Post on 06-Feb-2018
Cálculo
Diferencial e
Integral I
2
Esta publicación se terminó de imprimir durante el mes de junio de 2010.
Diseñada en Dirección Académica del Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora
Blvd. Agustín de Vildósola; Sector Sur. Hermosillo, Sonora, México
La edición consta de 3,064 ejemplares.
COLEGIO DE BACHILLERES
DEL ESTADO DE SONORA
Director General
Mtro. Jorge Luis Ibarra Mendívil
Director Académico
Profr. Julio Alfonso Martínez Romero
Director de Administración y Finanzas
C.P. Jesús Urbano Limón Tapia
Director de Planeación
Mtro. Pedro Hernández Peña
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I
Módulo de Aprendizaje.
Copyright ©, 2008 por Colegio de Bachilleres
del Estado de Sonora
Todos los derechos reservados.
Tercera edición 2010. Impreso en México.
DIRECCIÓN ACADÉMICA
Departamento de Desarrollo Curricular
Blvd. Agustín de Vildósola, Sector Sur
Hermosillo, Sonora. México. C.P. 83280
Registro ISBN, en trámite.
COMISIÓN ELABORADORA:
Elaboración:
Librada Cárdenas Esquer
Lourdes Torres Delgado
Revisión Disciplinaria:
María Elena Conde Hernández
Revisión de Contenidos:
María Elena Conde Hernández
Hermenegildo Rivera Martínez
Corrección de Estilo:
Alejandro Ernesto Rivas Santoyo
Supervisión Académica:
Diana Irene Valenzuela López
Diseño de Portada:
María Jesús Jiménez Duarte
Edición:
Bernardino Huerta Valdez
Francisco Peralta Varela
Coordinación Técnica:
Claudia Yolanda Lugo Peñúñuri
Coordinación General:
Profr. Julio Alfonso Martínez Romero
3
COMPONENTE:
FORMACIÓN
PROPEDÉUTICA
GRUPO:
FÍSICO-MATEMÁTICO Y
ECONÓMICO-
ADMINISTRATIVO
Esta asignatura se imparte en el V Semestre; tiene como antecedente las
asignaturas de Matemáticas, la asignatura consecuente es Cálculo
Diferencial e Integral II, y se relaciona con todas las asignaturas del Grupo
Físico-Matemático y del Económico-Administrativo.
HORAS SEMANALES: 03
CRÉDITOS: 06
DATOS DEL ALUMNO
Nombre: ______________________________________________________
Plantel: _________________________________________________________
Grupo: ____________ Turno: _____________ Teléfono:_______________
Domicilio: _____________________________________________________
______________________________________________________________
Ubicación Curricular
4
Reglas de derivación
CÁLCULO DIFERENCIAL
E INTEGRAL I
Aplicaciones
Valores máximos y
mínimos
Optimización en las
ciencias naturales y
sociales
Graficado de curvas
complejas
Límites y continuidad
Derivadas
Funciones
elementales
Funciones
trascendentes
A problemas de
Inician con el conocimiento de
Conforman las
Se aplican
Para derivar se
usan
Se utilizan en
Mapa Conceptual de la Asignatura
5
Recomendaciones para el alumno ...................................................................... 7
Presentación .........................................................................................................8
RIEMS ..............................................................................................................9
UNIDAD 1. LÍMITES .................................................................................. 11
1.1. Límites. ..........................................................................................................13
1.1.1. Noción intuitiva de límite y límites laterales.........................................13
1.1.2. Teorema de propiedades de los límites .............................................20
1.1.3. Límites de funciones polinomiales, definidas por partes y
funciones racionales . .........................................................................23
1.1.4. Límites infinitos ....................................................................................29
1.2. Teorema de continuidad de una función .....................................................36
1.2.1. Condiciones de continuidad ...............................................................36
Sección de tareas ................................................................................................43
Autoevaluación .....................................................................................................53
Ejercicio de reforzamiento ....................................................................................55
UNIDAD 2. LAS RAZONES DE CAMBIO Y LA DERIVADA ....................... 57
2.1. La derivada ......................................................................................................... 59
2.1.1. Interpretación geométrica de la derivada ............................................... 59
2.1.2. Razón de cambio promedio .................................................................... 68
2.1.3. La razón de cambio instantánea ............................................................. 72
2.2. Reglas de derivación ......................................................................................... 72
2.2.1. Reglas para calcular derivadas ............................................................... 72
2.2.2. Regla de la cadena .................................................................................. 80
2.2.3. Derivadas de funciones trigonométricas ............................................... 84
2.2.4. Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas .......................... 87
Sección de tareas ................................................................................................91
Autoevaluación .....................................................................................................109
Ejercicio de reforzamiento ....................................................................................111
UNIDAD 3. VALORES MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS Y SUS
APLICACIONES ...................................................................... 113
3.1. Aplicaciones de la primera derivada ................................................................. 115
3.1.1. Cálculo de valores máximos y mínimos relativos con el criterio
de primera derivada ................................................................................ 115
3.1.2. Cálculos de valores máximos y mínimos con el criterio de la
segunda derivada.................................................................................... 121
3.2. Aplicaciones de la derivada ............................................................................... 124
3.2.1. Problemas prácticos de máximos y mínimos ........................................ 124
3.2.2. Aplicaciones en las ciencias naturales, económico – administrativas
y sociales ................................................................................................. 129
Sección de tareas ................................................................................................133
Autoevaluación .....................................................................................................139
Ejercicio de reforzamiento ....................................................................................141
Glosario ................................................................................................................143
Bibliografía General ..............................................................................................145
Índice
6
7
El presente Módulo de Aprendizaje constituye un importante apoyo para ti; en él
se manejan los contenidos mínimos de la asignatura Cálculo Diferencial e Integral
I.
No debes perder de vista que el Modelo Académico del Colegio de Bachilleres del
Estado de Sonora propone un aprendizaje activo, mediante la investigación, el
análisis y la discusión, así como el aprovechamiento de materiales de lectura
complementarios; de ahí la importancia de atender las siguientes
recomendaciones:
Maneja el Módulo de Aprendizaje como texto orientador de los contenidos
temáticos a revisar en clase.
Utiliza el Módulo de Aprendizaje como lectura previa a cada sesión de clase.
Al término de cada Unidad, resuelve la autoevaluación, consulta la escala de
medición del aprendizaje y realiza las actividades que en ésta se indican.
Realiza los ejercicios de reforzamiento del aprendizaje para estimular y/o
reafirmar los conocimientos sobre los temas ahí tratados.
Utiliza la bibliografía recomendada para apoyar los temas desarrollados en
cada unidad.
Para comprender algunos términos o conceptos nuevos, consulta el glosario
que aparece al final del módulo.
Para el Colegio de Bachilleres es importante tu opinión sobre los módulos de
aprendizaje. Si quieres hacer llegar tus comentarios, utiliza el portal del
Colegio: www.cobachsonora.edu.mx
Recomendaciones para el alumno
8
El programa de estudio de Cálculo Diferencial e Integral, se ubica en el grupo
disciplinario Físico- Matemático y Económico-Administrativo, del componente de
formación propedéutica del plan de estudios acordado para la reforma curricular
de bachillerato general, su enfoque metodológico está centrado en el aprendizaje,
pues promueve las estrategias de aprendizaje basadas en la solución de
problemas relacionados con las ciencias naturales y sociales.
La relevancia que tiene esta asignatura para el estudiante es contribuir al
desarrollo de su perfil de egreso para desarrollar las capacidades que le permitan
incorporarse de manera competente a los estudios de nivel superior. Por lo
anterior, la prioridad de este grupo disciplinario es el desarrollo de los procesos
lógicos del estudiante orientados al análisis y explicación de diversos fenómenos
naturales y sociales, tales como:
La aplicación en la vida cotidiana de los conocimientos de las diferentes
ramas de las matemáticas, al resolver problemas con base en sus principios y
leyes.
El manejo reflexivo y crítico del quehacer científico, y la toma de conciencia de
sus impactos social, económico y ambiental.
La adquisición de principios específicos de las diferentes áreas del
conocimiento de las matemáticas, que le faciliten su decisión personal para
elegir adecuadamente sus estudios superiores.
En esta sociedad actual, llamada “del conocimiento”, las cogniciones
matemáticas deben ser lo suficientemente sólidas para responder con flexibilidad
a los vertiginosos cambios y nuevos conocimientos en la ciencia y la tecnología.
La herramienta que brinda el cálculo diferencial e integral a través de concepto de
derivada es ciertamente poderosa, pues permite generar modelos matemáticos
para una gran variedad de fenómenos científicos, que requieren de soluciones
para su problemática.
Presentación
9
RIEMS
Introducción
El Colegio de Bachilleres del Estado de Sonora, en atención a los programas de
estudio emitidos por la Dirección General de Bachillerato (DGB), ha venido
realizando la elaboración del material didáctico de apoyo para nuestros
estudiantes, con el fin de establecer en ellos los contenidos académicos a
desarrollar día a día en aula, así como el enfoque educativo de nuestra Institución.
Es por ello, que actualmente, se cuenta con los módulos y guías de aprendizaje
para todos los semestres, basados en los contenidos establecidos en la Reforma
Curricular 2005. Sin embargo, de acuerdo a la reciente Reforma Integral de
Educación Media Superior, la cual establece un enfoque educativo basado en
competencias, es necesario conocer los fines de esta reforma, la cual se dirige a
la totalidad del sistema educativo, pero orienta sus esfuerzos a los perfiles del
alumno y profesor, siendo entonces el camino a seguir el desarrollo de las
competencias listadas a continuación y aunque éstas deberán promoverse en
todos los semestres, de manera más precisa entrará a partir de Agosto 2009, en
el primer semestre.
Competencias Genéricas
CATEGORIAS COMPETENCIAS GENÉRICAS
I. Se autodetermina
y cuida de sí.
1. Se conoce y valora a sí mismo y aborda problemas y retos
teniendo en cuenta los objetivos que persigue.
2. Es sensible al arte y participa en la apreciación e interpretación
de sus expresiones en distintos géneros.
3. Elige y practica estilos de vida saludables.
II. Se expresa y
comunica
4. Escucha, interpreta y emite mensajes pertinentes en distintos
contextos mediante la utilización de medios, códigos y
herramientas apropiados.
III. Piensa crítica y
reflexivamente
5. Desarrolla innovaciones y propone soluciones a problemas a
partir de métodos establecidos.
6. Sustenta una postura personal sobre temas de interés y
relevancia general, considerando otros puntos de vista de manera
crítica y reflexiva.
IV. Aprende de
forma autónoma
7. Aprende por iniciativa e interés propio a lo largo de la vida.
V. Trabaja en forma
colaborativa
8. Participa y colabora de manera efectiva en equipos diversos.
VI. Participa con
responsabilidad en
la sociedad
9. Participa con una conciencia cívica y ética en la vida de su
comunidad, región, México y el mundo.
10. Mantiene una actitud respetuosa hacia la interculturalidad y la
diversidad de creencias, valores, ideas y prácticas sociales.
11. Contribuye al desarrollo sustentable de manera crítica, con
acciones responsables.
10
Competencias Disciplinares Básicas
Matemáticas
1. Construye e interpreta modelos matemáticos mediante la aplicación de
procedimientos aritméticos, algebraicos, geométricos y variacionales, para la
comprensión y análisis de situaciones reales, hipotéticas o formales.
2. Formula y resuelve problemas matemáticos, aplicando diferentes enfoques.
3. Explica e interpreta los resultados obtenidos mediante procedimientos matemáticos y
los contrasta con modelos establecidos o situaciones reales.
4. Argumenta la solución obtenida de un problema, con métodos numéricos, gráficos,
analíticos o variacionales, mediante el lenguaje verbal, matemático y el uso de las
tecnologías de la información y la comunicación.
5. Analiza las relaciones entre dos o más variables de un proceso social o natural para
determinar o estimar su comportamiento.
6. Cuantifica, representa y contrasta experimental o matemáticamente las magnitudes
del espacio y las propiedades físicas de los objetos que lo rodean.
7. Elige un enfoque determinista o uno aleatorio para el estudio de un proceso o
fenómeno, y argumenta su pertinencia.
8. Interpreta tablas, gráficas, mapas, diagramas y textos con símbolos matemáticos y
científicos.
Competencias docentes:
1. Organiza su formación continua a lo largo de su trayectoria profesional.
2. Domina y estructura los saberes para facilitar experiencias de aprendizaje
significativo.
3. Planifica los procesos de enseñanza y de aprendizaje atendiendo al enfoque
por competencias, y los ubica en contextos disciplinares, curriculares y
sociales amplios.
4. Lleva a la práctica procesos de enseñanza y de aprendizaje de manera
efectiva, creativa e innovadora a su contexto institucional.
5. Evalúa los procesos de enseñanza y de aprendizaje con un enfoque
formativo.
6. Construye ambientes para el aprendizaje autónomo y colaborativo.
7. Contribuye a la generación de un ambiente que facilite el desarrollo sano e
integral de los estudiantes.
8. Participa en los proyectos de mejora continua de su escuela y apoya la
gestión institucional.
UUnniiddaadd 11
LLíímmiitteess
Objetivo:
El alumno:
Resolverá problemas de límites en las
ciencias naturales, económicas
administrativas y sociales a partir de la
aplicación y el empleo de sus teoremas
mediante el análisis de su
comportamiento gráfico, con una actitud
analítica y participativa.
Temario:
Límites.
Teorema de continuidad de una
función.
Cálculo Diferencial e Integral I
12
Mapa Conceptual de Unidad
CÁLCULO
DIFERENCIAL E
INTEGRAL
LÍMITES
LÍMITES
TEOREMA DE
CONTINUIDAD DE UNA
FUNCIÓN
NOCIÓN INTUITIVA
TEOREMAS Y
PROPIEDADES
LÍMITES DE FUNCIONES
POLINOMIALES, POR
PARTES Y RACIONALES
LÍMITES INFINITOS Y EN
EL INFINITO
CONDICIONES DE
CONTINUIDAD
13
Límites
LLÍÍMMIITTEESS..
1.1.1. Noción intuitiva de límite y límites laterales.
¿Qué es cálculo?
Cálculo es la matemática del cambio: velocidades y aceleraciones. Cálculo es
también la matemática de rectas tangentes, pendientes, áreas, volúmenes,
longitudes de arcos, centroides, curvaturas y otros diversos conceptos que han
hecho que los científicos, ingenieros y economistas puedan modelar situaciones de
la vida real.
Aunque las matemáticas previas al cálculo también versan sobre velocidades,
aceleraciones, rectas tangentes, pendientes, etc., aquí se tiene una diferencia
fundamental entre las matemáticas previas y el propio cálculo: las matemáticas
previas al cálculo son más estáticas, en tanto que el cálculo es más dinámico.
Algunos ejemplos son:
Un objeto que viaja con velocidad constante puede modelarse con
matemáticas previas al cálculo. Para modelar la velocidad de un objeto en
aceleración es necesario el cálculo.
La pendiente de una recta puede modelarse con matemáticas previas al
cálculo. Para modelar la pendiente de una curva es necesario el cálculo.
Una recta tangente a un círculo puede modelarse con matemáticas previas
al cálculo. Para modelar una recta tangente de una gráfica general es
necesario el cálculo.
El área de un rectángulo puede modelarse con matemáticas previas al
cálculo. Para modelar el área debajo de una curva general es necesario el
cálculo.
Cada una de estas situaciones comprende la misma estrategia general: el
replanteamiento de las matemáticas previas al cálculo a través de la aplicación del
proceso de hallar el límite. De este modo, una manera de contestar la pregunta
“¿qué es cálculo?”: cálculo es una “máquina de hallar límites” que comprende tres
etapas. La primera la constituye las matemáticas previas al cálculo; la segunda es
el proceso de hallar el límite; y la tercera es un nuevo planteamiento del cálculo,
como una derivada o una integral.
Como ves la noción de límite es fundamental para el estudio del cálculo. Las breves
descripciones de dos problemas clásicos del cálculo -el problema de la recta
tangente y el problema del área- el primero, se presentará en este curso y el
segundo en tu curso subsecuente de Cálculo II, deben darte cierta idea de cómo se
usan los límites en esta disciplina.
Supongamos que se te pide trazar la gráfica de la función f dada por:
;1
1)(
3
x
xxf 1x
11..11..
Matemáticas
previas al
cálculo.
Proceso de
hallar el
límite.
Cálculo.
Cálculo Diferencial e Integral I
14
Para todos los valores diferentes de 1x , es posible aplicar técnicas estándares
de trazado de curvas. Pero en 1x no resulta claro que pueda esperarse, debido
que en ese valor la función no está bien definida. Para darnos una idea del
comportamiento de la gráfica de f cerca de 1x , se pueden utilizar dos
conjuntos de valores de x ; uno que se aproxime a 1desde la izquierda, es decir, le
damos a x valores menores a 1, y otro que se acerque a 1 desde la derecha,
esto es, le damos a x valores mayores a 1, como se muestra en la tabla:
x 0.9 0.99 0.999 0.9999 1 1.0001 1.001 1.01 1.1
)(xf 2.710 2.970 2.9970 2.9997 ? 3.0003 3.003 3.030 3.310
Cuando se traza la gráfica de la función, parece que la gráfica de f es una
parábola que tiene una abertura en el punto )3,1( , como se muestra en la
Fig. 1.1. Aunque x no puede ser igual a 1, puedes moverte arbitrariamente cerca
de 1 por la izquierda como por la derecha y, como resultado, )(xf se mueve,
también de modo arbitrario, cerca de 3 . Si utilizas la notación de límites, se puede
escribir
3)(lim1
xfx
Esto se lee como “el límite de )(xf , cuando x tiende a 1, es 3”
Esta explicación conduce a una descripción intuitiva de límite.
Para 1x la función puede simplificarse, haciendo una factorización del
numerador primeramente y después una división de la siguiente manera:
Como pudiste observar en la Fig. 1.1, la gráfica de la función es la de
1)( 2 xxxf , excepto que la gráfica de la función dada, tiene un pequeño
hueco en el punto que corresponde a 1x , esto debido a que el valor de la
función )(xf no existe para dicho valor de x . Cuando se aproxima cada vez más
a 1, los valores correspondientes de )(xf se aproximan cada vez más a 3 .
Si )(xf se acerca arbitrariamente a un número L cuando x se
aproxima a un número c desde cualquiera de los dos lados, el límite
de )(xf , cuando x tiende a c , es L . Este límite se escribe como
Lxfcx
)(lim .
)(xf tiende a 3 )(xf tiende a 3
x tiende a 1 por la izquierda x tiende a 1 por la derecha
.11
)1)(1(
1
1)( 2
23
xxx
xxx
x
xxf
Fig. 1.1 El límite de )(xf ,
cuando x tiende a 1, es 3.
15
Límites
Utilizaremos la notación cx para indicar que x tiende al valor c , por la
izquierda, y cx para expresar que x tiende al valor c por la derecha. De esta
manera definiremos los límites unilaterales:
A) L , es el límite de f por la izquierda cuando x tiende a c por la izquierda y lo
representamos como:
Lxfcx
)(lim
B) L , es el límite de f por la derecha cuando x tiende a c por la derecha y lo
representamos como:
Lxfcx
)(lim
Por tanto, si los límites unilaterales tienen un valor común L :
Lxfxfcxcx
)(lim)(lim ;
se dice entonces que )(lim xfcx
existe y se escribe como ya lo habíamos
determinado en la definición intuitiva de límite:
)(lim xfcx
En el caso contrario, cuando los límites unilaterales no coinciden al mismo valor, se
dice que el límite no existe y se representa de la siguiente manera:
Usualmente haremos referencia al número L como el límite de f en c , sin
embargo debes observar lo siguiente:
Como habrás notado, los límites son usados para describir cómo se comporta una
función cuando la variable independiente x se mueve alrededor de cierto valor.
Ejemplo 1. Dada la función 22)( 2 xxxf determina ).(lim3
xfx
La gráfica
de la función dada nos queda de la siguiente manera:
)(lim xfcx
La existencia del límite de una función f no depende de si f está realmente
definida en c , sino solamente si f está definida para valores de x cerca de c .
Cálculo Diferencial e Integral I
16
Después de elaborar la gráfica, podemos dibujar una tabla para analizar los valores
de )(xf cuando x se acerca a 3 :
Izquierda Derecha
x 2.9 2.99 2.999 2.9999 3 3.0001 3.001 3.01 3.1
)(xf 0.61 0.96 0.996 0.9996 ? 1.0004 1.004 1.04 1.41
Observando la gráfica y la tabla tenemos que cuando x se acerca a 3 por la
izquierda y por la derecha )(xf se aproxima a 1, esto es,
1)(lim3
xfx
y 1)(lim3
xfx
;
por lo tanto,
1)(lim3
xfx
Ejemplo 2. Elabora la gráfica y obtén el límite para la función )(xf cuando x
tiende a 2 , donde f se define como
26
2)(
2
xsix
xsixxf
En esta función, el dominio que tenemos está formado por todos los números
reales excepto el 2 ; es decir, la función no está definida para 2x (fíjate que las
desigualdades son estrictas, esto es, no contemplan el igual) esto quiere decir que
en la gráfica tendremos un pequeño hueco. Para saber exactamente la posición de
ese hueco, le daremos ese valor a la variable x . Como no sabemos si las dos
partes de la función se juntarán en ese punto, tomaremos el valor 2x para cada
una de las dos partes de la función y así tendremos la gráfica exacta. Para ubicar
bien los valores de x , podemos auxiliarnos de una recta numérica:
De esta manera la tabla de valores es:
2x 2x
x 2)( xxf
-2 4
-1 1
0 0
1 1
(2) (4)
x 6)( xxf
(2) (4)
3 3
4 2
5 1
6 0
Observa que la función
dada en el ejemplo 1
está definida para
3x , pero en ningún
momento se sustituye
dicho valor en la función
para encontrar el valor
de )(lim3
xfx
.
