Post on 11-Jul-2016
Forma cristalográficaGrupo de caras formadas a partir de una y a
través de elementos de simetría presentes en el cristal
¿Cuántas caras diferentes necesitamos para construir el cubo?
¿Y una pirámide equilátera?
…… más definiciones
Elementos de simetría :
Reflexión o plano de simetría (m)
Rotación (simetría rotacional):○ Eje de orden 2○ Eje de orden 3○ Eje de orden 4○ Eje de orden 6
Inversión (i)
Combinación posible de los elementos anteriores
Veamos primero 2D
Reproduce (refleja) un motivo a través de un plano de reflexión en un patrón simétrico.
2D
Reflexión o plano de simetría (m) “El espejo”
Eje de orden 2: 360°/2 a partir de un eje de simetría Eje de orden 3: 360°/3 ” ” ” ” Eje de orden 4….. Eje de orden 6….
2D
Rotación (eje de simetría) “La cuerda atada”
6
6Símbolo para eje de orden 2
180°
180°
120°
120°
120°
5
6
7
8
2DRotación (eje de simetría)
Y porqué no nos sirve un eje de orden 5??
2D Inversión (i)
Reproduce o invierte, por medio de un punto (centro), un motivo en un patrón simétrico.
¿Qué otra operación da el mismo resultado?
En 2D es equivalente a un eje de orden 2, en 3D es único
3D rotoinversión
Rotación eje 2. Plano de reflexión(m)
Sin embargo…….. Falta un plano (m)
Combinaciones en 2D
- Veamos ahora en 3D
RotaciónReflexiónRotoinversiónOrden 2, 3, 4, 6
¿¿De qué orden es la rotación??
3D Rotoinversión orden 2 Rotación eje 2. Inversión Sin embargo es
lo mismo que realizar una reflexión (m)
1
1
2
1
2
3
1
2
3
4
1
2
5
1
6
5
Ojo!! Rotación
operación congruente: la reproducción del motivo es idéntica.
Tanto reflexión(m) como inversiónoperaciones enantiomórficas: la reproducción
del motivo son a lado opuesto (como imagen en un espejo).
Ahora que sabemos un poco de simetría…. Formas cristalográficas:
Conjunto de caras generadas a partir de una cuando se hacen actuar todos los elementos de simetría.
Formas abiertas: Formas que por si solas no cierran el cristal.
Formas cerradas: Formas que por si solas cierran el cristal.
Formas simples: Formadas por una sola cara
Formas complejas: Combinación de mas de una cara
24
a) Abiertas: no limitan un espacio
Pedión Pinacoide Esfenoide Domo Prisma
b) Cerradas: limitan un espacio
Cubo Octaédro
Gran variedad de formas cristalográficas
Para qué nos sirven estas operaciones??
Recordemos……………
Todos los cristales presentan simetrías definidas por la posición de sus caras lo cual permite agruparlos según sistemas.
……… A partir de las redes de Bravais se determinan 7 sistemas para clasificar las formas cristalinas en base a su simetría
Recordar!Sistemas cristalográficos definidos por vectores
Ejes cristalográficos!!
Ojo! Ejes cristalográficos se ubican desde el centro del cristal!!
Dónde se ubican los ejes cristalográficos???A qué sistema podrían pertenecer?
Sistemas cristalográficos
Sistema triclínicoElección de ejes:
Se eligen las direcciones paralelas a las intersecciones entre las caras de mayor superficie, como ejes a, b y c .
El eje más largo era el “c”, el intermedio el “a” y el mas corto el “b”.
Los ejes se cortan en el centro del cristal.
Para reconocerlos: Cristales(cxs) muy poco simétricos.
Operaciones de la identidad y la inversión, no presentan ejes de rotación ni planos de simetría.
