Post on 07-Feb-2018
CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
Estructura Modelo Matemático
Discretización
Sistema de Ecuaciones
Resolución
Lineal
No lineal
Elementos (M.E.F.)
Barras (cálculo matricial)
Val
idac
ión
Método de Elementos Finitos
Método Matriciales de barras
CÁLCULO DE ESTRUCTURAS
MÉTODOS NUMÉRICOS
CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
INTRODUCCIÓN AL CÁLCULO MATRICIAL
IDEALIZACIÓN DE LA ESTRUCTURA
Estructura real Modelo matemático↔Discretización Elementos conectados por nudos↔
ELEMENTOS LINEALES PórticosEmparrilladosCelosías
SUPERFICIALES PantallasLosasLáminas
VOLUMÉTRICOS Losas gruesasMacizosPresas
Elementos lineales D i s c r e t i z a c i ó n e n b a r r a s(matricial)
Elementos superficiales Discretización en elementosfinitos
y volumétricos
CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
Piezas de Sección Constante Piezas de Sección Curva
Piezas de Sección Variable
1L
L
8K=K= 8
IDEALIZACIÓN GEOMÉTRICA
Consiste en la simplificación de las dimensiones y formas de la estructurareal.
Se sustituyen las piezas por su directriz, simplificando en los casos desección variable o directriz curva Supone errores.Problemas Dimensión finita de los nudos
Luces reales de cálculo
Pilares de distinta sección Zonas rígidas de viga
CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
Apoyos ElásticosApoyos Rígidos
La idealización geométrica no tiene por qué ser inmediata
En la idealización geométrica deben figurar las condiciones deapoyo, sea rígido o elástico.
CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
IDEALIZACIÓN MECÁNICA: ESTRUCTURA.
C APROXIMACIÓN DEL COMPORTAMIENTO MECÁNICO DE LAESTRUCTURA.
Se define por los DESPLAZAMIENTOS de los nudos
En el espacio: 3 traslaciones + 3 giros
En el plano: Según el problema
Estructuras articuladas planas: 2 traslacionesPórticos planos: 2 traslaciones + 1 giroEmparrillados planos: 1 traslación + 2 giros.
- Hay que elegir los grados de libertad en función del problemaanalizado.- Los desplazamientos se suponen infinitesimales con respecto alas dimensiones de la estructura.- Si los desplazamientos son grandes se precisa análisis no lineal.
Se analiza a través de las DEFORMACIONES de las barras.
Según el problema analizado.
- Deformación por axil.Importante en estructuras de nudos articulados y pilares depórticos.
- Deformación por flexión.Es la más importante en casi todos los casos.
- Deformación por cortante.Despreciable salvo en casos muy particulares.
- Deformación por torsión.Sólo importante en emparrillados y pórticos espaciales.
C TIPOS DE CONEXIÓN ENTRE BARRAS.
Nudo rígido Cierto grado de articulaciónNudo articulado Cierto grado de empotramiento
CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
ARCO
Estructura Real
Idealización comoElementos Lineales
Elementos FinitosIdealización por
8 nodosE.F. de
4 nodosE.F. de
IDEALIZACIÓN MECÁNICA: ESTRUCTURA.
C UNA MISMA ESTRUCTURA ADMITE DIVERSASMODELIZACIONES CON DISTINTO GRADO DE PRECISIÓN.
CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
ALARGAMIENTOS
TENSIONESen N/mm2
0 4 8 12 16 20%
100
200
300
400
500
600
700
σ
ε
ACERO DE DUREZA NATURAL
CURVA TENSIÓN-DEFORMACIÓNde BARRAS CORRUGADAS
2 1814106
2
σTENSIONESen N/mm2
600
500
400
300
200
100
0
de BARRAS CORRUGADASCURVA TENSIÓN-DEFORMACIÓN
ALARGAMIENTOS
14106
ACERO ESTIRADO en FRIO
16%1284
ε
fy
yf
IDEALIZACIÓN MECÁNICA: MATERIALES
DIAGRAMAS TENSIÓN-DEFORMACIÓN REALESAcero
El acero estirado en frío no se utiliza en obra nueva
CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
TENSIONESdel HORMIGÓN
DEFORMACIONES
0.4 0.8 1.2
DIAGRAMA NOVAL
0.6 1.0 1.40 0.2
ε
CURVA TENSIÓN-DEFORMACIÓNσfc
c
εccucE
Eco
Ec
0.8
DEFORMACIONES
DIAGRAMA con CARGAS REITERADAS
1.21.00.80.60.40.20
0.2
0.4
0.6
εε
cu
c
1.4
TENSIONESdel HORMIGÓN
CURVA TENSIÓN-DEFORMACIÓNσfc
c
1.0
Ec0 0'
Hormigón
CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
ACERO ESTRUCTURAL
ELASTO PLÁSTICO ELASTO PLÁSTICO RÍGIDO PLÁSTICOcon ENDURECIMIENTO
PARABOLA-RECTANGULO RECTANGULARBIPARABOLICO
0'85.fcd
TE
NS
ION
ES
DEFORMACIONES0 -2%o -3'5%o 0 -2%
DEFORMACIONES-3'5%o o
TE
NS
ION
ES
0'85.fcd
0 -2%DEFORMACIONES
-3'5%o o
TE
NS
ION
ES
0'85.fcd
-0'7%o
-3'5%
RAMA DECRECIENTEDEFORMACIONES
0'85.fcd
TEN
SIO
NE
S
0 -2%o -0'7%0
TEN
SIO
NE
S
0'85.fcd
o
BIRRECTILÍNEO
-2%DEFORMACIONES
-3'5%o oo
HORMIGÓN
0
TEN
SIO
NE
S
DEFORMACIONES
fyd
εyd
fyd
TEN
SIO
NE
S
DEFORMACIONESydε0
IDEALIZACIÓN MECÁNICA: MATERIALES
DIAGRAMAS TENSIÓN-DEFORMACIÓN SIMPLIFICADOS.- Sonnecesarios por la excesiva complejidad de los reales.
Lo más frecuente en considerar el material perfectamente elásticoy lineal.
CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
M
.75
.50
.25
0
MOMENTOS
CURVATURA
DIAGRAMAS MOMENTO-CURVATURA (ACERO)
.0004.0003.0002.0001
χ.0005 .0008
1.00
Mu
DiagramaBilineal
L0
0
.25
.50
.75
uM1.00
MOMENTOS M
Trilineal
Bilineal
Diagrama
Diagrama
L1
.01 .02 .03 .04
DIAGRAMAS MOMENTO-CURVATURA (HORMIGÓN)
L 2
.08.05
χ
CURVATURA
DiagramaExperimental
IDEALIZACIÓN MECÁNICA: MATERIALES
DIAGRAMAS MOMENTO-CURVATURA.- Son los diagramas quepermiten determinar las ecuaciones constitutiva a flexión de lasbarras. Son fundamentales en el cálculo matricial.
Acero.- Diagrama bilineal.
Hormigón.- Diagrama trilineal.
CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
IDEALIZACIÓN DEL TERRENO DE CIMENTACIÓN
- Propiedades del terreno.
- Interacción cimiento-estructura.