Fig. 1.2 La gráfica tiene un
hueco en el punto (2,4).
17
Límites
La gráfica correspondiente a la función está dada en la Fig. 1.2. Observa que para
2x , tanto la parábola como la recta, convergen en el hueco )4,2( . Para
obtener el límite, elaboramos una tabla con los valores de la función para valores de
x cercanos a 2 , por la izquierda y por la derecha:
Izquierda Derecha
x 1.9 1.99 1.999 1.9999 2 2.0001 2.001 2.01 2.1
)(xf 3.61 3.96 3.996 3.9996 ? 3.9999 3.999 3.99 3.9
En este tipo de funciones que se definen por partes, es cuando resulta conveniente
la utilización de los límites unilaterales, ya que tenemos funciones diferentes en
ambos lados del valor de x . De la tabla anterior obtenemos los límites unilaterales,
tanto por la izquierda como por la derecha respectivamente:
4)(lim2
xfx
y 4)(lim2
xfx
,
y como son iguales, tenemos que el límite buscado es:
4)(lim2
xfx
Ejemplo 3. Elabora la gráfica y obtén )(lim3
xfx
para la función:
313
3|2|2)(
xsix
xsixxf
El dominio de esta función son todos los números reales, como lo viste en el curso
de Matemáticas 4. Sabemos que la gráfica de la primera parte de la función nos
dará un “trozo” de una línea en forma de “V”, y la otra parte resultará en una porción
de una media parábola horizontal, abierta hacia la derecha. Sin embargo no
sabemos si esas dos partes se juntarán en un punto como en el ejemplo anterior.
Veamos qué es lo que sucede. La recta numérica para estos valores de x nos
quedaría de la siguiente forma:
Para este ejemplo, no sustituiremos el valor de 3x en la función de valor
absoluto de manera abierta, es decir, no lo incluiremos en el dominio de esa parte
de la función puesto que la desigualdad es estricta. Sin embargo, para la parte de
la función con raíz cuadrada, ese mismo valor sí lo incluiremos pues forma parte del
dominio de la raíz cuadrada, tal como lo indica la igualdad debajo de la
desigualdad. De esta manera, la tabla de valores nos queda:
Observa que
)(lim2
xfx
existe
aún cuando
)2(f no está
definida.
Fig. 1.3 Gráfica de la
función por partes
)(xf
Cálculo Diferencial e Integral I
18
3x 3x
La gráfica correspondiente a la función está dada en la Figura 1.3. Observa que las
dos partes de la función quedan separadas. Esto es, para la parte del valor
absoluto en 3x , no está definida, por eso queda un hueco en la gráfica en el
punto )2,3( . Por otro lado, para la parte de la raíz cuadrada en 3x , el valor
obtenido es 1 , que se representa en el gráfico mediante un punto relleno, esto
indica inclusión, como lo puedes ver en la desigualdad que tiene en la parte de
abajo el símbolo de igualdad. Esto significa, que para esta parte de la función el
valor 3x si está definido. Veamos ahora qué significa en la obtención de límites,
el hecho de que las dos partes de la función hayan quedado separadas.
Para obtener los límites unilaterales, elaboramos una tabla con los valores de la
función, para valores de x alrededor de 3 :
3x 3x
2)(lim3
xfx
y 1)(lim3
xfx
Llegamos a la conclusión que para valores de x cercanos a 3 , tanto por la
izquierda como por la derecha, los límites unilaterales son diferentes, por lo tanto el
límite buscado de la función )(xf no existe:
Este resultado lo podemos interpretar gráficamente observando en la Fig. 1.3 que a
ambos lados de 3x , la función f se “dirige” hacia diferentes puntos: por la
izquierda, hacia el punto )2,3( que es un hueco, y por la derecha hacia el punto
)1,3( , esto es, se presenta un salto en la función )(xf , en 3x .
x |2|2)( xxf
-1 6
0 4
1 2
2 0
(3) (2)
x 13)( xxf
3 1
4 2
5 2.41
6 2.73
7 3
x |2|2)( xxf
2.9 1.8
2.99 1.98
2.999 1.998
2.9999 1.9998
2.99999 1.99998
x 13)( xxf
3.1 1.31
3.01 1.1
3.001 1.03
3.0001 1.01
3.00001 1.003
)(lim3
xfx
Observa que
)(lim3
xfx
no existe
aún cuando
)3(f está definida.
19
Límites
Interpretación de la gráfica:
2. La función f de la Figura 1.4 no está definida para 3x
a) ¿Qué observas en los valores de la función f conforme x se acerca al
número 3 por la izquierda )3(x y por la derecha )3(x ?
b) ¿Se acercan los valores de la función a algún número en particular (sí o no)
y cuál es ese valor?
c) ¿Cómo se representaría el límite de acuerdo a su definición?
3. Relaciona las siguientes columnas con su representación correcta.
a) Lxfcx
)(lim ( ) Límite por la derecha
b) Lxfcx
)(lim ( ) Límite de una función
c) Lxfcx
)(lim ( ) Límite por la izquierda
x 32)( 2 xxxf
2.1
2.01
2.001
2.0001
2.00001
x 32)( 2 xxxf
1.9
1.99
1.999
1.9999
1.99999
Para saber más
y enriquecer el
tema, visita el sitio
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TAREA 1
Página 43
Fig. 1.4 Gráfica de la
función f del reactivo 2.
1. Dada la función 32)( 2 xxxf , completa las tablas y grafica los puntos para
obtener el límite de la función cuando x tiende a 2 .
EJERCICIO 1
Cálculo Diferencial e Integral I
20
1.1.2. Teorema de propiedades de los límites.
En la sección anterior, te presentamos la noción intuitiva de límite, con el in de
introducirte al tema de una manera más o menos sencilla e informal. Sin embargo,
como te habrás dado cuenta, no es práctico utilizar una gráfica o una tabla de
valores para obtener el límite, pues resulta un poco tardado y tedioso. Por esta
razón, formalizaremos la obtención de los límites mediante la utilización de algunos
teoremas que nos ayudarán a agilizar el procedimiento, para obtener de manera
rápida el límite de una función.
Ejemplo 4. Usando los teoremas básicos determinaremos los siguientes límites.
Límite de una función constante.
a) .1010lim3x
b) .lim 33
2x
En otras palabras, el teorema del límite de una función constante, nos indica que
el límite de una función constante es la misma constante. Recuerda que
identificas una función constante si en ella no aparece la variable independiente
x .
Límite de la función identidad.
c) .1lim1x
x
d) .5lim5x
x
e) .6lim6x
x
Aquí el teorema nos dice que el límite de la función identidad se acerca siempre al
mismo valor hacia donde tiende la variable independiente x .
Límites de una función potencia.
f) .8)2(lim 33
2x
x
g) .1)1(lim 55
1x
x
Algunos teoremas básicos:
Sean k y c números reales y n un entero positivo.
1. Límite de una función constante. Si kxf )( , donde k es una constante,
entonces:
.lim kkcx
2. Límite de la función identidad. Si xxf )( , entonces:
.lim cxcx
3. Límite de una función potencia. Si nxxf )( , entonces:
.limlim nn
cx
n
cxcxx
21
Límites
Ejemplo 5. Haciendo uso de las propiedades de límites determina.
Límite de una suma o diferencia de funciones.
a) .172)3(52limlim52lim5lim)25(lim33333 xxxxx
xxx
b) .13)2(37lim37lim3lim7lim)37(lim22222xxx
xxxxx
c) .423)5(4)5(3lim4limlim)34(lim 2
55
2
5
2
5 xxxxxxxx
Límite de una potencia.
d) .343]7[]lim[lim 33
7
3
7xx
xx
Límite de un cociente.
e) .21
2
1)2(
6)2(2
1limlim
6limlim2
)1(lim
)62(lim
1
62lim
22
22
2
2
2
xx
xx
x
x
x x
x
x
x
x
x
f) .?2
1lim
21 xx
x
x
En este caso, el límite del cociente no puede escribirse inmediatamente como el
cociente de límites porque ;)(lim 022
1
xxx
sin embargo, podemos simplificar
factorizando, como lo hicimos en los ejemplos anteriores, para poder obtener el
límite:
Los conocimientos previos
que debes tener para este
tema son los siguientes:
1. Factor común.
2. La diferencia de
cuadrados perfectos.
3. Trinomios cuadrados
perfectos.
4. Trinomios cuadrados
imperfectos.
5. Racionalización y
graficación de funciones.
Teorema: propiedades de los límites:
Sean k y c números reales y n un entero positivo, y f y g funciones con los
límites siguientes: Lxfcx
)(lim y Kxgcx
)(lim
1. Límite de una constante por una función o múltiplo escalar:
.)(lim kLxkfcx
2. Suma o diferencia: .)]()([lim KLxgxfcx
3. Producto: .)]()([lim KLxgxfcx
4. Cociente:
K
L
xg
xf
cx )(
)(lim , siempre que .0K
5. Raíz: ncx
n
cxxfxf )(lim)(lim , siempre y cuando n sea
un entero positivo impar, o bien, n sea un entero positivo par y .0)(lim xfcx
Cálculo Diferencial e Integral I
22
TAREAS 2
Página 45.
.3
1
21
1
2limlim
1lim
2
1lim
)2)(1(
1lim
2
1lim
11
1
1121
xx
x
xxx xxxx
x
xx
x
g) .27
14
18
216
1)4(2
4)4(4
1limlim2
limlim4
12
4lim
44
44
4
xx
xx
x x
xx
x
x
Límite de un radical.
h) .112)1(32limlim3)23(lim23lim 55511
51
5
1 xxxxxxx
3)1(33lim1
xx
.lim kckxcx
55lim2
1x
.lim nn
cxcx
8)2(lim 33
2x
x n
cx
n
cxxfxf )(lim)(lim
,
siempre y cuando n sea un entero positivo impar, o bien, n sea un entero
positivo par y .0)(lim xfcx
413)1(3)133(lim133lim 22
1
2
1xx
xx
.lim kkcx
EJERCICIO 2 1. Obtén los siguientes límites y entrégalos a tu profesor:
a)
12
4lim
24 xx
x
x 3.
4
4lim
2
2
2 x
x
x 5.
2
425lim x
x
b)
4
4lim
2
2 x
xx
x 4. )14(lim 2
2xx
x 6.
2
2lim
3 x
x
x
2. Relaciona mediante líneas la columna de la derecha con la columna de la
izquierda de acuerdo al teorema aplicado en el ejemplo:
23
Límites
1.1.3. Límites de funciones polinomiales, definidas por partes y
funciones racionales.
Como te habrás dado cuenta, en las funciones ejemplificadas en la sección
anterior, pudimos obtener el límite de la función simplemente sustituyendo el valor
de c en la variable independiente x , siempre y cuando se pueda obtener ese
valor, es decir, que al hacerlo, no resulte en una raíz de un número negativo o en
una división entre cero, por ejemplo. Esto excluye, además aquellas funciones
radicales que nos de como resultado n 0 cuando n es par. Un caso donde la
existencia del límite se garantiza todo el tiempo, es el caso de las funciones
polinomiales.
Ejemplo 6. Considera la función polinomial 8625)( 23 xxxxg y
determina el límite cuando x tiende a 1.
.21
8)1(6)1(2)1(5
8limlim6lim2lim5)8625(lim
23
11
2
1
3
1
23
1 xxxxxxxxxxx
Otra situación donde intervienen funciones polinomiales, puede ser el caso de
funciones definidas por partes. En la primera sección de esta unidad, vimos cómo
graficar aquellas funciones que están definidas por partes, es decir, donde el
dominio se divide en partes y cada una de ellas tiene una función diferente.
También obtuvimos los límites de manera intuitiva, y observamos que este tipo de
funciones se comportan de manera extraña, precisamente en aquel valor de x
donde se divide el dominio. Debido a esto, tendremos dos maneras de obtener el
límite, dependiendo de cual sea el valor de c , hacia donde tiende la x , es decir, si
c coincide o no con el valor donde se divide el dominio. Al desarrollar este tema,
encontraremos que existen funciones que se indefinen o indeterminan en el valor
c , esto es, que no se pueden evaluar y que nos indican que su límite no existe o
que su valor es infinito. Sabemos que el resultado del límite de una función es un
valor real. De aquí que la intención de este tema sea utilizar técnicas que nos
convertirán dichas funciones en funciones determinadas.
Ejemplo 7. Consideremos la función:
286
22|1|)(
2 xsixx
xsixxf
Cálculo Diferencial e Integral I
24
Solución:
Gráficamente tenemos:
En este ejemplo, si 2x necesitaremos determinar los límites unilaterales para
ver si son iguales o diferentes, pero si x tiende a cualquier otro valor, no será
necesario obtenerlos, pues sabemos que por cualquiera de los dos lados cercanos
a c , la función es la misma y el límite no presentará problema.
Obtendremos los siguientes límites para entender, cómo se obtienen dependiendo
del valor de c :
1. )(lim0
xfx
Como x no se acerca a 2 , que es el valor donde se divide el dominio,
obtendremos el valor del límite utilizando el procedimiento visto en la sección
anterior; esto lo haremos debido a que cerca de 0 , le corresponde la función
2|1| x y la parte cuadrática no interviene, pues 20 .
.3212|1|2|10|2|10|)(lim0
xfx
2. )(lim3
xfx
En este caso sucede lo mismo que en el anterior, x tiende a 3 , y como no se
acerca 2 , sólo sustituimos en la parte cuadrática que es donde )(xf está definida
para el valor 3x , pues 23 siendo el límite:
.18189|8)3(6)3()(lim 2
3xf
x
3. )(lim2
xfx
En este límite, x tiende a 2 , que es el valor donde se divide el dominio de la
función. Es en estos casos cuando estamos obligados a obtener los límites
unilaterales, pues por cada lado de 2x , hay funciones diferentes y no sabemos
con certeza qué es lo que sucederá cuando la x se acerque a 2 por lados
diferentes. Para ubicarnos en qué parte sustituiremos, podemos elaborar una recta
numérica como lo hicimos en la primera sección:
Observa en la
gráfica que cerca
de 0x , la función
se acerca a
3)0(f y que la
parte cuadrática no
interviene.
En la gráfica
puedes observar
que cerca de
3x , la función se
acerca a 1)3(f y
que la parte del
valor absoluto no
interviene.
25
Límites
a) .3212|1|2|12|)(lim2
xfx
b) .081248)2(6)2()(lim 2
2xf
x
Como estos dos límites son diferentes, tenemos que:
Observa que si el límite no existe, tenemos que las dos partes de la función quedan
separadas en la gráfica.
Ejemplo 8. Tenemos la función
.02
02)(
2 xsix
xsixf
Obtener: )(lim1
xfx
, )(lim2
xfx
y )(lim0
xfx
.
Solución:
.22lim)(lim11 xx
xf
.2242)2()(lim 2
2xf
x
Como 0 es el valor donde se divide el dominio, obtendremos los límites
unilaterales:
a) .22lim)(lim00 xx
xf
b) .2202)0()(lim 2
0xf
x
Tenemos que los dos límites unilaterales son iguales, por lo tanto:
.2)(lim0
xfx
Ahora observa la Figura 1.5, y relaciona el hecho de que el límite sea 2 y la forma
que ésta presenta a pesar de ser por partes.
)(lim2
xfx
Cuando 2x ,
)(xf se acerca a
0, pero no llega a
ser igual a 0; esto lo
puedes observar en
la gráfica con el
punto hueco que
aparece en (2,0).
Fig. 1.5 En este ejemplo el
límite es igual a -2. Observa
cómo las dos partes de la
gráfica de la función se juntan
en el punto (0,-2).
Cálculo Diferencial e Integral I
26
Estrategias para calcular límites a funciones racionales.
Ya hemos tratado este tipo de funciones al inicio de esta unidad, en esta ocasión te
presentaremos algunas estrategias para el cálculo de límites de funciones
racionales.
1. Aprende a reconocer los límites calculables por sustitución directa.
2. Si el límite de )(xf cuando cx no puede evaluarse por sustitución directa,
intenta, por medio de álgebra, hallar una función g que coincida con f en cx
(es decir, encuentra una función g de modo que su límite sea calculable por
sustitución directa).
Ejemplo 9. Encuentra el límite de
1
2)(
2
x
xxxf cuando .1x
Solución:
Debido a que el denominador no es cero para 1x , se puede evaluar
directamente quedando:
.22
4
1)1(
2)1()1(
1
2lim
22
1 x
xx
x
Ejemplo 10. Hallar .3
6lim
2
3 x
xx
x
Solución:
Puesto que el denominador es cero para 3x , no se puede hacer la sustitución
directa, entonces procedemos a simplificar la función factorizando, en este caso, el
numerador de la función racional, 62 xx quedando:
)2)(3(62 xxxx , hacemos la sustitución en el límite,
3
)2)(3(lim
3
6lim
3
2
3 x
xx
x
xx
xx
.52)3()2x(lim3x
Por la técnica de cancelación hemos simplificado la función racional
3
62
x
xx
a una función 2)( xxg , que coincide con )(xf en 3x , es decir, hemos
encontrado una función g de modo que el límite sea calculable por sustitución
directa.
En la Figura 1.6 se muestra gráficamente este resultado. Observa que la gráfica
de la función f coincide con la de la función 2)( xxg , excepto que la de
f tiene una abertura o hueco en el punto )5,3( .
Técnica de cancelación
Fig. 1.6 Observa que )(xf no
está definida cuando 3x .
27
Límites
En el Ejemplo 10, la sustitución directa produjo la forma fraccionaria sin
significado 0
0 . Una expresión de este tipo se le conoce como “forma
indeterminada o indefinida”, porque no se puede (a partir sólo de la forma)
determinar el límite. Cuando intentes evaluar un límite y te encuentres esta forma,
recuerda que debes volver a escribir la fracción de modo que el nuevo
denominador no sea 0 cuando cx . Una manera de llevar a cabo esto es
factorizar la función y cancelar los factores iguales, como se mostró en este
ejemplo.
Una segunda manera es racionalizar el numerador, como se muestra en el
siguiente ejemplo.
Ejemplo 11. Hallar .11
lim0 x
x
x
Solución:
Dado que el denominador es cero en 0x , no se puede hacer la sustitución
directa, entonces se racionaliza el numerador, es decir, se multiplica y divide por un
una cantidad conveniente, en este caso, por el binomio conjugado del numerador,
esto con el fin de eliminar la raíz cuadrada del primer término. (Recuerda que una
diferencia de cuadrados se factoriza como un producto de binomios conjugados,
))((22 bababa ).
;11
1lim
)11(lim
)11(
11lim
)11(
1)1(lim
)11(
)11()11(lim
11lim
00
0
2
0
00
xxx
x
xx
x
xx
x
x
x
x
x
x
x
xx
xx
xx
Observa que al multiplicar y dividir por 11x , no estás alterando la función,
ya que dicha expresión es igual a 1, y 1 multiplicado por )(xf , te da la misma
función )(xf .
Al llevar a cabo la multiplicación de binomios conjugados, se cancela la raíz
cuadrada con el cuadrado, al igual que, 11 suma 0 en consecuencia:
.2
1
11
1
11
1
11)0(
1
11lim
1lim11lim
0
0
0 xx
x
x
x
x
Otro caso de forma indefinida es el siguiente:
Ejemplo 12. Hallar .16)4(
lim2
0 x
x
x
Cálculo Diferencial e Integral I
28
Solución:
Desarrollamos el binomio al cuadrado, lo cual nos arroja un Trinomio Cuadrado
Perfecto, luego factorizamos y utilizamos la técnica de cancelación quedando de la
siguiente manera:
.88)0()8(lim)8(
lim
8lim
16168lim
16)4(lim
00
2
0
2
0
2
0
xx
xx
x
xx
x
xx
x
x
xx
xxx
5.
52
152lim
2
25 x
xx
x 6.
8143
23lim
23
2 xx
x
x
7.
245
27lim
2
3
3 xx
x
x 8.
x
x
x
4)2(lim
2
0
9.
25
5lim
25 x
x
x 10.
49
32lim
27 x
x
x
EJERCICIO 3
En cada una de las siguientes funciones, obtén el límite indicado, si es
que existe. Entrégalo a tu profesor:
1.
13
1)(
3
xsix
xsixxf 2.
22
24)(
xsi
xsixxf
a) )(lim0
xfx
b) )(lim1
xfx
a) )(lim3
xfx
b) )(lim2
xfx
3.
23
22
4)(
2
xsi
xsix
xxf 4.
13
142
44
)(2 xsix
xsi
xsix
xf
a) )(lim3
xfx
b) )(lim2
xfx
a) )(lim4
xfx
b) )(lim0
xfx
c) )(lim1
xfx
29
Límites
1.1.4. Límites infinitos.
Consideremos la función f dada por: .2
3)(
xxf
Con base en la gráfica y la tabla, es posible ver que )(xf decrece sin cota cuando
x tiende a 2 desde la izquierda, es decir, para valores de x menores que 2 ,
)(xf se va haciendo más y más pequeña indefinidamente; y )(xf crece sin cota
cuando x tiende a 2 desde la derecha, esto es, para valores de x mayores que
2 , )(xf se va haciendo más y más grande indefinidamente. Este comportamiento
se denota como:
2
3lim
2 xx
y
2
3lim
2 xx
x 1.5 1.9 1.99 1.999 2 2.001 2.01 2.1 2.5
)(xf -6 -30 -300 -3000 ? 3000 300 30 6
x tiende a 2 desde la izquierda x tiende a 2 desde la derecha
)(xf decrece sin cota )(xf crece sin cota
)(xf decrece sin cota cuando 2x desde la izquierda
)(xf crece sin cota cuando 2x desde la derecha
Recuerda que el
valor absoluto es
una distancia; por
tanto, su resultado
siempre tiene que
ser un valor
positivo.
