CARACTERISTICAS GEOMETRICAS DE LAS

FIGURAS PLANAS

CARACTERISTICAS GEOMETRICAS DE LAS

FIGURAS PLANAS

MOMENTO ESTATICO• Es el obtenido por el producto de una superficie de área A por la

distancia desde el centroide de esa superficie a un eje.

YdAx

A

y

A

x

xdAS

ydAS

• Es el obtenido por el producto de una superficie de área A por la distancia desde el centroide de esa superficie a un eje.

X

dA

y

x

A

y

A

x

xdAS

ydAS

• Los momentos estáticos del área respecto a los ejes centrales son iguales a cero.

CENTROIDE• El centroide de un área se refiere al punto que define el centro

geométrico del área.

• Para calcular el centroide de una sección compuesta por diferentes áreas geométricas se hace a través del cálculo de momentos respecto al punto de intersección de los ejes de coordenadas

• El centroide de un área se refiere al punto que define el centro geométrico del área.

• Para calcular el centroide de una sección compuesta por diferentes áreas geométricas se hace a través del cálculo de momentos respecto al punto de intersección de los ejes de coordenadas

i

ii

iitotal

i

ii

iitotal

A

yAyyAyA

A

xAxxAxA

..

..

CENTROIDE

Ai(cm2)

Xi(cm)

Yi(cm)

Ai*Xi Ai*Yi

1 30*10 15 25 4500 75002 8*20 15 10 2400 1600Suma 460 6900 9100

cm 78.19cm 00.15

yx

Centroide de sección hueca

• El área hueca se toma como área negativa.

40cm Ai (cm2) Xi Yi Ai*Xi Ai*Yi1 40*60 20 30 48000 72000

2 -p/4*20^2 20 40 -6283.19 -12566.37

60cm 20cm

40cm

2 -p/4*20^2 20 40 -6283.19 -12566.37

2085.84 41716.81 59433.63

cm 49.28cm 00.20

yx

MOMENTO DE INERCIA

• Es una propiedad geométrica sin ninguna representación física. Se le conoce también como momento de segundo orden.

A

y

A

x

dAxI

dAyI

2

2

• Es una propiedad geométrica sin ninguna representación física. Se le conoce también como momento de segundo orden.

A

y

A

x

dAxI

dAyI

2

2

X

YdA

y

x

r

MOMENTO DE INERCIA

• Para las figuras con geometría básica, éstas integrales ya han sido resueltas:

dAdy

A

x dAyI 2

• Para las figuras con geometría básica, éstas integrales ya han sido resueltas:

122*

24.

3..*2

332/

0

32

0

2 bhhbybbdyyIhh

x

dAy

b

dyh

X

A

x dAyI 2

MOMENTO DE INERCIA

• En resistencia de materiales el momento de inercia representa la capacidad de la sección de ofrecer resistencia a la deformación producida por solicitaciones de flexión.

• Cuanto mayor sea el momento de Inercia más rígida será la sección.

• En resistencia de materiales el momento de inercia representa la capacidad de la sección de ofrecer resistencia a la deformación producida por solicitaciones de flexión.

• Cuanto mayor sea el momento de Inercia más rígida será la sección.

PRODUCTO DE INERCIA

A

xy dAyxI ..YdAx

r

• Con respecto a los ejes ortogonales x-y:

• Para secciones con un eje de simetría, el producto de inercia, Ixy = 0

X

yr

MOMENTO POLAR DE INERCIA

yx

A

p IIdAI .2rY

dAx

r

• Con respecto al origen del sistema de coordenadas O:

X

yr

Momentos de inercia con respecto a losejesparalelos - TEOREMA STEINER

• Si se conoce el momento de inercia de un área con respecto a unos ejes, su momento de inercia puede determinarse con respecto a ejes paralelos usando el TEOREMA DE EJES PARALELOS O STEINER

• Si se conoce el momento de inercia de un área con respecto a unos ejes, su momento de inercia puede determinarse con respecto a ejes paralelos usando el TEOREMA DE EJES PARALELOS O STEINER

22

''

2'

2'

.

..

.

.

baAII

baAII

aAII

bAII

xypp

xyyx

yy

xx

X

YdA

y

x

X’

Y’

x’

y’

a

b

Momento de inercia con respecto a un eje paralelo al eje centroidal - TEOREMA STEINER

2' .dAII xx

MOMENTO DE INERCIA DE UNA SECCION COMPUESTA

• Para calcular el momento de inercia de una sección compuesta por varias área geométricas se puede hacer siguiendo la expresión:

A

x dAyI 2

• Para calcular el momento de inercia de una sección compuesta por varias área geométricas se puede hacer siguiendo la expresión:

A

x dAyI 2

• O usando el teorema de ejes paralelos o Steiner

MOMENTO DE INERCIA

cm 78.19cm 00.15

yx

X’

19.78 cm2

' .dAII xx

423

23'

60.31311)1078.19(*20*820*8*12/1

)78.1925(*10*3010*30*12/1

cm

I x-

-

2' .dAII xx

MOMENTO DE INERCIA RESPECTO DE EJES GIRADOS

• Los momentos de inercia respecto a ejes girados son:

xyuv

xyyx

uv

xyyxyx

u

xyyxyx

v

IpIp

CosISenII

I

SenICosIIII

I

SenICosIIII

I

-

--

-

-

222

2222

2222

Y

dAx

u

u

xyuv

xyyx

uv

xyyxyx

u

xyyxyx

v

IpIp

CosISenII

I

SenICosIIII

I

SenICosIIII

I

-

--

-

-

222

2222

2222

Xy

vu v

MOMENTO DE INERCIA RESPECTO A LOS EJES PRINCIPALES

• Los ejes principales de inercia de una figura plana, es decir dos ejes ortogonales, respecto a los cuales es nulo el producto de inercia del figura, ocupan la posición que se determina por la ecuación:

yx

xy

III

tg-

2

2

X

Y

dA

y

x

v

u

u v

• Los ejes principales de inercia de una figura plana, es decir dos ejes ortogonales, respecto a los cuales es nulo el producto de inercia del figura, ocupan la posición que se determina por la ecuación:

MOMENTO DE INERCIA RESPECTO A LOS EJES PRINCIPALES

Yu

22

,minmax, 22 xyyxyx

uv IIIII

III

-

Ixy

Y (Iy, Ixy)

X

dA

y

x

vu v

Ix, Iy

X (Ix, -Ixy)

Iu Iv2

2yx

medII

I

22

2

2 xyyx III

R

-

RIIRII

mediou

mediov

-

RADIO DE GIRO• Representa la distancia en que se concentra toda el área

para que se cumpla:ArI xx

2

AI

r xx