Conexión rígida.Conexión elástica Coeficientes de balasto.
- Problemas de asientos diferenciales.
Grandes momentos en los dinteles.
- Problemas de giros de la cimentación.
- Influencia de las zapatas de medianería y de esquina.
Generalmente se considera la estructura rígidamente empotrada enla base.
u=0v=0w=0
En cálculo matricial es muy fácil introducir deformacionesimpuestas en los vínculos a condición de que puedan expresarsedirectamente en coordenadas globales.
CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
BASES DEL CÁLCULO MATRICIAL.
1.- Desarrollo histórico.
C Planteamientos iniciales (1850- 1875)
Maxwell.Castigliano.Mohr.(No progresaron por la dificultad de resolver grandessistemas de ecuaciones)
C Planteamiento general del método (1915- 1926)
Maney (USA)Ostenfeld (Dinamarca)
C Método iterativo de Hardy Cross (1932)
C Formulación matricial actual (1944)
G. Kron “Tensorial analysis of elastic structures”
C Método de elementos finitos.
TurnerClough
C Desarrollo y generalización del uso de los ordenadores
CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
f
P.l 4 4
P.l
P
n.P
n.
n.f
++
SUPUESTOS PREVIOS.
- Linearidad.- Los movimientos y esfuerzos son funcioneslineales de las cargas aplicadas.
Ventajas Simplifica el análisisPermite la superposición de soluciones
Condiciones Materiales elásticosDesplazamientos pequeños
- Superposición.- Los esfuerzos y movimientos que produce unconjunto de sistemas de carga actuando a la vez es igual a la sumade los que producirían actuando por separado.
En cálculo matricial es fundamental este principio desuperposición, puesto que en general hemos de superponer dosestados:
C Estado de empotramiento perfectoC Estado final de cálculo.
CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
1 2 3→ →
1 3 2→ →
MÉTODOS MATRICIALES.
En estructuras la relación determinista
CAUSA EFECTO↔se establece como
FUERZA MOVIMIENTO↔Es una relación biunívoca que debe satisfacer:
1.- Ecuaciones constitutivas del material Ley de Hooke2.- Ecuaciones de compatibilidad3.- Ecuaciones de equilibrio
ESTRUCTURAS ISOSTÁTICAS Ecuación 3ESTRUCTURAS HIPERESTÁTICAS Ecuaciones 1,2, 3
Lo que diferencia los métodos matriciales es el ORDEN deutilización de las ecuaciones
MÉTODO DE EQUILIBRIOO DE RIGIDEZ
MÉTODO DE LAS FUERZASO DE FLEXIBILIDAD
CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
X = T L⋅
↓
↓
MÉTODO DE FLEXIBILIDAD
INCÓGNITAS BÁSICAS FUERZAS HIPERESTÁTICAS
DATOS FUERZAS EN LOS NUDOS
APLICACIÓN DEL MÉTODO
1.- Expresar las deformaciones en función de los esfuerzos en losextremos de las barras. (Ecuación constitutiva).
2.- Expresar los esfuerzos en los extremos de las barras en funciónde las incógnitas hiperestáticas y de las fuerzas exterioresconocidas. (Ecuación de equilibrio).
3.- Aplicar las ecuaciones de compatibilidad de las deformaciones.(Ecuación de compatibilidad).
SE GENERA UN SISTEMA LINEAL DE ECUACIONES
X = matriz de deformacionesT = matriz de flexibilidad en coordenadas globalesL = matriz incógnita (fuerzas hiperestáticas)
RESOLUCIÓN L = T -1.X Fuerzas hiperestáticas
Se aplica 2 Esfuerzos en barras
Se aplica 1 Deformaciones
CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
L = S X⋅
↓
↓
MÉTODO DE RIGIDEZ
INCÓGNITAS BÁSICAS MOVIMIENTOS EN LOS NUDOS
DATOS FUERZAS EN LOS NUDOS
APLICACIÓN DEL MÉTODO
1.- Expresar las esfuerzos en los extremos de las barras en funciónde los movimientos en dichos extremos. (Ecuación constitutiva).
2.- Aplicar las ecuaciones de compatibilidad de las deformaciones.Se ponen los movimientos de los extremos de las barras(coordenadas locales) en función de los movimientos de los nudos(coordenadas globales). (Ecuación de compatibilidad).
3.- Aplicar las ecuaciones de equilibrio de nudos. (Ecuación deequilibrio).
SE GENERA UN SISTEMA LINEAL DE ECUACIONES
L = matriz de cargas en los nudosS = matriz de rigidez en coordenadas globalesX = matriz incógnita (desplazamientos en los nudos)
RESOLUCIÓN X = S-1.L Desp lazamien tos encoord. globales
Se aplica 2 Desp lazamientos encoord. locales
Se aplica 1 Esfuerzos
CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
x'
z'
y'
+
++
+
+
+
+
++
Fuerzas y desplazamientos
Momentos y giros
j
i
x
y
z Eje x Directriz de la barraEjes y,z Ejes principales de
inercia de la sección
DATOS DE LA BARRAL, A, I , I ,Iy z T
(ángulos con ejes globales)
SISTEMAS DE REFERENCIA Y CONVENIOS DE SIGNOS
SISTEMA DE COORDENADAS GLOBALESSISTEMA DE COORDENADAS LOCALES
CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
y'
x'
x
y
x'
y'z'
=
x' x x'y x' z
y'x y' y y' zz' x z' y z' z
x
yz
cosenos directores
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅
⋅
1 2444 3444
∆ = cos -sen 0sen cos 0
0 0 1
α αα α
CAMBIOS DE SISTEMAS DE REFERENCIA
Para resolver una estructura es preciso cambiar las variables decoordenadas locales a globales y viceversa m a t r i z d etransformación
O’x’y’z’ Sistema globalO x y z Sistema local
CAMBIO DE EJES
En forma matricial X’ = D . X
Generalmente el cambio de ejes es una rotación. En el plano
CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
P'x1 x2P'
x1d' d'x2
x3P Px3
Px2Px2
x1Px1P
1 2
12
3
P = k d
P = k dP = k d
P
PP
P
=
k 0 0
0 k 00 0 k
K
d
dd
d
x1 1 x1
x2 2 x2
x3 3 x3
x1
x2
x3
1
2
3
x1
x2
x3
⋅⋅⋅
⋅
~ ~ ~123 1 244 344 123
d = d' - 0
d = d' - d'd = 0 - d'
d
dd
d
=
1 0
-1 00 -1
A
d'd'
d'
x1 x1
x2 x2 x1
x3 x2
x1
x2
x3
x1
x2
⋅
~ ~~123 124 34
123
CÁLCULO MATRICIAL: PRINCIPIOS GENERALES.
