Post on 10-Dec-2015
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Matemática I I
Integral Definida
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Particiones.
Definición: Integral Definida.
Teorema (Condición Necesaria y suficiente para existencia de
).
Teorema (Condición Suficiente para la existencia de ).
Propiedades Básicas de la Integral Definida
Definición: Media
Teorema (Primer Teorema del Valor Medio del Cálculo Integral).
Teorema (Primer Teorema Fundamental del Cálculo Integral).
Teorema (Regla de Barrow).
Definición: Integral Indefinida.
Aplicaciones Geométricas de la Integral
b
adxxf
b
adxxf
SUMATORIAS
∑
corresponde a la letra griega SIGMA.
La sumatoria se utiliza para representar la suma de varios o infinitos sumandos.
Consideremos:
k = Límite Inferior.
n = Límite Superior.
SUMATORIAS
SUMATORIAS
Ejemplo:
Expresar abreviadamente:
1 + 2 + 3 + 4 +5 =
=
Calcular el valor de:
SUMATORIAS
Expresar abreviadamente como sumatoria:
SUMATORIAS
Sumatoria de una constante.
PROPIEDADES DE LAS SUMATORIAS
El a se va a repetir n veces, es decir, n*a
Sumatoria del producto de una constante con una variable
PROPIEDADES DE LAS SUMATORIAS
Sumatoria de una suma o resta de
dos o mas sucesiones.
PROPIEDADES DE LAS SUMATORIAS
PROPIEDADES DE LAS SUMATORIAS
Números Pares.
Encontrar la expresión que permita calcular la suma de los primeros 20 números pares.
Números Pares = 2N
Calcular
Fórmulas de Cálculo Abreviado.
Calcular la suma de los 100 primeros números naturales.
Calcular la suma de los primeros 100 números impares.
Suma de los Números Impares
Calcular la suma de los primeros 60 números impares.
EJERCICIOS.
Fórmula para los términos al cuadrado.
Calcular la suma de los primeros 10 números cuadrados.
Algunas Consideraciones
Las fórmulas de cálculo de las sumatorias, como es el caso de una constante, términos al cuadrado, etc. se deben aplicar exclusivamente a sumatorias que parten de 1, es decir,
En General:
Nos queda lo siguiente :
Ejemplo
Telescópica En el desarrollo de algunas sumatorias puede
ocurrir que se eliminen términos, quedando reducidas a una mínima expresión.
Llamaremos propiedad telescópica a las siguientes sumatorias.
Particiones
ox 1x 2x ix nx
ba PQ
R
P
bxxxxa n ...210
1 iii xxx 0 ix
}/)({),( 1 iii xxxxfInfPfm
}/)({),( 1 iii xxxxfSupPfM
MPfMPfmm ii ),(),(
Suma Inferior:
...),(),( 22111
xmxmxPfmPfLn
iii
Suma Superior:
...),(),( 22111
xMxMxPfMPfUn
iii
)(xf )(xf
Propiedades:
),(),( PfUPfL
)(),(),(),(),()( abMPfUQfUQfLPfLabm
Si Q es posterior a P),(),( QfLPfL
),(),( QfUPfU
},...,,{}/),({ 21 iLLLPpPfLA
},...,,{}/),({ 21 iUUUPpPfUB 1L )( abM )( abm
iL2L1U iU2U
SupA InfB
SupAI ba InfBS b
a b
a
ba
ba dxxfSI )(
Definición: Integral Definida
Sea acotada, diremos que f es integrable sobre [a,b] si y sólo si
En este caso se denota
y se dice que este número es la integral definida de f sobre [a,b].
],[: baf).()( fSfI b
aba
b
a
ba
ba dxxffSfI )()()(
Si f está acotada sobre [a,b], entonces f es integrable sobre ese intervalo si y sólo si para todo existe una partición P de [a,b] tal que:
Teorema (Condición Necesaria y suficiente
para existencia de ) b
adxxf
0
)()( fSfI ba
ba
),(),( PfLPfUDemostración:
Supongamos que para cada tal que . Entonces
0 P ),(),( PfLPfU
0 )()( fIfS ba
ba ),(),( PfLPfU
De donde se sigue que , y f es integrable sobre [a,b].
