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Capítulo 4: Preprocesador de Vías
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CAPÍTULO 4: PREPROCESADOR DE VÍAS
Capítulo 4: Preprocesador de Vías
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1.- INTRODUCCIÓN:
En el capítulo anterior se hizo una descripción de los diferentes módulos que
integran el programa de simulación de mecanismos objeto del presente proyecto. Uno
de los más importantes, aquí analizado, es el preprocesador de vías, cuya misión
principal es implementar cualquier tipo de trazado férreo, previa introducción de las
características del mismo, para que pueda llevarse a cabo la simulación.
La utilidad de este módulo es que permite llevar a cabo simulaciones en
cualquier tipo de vía, mientras que antes sólo era posible en rectas y curvas. El
preprocesador proporciona en coordenadas globales las características geométricas de
la vía, tales como posición, curvaturas principales y tangentes, en el punto considerado.
Dicho punto viene descrito a través de los parámetros de superficie de cada carril, que
han de ser siempre datos de entrada de este módulo del programa.
Se distinguen tres tipos de tramos: rectas, curvas y transiciones. Cada uno de
ellos pueden poseer o no transiciones verticales, pero ello no afecta significativamente
al funcionamiento del preprocesador, que puede resumirse en:
- Introducción por parte de los usuarios (tanto por pantalla como a través de un
archivo de texto) de los datos que caracterizan cada tramo de la vía en cuestión.
- Generación de una base de datos para crear el modelo analítico de la vía.
- Proporcionar “externamente” la posición del sistema de referencia de la vía y de
los parámetros de superficie (denotados como s1 y s2).
- Calcular posiciones, curvaturas principales y tangentes en el punto deseado de
la superficie del carril.
En el presente capítulo de la memoria, se va a comenzar analizando la línea
central de la vía para pasar posteriormente a un epígrafe dedicado a las expresiones
analíticas para cada tipo de tramo y a otro para la geometría de los carriles. El epígrafe
final estará orientado al estudio de las funciones de MATLAB® que componen este
módulo del programa de simulación, indicando las modificaciones efectuadas.
2.- LÍNEA CENTRAL DE LA VÍA:
Para poder modelar cualquier tipo de vía se requiere conocer previamente las
características geométricas de la línea equidistante de ambos carriles o línea central de
la vía [11]. A partir de ella, es posible generar la superficie de los carriles izquierdo y
derecho y, por consiguiente, determinar la posición de cualquier punto de la superficie
de la vía.
Por tanto, como paso previo a la descripción de la geometría de ruedas y
carriles, es imprescindible conocer las magnitudes geométricas que las definen, cosa
que hace el siguiente apartado del presente epígrafe.
Capítulo 4: Preprocesador de Vías
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2.1- Parámetros de superficie:
La descripción matemática de una superficie se hace mediante una función
vectorial de dos variables que proporciona las tres coordenadas del vector de posición
de cualquier punto en dicha superficie. Tales variables, ya mencionadas en capítulos
anteriores, son los parámetros de superficie [8] [11] [15] y se describen gráficamente a
continuación:
Figura 4.1. Parámetros de superficie de ruedas y carriles
Como se desprende de la figura anterior, los parámetros de superficie pueden
emplearse tanto para la descripción de la superficie de la rueda como para la del carril,
lo que les hace de gran utilidad en la caracterización geométrica de ambos, así como
en el análisis del contacto rueda - carril. De hecho, s1r y s2
r se refieren al carril y s1w y s2
w
a la rueda, siendo el vector de posición de un punto en la superficie de la rueda o en la
del carril (en sus coordenadas locales) expresado como:
),( 21
llllssuu = , (4.0)
donde el superíndice l es genérico y se puede usar para la rueda (l = w) o para el carril
de la vía (l = r). Nótese que la línea central de la vía, que equidista de ambos carriles, se
refiere a la posición de éstos cuando s2r = 0.