Cálculo Diferencial e Integral I
30
Explicaremos de una manera sencilla lo que acabamos de decir a través de los
límites unilaterales, del párrafo anterior. Los límites anteriores significan que
podemos hacer a )(xf suficientemente tan grande como se desee, haciendo a x
suficientemente cercana a 2 . Esto es, que el valor absoluto de la diferencia entre
x y 2 ( |2| x ) sea tan pequeña como se desee. En términos matemáticos esto
se puede expresar como sigue: |2| x , donde es un valor positivo muy
pequeño, tan pequeño como se quiera. (Por esta razón agregamos más nueves
por la izquierda de 2 y más ceros por la derecha de 2 ). Entonces si la distancia
entre x y 2 es cada vez más pequeña tanto por la izquierda como por la derecha,
el valor que toma )(xf se va haciendo cada vez más pequeño o más grande, es
decir, se va a ó respectivamente. En otras palabras va decreciendo y
creciendo sin cota alguna. En términos matemáticos, se dice, que el valor de )(xf
es menor que algún número positivo M (ó 0M ) si el acercamiento es por la
izquierda, por otro lado decimos que )(xf es mayor que un número 0N , si el
acercamiento es por la derecha. El razonamiento anterior nos lleva a una definición
formal de límites infinitos, definición un tanto compleja que omitiremos en este
curso y que seguramente verás en el nivel superior.
Un límite en el que )(xf crece o decrece sin cota cuando x tiende a un número
c se llama límite infinito.
En la proposición )(lim xfcx
, el signo igual no significa que el límite existe. Por
el contrario expresa cómo el límite deja de existir al denotar un comportamiento no
acotado de )(xf , cuando x tiende a c . Esto último lo podemos visualizar en la
gráfica de la función. Observa el comportamiento de la función: cuando hacemos
que x se aproxime al valor 2 tanto por la izquierda como por la derecha, la función
se curvea sin tocar una recta vertical imaginaria en 2x ; esta recta recibe el
nombre de asíntota. Ahora fíjate en el denominador de la función 2x ; no es
casualidad que en 2x pase la asíntota. Esto se debe a que el valor 2 es el que
hace cero al denominador, es decir, 2 es la raíz del polinomio 2x .
Más allá de la definición tan compleja de los límites infinitos, lo que nos interesa es
saber identificar lo que es un límite infinito. De manera sencilla podemos decir que
un límite infinito es cuando el resultado del límite es infinito, es decir no está
determinado.
Ejemplo13. Encontrar
22
2lim
24 xx
x
x.
Solución: Si intentas hacer el cálculo del límite por simple sustitución como en
los casos anteriores, cuando x se aproxima a 4 el denominador de la función
se hace cero. Esto se debe a que el polinomio se puede descomponer en
factores como sigue: )2)(4(822 xxxx , de esta manera el 4 hace
cero a uno de los factores haciendo que todo el polinomio se haga cero, es
decir, el 4 es una raíz del polinomio; además el valor de 2 también hace que
el denominador de la función se haga cero.
Esto quiere decir que la función se indefine en dos valores, en 2x y en
4x , resulta lógico puesto que la función es de segundo grado, significando
esto que cuenta con dos raíces.
Recuerda que
cuando hablamos
de números
negativos, entre
más lejos esté del
cero un número
que es negativo,
éste es más
pequeño.
31
Límites
Considerando entonces la aproximación por la izquierda y por la derecha,
tenemos que los límites unilaterales de acuerdo a la tabla son:
22
2lim
24 xx
x
x; y
22
2lim
24 xx
x
x.
La gráfica de la función te dará una idea del comportamiento de una función que
tiene dos valores donde ésta se indefine. A estos valores se les llama
singularidades, pasando justamente por esos valores las asíntotas.
Ejemplo 14.
Resolución de límites infinitos.
Encuentra qué signo debe tener en las siguientes funciones con límites cuando
x tienda a la izquierda o a la derecha.
1.
2
3lim
2 x
x
x.
Se toma un valor muy cercano a 2 por la izquierda, consideremos 1.999 y los
sustituimos en la función:
5997001.0
997.5
2999.1
)999.1(3
2
3
x
x.
Como el resultado es un valor negativo muy alejado del cero, entonces:
2
3lim
2 x
x
x.
2.
x
x
x 4lim
2
4;
x 3.9 3.99 3.999 3.9999 4 4.0001 4.001 4.01 4.1
)(xf 3.2203 33.22203 333.2 3333.2 ? -3333. -333. -33. -3.4
Cálculo Diferencial e Integral I
32
Consideramos un valor muy cercano a 4 por la derecha, 4.001 por ejemplo y
sustituimos:
001.16008001.0
008001.16
001.44
)001.4(
4
22
x
x.
Entonces:
x
x
x 4lim
2
4.
3.
15
32lim
51 x
x
x
;
4.68000005.0
4002.3
1)2001.0(5
3)2001.0(2
15
32
x
x.
Entonces:
15
32lim
51 x
x
x
.
4.
1lim
1 x
x
x.
5.
4lim
4 x
x
x.
6.
25
5lim
25 x
x
x.
Límites en el infinito.
Hasta ahora hemos estado considerando límites de funciones cuando x se ha
aproximado a algún número real. Trataremos ahora con el cálculo de límites donde
x aumenta o disminuye sin fronteras, es decir, indefinidamente. Para ello definimos
lo siguiente:
A. Si x aumenta sin cota (es decir crece infinitamente hacia la derecha), se dice
que tiende hacia un infinito positivo. Se denota por:
x .
B. Si x decrece sin cota (disminuye infinitamente hacia la izquierda), se dice que
tiende a un infinito negativo. Se denota por:
x .
En la resolución de los límites infinitos se utiliza fundamentalmente un teorema
sobre límites, el cual nos dice que el límite de una constante dividida entre una
variable, cuando la variable tiende a infinito, es igual a cero.
;0limx
c
x donde c es una constante.
Recuerda que para
saber hacia dónde
tiende el límite de la
función tienes que
dar un valor de x
muy, pero muy
cercano al valor de
c .
33
Límites
Ejemplo15. Hallar el límite de las siguientes funciones:
1.
108486
63453lim
234
234
xxxx
xxxx
x;
Dividimos cada término del numerador y del denominador por la potencia más
grande de x que aparezca en la función, esto es 4x . Obtenemos:
444
2
4
3
4
4
444
2
4
3
4
4
234
234
108486
63453
lim108486
63453lim
xx
x
x
x
x
x
x
xxx
x
x
x
x
x
x
x
xxxx
xxxx
xx,
hacemos la división de las x , utilizando las leyes de los exponentes:
432
432
234
234
108486
63453
lim108486
63453lim
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
xx;
y aplicamos el teorema ;0limx
c
x entonces todos los términos divididos entre x
se harán cero,
Por tanto
.2
1
6
3
108486
63453lim
234
234
xxxx
xxxx
x
2. Hallar
1
23lim
3
x
x
x;
Dividimos numerador y denominador por 3x ,
32
3
33
3
3
33
11
23
lim1
23
lim1
23lim
xx
x
xx
xx
x
x
x
x
xxx;
Ya que el límite del denominador de la función es cero, no podemos aplicar el
teorema ;0limx
c
x sin embargo, podemos argumentar hacia dónde se indefine
el límite. En el numerador 3
3x
se aproxima a 0 cuando x así que
233x
es eventualmente negativo y se aproxima a 2 . Como ya dijimos,
Calcula el
xx
1lim
Para que
comprendas por
qué a la función del
ejemplo 2 no se le
puede aplicar el
teorema
432
432
234
234
108486
63453
lim108486
63453lim
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
xx
0 0 0 0
Cálculo Diferencial e Integral I
34
cuando x , el denominador es una cantidad positiva que se aproxima a 0 .
Así que la razón es una cantidad negativa que decrece sin cota. Esto es,
1
23lim
3
x
x
x.
3.
xx
x
x 108
62lim
5
3
;
Dividimos entre 5x
4
52
55
5
55
3
5
3
108
62
lim108
62
lim108
62lim
x
xx
x
x
x
x
xx
x
xx
x
xxx;
aplicamos el teorema,
08
0
108
62
lim108
62lim
4
52
5
3
x
xx
xx
x
xx.
Recuerda que aunque el número cero represente la ausencia de valor, eso no
significa que el límite no exista. En el ejemplo 3 el límite existe y su valor es 0 .
4.
xx
xx
x 3
3
lim ;
Tendríamos que expresar los radicales a potencias, como
31
21 , entonces
21 es
el mayor exponente,
1
1
limlimlim
21
31
21
31
21
21
21
31
21
21
21
31
3
3
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
xx
xxx;
aplicamos el teorema y obtenemos,
11
1lim
3
3
xx
xx
x.
Pareciera que un tema tan abstracto como éste, de límites en el infinito, no tuviera
manera de aplicarse. Para que te des una idea de dónde se puede aplicar, te
presentamos el siguiente problema.
5. Sea )(tf el nivel de oxígeno en un estanque, donde 1)(tf es el nivel normal
(sin solución), y el tiempo t se mide en semanas. Cuando 0t , se arroja materia
orgánica de desecho en el estanque y conforme se va oxidando, la cantidad de
oxígeno en el estanque viene dado por:
Observa dónde se
encuentra, dentro
de la función, la
potencia más
grande y elabora
tus conclusiones
acerca de la
existencia o no
existencia de los
límites.
35
Límites
1
1)(
2
2
t
tttf
¿Qué porcentaje del nivel normal de oxígeno existe en el estanque tras una
semana? ¿Y tras dos semanas? ¿Tras diez semanas? ¿Cuál es el porcentaje de
oxígeno para t desmesuradamente grande?
Solución:
Cuando ,1t 2 y 10 , los niveles de oxígeno son:
%502
1
1)1(
1)1()1()1(
2
2
f en 1 semana;
%605
3
1)2(
1)2()2()2(
2
2
f en 2 semanas,
%17.90101
91
1)10(
1)10()10()10(
2
2
f en 10 semanas;
Para un tiempo infinitamente grande calculamos el límite al infinito de )(tf ,
%10101
001
11
111
lim1
1lim
2
2
2
2
t
tt
t
tt
tt.
Por tanto el porcentaje de oxígeno del nivel normal del estanque en un tiempo en el
infinito es aproximadamente un 10%.
TAREAS 3 y 4
Páginas. 47-49.
EJERCICIO 4 Determina el signo que debe tener en los siguientes límites infinitos:
1.
3
6lim
3 x
x
x
2.
x
x
x 4lim
2
2
3.
14
23lim
41 x
x
x
4.
2
3lim
2 x
x
x
Resuelve los siguientes límites en el infinito:
5.
536
394lim
3
23
xx
xxx
x 5.
725
3510lim
3
2
xx
xx
x
6. 5
5
53
4lim
xx
xx
x 7.
1258
3210lim
279
234
xxx
xxx
x
Cálculo Diferencial e Integral I
36
TTEEOORREEMMAA DDEE CCOONNTTIINNUUIIDDAADD
DDEE UUNNAA FFUUNNCCIIÓÓNN..
En nuestra vida cotidiana se nos presentan obstáculos que nos impiden continuar
algún proyecto, y debemos de buscar opciones de solución para continuar con el
proyecto. Por ejemplo, cuando vas caminando y encuentras algún obstáculo, como
un charco de agua, es necesario brincarlo para poder seguir tu camino. En este
ejemplo nos damos cuenta que el salto que diste fue un impedimento para que tu
caminar se diera de manera continua, en otras palabras, te diste cuenta que para
continuar la marcha tuviste que despegar los pies del suelo.
En las gráficas de funciones también se presenta el mismo caso; es decir, en
ocasiones es necesario despegar el lápiz del papel para poder dibujarla. En el caso
de que la gráfica de una función la podamos realizar sin despegar el lápiz del
papel, decimos que la función es una función continua. En el caso contrario, es
decir, cuando despegamos el lápiz del papel para poder dibujar la gráfica diremos
que la función es discontinua.
Observa las siguientes figuras para obtener las definiciones de continuidad y
discontinuidad de una manera intuitiva.
En el siguiente subtema llegaremos, mediante ejemplos de algunas funciones, a
establecer las condiciones para que una función sea continua.
1.2.1. Condiciones de continuidad.
En estos ejemplos te presentaremos distintas formas de discontinuidad que puede
tomar una función.
1. Sea la función
5
103)(
2
x
xxxf .
11..22..
x
y
La gráfica representada en esta función,
presenta un hueco, es decir, hay un trazo
interrumpido. Concluimos que es una
función discontinua.
En forma intuitiva se puede decir que
la gráfica de esta función puede
dibujarse en un trazo ininterrumpido.
Concluimos que es una función
continua.
37
Límites
La gráfica de la función es:
En esta función )(xf no está definida para 5x ; esto nos dice que hay una
ruptura en la gráfica en 5x concluimos que la función f es discontinua en
5x y continua para todos los otros valores de x diferentes de 5 ( 5x ).
Si calculamos el límite de esta función cuando x tiende a 5 tenemos:
.7)2(lim5
)2)(5(lim
5
103lim
55
2
5x
x
xx
x
xx
xxx
Como te darás cuenta el límite existe y es igual a 7; sin embargo, )5(f no existe,
es decir, el valor que toma la función en 5x no existe ya que hace 0 al
denominador de la función racional provocando que ésta se indefina.
Concluimos entonces que el valor del límite es diferente al valor de la función
valuada en .5x Esto es, )5()(lim5
fxfx
.
2. Consideremos ahora la función g :
.
212
22
8)(
3
xcuando
xcuandox
xxg
Esta función )(xg se compone de dos partes (Figura 1.7), la primera parte está
definida para todos los números reales 2x excepto para 2x , ya que en ese
valor el denominador de la función racional se hace 0 , haciendo que esa parte de
la función quede indefinida; es precisamente en ese valor que la gráfica de la
función presenta un hueco. Por otro lado en la segunda parte de )(xg , la función
toma el valor de un punto con coordenadas )12,2( , haciendo que el hueco que
existe de la primera parte de la función quede definido en esta segunda parte; es
decir, el hueco se rellena. Ya que no hay una ruptura en la gráfica de )(xg
debemos afirmar entonces que g es una función continua.
Nuevamente, si calculamos el límite de esta función g tenemos:
.12)42(lim2
)42)(2(lim
2
8lim 2
2
2
2
3
2xx
x
xxx
x
x
xxx
Fig. 1.7 Gráfica de la
función )(xg .
Cálculo Diferencial e Integral I
38
Si comparamos el valor del límite, es igual al valor que toma la función g en
2x . Esto es )2()(lim2
gxgx
. Por tanto la función )(xg es continua en
2x .
Otro ejemplo es la función presentada en el Ejemplo 7 de este módulo (pág. 23),
286
22|1|)(
2 xsixx
xsixxf ,
su forma es un claro ejemplo de una función discontinua, ya que ésta presenta un
salto en el valor 2x .
Si recuerdas, el cálculo de los límites unilaterales de la función f fueron:
a) .3212|1|2|12|)(lim2
xfx
b) .081248)2(6)2()(lim 2
2xf
x
Como estos dos límites son diferentes, tenemos que:
Por otro lado tenemos que el valor de la función )(xf valuada en 2 es igual a 3 .
Lo anterior nos dice que aún teniendo a una función definida en algún punto, en
este caso 2 , es una condición necesaria para la continuidad en ese punto, pero no
suficiente para asegurar que la continuidad exista ya que el límite no existe en ese
mismo punto.
Los ejemplos antes mencionados son suficientes para determinar ahora las
condiciones que una función debe cumplir para hablar de continuidad en un punto.
El significado de esta definición nos asegura tres condiciones:
I. )(cf esté definida. Es decir que exista, que c pertenezca al dominio de f .
II. )(lim xfcx
exista.
III. ).()(lim cfxfcx
Si cualquiera de estas tres condiciones falla, decimos que la función f no es
continua en el punto c , esto es, que es discontinua en c .
)(lim2
xfx
Continuidad en un punto: Sea f una función definida en un intervalo
abierto que contiene a c . Decimos que f es continua en c si
).()(lim cfxfcx
39
Límites
En pocas palabras, si quieres determinar si una función es continua en un punto
dado c , tienes que verificar primero si la función está bien definida en c , esto lo
logras sustituyendo en la función dicho valor para determinar si el resultado es un
número real. Luego determinar que el límite de la función en ese valor c existe, y
por último verificar que el valor del límite y el de la función valuada en c es el
mismo.
Una función es continua siempre que no se presente cualquiera de los siguientes
casos:
1. Una división por cero, esto en el caso de las funciones racionales.
2. Si se extrae una raíz de índice par a una cantidad negativa, esto en el caso de
las funciones radicales.
3. Una función por partes es continua, si cada función lo es en su intervalo de
definición, y si lo son en los puntos de división de los intervalos, por tanto
deben coincidir los límites unilaterales.
Esto es, si sustituimos un valor cualquiera a la variable independiente x y no se
presenta ninguno de los casos anteriores, la función será continua para ese valor.
En caso contrario, la función presentará cualquiera de los siguientes tipos de
discontinuidad:
1. Discontinuidad Removible o Evitable: Esta discontinuidad se da cuando la
condición II se cumple, pero no así la condición I, es decir, cuando )(lim xfcx
existe, pero )(xf no está definida en cx , provocando de esta manera que la
condición III no se cumpla, esto es, )(cf )(lim xfcx
. Cabe mencionar que este
tipo de discontinuidad se puede remover o evitar, como en el caso de las
funciones racionales, por ejemplo, mediante el proceso de factorización que
hemos llevado a cabo en varios de los ejemplos desarrollados.
2. Discontinuidad No Removible, Inevitable o de Primera especie: Este tipo de
discontinuidad se presenta cuando la condición I se cumple, pero no así la
condición II, específicamente, cuando los límites unilaterales existen en cx ,
pero son distintos. Esto es, cuando
)(lim)(lim xfxfcxcx
.
3. Discontinuidad Esencial o de Segunda especie: Este tipo de discontinuidad se
da cuando uno de los límites unilaterales no existe en cx .
Ejemplo16. Determina si las siguientes funciones son continuas o discontinuas, en
los puntos que se te indican:
1. Sea ;1
1
32
12
)( 2
xsix
xx
xsi
xf determina si es continua en
1x .
Cálculo Diferencial e Integral I
40
Aplicando las tres condiciones de continuidad:
I. Veremos primero que )(xf en 1x , existe. (Tomamos ese valor ya que es el
punto crítico donde la función cambia de forma).
.2)1(f
Efectivamente se cumple la condición I. Calcularemos ahora el límite de la función
f cuando x tiende a 1.
II. .5)32(lim1
)32)(1(lim
1
32lim
11
2
1x
x
xx
x
xx
xxx
Como el valor del límite es un número real, entonces existe. Por último verificaremos
que se cumpla la condición III, ).()(lim cfxfcx
III. .2)1(,5)(lim1
fperoxfx
Entonces ).1(25)(lim1
fxfx
La condición III no se cumplió, por lo tanto la función f no es continua en 1x ;
es discontinua en ese valor.
2. Sea
3
1)(
xxf ; determina si es continua o discontinua en 3x .
En el caso de las funciones racionales es necesario, primeramente, ver para qué
valores de x la función se indefine; es decir, dónde el denominador de la función
se hace .0 Para ello se toma el denominador 3x y se iguala a cero con la
finalidad de despejar x .
.3
;3033
;03
x
x
x
Entonces )(xf se indefine cuando x toma el valor 3 , ya que la división por cero
no es posible. Así vemos inmediatamente que la condición I no se cumple ya que
)3(f no existe; por lo que f es discontinua en 3x .
Observa en la Figura 1.8 que si cambiamos el valor de c , entonces f estaría bien
definida, por lo que )(cf existiría. Haciendo posible que sea continua en un valor
de c diferente de 3 .
3. Sea ,)(
512
512
xsix
xsix
xg determina si es continua o
discontinua en 5x .
Fig. 1.8 Gráfica de la función
3
1)(
xxf .
41
Límites
Aplicando las tres condiciones de continuidad:
I. )(cf existe ; evaluamos la función en 5x ; 111)5(2)5(f , existe. Por
tanto cumple. Ahora calculamos el límite de la función )(xg , que por ser por
partes requerimos determinar los límites unilaterales:
II. )(lim xfcx
existe;
;11)(lim5
xfx
;9)(lim5
xfx
Ya que los límites unilaterales son diferentes concluímos que
por lo que no se cumplió la condición II. Ya que una de las tres condiciones no se
cumplió, podemos entonces concluir que )(xf es discontinua en 5x .
Contesta lo que se te pide.
1. Determina si las siguientes funciones son continuas o discontinuas. En
el punto donde se indica.
a) 1)( 2xxf , en 2x .
b) 53)( xxf , en 1x .
c) xxf2
1)( , en 0x .
d)
3
9)(
2
x
xxf , en 3x .
e) 1)( xxf , en 9x .
f)
332
33)(
xsix
xsixxg en 3x .
g) ;
9
910
99
)(2 xsix
xsi
xsix
xh en 9x .
)(lim5
xfx
EJERCICIO 5
Cálculo Diferencial e Integral I
42
¡Ojo! Recuerda que
debes resolver la
autoevaluación y los
ejercicios de
reforzamiento; esto te
ayudará a enriquecer
los temas vistos en
clase.
h) ;
3
33
33
3
)(2
2
xsix
xsix
xsix
x
xf en 3x .
2. Demostrar que la función 1)( 2xxf es continua en 3x .
3. Dada la función
31
323)(
xsikx
xsixxg ; para que valor de k la función
es continua en 3x .