Mineral: MicroclinaComp. Química: KAlSi3O8
Sistema: TriclínicoGrupo:Silicatos
Triclínico
Albita (NaAlSi308): Sistema Triclínico(Plagioclasa Na)
Triclínico
Sistema monoclínico Dirección del eje “b” como referencia, de
modo que coincide con el eje binario o con la normal al plano de simetría o con ambos.
Ejes a y c están situados dentro del plano perpendicular a b
Para reconocerlos
Solamente poseen un eje binario y/o un plano.
Mínimo un elemento de simetría, máximo dos.
Mineral: YesoComp. Química: CaSO4(H2O)Sistema: MonoclínicoGrupo: Sulfatos
Mineral: EpidotaComp. Química:Ca2(Fe,Al)3(SiO4)3(OH)Sistema: MonoclínicoGrupo: Silicatos
Monoclínico
Azurita Cu3(CO3)2(OH)2
Malaquita Cu2CO3(OH)2
Monoclínico
Monoclínico
Sistema ortorrómbico (rómbico)
Se puede tomar cualquier eje como c, pero en los dos restantes b>a (por lo general c>b>a)
Para reconocerlos
Poseen como mínimo tres elementos de simetría binaria (2 o m), y como máximo seis
AzufreOrtorrómbico
Mineral: Fayalita (Olivino)Comp. Química: Fe2(SiO4) Sistema: OrtorrómbicoGrupo: Silicatos
Mineral: BaritinaComp. Química: Ca(SO4) Sistema: OrtorrómbicoGrupo: Sulfatos
Ortorrómbico
Olivino (Mg,Fe)2(SiO4): Sistema RómbicoOrtorrómbico
Otros: Anglesita PbSO4 ANTLERITA Cu3(SO4)(OH)4 AZUFRE ATACAMITA BORNITA CALCOSINA ENARGITA HEMATITA
Ortorrómbico
Sistema tetragonal Eje a=b y distinto al eje c.
Para reconocerlos Presenta un solo eje
cuaternario
Ejes perpendiculares con ejes a1,a2(b) de igual tamaño. a = b g = 90o a1 = a2 ¹ c
Tetragonal =
c
aa2
Mineral: CircónComp. ZrSiO4
Sistema:TetragonalGrupo: Silicatos
Mineral: CalcopiritaComp. CuFS2
Sistema: TetragonalGrupo: Sulfuros
Tetragonal
Casiterita (SnO2): Sistema TetragonalTetragonal
Sistema trigonal-romboédrico
Se emplean cuatro ejes en lugar de tres. El eje c coincide con el eje senario, y los ejes
a1, a2 y a3 se encuentran en el plano perpendicular a c, de modo que sus lados positivos están separados por 120º, aunque el lado negativo de cada uno bisecta el ángulo que forman los otros dos.
Para reconocerlos
Presenta un eje de simetría ternaria. Son cristales con las caras frecuentemente en
forma de rombos, de trapecios o de triángulos escalenos.
2 goles!!! ¿Cuáles?
Sistema trigonal-romboédrico
Se emplean cuatro ejes en lugar de tres. El eje c coincide con el eje senario, y los ejes
a1, a2 y a3 se encuentran en el plano perpendicular a c, de modo que sus lados positivos están separados por 120º, aunque el lado negativo de cada uno bisecta el ángulo que forman los otros dos.
Para reconocerlos
Presenta un eje de simetría ternaria. Son cristales con las caras frecuentemente en
forma de rombos, de trapecios o de triángulos escalenos.
Más fácil proyectar en cuatro ejes!
50
Rhombohedral Lattice a = b = c α = β = γ ≠ 90̊
Mineral: CalcitaComp. CaCO3
Sistema: TrigonalGrupo: Carbonatos
Trigonal
Dolomita (CaMg(CO3)2): Sistema TrigonalTrigonal
Sistema hexagonal Se emplean cuatro ejes en lugar de
tres.
El eje c coincide con el eje senario, y los ejes a1, a2 y a3 se encuentran en el plano perpendicular a c, de modo que sus lados positivos están separados por 120º, aunque el lado negativo de cada uno bisecta el ángulo que forman los otros dos.