2.2- Expresiones de cálculo:
La línea central se modela como una curva paramétrica tridimensional
dependiente del parámetro de superficie s1 (longitud de arco). La discretización de la
vía en tramos se efectúa con el fin de no perder generalidad en el análisis y el sistema
de referencia empleado para describir la línea central puede verse en las figuras 4.2 y
4.3, mostradas en la página siguiente. En la figura 4.2 puede observarse que la
coordenada longitudinal de la vía es la X, mientras que la coordenada Y es la
transversal y la Z es perpendicular al plano de la vía. Por su parte, en la figura 4.3
pueden distinguirse 3 sistemas de referencia diferentes:
- Sistema de referencia global (X, Y, Z): se trata del sistema de referencia absoluto
Capítulo 4: Preprocesador de Vías
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- Sistema de referencia de la vía (XV, YV, ZV): su origen es el inicio de la línea
central, siendo la orientación de sus ejes como la de la figura 4.2
- Sistema de referencia del tramo “i” (Xi, Yi, Zi): tiene su origen ubicado en el
origen de cada tramo y su orientación es igual que la del sistema de referencia
anterior, pero centrada aquí únicamente en un tramo de la vía
Figura 4.2. Sistema de referencia de la línea central de la vía
Figura 4.3. Definición del vector de posición en un punto P de la línea central
Capítulo 4: Preprocesador de Vías
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Por todo esto, la posición del punto P de la línea central visto en la figura 4.3
puede expresarse de la siguiente manera:
RP (s1) = RV + AV · (Ri + Ai · rP (s1)) (4.1)
siendo RP la posición del punto P de la línea central en coordenadas globales, RV la
posición en globales del origen del sistema de referencia de la vía, AV la matriz de giro
de dicho sistema de referencia respecto del global, Ri el origen del sistema de
referencia del tramo “i” (en el que se encuentra el punto P), Ai la matriz de orientación
de dichos ejes con respecto a los de la vía y rP la posición del mencionado punto P en
coordenadas locales (las del sistema de referencia del tramo “i”). Puede observarse que
el único parámetro de superficie que influye es s1, que sólo afecta a rP.
La orientación de un punto en una curva tridimensional se define a través del
triedro ortonormal de Frenet [11], formado por los vectores normal (n), tangente (t) y
binormal (b) a la curva en cada punto. Estos vectores se definen de la siguiente manera:
)(tAr
rA
R
R)(t
P
i
i
P
P
i
P
P
P
1
1
1
1
1
1
11s
s
s
s
s
s ⋅=
∂∂
⋅∂∂⋅=
∂∂
⋅∂
∂= (4.2)
)(nAr
rA
t
t)(n
P
i
i
P
P
i
P
P
P
1
2
1
22
1
2
1
1
1
11s
s
s
s
s
s ⋅=
∂∂
⋅∂
∂⋅=
∂∂
⋅∂∂= (4.3)
)(n)(t)(b PPP
111sss ×= (4.4)
El subíndice “i” se refiere al sistema de referencia del tramo en cuestión, cuya matriz de
giro (Ai) no cambia el módulo de los vectores, que siguen siendo unitarios. Dado que la
matriz AV es conocida, puesto que el usuario del preprocesador impone dónde está el
origen de la vía, sólo se requiere Ai para conocer determinar completamente el vector
de posición del punto genérico P.
3.- TRAMOS DE LA VÍA:
En un trazado ferroviario existen principalmente tres tipos de tramos, los cuales
pueden combinarse de muy diversas maneras para configurar diferentes vías:
- Tramos rectos
- Tramos curvos
- Tramos de transición
Capítulo 4: Preprocesador de Vías
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Además, los tramos de transición pueden dividirse en horizontales y verticales y se
caracterizan de diferente manera en virtud de los tramos que unan. Así, por ejemplo,
entre dos rectas el tramo de transición es una recta; entre 2 curvas iguales es la misma
curva y entre 2 curvas diferentes o una recta y una curva (o entre una curva y una recta)
puede hablarse de una transición “genérica”.
En los apartados siguientes, se aportan las expresiones de los vectores de
posición, tangente y normal, que serán deducidas considerando cambios de pendiente
vertical. Dichas expresiones se dan en coordenadas locales, por lo que para pasar a ejes
globales deben introducirse las pertinentes matrices de giro (Ai y AV).
