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Lic. Luis Huamanchumo de la Cuba
INTRODUCCION
CONCEPTOS MATEMÁTICOS PARAEL MODELAMIENTO ESTADÍSTICO LINEAL
UNI-FIECS MODELOS LINEALES
Lic. Luis Huamanchumo de la Cuba
UNI-FIECS MODELOS LINEALES
ELECTRÓNICA
BASE DE DATOS
PROYECTOS DE INVERSIÓN
PROCESOS TÉCNICOS
INVESTIGACIÓN SATELITAL
DISEÑO POR COMPUTADORA
MODELAMIENTO MATEMÁTICO(MATLAB)
APLICACIONES DE LAS MATRICES
Lic. Luis Huamanchumo de la Cuba
UNI-FIECS MODELOS LINEALES
Conceptos básicos de matricesNotación y definicionesAlgebra de Matrices
AdiciónDiferenciaMultiplicación por un escalarMultiplicaciónTransposiciónIgualdad
Inversa de matrices y determinantesTrazaFormas cuadráticas
CONCEPTOS MATEMÁTICOS PARA EL MODELAMIENTO ESTADÍSTICO LINEAL (Continuación)
Lic. Luis Huamanchumo de la Cuba
UNI-FIECS MODELOS LINEALES
Conceptos básicos de vectoresNotación y definicionesEspacios y subespacios vectorialesIndependencia linealBase de un espacio vectorialRango de un matrizProducto interno y ortogonalidad de vectores
CONCEPTOS MATEMÁTICOS PARA EL MODELAMIENTO ESTADÍSTICO LINEAL (Continuación)
Lic. Luis Huamanchumo de la Cuba
UNI-FIECS MODELOS LINEALES
Matrices y vectores notablesMatriz similarMatriz simétrica y simétrica negativaMatriz ortogonalMatriz definida positivaMatriz idempotenteMatriz identidadMatriz JVector 1nMatriz diagonal.
Diagonalización.Diagonalización simultánea de dos matrices cuadradas.
Matriz particionada. Determinante. Inversa.Matriz bloque diagonal. Determinante. Inversa.Matriz triangularMatriz escalar
CONCEPTOS MATEMÁTICOS PARA EL MODELAMIENTO ESTADÍSTICO LINEAL (Continuación)
Lic. Luis Huamanchumo de la Cuba
UNI-FIECS MODELOS LINEALES
Interpretación geométricaRectaPlanoProyecciónEspacio vectorial
Intersección y suma de espacios vectorialesComplemento ortogonal de un subespacio vectorialEspacio por columna y espacio nulo de una matriz
CONCEPTOS MATEMÁTICOS PARA EL MODELAMIENTO ESTADÍSTICO LINEAL (Continuación)
Lic. Luis Huamanchumo de la Cuba
Vector Aleatorio
Es un vector cuyos elementos son variables aleatorias
Matriz Aleatoria
Es una matriz cuyos elementos son variables aleatorias
UNI-FIECS MODELOS LINEALES
Lic. Luis Huamanchumo de la Cuba
Valor Esperado de una Matriz Aleatoria E(X)
Si X es una matriz aleatoria de orden nxp, entonces,
donde:
E(xij) = Xij fij(xij)dxij ; xij es una v.a. continua
Σ xij pij(xij) ; xij es una v.a. discreta
x
UNI-FIECS
E(x)=
E(X11)
E(X21)
E(Xn1)
.
.
.
E(X12)
E(X22)
E(Xn2)
.
.
.
. . .. . .
. . .
E(X1p)
E(X2p)
E(Xnp)
.
.
.
MODELOS LINEALES
Lic. Luis Huamanchumo de la Cuba
Si ‘x’ es un vector aleatorio px1, entonces,
También, E(x) = µ (px1)
UNI-FIECS
E ( x ) =
E(X1)
E(X2)
E(Xp)
.
.
.
µ1
.
.
.
=
µ2
µp
MODELOS LINEALES
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Matriz Varianza-Covarianza Σ
Si “x” de orden px1 es un vector aleatorio y “µ” su correspondiente vector de medias. Entonces,
UNI-FIECS
Σ = E [ (x - µ)(x - µ)’ ] =
( x1 - µ1 )
.
.
.
