un sólo punto la gráfica h.Pero :
g : no es función, porque al trazar una p erp endicular a “x” , corta en 2 p untos.
y
x
h
y
x
g
E N U N D I A G R A M AD E V E E N
A sí:
* Se llama función cuand o d e los e l em e n to s d e l co n ju n to d e p ar tida sale una so la flechita.Pero :
g : no es función, p orque d e 8, salen 2 flechas.
327
841
C onjunto depar tida
C onjunto del legad a
fA B
f: e s func ió n
789
341
gA B
To d a fu n ció n , esu n a re lació n , p ero n o
to d a fu n ció n esu n a re lació n .
Una función, se llama ap licación, cuand o su D ominioes ig ual al conjunto d e par tid a
GRÁFICA DE UN A FUN CIÓ NDE EN
F U N C I Ó NL I N E A L
A sí:
baxf )x(
La g ráfica s iem p rees una recta
a<0a>0
y
x
F U N C I Ó NC U A D R Á T I C A
F U N C I Ó NR A ÍZ C U A D R A D A
F U N C I Ó NC Ú B I C A
F U N C I Ó N I N V E R S OM U L T I P L I C A T I V O
A sí: A sí: A sí: A sí:
La g ráfica es unap aráb o la.
La g ráfica p ued e se runa d e estas 4 fo rm as:
a>0<0
yy
y y
x
x
x x
cb xaxf 2)x(
a>0>0
a<0>0
a<0<0
cbaxf )x(
y
x
y
x
y
x
3)x( xf 0x;
x
1f )x(
P O TEN CI ACI Ó N
2n,n:si;a...aaa
1n:si;aa
ve c e s"n"
n
0aa,1a0 n0a;
a
1a
nn
E X PO N E N T E N AT U R AL E X PO N E N T E C E R O E X PO N E N T E N E G AT IVO
D E F I N I C I ON E S
13
ve ces13
77...777 *
No tiene sentido
* = N o está d efi nid o00 * = N o está d efi nid o (n )n0
T E OR E M A SM ULT I PL I C AC I Ó N D E
B ASES I G UAL E SD I VI SI Ó N D E
B ASES I G UAL E SPO T E N C I A D E
PO T E N C I APO T E N C I A D E UN AM ULT I PL I C AC I Ó N
PO T E N C I A D E UN AD I VI SI Ó N
nmnm aaa 0a;aa
a nmn
m pnm
pnm aa
nnn ba)ba( 0b;b
aba
n
nn
pnm
pnm aa
0b
0a;
ab
ba nn
OJ O OJ O
L o s teo rem a s expuesto s p ara ba ses rea les y expo nentes na tu ra les, p ueden am p liarse a expo nentes rea les. P ara su estu d io es necesa rio ya o tro s e lem ento s de m atem ática su perio r.
RADI CACI Ó N
D E F I N I C I ÓN
nn rara
ín d ice d e la ra d ica l
ra d ica n d o ó ca n tid a d sub ra d ica l
ra íz
ra d ica lEXP O NENTE FR A C C IO N A R IO
T E OR E M A S
2nn;aaamnn mn
m
S i:
en
a
a
a
mn
n m
nm
e s una fracc ión ir re d uc tib le
M ULT I PL IC AC I Ó N D ER AD I C AL E S
D I VI SI Ó N D ER AD I C AL E S
R AD I C AC I Ó N D ER AD I C AC I Ó N
R AD I C AL E SSUC E SI VO S
e nbaba nnn 0b;b
aba
n
nn pnmm n p aa
xxxxn m p
*
xxxxn m p
*
pmnp)m(
pmnp)m(
( x+x +x +...) ex p o nentes
( x x +x ...) ex p o nentes
x + x +
x x +
Tam b ié n : Si n x n úm e ro re a l
p are snsi| ,x|
im p are snsi,xx
xx
n n
nn
Sie m p re y c uan d o lo s re p re se n te n n úm e ro s re a le s.
rad ic ales
8 888 )5(5
D o n d e : 8 5 N o e x is te e n
8 8)5( Si e x iste p u e s to q ue su rad ic an d o e s p o s itivo .