Para reconocerlos
Se caracteriza por tener en sus cristales siete planos de simetría, un eje senario y seis ejes binarios.
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Hexagonal a = b ≠ c α = γ = 90 ̊ β = 120 ̊
Mineral: BeriloComp. Be3Al2Si6O18
Sistema: HexagonalGrupo: Silicatos
Hexagonal
Apatito (Ca5[(F, OH, Cl)/(PO4)3] )
Hexagonal
COVELINA GRAFITO MOLIBDENITA
Hexagonal
Sistema Isométrico - cúbico Tres ejes intercambiables y mutuamente
perpendiculares que coinciden con ejes cuaternarios
Para reconocerlos Figuras de gran simetría Poseen cuatro eje ternarios Eje cuaternarios
Mineral: DiamanteComp. CSistema: IsométricoGrupo: Elementos nativos
Mineral: PiritaComp. FS2
Sistema: IsométricoGrupo: Sulfuros
Isométrico
Isométrico
Isométrico
Granate
COBRE CUPRITA DIAMANTE GALENA ESFALERITA HALITA MAGNETITA
Isométrico
¿Cómo podemos reconocer las simetrías de los cristales o minerales cuando son pequeños?
DRX Difracción de Rayos (XRD)
Información detallada de la estructura cristalográfica de materiales naturales y manufacturados.
Difracción
La difracción es un fenómeno característico de las ondas que consiste en la dispersión y curvado aparente de las ondas cuando encuentran un obstáculo.
Es generalmente definida como la salida del rayo del camino esperado a seguir según la reflexión y la refracción.
Difracció
n
La difracción de rayos-x en los cristales es posible debido a que la distancia que existe entre los planos atómicos de los cristales es similar a la longitud de onda de los Rayos-X (0.1 a 10 Amstrong.)
Difracción de rayos XOjo!, montones de planos paralelos
Interferencia!!
Calcopirita (Tetragonal) con Dolomita (Trigonal)
Cinabrio (Trigonal) con Cuarzo (Hexagonal)
Cuprita (Cubico), Cobre Nativo (Cubico) y Calcita (Trigonal)
Arsenopirita (Monoclinico), Calcopirita (Tetregonal) y Siderita (Trigonal)
Dioptasa: Cu6[Si6O18].6H2O y Calcita (Ambos Trigonal)
Casiterita con Scheelita: CaWO4
(Ambos Tetragonal)
¿A qué sistema pertenecen estas formas?
RecapitulandoYa sabemos:
Reconocer simetrías Agrupar formas cristalográficas
Vamos a ver Forma de describir elementos de simetría
Símbolos de Herman-Mauguin Forma de describir cada cara del cristal
Indices de Miller Forma de plasmar en un papel las figuras 3D
Elementos de simetría. Notación de Hermann Mauguin
Se indica con un número el tipo de eje de simetría (1, 2, 3, 4 y 6)
m indica plano de simetría
P o C indican si pertenece a la celda primitiva o centrada, respectivamente
1, 2, 3, 4 y 6 indican ejes de rotación.
n/m indica que el eje es normal al plano
Símbolos de Herman-Mauguin
Simbología utilizada para describir simetrías en un cristal
Veamos con ejemplos:
La figura presenta: 3 ejes de simetría de orden 2 3 planos de reflexión Un centro de simetría
Las reglas para la notación H-M :
Un número por cada eje de rotación único 2 2 2
Una m para cada plano único* de reflexión. 2m 2m 2m
*Que solo es creado por si mismo y no por otra operación de simetría).
Si uno de los ejes es perpendicular a un plano de reflexión se pone un slash entremedio (/)
Notación 2/m 2/m 2/m
Ejemplo número 2
1 E4
2 E2 perpendiculares a la cara. 2 E2 en los vértices del cristal.
Dos ejes binarios únicos
Notación 4 2 2
5 planos de simetría análogos a los ejes Notación m m m
o ¿Por qué sólo existen tres planos/ejes únicos?