( x2 - µ2)
( xp - µp)
( x1 - µ1 ) ( x2 - µ2) . . . ( xp - µp)E ( )
MODELOS LINEALES
Lic. Luis Huamanchumo de la Cuba
Desarrollando el producto de la expresión anterior tenemos que;
En términos de las varianzas y covarianzas,
µ−µ−µ−µ−µ−
µ−µ−µ−µ−µ−
µ−µ−µ−µ−µ−
2pp22pp11pp
pp222
221122
pp1122112
11
)x()x)(x()x)(x(
)x)(x()x()x)(x(
)x)(x()x)(x()x(
L
MOMM
L
L
UNI-FIECS
Σ = E
σσσ
σσσσσσ
=pp2p1p
p22221p11211
L
MOMM
L
L
σσσ
σσσσσσ
=∑pp2p1p
p22221p11211
L
MOMM
L
L
MODELOS LINEALES
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Matriz de Correlación ρ
La matriz de correlación (pxp) es una matriz simétrica tal que:
UNI-FIECS
σ11
σ11σ11
σ21
σ11σ22ρ
σp1
σ11σpp
.
.
.
σ22σ11
σ22
σ22σ22
σp2
σ22σpp
.
.
.
σ12. . .
. . .
. . .
σppσ11
σ2p
σppσ22
σpp
σppσpp
.
.
.
σ1p
=
MODELOS LINEALES
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Matriz de Covarianza Particionada
Sea el vector X(px1) particionado y su correspondiente vector de medias µ:
A partir de la transposición y multiplicación de matrices tenemos que:
UNI-FIECS
X =
X1
Xq
Xq+1
Xp
.
.
.
.X(1)
X(2)= µ =
µ1
µ q
µ q+1
µ p
.
.
.
.µ(1)
µ(2)=
X(1) X(2)µ(1) µ(2)( )- ( )’- =
X1
X2
Xp
.
.
µ1
µ 2
µ p
-
-
-
X1 µ1- X2 µ2- Xp µp-. . .
MODELOS LINEALES
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Efectuándose el producto de matrices tenemos:
Tomando valor esperado a ambos términos de la ecuación:
UNI-FIECS
µ−µ−µ−µ−µ−µ−
µ−µ−µ−µ−µ−µ−µ−µ−µ−µ−µ−µ−
=µ−µ−
++++
++++++++
)X)(X()X)(X()X)(X(
)X)(X()X)(X()X)(X()X)(X()X)(X()X)(X(
)X)(X(
ppqq2q2qqq1q1qqq
pp222q2q221q1q22pp112q2q111q1q11
l)2()2()1()1(
L
MOMM
L
L
µ−µ−µ−µ−µ−µ−
µ−µ−µ−µ−µ−µ−µ−µ−µ−µ−µ−µ−
=µ−µ−
++++
++++++++
)X)(X()X)(X()X)(X(
)X)(X()X)(X()X)(X()X)(X()X)(X()X)(X(
)X)(X(
ppqq2q2qqq1q1qqq
pp222q2q221q1q22pp112q2q111q1q11
l)2()2()1()1(
L
MOMM
L
L
MOMMΣ12MOMM MOMM
=
σ1,q+1 σ1,q+2 . . . σ1,p
σ2,q+2 σ2,q+2 . . . σ2,p
σq,q+1 σq,q+2 . . . σq,p
X(1) X(2)µ(1) µ(2)( )- ( )’-E =
MODELOS LINEALES
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UNI-FIECS
MOMM MOMM MOMM
σ1,q+1 σ1,q+2 . . . σ1,p
σ2,q+1 σ2,q+2 . . . σ2,p
σq,q+1 σq,q+2 . . . σq,p
MOMM MOMM MOMM
σ11 σ12 . . . σ1q
σ21 σ22 . . . σ2q
σq1 σq2 . . . σqq
MOMM MOMM MOMM
σq+1,1 σq+1,2 . . . σq+1,p
σq+2,1 σq+2,2 . . . σq+2,p
σp,1 σp,2 . . . σp,q
MMM MMM MOMM
σq+1,q+1 σq+1,q+2 . . . σq+1,p
σq+2,q+1 σq+1,q+2 . . . σq+2,p
σp,q+1 σp,q+2 . . . σpp
Σ11 Σ12
Σ22Σ21=Σpp =
MODELOS LINEALES
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Matriz de Medias y Covarianza Muestral Particionada
La media y la matriz de covarianzas muestrales pueden ser particionadas con el fin de distinguir cantidades correspondientes a cada grupo de variable, así:
media muestral
y covarianza muestral
=
pp2p1p
p22221p11211
sss
ssssss
S
L
MOMM
L
L
UNI-FIECS
X1
Xq
Xq+1
Xp
.
.
.
.
X =
MODELOS LINEALES
UNI-FIECS
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cuyas particiones están dadas por:
X1
Xq
Xq+1
Xp
.
.
.
.