Recíprocamente, supongamos que f es integrable sobre [a,b]. Entonces
b
a
ba
ba dxxffSfI )()()(
Por lo tanto es el supremo del conjuntoy el ínfimo del conjunto .
b
adxxf )( }|),({ PPfL
}|),({ PPfU
Por la definición de ínfimo y supremo, para cada existen particiones tales que0
21 , PP
2),()( 1
PfLdxxf
b
a
2)(),( 2
b
adxxfPfU
yP/ ínfimos
P/ supremos
b
adxxf
Teorema (Condición Necesaria y suficiente
para existencia de )
Sumando estas desigualdades, obtenemos
),(),( 12 PfLPfU
Sea , entonces P es un refinamiento tanto de P1 como de P2. Por lo tanto,
21 PPP
),(),(),(),( 12 PfLPfUPfLPfU .
Teorema (Condición Necesaria y suficiente
para existencia de ) b
adxxf
Teorema (Condición suficiente para existencia
de ) b
adxxf
La continuidad f continua sobre [a,b] implica que f es uniformemente continua sobre [a,b], y f acotada sobre [a,b], por lo tanto f tiene un máximo y mínimo sobre cada intervalo de [a,b].
Demostración:
Si es continua, entonces f es integrable sobre [a,b].
],[: baf
Para cada partición P de [a,b] existen tales que y .
],[, 1 iiii xxul )(),( ii lfPfm )(),( ii ufPfm
Tenemos entonces
n
iiiii xxPfmPfMPfLPfU
11 ))](,(),([),(),(0
n
iiiii xxlfuf
11 ))](()([
La continuidad uniforme de f sobre [a,b] implica que para cada tal que si y se tiene
0 0 ],[, bayx || yx
abyfxf
|)()(|
Por lo tanto implica|| P
)(),(),( 1
ii xxab
PfLPfU
Por el teorema (Condición necesaria y suficiente para la existencia de ) entonces, se sigue que f es integrable.-
b
adxxf
Teorema (Condición suficiente para existencia
de ) b
adxxf
Propiedades Básicas de la Integral Definida
A continuación enunciamos una serie de propiedades básicas de la integral definida.
b
aabccdx )(
Si f y g son integrables en [a,b], entonces f + g es integrable en [a,b] y
b
adxxgxf )]()([
b
adxxf )(
b
adxxg )(
Si f y g son integrables en [a,b], y f(x) ≤ g(x) para todo Entonces
],[ bax
b
a
b
adxxgdxxf )()(
Si f es integrable en [a,b], entonces | f | es integrable en [a,b] y
b
a
b
adxxfdxxf )(|)(|
Si f es integrable en el intervalo J y si con a<b entonces
Jba ,
Si f es integrable en [a,b] y c una constante, entonces cf es integrable en [a,b] y
b
a
a
bdxxfdxxf )()(
b
a
b
adxxfcdxxcf )()(
Propiedades Básicas de la Integral Definida
Dado un conjunto de n números , la media o promedio aritmético de ellos está dado por
Definición de Media
nuuu ...21_
u
n
kk
n unn
uuuu
1
21_ 1...
La integral definida nos permite extender este concepto a los valores de una función sobre un intervalo.
Si f es integrable en un intervalo [a,b], la media de f sobre [a,b] se define como
Definición de Media
Definición:
b
adxxf
abf )(
1)(
Esta media tiene la siguiente interpretación geométrica: si
b
adxxf )(
Es el área bajo la gráfica de la función f, como
b
adxxfabf )())((
Esto quiere decir que es la altura de un rectángulo con base b-a cuya área es
Definición de Media
)( f
b
adxxf )(
El Teorema siguiente establece un resultado relacionado con la media de una función continua.