3.1- Tramos rectos:
Los parámetros de superficie permiten deducir fácilmente la expresión del
vector de posición en coordenadas locales, a partir de la cual se obtienen por
derivación las expresiones de los vectores unitarios tangente y normal. La dirección del
vector normal unitario se toma como la del eje Yi positivo. Además, se expresa el caso
general en el que se produce un cambio de pendiente vertical (θ), teniéndose que:
T
T
L
ss
L
ss
⋅⋅
⋅⋅
=
20
20
2
1
1
2
1
1
θ
θ
Pr (4.5)
T
T
L
s
L
s
⋅
⋅
=1
1
01
01
θ
θP
it (4.6)
=0
1
0
P
in (4.7)
3.2- Tramos curvos:
Se considera así todo aquel tramo que posea curvatura constante (y, por
consiguiente, radio). La orientación de la curva es, por definición, a izquierdas. Para que
fuese la contraria, sólo habría que introducir la curvatura horizontal del tramo con el
signo cambiado. Además, el ángulo de peralte debe tener el mismo signo que la
curvatura, ya que de lo contrario el peralte perjudicaría la inscripción en curva en vez de
favorecerla. Si se denota por Kh a la curvatura horizontal del tramo (Kh = 1 / R), la
parametrización de la curva resulta ser:
Capítulo 4: Preprocesador de Vías
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⋅−
⋅
=
0
)cos(1
)(
1
1
h
h
h
h
K
sK
K
sKsen
Pr (4.8)
⋅⋅
=0
)(
)cos(
1
1
sKsen
sK
h
h
P
it (4.9)
⋅⋅−
=0
)cos(
)(
1
1
sK
sKsen
h
h
P
in (4.10)
La naturaleza de la orientación de un tramo curvo puede verse en la figura 4.4:
Figura 4.4. Orientación de ejes en un tramo de vía curvo
3.3- Transiciones:
Las curvas de transición surgen para evitar cambios bruscos en el trazado al
cambiar de un tipo de tramo a otro, lo que puede producir aumentos o disminuciones
importantes de las fuerzas centrífugas y provocar el descarrilamiento del vehículo
ferroviario. Las clotoides, espirales de Cornú o espirales de Euler [11] son las curvas de
transición horizontal empleadas en este proyecto y tienen la propiedad de que su
curvatura crece monótonamente con el parámetro de superficie que recorre la vía (s1):
L
sR1=
ρ �
L
sR
11 ⋅=ρ
, (4.11)
Capítulo 4: Preprocesador de Vías
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siendo R el radio de curvatura en s1 = L, ρ el valor en un punto genérico de la curva (de
coordenada s1, que es la longitud del tramo recorrida) y L la longitud total de la
transición.
Figura 4.5. Parámetros característicos de la clotoide
En el presente proyecto, se ha efectuado un análisis diferente de los tramos de
transición debido a algunos problemas que éstos presentaban en las simulaciones. La
descripción de los tramos aquí empleada es absolutamente general y utiliza como
parámetro que recorre el tramo al ángulo α (mostrado en la figura 4.5). La derivada de
dicho parámetro con respecto a s1 representa la curvatura del tramo, de donde se
puede obtener una expresión para α y el vector de posición en locales. Si la curvatura
evoluciona linealmente en el tramo (según la ecuación de la clotoide) se tiene que:
11
1
121
111
)(
1
ds
d
RL
s
RRs
αρ
=+⋅
−= (4.12)
1
1
2
1
12
1
2
11)(
R
s
L
s
RRs +
⋅⋅
−=α (4.13)
⋅
⋅
= ∫∫
0
)(
)cos(
1
1
dssen
ds
αα
Pr (4.14)
Las integrales que representan las componentes en las direcciones X e Y del
vector de posición se implementan numéricamente mediante un desarrollo en serie
(que con 5 términos dan una aproximación buena). Derivando sucesivamente respecto
de s1 se obtienen los vectores tangente y normal:
=0
)(
)cos(
αα
senPt (4.15)
Capítulo 4: Preprocesador de Vías
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−=
0
)cos(
)(
ααsen
Pn (4.16)
En cuanto al peralte de la vía, se tienen como datos de entrada los valores al
inicio y al final del tramo de transición (esto es, los valores de los peraltes del tramo
anterior y del tramo siguiente al de transición) y se ha decidido que la evolución de un
valor a otro sea lineal:
( ) iifL
sFI ϕϕϕ +⋅−= 1
(4.17)
Nota: las ecuaciones mostradas para este tipo de tramo no incluyen la posibilidad de
un cambio de pendiente vertical (θ) porque en la práctica de este proyecto θ = 0. En
caso contrario, bastaría con añadir a la coordenada Z lo mismo que en las expresiones
correspondientes a los otros tramos estudiados
3.4- Transiciones verticales:
Se trata de las más sencillas de implementar, pues en ellas sólo se ve afectada la
coordenada Z del vector de posición en locales. Se supone que la evolución de la
pendiente en el tramo es lineal, por lo que se tiene:
V
TE
e
K
ssii
−+= 1
, (4.18)
siendo i la nueva pendiente, ie es la pendiente al inicio de la transición (ambas
pendientes en tanto por uno), s1 es la longitud de arco sobre la curva, sTE es el valor del
parámetro al inicio de la transición y KV es la curvatura vertical y viene dada por:
θL
KV
= , (4.19)
donde L es la longitud de la transición y θ es el incremento total de pendiente en la
transición en tanto por uno.