X = =
X(1)
X(2)
MODELOS LINEALES
UNI-FIECS
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SSSS22211211n SS
SS=
MOM MOM MOMM
s1,q+1 s1,q+2 . . . s1,p
s2,q+1 s2,q+2 . . . s2,p
sq,q+1 sq,q+2 . . . sq,p
MOMM MOMM MOMM
s11 s12 . . . s1q
s21 s22 . . . s2q
sq1 sq2 . . . sqq
MOMM MOMM MOMM
sq+1,1 sq+1,2 . . . sq+1,q
sq+2,1 sq+2,2 . . . sq+2,q
sp,1 sp,2 . . . sp,q
MMM MMM MOMM
sq+1,q+1 sq+1,q+2 . . . sq+1,p
sq+2,q+1 sq+1,q+2 . . . sq+2,p
sp,q+1 sp,q+2 . . . spp
=
MODELOS LINEALES
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El Vector de Medias y Matriz de Covarianzas para una Combinación Lineal
La Combinación Lineal c’X=c1X1+c2X2+...+cpXp tiene:
Media E(c’X)=c’µ
Varianza V(c’X)=c’Σc
donde µ=E(X) y Σ=Cov(X)
UNI-FIECS MODELOS LINEALES
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La combinación lineal Z=CX tiene:
µz = E(Z) = E(CX) = C µx
Σz = Cov(Z) = Cov(CX) = C Σx C’
En general si consideramos ’q’ combinaciones de las ’p’ variables aleatorias X1, X2, ..., Xp
UNI-FIECS
p22221p11211
L
MOMM
L
Lc
qp21
p22221p11211
L
MOMM
L
Lc
c
cc
c
cc
c
X1
X2
Xp
.
.
.= CX=
Z1
Z2
Zq
.
.
.=Z
q q
MODELOS LINEALES
Producto Kronecker
El producto directo o producto Kronecker de dos matrices A (nxm) y B (pxq)se define como:
A B =
a11a21...an1
a12a22...an2
a1ma2m...anm
BB
B
BB
B
BB
B
(np x mq)
UNI-EPIES
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MODELOS LINEALES
Propiedades
Sean A, B, C y D matrices; x e y vectores; α y β escalares. Entonces,
x’ y = yx’ = y x’
αA βB = αβ ( A B)
A ( B C ) = ( A B) C
(A + B) C = ( A C) + (B C)
A ( B + C ) = ( A B) + (A C)
(A B)(C D) = ( AC BD)
(A B)’ = A’ B’
UNI-EPIES
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MODELOS LINEALES
tr(A B) = (trA)(trB)
A1 A2 B = A1 B A2 B , para una matriz particionada A=(A1,A2)
I A =
A 0 … 00 A … 0
0 0 … A
.
...
.
.= diag ( A )
Propiedades (continuación…)
( I x ) A ( I x’ ) = A xx’
En general A B = B A
UNI-EPIES
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MODELOS LINEALES
MODELOS LINEALESUNI-EPIES
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Operador Vec(.)
El operados ‘vec’ para una matriz A(nxq) apila las columnas de A= a1, a2, …aq secuencialmente uno sobre otro hasta formar un vector ‘a’ (nqx1).
a = vec (A) =
a1a2
aq
.
.
.
Definición:
Operador Vec(.)
vec(y) = vec(y’) = y
vec(yx’) = x y
vec (A x) = vec(A) x
vec ( αA + βB ) = α vec(A) + β vec(B)
Propiedades:
vec (ABC) = (C’ A) vec(B)
MODELOS LINEALESUNI-EPIES
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vec (AB) = (I A) vec(B) = (B’ I) vec (B’ I) vec (A)
tr(A’B) = (vec(A))’vec(B)
tr(ABC) = vec(A’) (I B) vec(C)
Propiedades (continuación…)
tr(ABCD) = (vec(A’))’ (D’ B) vec(C)
tr(AX’BXC) = (vec(X))’ (CA B’) vec(X)
UNI-EPIES
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MODELOS LINEALES
UNI-EPIES
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MODELOS LINEALES
III. DIFERENCIACIÓN DE MATRICES Y VECTORES
UNI-EPIES
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MODELOS LINEALES
Sea f=f(x1, x2,… , xp)
∂f∂x
y
Xpx1=
x1
x2
xp
.
.
= ..
∂f∂x1
∂f∂x2
∂f∂xp
Derivada de una función de variables reales con respecto a un vector ‘x’
Caso I:
UNI-EPIES
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MODELOS LINEALES
Si f(x) = a’x = x’a
∂f∂x
= ..
∂f∂x1
∂f∂x2
∂f∂xp
=
a1
a2
ap
.