Teorema (Valor Medio
del Cálculo Integral)
Sea continua. Entonces existe un número tal que .
],[: baf)()( fcf
),( bac
Demostración:
Como f es continua existentales que para todo . Integrando entre a y b tenemos que
],[, 21 baxx )()()( 21 xfxfxf ],[ bax
))(( 1 abxf b
adxxf )( ))(( 2 abxf
)(
))((
)(
)(
)(
))(( 21
ab
abxf
ab
dxxf
ab
abxf b
a
y dividiendo por
(b - a)
],[: baf)()( fcf
)()()(
1)( 21 xfdxxf
abxf
b
a
Ahora por el teorema de los valores intermedios, existe un valor c entre x1 y x2 tal que
b
adxxf
abcf )(
)(
1)(
Lo que demuestra el teorema anterior.
)( f
1x 2x
Teorema (Valor Medio
del Cálculo Integral)
Teorema (Teorema fundamental
del Cálculo Integral)
Sea continua y sea definida por],[: baf ],[: baG
x
adttfxG )()( . Entonces G es derivable en (a,b) y
Para todo )()(' oo xfxG ),( bax Demostración:
Sea y tal que . Queremos ver que por un lado
),( baxo 0h ),( bahxo )()(' oo xfxG
oo x
a
hx
aoo dttfdttfxGhxG )()()()(
oo
o
o x
a
hx
x
x
adttfdttfdttf )()()(
hx
x
o
o
dttf )(
Cuando tenemos
Usando esto último tenemos que
h
xGhxG oo
oh
)()(lim
hx
xoh
o
o
dttfh
)(1
lim
ox hxo
C
Y aplicando el teorema del valor medio del cálculo integral del último límite podemos escribir
h
xGhxG oo
oh
)()(lim
hcfhoh
)(1
lim
Donde está entre y , y como f es continua y c ox hxo
oxc 0h
Teorema (Teorema fundamental
del Cálculo Integral)
h
xGhxG oo
oh
)()(lim
hcfhoh
)(1
lim
)(lim cfoh
)( oxf
Esto es, lo que completa la demostración.)()(' oo xfxG
Teorema (Primer teorema fundamental
del Cálculo Integral)
Teorema (Regla de Barrow)
Sea f continua en un intervalo [a,b]. Si F es derivable en [a,b] y si para todo , entonces)()(' xfxF ],[ bax
b
aaFbFdxxf )()()(
Demostración: Como F es primitiva de f, entonces
x
adttfxG )()(
F’(x)=f(x) Sea G función integral
a
afaG 0)(
Por el primer Teorema fundamental G’=f sobre [a,b]. Por lo tanto G’=F’ sobre [a,b], lo que indica que G y F difieren en una constante, esto es,
Teorema (Regla de Barrow)
, de donde , por lo tantocaFaG )(0)( )(aFc
b
aaFbFdxxf )()()(
cxFdttfxGx
a )()()(
0)( aG Como
Definición: Integral Indefinida
Si F es una función primitiva de f, se llama integral indefinida de f a la expresión:
donde, f es la función integrando, es el elemento de integración y es el símbolo integral.
Como la expresión no determina un único
resultado, da lugar a dos distintas interpretaciones:
es una primitiva arbitraria de f.
es el conjunto formado por todas las primitivas de f.
cxFdxxf )()(
dxxf )(
cxFdxxf )()(
cxFdxxf )()(
cxFdxxf )()(
Aplicaciones Geométricas de la
Integral
)(xfy
dxxfLb
a 2)]('[1
Longitud de una curva
)(xfy
b
a
b
adxxgdxxfA )()(
Área entre dos curvas
)(xgy
b
adxxgxfA ))()(( gf
Aplicaciones Geométricas de la
Integral
dxxfxfAb
a 2)]('[1)(2
Área de sup. de revolución
)(xfy
dxxfVb
a 2)]([
Volumen de sólidos de revolución
222 ryx
Área de un círculo de radio r
222 xry
22)( xrxf 22 xry