Bloque IIICapa límite

Lección 16Introducción a la

capa límite

Contexto

Bloque III

Capa límite

Bloque IIFlujo ideal

Bloque IIICapa límite

Bloque IVFlujo compresible

Bloque VFlujo turbulento

Bloque IFlujo viscoso

Contenido

• Revisión histórica

• Ejemplos (visualización de flujo)

• Fluido real/ideal

• Analogías transportes moleculares

• Objetivos siguientes lecciones

Bibliografía recomendada

Introducción a la capa límite (I)

Siglo XIX

Hidráulica

Cálculosexperimentales

Hidrodinámica

Soluciones analíticas

F. inerciadespreciables

F. viscosasdespreciables

EcuacionesNavier-Stokes

Muy difíciles de resolver

Finales del s. XIX

Introducción a la capa límite (II)

Contradicción

El agua y el aire tienen viscosidad pequeña

SIN EMBARGO ¡¡la ecuación de Euler falla!!

Introducción a la capa límite (III)

Solución

1904. Ludwig PrandtlIngeniero Alemán3er Congreso Matemático. Heidelberg

“Movimiento de los fluidos con poca fricción”

Introducción a la capa límite (IV)

Definición

Capa límite viscosa: es la zona del flujo donde la viscosidad no se puede despreciar (aunque sea pequeña) debido a la existencia de elevados gradientes de velocidad.

También existen: CL térmica y CL másica

V IF F

Introducción a la capa límite (V)

Placaplana

Trazas departículas:proporcionalesa su velocidad

Introducción a la capa límite (VI)

CuerpoesbeltoÁngulo de ataquepequeño

Ángulo de ataquegrande

Introducción a la capa límite (VII)

Cuerporomo

Estela

Introducción a la capa límite (VIII)

Mecanismos de las capas límite

Fuerzas viscosas

Transporte molecularde cantidad de movimiento

Fluido no deslizasobre una pared

Flujo de calorpor conducción

Transporte molecularde energía

Temperatura fluidoigual temperatura pared

Flujo de especiespor difusión

Transporte molecularde masa

Fracción másica especieigual fracc. más. pared

Introducción a la capa límite (IX)

Fluidos ideales(coef. transp. nulos)

Transporte molecularde cantidad de movimiento

Fluido puede deslizarsobre una pared

Transporte molecularde energía

Temperatura fluidoindependiente

temperatura pared

Transporte molecularde masa

Fracción másica especieindependiente

fracc. más. pared

Introducción a la capa límite (XI)

Fluidos ideales (coef. transp. nulos)

Despreciar las fuerzas viscosasParadoja de D’Alembert

0x yF F

Motivos

• Distribución de velocidades y presiones simétricas

• No se incluyen fuerzas viscosas

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

-6 -4 -2 0 2 4 6

Introducción a la capa límite (XII)

Fluidos reales (p.ej. viscosidad no nula)

Se rompe simetría de velocidady presión

Las fuerzas viscosas no son simétricas

Incluimos las fuerzas viscosas

V1

V2

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

Frame 001 02 Jul 2004

U

Presiones no simétr.sobre esfera Re<<1en corriente uniforme

0yF

0xF

Introducción a la capa límite (XIII)

Definición de las tres CL

Transporte molecularde cantidad de movimiento

no se puede despreciary es del orden de

Convección decantidad de movimiento

Viscosa

Transporte molecularde energía

Convecciónde energía

no se puede despreciary es del orden de

Térmica

no se puede despreciary es del orden de

Transporte molecularde masa

Convecciónde masa

Másica

Introducción a la capa límite (XIV)

Analogías tres transportes moleculares

Térmica

y

T(y)

eT

ideal

T

pT

Másica

y

Y(y)

eY

ideal

Y

pY

Viscosa

y

u(y)

eU

ideal

0U

Lección 17Conducción de calor

no estacionaria

Contexto

Bloque III

Capa límite

Bloque IIFlujo ideal

Bloque IIICapa límite

Bloque IVFlujo compresible

Bloque VFlujo turbulento

Bloque IFlujo viscoso

Contenido

• Ecuaciones, órd. magn.