Se deduce que la variación de la cota en función de s1 es una parábola de eje
vertical, cuyo círculo osculador en el vértice tiene radio KV. En todo punto dentro del
acuerdo vertical se demuestra que la diferencia de cota respecto de la rasante que pasa
por la tangente de entrada con inclinación ie vale:
( )
V
TE
e
K
ssz
⋅−=∆2
2
1 (4.20)
Por lo tanto, para incluir una transición vertical en cualquier tipo de tramo basta
con sumarle este término a la coordenada Z del vector de posición en locales. En
cuanto al vector tangente, se procede análogamente pero añadiendo la derivada de la
expresión (4.20) anterior.
Capítulo 4: Preprocesador de Vías
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Figura 4.6. Parámetros de una transición vertical
La función transicion.m viene incluida en el anexo de la memoria electrónica y
en ella se detallan todas las expresiones necesarias a efectos de cálculo
4.- GEOMETRÍA DE LOS CARRILES:
Una vez caracterizada la línea central de la vía para cualquier tramo de ésta,
puede abordarse la obtención de las características geométricas de cualquier punto
situado en la cabeza de cualquiera de los carriles del trazado ferroviario.
4.1- Vector de posición:
La determinación de la posición de un punto en la cabeza del carril requiere
conocer su equivalente en la línea media, lo que viene dado por la expresión (4.1).
Además de esto, se necesita conocer la función que determina el perfil de la cabeza del
carril, que es función del segundo parámetro de superficie (f (s2)), por lo que una vez
conocido éste la sección transversal del carril queda definida.
En la figura 4.7 se observa con detalle el perfil de la cabeza del carril, mientras
que la obtención del vector de posición de un punto en la cabeza del carril izquierdo (o
derecho) de la vía queda ilustrada en la figura 4.8.
La posición de un punto sobre la cabeza del carril izquierdo (RRI) viene dada por
la expresión siguiente:
⋅+
⋅+⋅+⋅+=)(
0
0
0
2
211
sf
sLss f
βIrPiiVVRIA)(A)(rARARR (4.21)
Para el carril derecho, se tiene que:
Capítulo 4: Preprocesador de Vías
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⋅+
−⋅+⋅+⋅+= −
)(
0
0
0
2
211
sf
sLss f
βDrPiiVVRDA)(A)(rARARR (4.22)
La figura 4.8 explica las ecuaciones (4.21) y (4.22).
Figura 4.7. Perfil de la cabeza del carril
Figura 4.8. Esquema de la posición de un punto R sobre la cabeza del carril
Ha de comentarse que Lf es el semiancho de la vía, mientras que AIr y ADr son
dos matrices de orientación cuyas expresiones se muestran a continuación:
Capítulo 4: Preprocesador de Vías
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[ ]
−⋅⋅=⋅⋅=
)cos()(0
)()cos(0
001
11111
ϕϕϕϕϕ
sen
sensssss )b()n()t(AA)(AA)(AisiIr (4.23)
[ ]
−⋅⋅=⋅⋅=
)cos()(0
)()cos(0
001
11111
ϕϕϕϕϕ
sen
sensssss )b()n()t(AA)(AA)(AisiDr (4.24)
φ es el ángulo de peralte del tramo en cuestión y β se refiere al ángulo de inclinación
de los carriles, lo que puede explicarse con la figura 4.9. Además, las matrices Aβ y A-β
vienen dadas por:
−=
)cos()(0
)()cos(0
001
ββββ
sen
senβ
A y
−−−−−=−
)cos()(0
)()cos(0
001
ββββ
sen
senβ
A (4.25)
Figura 4.9. Sección transversal de la vía
4.2- Vectores tangentes:
Cuando se habla en general de “vectores tangentes”, se hace referencia tanto a
las tangentes longitudinales como a la tangente transversal a cualquier punto de la
superficie de los carriles. Dichos vectores se emplean en el cálculo del punto de
contacto y de las fuerzas de creep, por lo que cabe remarcar la utilidad de las
expresiones que se adjuntan debajo:
1
21
21
,
,
s
ss
ss
∂∂
=)(R
)(tRI
LI �
⋅⋅+
⋅
∂∂⋅+⋅
∂∂
⋅+∂
∂⋅⋅=
)(
0
0
0
,
2
2
1
1
1
1
1
1
21
sf
sLs
ss
s
s
sss f
βis
s
i
P
iVLIAA
A)(AA
)(AA
)(rAA)(t
ϕϕ
(4.26)
Capítulo 4: Preprocesador de Vías
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⋅⋅+
−⋅
∂∂⋅+⋅
∂∂
⋅+∂
∂⋅⋅= −
)(
0
0
0
,
2
2
1
1
1
1
1
1
21
sf
sLs
ss
s
s
sss f
βis
s
i
P
iVLDAA
A)(AA
)(AA
)(rAA)(t
ϕϕ (4.27)
∂∂
⋅⋅=∂
∂= −
2
2
1
2
21
21
)(1
0,
,
s
sfs
s
ssss β/βDr/Ir
R
TA)(A
)(R)(t (4.28)
Las expresiones (4.26) y (4.27) se refieren a las tangentes longitudinales izquierda y
derecha, respectivamente. Por su parte, la expresión (4.28) es la de la tangente
transversal de la vía objeto de análisis.