Ecuación constitutiva relaciona los esfuerzos con losdesplazamientos Coord. locales
P = matriz de fuerzas internasK = matriz de rigidezd = matriz de desplazamientos de elementos
Ecuación de compatibilidad relaciona los desplazamientos deelementos (coordenadas locales)c o n l o s d e l o s n u d o s(coordenadas globales)
A = matriz de compatibilidadd’ = matriz de desplazamientos de nudos
CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
P = P - PP = P - P
PP
P'
= 1 -1 00 1 -1
A
PPP
P
x1 x1 x2
x2 x2 x3
x1
x2
t
x1
x2
x3
''
''~ ~
~
⋅
123 1 24 34
123
Ecuación de equilibrio las fuerzas externas has de equilibrarseco las fuerzas internas (coordenadasglobales)
P’ = matriz de fuerzas exterioresAt = Matriz traspuesta de A
Se formulan tres ecuaciones matriciales
~ ~ ~
~ ~ ~
~ ~ ~
P = K d Ecuacion constitutiva
d = A d' Ecuacion de compatibilidad
P' = A P Ecuacion de equilibriot
⋅
⋅
⋅Proceso
~ ~ ~1 P’ = At . P
~ ~ ~ ~2 P’ = At . K . d
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~3 P’ = At . K . A . d’ P’ = S . d’
~ ~ ~P’ = S . d’ Expresa la ecuación matricial en coordenadas
globales de la estructura completa.
CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
Pxi Pxji j
dxi xjd
ji xjxi PP
yjPPyi m jm i
ECUACIÓN CONSTITUTIVA
C Expresa la relación entre los esfuerzos sobre un elemento ylos desplazamientos de dicho elemento. Para materialeselásticos es la ley de Hooke.
C Al referirse a cada elemento se formula en coordenadaslocales.
C Su grado de complejidad depende del número de esfuerzosque definan el estado de la barra.
ESTRUCTURAS ARTICULADAS Sólo esfuerzo axil
{ {
PP
P
=
E Al
- E Al
-E A
lE A
l
K
dd
d
xi
xj
xi
xj
⋅ ⋅
⋅ ⋅
⋅
~ ~ ~1 244 344
Puesto en forma matricial
( )
P = - P
l = d - d =P l E A
P = - P = E Al
d - d
xi xj
xj xixj
xj xi xj xi
∆⋅
⋅⋅
ESTRUCTURAS RETICULADAS Axil, cortante y flector
P
PmP
Pm
= K
d
d
d
d
xi
yi
i
xj
yj
j
xi
yi
i
xj
yj
j
⋅
~ θ
θ
CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
z'
x'
xjP
zjP m yj
yjP
xjm
m zj
zi
xi
m
myizi
yi
m
P
P
xiP
y'
~ ~ ~
~ ~ ~~ ~ ~ ~P = K d (rigidez)
d = T P (Flexibilidad) T = K K = T-1 -1
⋅
⋅
⇒
U = 12
NE A
+ ME I
+ V
G A +
MG J
dx2 2 2
e
T
2
0
l
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅∫
d = UP
d = T Pi
i
∂∂
⇒ ⋅~ ~ ~
CÁLCULO DE LA ECUACIÓN CONSTITUTIVA PORMEDIO DE LA MATRIZ DE FLEXIBILIDAD
Esfuerzos
AxilMomentos flectoresEsfuerzos cortantesMomento torsor
La matriz de flexibilidad relaciona los desplazamientos delelemento con sus esfuerzos Inversa de la matriz de rigidez.
La ventaja de este método es que la matriz de flexibilidad puedeobtenerse siempre por simple aplicación del teorema deCastigliano.
Energía elástica del elemento
Derivando la energía elástica con respecto a cada esfuerzo sepuede obtener el desplazamiento correspondiente.
E invirtiendo la matriz de flexibilidad se obtiene la matriz de rigidez.
CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
m
xi
yi
P
P
y'
x'
i
jyj mP
xjPy
x
{ {
xyz
x
= cos sen 0-sen cos 0
0 0 1
A
x'y'z'
x'
⋅
~ ~ ~
α αα α
1 24444 34444
{ {
PPm
P
= cos sen 0-sen cos 0
0 0 1
A
P 'P 'm'
P'
x
y
x
y
⋅
~ ~ ~
α αα α
1 24444 34444
{
dd
d
= cos sen 0-sen cos 0
0 0 1
A
d 'd '
'
d'
x
y
x
y
θ
α αα α
θ
⋅
~ ~ ~1 24444 34444 123
ECUACIÓN DE COMPATIBILIDAD.
Los esfuerzos internosllevan la dirección delos ejes locales.
Las fuerzas externasllevan la dirección delos ejes globales.
Las leyes de cambio decoordenadas son lasmismas que para ejes.
Se trata de una rotación de ejes de ángulo a
Para los esfuerzos
Para los desplazamientos
Las mismas relaciones pueden generalizarse para cualquiersistema de coordenadas.
CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
m'
x2x1 P'P' 1 2
1m' y2y1P' P'2
3 4
~ ~ ~P' = A P⋅
ECUACIÓN DE EQUILIBRIO
~
......
.......
.
.......
P' =
P'P'M'
P'P'
M'
x1
y1
1
x2
y2
2
Estructura cualquiera con cargas en los nudos
Fuerzas exteriores Fuerzas interioresse equilibran
{ {
Fuerzas P' P
Desplazamientos d' dexteriores internas
~ ~
~ ~↔
↔
Aplicando el principio de trabajos virtuales12
P' d' = 12
P di ii
j jj
trabajo fuerzasexternas
trabajo fuerzasinternas
⋅ ⋅ ⋅ ⋅∑ ∑1 24 34 1 24 34
En forma matricial ~ ~ ~ ~P' d' = P dt t⋅ ⋅
Aplicando la ecuación de compatibilidad~ ~ ~d = A d'⋅
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~P' d' = P A d P' = P At t t t⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ⋅
Y trasponiendo esta ecuación
Ecuación de equilibrio
CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
~ ~ ~
~ ~
~ ~ ~
P = K d
d = A d'
P' = A P t
⋅
⋅
⋅
PLANTEAMIENTO GENERAL DEL CÁLCULOMATRICIAL
Ecuación constitutiva
Ecuación de compatibilidad
Ecuación de equilibrio
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
~~ ~~
~ ~ ~ ~
P = K d P = K A d'
multiplicando a la izquierda por A
A P
P'
= A K A
S
d' P' = S d'
t
t t
⋅ ⇒ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⇒ ⋅123 1 24 34
Sistema lineal de ecuaciones
n datos Fuerzas en los nudosn incógnitas Desplazamientos en los nudos
El problema se reduce a resolver un sistema lineal de n ecuacionescon n incógnitas, por cualquiera de los métodos matemáticosdisponibles.
s s s ... s
s s s ... ss s s ... s
: : : ... :s s s ... s
x
xx
:x
=
p
pp
:p
11 12 13 1n
21 22 23 2n
31 32 33 3n
n1 n2 n3 nn
1
2
3
n
1
2
3
n
⋅
Una vez resuelto el sistema se conocen los desplazamientos de losnudos en coordenadas globales.
CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
ENSAMBLAJE POR BLOQUES
Matriz de un elemento Coordenadas globales
~~
~ ~~ ~
~~
P'P '
= S SS S
d 'd '
i
j
ii ij
ji jj
i
j
⋅
Situación en la matriz de rigidez de la totalidad de la estructura
• •• •• •
• • • • • • • • • •• •• •• •
• • • • • • • • • •• •• •• •• •
+S +S
+S +S
fila i
fila j
columna
i
columna
j
ii ij
ji jj
CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
5
21
6
3
4
1 2
3 4 5
P'1
2P'
3P'
4P'
5P'
6P'
11S1 311S+ 1
12S
+ 222S
122S + 4
22S
+ 533S2
33S
S143
425S
121S
S322
0
536S
S344
566S
455S
635S
452S
0
0
0
0
0
0
0
41S3
0
0
0
0
0 0
0
0 0
0
0
0
6
5
4
3
2
d'
d'
d'
d'
d'1d'
= .