Veamos qué significa que sean únicos: Tenemos 1E4 En las caras laterales 2E2
Pero………… Uno de los que está en las
caras puede ser creado a partir del otro con el E4.
Lo mismo ocurre con las diagonales Y los planos de simetría análogos.
La notación final 4/m 2/m 2/m.
Reglas H-M Ejes de simetría se denotan por números y los ejes de inversión por
números con trazo en la parte superior. Los planos de simetría se indican con la letra m. Un eje de simetría con plano perpendicular se nota con un slash.
La primera parte se refiere al eje de simetría principal.
En el sistema cúbico la segundo y tercer parte del símbolo se refieren a los elementos de simetría ternaria y binaria respectivamente.
En el sistema tetragonal los símbolos segundo y tercero se refieren a los ejes axiales y diagonales respectivamente.
En el sistema hexagonal (y trigonal) los símbolos segundo y tercero se refieren a los elementos de simetría axial y axial alterna
En el sistema rómbico los símbolos se refieren a los ejes de simetría por el orden a,b,c
Con esto podemos definir 32 posibles combinaciones en los sistemas cristalográficos
Crystal System No Center CenterTriclinic 1 1
Monoclinic 2, 2 (= m) 2/m
Orthorhombic 222, 2mm 2/m 2/m 2/m
Tetragonal 4, 4, 422, 4mm, 42m 4/m, 4/m 2/m 2/m
Hexagonal 3, 32, 3m 3, 3 2/m
6, 6, 622, 6mm, 62m 6/m, 6/m 2/m 2/m
Isometric 23, 432, 43m 2/m 3, 4/m 3 2/m
En la literatura a veces se juntan ambos sistemas porque están definidos de forma similar
Crystal System No Center CenterTriclinic 1 1
Monoclinic 2, 2 (= m) 2/m
Orthorhombic 222, 2mm 2/m 2/m 2/m
Tetragonal 4, 4, 422, 4mm, 42m 4/m, 4/m 2/m 2/m
Hexagonal 3, 32, 3m 3, 3 2/m
6, 6, 622, 6mm, 62m 6/m, 6/m 2/m 2/m
Isometric 23, 432, 43m 2/m 3, 4/m 3 2/m
Esas 32 combinaciones se llaman clases cristalográficas
32 clases cristalográficas o grupos puntuales
Sistema triclínico Clase pinacoidal (1) Clase pedial (1)
Sistema monoclínico Clase prismática 2/m Clase esfenoidal 2 Clase domática m
Sistema ortorrómbico Clase ortorrómbica dipiramidal Clase ortorrómbica diesfenoidal Clase ortorrómbica piramidal
http://www.galleries.com/minerals/symmetry/orthorho.htm
Si se tienen en cuenta las simetrías en redes que no son primitivas ( el total de las 14 redes de Braveis) 73 Grupos puntuales simples
“( )” En las operaciones de simetría se puede añadir también falta la traslación
32 Grupos puntuales + operaciones de traslación = 230 Grupos espaciales
RecapitulandoYa sabemos:
Reconocer simetrías Agrupar formas cristalográficas
Vamos a ver Forma de describir elementos de simetría
Símbolos de Herman-Mauguin Forma de describir cada cara del cristal
Indices de Weiss/Miller Forma de plasmar en un papel las figuras 3D
Índices de Weiss/Miller
Estandarizar la forma en que se describen las orientaciones de los cristales.
Basados en la intersección de las caras en los ejes cristalográficos
Índices de Weiss/Miller Se refiere a la posición, respecto a un eje
coordenado establecido, para las caras de un mineral.
Procedimiento: Se ubica la cara que se quiere describir en
relación a los ejes cristalográficos
Se anota el valor de donde intersecta la cara al eje de la forma (a b c) (Puede estar centrado en los vértices también)
Ej (∞ 1 ∞) pues intersecta solamente en el eje b.
