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8/14/2019 Clase TC Rgimen Transitorio macualli
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M. en I. Hctor Avia Jimnez
TRANSFERENCIA DE CALOR
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Introduccin
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Hasta el momento se ha considerado la conduccin de calor en
condiciones estacionarias, para las cuales la temperatura de uncuerpo en cualquier punto no cambia con el tiempo. Con certeza,
esto simplific el anlisis, en especial cuando la temperatura vari
slo en una direccin y se pudo obtener soluciones analticas.
Ahora se analizar, considerando la variacin de la temperatura con
el tiempo as como con la posicin, en sistemas unidimensionales y
multidimensionales.
Iniciaremos con el anlisis de los sistemas concentrados (tambinllamados los sistemas de parmetros concentrados o de resistencia
interna despreciable), en los cuales la temperatura de un cuerpo
vara con el tiempo pero permanece uniforme en cualquier instante.
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Introduccin
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Despus, consideraremos la variacin de la temperatura con el
tiempo, as como con la posicin para problemas unidimensionalesde conduccin de calor, como los asociados con una pared plana
grande, un cilindro largo, una esfera y un medio semi infinito,
usando diagramas de temperatura transitoria y soluciones
analticas. Por ltimo, veremos la conduccin del calor en estado
transitorio en los sistemas multidimensionales por medio de la
solucin producto.
En el anlisis de la transferencia de calor, se observa que algunos
cuerpos se comportan como un bulto cuya temperatura interiorpermanece uniforme en todo momento durante un proceso de
transferencia de calor. La temperatura de esos cuerpos se puede
tomar slo como una funcin del tiempo, T(t).
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Transitorio
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El anlisis de la transferencia de calor que utiliza esta idealizacin se
conoce como anlisis de sistemas concentrados, el cual proporcionauna gran simplificacin en ciertas clases de problemas de
transferencia de calor sin mucho sacrificio de la exactitud.
Se supondr que el anlisis desistemas concentrados es
aplicable, de modo que la
temperatura permanece
uniforme dentro del cuerpo en
todo momento y slo cambia conel tiempo, T T(t).
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Transitorio
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Durante un intervalo diferencial de tiempo, dt, la
temperatura del cuerpo se eleva en una cantidad
diferencial dT. Un balance de energa del slido
para el intervalo de tiempo dt se puede expresar
como:
Dado que:
Podemos reacomodar
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Transitorio
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Al integrar desde t 0, en el cual T Ti, hasta cualquier instante t, en
el cual T T(t), da:
Al tomar el exponencial de ambos miembros y reacomodar, se
obtiene:
Donde:
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Transitorio
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1. La ecuacin anterior permite determinar la temperatura T(t) de un
cuerpo en el instante t o, de modo alternativo, el tiempo trequerido para alcanzar el valor especfico T(t).
2. La temperatura de un cuerpo se aproxima a la del medio ambiente,
T, en forma exponencial. Al principio, la temperatura del cuerpo
cambia con rapidez pero, posteriormente, lo hace ms bien conlentitud. Un valor grande de b indica que el cuerpo tender a
alcanzar la temperatura del medio ambiente en un tiempo corto.
Entre mayor sea el valor del exponente b, mayor ser la velocidad de
decaimiento de la temperatura.
Note que b es proporcional al rea superficial, pero inversamente
proporcional a la masa y al calor especfico del cuerpo. Esto no es
sorprendente, ya que tarda ms tiempo en calentarse o enfriarse una
masa grande, en especial cuando tiene un calor especfico grande.
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Transitorio
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La temperatura de un sistema concentrado se acerca a la del medio
ambiente a medida que transcurre el tiempo.
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Criterios
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Es evidente que el anlisis de sistemas concentrados es muy
conveniente en el estudio de la transferencia de calor ynaturalmente que interesa saber cundo resulta apropiado para
usarlo. El primer paso en el establecimiento de un criterio para la
aplicabilidad del anlisis de sistemas concentrados es definir la
longitud caracterstica como:
y un nmero de Biot, Bi, como:
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El nmero de Biot se puede concebir como la razn entre la
conveccin en la superficie del cuerpo con respecto a la conduccindentro de ste.