= 0
= 0
223S
EJEMPLO DE ENSAMBLAJE POR BLOQUES DE LAMATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA ESTRUCTURA
En los nudos 5 y 6 los tres desplazamientos son nulos al tratarsede empotramientos. Pueden eliminarse del sistema de ecuaciones.
El nudo 4 tiene dos desplazamientos nulos (articulaciones). Lasfilas correspondientes a esos desplazamientos también puedeneliminarse.
CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
d =0y d =0x
d =0y d =0d =0x
y
=00
EFECTO DE LOS VÍNCULOS.
Una vez efectuado el ensamblaje de matrices se obtiene un sistemalineal de ecuaciones del tipo
s s s ... s
s s s ... ss s s ... s
: : : ... :s s s ... s
x
xx
:x
=
p
pp
:p
11 12 13 1n
21 22 23 2n
31 32 33 3n
n1 n2 n3 nn
1
2
3
n
1
2
3
n
⋅
La existencia de un vínculo supone un desplazamiento conocido.La ecuación correspondiente a esa incógnita no necesita serresuelta.
D e s p l a z a m i e n t o snulos
Son ecuaciones quepueden eliminarse delsistema. En la prácticaes mucho más simpleformar la ecuación perosaltarla a la hora deresolver el sistema.
Desplazamientos conocidos pero no nulosEs preciso modificar la matriz de rigidez global.
Supongamos conocido el valor de x2 x2=b
Métodos de resolución Resolución directaFactores de penalización
CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
Método de resolución directa.- Se modifica el sistema deecuaciones en forma tal que mantenga la simetría.
s 0 s ... s
0 1 0 ... 0s 0 s ... s: : : ... :
s 0 s ... s
x
xx:
x
=
p - s
p - s:
p - s
11 13 1n
31 33 3n
n1 n3 nn
1
2
3
n
1 12
3 32
n n2
⋅
β
ββ
β
Si hay más desplazamientos conocidos se repite este proceso lasveces que haga falta.
Método de los factores de penalización.- Se modifica el sistema deecuaciones utilizando un factor de penalización muy grande, porejemplo 1010.
s s s ... s
s s 10 s ... ss s s ... s
: : : ... :s s s ... s
x
xx
:x
=
p
p 10p
:p
11 12 13 1n
21 2210
23 2n
31 32 33 3n
n1 n2 n3 nn
1
2
3
n
1
210
3
n
⋅
⋅
⋅ ⋅
β
Si dividimos la segunda ecuación por s22.1010 obtendremos
ss
10 x + x + ss
10 x + ... + ss
10 x = 21
22
-101 2
23
22
-103
2n
22
-10n⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ β
Que es prácticamente equivalente a x2=b que es la ecuación deldesplazamiento impuesto
CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES
Métodos directos.- Son algoritmos que proporcionan una soluciónexacta del sistema tras un número finito de operaciones.
C Método de GaussC Método de Gauss-JordanC Método frontalC Método de Cholesky
Método iterativos.- Son algoritmos que suponen una solucióninicial inexacta que va convergiendo a la solución exacta poraproximaciones sucesivas.
C Método de JacobiC Método de Gauss-SeidelC Método de gradientes conjugados
El problema principal de los métodos iterativos es asegurar la convergencia de lasolución en un número finito de pasos.
CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
MÉTODO DE GAUSS
S11.x1 + s12.x2 + s13.x3 + ........ + s1n.xn = p1 pivotesS21.x1 + s22.x2 + s23.x3 + ........ + s2n.xn = p2 X f21=-s21/s11
S31.x1 + s32.x2 + s33.x3 + ........ + s3n.xn = p3 X f31=-s31/s11 . . . . . . . . . . . . . . .
Sn1.x1 + sn2.x2 + sn3.x3 + ........ + snn.xn = pn X fn1=-sn1/s11
C Se multiplica la ecuación pivote por cada pivote y se suma acada ecuación
s11.(-s21/s11) + s11 = -s11 + s11 = 0
C La ecuación pivote se mantiene y cada una de las demás semodifica anulando la primera columna
S11.x1 + s12 .x2 + s13 .x3 + ........ + s1n .xn = p1 pivotes 0.x1 + s’22.x2 + s’23.x3 + ........ + s’2n.xn = p’2 0.x1 + s’32.x2 + s’33.x3 + ........ + s’3n.xn = p’3 X f’32=-s’32/s’22 . . . . . . . . . . . . . . .
0.x1 + s’n2.x2 + s’n3.x3 + ........ + s’nn.xn = p’n X f’n2=-s’n2/s’22
C Se toma la segunda ecuación como pivoteC Se reitera el proceso anulando la segunda columnaC Se toma la tercera ecuación como pivoteC Se reitera el proceso anulando la tercera columnaC Se repite con todas las ecuaciones hasta que todos los
términos bajo la diagonal principal sean nulos (matriztriangular)
s11.x1 + s12 .x2 + s13 .x3 + ........ + s1n-1 .xn-1 + s1n .xn = p1 + s22 .x2 + s23 .x3 + ........ + s2n-1 .xn-1 + s2n .xn = p2 + s33 .x3 + ........ + s3n-1 .xn-1 + s3n .xn = p3 . . . . . . . . . . . . . . .
+ sn-1,1 .xn-1 + sn-1,n .xn = pn-1 + snn .xn = pn C De la última ecuación se despeja xn
C Llevando este valor a la penúltima se despeja xn-1
C Procediendo sucesivamente se obtienen todas las incógnitas
CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
xjyiP P
xiP
m i
x'
x
y'mPyj j
y
CÁLCULO DE ESFUERZOS
Se obtienen los desplazamientos en los~ ~ ~P' = S d'⋅
nudos , pero interesa conocer losesfuerzos en la barras.
Para cada barra
Se conocen d’i y d’j
Interesa conocer P i y Pj
pero~ ~ ~P = K d⋅
~ ~ ~d = A d'⋅
Calculamos los desplazamientos en coordenadas locales
~ ~ ~d = A d'⋅
Llevando estos desplazamientos a la ecuación constitutiva seobtienen los esfuerzos sobre la barra
~ ~ ~P = K d⋅
Al afectar a las barras una por una no es necesario recurrir a lasmatrices completas de la estructura, sino sólo a las de cada barra,lo que supone una gran simplificación de cálculo.
CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
F i
x'
y'
iP
COMPROBACIÓN DE RESULTADOS
Los resultados del cálculo matricial nunca son rigurosamenteexactos.
Errores de truncaduraSIEMPRE es preciso comprobar quela estructura está en equilibrio
Problemas de mal condicionamiento
ESTRUCTURAS DE NUDOS ARTICULADOS.- Se comprueba elequilibrio de los nudos, para las fuerzas horizontales y verticalesexternas.