• Solución de semejanza

• Relación conducción/convección

• Números adimensionales

Bibliografía recomendada

Conducción calor no estacionaria (I)

y

eT

pT

t=0

Conducción calor no estacionaria (II)

T=Tp T=Te

Pared

eje y

0t

Conducción calor no estacionaria (II)

t

T=Tp T=Te

Pared

eje y

Conducción calor no estacionaria (III)

AireTe=300 K =2.2e-5 m2/s T=100 K

Cp=1005 m2/(s2 K) =1.225 kg/m3

Tiempo(s)

T(mm)

T/ T(1 s)qCp

(W/m2)qCp/ qCp(1 s)

1 4.7 1 -326.5 1

60 36.4 7.7 -42 0.13

Conducción calor no estacionaria (IV)

eT

pTPared fría

Partícula fluidacaliente

Cpq Cpq Cpq

p eT T

Cpq

Conducción calor no estacionaria (V)

Prandtl Pr

transp. molec. cantidad mvto.

transp. molec. energia

Lewis Le D

transp. molec. energia

transp. molec. masa

Schmidt Sc D

transp. molec. cantidad mvto.

transp. molec. masa

Stanton térmico

StaT ( )c

e p e p

q

U c T T

conduccion

conveccion

Stanton másico

StaY ( )

Y

e e p

f

U Y Y

difusion

conveccion

Números adimensionales

Conducción calor no estacionaria (VI)

Nusselt Nux cqT

kx

Flujo de calor por conducción

adimensionalizado

Coeficiente de fricción

Cf

2

12

p

eU

Flujo de cantidad de movimiento respecto a

presión dinámica

Sherwood Shx f Y

YD

x

Flujo másico por difusión

adimensionalizado

Peclet térmico PeTx eU x

conveccion

conduccion

Peclet másico PeYx eU x

D

conveccion

difusion

Reynolds Re eU x

conveccion

Fuerzas viscosas

Núm

eros

adi

men

sion

ales

Lección 18Ecuaciones de

capa límite viscosa, térmica y másica

Contexto

Bloque III

Capa límite

Bloque IIFlujo ideal

Bloque IIICapa límite

Bloque IVFlujo compresible

Bloque VFlujo turbulento

Bloque IFlujo viscoso

Contenido

• Ecuaciones, hipót. y órd. magn.

• Simplificaciones

• Ecuaciones de las capas límite

• Condiciones de contorno

• Ejemplo

Bibliografía recomendada

Ecuaciones de capa límite (I)

2 2

2 2

1u u P u uu v

x y x x y

0u v

x y

2 2

2 2

1v v P v vu v

x y y x y

U V

L

2

2 2 xPU U U U

VL L L

2

2 2 yPV V V V

UL L

y

u(x,y)

eU

x

L

Ec. continuidad

Ec. cantidadde movimiento

Ecuaciones de capa límite (II)

2 2

2 2

T T T Tu v

x y x y

2 2

T T

T T T TU V

L L

y

T(x,y)

eT

Tx

L

2 2

2 2

Y Y Y Yu v D D

x y x y

2 2

Y Y

Y Y Y YU V D D

L L

y

Y(x,y)

eY

Yx

L

Temperatura

Especie quím.

Ecuaciones de capa límite (II)

2 2

2 2

T T T Tu v

x y x y

2 2

T T

T T T TU V

L L

2 2

2 2

Y Y Y Yu v D D

x y x y

2 2

Y Y

Y Y Y YU V D D

L L

2 2

2 2

1u u P u uu v

x y x x y

2 2

2 2

1v v P v vu v

x y y x y

2

2 2 xPU U U U

VL L L

2

2 2 yPV V V V

UL L

0u v

x y

U V

L

Ecuaciones de capa límite (III)