5.- CÁLCULOS EN MATLAB®:
En este epígrafe se va a indicar la función de cada uno de los subprogramas que
componen el preprocesador de vías, explicando en los casos más relevantes algunos
aspectos de su funcionamiento interno. Los archivos correspondientes a este módulo
del programa de simulación están en la carpeta Programa / Vehículos Ferroviarios /
Preprocesador Vías y son los citados a continuación:
- PrepVias.m: es la función principal del módulo y se encarga de crear una base
de datos con las características definitorias de la vía e implementarla, llamando
para ello al resto de subprogramas del preprocesador
- GeomLC.m: halla el vector de posición y la tangente longitudinal del punto de
la línea central de la vía que se le prescriba externamente
- LeftRail.m y RightRail.m: su misión es hallar el vector de posición y las
tangentes longitudinal y transversal en cada punto de la cabeza del carril que se
le indique (en cualquier punto de la longitud de la vía y en cualquier tramo de
ésta). Son funciones análogas a la del punto anterior, pero para los carriles
- CurvatLC.m: calcula las derivadas segundas y terceras del vector de posición en
la línea central de la vía con respecto al parámetro s1
- curvature_LR y curvature_RR: para cualquier punto de la superficie de los
carriles indicado, obtienen curvatura y derivadas segundas del vector posición
- f_LR, f_RR, df_LR, df_RR, ddf_LR y ddf_RR: implementan en ambos carriles el
perfil de la cabeza de los mismos y sus derivadas 1ª y 2ª, respectivamente
- transicion.m: esta función, que ha sido modificada con respecto a la original,
tiene como objetivo el cálculo del peralte, el vector de posición en locales (y sus
Capítulo 4: Preprocesador de Vías
44
derivadas 1ª, 2ª y 3ª), los vectores tangente y normal y las derivadas 1ª y 2ª de
la matriz de orientación Ai para este tipo de tramos
Todos los cálculos llevados a cabo por las funciones mencionadas en la lista
anterior se basan en las expresiones mostradas en el presente capítulo de la memoria
(y en otras que no han sido mostradas). Además de esto, la sistematización de los
cálculos numéricos implica el empleo de otras funciones que generan la superficie de
las ruedas en función del vehículo ferroviario que se simule y especifiquen la sucesión
de tramos que configuran la vía presente en la simulación.
En el caso que se estudia en este proyecto, el perfil de las ruedas está contenido
en la función de MATLAB® Profiles_ManV1_ADAMS.m y sus archivos de texto
adjuntos, que contienen las coordenadas de los puntos que han de ser interpolados
mediante splines para la generación de dichos perfiles. Por su parte, el archivo de texto
TramosVia.txt, incluido en la misma carpeta que contiene a ManV1.m, muestra la
sucesión de tramos que posee la vía. Los datos del mismo han de ser introducidos en el
siguiente orden:
- tipo de tramo (1 es recta, 3 es curva y 2 es transición)
- longitud del tramo (L), en metros
- curvatura horizontal (Kh) en el plano XY, en m-1
- cambio de pendiente vertical del tramo (θ), en tanto por uno
- peralte del tramo de la vía (φ), en radianes
La curvatura horizontal se calcula únicamente en tramos curvos (como la inversa del
radio de curvatura), no es preciso indicarla en transiciones y vale 0 en rectas. El ángulo
de peralte sólo se indica como no nulo en curvas. Con estos datos se puede generar
una curva tridimensional que represente la línea central de la vía y, a partir de ella, crear
los carriles izquierdo y derecho.
El contenido del fichero TramosVia.txt utilizado en el presente proyecto es el
mostrado en la tabla siguiente:
Tipo de tramo Longitud Curvatura horizontal Pendiente vertical Peralte
1 50 0 0 0
2 30 0 0 0
3 60 0.006667 0 0.0697
2 30 0 0 0
1 55 0 0 0
Los datos de entrada y la estructura interna de los programas más relevantes de
este módulo serán incluidos en el anexo de la memoria electrónica del proyecto.