.= a
Caso II:
UNI-EPIES
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MODELOS LINEALES
Sea q(x) = x’Ax una forma cuadrática sobre ‘p’ variables aleatorias reales, donde A es una matriz pxp simétrica de constantes. Entonces,
∂q∂x
= 2Ax
Caso III:
UNI-EPIES
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MODELOS LINEALES
=
xxx
xxx
xxx
Xnxp
np2n1n
p22221
p11211
L
MOMM
L
L
Derivada de una función de variables reales con respecto a una matriz ‘X’
∂ f
∂X=
∂ f
∂Xij
UNI-EPIES
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MODELOS LINEALES
Sea f(x) = a’Xb ,
Caso IV:
donde ‘a’ es un vector nx1 y ‘b’ es un vector px1 de constantes y ‘X’ una matriz nxp.
∂ f
∂X= ab’
UNI-EPIES
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MODELOS LINEALES
Sea f(x) = a’Xa ,
Caso V:
donde ‘a’ es un vector px1 de constantes y ‘X’ una matriz pxp simetrica de valores reales.
∂ f
∂X= 2aa’ – D(aa’)
D(aa’) es una matriz diagonal pxp cuyos i-ésimos elementos de la diagonal principal coinciden con los de la matriz aa’
UNI-EPIES
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MODELOS LINEALES
Caso VI:
Dado A y B matrices constantes de ordenes apropiados tales que:
d(AXB)d(X)
= B A’
d(AYB)d(X)
= ( B A’ )d(Y)d(X)
UNI-EPIES
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MODELOS LINEALES
LOS MODELOS LINEALES Y SU CLASIFICACIÓN
MODELOS LINEALES MIXTOS
MODELOS DE RANGO COMPLETO
MODELOS DE RANGO INCOMPLETO
MODELOS EXPERIMENTALES
EFECTOS FIJOS
EFECTOS ALEATORIOS
MODELOS DE REGRESIÓN LINEAL
MODELOS DE REGRESIÓN POLINOMIAL
MODELOS DE CLASIFICACIÓN CRUZADA
MODELO LINEAL GENERAL
MODELO LINEAL CLASICO
UNI-EPIES
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MODELOS LINEALES
EL MODELO LINEAL
E(yij) = µij = µ + αi + βj
yij con distribución normal
yij = µ + αi x1ij+ βj x22ij
yij = µ + αi log x1ij+ βj log x2ij
E(yij) = µij = µ + ai + βj (MLM)
UNI-EPIES
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MODELOS LINEALES
BAJA EXPOSICIÓN AL SOL
ALTA EXPOSICIÓN AL SOL
GRUPO DE EDADES GRUPO DE EDADESGENERO
A B C A B C
MASCULINO
FEMENINO
MATEMÁTICAS I MECANICA CUANTICA
SECCIÓNGENERO
A B C A B C
MASCULINO
FEMENINO
SECCIÓN
Factores, Niveles, Celda, Efectos y Dato
FACTORES
NIVELES
NIVELES
NIVELES
CELDAS (2X3X2)
FACTORESCRUZADOS
FACTORESANIDADOS
(Sección Anidado a
Curso)
UNI-EPIES
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MODELOS LINEALES
Efectos
Fijos MODELOS DE EFECTOS FIJO O MODELOS FIJOS
Aleatorios MODELOS DE EFECTOS ALEATORIOSO MODELOS ALEATORIOS
Principal EFECTO DE UN SOLO FACTOR
Interacción CUANDO HAY MÁS DE UN FACTOR(Siguiente lámina)
UNI-EPIES
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MODELOS LINEALES
INTERACCIÓN
Factor A
Res
pues
ta
1 2 3 4
Bajo nivel del Factor B
Alto nivel del Factor B
SIN INTERACCIÓN
Factor AR
espu
esta
1 2 3 4
Bajo nivel del Factor B
Alto nivel del Factor B
EFECTO DE INTERACCIÓN
UNI-EPIES MODELOS LINEALES
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MATEMÁTICAS I MECANICA CUANTICA
SECCIÓN
GENERO
A B C A B C
MASCULINO
FEMENINO
SECCIÓN
Datos balanceados
12.5 07.8
15.010.1 11.5
09.411.7
12.8
10.109.8
10.1 10.1
11.0
08.1 13.2
12.311.7
12.4
10.1
09.8
10.1 10.1
11.0
08.1 13.2
14.2
12.409.8
√
√
√
√
√
√
√
√√12.0
15.3
UNI-EPIES MODELOS LINEALES
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MATEMÁTICAS I MECANICA CUANTICA
SECCIÓN
GENERO
A B C A B C
MASCULINO
FEMENINO
SECCIÓN
Datos no balanceados
12.5 07.8
15.010.1 11.5
09.411.7
12.8
10.113.3
09.8
13.4
10.2 09.1
15.0
17.0 08.5
09.411.7
10.3
13.311.6
11.2 06.8
15.010.1 15.5
12.408.3
12.8
10.113.3
09.8
√
√
√
√
√
√
√
√14.1 09.1
12.112.2 11.0
10.1