8)5(
TEO REM AS DE LO S LO GAR I TM O SA SI
01. Sea A .B>0 y b >0 b 1; se cum p le :
02. Sea A / B>0 y b >0 b 1; se cum p le :
03. Sea A >0 y b >0 b 1; se cum p le :
n 04. Sea A >0 y b >0 b 1; se cum p le :
n m
}0{mn;ALog
mnnALog
bmb |B|bLog|A|bLog)B.A(bLog |B|bLog|A|bLog
B
ALog
b
n;ALog.nnALogbb
2Log7Log)2.7(Log*555
3Log8Log3
8Log*
777
2Log
313
12Log3 2Log*
555 3Log43Log
2
883Log*5525
CAM BI O DE BASED emostr ar :
1b0b0n AALo g
n1n ALo g
bb
Obser vaci ón :
n
mmbLo g
K ALo gALo g
nb
K bb
A SI
Se an: N >0; b >0 b 1; a>0 a>1
Se cum p le:
bLog
NLogNLog
a
ab
D E A QU I
1bLogaLog:A d emás
bLog
1aLogaN:Si
ab
ab
I m p o r t a n t eenar itmoslogd e
cond ic iónlacump led;c;b;a:Si
aLogcLogbLogaLogddcb
R E G L A D E L A C A D E N A
:cump leSe
1b}c;b;a{:Sea
aLogc
cLoga bb
R E G L A D E L I N T E R C A M B I O
RELACIO N ES ESP ECI ALES
T E N E M OS
COL OGA R I T M O ( col og) A N T I L OGA R I T M O ( an t i l og)
NLo gN1
Lo gNlogC obbb 1b0b
0N
NNbNantilo gb 1b0b
P R OP I E DA D E S
N)Nloganti(Lo g
N)NLo g(loganti
bb
bb
> 0
> 0 1
> 0 1
N)Nloganti(logC obb
N1
)Nlogco(logantibb
> 0
> 0 1
> 0 1
SISTEM A DE LO GARI TM O S
I M P OR T A N T E S
SI ST E M A DE CI M A L O DE BR I G GS ( 1615) SI ST E M A H I P E R BÓL I CO O N E P E R I A N O
N O T A C IÓ N
0N/Log NNLog10
N O T A C IÓ N
0N/LNNLoge
D on de: e=2,718281828...N úm ero trascen den te de E uler
C um p le tod a las Id entid ad es, o b se r vac io nes, teoremas d e lo s Lo g ar i tm os estud iad os en e lante r io r.
P O LI N O M I O SE X P R E SI ON E S M A T E M Á T I C A S
N O T A C I Ó N
zzx
37)z;y;x( zzxlo g)xz(se nyx
8E
E s una rep resentac ión m atem áticad e núm ero s y le tras l ig ad as p o r losd i fe re ntes o p e rad o res m atem ático s.
C L A SI F I C A C I ÓN
E X P R E S I O N E S A L G E B R A I C A S(E .A .)
S E C L A S I F I C A N
E .A . R A C I O N A L
E .A .R . F R A C C I O N A R I A
E .A .R . E N T E R A
E xpon en tes d e las variablesso n o térm ino independ ien te+
E xpon en tes d e las variablesso n
E .A .R .
E .A . I R R A C I O N A L
E .A .I .
P O LI N O M I O
E X P R E S I O N E S A L G E B R A I C A S(E .A .)
E s aquella que está form ada po r variables y/oco nstantes do nde las variables están relacio nadas
co n las operacio nes m atem áticas A dició n, S ustracció n , M ultip licació n , D iv isió n Po tenciació n y R ad icació n ,
en un núm ero lim itado de veces.