TAREA 5
Página 51.
EJERCICIO 5
(continuación)
43
Límites
INSTRUCCIONES: Realiza lo que se te pide en cada caso y entrega los resultados a tu profesor.
A) Realiza investigación bibliográfica y elabora una breve historia del cálculo diferencial, por lo menos de
cuartilla y media. Escribe la fuente de información.
B) Para cada una de las siguientes funciones elabora la gráfica correspondiente y construye para cada una
la tabla de valores para encontrar el límite dado.
1. )21(lim1
xx
2. )2(lim5
xx
3. )2(lim 2
0xx
x
4. )32(lim 2
2xx
x
5.
3
12lim
3 x
x
x
6.
3
9lim
2
3 x
x
x
7. sixfx
)(lim1
15
112)(
xsix
xsixxf
8. sixgx
)(lim1
12
14
1
12)(
2
xsix
xsixxxg
9.
168
65lim
2
2
6 xx
xx
x
10. sixhx
)(lim2
26
2)(
2
xsix
xsixxh
Nombre ____________________________________________________________
Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________
Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________
TAREA 1
Cálculo Diferencial e Integral I
44
C) Escribe cinco ejemplos de la vida real donde se apliquen los límites.
1.
2.
3.
4.
5.
Revisión: _____________________________________________________
Observaciones:________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
_
45
Límites
INSTRUCCIONES: En los siguientes límites de funciones indica el teorema que se aplica y evalúalos.
1.
exlim
2. xx 1lim
3. )23285(lim 234
21
xxxxx
4. )95)(23(lim 22
2xx
x
5. 3
1)15(lim x
x
6. )(lim 2
91
xxx
7.
65
23lim
4 x
x
x
8. )76(lim 24
2xx
x
9.
83
59lim
37 x
x
x
10.
x
xxx
x
8)]79)(3[(lim 6
8
Nombre ____________________________________________________________
Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________
Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________
TAREA 2
Cálculo Diferencial e Integral I
46
Revisión: _____________________________________________________
Observaciones:________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
_
47
Límites
INSTRUCCIONES: Realiza lo que se te indica en cada caso y entrega el resultado a tu profesor.
I. En los siguientes ejercicios aplicarás los teoremas sobre límites.
1. Sea ,123)( 2 xxxf 4)( 2xxg y 34)( xxh
Hallar:
a) )]()()([lim2
xhxgxfx
b)
)(
)]()([lim
1 xh
xgxf
x
c)
)(
)]()()([lim
5 xf
xfxgxh
x
2. De los siguientes límites, indica cuáles son determinados; y cuáles, indeterminados.
a)
5
102lim
5 x
x
x __________________________
b) 2
2
2 )2(
)3(lim
x
x
x __________________________
c)
)2)(65(
1245lim
2
56 xx
xx
x ___________________________
d) xxx
coslim ____________________________
e)
1
12lim
2
0 h
hh
h _____________________________
f) k
xe9
6lim ______________________________
g) ]22ln[lim1
xxx
_______________________________
Nombre ____________________________________________________________
Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________
Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________
TAREA 3
Cálculo Diferencial e Integral I
48
3. ¿Qué entiendes por funciones determinadas y funciones indeterminadas?
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
4. ¿Cuáles son las técnicas o procesos que se tienen que seguir para convertir una función indeterminada en
determinada?
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
5. Una escalera de 25 pies se apoya en una casa y su base se separa de la casa a razón de 2 pies por
segundo. Sabiendo que su extremo superior desciende por la pared con velocidad,
./625
2
2segpies
x
xr
a) Hallar la velocidad cuando x es 7 pies.
b) Hallar la velocidad cuando x es 15 pies.
c) Hallar el límite de r cuando x tiende a 25 pies.
Revisión: _____________________________________________________
Observaciones:________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
_
49
Límites
INSTRUCCIONES: Realiza lo que se te pide y entrega un reporte a tu profesor.
1. De los siguientes límites infinitos encuentra el signo que debe de asignarse al .
a)
1
5lim
1 x
x
x
b)
32
94lim
23 x
x
x
c)
12lim
21 x
x
x
2. Resuelve los siguientes límites en el infinito para comprobar las siguientes igualdades.
a) 3742
356lim
3
23
xx
xx
x b) 0
32
26lim
35
24
xxx
xx
x
c) 132
34lim
23
2
xx
x
x d)
xhxxh
hxxhh
x 2
1
234
23lim
33
322
e) 11
1lim
x
x
x f) 0
cos3lim
x
x
x
g) 11
limn
n
n h) 5
65
35lim
2
2
xx
x
x
Nombre ____________________________________________________________
Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________
Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________
TAREA 4
Cálculo Diferencial e Integral I
50
Revisión: _____________________________________________________
Observaciones:________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
_
51
Límites
INSTRUCCIONES: Determina si las funciones son continuas o discontinuas en el punto indicado y
compruébalas con la gráfica de cada una de ellas.
a) 1)( 2xxf , en 2x .
b) 53)( xxf , en 0x .
c) xxf3
1)( , en 1x .
d)
4
16)(
2
x
xxf , en 4x .
e) ||)( xxf , en 0x .
Nombre ____________________________________________________________
Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________
Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________
TAREA 5
Cálculo Diferencial e Integral I
52
f)
225
22)(
2
xsix
xsixxh , en 2x .
g)
11
11)(
2 xsix
xsixxf , en 1x .
h)
1
3)(
xxf , en 1x .
i)
423
411
432
)(
xsix
xsi
xsix
xg , en 4x .
53
Límites
INSTRUCCIONES: Examínate contestando las siguientes preguntas, señalando la respuesta correcta en la
letra que corresponda:
1.
5
25lim
2
5 x
x
x
6
10
existeNo
1
2. )14(lim 2
2xx
x
0
7
3
2
3.
53
4lim
2
2
2 x
x
x
7
1
x2
5
6
4.
79
23lim
x
x
x
3
1
5
6
0
2
5. senxx
2
lim
1
0
1
Nombre _________________________________________________________
Núm. de lista ____________ Grupo ________________ Turno __________
Núm. de Expediente ___________________ Fecha ____________________
AUTOEVALUACIÓN
Cálculo Diferencial e Integral I
54
6. El valor de k en la función
26
23)(
xsikx
xsixxf es:
2
2
1
4
7. )32ln(lim 42
3
xx
xee
32
8
100
180
8. La siguiente gráfica corresponde a una función:
continua en 0x
discontinua en 0x
constante en 0x
constante en 0x
9. ¿Cómo es la función 4)( 2xxg en 0x ?
continua
continua removible
discontinua
discontinua removible
10. La función
xxf
2
1)( es continua en 2x :
Verdadero
Falso
Verdadero si 2x
Falso si 2x
Si todas tus respuestas fueron correctas: excelente, por lo que te
invitamos a continuar con esa dedicación.
Si tienes de 8 a 9 aciertos, tu aprendizaje es bueno, pero es
necesario que repases los temas.
Si contestaste correctamente 7 o menos reactivos, tu aprendizaje es
insuficiente, por lo que te recomendamos solicitar asesoría a tu
profesor.
ESCALA DE MEDICIÓN DEL APRENDIZAJE
x
y
55
Límites
INSTRUCCIONES: Lee cuidadosamente cada uno de los siguientes reactivos, resuélvelos y entrega un
reporte a tu profesor.
1. Obtén los siguientes límites:
a)
3
27lim
3
3 x
x
x
b)
x
x
x
25)5(lim
2
0
c)
4
2lim
4 x
x
x
d) ]32[lim0
sen
e)
33
652lim
23
23
1 xxx
xxx
x
f)
3lim
0
xx
x
ee
g) ]5)82ln[(lim 32
2xx
x
h) )3)(23(lim 2
3xxx
x
i)
52
44lim
x
x
x
j)
52
43lim
2x
x
x
EJERCICIO DE
REFORZAMIENTO 1
Nombre _________________________________________________________
Núm. de lista ____________ Grupo ________________ Turno __________
Núm. de Expediente ___________________ Fecha ____________________
Cálculo Diferencial e Integral I
56
2. Determina el signo ó del , resolviendo los siguientes ejercicios con límites infinitos.
a)
2
5lim
2 x
x
x
b)
3lim
2
3 x
x
x
c)
27
32lim
72 x
x
x
3. Determina si las siguientes funciones son continuas en el punto indicado.
a) 53)( xxf ; en 2x .
b) 7)2(5)( 2xxf ; en 1x .
c) 4|1|1)( xxf ; en 0x .
d)
6
36)(
2
x
xxf ; en 36x .
e)
25)1(
22
1)(
2
3
xsix
xsixxf ; en 2x .
f)
11
11
11)1(3
)(
2
xsix
xsi
xsix
xg ; en 1x .
4. Hallar el valor de x donde la función es discontinua y determina si esa discontinuidad puede ser removible
o no; es decir, si la función se puede expresar como otra función mediante factorización.
a)
xxf
2)(
b)
9
27)(
2
3
x
xxf
c)
02
00)(
xsi
xsixg
UUnniiddaadd 22
LLaass rraazzoonneess ddee
ccaammbbiioo yy llaa
ddeerriivvaaddaa
Objetivo:
El alumno:
Resolverá problemas sobre razones de
cambio y la derivada, aplicando sus
principios, conceptos y reglas en la
interpretación gráfica de contextos de las
ciencias naturales, económico-
administrativas y sociales; contribuyendo
a generar un ambiente escolar
colaborativo y responsable.
Temario:
La derivada.
Reglas de derivación.
El libro de la naturaleza
“El gran libro de la naturaleza siempre está abierto ante
nuestros ojos y la verdadera filosofía está escrita en él…
Pero no lo podemos leer a menos que hayamos aprendido
primero el lenguaje y los caracteres con los cuales está
escrito…
Está escrito en el lenguaje matemático y los caracteres son
triángulos, círculos y otras figuras geométricas.” (Símbolos
matemáticos).
Galileo Galilei
Las razones de cambio son derivadas; razones de cambio
relacionadas. Por lo tanto, el estudio del cambio y
movimiento se convierte en el estudio de las derivadas. La
expansión y la elevación de los globos son de los buenos
ejemplos.
Cálculo Diferencial e Integral I
58
Mapa Conceptual de Unidad
Interpretación geométrica de la
derivada.
La ecuación de
la recta tangente
en un punto.
La Derivada.
Razón de
cambio
promedio e
instantánea.
Las reglas de
derivación.
Las cuales son:
Se obtiene por
De la cual
obtenemos
Lo que nos permite
calcular
Regla de la potencia.
Reglas del producto
y del cociente.
Regla de la cadena.
Derivadas de funciones
trigonométricas.
Derivadas de funciones
exponenciales y
logarítmicas.
59
Las razones de cambio y la derivada
LLAA DDEERRIIVVAADDAA..
Durante los siglos XVI y XVII, surgió la necesidad de establecer la forma en
que varía una cantidad de otra, como en física, en sus problemas
fundamentales, en donde se requiere saber cómo varía la posición de un
cuerpo al transcurrir el tiempo. Por esto, se introdujeron conceptos de
magnitud de variables y función. Esta evolución dio como consecuencia el
nacimiento de diferentes disciplinas, entre la que está el cálculo diferencial,
que básicamente estudia la variación y los procesos de cambio.
El cálculo es la matemática del movimiento y del cambio, y como puedes ver,
nada puede existir en el universo sin que sufra un cambio, no ha de
sorprendernos la inmensa variedad de aplicaciones del cálculo.
La historia nos narra que el desarrollo del cálculo nació de cuatro grandes
problemas observados por europeos en el siglo XVII:
1. El problema de la tangente.
2. El problema de la aceleración.
3. El problema de máximos y mínimos.
4. El problema del área.
Los cuatro problemas involucran la noción intuitiva de límite, y sirvió para
introducirse a un nuevo conocimiento que se llamó Cálculo.
2.1.1. Interpretación geométrica de la derivada.
Sea )(xf una función cualquiera, si tomamos los puntos )(, 11 xfx y
)(, 22 xfx como se muestra en la figura:
22..11..
Gottgried Wilhem Leibniz (1646-
1716) Como matemático, su
nombre está unido al del gran
Newton, como coautor del
cálculo infinitesimal
1x
)( 1xf
2x
)( 2xf
)(,22
xfx
)(, 11 xfx
)(xf
Cálculo Diferencial e Integral I
60
Llamaremos sm a la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos
)(, 11 xfx , )(, 22 xfx , la cual la podemos calcular de la siguiente
manera:
12
12 )()(
xx
xfxfms
Si hacemos que el punto 2x se aproxime al punto 1x , las pendientes de las
rectas secantes que se van generando las podemos calcular utilizando la
misma fórmula, esto lo podemos observar en la siguiente figura:
Apoyándonos en la gráfica anterior se puede observar también que conforme
2x se aproxima a 1x , las rectas secantes que se generaron se aproximan a
la recta tangente a )(xf en el punto 1x , y por lo tanto las pendientes de las
rectas secantes se estarán aproximando a la pendiente de la recta tangente,
la cual la denotaremos como tm .
Si recuerdas, al proceso de ir aproximando lo relacionamos con el concepto
de límite; de tal manera que podemos afirmar que el valor de la pendiente de
la recta tangente de una función )(xf en el punto 1x es igual al límite de las
pendientes de las rectas secantes cuando el punto 2x se aproxima a 1x y
esto lo podemos escribir de la siguiente manera:
1x
2x
2x
2x
)( 2xf
)( 2xf
)( 2xf
)( 1xf
61
Las razones de cambio y la derivada
sxx
t mlímm12
Es decir:
12
12 )()(
12 xx
xfxflímm
xxt
Si en la fórmula anterior hacemos 12 xxh , se puede observar fácilmente
que si 2x se aproxima a 1x , la diferencia 12 xx se va haciendo cada vez
más pequeña; de tal manera que podemos decir que si 2x se aproxima a
1x , entonces 12 xxh se aproxima a cero.
Por otro lado, si de la igualdad 12 xxh despejamos 2x , obtenemos
hxx 12 ; si estos cambios los sustituimos en:
12
12 )()(
12 xx
xfxflímm
xxt Ecuación 2.1
Se obtiene:
h
xfhxflímmh
t
)()( 11
0
Ecuación 2.2
Ejemplos:
1) Hallar el valor de la pendiente de la recta tangente ( tm ) de la función
1)( 2xxf en el punto 21x .
Para utilizar la fórmula, debemos calcular:
1)()( 2
11 xxf
1)()( 2
11 hxhxf
Si estos valores los sustituimos en:
h
xfhxflímmh
t
)()( 11
0
Tendremos:
)(2)(2))(2())((2
1)(1))((2)()1)((1)(
110
1
0
2
1
0
2
1
2
1
2
1
0
2
1
2
1
0
xhxlímh
hxhlím
h
hhxlím
h
xhhxxlím
h
xhxlímm
hhh
hht
Cálculo Diferencial e Integral I
62
)(2)(2))(2())((2
2)(2))((2)()2)((2)(
110
1
0
2
1
0
2
1
2
1
2
1
0
2
1
2
1
0
xhxlímh
hxhlím
h
hhxlím
h
xhhxxlím
h
xhxlímm
hhh
hht
Por lo tanto )(2 1xmt , si sustituimos 21x obtenemos )2(2tm ,
4tm
2) Hallar la ecuación de la recta tangente ( tR ) a la función 2)( 2xxf en
21x .
Para resolver este ejercicio, necesitamos calcular tm y el punto formado por
)(, 11 xfxP , para sustituirlo en la ecuación de la recta, que si recuerdas
está dada por )()( 11 xxmxfy t .
Para calcular tm procederemos como en el ejemplo anterior:
2)()( 2
11 xxf
2)()( 2
11 hxhxf
Estos valores los sustituimos en:
h
xfhxflímmh
t
)()( 11
0
Tendremos:
Por lo tanto )(2 1xmt , si sustituimos 21x obtenemos )2(2tm ,
4tm
El punto es )2,2(P , ya que 21x , y
2242)2(2)()( 22
11 xxf .
Sustituyendo estos valores en la ecuación de la recta
)()( 11 xxmxfy t , obtenemos:
)2(42 xy desarrollando
842 xy igualando a cero
064: yxRt que corresponde a la ecuación de la recta tangente
a 2)( 2xxf en el punto 21x .
63
Las razones de cambio y la derivada
Realiza los siguientes ejercicios y comprueba los resultados con tus
compañeros.
I. Hallar la pendiente de la recta tangente a la función dada, en el punto
dado:
2
1463)()3
4)()2
032)()1
2
2
xenxxxf
xenxxf
xenxxxf
II. Hallar la ecuación de la recta tangente a la función dada, en el punto
dado:
1)()5
334)()4
12)()3
1)()2
11)()1
3
2
2
2
xenxxf
xenxxxf
xenxxf
xenxxf
xenxxf
III. Con el apoyo de tu profesor, realiza las gráficas correspondientes
(Función y Recta tangente) de los ejercicios del punto II.
EJERCICIO 1
TAREA 1
Página 91.
Cálculo Diferencial e Integral I
64
DEFINICIÓN: La derivada de una función )(xf que representaremos como
)´(xf se define como el valor de la pendiente de la recta tangente a la
función )(xf en el punto x , es decir:
h
xfhxflímmxfh
t
)()()´(
0
Ecuación 2.3
Existen otras formas para representar a la derivada, las cuales puedes
encontrar en diferentes bibliografías, algunas de ellas son:
dx
dy, ´y ,
dx
df
Ejemplos: Calcular la derivada de las siguientes funciones utilizando la
definición formal de derivada (Ecuación 2.3).
1) 23)( xxf
Para resolverlo, necesitamos encontrar:
23)(
2332)(3)(
xxf
hxhxhxf
Si estas expresiones las sustituimos en la Ecuación 2.3, obtenemos:
.33323233
)23(233)()()´(
000
00
hhh
hh
límh
hlím
h
xhxlím
h
xhxlím
h
xfhxflímxf
Por lo tanto:
.3)´(xf
65
Las razones de cambio y la derivada
2) 52)( 2 xxxf
Calculemos:
52)(
52225)(2)()(
2
222
xxxf
hxhxhxhxhxhxf
Sustituyendo en la Ecuación 2.3, se obtiene:
Por lo tanto:
.22)´( xxf
3)
2
1)(
xxf
h
xhxlímxfh
2
1
2
1
)´(0
, obtenemos el común denominador de
ambas fracciones algebraicas y multiplicando cruzado. Obtenemos:
.)2(
1
)2)(2(
1
)2)(20(
1
)2)(2(
1
)2)(2(
1
)2)(2(
22
)2)(2(
)2(1)2(1
)´(
2
00
00
xxxxx
xhxlím
xhxh
hlím
h
xhx
hxx
límh
xhx
hxx
límxf
hh
hh
Recuerda que:
222 2)( bababa
Si factorizamos h
2220222)22(
22525222
)52(5222)()()´(
00
2
0
222
0
222
00
xxhxlímh
hxhlím
h
hhxhlím
h
xxhxhxhxlím
h
xxhxhxhxlím
h
xfhxflímxf
hh
hh
hh
Cálculo Diferencial e Integral I
66
Por lo tanto:
2)2(
1)´(
xxf
4) xxf )(
h
xhxlímxfh 0
)´( si multiplicamos y dividimos por el conjugado de
xhx que es xhx , tendremos:
.2
11
0
1
1
)()(
)()´(
000
22
00
xxxxx
xhxlím
xhxh
hlím
xhxh
xhxlím
xhxh
xhxlím
xhx
xhx
h
xhxlímxf
hhh
hh
Por lo tanto:
.2
1)´(
xxf
67
Las razones de cambio y la derivada
I. Calcula la derivada de las siguientes funciones (utilizando la ecuación
2.3). Comprueba los resultados con tus compañeros.
1) 25)( xxf
2) 54
3)( xxf
3) xxf )(
4)
8
3)(
xxf
5) xxxf 2)(
6) 23)( xxf
7) 354)( 2 xxxf
8)
4
5
2
1
3
2)( 2 xxxf
9) 3)( xxf
10)
5
1)(
xxf
11)
xxf
1)(
12)
52
3)(
xxf
13)
3)(
x
xxf
14) 2
1)(
xxf
15) 2)( xxf
16) xxf 3)(
17) 13)( xxf
18)
xxf
1)(
19)
5
2)(
xxf
20)
75
1)(
xxf
EJERCICIO 2
TAREA 2 y 3
Págs. 93-95.
Cálculo Diferencial e Integral I
68
1x 2x
1y
2y
y
P1
P2
y
x
x
2.1.2. Razón de cambio promedio.
En Geometría Analítica (Matemáticas 3) se estudió lo referente a la pendiente
de una recta que pasa por los puntos ),(),( 222111 yxPyyxP denotada
como ""m , la cual la podías calcular utilizando la fórmula:
12
12
xx
yym
Utilizando la notación de cambio o incremento, la expresión anterior la
podemos transcribir como:
x
ym
Donde:
12 xxx . Es la diferencia de las abscisas ( x )
12 yyy . Es la diferencia de las ordenadas ( y )
Como se muestra en la siguiente gráfica:
Por lo tanto:
x
y se lee como “razón de cambio de “ y ” con respecto a “ x ”.
Lo que nos permitir definir:
Es una letra
griega llamada
delta.
Que significa: CAMBIO.
Razón de cambio promedio.
Sea f una función tal que )(xfy y ),(),( 222111 yxPyyxP un par de puntos
de f . Definimos la razón de cambio promedio de “ y ” con respecto a “ x ” como:
12
12
12
12 )()(
xx
xfxf
xx
yy
x
y
69
Las razones de cambio y la derivada
Ejemplo 1.
