Post on 10-Feb-2016
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CALC INTEGRAL
POR: RITA DEDERLE CABALLERO
MTODO DE DESCOMPOSICIN EN FRACCIONES SIMPLESEs un mtodo algebraico aplicable solo a funciones racionales y consiste en descomponer una fraccin en suma de fracciones simples, o sea, fracciones que tengan denominadores ms sencillos que el dado.
CASO 1
Todos los factores que aparecen en el denominador son lineales y distintos.
1.-Resuelve la siguiente integral
De acuerdo a la recomendacin planteada en este mtodo analicemos la factorizacin del denominador
Por lo cual podemos realizar la siguiente descomposicin de fracciones:
Realizando las operaciones
Comparando las fracciones podemos deducir de los numeradores que
Sustituyendo de EC. 3 tenemos A = -1 en EC.1 tenemos que B + C = 1 , pero de EC.2 tenemos
B = C por lo tanto 2 B = 1 en consecuencia:
Ahora estamos en condiciones de resolver la integral inicial Ec.A obteniendo integrales a las cuales les podemos aplicar las frmulas de manera inmediata
Aplicando propiedades de los logaritmos podemos decir que:
1.
INTEGRACIN POR FRACCIONES PARCIALES SIMPLES
La Integracin mediante fracciones parciales, es uno de los mtodos de Integracin mas fcil, en donde la forma a seguir est dada, por unos criterios.
Definicin: Se llama funcin racional a toda funcin del tipo
En donde y son polinomios con coeficientes reales, y grado
Ejemplo:
Cmo descomponer una funcin racional en fracciones parciales?
Veamos los siguientes casos:
CASO 1: Factores Lineales Distintos.
A cada factor lineal, ax+b, del denominador de una fraccin racional propia (que el denominador se puede descomponer), le Corresponde una fraccin de la forma , siendo A una constante a determinar.
Ejemplo:
Luego nos queda la siguiente igualdad
tambin lo podemos escribir Haciendo un Sistema.
Las soluciones son:
Quedando de esta manera:
Con lo cual
Ejemplo: I = 2x+3 /( x 2 )( x+5 ) dx
_ 2x+3 _ = _ A _ + B _
( x 2 ) ( x+5 ) ( x 2 ) ( x + 5 )
_ 2x+3 _ = A ( x+5 ) + B ( x 2 )
( x 2 ) ( x+5 ) ( x 2 ) ( x+5 )
Para el calculo de A se le da un valor arbitrario a x que la vuelva cero.
I forma:
2x+3 = A ( x+5 ) + B ( x 2 )
Si x = 5
2(5)+3 = A (5+5) + B (5 2)
10 + 3 = 7B
7 = 7B
B = 1
Ahora se le da un valor arbitrario a x para que B sea igual a cero.
2x+3 = A ( x+5 ) + B ( x 2 )
Si x = 2
2(2)+3 = A(2+5)+B(2 2)
4+3 = 7A
7 = 7A
A = 1
I = _Adx_ + __Bdx__
x 2 x + 5
Se reemplaza el valor de A y B
I = _(1)dx_ + __(1)dx__
x 2 x + 5
I = _dx_ + __dx__
x 2 x + 5
I = ln ( x 2 ) + ln ( x 5 ) + c
II forma:
2x+3 = A ( x+5 ) + B ( x 2 )
2x+3 = Ax+5A + Bx 2B
2x+3 = (A+ B)x + (5A 2B)
Comparamos los coeficientes y llegamos a las siguientes dos formulas:
Ec#1 2 = A+B
Ec#2 3 = 5A2B
Para eliminar el coeficiente B se multiplica la primera ecuacin por 2:
2A+2B = 4
5A2B = 3 7A = 7
A = 1
Reemplazando en la Ec#1:
2 = A+B
2 = 1+B
B = 21
B = 1
CASO 2: Factores Lineales Iguales.
A cada factor lineal, ax+b, que figure n veces en el denominador de una fraccin racional propia, le corresponde una suma de n fracciones de la forma
Calculemos la siguiente integral
Pero: Tendremos
Amplificando por
Las Soluciones son:
Nos queda:
Ejemplo: I = 2x+3 /( x 2 )( x+5 ) dx
_ 2x+3 _ = _ A _ + B _
( x 2 ) ( x+5 ) ( x 2 ) ( x + 5 )
_ 2x+3 _ = A ( x+5 ) + B ( x 2 )
( x 2 ) ( x+5 ) ( x 2 ) ( x+5 )
Para el calculo de A se le da un valor arbitrario a x que la vuelva cero.
I forma:
2x+3 = A ( x+5 ) + B ( x 2 )
Si x = 5
2(5)+3 = A (5+5) + B (5 2)
10 + 3 = 7B
7 = 7B
B = 1
Ahora se le da un valor arbitrario a x para que B sea igual a cero.
2x+3 = A ( x+5 ) + B ( x 2 )
Si x = 2
2(2)+3 = A(2+5)+B(2 2)
4+3 = 7A
7 = 7A
A = 1
I = _Adx_ + __Bdx__
x 2 x + 5
Se reemplaza el valor de A y B
I = _(1)dx_ + __(1)dx__
x 2 x + 5
I = _dx_ + __dx__
x 2 x + 5
I = ln ( x 2 ) + ln ( x 5 ) + c
II forma:
2x+3 = A ( x+5 ) + B ( x 2 )
2x+3 = Ax+5A + Bx 2B
2x+3 = (A+ B)x + (5A 2B)
Comparamos los coeficientes y llegamos a las siguientes dos formulas:
Ec#1 2 = A+B
Ec#2 3 = 5A2B
Para eliminar el coeficiente B se multiplica la primera ecuacin por 2:
2A+2B = 4
5A2B = 3 7A = 7
A = 1
Reemplazando en la Ec#1:
2 = A+B
2 = 1+B
B = 21
B = 1
x2+2x+3/(x 1) (x + 1)2 dx
_ x2+2x+3 _ = _ A _ + _ B _ + _ C _
(x 1) (x + 1)2 x 1 (x + 1) (x + 1)2
_ x2+2x+3 _ = _ A (x + 1)2_+ B (x 1) ( x+1 ) + C(x 1)
(x 1) (x + 1)2 (x 1) (x + 1)2
x2+2x+3 = A (x + 1)2 + B (x 1)( x+1 ) + C(x 1)
x2+2x+3 = A (x + 1)2 + B (x2 1) + C(x 1)
x2+2x+3 = A (x2 + 2x +1) + Bx2 B + Cx C
x2+2x+3 = Ax2 + 2Ax + A + Bx2 B + Cx C
x2+2x+3 = Ax2 + Bx2 + 2Ax + Cx + A B C
x2+2x+3 = (A+B)x2 + (2A+ C)x + (A B C)
Comparamos los coeficientes y llegamos a las siguientes tres formulas:
Ec#1 1 = A+B
Ec#2 2 = 2A+C
Ec#3 3 = A B C 6 = 4A
A = 6/4
A = 3/2
Reemplazo Ec#1:
1 = 3/2+B B = 1 3/2
B = 1/2
Reemplazo Ec#2:
2A+C = 2 2(3/2) + C = 2
3 + C = 2
C = 1
I = A _ dx + _ B _ dx + _ C _ dx
x 1 x + 1 (x + 1)2
3/2 dx _ 1/2 _ dx _ _ dx _
x 1 x + 1 (x + 1)2
= 3/2 ln(x 1) 1/2 ln (x+1) + _ 1 _ + C
(x+1)
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