L os expo nentes de las variables so n número s entero spo sitivo s, adem ás d ichas expresio nes están defin idas
para cualqu ier valo r que se de a sus variables
538)z;y;x( z3y
8
1x7Q
E xp resion es E xp on en cia les.. .E xp resion es L ogarí tm icas.. .E xp resion es T ri gon om étr icas.. .E xp resion es d e I n fi n i tos Térm in os...
T rascen d en tes
T É R M I N O A L G E B R A I C O 78)y;x( yx8P
E s aquella E .A . do nde no participa la o peración
E x po n en tes
Variab lesC o eficien te
M O N O M IOcuyo s expo nentes de
sus variab les so n +
D o s o m ás térm ino s algebraico s si lo s expo nentes
de sus respectivas variab les son iguales
sem e jantesso n
78)y;x(
78)y;x( yxDyyx73E
GRADO DE UN P O LI N O M I O
CL A SI F I CA C I ÓN
S e define co m o una característica exclusivam ente parapo lino m io s, relacio nado co n lo s exponentes de sus variables
GR A D O R E L A T I V OG.R
GR A D O A BSOL U T OG.A .
S e refiere a una so la variable S e refiere a to das las variab le
A S I : 89)y;x( yx4E
G .R =9x G .R =8yG .A =5 + 4 = 9(D)
45)y;x( yx7D
G .Rx G .Ry
593827)z;y;x( y zx7zyx
7zyx5P
9)P(R.G x 3)P(R.G y 5)P(R.G z
Tam b ié n :
G rad o A b so lu to d e P =G .A .(P )=º[P ]=15(x;y;z)
grado de P 9+1+5 El grado mayor de los términos del polinomio
I m por t an t eSi: n ;]Q[m]P[ )x()x(
E n to nc e s:
nmQ
P
nm]Q[P[
m]Q[P[
)x(
)x(
)x()x(
)x()x(
K
mP
m K))x(P(])P[(
K)x(
KK)x(
S i T (x)= x + 2H alle e l va lo r d e T (2 )
3R eso lució n : x 2
T (2 )= 2 + 2= 103
Valo r N um érico
nm
O b s :
P O LI N O M I O S ESP ECI ALESS o n po lin o m io s co n características defin id as,
qu e p erm iten d iferenciarlo s d e o tro s.
T E N E M OS
P O L INO M IO S I DÉ NTI CA M E NTENUL O SP O L INO M IO S I DÉ NTI CO SP O L INO M IO S CO M P L E TOSP O L INO M IO S O RD E NAD O SP O L INO M IO S H OM O GÉ NEO S
N ota:
0K;ZK:d o n d e
EK
E
)w;...z;y;x(
)K w;...;K z;Ky;K x(
xy zzyxP* 333)z;y;x(
es u n p o lin o m io h o m o gén eod e grad o 3
273452)y;x(
84)x(
yx3yx8yx7Q*
xxxT*
está o rd en ad o ascen den tem en teresp ecto a y descend en tem ente
resp ecto a .
8yxx yxyx8D*
x8xE*
22736)y;x(
2)x(
es co m p leto resp ecto a .
u n po lin o m io co m p leto n otiene q ue ser o rd enado y
viceversa
N ota:
* S ea :ax+ by+ cz 8x+ 2z 5yE nto nces:a= 8; b= 5; c= 2
* S ea :ax + by + cz 0E nto nces:a= 0; b= 0; c= 0
T E OR E M A S
D ad o un po lin o m io co m pleto en un a variab le,S i un po lin o m io es co m pleto y o rdenad o respecto
a u na variab le, se tiene qu e lo s grado s re lativo sa su variab le de d o s térm in o s co n secutivo s
la d iferencia es la u n id ad
DEFI N ICI O N ES ADI CI O N ALES
P O L I N O M IO M Ó N IC O P O L I N O M IO S C O N S TA N TE S
P o lino m io d e u na varia b le cuyoco eficien te p rin cip a l es
P o lino m io (d e u na o m ás variab lesd e la fo rm a:
)x( KE
S i: K 0 en to ncesd efin im o s el grado
d el po lin o m io co nstan teco m o C E R O .
