CALCULO DIFERENCIALSucesiones y Progresiones

Ms. Carmen Emilia Rubio V.

CONTENIDO

UNIDAD 1: ANÁLISIS DE SUCESIONES Y PROGRESIONES

CAPITULO 1: LAS SUCESIONESLECCIÓN 1 Generalidades

LECCIÓN 2 Sucesiones Monótonas

LECCIÓN 3 Sucesiones Acotadas

LECCIÓN 4 Sucesiones Convergentes

LECCIÓN 5 Límite de una Sucesión

LECCIÓN 6 Sucesiones Divergentes

CAPITULO 2: LAS PROGRESIONESLECCIÓN 8 Progresiones Aritméticas

LECCIÓN 9 Progresiones Geométricas

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FUNCIONES

• Una función es una regla

de asociación que relaciona

dos o mas conjuntos entre

si; generalmente cuando

tenemos la asociación dos

conjuntos las función se

define como una regla de

asociación entre un conjunto

llamado dominio con uno

llamado codominio, también

dominio e imagen

respectivamente o dominio y

rango.

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LAS SUCESIONES

DOMINIO

ENTEROS POSITIVOS

IMAGEN –

CODOMINIO

N ={ 1, 2, 3, 4, …. n}

n F(n)

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LAS SUCESIONES

Una sucesión es entonces una secuencia, que se halla a

través de una función.

• Sea n = a, a+1, a+2, a+3,… Entonces: Ua es el primer

término de la sucesión y Un el n-esimo término de la sucesión

es decir n ={ 1 , 1+1, 1+2, 1+3 …} ; n={ 1,2,3,4,…}

• La notación para una sucesión esta dada por:

DOMINIO PRIMER VALOR

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DESCRIPCIÓN DE SUCESIONES

1. TERMINO GENERAL: Es decir reemplazamos valores

En este caso se reemplaza n para hallar los valores de la

sucesión:

n=1 Un = {1 + 2}

Por lo tanto la sucesión queda así:

1

2

3

4

5

6

3

4

5

6

7

8

Un={3,4,5,6,7,8,,,}Ms. Carmen Emilia Rubio V.

EJERCICIO

Un=2n2-1

U1= 2(1)-1=1 U2= 2(2)-1=3 U3= 2(3)-1=5 U4= 2(4)-1=7

Un= { 1,3,5,7 }

𝑈𝑛 =𝑛

3𝑛+2 𝑛≥3

U3= 3

3(3)+2=

3

11U4=

3

3(4)+2=

3

15U5=

3

3(5)+2=

3

17

Un= {3/11, 3/15, 3/17 }

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DESCRIPCIÓN DE SUCESIONES2. PRIMEROS TÉRMINOS: Un = {1,3,5,7,8,…}

?

Que operación se necesita para obtener el valor de codominio?

0

1

2

3

4

1

3

5

7

8

1+0 =1

1+2 =3

1+4 =5

1+6 =7

1+7 =8

1+2*0 =1

1+2*1 =3

1+2*2 =5

1+2*3 =7

1+2*4 =8

1+? Un={1+2n}n≥0

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EJERCICIO𝑈𝑛 = −4,−6,−8,−10,…

U1 ={-4} aumenta={-2}

𝑈1 = {-2*1-2} 𝑈2 = {-2*2-2} 𝑈𝑛 = −4,−6,−8,−10,…

𝑈𝑛 = −2𝑛 − 2

𝑈𝑛 =1

2,1

4,1

8,1

16,…

U1 ={1

2} aumenta={

1

2}

𝑈𝑛 ={ 1/2n }

-2-2 =-4

-4-2 =-6

-6-2 =-8

-8-2 =-10

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DESCRIPCIÓN DE SUCESIONES3. EL PRIMER TÉRMINO Y LA RELACIÓN DE

RECURRENCIA: La recurrencia consiste en identificar un

término de la sucesión, en función del término anterior, es decir

identificar Un conociendo Un-1.

U0 = {3} Un = {2+ Un-1}

U1 = {2+ U0} = 2 + 3 = 5

U2 = {2+ U1} = 2 + 5 = 7

U3 = {2+ U2} = 2 + 7 = 9

U4 = {2+ U3} = 2 + 7 = 11

Que operación se necesita para obtener el valor de codominio?