Los índices de miller corresponden al inverso de esa intersección
Nos queda (010)
El valor que intersecta la cara es en relación a la longitud de los vectores!!!
𝟏∞ 𝟏𝟏 𝟏∞
??? (001) (010) (100)
???
a
bc
Weiss!!
Si ya tenemos una figura con las caras descritas
¿Sirve ubicar nuestros ejes de simetría en el centro de esta forma?
¿Y así?
Una única forma de ubicar nuestros ejes.
(hkl) es la forma general, sin embargo para sistema trigonal y hexagonal se emplea (hklm).
(0kl) significa que es paralela al eje a (h0l) es paralela al eje b (hk0) paralela al eje c.
Cristalografía
Cristalografía
Cristalografía Indice de Miller en sistema hexagonal
hjkl
Recordar que estamos viendo un arreglo ordenado!! Indice de Miller nos indica la distancia entre los distintos planos
En 2d sería un plano reticular
RecapitulandoYa sabemos:
Reconocer simetrías Agrupar formas cristalográficas
Vamos a ver Forma de describir elementos de simetría
Símbolos de Herman-Mauguin Forma de describir cada cara del cristal
Indices de Weiss/Miller Forma de plasmar en un papel las figuras 3D
“PROYECCIONES ESTEREOGRÁFICAS”
Proyecciones Estereográficas La proyección de un cristal es un medio de
representar un cristal tridimensional en una superficie plana bidimensional.
Con el fin de situar las caras de acuerdo con sus relaciones angulares y sin consideración de su forma o tamaño, podemos usar la proyección esférica. Si bien esta proyección es tridimensional, es la base para la estereográfica en dos dimensiones.
Groenlandia: 2,166,086 km² Brasil: 8 514 877 km²
Proyecciones Estereográficas La proyección de un cristal es un medio de
representar un cristal tridimensional en una superficie plana bidimensional.
Con el fin de situar las caras de acuerdo con sus relaciones angulares y sin consideración de su forma o tamaño, podemos usar la proyección esférica. Si bien esta proyección es tridimensional, es la base para la estereográfica en dos dimensiones.
Volviendo a lo nuestro:
Nos va a interesar solamente la posición angular de las caras
No nos va a importar las deformaciones
La proyección va a ser realizada solo en el polo norte
Se realiza en una proyección esférica
¿A qué sistema pertenece?
Plano que corta a la esfera por la mitadVista desde arriba a la circunferencia en la mitad de la esfera
Tomamos una cara y la proyectamos con un vector perpendicular en la esfera.
Ej: Cara (010)Cara (010)Cara (100) y cara (100) Con esto tenemos las caras del prisma cuadrado
¿Y nuestra figura de arriba?Veamos la cara (101) y (101)
Y así sucesivamenteCon las caras de abajo también (en el otro sentido)
Indicar elementos de simetría presentes!!Eje orden cuatro¿¿Ejes de orden dos??
Perpendiculares a las caras paralelasY en las diagonales de las caras paralelas
Indicar elementos de simetría presentes!!Eje orden cuatro¿¿Ejes de orden dos??¿Planos de simetría? líneas continuas
Añadimos
H-M Clase 4/m 2/m 2/m ( un eje único de orden 2 en una cara y en una
diagonal)Índices de Miller en cada cara
(100)
Veamos con ejemplos: Sistema triclínico
¿Qué figuras se pueden formas con este sistema?
Sistema monoclínicoSimetrías??Se elige una caraSe hacen actuar los elementos de simetría
Sistema ortorrómbico3 ejes perpendiculares
Tetragonal Ejes axiales y axiales diagonales
Sistemas trigonal/Hexagonal Ejes axiales y axiales alternos
Sistema Isométrico
Reglas:
Tener en cuenta el sistema que pertenece y la posición de los ejes del sistema.
Plano de simetría se coloca como línea continua
Eje de simetría se anota en los extremos del eje con la simbología del orden que corresponda.