S i: K = 0 en to ncesE (x) 0 es llam ad o
po lino m io id én ticam entenu lo , cuyo grad o no está
d efin ido
M ónicop o linom ioesN o
43)x(
m ó nicoes
92)x(
m ó nicoes
48)x(
5xx5x8D*
9x2xx3E*
8xx3xP*
C E ROg rad od etestanco nsSo n
)y;x()x( 9D;8E*
BIN O M I O DE N EWTO N
F A C T O R IA L D E U N N Ú M E R O N A T U R A L N Ú M E R O C O M B IN A T O R IO
N O T A C IÓ N
n !nn
;n
Se le e:factor ial d e n ó
facto r ialn
D E F IN IC IO N E S
1nn;n)1n(... .321
1n;1!n
Tam b ién: 0! = 1 (c onvenció n)
P R O P IE D A D E S
n)!;1n(n!n
b;a;ba!b!a:Si
n!n 0
n
!,n)!1n(!nn !n
PA Rn;n...8642!!n
IM PA Rn;n...7531!!n
!n)!!n)(!!n( El mayor
PA R I M PA R C onsecutivo
Se m ifac to r ial
Se le e:com b inac io ne s d e e le me ntosto mad os d e K en K .
n
N O T A C IÓ N
KnK
n
nK
CC
C
D E F IN IC IÓ NE l núm ero co mb inator io d e n e n K se d e fine :
!K)!Kn(
!nC n
K
D ond e :
KnK;n
factoresK
factoresK
nK K...321
)1Kn)...(2n)(1n(nC
P R O P IE D A D E SSie nd o:{n; K } n K
C O M B IN AC IO NESC O M PL EM E NTAR IO S
SU M A D EC O M B IN AC IO NES
D E GR AD AC IÓ N D EÍND IC ES
nKn
nK CC 1n
1Kn
1KnK CCC
n1K
nK
1nK
nK
1n1K
nK
CK
1knC
Kn;CKn
nC
CK
nC
nP
nK CC
T E O R E M A
K =P K +P =n
R E S U L T A D O S N O T A B L E S
1CC nn
n0 NCC n
1nn1 2
)1n(nCC n
2nn2
DESARR O LLO DEL BIN O M I O
E X P O N E N T E N A T U R A L
A S I :
d esarro l loe le s
3033
232
1231
0330
302112033
yxCxyCyxCyxC
yx1yx3yx3yx1)yx(
T E O R E M A
n0nn
22nn2
11nn1
0nn0
n yxC...yxCyxCyxC)yx(
1rabase
2dabase
T É R M I N O G E N E R A L )T( 1K Lugar b uscado
E n : n)y;x( )yx(Q
KKnnK1K )y(xCT
KKnnK1K x)y(CT
Sie n d o : e l té r m in o d e lu g ar (K +1) y 1KT nK0
C O E F I C I E N T E B I N O M I A L
D E F IN I C IÓ N
!K)1Kn).. .(2n)(1n(n
K
n
D o n d e : n K
A d e m ás: 10
n
n
n;n
1
n
E jem p lo
!4)35)(25)(15(5
4
5
T E O R E M A
Si: e s fr ac c io nar io o n e g ativo e ln ú m e ro d e té r m in o s e s .
