Post on 29-Jun-2015
description
Caos en sistemas económicos
Jaime Montes Norniella
Profesor Titular
Universidad de Salamanca
Precios del algodón
Análisis clásico
Fluctuaciones erráticas alrededor de una curva que varía suavemente
El análisis clásico de fluctuaciones falla
Nuevos métodos
CAOS Teoría de sistemas Explicativo No predictivo (tiempo) Edward Lorenz
FRACTALES Geometría Descriptivo No predictivo (detalle) Benoit Mandelbrot
Unificación metodológica: ATRACTORES EXTRAÑOS
Definición de caos
Evolución acotada
Comportamiento de un sistema determinista cuyas variables sufren una evolución temporal con las siguientes propiedades:
Comportamiento irregular
Efecto mariposa
Evolución acotada
2 4 6 8 10
-10
10
20
30
Comportamiento irregular
Efecto mariposa
Dos condiciones iniciales muy próximas producen evoluciones temporales que rápidamente divergen entre sí.
La predicción a medio y largo plazo es imposible Ocurre en sistemas mecánicos, meteorológicos,
biológicos, económicos, etc.
El atractor de Lorenz
Ecuaciones del sistema Curvas unidimensionales Efecto mariposa Diagrama de Lorenz
Ecuaciones de Lorenz
Sistema diferencial Dimensión 3 No lineal
€
dx
dt= a(y− x)
dy
dt= rx − y− xz
dz
dt= −bz+ xy
Curvas unidimensionales
2 4 6 8 10 12 14
-10
10
20
30
Efecto mariposa
5 10 15 20
-20
-10
10
20
30
Evolución del errorEvolución del error
Diagrama de Lorenz 3D0
20
-20
0
20
20
40
60
80
-20
0
20
Diagrama de Lorenz 2D
-30 -20 -10 10 20 30
40
60
80
Fractales
Definición recursiva Estructura autosimilar a diferentes escalas Dimensión fraccionaria
Formas geométricas complejas que tienen:
Ejemplos: Curva de precios del algodón. Línea de una costa. Crecimiento de árboles y nubes. Conjuntos de Cantor, Mandelbrot, etc.
Conjunto de Cantor
Otros fractales
Conjunto de Mandelbrot
Dimensión fraccionaria
€
ε <<1⇒ N ε( )∝1
ε d
Ejemplo: Copo de nieve
Dimensión = 1,2618
Atractores extraños
Fase = conjunto mínimo de datos que determina totalmente la evolución posterior del sistema.
Espacio de fases = Conjunto de todas las fases potencialmente admisibles. Es un espacio vectorial.
Atractor = Subconjunto del espacio de fases que atrae las órbitas próximas hacia él.
Atractor extraño = Atractor con estructura fractal.
Tipos de atractores
Punto aislado = Posición de equilibrio estable
Curva cerrada = Movimiento periódico
Fractal = Comportamiento caótico
Puntos fijos
Son posiciones de equilibrio estable Órbitas elípticas = sistemas conservativos Órbitas espirales = sistemas disipativos
-1 -0.5 0.5 1
-1
-0.5
0.5
1
-0.3 -0.2 -0.1 0.1 0.2
-0.1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Ciclos límite
Las órbitas convergen hacia una órbita cerrada El sistema es atraido hacia un ciclo periódico
-2 -1 1 2
-3
-2
-1
1
2
3
Atractor de Lorenz
Conclusión
El precio del algodón junto con otros precios relacionados forman un sistema.
El sistema es no lineal con D ≥ 3. El sistema tiene un atractor extraño (un fractal). Los precios del algodón son la proyección 1D de
la órbita que rodea al atractor extraño.
Bibliografía
Caos, la creación de una ciencia. JAMES GLEICK.(1988)
Chaotic Dynamics. G.L. BAKER J.P. GOLLUB. (1990)
Nonlinear Dynamics and Chaos. STEVEN H. STROGATZ. (1994)
Dinámica Caótica en Economía. ANDRÉS FERNÁNDEZ DÍAZ. (1999)