F = 0 F + P cos = 0
F = 0 F + P sen = 0
x ix i ii=1
n
y iy i ii=1
n
∑ ∑
∑ ∑
⇒ ⋅
⇒ ⋅
α
α
CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
iF
y'
xiP
x'
iMm i
yiP
ESTRUCTURAS DE NUDOS RÍGIDOS.- Se comprueba el equilibrio delos nudos para las fuerzas horizontales y verticales y para losmomentos externos.
F = 0 F + (P cos - P sen ) = 0
F = 0 F + (P sen + P cos ) = 0
M = 0 M + m = 0
x ix xi i yi ii=1
n
y iy xi i yi ii=1
n
i ii=1
n
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
⇒ ⋅ ⋅
⇒ ⋅ ⋅
⇒
α α
α α
CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
x'
yy'
xi
j
Pxi Pxji j
dxi xjd ( )
P = - P
l = d - d =P l E A
P = - P = E Al
d - d
xi xj
xj xixj
xj xi xj xi
∆⋅
⋅⋅
{ {
PP
P
=
E Al
- E Al
-E A
lE A
l
K
dd
d
xi
xj
xi
xj
⋅ ⋅
⋅ ⋅
⋅
~ ~ ~1 244 344
~ ~ ~ ~ ~
~ ~ ~ ~ ~P = K d + K d
P = K d + K d
i ii i ij j
j ji i jj j
⋅ ⋅
⋅ ⋅
ESTRUCTURAS PLANAS DE NUDOS ARTICULADOS
Ecuación de la barra
Puesto en forma matricial
CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
Pxi
x'
y'
P'yi
xiP' i
xy
j
P' = P cos P' = P sen
xi xi
yi yi
⋅⋅
αα
( ){P'P'
P'
= cos sen
A
P P
xi
yi
i
t
xi
i
⋅
~ ~ ~123 1 24 34
αα
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~P = K d + K d P = K A d' + K A d'
P = K d + K d P = K A d' + K A d'
i ii i ij j i ii i ij j
j ji i jj j j ji i jj j
⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~P' = A P = A K A d' + A K A d' = S d' + S d'
P' = A P = A K A d' + A K A d' = S d' + S d'
it
it
ii it
ij j ii i ij j
jt
jt
ji it
jj j ji i j j j
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Cambio de ejes
En forma matricial
Proyectando sobre el eje de la barra
( ){ ( )P = P' cos + P' sen P
P
= cos sen
A
P'P'
P'
xi xi yi xi
i
xi
yi
i
α α α α⇒ ⋅
~ ~~
1 244 344123
Para los desplazamientos las relaciones son idénticas
~ ~ ~d = A d'i i⋅
~ ~ ~d ' = A di
ti⋅
Aplicando la transformación de coordenadas a las ecuaciones
Multiplicando a la izquierda por At
CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
Efectuando las multiplicaciones matriciales
( )S = S =cos sen
EAl
cos sen =
EAl
cosEA
lsen cos
EAl
sen cos EA
lsen
ii j j
2
2
αα
α αα α α
α α α
⋅
⋅
( )S = S =cos
sen - EA
lcos sen =
- EAl
cos - EAl
sen cos
- EAl
sen cos - EAl
senij ji
2
2
α
αα α
α α α
α α α
⋅
⋅
La matriz de rigidez en coordenadas globales de la barra será
P'P'......P'P'
=
EAl
cos EAl
sen cos : - EAl
cos - EAl
sen cos
EAl
sen cos EAl
sen : - EAl
sen cos - EAl
sen
......................... ......... ................ : ...............
xi
yi
xj
yj
2 2
2 2
α α α α α α
α α α α α α
.......... ........................- EA
lcos - EA
lsen cos : EA
lcos EA
lsen cos
- EAl
sen cos - EAl
sen : EAl
sen cos EAl
sen
d'd'......d'd'
2 2
2 2
xi
yi
xj
yj
α α α α α α
α α α α α α
⋅
CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
Pxi
x'
y'
P'yi
xiP' i
xy
j
d = cos d' + sen d'xi xi yiα α⋅ ⋅
d = cos d' + sen d'xj xj yjα α⋅ ⋅
CÁLCULO DE ESFUERZOS: ESTRUCTURASARTICULADAS PLANAS
Para cada barra seaplica la ecuación decompatibilidad
~ ~ ~d = A d'⋅
( ){ ( )d
d
= cos sen
A
d'd'
d'
xi
xi
yi~ ~ ~
α α1 2444 3444
123⋅
Nudo origen i
Nudo extremo j
Aplicando la ecuación constitutiva
~ ~ ~P = K d⋅
P = EAl
d - EAl
d
P = -EAl
d + EA
ld
xi xi xj
xj xi xj
⋅ ⋅
⋅ ⋅
CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
F i
x'
y'
iP
P'xi
yiP'
COMPROBACIÓN DE RESULTADOS: ESTRUCTURASARTICULADAS PLANAS.
Se comprueba el equilibrio de los nudos, para las fuerzashorizontales y verticales externas.
Es preciso pasar los esfuerzos sobre las barras a coordenadasglobales
( )~ ~ ~P' = A P
P'P'
=cos sen
. P
P' = P cos ; P' = P sen
it
i
xi
yii
xi i yi i
⋅ ⇒
⋅ ⋅
αα
α α
Aplicando las condiciones de equilibrio
F = 0 F + P cos = 0
F = 0 F + P sen = 0
x ix i ii=1
n
y iy i ii=1
n
∑ ∑
∑ ∑
⇒ ⋅
⇒ ⋅
α
α
CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
i
jy
x
y'
x'
ESTRUCTURAS DE PÓRTICOS PLANOS
Matriz de cargas Matriz de fuerzasexteriores internas
P' = FF
M
P =
PPm....PPm
i
xi
yi
i
i
xi
yi
i
xj
yj
j
~ ~
Desplazamientos en Desplazamientos encoord. locales coordenadas globales
d =
dd
....
dd
d' =
d'd'
'....
d'd'
'
i
xi
yi
i
xj
yj
j
i
xi
yi
i
xj
yj
j
~ ~θ
θ
θ
θ
CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
x
Pxj
Pyi
Pxi
Pyj
xid xjd
y
m j
m i
1
1 i
j
Estado 1
m
2im
Estado 2
2j
i
j
yid - dyj
dyiyjd
i
j
ji
Momentos producidos por el estado 1.- Giro de los extremos.
θ
θ
θ θ
θ θ
ii
1j
1
ji
1j
1
i
1
i j
j
1
i j
= m l3E
- m l6E
= -m l3E
+ m l6E
m =
4El
+ 2E
l
m = 2El
+ 4El
⋅ ⋅
⋅ ⋅
⇒⋅ ⋅
⋅ ⋅I I
I I
I I
I I
Momentos producidos por el estado 2.- Desplaz. de los extremos.