ni l im i tad o
}0{K;yxK
n)yx( KKn
0K
n
M e jo r :n
)x( )x1(E
Siempre
K1K x
K
nT
Lugar b uscad o
FACTO RI ZACI Ó NC O N C E P T O S P R E V I O S
P O L I N O M I O D E F I N I D O D E N T R O D E U N C A M P O N U M É R I C O F A C TO R O D I V I S O R
C uand o sus c oefic ientes p e rtenec ena d icho c amp o num ér ico
es
así
2
1x3x5Q
3x5x2P
2)x(
2)x( en
en
C L A S E S D E F I N I C I Ó N
Factor A l gebr ai co
Tod o p o linom io no constante q ue d iv id e en fo rm a exacta a o tro p o linom io
es
así
)1y(xP )y;x(
sus d ivisoresalgeb raicos son:
eb raic olgaesno1P
)1y(xP
1yP
xP
)y;x(
)y;x(
)y;x(
)y;x(
1
4
3
2
Factor P r im o
A d mite p o r d iv iso re sa 1 y al si m ism o
2)y;x( xyP
2)y;x(
)y;x(
2)y;x(
)y;x(
)y;x(
)y;x(
xyP
xyP
yP
p r im osfactoresún icos
yP
xP
1P
6
5
4
3
2
1
Tod o p o linom io q ue d ivid e en fo rma e xac ta
a otro p o linom io
es
así
yxP )y;x(
sus d ivisoresson:
xyP
yP
xP
1P
)y;x(
)y;x(
)y;x(
)y;x(
4
3
2
1
así
si
C antid ad d e D iv iso res
así
)nx......()3x()2x()1x(P )x(
tenemos
pr im osnofactoreso
p r im o sfac to re s#.lge b rai co safac to re s#c o m p ue sto sfac to re s#
1fac to re s#c o se b r ailgafac to re s#
)nx() ;. . .;3x() ;2x() ;1x(np r im o sfac to re s#
)1) .. .(1) (1) (1(fac to re s#
CR ITER IO DE FACTO RI ZACI Ó N
F A C T O R C O M Ú N A G R U P A C I Ó N I D E N T I D A D E S A S P A S I M P L E A S P A D O B L EA S P A D O B L E
E S P E C I A LD I V I S O R E SB I N Ó M I C O S
Se
Eligen las basescomunes afectadasal menor exponente
así
6455)y;x( yb xyaxP
Factor común: 54yx
luego
Se
Seleccionan convenientementelos términos d e tal manera
que genere un factor común
así
agrupando de 3 en 3
luego
)byax(yxP 44)y;x(
yzyxyxzxyxP 22)y;x(
)yx)(zyx(P
)zxy(y)zyx(xP
)y;x(
)y;x(
E s
la ap l icación inme-diata de algunos
productos notables
p or ejemp lo
)BA BA)(BA(BA
)BA)(BA(BA2233
22
E s
A plicab le siguiendo3 pasos:
los cuales son
así
* Descomponer los extremos* Prueb a de aspa* Escr ib ir los factores
xy5xy4y2x
xyyx2y2xy5x2P 22
)y;x(
luego
)y2x)(yx2(P )y;x(
Forma general
6
f
5
ey
4
dx
3
cy
2
ybx
1
axPtt
m
t
n
t
m2
t
mn
t
n2)y;x(
Si le falta un término, completecon cero en el coeficiente.
Proced imientos
P aso 1: A sp a Sim p le : t t t1 2 3
P aso 2: A sp a Sim p le :
P aso 3: A sp a Sim p le :
t t t t t t
3 5 6
1 4 6
luego
Los factores se adoptanhorizontalmente
Se
Util iza para factor izar polinomiosde grado mayor o igual a tres
Proced imientos
Paso 1: D etermine e l rang o d e los p osibles valores racionales.
Paso 2
Paso 3
: E n b ase a estos valores real iza evaluaciones hasta conseguir a l g ú n v a l o r q u e l o g r e anularlos.
: Para conseg uir otros factores ap l icaremos Ruffi ni cuantas veces sea necesar io..
.P.Cd e lD i v is ore s
.I.Td e lD i v is ore sP RR
Sirve para factor izar polinomios de 6 términos
Sirve para factor izarpolinomios de cuarto grado
Forma:
EDxC xBxA xT 234)x(
...