Determinar la razón de cambio promedio de la función
13)( xxf en el intervalo ]7,3[
Solución: Hagamos una partición del intervalo ]7,3[ de la siguiente manera:
Realizando la siguiente tabla:
x )(xfy x y
x
y
3 10)3(f
134 31013)3()4( ff
1
3
4 13)4(f
145 31316)4()5( ff
1
3
5 16)5(f
156 31619)5()6( ff
1
3
6 19)6(f 167 31922)6()7( ff
1
3
7 22)7(f
Observa la tabla, te puedes dar cuenta que la razón de cambio promedio de
la función 13)( xxf en el intervalo ]7,3[ con la partición del intervalo
dada, permanece constante y es igual a :
31
3
x
y
NOTA: Si tomamos los puntos 5.41x y 2.62x , y sustituimos estos
valores en la función, se tiene que:
5.1415.131)5.4(3)( 1xf
y
6.1916.181)2.6(3)( 2xf .
Entonces la razón de cambio promedio de la función es:
37.1
1.5
5.42.6
5.146.19)()(
12
12
xx
xfxf
x
y
3 4 5 6 7
Cálculo Diferencial e Integral I
70
Es decir que la razón de cambio promedio de la función independientemente
de la partición permanece constante.
Ejemplo 2.
Determinar la razón de cambio promedio de la función:
32)( 2 xxxf en el intervalo ]1,2[ .
Solución:
Si tomamos 21x y 12x , entonces
33443)2(2)2()( 2
1xf
63213)1(2)1()( 2
2xf
Sustituimos en la fórmula de la razón de cambio promedio para ver el
resultado:
12
12
12
12 )()(
xx
xfxf
xx
yy
x
y
13
3
21
36
)2(1
36)()(
12
12
12
12
xx
xfxf
xx
yy
x
y
1x
y
Geométricamente hablando, 1x
y es la pendiente de la recta secante que
une los puntos )6,1()3,2( y como se muestra en la siguiente figura:
x
y
71
Las razones de cambio y la derivada
En equipo realiza los siguientes ejercicios y comprueba los resultados con los
miembros de tu equipo.
1. Determina la razón promedio de las siguientes funciones en los intervalos
que se te proporcionan.
a) 2xy , para x [-3, 4]
b) )37(2 xxy , para x
[1, 6]
2. Comprueba el resultado de la razón de cambio promedio que se te da en
las siguientes funciones:
a) 852 xxy , x [1,1.2] Respuesta: 2.7x
y
b) xxy 22, x [1, 1.5] Respuesta: 5.4
x
y
c) Hallar y , dado que y 532 xxy , y x = 0.01. ¿Cuál es el valor
de “ y ” cuando x = 4.9?
Respuesta: y = - 0.0699
y = 14.9301
3. Resuelve los siguientes problemas.
a) Encontrar el incremento en el volumen de un balón esférico cuando su
radio se incrementa: de 2 a 3 pulgadas.
Recordar que:
3
3
4rV
b) Las distancias (en metros) recorridas por un automóvil durante un período
de ocho segundos son:
0, 29, 55, 78, 97, 114, 128, 138 y 145.
c) Hallar la velocidad media en el intervalo [0,145]
d) ¿La velocidad media es igual a la velocidad promedio? Sí o no.
e) A medida que se van reduciendo los intervalos de tiempo, ¿cuál es límite
real en que la velocidad se va aproximando?
f) Realiza la gráfica.
EJERCICIO 3
Cálculo Diferencial e Integral I
72
Razón de cambio instantáneo.
Sea )(xfy una función definida en todos puntos del intervalo ),( 21 xx ,
definimos la razón de cambio instantáneo de la función en x cómo:
x
ylímx 0
;
o bien:
12
12 )()(
12 xx
xfxflím
xx.
2.1.3. La razón de cambio instantánea.
Esta última expresión corresponde a la ecuación 2.2 (pág. 61) que
geométricamente hablando representa la pendiente de la recta tangente a la
función.
Una definición más general de derivada es: La derivada de una función es la
razón de cambio instantánea de la función en un intervalo dado.
RREEGGLLAASS DDEE DDEERRIIVVAACCIIÓÓNN..
Hasta ahora hemos determinado la derivada de una función mediante el uso
de la definición de derivada (Ecuación 2.3, mediante límite), pero ésta resulta
muy laboriosa y difícil de aplicar en algunas ocasiones.
Existen reglas que nos permiten encontrar la derivada de una función de una
manera más práctica, las cuáles conocemos como reglas o teoremas de
derivación. Enseguida te presentamos las reglas para el cálculo de derivadas.
2.2.1. REGLAS PARA CALCULAR DERIVADAS.
1. Regla de la función constante.
Si cxf )( , donde ""c es una constante, entonces 0)´(xf
Ejemplos:
Calcula la derivada de las siguientes funciones constantes.
1) 5)(xf
0)´(xf
22..22..
73
Las razones de cambio y la derivada
2) 8
7)(xf
0)´(xf
Observa que una función constante no cuenta con la expresión x . Por esta
razón la derivada de una función constante siempre es cero.
2. Regla de una constante por la función identidad:
Si xcxf )( , entonces cxf )´( .
Ejemplos:
Calcular la derivada de las siguientes funciones:
1) xxf 4)( entonces:
4)´(xf
2) xxg3
5)( entonces:
3
5)´(xg
3) xxf )( entonces:
1)´(xf
Para el caso en que la función es un múltiplo de la función identidad, la
derivada siempre es el coeficiente de la función xcxf )( , esto es siempre
es c . Recuerda que la derivada geométricamente hablando es la pendiente
de la recta tangente en un punto de la función, por lo que es evidente que c
en la expresión xcxf )( , es la pendiente de la recta cx . De ahí que c
siempre sea la derivada de una función de este tipo.
3. Regla de la función potencia:
Si ncxxf )( , entonces
1))(()´( nxncxf
Ejemplos: Calcular la derivada de las siguientes funciones.
1) 2)( xxf .
xxxf 22)´( 12.
Cálculo Diferencial e Integral I
74
2) 3
1)(
xxf .
En una función racional de este tipo, resulta más fácil derivarla si expresamos
la función como una potencia. Recuerda de tu curso de Matemáticas 2 de las
leyes de los exponentes que:
n
n
aa
1;
donde el 1 es el coeficiente de la base a . Esto significa que una potencia
con un exponente negativo en realidad es un cociente.
Tenemos entonces que 3
31
1x
x, luego la derivada de la función es:
413 33)´( xxxf ;
o bien:
4
3)´(
xxf .
NOTA: Observa que al expresar la función original como una potencia
mediante las leyes de los exponentes, no estamos derivando la función. Sólo
la estamos expresando en una equivalencia.
3) xxf )( .
Ya que no tenemos un teorema que derive funciones radicales (raíces),
tenemos que expresar este tipo de funciones mediante una función potencia,
de la cual si tenemos un teorema. Nuevamente por las leyes de los
exponentes tenemos que
ba
b a xx ;
donde a es el exponente de la base x y b es el radical, esto es, es la raíz b-
ésima. De esta manera una función radical siempre puede ser expresada
como una potencia, donde el exponente siempre será una fracción.
Tenemos entonces que la función xxf )( , la podemos representar
como la potencia:
21
)( xxf ,
observa en el numerador del exponente fracción que el valor es 1, debido a
que la base x de la función xxf )( tiene exponente uno, y el
denominador del exponente fracción es 2 debido a que la raíz es cuadrada.
Así la derivada de la función es:
12
1
2
1)´( xxf ;
y restando los exponentes quedaría
21
2
1)´( xxf ;
o bien
xxf
2
1)´(
NOTA: Al expresar una función radical a una potencia, observa que no
estamos derivando aún, sólo estamos expresando la función en una
equivalencia.
75
Las razones de cambio y la derivada
4) 35)( xxf entonces:
213 15)3)(5()´( xxxf
5) 5 23)( xxf , es decir
5
2
3)( xxf entonces la derivada de la función
es:
5 3
5
31
5
2
5
6
5
6
5
2)3()´(
xxxxf
4. Regla de la suma o diferencia de funciones:
Si )()()( xhxgxf , entonces )´()´()´( xhxgxf
Es decir, la derivada de una suma de funciones es la suma de las derivadas; o
bien, la derivada de una resta de funciones es la resta de las derivadas.
Ejemplos: Calcular la derivada de las siguientes funciones.
1) 64)( xxf , mediante los teoremas vistos con anterioridad tenemos que
la derivada de x4 , es 4 y la derivada de 6 es 0 , de esta manera la derivada
de la función )(xf es:
404)´(xf
2) 782)( 4 xxxg , la derivada de la función es:
88)´( 3xxg .
3) 102
3)( 4 5
4
5 xx
xxh
Para este tipo de función, primero hay que expresar la función )(xh en una
función cuyos términos sean todas potencias mediante leyes de los exponentes,
para poder derivar así cada uno de sus términos, es decir:
1023102
3)( 4
5
454 5
4
5 xxxxx
xxh ,
entonces:
4
5
44
1
54
4
5815
4
5815)´( x
xxxxxxh .
Cálculo Diferencial e Integral I
76
Individual: Mediante el uso de teoremas, calcula la derivada
de las siguientes funciones.
1) 753)( 3 xxxf
2) 9874)( 25 xxxxg
3) 5)( xxh
4) 3946)( 4
1
2 xxxxf
5) 15)( 7 2 xxxg
6) 432
4321)(
xxxxxM
7) 53
)(5 7x
xT
8) 2
23 753)(
x
xxxxQ
9) )(xf
10) 272945)( 23456 xxxxxxxh
EJERCICIO 4
TAREA 4
Página 97.
77
Las razones de cambio y la derivada
5. Regla del producto de funciones.
Si )()()( xhxgxf , entonces )´()()´()()´( xgxhxhxgxf
Dicho en palabras: La derivada de un producto de funciones es igual a la
primera función por la derivada de la segunda, más la segunda función por la
derivada de la primera.
Ejemplos: Calcula la derivada de las siguientes funciones.
1) 3553)( 32 xxxf la deriva es entonces:
xxxxxf 6351553)´( 322;
o bien:
xxxxxf 18307545)´( 424,
sumando términos semejantes, obtenemos:
xxxxf 187575)´( 24.
2) 952)( 35 xxxxf la deriva es entonces:
259352)´( 4325 xxxxxxf ;
o bien:
1845251563)´( 437237 xxxxxxxf ,
nuevamente sumando términos semejantes, obtenemos:
18158458)´( 2347 xxxxxf
Hay ocasiones que es mucho más práctico aplicar un poco de álgebra antes de
derivar, esto es, multiplicar primero eliminando paréntesis y después derivar, por
ejemplo:
3) 55)( 22 xxxf .
Como puedes darte cuenta, tenemos un producto de binomios conjugados. Si
recuerdas, el resultado de la multiplicación de este par es una diferencia de
cuadrados, es decir )(xf la podemos expresar de la siguiente manera:
25)( 4xxf ;
observa que aún no hemos derivado la función )(xf , simplemente la hemos
expresado en una equivalencia. De esta manera su derivada es:
34)´( xxf .
Cálculo Diferencial e Integral I
78
6. Regla del cociente de funciones.
Si 0)()(
)()( xhcon
xh
xgxf , entonces
2)(
)´()()´()()´(
xh
xhxgxgxhxf
Dicho de otra manera: La derivada del cociente de dos funciones es igual a la
función de abajo por la derivada de la de la función de arriba menos la función
de arriba por la derivada de la función de abajo, todo sobre la función de abajo
elevada al cuadrado.
Ejemplos: Calcula la derivada de las siguientes funciones.
1)
73
5)(
2
3
x
xxf
22
322
73
65373)´(
x
xxxxxf ,
eliminando paréntesis obtenemos:
22
424
73
306219)´(
x
xxxxxf ,
sumando términos semejantes tenemos:
22
24
73
30213)´(
x
xxxxf .
Al igual que en el caso de la multiplicación, hay ocasiones que es mucho más
práctico aplicar un poco de álgebra, esto es, factorizar la función para simplificar
primero y después derivar, por ejemplo:
2)
6
36)(
2
x
xxf
Como puedes observar tenemos una diferencia de cuadrados que podemos
factorizar como el producto de binomios conjugados, de tal manera que la
función )(xf podemos expresarla de la siguiente manera:
6
)6)(6()(
x
xxxf ;
79
Las razones de cambio y la derivada
llevando a cabo la simplificación nos queda:
6)( xxf ,
entonces la derivada de la función es:
1)´(xf .
En binas, deriva las siguientes funciones utilizando la regla que corresponda;
coteja tus resultados con los de tus compañeros y entrégaselos a tu profesor
para su revisión.
1) )5)(63()( 4xxxf
2) )84)(36()( 3 xxxxf
3) )13)(54()( 42 xxxxxf
4) xxxf 11)(
5) 933)( 242 xxxxh
6)
x
xxf
5
35)(
3
7)
26
53)(
2
x
xxxf
8)
964
278)(
2
3
xx
xxM
9)
x
xxg
1
1)(
10)
81
276)(
2
2
x
xxxG
EJERCICIO 5
5 5
TAREA 5
Página 99.
Cálculo Diferencial e Integral I
80
2.2.2. REGLA DE LA CADENA
7. Teorema de la regla de la cadena. (También conocido como teorema de la
función composición)
Si ))(()( xhgxf ,es decir, ))(()( xhgxf entonces
)´())(´()´( xhxhgxf
Antes de ejemplificar ejercicios donde se utilice la regla de la cadena para
derivar, es necesario que veamos que significa la función composición:
1, Sean las funciones
74)(,2)(,53)( 2 xxhyxxgxxxf .
La composición de las funciones )(xf y )(xg que se escribe ))(( xgf o
))(( xgf , significa que la función f será evaluada en la función g , es
decir, en cada x que la función )(xf tenga, pondremos en su lugar la
expresión de la función )(xg . Esto es:
723
5232
5)2(3)2(
5))((3))(())(())((
2
2
xx
xx
xx
xgxgxgfxgf
Ahora determinaremos la función composición ))(( xfg , con la finalidad
de que te des cuenta que la composición ))(( xfg no es la misma que la
función composición ))(( xgf . Veámoslo:
73
253
2)())(())((
2
2
xx
xx
xfxfgxfg
Puedes observar que:
723))(( xxxgf
y
73))(( 2 xxxfg ;
obviamente no son iguales.
81
Las razones de cambio y la derivada
Para aplicar el teorema de la regla de la cadena en la derivación de funciones
composición, primero resolveremos un ejemplo haciendo una separación de
las funciones:
Sean 3)( xxg y 9)( 2xxh , determinemos la función composición
))(()( xhgxf , es decir,
32 9)( xxf .
Para calcular la derivada )´(xf , utilizando la regla de la cadena dada por
)´())(´()´( xhxhgxf . Tenemos que calcular primeramente la derivada de
)(xg , observa para ello que g es una potencia, luego:
23)(' xxg ;
pero como g está compuesta con )(xh , tenemos entonces que evaluar la
función g en )(xh , esto significa que en cada x de la función )(xg vamos
a evaluar la función 9)( 2xxh , esto es:
222 )9(3))((3))(`( xxhxhg .
Por otro lado la derivada de la función )(xh es:
xxh 2)(' .
Sustituyendo estos resultados en el teorema de la regla de la cadena
)´())(´()´( xhxhgxf tenemos:
)2()9(3)´())(´()´( 22 xxxhxhgxf .
Si comparamos la función original con el resultado que obtuvimos al derivar,
se observa lo siguiente:
32 9)( xxf
)2()9(3)´( 22 xxxf
EJERCICIO 6
Con las funciones señaladas en el ejemplo anterior, encuentra:
1) ))(( xhf
2) ))(( xgh
3) ))(( xhg
4) ))(( xfh
TAREA 6
Página 101.
Cálculo Diferencial e Integral I
82
Como la función )(xg es una potencia, el exponente 3 lo bajamos
multiplicando al coeficiente 1 de la base )9( 2x , se le resta 1 al exponente
quedándonos 2 ; la función 9)( 2xxh permanece igual como base de la
potencia, y a esto se le multiplica por la derivada de xxh 2)( , que
corresponde a la derivada de lo que aparece dentro del paréntesis.
Esto último es lo que estaremos aplicando para hallar la derivada de una
función composición utilizando la regla de la cadena.
Resolvamos ahora algunos ejemplos:
Ejemplos: Mediante regla de la cadena, hallar la derivada de las siguientes
funciones:
1)
65 93)( xxf entonces:
554455 )93(90)15()93(6)´( xxxxxf .
2)
923 6378)( xxxf entonces:
82322823 637)4321512()621(63772)( xxxxxxxxxf
3) 4
7
44 74 )83()83()( xxxf entonces:
4 34334
3
4 )83(21)12()83(4
7)( xxxxxf
83
Las razones de cambio y la derivada
I. En binas, deriva las siguientes funciones utilizando la regla de la cadena,
compara tus resultados con los de tus compañeros, y entrégaselos a tu
profesor para su revisión.
1) 52 )82()( xxF
2) 73 )65()( xxF
3) 34 )3()( xxxF
4) 4 5)35()( xxf
5) 64)( 3xxf
II. Con el apoyo de tu profesor(a), deriva las siguientes funciones utilizando
las diferentes reglas de derivación.
1) 4352 )7()1()( xxxF
2) 7373 )6()6()( xxxF
3) 32
5
)5(
)23()(
x
xxF
4) 5
52
)8(
)403()(
x
xxxF
5) )3)(64()( 33 xxxf
6)
8
5
2)(
x
xxg
7) )2)(5()( 4xxxM
8) 42 5
2)(
x
xxQ
9) 1
9)(
x
xxG
10) )3)(5()( 7 27 3 xxxL
EJERCICIO 7
TAREA 7
Páginas 103.
Cálculo Diferencial e Integral I
84
2.2.3. Derivadas de funciones trigonométricas
Teoremas de las derivadas de funciones trigonómetricas.
1.
Si ))(()( xgSenxf , entonces ))(()´()´( xgCosxgxf
2.
Si ))(()( xgCosxf , entonces ))(()´()´( xgSenxgxf
3
Si ))(()( xgTanxf , entonces ))(()´()´( 2 xgSecxgxf
4.
Si ))(()( xgCotxf , entonces ))(()´()´( 2 xgCscxgxf
5.
Si ))(()( xgSecxf , entonces ))(())(()()( xgTanxgSecxgxf
6.
Si ))(()( xgCscxf , entonces ))(())(()()( xgCotxgCscxgxf
Ejemplos: Encuentra la derivada de las siguientes funciones trigonométricas.
1) )()( 2xSenxf .
El argumento de la función trigonométrica es la expresión 2x , es decir dentro
del teorema que relaciona la función Seno, ))(()( xgSenxf , 2)( xxg ,
luego la derivada de la función es:
)(2)´( 2xxCosxf ;
donde x2 es la derivada de g , esto es, xxg 2)(' y )( 2xCos es la
derivada de la función original Seno.
2) )123()( 5 xxCosxh .
El argumento de la función trigonométrica es la expresión
123)( 5 xxxg ;
85
Las razones de cambio y la derivada
Por lo que la derivada de la función h es:
)123()215()´( 54 xxSenxxg .
3) )()()( 21
xTanxTanxh , entonces:
)(2
1)(
2
1)´( 222
1
xSecx
xSecxxh .
4) 3)52()( xCotxM , entonces:
)52()52(6)52()2()52(3)´( 2222 xCscxxCscxxM
5)
2
3)(
x
xSecxH , como el argumento es un cociente, al derivar
)(xg , se deriva como un cociente de funciones, entonces:
2
3
2
3
)2(
)1)(3()1)(2()´(
2 x
xTan
x
xSec
x
xxxH ;
2
3
2
3
)2(
32)´(
2 x
xTan
x
xSec
x
xxxH ;
2
3
2
3
)2(
5)´(
2 x
xTan
x
xSec
xxH .
6) 2
1
)73()73()( xCscxCscxT , luego la derivada es:
)73()73()3()73(2
1)´( 2
1
xCotxCscxxT
)73()73()73(2
3)´( 2
1
xCotxCscxxT
)73()73(732
3)´( xCotxCsc
xxT
NOTA: En todos los ejemplos desarrollados, observa que el argumento de la
función trigonométrica que representa a un ángulo, no se altera de ninguna
manera en la derivada. Esto es, el argumento de la función que resulte en la
derivada es el mismo que el argumento de la función original.
Cálculo Diferencial e Integral I
86
Calcula las derivadas de las siguientes funciones trigonométricas y
entrégaselas a tu profesor para su revisión.
1.
x
xsenxf
)()(
2. )2tan()5()( xxsenxf
3. )tan()( 2xxf
4. )(tan)( 2 xxf
5. )21cot()( 2xxf
6. )36(sec)( 6 xxf
7. )2()( xCosxh
8. 6)36()( xSecxL
9.
2
4)(
2
x
xCscxQ
10. )8()8()( 5252 xCosxSenxf
11.
)(
)()(
xSen
xCosxg
12.
)(
1)(
xCotxT
13. )9823()( 23 xxxSenxG
14.
xCosxf
1)(
15.
)()(
xSen
xxg
16. )35()35()( 22 xSecxCosxK
17.
)(
1)(
2 xCosxF
18. )23()4()( 3 xTanxxf
19.
)tan(
1)(
x
xxh
20. )()()( 35 xCosxSenxM
EJERCICIO 8
TAREA 8
Páginas 105.
87
Las razones de cambio y la derivada
2.2.4. Derivadas de funciones exponenciales y logarítmicas.
Derivada de la función exponencial.
Si )()( xgexf , entonces
)()´()´( xgexgxf
Ejemplos: Calcular la derivada de las siguientes funciones exponenciales.
1) )35()( xexf .
El argumento de la función exponencial es el exponente 35x , esto es,
35)( xxg , luego la derivada de la función es:
)35(5)´( xexf .