( )m = m = 6El
d - d = 6El
d - 6El
di
2
j
2
2 yi yj 2 yi 2 yj
I I I⋅ ⋅
El estado total es la suma de ambos
m = 6El
d + 4E
l -
6El
d + 2E
l
m = 6El
d + 2E
l -
6El
d + 4E
l
i 2 yi i 2 yj j
j 2 yi i 2 yj j
I I I I
I I I I
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
θ θ
θ θ
CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
P = K d + K d P = K d + K d
En coordenadas localesi ii i ij j
j ji i jj j
~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~
⋅ ⋅⋅ ⋅
⇒
Esfuerzos cortantes.- Se plantea la ecuación de equilibrio de labarra
P = - P = m + m
l = 12E
ld + 6E
l - 12E
ld + 6E
lyi yji j
3 yi 2 i 3 yj 2 j
I I I I⋅ ⋅ ⋅ ⋅θ θ
Esfuerzos axiles.- Su formulación es idéntica a las estructurasarticuladas
P = - P = EAl
d - EAl
dxi xj xi xj⋅ ⋅
Poniendo todas estas ecuaciones en forma matricial
{ {
PP
m
P
=
EAl
0 0
012E
l6El
06El
4El
K
dd
d
+
-EA
l0 0
0 -12E
l6El
0 -6El
2El
K
dd
xi
yi
i
i
3 2
2
ii
xi
yi
i
i
3 2
2
ij
xj
yj
j
⋅
⋅
~ ~ ~ ~
I I
I I
I I
I I
1 2444 3444 1 24444 34444
θ θ{
~dj
{ {
PPm
P
=
-EA
l0 0
0 -12E
l-6El
06El
2El
K
dd
d
+
-EA
l0 0
012E
l-
6El
0 -6El
4El
K
dxj
yj
j
j
3 2
2
ji
xi
yi
i
i
3 2
2
jj
xj
⋅
⋅
~ ~ ~ ~
I I
I I
I I
I I
1 24444 34444 1 24444 34444
θ{
d
d
yj
j
j
θ
~
Que pueden ponerse en la forma
CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
~ ~ ~P = A P'⋅~ ~ ~P' = A Pt ⋅
PPm
=cos sen 0-sen cos 0
0 0 1
P'P'm
x
y
x
y
⋅
α αα α
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~P = K d + K d P = K A d' + K A d'
P = K d + K d P = K A d' + K A d'
i ii i ij j i ii i ij j
j ji i jj j j ji i jj j
⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~P' = A P = A K A d' + A K A d' = S d' + S d'
P' = A P = A K A d' + A K A d' = S d' + S d'
it
it
ii it
ij j ii i ij j
jt
jt
ji it
jj j ji i j j j
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Cambio de coordenadas.- Se pasan de coordenadas locales (x,y)a globales (x’,y’) por medio de una matriz de rotación.
Como en las matrices derotación la inversa es igual a latraspuesta
Aplicando la transformación de coordenadas a las ecuaciones
Multiplicando a la izquierda por At
Para calcular las submatrices S se aplica la transformación decoordenadas a cada una de las submatrices K
CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
~
~ ~ ~
S =
cos -sen 0
sen cos 00 0 1
A
EAl
0 0
012E
l6El
06El
4El
K
cos sen 0
-sen cos 00 0 1
A
ii
t
3 2
2
ii
α αα α
α αα α
⋅
⋅
1 2444 34441 2444 3444
1 2444 3444
I I
I I
El resultado final de efectuar estas multiplicaciones matriciales alas cuatro submatrices será
Siendo~S =
a c d : -a -c d
c b e : -c -b ed e f : -d -e g... ... ... ... ... ... ...
-a -c -d : a c -d-c -b -e : c b -e
d e g : -d -e f
a = EAl
cos + 12El
sen
b =EAl
sen +12E
lcos
c =EAl
sen cos -12E
lsen cos
d = - 6El
sen ; e = 6El
cos
f = 4El
; g = 2El
2
3
2
2
3
2
3
2 2
⋅ ⋅
⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅
α α
α α
α α α α
α α
I
I
I
I I
I I
CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
dd =
cos sen 0-sen cos 0
0 0 1
d'd'
'
xi
yi
i
xi
yi
iθ
α αα α
θ
⋅
~ ~ ~P = K d⋅
d = cos d' + sen d'
d = - sen d' + cos d'
= '
xi xi yi
yi xi yi
i i
α α
α α
θ θ
⋅ ⋅
⋅ ⋅
d = cos d' + sen d'
d = - sen d' + cos d'
= '
xj xj yj
yj xj yj
j j
α α
α α
θ θ
⋅ ⋅
⋅ ⋅
CÁLCULO DE ESFUERZOS: ESTRUCTURAS DE PÓRTICOS PLANOS
Para cada barra se aplica la ecuación de compatibilidad
~ ~ ~d = A d'⋅
Aplicando esta ecuación a losnudos origen y extremo de la barra
Nudo origen i
Nudo extremo j
Aplicando la ecuación constitutiva
P = - P = EAl
d - EAl
dxi xj xi xj⋅ ⋅
P = - P = m +m
l = 12E
ld + 6E
l - 12E
ld + 6E
lyi yji j
3 yi 2 i 3 yj 2 j
I I I I⋅ ⋅ ⋅ ⋅θ θ
m = 6El
d + 4El
- 6El
d + 2El
m = 6El
d + 2El
- 6El
d + 4El
i 2 yi i 2 yj j
j 2 yi i 2 yj j
I I I I
I I I I
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
θ θ
θ θ
CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
iF
y'
xiP
x'
iMm i
yiP
COMPROBACIÓN DE RESULTADOS: ESTRUCTURAS DE PÓRTICOSPLANOS.
Se comprueba el equilibrio de los nudos, para las fuerzashorizontales y verticales externas y para los momentos exteriores.
Es preciso pasar los esfuerzos sobre las barras a coordenadasglobales
~ ~ ~P' = A P
P'P'
m'
=cos -sen 0sen cos 0
0 0 1
.PP
m
P' = P cos - P sen
P' = P sen + P cos
m' = m
it
i
xi
yi
i
i i
i i
xi
yi
i
xi xi i yi i
yi xi i yi i
i i
⋅ ⇒
⋅ ⋅
⋅ ⋅
α αα α
α α
α α
Aplicando las condiciones de equilibrio
F = 0 F + (P cos - P sen ) = 0
F = 0 F + (P sen + P cos ) = 0
M = 0 M + m = 0
x ix xi i yi ii=1
n
y iy xi i yi ii=1
n
i ii=1
n
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
⇒ ⋅ ⋅
⇒ ⋅ ⋅
⇒
α α
α α
CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
i j
-m
ji-m
ij
mi
-Vi
-m i
j
j-V
j
+
i-V j+V
Pq
Pq
Estado general
Estado I Estado II
M
P Pxi x ji j
iM y iP Pyjj
i-V -
Diagrama de flectores Diagrama de cortantes
-
+- -
+
yiP
yjPjV +
iMi-m --m +Mj j
ACCIONES SOBRE LAS BARRAS.- PÓRTICOS PLANOS
Estado I .- Se emplea elconvenio de signos de flectoresy cortantes
Estado II.- Se emplea elconvenio de signos de matricial
Resultado final Superposición E I + EII
CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
P
P
P
M
q
y
y'
xx'z=z'
ESTRUCTURAS DE EMPARRILLADOS PLANOS
Condiciones
C Estructura plana, horizontal, de nudos rígidos.C Cargas perpendiculares al plano.C Momentos contenidos en el planos
Hipótesis
C Los desplazamientos son sólo verticales.C No se producen giros de eje vertical
CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
xixj-xim xjm
Matriz de cargas Matriz de fuerzasexteriores internas
P' = MFM
P =
mPm....mPm
i
xi
Zi
yi
i
xi
zi
yi
xj
zj
yj
~ ~
Desplazamientos en Desplazamientos encoord. locales coordenadas globales
d =
d
....