2

2

T T Tu v

x y y

2

2

Y Y Yu v D

x y y

2

2

1u u P uu v

x y x y

0u v

x y

Capa límiteviscosa

Capa límitetérmica

Capa límitemásica

0P

y

Ecuaciones de capa límite (IV)

Líquidos GasesMetaleslíquidos

Pr>>1Sc>>1

Pr ~ 1 Pr<<1

>> T

>> Y

~ T << T

aguaaceite

AirePr = 0.7

Plomo (450 ºC)

Pr = 0.014

1/ 2PrT

1/ 2

Y

Sc

T

Y

Lección 19Analogías. Solución de Blasius para CL viscosa

Contexto

Bloque III

Capa límite

Bloque IIFlujo ideal

Bloque IIICapa límite

Bloque IVFlujo compresible

Bloque VFlujo turbulento

Bloque IFlujo viscoso

Contenido

• Analogías

• Hipótesis y adimensionalización de ecuaciones.

• Solución de semejanza capa límite viscosa (Blasius)

• Función de corriente.

• Método de disparo.

• Coef. de fricción, espesor CL, fuerza viscosa

Bibliografía recomendada

2

2

T T Tu v

x y y

Analogías de capa límite (I)

2

2

Y Y Yu v D

x y y

2

2

1u u P uu v

x y x y

Analogías de capa límite (II)

2

2e e

v

x U y U y

U U U

U

2

2e e

v

x U y U y

U

Q Q Q

2

2e e

v

x U y U y

Y Y Y

U

0 =0

/ 1

y

y

U

U

0 =0

/ 1

y

y

Q

Q

0 =0

/ 1

y

y

Y

Y

Solución semejanza CL viscosa (I)

2

2

u u uu v

x y y

0u v

x y

0 =0

/ e

y u v

y u U

u

y

u(x,y)

eU

x

1/ 21/ 2( ) Re /x ex x x U

Solución semejanza CL viscosa (II)

Método de disparo (shooting)

(1) Elegir ángulo alfa(pendiente)

(3) ¿Objetivo alcanzado?(2) Avanzar la solución

No

Solución semejanza CL viscosa (III)

Método de disparo (shooting)

''' '' 0f f f Ecuación original:

(1) Defino nuevas funciones:

'

' ''

g f

h g f

(2) Calculo las derivadas:

'

'

'

f g

g h

h f h

(3) Elijo un valor para h (=f ’’)

(4) Avanzo las soluciones:

( ) '

( ) '

( ) '

f d f d

g d g d

h d h d

(5) Si en = no obtengo la CC,volver al paso 3

Solución semejanza CL viscosa (IV)

eta f f' f''0,0000 0,0000 0,0000 0,4580

0,0400 0,0000 0,0183 0,4580

0,0800 0,0007 0,0366 0,4580

0,1200 0,0022 0,0550 0,4580

0,1600 0,0044 0,0733 0,4579

0,2000 0,0073 0,0916 0,4579

0,2400 0,0110 0,1099 0,4577

0,2800 0,0154 0,1282 0,4575

0,3200 0,0205 0,1465 0,4572

0,3600 0,0264 0,1648 0,4569

0,4000 0,0330 0,1831 0,4564

0,4400 0,0403 0,2013 0,4558

0,4800 0,0483 0,2196 0,4551

0,5200 0,0571 0,2378 0,4542

0,5600 0,0666 0,2559 0,4531

0,6000 0,0769 0,2741 0,4519

0,6400 0,0878 0,2921 0,4505

0,6800 0,0995 0,3102 0,4490

··· ··· ··· ···

eta f f' f''