2) )4()( xCosexf .
Ya que el argumento es una función trigonométrica, utilizaremos la derivada
de la función Coseno al derivar )(xg .
)4()4(4)´( xCosexSenxf
3) 2
5
)( x
x
exh .
El argumento de la función en este caso es un cociente de funciones, así que
al derivar )(xg tenemos que utilizar el teorema del cociente de funciones:
2
5
2
2
5
2
2
5
2 )2(
7
)2(
52
)2(
)1)(5()1)(2()´( x
x
x
x
x
x
ex
ex
xxe
x
xxxh
NOTA: Observa que la función exponencial original permanece siempre como
un factor en su derivada, así lo expresa el teorema )()´()´( xgexgxf .
Cálculo Diferencial e Integral I
88
Derivada de la función logaritmo natural.
Si ))(()( xgLnxf , entonces 0)()(
)´()´( xgcon
xg
xgxf
Ejemplos: Calcula la derivada de las siguientes funciones.
1) )63()( 24 xxLnxf .
El argumento de la función Logaritmo Natural es precisamente lo que está
entre paréntesis, esto es, 63)( 24 xxxg . Por lo que su derivada es:
63
64)´(
24
3
xx
xxxf .
2) ))1((3)( 3xSenLnxh .
El argumento de esta función es )1()( 3xSenxg , por lo que su derivada
queda:
)1(9)1(
)1(9
)1(
)1()3(3)´( 32
3
32
3
32
xCotxxSen
xCosx
xSen
xCosxxg .
Para llegar a este resultado hemos utilizado la siguiente identidad
trigonométrica
)(
)()(
xSen
xCosxCot .
Hay ocasiones en las cuales es conveniente aplicar las propiedades de los
logaritmos, antes de derivar, porque al hacerlo se facilita el cálculo de la
derivada. Estas propiedades las viste en el curso de Matemáticas 4.
Propiedades de Logaritmos:
)(1
)4
)()()3
)()()2
)()()])([()1
ALnn
ALn
ALnnALn
BLnALnB
ALn
BLnALnBALn
n
n
Veamos un ejemplo donde, al aplicar estas leyes, se facilita el cálculo de la
derivada:
Ejemplos: Calcula la derivada de las siguientes funciones.
1)
7
3
4
1
5)(
x
xLnxf .
89
Las razones de cambio y la derivada
Si observas la función, para derivarla sería necesario aplicar primeramente la
regla de la cadena, el teorema de la división y el teorema de la función
logaritmo lo cual es sumamente complejo; sin embargo, si aplicamos las
propiedades de los logaritmos anteriormente mencionadas te darás cuenta
que encontrar la derivada de la misma función se hace de una manera más
sencilla.
7
3
4
1
5)(
x
xLnxf , aplicando la propiedad #3 tenemos:
1
57)(
3
4
x
xLnxf ; ahora si aplicamos la propiedad #2 se tiene:
)1()5(7)( 34 xLnxLnxf , por último al derivar se obtiene:
1
3
5
47)´(
3
2
4
3
x
x
x
xxf ;
simplificado al aplicar álgebra tenemos:
.)1)(5(
105287
)1)(5(
1547
)1)(5(
153447
)1)(5(
)5)(3()1)(4(7)´(
34
236
34
236
34
2636
34
4233
xx
xxx
xx
xxx
xx
xxxx
xx
xxxxxf
Cálculo Diferencial e Integral I
90
Encuentra la derivada de las siguientes funciones exponenciales y
logaritmicas y preséntalas a tu profesor para su revisión:
1. )()( xSenexf 2.
2
1
)( xexf
3. xexg )( 4.
)1)(5( 74
)( xxexM
5. 2
425
)( x
x
exh 6.
92 )135()( xxexL
7. 15523 22
)( xxxx eexF 8. 52
74
)(x
x
e
exg
9. )()( 22
)( xCosxSen eexT 10.
52 )1()( xxLnexG
11. )()( 3xLnxf 12.
xLnxg
1)(
13. )2)(6()( xxLnxf 14.
52
13)(
2
x
xLnxM
15.
73 524)( xxLnxH 16. )]5([)( 2xCosLnxf
17.
xLnxh
1)( 18.
3 55 )73()( xLnxG
19. 52
)( xeLnxh 20.
)(
)()(
2
3
xLn
xLnxT
EJERCICIO 9
¡Ojo! Recuerda que debes
resolver la autoevaluación y los
ejercicios de reforzamiento;
esto te ayudará a enriquecer
los temas vistos en clase.
TAREA 9
Página 107.
91
Las razones de cambio y la derivada
INSTRUCCIONES: Realiza los siguientes ejercicios y comprueba los resultados con compañeros.
I. Hallar la pendiente de la recta tangente a la función dada, en el punto dado:
62)()7
2
12)()6
12)()5
212)()4
0463)()3
1)()2
032)()1
2
2
2
2
xenxxf
xenxxf
xenxxh
xenxxg
xenxxxf
xenxxf
xenxxxf
II. Hallar la ecuación de la recta tangente a la función dada, en el punto dado:
11)()5
034)()4
11)()3
32)()2
21)()1
3
2
2
2
xenxxf
xenxxxf
xenxxf
xenxxf
xenxxf
III. Con el apoyo de tu profesor, realiza las gráficas correspondientes (Función y Recta tangente) de
los siguientes ejercicios:
12)()3
13)()2
22
1)()1
2
2
xenxxf
xenxxf
xenxxf
Nombre ____________________________________________________________
Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________
Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________
TAREA 1
Cálculo Diferencial e Integral I
92
Revisión: _____________________________________________________
Observaciones:________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
_
93
Las razones de cambio y la derivada
INSTRUCCIONES: Calcula la derivada de las siguientes funciones utilizando la definición formal de derivada
(Ecuación 2.3). Comprueba los resultados con tus compañeros.
1) 52)( xxf
2) 23
4)( xxf
3) 2)( xxf
4)
5
3)(
xxf
5) xxxf 2)(
6) 25)( xxf
7) 53)( 2 xxxf
8)
4
5
3
1
2
3)( 2 xxxf
9) 3)( xxf
10)
5
1)(
xxf
Nombre ____________________________________________________________
Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________
Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________
TAREA 2
Cálculo Diferencial e Integral I
94
11) 2
1)(
xxf
12)
53
2)(
xxf
13)
3)(
x
xxf
14)
1
1)(
2xxf
15) 2)( xxf
Revisión: _____________________________________________________
Observaciones:________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
_
95
Las razones de cambio y la derivada
INSTRUCCIONES: Realiza los siguientes ejercicios y comprueba los resultados con tus compañeros.
1. Determina la razón de cambio promedio de las siguientes funciones en los intervalos que se te
proporcionan.
a) 2xy , para 1,1x
b) 32xy , para 4,0x
c) 542 xxy , 5.1,1x
d) xxy 22, 0,2x
2. Hallar y , dado que 532 xxy , y x = 0.001. ¿Cuál es el valor de “ y ” cuando x = 4.9?
3. Resuelve los siguientes problemas.
a) Encontrar el incremento en el volumen de un balón esférico cuando su radio se incrementa: de 2 a 2.1
pulgadas. Recordar que:
3
3
4rV
b) Las distancias (en metros) recorridas por un automóvil durante un período de ocho segundos son:
0, 39, 65, 88, 107, 124, 138, 148 y 155.
c) Hallar la velocidad media en el intervalo [0,155]
d) ¿La velocidad media es igual a la velocidad promedio? Sí o no.
e) A medida que se van reduciendo los intervalos de tiempo, ¿cuál es límite real en que la velocidad se va
aproximando?
f) Realiza la gráfica.
Nombre ____________________________________________________________
Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________
Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________
TAREA 3
Cálculo Diferencial e Integral I
96
Revisión: _____________________________________________________
Observaciones:________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
_
97
Las razones de cambio y la derivada
INSTRUCCIONES: Calcula la derivada de las siguientes funciones y comprueba los resultados con tus
compañeros.
1) 25)( 6 xxxf
2) 1135)( 43 xxxxg
3) 5 7)( xxh
4) 1987)( 8
1
5 xxxxf
5) 27)( 3 5 xxxg
6) 2345
4321)(
xxxxxM
7) 31
)(8 9x
xT
8) 5
23 753)(
x
xxxxQ
9) exf )(
10) 1072946)( 23455 xxxxxxxh
Nombre ____________________________________________________________
Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________
Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________
TAREA 4
Cálculo Diferencial e Integral I
98
Revisión: _____________________________________________________
Observaciones:________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
_
99
Las razones de cambio y la derivada
INSTRUCCIONES: Deriva las siguientes funciones utilizando la regla que le corresponda; coteja tus
resultados con los de tus compañeros.
1) )4)(48()( 5xxxf
2) )75)(2()( 3 xxxxf
3) )10)(954()( 42 xxxxxf
4) 33 11)( xxxf
5) 933)( 242 xxxxh
6)
x
xxf
3
53)(
5
7)
23
72)(
2
x
xxxf
8)
964
278)(
2
3
xx
xxM
9)
x
xxg
1
1)(
10)
9
276)(
2
2
x
xxxG
Nombre ____________________________________________________________
Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________
Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________
TAREA 5
Cálculo Diferencial e Integral I
100
Revisión: _____________________________________________________
Observaciones:________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
_
101
Las razones de cambio y la derivada
INSTRUCCIONES: Dadas las siguientes funciones, encuentra la función composición señalada en cada uno
de los siguientes ejercicios y coteja tus resultados con los de tus compañeros.
10)()(5)(3)(92)( 32 xTxxMxxhxxxgxxf
Hallar:
))(()15
))(()14
))(()13
))(()12
))(()11
))(()10
))(()9
))(()8
))(()7
))(()6
))(()5
))(()4
))(()3
))(()2
))(()1
xMT
xgM
xfg
xff
xTM
xTh
xMh
xTg
xMg
xhg
xTf
xgf
xMf
xhf
xgf
Nombre ____________________________________________________________
Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________
Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________
TAREA 6
Cálculo Diferencial e Integral I
102
Revisión: _____________________________________________________
Observaciones:________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
_
103
Las razones de cambio y la derivada
I. Deriva las siguientes funciones utilizando la regla de la cadena, compara tus resultados con los de tus
compañeros, y entrégaselos a tu profesor para su revisión.
1) 52 )13()( xxF
2) 64 )92()( xxF
3) 23 )2()( xxxF
4) 9 10)23()( xxf
5) 2)( 3xxf
6) 42 )52(
1)(
xxxG
7) 1
2)(
xxM
8) 3 53 )4(
1)(
xxh
9) 82 )193()( xxxf
10) 7
1)(
2 xxxg
Nombre ____________________________________________________________
Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________
Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________
TAREA 7
Cálculo Diferencial e Integral I
104
II. Con el apoyo de tu profesor (a), deriva las siguientes funciones utilizando
las diferentes reglas de derivación.
11) 4352 )7()1()( xxxF
12) 5353 )49()94()( xxxF
13) 39
5
)4(
)15()(
x
xxF
14) 5
52
)5(
)403()(
x
xxxF
15) )32)(4()( 35 3 xxxf
16)
5
7
1)(
x
xxg
17) )1)(5()( 3xxxM
18) 53 6
1)(
x
xxQ
19) 1
9)(
x
xxG
20) )5)(5()( 9 29 2 xxxL
Revisión: _____________________________________________________
Observaciones:________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
_
105
Las razones de cambio y la derivada
INSTRUCCIONES: Calcula las derivadas de las siguientes funciones trigonométricas y entrégaselas a tu
profesor para su revisión.
1.
x
xCosxf
)()(
2. )2()5()( xCotxCosxf
3. )()( 2xCotxf
4. )()( 2 xSecxf
5. )21()( 2xTanxf
6. )36()( 6 xSenxf
7. )2()( xCscxh
8. 6)36()( xSenxL
9.
2
4)(
2
x
xCosxQ
10. 10521052 )8()8()( xCosxSenxf
11.
)(
)()(
xCos
xSenxg
12.
)(
1)(
xTanxT
Nombre ____________________________________________________________
Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________
Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________
TAREA 8
Cálculo Diferencial e Integral I
106
13. )9823()( 23 xxxCosxG
14.
xSenxf
1)(
15.
)()(
xCos
xxg
16. )35()35()( 22 xSenxCscxK
17.
)(
1)(
2 xSenxF
18. )2()4()( 3 xCotxxf
19.
)(
1)(
xCot
xxh
20. )()()( 35 xCscxSecxM
Revisión: _____________________________________________________
Observaciones:________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
_
107
Las razones de cambio y la derivada
INSTRUCCIONES: Hallar la derivada de las siguientes funciones exponenciales y logaritmicas y presentalas a
tu profesor para su revisión:
1. )()( xCosexf 2.
10
1
)( xexf
3.
5
)( xexg 4. )3)(1( 96
)( xxexM
5. 3
958
)( x
x
exh 6.
102 )122()( xxexL
7. 1432 22
)( xxxx eexF 8. 2
13
)(x
x
e
exg
9. )15()15( 22
)( xCosxSen eexT 10.
62 )112()( xxLnexG
11. )()( 7xLnxf 12. 11
1)(
xLnxg
13. )1)(10()( xxLnxf 14.
5
12)(
2
x
xLnxM
15.
42 856)( xxLnxH 16. )]6([)( 7xCosLnxf
Nombre ____________________________________________________________
Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________
Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________
TAREA 9
Cálculo Diferencial e Integral I
108
17. 2
1)(
xLnxh 18.
5 65 )98()( xLnxG
19. 35
)( xeLnxh 20.
)(
)()(
3
2
xLn
xLnxT
Revisión: _____________________________________________________
Observaciones:________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
_
109
Las razones de cambio y la derivada
INSTRUCCIONES: Lee cuidadosamente y responde los siguientes cuestionamientos, rellenando el círculo de
la opción que consideres correcta.
1. La interpretación geométrica de la derivada de una función es:
La pendiente de la recta secante a la función.
La pendiente de la recta tangente a la función.
Es límite de la función cuando x permanece constante.
La gráfica de la función.
2. El valor de la pendiente de la recta tangente a la función
523)( 2 xxxf en 1x es:
4tm
6tm
existeNomt
0tm
3. La derivada de una función constante es igual a:
La misma constante.
No existe.
Cero.
Uno
4. Si )()()( xhxgxf entonces el valor de su derivada es:
)´()()´()()´( xgxhxhxgxf
)´()()´()()´( xgxhxhxgxf
)´()´()´( xhxgxf
2
)(
)´()()´()()´(
xg
xgxhxhxgxf
5. Si 3 4
1)(
xxf , entonces, )´(xf es igual a:
3
4
)´( xxf
xxf3
4)´(
3
3
4)´( xxf
3 73
4)´(
xxf
Nombre _________________________________________________________
Núm. de lista ____________ Grupo ________________ Turno __________
Núm. de Expediente ___________________ Fecha ____________________
AUTOEVALUACIÓN
Cálculo Diferencial e Integral I
110
6. La derivada de 53 )3()( xxf es:
432 )3(15)´( xxxf
532 )3(15)´( xxxf
43 )3(15)´( xxxf
42 )3(5)´( xxf
7. La derivada de la función )()( xCosxf es:
)(1)´( xCosxf
)()´( xSenxf
)()´( xSenxf
)()()´( xCosxSenxf
8. Es el valor de la derivada de )()( xLnxf
)()´( xLnxf
xxf
1)´(
xxf
1)´(
)()´( xLnxf
9. La razón de cambio promedio de la función 1)( 2xxf en el
intervalo 2,0 es:
2
1
– 1
– 2
10. El resultado de derivar la función
3
)( xexf es:
3
)( xexf
23)( xexf
2323)( xexxf
323)( xexxf
111
Las razones de cambio y la derivada
INSTRUCCIONES: Resuelve los siguientes ejercicios y entrégaselos a tu profesor para su revisión.
I. Hallar la pendiente de la recta tangente a la función dada en el punto dado:
II. Hallar y graficar la ecuación de la recta tangente a la función dada, en el punto dado:
1) 174)( 2 xenxxxf 2) 4)( xenxxf
III. Hallar la razón de cambio promedio de las siguientes funciones en el intervalo dado:
1) 0,232)( 2 xsixxxf
2)
3
10,
2
11
2
1)( xsixxf
3) 1,2163)( 2 xsixxxf
EJERCICIO DE
REFORZAMIENTO 1
Nombre _________________________________________________________
Núm. de lista ____________ Grupo ________________ Turno __________
Núm. de Expediente ___________________ Fecha ____________________
23
1)()3
42)()2
12)()1 2
xenx
xM
xenxxh
xenxxf
Cálculo Diferencial e Integral I
112
IV. Calcula la derivada de las siguientes funciones, utilizando la regla según le
corresponda.
1) 53 )632()( xxxf 2) )27)(34()( 3 xxxxf
3)
35
96)(
2
4
x
xxxf 4)
5 33 )54()( xxf
5) )42()( 2 xSecxf 6) )5
3()(
xCotxf
7) )28()( 42 xTanxf 8) )12()( 2xCscxf
9) )5()5()( 22 xCosxSenxf 10) )26()( 3 xCotxf
11) ))(()( 22 xSecxTanxf 12)
x
Cosxxf )(
13) 3 )3()( xCosxf 14) ))2(ln()( xSenxf
15) )93ln()( xxf 16) xxxf ln)( 3
17) xCscexf 3)( 18)
638 3
)( xxexf
19) 253
5)(5 42
2
xx
xxxxf
20)
3
1)(
23 xxxxf
UUnniiddaadd 33
VVaalloorreess mmááxxiimmooss
yy mmíínniimmooss
rreellaattiivvooss yy ssuuss
aapplliiccaacciioonneess
Objetivo:
El alumno:
Calculará los valores máximos y mínimos
relativos de una función mediante la
aplicación de los criterios de la primera y
segunda derivada, analizando los
intervalos donde la función es creciente o
decreciente, cóncava o convexa e
identificando la existencia de puntos de
inflexión, para su graficado y solución de
problemas de optimización y
aproximación, mostrando una actitud
reflexiva y de cooperación.
Temario:
Aplicaciones de la primera
derivada.
Concavidad.
Aplicaciones de la derivada.
Organizador anticipado:
El cálculo es la rama de las matemáticas que se ocupa del estudio
de los incrementos en las variables, pendientes de curvas, valores
máximos y mínimos de funciones de la determinación de longitudes,
áreas y volúmenes. Su uso es muy extenso, sobre todo en ciencias
de ingeniería, ciencias naturales, económico-administrativas y
sociales. En esta unidad se verá como utilizar la derivada para
resolver problemas de la vida diaria.
La mayor parte de los problemas de las ciencias sociales son
propiamente vistos como discretos en su naturaleza. Más aún, la
computadora, exacta y rápida para manejar cantidades discretas.
Surge una pregunta natural: ¿Por qué no estudiar los problemas
discretos utilizando herramientas discretas en lugar de modelarlos
primero en curvas continuas? Por esta razón los invito a ver el
contenido de esta Unidad.
Cálculo Diferencial e Integral I
114
CÁLCULO
DIFERENCIAL E
INTEGRAL
VALORES MÁXIMO Y
MÍNIMO RELATIVOS Y
SUS APLICACIONES
APLICACIONES DE LA
PRIMERA DERIVADA
APLICACIONES DE LA
DERIVADA
115
Valores máximos y mínimos relativos y sus aplicaciones
AAPPLLIICCAACCIIOONNEESS DDEE LLAA
PPRRIIMMEERRAA DDEERRIIVVAADDAA..
3.1.1. Cálculo de valores máximos y mínimos relativos con el criterio
de la primera derivada.
A menudo la vida nos enfrenta con el problema de encontrar el mejor modo de
hacer algo. Por ejemplo, un agricultor quiere escoger la mezcla de cultivos más
apropiada para obtener el mayor aprovechamiento. Un médico desea escoger y
aplicar la menor dosis de una droga que curará cierta enfermedad. Un fabricante
desea minimizar el costo de distribución de productos. Algunas veces, problemas
de esta naturaleza pueden formularse, de tal manera que involucre maximizar o
minimizar una función sobre un conjunto específico. Si es así, los métodos de
cálculo proveen una poderosa herramienta para resolver el problema, que es lo que
se verá en esta unidad.
Supongamos entonces que nos dan una función f y un dominio S como en la
Figura 1. Nuestro primer trabajo es decir si f puede poseer un valor máximo o un
mínimo en el dominio S . Suponiendo que tales valores existen, queremos
determinar los valores máximos y mínimos.
Figura 1
Para la cuestión de existencia ¿tiene f un máximo o un mínimo en S ?, la
respuesta depende del dominio, esto es, del conjunto S .
33..11..
x
y
S
Y=f(x)
Isaac Newton
1642-1727
Descubrió el Teorema del
binomio, los elementos de
Cálculo tanto Diferencial
como Integral, la Teoría
del color y la Ley Universal
de la Gravitación.
Definición: Sea c un punto en el dominio S de la función f . Decimos que:
a) )(cf es el valor máximo de f en S si: )()( xfcf Para toda “ x ” que
pertenezca a S .
b) )(cf es el valor mínimo de f en S si: )()( xfcf Para toda “ x ” que
pertenezca a S .
c) )(cf es el valor extremo de f en S si es un máximo o un mínimo.
Cálculo Diferencial e Integral I
116
Veremos algunos teoremas que responde a las pregunta para algunos de los
problemas que se presenten en la práctica.
Fíjate bien que para que exista un punto máximo o un mínimo se requiere que f
sea continua y que el conjunto S sea un intervalo cerrado.
Si observas bien, los puntos frontera son los extremos del intervalo, o lo que es lo
mismo, los extremos de la función en el dominio considerado. Los puntos
estacionarios son los puntos donde la función cambia de dirección, es decir, son
los puntos de inflexión donde la función sube o baja. Por último los puntos
singulares son los puntos donde la derivada de la función en ese valor c no existe.