d
d' =
'd'
'....d'd'
'
i
xi
zi
yi
xj
zj
yj
i
xi
zi
yi
xj
zj
yj
~ ~
θ
θ
θ
θ
θ
θ
θ
La diferencia principal con los pórticos planos consiste en el efectodel momento torsor que es análogo al del esfuerzo axil.
m = - m = GJl - GJ
lxi xj xi xj⋅ ⋅θ θ
CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
m
ij
j
i dzjzid
tj
ti
yzjP
xim
ziP
x
d - dzi
yj2
m yi2
m
Estado 1
j
i
1 1yim yjm
xj
zj
Estado 2
Momentos producidos por el estado 1.- Giro de los extremos.
θ
θ
θ θ
θ θ
yi =
myi
1 l
3E -
myj
1 l
6E
yj = -
myi
1 l
3E +
myj
1 l
6E
m
yi1 = 4E
l yi + 2E
l yj
myj
1 = 2E
l yi +
4El yj
⋅ ⋅
⋅ ⋅
⇒⋅ ⋅
⋅ ⋅
I I
I I
I I
I I
Momentos producidos por el estado 2.- Desplaz. de los extremos.
( )m = m = 6El
d - d = 6El
d - 6El
dyi
2
yj
2
2 zi zj 2 zi 2 zj
I I I⋅ ⋅
El estado total es la suma de ambos
m = 6El
d + 4El
- 6El
d + 2El
m = 6El
d + 2El
- 6El
d + 4El
yi 2 zi yi 2 zj yj
yj 2 zi yi 2 zj yj
I I I I
I I I I
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
θ θ
θ θ
CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
P = K d + K d P = K d + K d
En coordenadas localesi ii i ij j
j ji i jj j
~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~
⋅ ⋅⋅ ⋅
⇒
Esfuerzos cortantes.- Se plantea la ecuación de equilibrio de labarra
P = - P = m + m
l =
12El
d + 6El
- 12E
ld +
6Elzi zj
i j3 zi 2 yi 3 zj 2 yj
I I I I⋅ ⋅ ⋅ ⋅θ θ
Momentos torsores.- Su formulación es análoga a las estructurasde pórticos planos
m = - m = GJl -
GJlxi xj xi xj⋅ ⋅θ θ
Poniendo todas estas ecuaciones en forma matricial
{
m
Pm
P
=
GJl
0 0
012E
l6El
0 6El
4El
K
d
d
+
- GJl
0 0
0 -12E
l6El
0 - 6El
2El
K
dxi
zi
yi
i
3 2
2
ii
xi
zi
yi
i
3 2
2
ij
xj
zj
⋅
⋅
~ ~ ~ ~
1231 2444 3444 1 24444 34444
I I
I I
I I
I I
θ
θ
θ
{θyj
jd
~
{
mPm
P
=
- GJl
0 0
0 - 12El
- 6El
0 6El
2El
K
d
d
+
- EAl
0 0
0 12El
- 6El
0 - 6El
4El
K
xj
zj
yj
j
3 2
2
ji
xi
zi
yi
i
3 2
2
jj
⋅
~ ~ ~ ~
1231 24444 34444 1 24444 34444
I I
I I
I I
I I
θ
θ{
⋅
θ
θ
xj
zj
yj
j
d
d~
Que pueden ponerse en la forma
CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
z=z' x' x
y'
~ ~ ~P = A P'⋅~ ~ ~P' = A Pt ⋅
mPm
=cos 0 sen
0 1 0-sen 0 cos
m'P'm'
x
z
y
x
z
y
⋅
α α
α α
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~P = K d + K d P = K A d' + K A d'
P = K d + K d P = K A d' + K A d'
i ii i ij j i ii i ij j
j ji i jj j j ji i jj j
⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⇒ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~
~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~P' = A P = A K A d' + A K A d' = S d' + S d'
P' = A P = A K A d' + A K A d' = S d' + S d'
it
it
ii it
ij j ii i ij j
jt
jt
ji it
jj j ji i j j j
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
Cambio de coordenadas.- Se pasan de coordenadas locales (x,y)a globales (x’,y’) por medio de una matriz de rotación.
Como en las matrices de rotación la inversa es igual a la traspuesta
Aplicando la transformación de coordenadas a las ecuaciones
Multiplicando a la izquierda por At
Para calcular las submatrices S se aplica la transformación decoordenadas a cada una de las submatrices K
CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
~
~ ~ ~
S =cos 0 -sen
0 1 0sen 0 cos
A
GJl
0 0
0 12El
6El
0 6El
4El
K
cos 0 sen0 1 0
-sen 0 cos
A
ii
t
3 2
2
ii
α α
α α
α α
α α
⋅
⋅
1 2444 34441 2444 3444
1 2444 3444
I I
I I
El resultado final de efectuar estas multiplicaciones matriciales alas cuatro submatrices será como en el caso del pórtico plano
Siendo los coeficientes~S =
a c d : g -c hc b e : c -b id e f : h -i j... ... ... ... ... ... ...g c h : a -c d-c -b -i : -c b -ih i j : d -i f
a =GJl
cos +4E
lsen ; b =
12El
c = -6El
sen ; d =GJl
sen cos -4E
lsen cos
e = 6El
cos ; f = GJl
sen + 4El
cos
g = -GJl
cos +2E
lsen ; h = -
GJl
sen cos +2E
lsen cos
i =6El
cos ; j = -GJl
sen
2 23
2
22 2
2 2
2
⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅
α α
α α α α α
α α α
α α α α α α
α
I I
I I
I I
I I
I 2 2+2E
lcosα αI ⋅
CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
θ
θ
α α
α α
θ
θ
xi
zi
yi
xi
zi
yi
d =
cos 0 sen
0 1 0
-sen 0 cos
'
d'
'
⋅
~ ~ ~P = K d⋅
θ α θ α θ
θ α θ α θ
xi xi yi
zi zi
yi xi yi
= cos ' + sen '
d = d'
= - sen ' + cos '
⋅ ⋅
⋅ ⋅
θ α θ α θ
θ α θ α θ
xj xj yj
zj zj
yj xj yj
= cos ' + sen '
d = d'
= - sen ' + cos '
⋅ ⋅
⋅ ⋅
CÁLCULO DE ESFUERZOS: ESTRUCTURAS DE EMPARRILLADOSPLANOS
Para cada barra se aplica la ecuación de compatibilidad
~ ~ ~d = A d'⋅
Aplicando esta ecuación a los nudos origen y extremo de la barra
Nudo origen i
Nudo extremo j
Aplicando la ecuación constitutiva
m = - m = GJl
- GJlxi xj xi xj⋅ ⋅θ θ
P = - P = m +m
l =
12El
d + 6El
- 12E
ld +
6Elzi zj
yi yj3 zi 2 yi 3 zj 2 yj
I I I I⋅ ⋅ ⋅ ⋅θ θ
m = 6El
d + 4El
- 6El
d + 2El
m = 6El
d + 2El
- 6El
d + 4El
yi 2 zi yi 2 zj yj
yj 2 zi yi 2 zj yj
I I I I
I I I I
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
θ θ
θ θ
CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
y
y'
x'z=z'
x
F
M
COMPROBACIÓN DE RESULTADOS: ESTRUCTURAS DEEMPARRILLADOSPLANOS.