··· ··· ··· ···

3,3200 2,0727 0,9877 0,0372

3,3600 2,1122 0,9891 0,0341

3,4000 2,1517 0,9905 0,0312

3,4400 2,1914 0,9918 0,0286

3,4800 2,2310 0,9929 0,0261

3,5200 2,2708 0,9939 0,0237

3,5600 2,3105 0,9949 0,0216

3,6000 2,3503 0,9958 0,0196

3,6400 2,3901 0,9965 0,0177

3,6800 2,4300 0,9973 0,0160

3,7200 2,4699 0,9979 0,0145

3,7600 2,5098 0,9985 0,0131

3,8000 2,5497 0,9990 0,0117

3,8400 2,5897 0,9995 0,0105

3,8800 2,6297 0,9999 0,0095

3,9200 2,6697 1,0003 0,0085

3,9600 2,7097 1,0006 0,0076

4,0000 2,7497 1,0009 0,0067

Solución numéricaecuación BlasiusMétodo de “shooting”

Variando f ‘’(0)

hemos conseguidocumplir la CC f ’()=1

Solución semejanza CL viscosa (V)

Perfiles develocidadobtenidosec. Blasius

Anchura capa límite

Placaplana

Solución semejanza CL viscosa (VI)

Solución deBlasius

Comparaciónconexperimentos

Solución semejanza CL viscosa (VI)

Solución semejanza CL viscosa (IV)

eta f f' f''0,0000 0,0000 0,0000 0,4580

0,0400 0,0000 0,0183 0,4580

0,0800 0,0007 0,0366 0,4580

0,1200 0,0022 0,0550 0,4580

0,1600 0,0044 0,0733 0,4579

0,2000 0,0073 0,0916 0,4579

0,2400 0,0110 0,1099 0,4577

0,2800 0,0154 0,1282 0,4575

0,3200 0,0205 0,1465 0,4572

0,3600 0,0264 0,1648 0,4569

0,4000 0,0330 0,1831 0,4564

0,4400 0,0403 0,2013 0,4558

0,4800 0,0483 0,2196 0,4551

0,5200 0,0571 0,2378 0,4542

0,5600 0,0666 0,2559 0,4531

0,6000 0,0769 0,2741 0,4519

0,6400 0,0878 0,2921 0,4505

0,6800 0,0995 0,3102 0,4490

··· ··· ··· ···

eta f f' f''

··· ··· ··· ···

3,3200 2,0727 0,9877 0,0372

3,3600 2,1122 0,9891 0,0341

3,4000 2,1517 0,9905 0,0312

3,4400 2,1914 0,9918 0,0286

3,4800 2,2310 0,9929 0,0261

3,5200 2,2708 0,9939 0,0237

3,5600 2,3105 0,9949 0,0216

3,6000 2,3503 0,9958 0,0196

3,6400 2,3901 0,9965 0,0177

3,6800 2,4300 0,9973 0,0160

3,7200 2,4699 0,9979 0,0145

3,7600 2,5098 0,9985 0,0131

3,8000 2,5497 0,9990 0,0117

3,8400 2,5897 0,9995 0,0105

3,8800 2,6297 0,9999 0,0095

3,9200 2,6697 1,0003 0,0085

3,9600 2,7097 1,0006 0,0076

4,0000 2,7497 1,0009 0,0067

Solución numéricaecuación BlasiusMétodo de “shooting”

Podemoscalcular

Solución semejanza CL viscosa (VI)

y

x

L

bdx

' ( )p x

Lección 20Soluciones de

semejanza de las CL térmica y másica

Contexto

Bloque III

Capa límite

Bloque IIFlujo ideal

Bloque IIICapa límite

Bloque IVFlujo compresible

Bloque VFlujo turbulento

Bloque IFlujo viscoso

Contenido

• Solución de semejanza capa límite térmica (Pohlhausen)

• Variable de semejanza

• Flujo de calor por conducción a la pared

• Número de Nusselt, Stanton térmico

• Solución de semejanza capa límite másica

Bibliografía recomendada

Solución semejanza CL térmica (I)

2

2

T T Tu v

x y y

0

/

p

e

y T T

y T T

( , ) '( )

( , ) / 2 ( ) '( )

e

e

u x y U f

v x y U x f f

Solución semejanza CL térmica (II)

''

0

''

0

Pr ( ') '

0

Pr ( ') '

0

''( )

''

e

e

f d

f d

d

d

Solución semejanza CL térmica (III)

Solución semejanza CL térmica (III)

1

0

0 4

Solución semejanza CL térmica (IV)

y

x

L

bdx( )Cpq x

Lección 21Ecuación integral CL

viscosa: ec. von Karman

Contexto

Bloque III

Capa límite

Bloque IIFlujo ideal

Bloque IIICapa límite

Bloque IVFlujo compresible

Bloque VFlujo turbulento

Bloque IFlujo viscoso

Contenido

• Ec. continuidad integral

• Ec. cantidad movimiento integral

• Ec. von Karman

• Espesores de desplaz. y CM.