Máx.
Min.
Puntos frontera
Máx.
Min.
Puntos estacionarios
Máx.
mín
Puntos singulares.
TEOREMA DE EXISTENCIA DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS:
Si f es continua en un intervalo cerrado ba, , entonces f tiene allí
un valor máximo y un mínimo.
Recuerda que un
intervalo cerrado,
significa que contiene
a los extremos. Por
ejemplo el intervalo
cerrado [2,5] incluye
todos los números
que van del 2 al 5,
incluyendo a ambos.
TEOREMA DEL PUNTO CRÍTICO: Sea f definida en un intervalo I que
contiene al punto c . Si )(cf es un valor extremo, entonces c debe ser
un punto crítico; es decir, tendrá que ser uno de los tres casos:
a) Un punto frontera de I .
b) Un punto estacionario de )0)´(( cff .
c) Un punto singular de f en el que )´(cf no existe.
117
Valores máximos y mínimos relativos y sus aplicaciones
Esto último se ve representado en el corte que presenta la función, es decir, en la
discontinuidad.
Los siguientes gráficos te darán una idea de lo que dicen los criterios anteriores.
Máximo relativo en Mínimo relativo en
En vista de los teoremas anteriores, podemos establecer ahora un procedimiento
muy simple para encontrar los valores máximos y mínimos de una función continua
f en un intervalo cerrado I .
Ejemplo 1: Encuentre los valores máximos y mínimos de la siguiente función.
23 32)( xxxf ; en el intervalo 2,2
1I
CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA PARA MÁXIMOS Y MÍNIMOS:
Sea f una función continua sobre un intervalo abierto (a, b) que contenga al
punto crítico c .
(i) Si 0)´(xf para toda x del intervalo ),( ca y 0)´(xf para toda x
del intervalo ),( bc , entonces )(cf es un máximo local (o relativo) de
.f (es decir: si )´(xf cambia de positiva a negativa en c ).
(ii) Si 0)´(xf para toda x del intervalo ),( ca y 0)´(xf para toda x
del intervalo ),( bc , entonces )(cf es un mínimo local (o relativo) de .f (es
decir: si )´(xf cambia de negativa a positiva en c ).
(iii) Si )´(xf tiene el mismo signo a ambos lados de c , entonces )(cf no
es un extremo local de f .
Cálculo Diferencial e Integral I
118
Paso 1. Encontramos los puntos críticos de f en I , para ello:
a) Derivamos la función:
xxxf 66)´( 2
b) E igualamos a cero la derivada )´(xf , para obtener las raíces 21 , xx ya que es
de segundo grado.
Recuerda que puedes resolver una ecuación de segundo grado por factorización,
fórmula general o completando el Trinomio cuadrado perfecto.
Resolviendo dicha ecuación cuadrática por factorización tenemos.
066 2 xx
0)1(6 xx
Por lo tanto:
06x y 01x
01x 12x
Los puntos críticos son: ,1,0 y los extremos del intervalo 22
1 y .
Paso 2. Evaluar f para cada uno de esos puntos críticos. El mayor de esos
valores será el máximo; el menor, el mínimo.
a) En
2
1x tenemos:
23 32)( xxxf
23 )2/1(3)2/1(2)2/1(f
4
3
8
2)2/1(f
1)2/1(f.
b) En 01x tenemos:
23 32)( xxxf 23 )0(3)0(2)(xf
0)0(f .
c) En 22x tenemos:
23 32)( xxxf 23 )2(3)2(2)2(f
4)2(f .
d) En 1x tenemos:
23 32)( xxxf 23 )1(3)1(2)1(f
1)1(f .
Los valores extremos
del Intervalo como son:
2
1 y 2 se
consideran puntos
críticos sólo por ser
puntos frontera de I .
(Teorema del punto
crítico).
119
Valores máximos y mínimos relativos y sus aplicaciones
Acomodando los datos en una tabla, tenemos:
El valor máximo es 1 y el valor mínimo es -4. la gráfica de la función
23 32)( xxxf es:
Observa en la gráfica que efectivamente en el extremo derecho del intervalo,
2x , 4)2(f que es el valor mínimo que presenta la función en toda la
curva. Por otro lado en 12
1 xenyx , 1)1()2
1( ff , que es el
máximo valor que alcanza la curva de la función, es decir, es el máximo valor de f .
Ejemplo 2. Encuentra los valores máximos y mínimos de la siguiente función.
xxxf 3)( 2, en 1,2I
Paso 1. Encontramos los puntos críticos de f en I .
a) Derivamos la función:
xxxf 3)( 2 32)`( xxf
b) Igualamos a cero )´(xf para obtener la raíz 1x , en esta ocasión sólo
obtendremos una solución puesto que la ecuación es de primer grado.
x )(xf
-1/2 1
0 0
1 1
2 -4
y = -2X^3+3X^2
Cálculo Diferencial e Integral I
120
Resolviendo la ecuación tenemos:
032x
2
31x
Los puntos críticos son: ,2
3 y los extremos del intervalo 12 y .
Paso 2. Evaluamos f para cada uno de esos puntos críticos. El mayor de esos
valores será el máximo; el menor, el mínimo.
a) En
2
3x tenemos:
xxxf 3)( 2 )2/3(3)2/3()2/3( 2f
4
9)2/3(f .
b) Realizando el mismo procedimiento para los otros puntos críticos, nuestra tabla
de valores queda de la siguiente manera:
El valor máximo es 4 y el valor mínimo es -9/4.
Esta es la grafica correspondiente a la función xxxf 3)( 2, que si
observamos es una parábola, (ya que la función es de segundo grado)
comprendida en el intervalo ]1,2[ que es el dominio para este caso.
x )(xf
-3/2 -9/4
-2 -2
1 4
x
yy = x^2+3x
121
Valores máximos y mínimos relativos y sus aplicaciones
3.1.2. Cálculo de valores máximos y mínimos con el criterio de la
segunda derivada.
Hay otra prueba para máximos y mínimos locales que a veces es más fácil que
la de la primera derivada. Implica la evaluación de la segunda derivada en los
puntos estacionarios. No se aplica a puntos singulares. La segunda derivada es
una derivada de orden superior que consiste en volver a derivar la derivada de
una función.
La primer derivada la denotamos como )(' xf ; para la segunda derivada
utilizamos dos comillas, )('' xf .
Ejemplo 1. Para 56)( 2 xxxf , usa la prueba de la segunda derivada
para identificar máximos y mínimos.
Paso 1. Derivar la función.
56)( 2 xxxf 62)`( xxf
Paso 2. Igualamos a cero la primera derivada para encontrar el valor de 1x , es
decir, el valor donde se hace cero la ecuación lineal 62)`( xxf .
062x
3x 31x
Este es un punto crítico, para el caso de la segunda derivada no especificamos
un intervalo como dominio, por lo que ya no tiene sentido hablar de extremos del
intervalo como puntos críticos.
TAREA 1
Página 133.
CRITERIO DE LA SEGUNDA DERIVADA:
Sean ´f y ´´f dos funciones que existen para cada punto, en un intervalo
abierto ),( ba que contenga a c . Supóngase que 0)´(xf .
(i) )(,0)´´( cfxf es un máximo local de f .
(ii) )(,0)´´( cfxf es un mínimo local de f .
Identifica los puntos críticos y encuentra los valores máximos y mínimos, realiza
la grafica correspondiente a cada una de las siguientes funciones, compara los
resultados con tus compañeros y entrégaselos a tu profesor para su revisión.
a) xxxf 4)( 2 en 3,0I
b) 13)( 3 xxxf en 3,2
3I
c) 1634)( 23 tttth en 1,2I
d) 3)( 2xxf en 2,2I
EJERCICIO 1
Cálculo Diferencial e Integral I
122
Paso 3. Sustituimos ese punto crítico en la segunda derivada.
2)3(''2)(''62)( fxfxxf .
2)3´´(f (Dado que la segunda derivada resultó una constante positiva.)
De acuerdo al teorema de la segunda derivada )(,0)´´( cfxf es un mínimo
local de f .
Y ese mismo punto crítico valuado en la primera derivada veremos que se
cumple que 0)(' xf .
62)´( xxf 6)3(2)3´(f 0)3´(f .
Tenemos entonces que )3(f es efectivamente un mínimo local.
El punto crítico valuado en la función f resulta:
56)( 2 xxxf 5)3(6)3()3( 2f 4)3(f .
Paso 4. Tabulamos para señalar los valores máximos y mínimos.
El valor mínimo de la función es 4 .
Ejemplo 2. Calcula los valores máximos y mínimos aplicando el criterio de la
segunda derivada de la función.
21232)( 23 xxxxf
Paso 1. Derivamos la función
1266)(' 2 xxxf
Paso 2. Igualamos a cero la primera derivada para encontrar las raíces 21, xx de
'f mediante factorización.
01266 2 xx Dividimos entre 6 para simplificar la ecuación
062 xx
0)1)(2( xx Factorizamos
21x y 12x Igualamos a cero cada binomio para determinar las raíces
Los cuales son puntos críticos.
Paso 3. Sustituimos las raíces en la segunda derivada.
612)´ ( xxf
6)2(12)2´ (f 18)2´´(f
Por el criterio de la segunda derivada como 0)2´ (f hay un mínimo en
21x .
x )(xf
3 -4
Al inicio de la Unidad se vio cómo encontrar puntos críticos. (Igualando a cero la primera derivada y encontrando sus raíces).
123
Valores máximos y mínimos relativos y sus aplicaciones
Y por otro lado, para 12x tenemos:
6)1(12)1´´(f 18)1´´(f
Por lo tanto, para este valor 0)1``(f entonces hay un máximo en 12x .
Paso 4. Calculamos las coordenadas y tabulamos.
x )(xf
-1 9
2 -18
21232)( 23 xxxxf
2)1(12)1(3)1(2)1( 23f
9)1(f El valor del máximo está en )9,1( ). Y es 9 .
2)2(12)2(3)2(2)1( 23f
18)1(f El valor del mínimo está en )18,2( . Y es 18 .
TAREA 2
Página 135.
Para saber más y
enriquecer el tema, visita
el sitio
www.matematicastyt.cl/...
/inicio.htm
Cálculo Diferencial e Integral I
124
AAPPLLIICCAACCIIOONNEESS DDEE LLAA
DDEERRIIVVAADDAA..
3.2.1. Problemas prácticos de máximos y mínimos.
Si en un problema encontramos expresiones como: Más grande, menor costo,
menor tiempo, más voltaje, la mayor productividad, menor esfuerzo, más
resistente, etcétera, se pueden traducir al lenguaje matemático en términos de
máximos y mínimos.
Te presentamos los siguientes casos:
a) En el primero, el problema incluye una función específica que permite su
solución.
b) En el segundo caso, la función se desconoce y es necesario obtenerla
utilizando fórmulas conocidas y los datos del problema, o únicamente con
los datos disponibles.
c) En ambos casos, para obtener la solución se recomienda:
De ser posible trazar una gráfica.
Asignar una incógnita a cada una de las cantidades que se citan en el
problema.
Seleccionar la cantidad a obtener su máximo o su mínimo y expresarla
en función de las otras cantidades.
Si resulta una función de una sola variable aplicamos los procedimientos
ya estudiados para obtener los máximos y los mínimos.
PROBLEMA 1. Un móvil inicia su movimiento, acelera y hace su recorrido de 15
minutos según la ecuación 1004
144)(4
2 tttf ; si la distancia en metros,
calcula:
a) Distancia que recorre el móvil.
b) Velocidad máxima que alcanza.
c) Distancia que recorre cuando su velocidad es máxima.
SOLUCIÓN:
a) Recordemos que el recorrido lo hace en 15 minutos. Ya que f es la
expresión del recorrido del móvil, esto significa que sólo tenemos que
evaluar en la función f el tiempo 15t .
Cuando 15t tenemos:
1004
)15()15(144)15(
42f mf 844,19)15( .
33..22..
La primera
derivada en física
se le llama
velocidad y a la
segunda derivada
se le llama
aceleración.
125
Valores máximos y mínimos relativos y sus aplicaciones
b) Velocidad y aceleración máximas que alcanza.
Ya que la velocidad y la aceleración son cambios, y nuestro objetivo es
maximizar la velocidad, para determinarla tenemos que considerar la
derivada de 1004
144)(4
2 tttf para obtenerla, y luego considerar la
segunda derivada, esto es, volver a derivar la derivada para obtener la
aceleración. La primera derivada de f , es decir, la velocidad es:
4
4288)´(
3tttf
3288)´( tttf .
Mientras que la segunda derivada, la aceleración es:
23288)´´( ttf
Para que la velocidad aumente y llegue a un máximo (imagínate al móvil
subiendo una montaña), debe haber aceleración (positiva) en el momento en
que la aceleración es cero (es decir, cuando está en la cima de la montaña);
pueden suceder dos cosas: O el móvil mantiene su velocidad o empieza a
disminuir (esto es, se mantiene en línea recta o empieza a descender de la
montaña); por esto, el punto crítico es cuando la aceleración es igual a cero,
esto es, cuando 0a .
Entonces: 23288)´´( ttfa
03288 2t Igualamos a cero, para encontrar sus raíces.
2883 2t Despejamos
3
2882t
min8.996t , se cancela la cantidad negativa puesto que el tiempo no
puede ser negativo. Por tanto 9.8 es un punto crítico.
Para determinar si el punto crítico arroja un máximo, analizamos 8.9t en la
ecuación de la aceleración 23288 ta para observar su comportamiento.
Si sustituimos 8.9t en la expresión de la segunda derivada, obviamente nos
dará cero. Por ello haremos el siguiente análisis. Consideremos un valor menor
de 8.9t , por ejemplo 9t y lo evaluamos en )´´(tf :
23288)´´( ttf
45)9(3288)9´´( 2f
La 0)´´(tf . La segunda derivada, es decir, la aceleración resultó ser positiva
en el valor 9t .
Ahora consideremos un valor mayor de 8.9t , por ejemplo 10t y lo
evaluamos en )´´(tf :
23288)´´( ttf
12)10(3288)10´´( 2f
La 0)´´(tf . La aceleración resultó ser negativa en el valor 10t .
Como la aceleración pasa de positiva a negativa (ver Fig. 2), decimos entonces
que existe un máximo en el tiempo 8.9t .
Figura 2
Cálculo Diferencial e Integral I
126
Y por lo tanto, la velocidad máxima en el tiempo 8.9t es:
3288)´( tttf
21.1881)8.9()8.9(288)´( 3tf
min/21.1881 mv .
c) Distancia que recorre cuando su velocidad es máxima.
Ya que )(tf es el recorrido del móvil, donde t es el tiempo, sólo basta sustituir
el valor del tiempo crítico 8.9t , que es el tiempo que el móvil requiere para
alcanzar la velocidad máxima, en la expresión )(tf . Por lo tanto, la distancia
que recorre el móvil cuando su velocidad es máxima es:
mf 624,1110067.230576.829,131004
)8.9()8.9(144)8.9(
42
Por lo tanto, el móvil recorre 19,844 metros en 15 minutos; a los 9.8 minutos
alcanza su máxima velocidad de 1881.21 m/min., habiendo recorrido 11,624
metros.
PROBLEMA 2. Un ranchero quiere bardear dos corrales rectangulares
adyacentes idénticos, cada uno de 2900m de área, como se muestra en la
figura. ¿Cuánto deben medir x y y para que se necesite la mínima cantidad de
barda?
SOLUCIÓN:
Área Total = A = 1800m2
xyA 2
Perímetro = P yxP 34
Paso 1. Ya que tenemos dos incógnitas, despejaremos de la ecuación del Área
total una de las variables (cualquiera de ellas). Y la sustituiremos en la ecuación
del perímetro, con la finalidad de que la ecuación quede en términos de una
variable,
xyA 2
xy21800 Sustituimos el valor del Área
xy
2
1800 Despejamos y
xy
900 Simplificamos
Sustituimos el valor de y en el perímetro
x
y
127
Valores máximos y mínimos relativos y sus aplicaciones
yxP 34
xxxP
90034)(
xxxP
27004)( Así queda el perímetro en función de “ x ”.
Paso 2. Derivamos )(xP .
xxxP
27004)( .
Ya que nos piden minimizar el perímetro de los corrales en la construcción de la
barda, tenemos que considerar la derivada de la expresión del perímetro. Como
resulta más fácil derivar potencias, si de la ecuación anterior subimos la variable
x al numerador, esta función se puede expresar de la siguiente manera:
127004)( xxxP , derivando obtenemos:
227004)´( xxP
Es decir:
2
27004)´(
xxP
Paso 3.
Igualamos a cero la derivada para obtener sus raíces, (donde la ecuación se
hace cero).
2
27004)´(
xxP
02700
42x
Despejamos “ x ”
42700
2x Resolvemos
98.25675x . Siendo este valor de x un punto crítico.
Ahora determinaremos si este punto crítico arroja un mínimo. Lo podemos hacer
de dos maneras, considerando 2 valores, uno menor y otro mayor a 98.25x ,
como en el caso anterior. O bien considerando el criterio de la segunda
derivada. Enseguida te presentaremos los dos casos, tu decides cuál método
elegir para la resolución de futuras situaciones de máximo o mínimos.
Paso 4. Analicemos los valores de la primera derivada para este punto crítico
considerando dos valores, uno menor y otro mayor a 98.25x ,
Tomamos un valor menor a 98.25x , por ejemplo 24x , y lo sustituimos en
la expresión de la primera derivada:
2
27004)´(
xxP
Cálculo Diferencial e Integral I
128
6875.0)24(
27004)24´(
2P
0)´(xP .
Tenemos que en el valor 24x la derivada resultó ser negativa.
Tomamos ahora un valor mayor a ,.9825x por ejemplo ,27x y lo sustituimos
en la expresión de la primera derivada:
2962.0)27(
27004)27´(
2P .
0)´(xP .
Siendo la derivada positiva en el valor 27x .
Ya que las pendientes de las rectas tangentes tuvieron un comportamiento de
negativo a positivo. Eso quiere decir que )(xP tiene un mínimo en 98.25x .
Es decir, el ranchero requiere para sus terrenos un largo mínimo de 25.98 para
minimizar la construcción de la barda.
El valor del ancho del terreno en ese largo mínimo lo obtendremos sustituyendo
el valor de x encontrado en la expresión del ancho y :
xy
900,
my 64.3498.25
900.
Por lo tanto, los valores que deben tener el largo y ancho “ x ” y “ y ”, de los
terrenos son: mx 98.25 y my 64.34 respectivamente, y la mínima
cantidad de barda que se necesita es de m84.207 .
La segunda forma de resolver el problema, es bajo el criterio de la segunda
derivada, que consiste en evaluar el valor del punto crítico en la expresión de la
segunda derivada para determinar si es un máximo o un mínimo como lo dicta el
teorema.
Recordemos que la primera derivada está dada por:
2
27004)('
xxP ,
derivando nuevamente la expresión anterior, obtenemos la segunda derivada:
3
2700)(''
xxP .
Bajo el criterio de la segunda derivada, para determinar si en el punto crítico
98.25x se da un mínimo, tenemos que evaluar el valor de x en la segunda
derivada para ver si ésta es mayor que cero, es decir, si es positiva. (Ver
Subsección 3.1.2, pág. 115)
086.353,17
2700
)98.25(
2700)(''
3xP .
129
Valores máximos y mínimos relativos y sus aplicaciones
Por lo tanto )(xP tiene un mínimo en 98.25x . El resto del problema se
soluciona de igual manera que bajo el criterio de la primera derivada.
3.2.2. Aplicaciones en las ciencias naturales, económico-
administrativas y sociales.
PROBLEMA 3. Una maquiladora puede vender 1,000 aparatos por mes a $5.00
cada uno; si acepta bajar el precio unitario en dos centavos, podrá vender 10
piezas más. Calcula cuántas piezas se deben vender para obtener la utilidad
máxima y cuál sería el ingreso al venderlas.
PLANTEAMIENTO:
x1000 , número de unidades por vender. Donde x es el número de unidades
adicionales.
Ya que por cada 10 piezas más, se bajará el precio en dos centavos, tenemos
que el precio de venta de cada unidad es:
xx
002.0510
02.05 , donde 10
xes el número de unidades adicionales
por cada diez piezas.
Paso 1. El ingreso I , que está en función de x , es igual al número de unidades
por el precio unitario.
)002.05)(1000()( xxxI
2002.0255000)( xxxxI
2002.035000)( xxxI
Ya que deseamos determinar la máxima utilidad o Ingreso, entonces
procedemos a aplicar el criterio de la primera derivada.
Paso 2. Calculamos la derivada de I .
2002.035000)(' xxxI
xxI 004.03)(' .
Paso 3. Igualamos a cero la derivada para obtener las raíces.
0004.03 x
004.0
3x ,
por lo tanto
750x es un punto crítico.
Tomamos un valor poco menor a 750x , por ejemplo 700x y lo
sustituimos en la expresión de la derivada:
Vocabulario económico:
El costo marginal se define
como la variación en el
costo total, ante el
aumento de una unidad en
la cantidad producida, es
decir, es el costo de
producir una unidad
adicional.
Matemáticamente se
expresa como la derivada
del costo total respecto a
la cantidad:
Costo Marginal =
dx
dC
Cálculo Diferencial e Integral I
130
xxI 004.03)('
)700(004.03)700('I
200.0)700('I
Por lo tanto, el ingreso es positivo, es decir, 0)(' xI .
Consideremos ahora un valor poco mayor a 750x , sea 800x
)800(004.03)800('I
200.0)800('I
Por lo tanto, el ingreso es negativo, es decir, 0)(' xI .