Se comprueba el equilibrio de los nudos, para las fuerzas verticalesexternas y para los momentos exteriores.Es preciso pasar los esfuerzos sobre las barras a coordenadas globales
~ ~ ~P' = A P
m'
P'm'
=
cos 0 -sen
0 1 0sen 0 cos
.
m
Pm
m' = m cos - m sen
P' = P
m' = m sen + m cos
it
i
xi
Zi
yi
i i
i i
xi
Zi
yi
xi xi i yi i
zi zi
yi xi i yi i
⋅ ⇒
⋅ ⋅
⋅ ⋅
α α
α α
α α
α α
Aplicando las condiciones de equilibrio
M = 0 M + (m cos - m sen ) = 0
F = 0 F + P = 0
M = 0 M + (m sen + m cos ) = 0
x ix xi i yi ii=1
n
z zi zii=1
n
y iy xi i yi ii=1
n
∑ ∑
∑ ∑
∑ ∑
⇒ ⋅ ⋅
⇒
⇒ ⋅ ⋅
α α
α α
CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
x'z=z'x
y'
y
i
j
F
-V
-Vi
y
jj
-M
i
i
-M
z=z' xj
y'
j
x'z=z'-M
ii
M
j
j
y
iV
V
y'
x
Estado general
Estado I Estado II+
x'
F
ACCIONES SOBRE LAS BARRAS.- EMPARRILLADOS PLANOS
Estado I .- Se emplea el convenio de signos de flectores y cortantes
Estado II.- Se emplea el convenio de signos de matricial paraemparrillados planos
CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
V
Vi
y
j
j
Mi
i
Mz=z' x'
j
y'
x
jy'
x'
y
i
yi
x
M'Mi
jMM'xiyjM'
xjM'
α
Diagrama de flectores
-M +i M'yi
+- -
V +
Diagrama de cortantes
j
Pzi
+
--V -i
Pzj
M'yj-M -j
Los momentos del estado 2 están referidos a coordenadas locales
Deben cambiarse a coordenadas globales
M' = - M sen ; M' = M sen
M' = M cos ; M' = - M cosxi i xj i
yi i xj i
⋅ ⋅
⋅ ⋅
α α
α α
Resultado final Superposición E I + EII
CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
x'z=z'
y
ix
y'
z
α
EMPARRILLADOS SOBRE PILARES.
S u p o n e m o s s ó l od e s p l a z a m i e n t o sverticales en los nudos
m =4E
l
P =EA
ld
m =4E
l
xix
xi
zi xi
yiy
yi
I
I
⋅
⋅
⋅
θ
θ
m
Pm
=
4El
0 0
0 EAl
0
0 04E
l
dxi
zi
yi
x
y
xi
xi
yi
⋅
I
I
θ
θ
~K =
cos 0 -sen0 1 0
sen 0 cos
4El
0 0
0 EAl
0
0 04E
l
cos 0 sen0 1 0
-sen 0 cosii
x
y
α α
α α
α α
α α
⋅
⋅
I
I
~K =
4El
cos +4E
lsen 0 4E
l-
4El
sen cos
0 EAl
0
4El
-4E
lsen cos 0 4E
lsen +
4El
cos
ii
x 2 y 2 x y
x y x 2 y 2
I I I I
I I I I
α α α α
α α α α
⋅
⋅
CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
y'
z'
x'
x
j
yi
z
Px i P xj
x ix i
MALLAS ESPACIALES
Son estructurasf o r m a d a s p o rbarras articuladasen el espacio.
Ejes locales y ejes globales.
S ó l o e ssignificativo el eje x
Eje x → =− − −
( , , )
x xl
,y y
l,z z
lj i j i j icos cos cosα β γ
Matriz de rigidez
( )P PEA
ld dxi xj xi xj= − = −
CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
En forma matricial:
P
P
d
dP k d k dP k d k d
xi
xj
EAl
EAl
EAl
EAl
xi
xj
i ii i ij j
j ji i jj j
=
−
−
⋅
⇒
= += +
~ ~ ~ ~ ~~ ~ ~ ~ ~
Matriz de compatibilidad:
( )~ cos cos cos ~coscoscos
∆ ∆t = =
α β γαβγ
Matriz de rigidez en coordenadas globales
( )~ ~ cos cos coscoscoscos
S K EAlij ij= ⋅ ⋅ = ⋅ ±
⋅
∆ ∆ α β γαβγ
Efectuando el producto de matrices se obtiene
=
− − −− − −− − −
− − −− − −− − −
∑EA
l
S
S a b c a b cb d e b d e
c e f c e fa b c a b cb d e b d e
c e f c e f S
S
ii
ii
jj
ij
~
~
~
~
a=cos2ab=cos a cos bc=cosa cosg
d=cos2be=cosbcosgf=cos2g
CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
x
y
z
y
x
z
y
x
z
Px i Px j
i j
VÍNCULOS
Apoyo simple sobre un plano
dz = 0
Articulación cilíndrica
dx = 0dy = 0
Articulación esférica (rótula)
dx = 0dy = 0dz = 0
Cálculo de esfuerzos
( )P P EAl
d dxi xj xi xj= − = −
( ) ( ) ( )[ ]
pero d d' cos d' cos d' cos
d d' cos d' cos d' cos
P P EAl
d' d' cos d' d' cos d' d' cos
xi xi yi zi
xj xj yj zj
xi xj xi xj yi yj zi zj
= + +
= + +
= − = − + − + −
α β γ
α β γ
α β γ
CALCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS
Juan Pérez Valcárcel 1999
xx
x'z=z'
α
x'z=z'
α
yy
iz
y'y'm = 3E
ld
m =3E
ld
P = EAl
d
xix
2 xi
yiy
2 yi
zi zi
I
I
⋅
⋅
⋅
~K =
3El
cos +3E
lsen
3El
-3E
lsen cos 0
3El
-3E
lsen cos
3El
sen +3E
lcos 0
0 0 EAl
ii
x 2 y 2 x y
x y x 2 y 2
I I I I
I I I I
α α α α
α α α α
⋅
⋅
MALLAS ESPACIALESSOBRE PILARES.
mmP
=
3El
0 0
03E
l0
0 0EA
l
ddd
xi
yi
zi
x2
y2
xi
yi
zi
⋅
I
I
~K =
cos -sen 0
sen cos 00 0 1
3El
0 0
03E
l0
0 0EA
l
cos sen 0
-sen cos 00 0 1
ii
x
y
α α
α α
α α
α α
⋅
⋅
I
I