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Criterios
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Cuando un cuerpo slido se calienta por el fluido ms caliente que
lo rodea (como una papa que se est horneando), en principio elcalor es llevado por conveccin hacia el cuerpo y, a continuacin,
conducido hacia el interior del cuerpo. El nmero de Biot es la razn
de la resistencia interna de un cuerpo a la conduccin de calor con
respecto a su resistencia externa a la conveccin de calor. Por lo
tanto, un nmero pequeo de Biot representa poca resistencia a la
conduccin del calor y, por tanto, gradientes pequeos de
temperatura dentro del cuerpo.
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Criterios
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En el anlisis de sistemas concentrados se supone una distribucin
uniforme de temperatura en todo el cuerpo, el cual es el caso slocuando la resistencia trmica de ste a la conduccin de calor (la
resistencia a la conduccin) sea cero. Por consiguiente, el anlisis de
sistemas concentrados es exacto cuando Bi=0 y aproximado cuando
Bi tiende a 0. Por supuesto, entre ms pequeo sea el nmero Bi,
ms exacto es el anlisis de los sistemas concentrados.
En general se acepta que el anlisis de sistemas concentrados es
aplicable si
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Criterios
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Cuando se satisface este criterio, las temperaturas dentro del
cuerpo con relacin a la de los alrededores (es decir, T T)permanecen dentro de un margen de 5% entre s, incluso para
configuraciones geomtricas bien redondeadas como la de una bola
esfrica. Como consecuencia, cuando Bi 0.1, la variacin de la
temperatura con la ubicacin dentro del cuerpo es ligera y, de
manera razonable, se puede considerar como si fuera uniforme.
El primer paso en la aplicacin del anlisis de sistemas concentrados
es el clculo del nmero de Biot y la valoracin de la aplicabilidad de
este procedimiento.
Los cuerpos pequeos con conductividad trmica alta son buenoscandidatos para este tipo de anlisis, en especial cuando se
encuentran en un medio que sea un mal conductor del calor (como
el aire u otro gas) que est inmvil.
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Ejemplo
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Se va a medir la temperatura de un flujo de gas por
medio de un termopar cuya unin se puede
considerar como una esfera de 1 [mm] de dimetro,
como se muestra en la figura. Las propiedades de la
unin son k= 35 [W/m C], la densidad es 8 500
[kg/m3] y cp [320 J/kg C], y el coeficiente de
transferencia de calor por conveccin entre la unin y
el gas es h 210 [W/m2 C]. Determine cuntotiempo transcurrir para que la lectura del termopar
sea 99% de la diferencia inicial de temperatura.
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Criterios
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Cuando el anlisis de sistemas concentrados no es aplicable, se
puede determinar la variacin de la temperatura con la posicin ascomo con el tiempo por medio de los diagramas de temperatura
transitoria dados en las figuras siguientes para una pared plana
grande, un cilindro largo, una esfera y un medio semiinfinito,
respectivamente.
Estos diagramas son aplicables para la transferencia unidimensional
de calor en esas configuraciones geomtricas. Por lo tanto, su uso
queda limitado a situaciones en las cuales el cuerpo est
inicialmente a una temperatura uniforme, todas las superficies
estn sujetas a las mismas condiciones trmicas y el cuerpo no
genera calor. Tambin se pueden usar estos diagramas para
determinar la transferencia de calor total del cuerpo hasta un
instante especificado t.
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Criterios
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Pared Plana Grande Cilindro Largo
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EsferaMedio Semiinfinito
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Criterios
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Al usar una aproximacin de un trmino, las soluciones de los
problemas unidimensionales de conduccin del calor en rgimentransitorio se expresan analticamente como
donde las constantes A1 y 1 son slo funciones del nmero Bi. El
error en el que se incurre en las soluciones de un trmino es error a
2% cuando > 0.2.
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Criterios
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Por medio de las soluciones de un trmino, las transferencias de
calor fraccionarias en las diferentes configuraciones geomtricas se
expresan como
Las soluciones de la conduccin transitoria de calor en un slido
semiinfinito con propiedades constantes, con varias condiciones de
frontera en la superficie.
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donde erfc() es lafuncin
complementaria de error de
argumento .