Como la función que determina el Ingreso pasa de positivo a negativo, decimos
que existe un máximo en 750x .
Por lo tanto, el número de piezas adicionales que se tienen que producir para
obtener la utilidad máxima es de 750, y el ingreso máximo al venderlas sería de
17507501000 piezas a $3.50 cada una de $6,125.00 pesos.
Como ya lo hicimos anteriormente, bajo el criterio de la segunda derivada es
más corto el procedimiento de determinar si el punto crítico arroja un mínimo o
un máximo.
Después de determinar la primera derivada, determinemos ahora la segunda
derivada de la función que determina el Ingreso:
0004.0)('' xI ,
que de antemano observamos que es negativa, implicando esto que en el punto
crítico 750x , se da un máximo. Una vez determinado que el punto crítico
arroja un máximo, se procede a dar respuesta al problema como ya lo hicimos
bajo el criterio de la primera derivada.
PROBLEMA 4. El director de una editorial ha observado que si fija el precio a
$20 de un determinado libro, vende 10,000 ejemplares. Pero por cada peso que
incrementa el precio, las ventas disminuyen en 400 copias. ¿Qué precio deberá
fijar el editor a cada libro, de manera que el ingreso para la empresa por la venta
de estos libros sea máximo? ¿Cuál es el valor de dicho Ingreso?
PLANTEAMIENTO:
I = Ingreso
x = número de pesos en que se incrementa el precio del libro.
x20 = es el nuevo precio del libro.
x400 = es el número de copias que dejan de venderse por cada peso que
aumenta el precio.
x400000,10 = es el nuevo número de ejemplares vendidos.
Entonces la función que representa al ingreso en términos del número de pesos
en que se aumenta el precio del libro es:
)400000,10)(20()( xxxI
¿Cómo crees que
se calculan los
ingresos?
Los ingresos se calculan
multiplicando el número
de artículos producidos
por el precio de cada
artículo.
131
Valores máximos y mínimos relativos y sus aplicaciones
Esta función )(xI recibe el nombre de función objetivo, porque es la función
que se quiere optimizar, en este caso queremos maximizar el ingreso.
SOLUCION:
Para la solución de este problema aplicaremos el criterio de la segunda derivada
para optimizar la función ingreso, )(xI .
PASO1. Derivamos e igualamos a cero la función resultante, para encontrar el
valor del punto crítico x .
)400000,10)(20()( xxxI
)20(400)400000,10)(1()´( xxxI
xxxI 4008000400000,10)´(
xxI 8002000)´(
Igualando a cero tenemos:
02000800x
Por lo tanto, despejando el valor de x tenemos:
800
2000x
5.2x ,
que representa el número de pesos en que se debe incrementar el precio de
cada libro para obtener el máximo Ingreso.
Ahora, para determinar si efectivamente el punto crítico 5.2x , arroja un
máximo, derivemos por segunda ocasión la función xxI 8002000)´( .
0800)('' xI ,
resultando ésta negativa, lo que implica que en el punto crítico 5.2x , se da
un máximo en )(xI .
De esta manera, al incrementar el precio de venta del libro en $2.5, se obtiene el
máximo Ingreso. Para calcular el Ingreso máximo se sustituye 5.2x en la
función objetivo )(xI resultando:
)400000,10)(20()( xxxI
))5.2(400000,10)(5.220()5.2(I
00.500,202)5.2(I ,
que representa el máximo Ingreso.
TAREA 3
Página 137.
Cálculo Diferencial e Integral I
132
para saber más y
enriquecer el tema,
visita el sitio
www.http://actividade
sinfor.webcindario.co
m/.com/derivadasapli
caciones.htm
www.cidse.itcr.ac.cr/
cursos-
linea/calculodiferenci
al.
EJERCICIO 2 Resuelve los siguientes problemas de aplicaciones de máximos y
mínimos; compara con tus compañeros los resultados obtenidos y
entrégaselos a tu profesor para su revisión.
1. El costo total de producir y vender 100x unidades de una mercancía
particular por semana es 329331000)( xxxxC encuentra:
a) El nivel de producción para el cual el costo marginal es mínimo.
b) El costo marginal mínimo.
2. Para la función precio dada por 33
800)(
xxP encuentra el
número de 1x de unidades que hace máximo el ingreso total y establece
el valor de éste. ¿Cuál es el ingreso marginal cuando se vende el número
óptimo 1x de unidades?
3. El gas de un globo esférico se escapa a razón de
min000,1
3cm en el
mismo instante en que el radio es de 25cm.
a) ¿Con qué rapidez disminuye el radio?
b) ¿Con qué rapidez disminuye el área de la superficie?
133
Valores máximos y mínimos relativos y sus aplicaciones
INSTRUCCIONES: Identifica los puntos críticos. Usa después el criterio de la primera derivada para calcular
los valores máximos y mínimos de las siguientes funciones y entrégaselas a tu profesor para su revisión.
1) 23)( xxf ; 2,2I
2) 25)( 2 xxxf ; 4,3I
3) 3,0;16)( 2 Ixxxf
4) 1,2;3)( 2 Ixxxf
5) 1,2;1634)( 23 Ittttf
6) 4,3;5902
3)( 23 Ixxxxf
7) 3,0;31683
4)( 234 Ixxxxxf
8) 1,2;768
)( 3 Ix
xxf
9) 1,1;2)2()( 3 Ixxf
10) 3,0;74)( 2 Ixxxf
11) 3,2;12)( 2 Ixxxf
12) 3,14432)( 234 Ixxxxxf
13) 2,1;48
)( 3 Ix
xxf
Nombre ____________________________________________________________
Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________
Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________
TAREA 1
Cálculo Diferencial e Integral I
134
Revisión: _____________________________________________________
Observaciones:________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
_
135
Valores máximos y mínimos relativos y sus aplicaciones
INSTRUCCIONES: Calcula los puntos críticos de las siguientes funciones y utiliza el criterio de la segunda
derivada para encontrar los valores máximos y mínimos. Entrégaselos a tu profesor para su revisión.
1) 23)( 23 xxxf
2) 54)( 3 xxxf
3) 14
1)( 4xxf
4) 34 43)( xxxf
5) 896)( 23 xxxxf
6) 2)2)(1()( xxxf
7) 234 23)( xxxxf
8) 242)( 23 xxxf
9) xxxxxf 8922)( 234
10)
xxxf
48
4
1)( 3
Nombre ____________________________________________________________
Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________
Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________
TAREA 2
Cálculo Diferencial e Integral I
136
Revisión: _____________________________________________________
Observaciones:________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
_
137
Valores máximos y mínimos relativos y sus aplicaciones
INSTRUCCIONES: Resuelve los siguientes problemas de aplicaciones de las derivadas.
1. Suponga que un ranchero escoge hacer tres corrales adyacentes, cada uno de 2900m de área, como
se muestra en la figura, ¿Cuánto deben medir x y y para hacer mínima la cantidad de barda que se
necesita?
2. Se desea construir una caja rectangular con una pieza de cartón de 15 centímetros de largo por 9 de
ancho; cortando cuadrados idénticos en las cuatro esquinas y doblando los lados, como se muestra en
la figura, encuentra las dimensiones de la caja de máximo volumen. ¿Cuál es ese volumen?
3. La compañía ZEE fabrica abrigos que vende al precio de xxP 001.010)( dólares, donde x es el
número producido cada mes. Su costo mensual total es ..)(2
0104200 xxxC La producción
máxima es de 300 unidades. ¿Cuál sería la utilidad máxima mensual y qué nivel de producción da esta
utilidad?
4. La manta de un póster con la foto impresa de uno de los candidatos a la gubernatura del Estado de
Sonora debe tener 18 pies2
de área, márgenes laterales de 6 pies y márgenes superior e inferior de 9
pies. ¿Cuáles han de ser las dimensiones de la manta para maximizar la foto del candidato?
15- 2x
9-2x
x
x
15
9
x
x
y
Nombre ____________________________________________________________
Núm. de lista ____________ Grupo __________________ Turno ___________
Núm. de Expediente _____________________ Fecha _____________________
TAREA 3
Cálculo Diferencial e Integral I
138
5. Una lata cilíndrica de base circular ha de tener 64 plg3
de volumen. Hallar las dimensiones de manera
que la cantidad de material requerida sea mínima, suponiendo que la lata está:
a) Abierta, es decir, no tiene tapa superior.
b) Cerrada.
6. Divide el número 150 en dos partes, tales que el producto de una parte por el cuadrado de la otra sea
un máximo.
7. El costo total de producción de x spots de radio en un día es 25354
1)( 2 xxxC dólares, y el
precio de venta de cada spot es de xxV2
150)( dólares.
a) ¿Con qué producción diaria se consigue mayor ganancia?
b) Probar que el costo de producción de un spot es mínimo para ese nivel de producción.
Revisión: _____________________________________________________
Observaciones:________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
______________________________________________________________
_
139
Valores máximos y mínimos relativos y sus aplicaciones
INSTRUCCIONES: Lee cuidadosamente y responde los siguientes cuestionamientos, rellenando el círculo de la
opción que consideres correcta.
1. El valor máximo y mínimo de la siguiente función 163)( 2 xxxf utilizando el criterio de la primera
derivada en el intervalo ]1,2[I es:
El valor mínimo está en )2,1( y el valor máximo está en )10,1(
El valor mínimo está en )2,1( y el valor máximo está en )10,1(
El valor mínimo está en )4,1( y el valor máximo está en )9,1(
El valor mínimo está en )5,1( y el valor máximo está en )10,1(
2.- El valor máximo y mínimo de la siguiente función 2
4 1)(
x
xxf , según el criterio de la segunda derivada
son:
El valor mínimo está en )2,2( y un máximo está en )6,2( .
El valor mínimo está en )2,1( y un mínimo está en )2,1( .
El valor mínimo está en )2,5( y un mínimo está en )2,2( .
El valor mínimo está en )6,1( y un máximo está en )5,1( .
3.- El valor máximo y mínimo de la siguiente función 86)( 23 xxxf , según el criterio de la segunda
derivada son:
El valor mínimo está en )2,0( y un máximo está en )3,2( .
El valor mínimo está en )2,4( y un máximo está en )6,4( .
El valor mínimo está en )24,4( y un máximo está en )8,0( .
El valor mínimo está en )0,2( y un máximo está en )6,0( .
4.- Los intervalos en que la función 163)( 2 xxxf es creciente o decreciente son:
En )1,( es decreciente y en ),1( es creciente.
En )2,( es decreciente y en ),2( es creciente.
En )1,( es decreciente y en ),1( es creciente.
En )5,( es decreciente y en ),4( es creciente.
5.- La concavidad de la siguiente función 362)( 23 xxxf está dada en los intervalos:
Cóncava hacia abajo en )3,( y cóncava hacia arriba en ),3( .
Cóncava hacia abajo en )1,( y cóncava hacia arriba en ),1( .
Cóncava hacia abajo en )1,( y cóncava hacia arriba en ),1( .
Cóncava hacia abajo en )4,( y cóncava hacia arriba en ),3( .
Nombre _________________________________________________________
Núm. de lista ____________ Grupo ________________ Turno __________
Núm. de Expediente ___________________ Fecha ____________________
AUTOEVALUACIÓN
Cálculo Diferencial e Integral I
140
6.- Los puntos de inflexión de la siguiente función 3)2()( xxf son:
)2,3()0,5( y
)3,2()4,1( y
)0,2(
)2,3(
7.-Resuelve el siguiente problema de aplicaciones de máximos y mínimos. Obtener dos números cuyo producto
sea de 288 y la suma del doble del primero más el segundo sea mínimo. Los números son:
Un número es el 12 y el otro es el 24 .
Un número es el 10 y el otro es el 20 .
Un número es el 12 y el otro es el 24 .
Un número es el 11 y el otro es el 22 .
8.- Resuelve el siguiente problema de aplicaciones de máximos y mínimos. Obtener dos números cuya suma
sea 10 y el cuadrado de uno por el cubo de otro sea el producto máximo; el valor de éste es:
Cuando 6x se obtiene un máximo igual a 456,3 .
Cuando 3x se obtiene un máximo igual a 289,1 .
Cuando 8x se obtiene un máximo igual a 496,8 .
Cuando 6x se obtiene un máximo igual a 956,3 .
9.- Calcular las dimensiones de un rectángulo con perímetro de 240 metros, de manera que el rectángulo sea
de área máxima. El área y sus dimensiones son:
El área máxima es de 21600m ; las dimensiones del rectángulo son de m40 por lado.
El área máxima es de 23600m ; las dimensiones del rectángulo son de m60 por lado.
El área máxima es de 22500m ; las dimensiones del rectángulo son de m50 por lado.
El área máxima es de 24900m ; las dimensiones del rectángulo son de m70 por lado.
10.- En la manufactura y venta de x unidades de cierta mercancía la función precio p y la función costo C (en
dólares) están dados por: xxp 002.000.5)(
xxC 10.100.3)(
Determine el nivel de producción que produce la máxima utilidad total.
La utilidad máxima es de 25.1998$)995(p
La utilidad máxima es de 25.898$)562(p
La utilidad máxima es de 55.698$)255(p
La utilidad máxima es de 25.1898$)975(p
Si todas tus respuestas fueron correctas: excelente, por lo que te
invitamos a continuar con esa dedicación.
Si tienes de 8 a 9 aciertos, tu aprendizaje es bueno, pero es
necesario que repases los temas.
Si contestaste correctamente 7 o menos reactivos, tu aprendizaje es
insuficiente, por lo que te recomendamos solicitar asesoría a tu
profesor.
ESCALA DE MEDICIÓN DEL APRENDIZAJE
141
Valores máximos y mínimos relativos y sus aplicaciones
INSTRUCCIONES: Resuelve los siguientes problemas y entrégaselos a tu profesor para su revisión.
1. Encuentra los puntos críticos, los valores máximos y mínimos de las siguientes funciones utilizando el
criterio de la primera derivada. Realiza su gráfica.
a) xxxf 5)( 2 en ]2,2[I .
b) 163)( 3 xxxf en ]2,3[I
2. Calcula la primera, segunda, tercera, cuarta derivada si existe de las siguientes funciones.
a) 9365)( 34 xxxxf
b) 53 )68()( xxxf
c) )4csc()( xxf
3. Utiliza el criterio de la segunda derivada para calcular el valor máximo y mínimo de las siguientes funciones.
Realiza su gráfica.
a) 125)( 2 xxxf
b) 636)( 23 xxxf
4. Encuentra en qué intervalos la función es creciente o decreciente, utiliza las funciones del ejercicio 1.
EJERCICIO DE
REFORZAMIENTO 1
Nombre _________________________________________________________
Núm. de lista ____________ Grupo ________________ Turno __________
Núm. de Expediente ___________________ Fecha ____________________
Cálculo Diferencial e Integral I
142
5. Utiliza el teorema de concavidad para determinar dónde es cóncava hacia abajo o hacia arriba y además
indica cuáles con los puntos de inflexión de las siguientes funciones. Realiza la gráfica.
a) 22)( 34 xxxf
b) 12)( 23 xxxf
RESUELVE LOS SIGUIENTES PROBLEMAS DE APLICACIONES DE MÁXIMOS Y MÍNIMOS.
6. Encuentra las dimensiones del cilindro circular recto de máximo volumen que se puede inscribir en un cono
circular recto que tiene como radio cmb 4 y como altura cma 12 . Ver la figura.
7. El costo mensual fijo de operar una planta manufacturera que fabrica muebles es de $8000 y hay un costo
directo de $110, por cada unidad producida. Escribe una expresión )(xC , el costo total de fabricar
muebles en un mes.
143
CÁLCULO
DIFERENCIAL
Estudia el incremento en las variables; puede ser la
distancia recorrida por un objeto en movimiento en un
tiempo determinado.
CONCAVIDAD Se dice que una función es cóncava (cóncava hacia arriba)
cuando su segunda derivada es positiva.
CONVEXIDAD Se dice que una función es cóncava hacia abajo (convexa)
cuando su segunda derivada es negativa
DERIVADA La derivada de una función respecto a una variable es el
límite del incremento de la función entre el incremento de la
variable, cuando el incremento de la variable tiende a cero.
DIFERENCIACIÓN Es el proceso de calcular derivadas.
FUNCIÓN
CRECIENTE
Una función es creciente cuando al aumentar el valor de la
variable independiente (X) el valor de la variable
dependiente (Y) también aumenta.
FUNCIÓN
DECRECIENTE
Una función es decreciente cuando al aumentar la variable
independiente (X) el valor de la variable dependiente (Y)
disminuye.
FUNCIÓN
EXPLÍCITA
Es aquella en la es posible expresar una variable en
términos de la otra.
FUNCIÓN IMPLÍCITA Es aquella en la que no se le puede despejar la variable
independiente de la variable dependiente. Es decir, no es
posible expresar una variable en términos de la otra.
LIMITE DE UNA
FUNCIÓN
Es el valor hacia donde tiende la variable dependiente
cuando el valor de la variable independiente se acerca a un
valor fijo.
PUNTO DE
INFLEXIÓN
Es un punto de la gráfica de una función en donde hay un
cambio en la concavidad de la gráfica.
RAZÓN Es comparar dos cantidades por cociente.
RECTA NORMAL Es la recta perpendicular a la tangente en su punto de
contacto a la curva en dicho punto.
VELOCIDAD Es la razón de cambio de la distancia con respecto al
tiempo.
VELOCIDAD
PROMEDIO
Es la distancia entre la primera posición y la segunda,
dividida entre el tiempo consumido.
FUNCIÓN
Relación entre dos conjuntos X y Y, tal que cada elemento
de X le corresponda uno y solamente uno de los
elementos de Y.
DOMINIO DE UNA
FUNCIÓN
Es el conjunto de los elementos del conjunto.
RANGO DE UNA
FUNCIÓN
Es el conjunto de los elementos del conjunto y que son
imagen de un valor X.
LÍMITES DE UNA
FUNCIÓN
Es el valor hacia donde tiende la variable dependiente,
cuando el valor de la variable independiente se acerca a un
valor fijo.
EVALUAR O
DETERMINAR EL
LÍMITE DE UNA
FUNCIÓN COC
IENTE
Son procesos puramente mecánicos, que nos permiten
convertir a una función indeterminada a una función
determinada.
GRÁFICA DE UNA
FUNCIÓN
Representación en un sistema rectangular de coordenadas
de la asociación entre X y Y (o dos variables cualesquiera)
de una función particular.
PAR ORDENADO
Conjunto de dos valores X y Y que determinan un punto p
en el plano cartesiano; siendo X y Y las coordenadas del
punto. Al valor de X se llama abcisa y el valor de Y se llama
ordenada.
Glosario
144
CONTINUIDAD
Una función f es continua para el valor x=c, si c está en el
dominio de f(x) y si:
1) f(c) está definida
2) Lim f(x) existe x c
3) Lim f(x)=f(c) x c
LÍMITES LATERALES
Son una herramienta desarrollada para dar lugar a
precisiones.
DISCONTINUIDAD
Cuando una función no cumple con las tres condiciones de
continuidad.
RAZÓN
Relación que existe entre dos cantidades. La división
indicada de una cantidad entre otra.
PENDIENTE DE UNA
RECTA
La tangente de su inclinación. Si designamos la inclinación
por ø y la pendiente por m tenemos: Tanø =m
DERIVADA DE UNA
FUNCIÓN
Existencia de límite: (definición)
Lim f(x+h) – f(x) razón de cambio instantáneo
x 0 h
PENDIENTE DE UNA
CURVA
La pendiente de una curva en p(x,f(x)), punto de la curva de
ecuación Y= f(x), es f´(x1), pendiente de la tangente a la
curva en p.
LEYES DE
LOGARITMOS
Si M > 0 y N > 0 entonces;
1. Log M . N = Log M+ Log N
2. Log M/N = Log M – Log N
3. Log MN
= N Log M
DISCONTINUIDAD
REMOVIBLE
Es cuando f(x) está definida y al cambiar el valor de la función
En x0 produce una función que es continua en x0.
DISCONTINUIDAD
DE SALTO
Una función f tiene una discontinuidad de salto en x0 si tanto
Lim f(x) como Lim f(x) existen y Lim f(x) ≠ Limf(x)
x x0
-
x x0
+
x x0
-
x x0
+
tal discontinuidad no es removible.
TEOREMA DE
VALOR
INTERMEDIO
Si f es continua en [a,b] y f(a) ≠ f(b), entonces, para todo
número c ente f(a) y f(b) existe por lo menos un número x0
en el intervalo abierto (a,b) para el cual f(x0)=c
TEOREMA DE
VALOR EXTREMO
Si f es continua en [a,b] entonces f toma un valor M
y un valor máximo M en el infinito.
PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES LOGARÍTMICAS NATURALES alnx
= x
Y LA FUNCIONES EXPONENCIALES SON INVERSAS Ln(ax) = x
RAZÓN DE CAMBIO ∆Y = cambio en Y = f(x+h) – f(
PROMEDIO ∆X cambio en X h
VELOCIDAD PROMEDIO ∆S = desplazamiento
DE UN CUERPO EN UN ∆t tiempo
INTERVALO DE TIEMPO
145
AIRES, Frank y Elliott Mendelson, Cálculo, Editorial Mc Graw Hill.
FLORES, Crisólogo Dolores, Una Introducción a la Derivada a través de la
Variación, Grupo Editorial Iberoamericana S. A. de C. V.
FUENLABRADA, Samuel, Cálculo Diferencial, Editorial Mc Graw Hill.
MCATEE, John y otros, Cálculo Diferencial e Integral con Geometría Analítica.
PURCELL, Edwin J. y Dale Varberg, Cálculo Diferencial e Integral, Editorial
Prentice Hall.
SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICA, Matemáticas VI, Preparatoria Abierta.
Bibliografía General