• Integración ec. von Karman (polinomios)

Bibliografía recomendada

Ecuaciones integrales (I)

e

dU b dx

dx

0

ubdy

0 0

dubdy ubdy dx

dx

0 0 0

0e

d dubdy U b dx ubdy ubdy dx

dx dx

z. ext

CL

dx

( )

0

0x

e

d dU udy

dx dx

Ec. de continuidadintegral

BALANCE DE MASA

Ecuaciones integrales (II)

2e

dU b dx

dx

2

0

u bdy

2 2

0 0

du bdy u bdy dx

dx

z. ext

CL

dx

BALANCE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO

(1) Flujos de cantidad de movimiento

Ecuaciones integrales (III)

p b

A B C

presion media A-C

1

2

dp dp p dx dx b

dx dx

dp b p b dx

dx

BALANCE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO

(2) Fuerzas de presión y viscosas

dx

'pbdx

Ecuaciones integrales (IV) BALANCE DE CANTIDAD DE MOVIMIENTO

Ecuación

2 2 2 2

0 0 0

'

presion media A-C

1

2

e

p

d du bdy U b dx u bdy u bdy dx

dx dx

dp d dp b p p dx dx b p b p b dx bdx

dx dx dx

A B C

dx

Ecuaciones integrales (V)

y

x

L

bdx

' ( )p x

Ecuaciones integrales (VI)

0,0000

0,1000

0,2000

0,3000

0,4000

0,5000

0,6000

0,7000

0,8000

0,9000

1,0000

0,0000 0,2000 0,4000 0,6000 0,8000 1,0000u/Ue

eta

N=1

Exacta (Blasius)

Ecuaciones integrales (VII)

0,0000

0,1000

0,2000

0,3000

0,4000

0,5000

0,6000

0,7000

0,8000

0,9000

1,0000

0,0000 0,2000 0,4000 0,6000 0,8000 1,0000u/Ue

eta

N=1

N=2

N=3

N=4

Exacta (Blasius)

Ecuaciones integrales (VIII)

N=1 err. 13%

N=2 err. 10%

N=3 err. 3%

N=4 err. 10%

Blasius

/ eu U 1/ 20.577 Ref xC

2/ 2eu U 1/ 20.73Ref xC

33 1/

2 2eu U 1/ 20.644Ref xC

3 4/ 2 2eu U 1/ 20.685Ref xC

/ ( )eu U f 1/ 20.664Ref xC

Lección 22Ec. integrales de las CL

térmica y másica

Contexto

Bloque III

Capa límite

Bloque IIFlujo ideal

Bloque IIICapa límite

Bloque IVFlujo compresible

Bloque VFlujo turbulento

Bloque IFlujo viscoso

Contenido

• Conservación de la energía en forma integral

• Espesor de energía (y relación StaT)

• Integración ec. energía polinómicos

• Número de Nusselt

• Ec. integral CL másica

Bibliografía recomendada

Ec. integral CL térmica (I)

0

T

puC Tbdy

0

0

T

T

p

p

uC Tbdy

duC Tbdy dx

dx

CLT

dx

CLV

J/kg

0

T

m

p e

m

dubdy dx C T

dx

( )cpq x bdx

Ec. integral CL térmica (II)

0 0

0 0

+

( )

T T

T T

p p e

p p cp

duC Tbdy ubdy dx C T

dx

duC Tbdy uC Tbdy dx q x bdx

dx

CLT

dx

CLV

CLT

dx

CLV

Ec. integral CL térmica (III)

y

x

L

bdx( )Cpq x

Ec. integral CL térmica (III)

Pr 0.7 1 10 100 1000

f(Pr) 0.881 1.000 2.193 4.734 10.20

r-1(Pr) 0.878 1.000 2.226 4.831 10.43

Solución “exacta” Pohlhausen:

Solución ec. integral (N=4):1/ 2 10.342Rex xNu r

1/ 20.332Re (Pr)x xNu f

Lección 23Desprendimiento de la

capa límite viscosa.Solución Pohlhausen

dp/dx no nulo

Contexto

Bloque III

Capa límite

Bloque IIFlujo ideal

Bloque IIICapa límite

Bloque IVFlujo compresible

Bloque VFlujo turbulento

Bloque IFlujo viscoso

Contenido

• Gradientes adv./favor. presión

• Desprendimiento de la CL

• Estela

• Consecuencias desprendimiento

• Punto de inflexión

• Diferencias laminar/turbulentoDesp

ren

dim

ien

to d

e la C

L

Contenido

• Perfil polinómico velocidad

• Factor de forma

• Espesores y esfuerzo pared

Solu

ción

Poh

lhau

sen

d

p/d

x n

o n

ulo

Bibliografía recomendada

Desprendimiento CL viscosa (I)

2

2

1u u P uu v

x y x y

0u v

x y

Desprendimiento CL viscosa (I)

0edU

dx 0

dp

dx

DIFUSOR

gradiente adverso

0edU

dx 0

dp

dx

CONTRACCIÓN

gradiente favorable

Desprendimiento CL viscosa (I)

0dp

dx0

dp

dx

Ue

Desprendimiento CL viscosa (I)

Desprendimiento CL viscosa (I)

Desprendimiento CL viscosa (I) Sin desprendimiento de CL

Cuerpoesbelto

Desprendimiento CL viscosa (I)

Desprendimiento de CLCuerpopocoesbelto

Desprendimiento CL viscosa (I)

Desprendimiento de CLCuerpoesbeltoáng. ataq.

Desprendimiento CL viscosa (I)

Desprendimientode vórtices y transporteaguas abajo

Desprendimiento CL viscosa (I)

Gradientefavorablede presión

Gradienteadversode presión

Desprendimiento CL viscosa (I)

Pelotade golf

Lección 24Capa límite turbulenta

Contexto

Bloque III

Capa límite

Bloque IIFlujo ideal

Bloque IIICapa límite

Bloque IVFlujo compresible

Bloque VFlujo turbulento

Bloque IFlujo viscoso

Contenido

• Transición CL laminar a turbulenta

• Tipos de torbellinos

• Ecuaciones promediadas

• Esfuerzos de Reynolds

• Flujos turbulentos de calor y masa

• Viscosidad turbulenta

• Regiones CL turbulenta

• Perfiles velocidad, temperatura y concentración

Bibliografía recomendada

Capa límite turbulenta (I)

y

x 5Re 10 5Re 5 10

Laminar

TransiciónTurbulenta

Capa límite turbulenta (II)

t

u

uu’

'u u u

Capa límite turbulenta (III)

' '1 1 ji ii j

i i j i

uDu upu u

Dt x x x x

Capa límite turbulenta (IV)

u

log( )y

Capa límite turbulenta (V)

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 20 40 60 80 100

t(x,1)t(x,5)

t(x,10)t(x,20)

T

y

Capa límite turbulenta (VI)

1/5 2/3

4 /5 1/3

0.0296Re Pr

0.0296Re Pr

T x x

x x

Sta

Nu

1/5 2/3

4 /5 1/3

0.0296Re Sc

0.0296Re Sc

Y x x

x x

Sta

Sh

Capa límitetérmica turbulenta

Capa límitemásica turbulenta

Capa límite turbulenta (VII)

y

x 5Re 10 5Re 5 10

Laminar

TransiciónTurbulenta

XTR

L