Un ={3 , 5, 7, 11,…}

0+3=3

2+3=5

4+3=7

6+3=9

2*0+3=3

2*1+3=5

2*2+3=7

2*3+3=9

Un={ 2n+3 }

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EJERCICIO

𝑈0 = −1 𝑢𝑛 = 𝑢𝑛−1 − 3

𝑢1 = 𝑢1−1 − 3 = 𝑢1 = −1 − 3 = −4

𝑢2 = −4 − 3 = −7 𝑢3 = −7 − 3 = −10 𝑢4 = −10 − 3 = −13

-1-0=-1

-1-3=-4

-1-6=-7

-1-9=-10

-1-12=-13

Un=-1-3n

Un={ -1, -4,-7,-10,-13,..}

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DESCRIPCIÓN DE SUCESIONES

• Sucesión Infinita: Una sucesión se considera infinita, si el

dominio es el conjunto de los números naturales.

• Sucesión Finita: Una sucesión se considera finita, cuando el

dominio es un subconjunto de los números naturales, de tal

forma que N £ k , para k un natural.

La matemática se fundamenta en la sucesiones infinitas..

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SUCESIONES MONOTONAS

• El concepto de monotonía,

esta relacionado con el

aumento o disminución de

una secuencia.

SUCESIONES CRECIENTE

Dada la sucesión: un = {n2 + 2} Mostrar que es

creciente, Ejemplo:

Teniendo en cuenta: reemplazamos

{(n +1) 2+ 2} – {n2 + 2} = {n2+2n+1+2}-{n2 + 2}

= {n2+2n+3} - n2-2 = { 2n+1}

Da los valores un = { 1, 3 , 7 , 9, …}

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SUCESIONES DECRECIENTE

Dada la sucesión: un = {4

𝑛+2} Mostrar que es

decreciente:

Teniendo en cuenta: reemplazamos

{{4

(𝑛+1)+2} } – {

4

𝑛+2} ≤ 0 {

4

𝑛+3} – {

4

𝑛+2} =

4 𝑛+2 −4(𝑛+3)

(𝑛+3)(𝑛+2)

=4𝑛+8−4𝑛−12

(𝑛+3)(𝑛+2)=4𝑛+8−4𝑛−12

(𝑛+3)(𝑛+2)=

−4

(𝑛+3)(𝑛+2)

Da los valores un = { -4,−4

12,−4

20,… }

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SUCESIONES ACOTADAS

ACOTADAS SUPERIOR

Es decir dada un sucesión, el mayor valor que obtiene la sucesión es M

ACOTADA INFERIOR

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EJEMPLO ACOTADA

SUPERIOR

Un={-2n2 – n +3} n≥0 U0={-2(0)2 – (0) +3}= 3

Mínima cota Superior U1={-2(1)2 – (1) +3}= 0

M= 3 U2={-2(2)2 – (2) +3}= -7

Es acotada superior llega a un punto máximo, no tiende a +∞, tiende a -∞

INFERIOR

Un={n2 – 2} n≥0 U0={(0)2 – 2} ={-2)

U1={(1)2 – 2} ={-1) U2={(2)2 – 2} ={2)

Es acotada inferior porque llega a un punto mínimo, no

tienden a - ∞ Mínima cota Inferior =-2Ms. Carmen Emilia Rubio V.

EJEMPLO ACOTADA

HALLAR LA MÍNIMA COTA SUPERIOR

𝑈𝑛 =𝑛

3𝑛 + 2 𝑛≥3

U3=3

3(3)+2= {3/11} U4=

4

3(4)+2= {4/14}

U5=5

3(5)+2= {5/15}

Mínima cota M= 3/11

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SUCESIONES ACOTADAS

• Una sucesión es acotada, si admite una cota superior

y una cota inferior.

Es decir tiene un valor mínimo y máximo

Ejemplo: Un={n2 - 4} Establecer si es acotada

Hallar la sucesión

U1= {(1)2 – 4}={-3} U2= {(2)2 – 4}={0}

U3= {(3)2 – 4}={5} mínimo=-3 máximo=+ ∞

𝑈𝑛 =4

𝑛−3 𝑛≥4 𝑈𝑛 = {4, 2,

4

3, 1,

4

5,4

6, ..}

ES ACOTADA? No Ms. Carmen Emilia Rubio V.

SUCESIONES CONVERGENTES

La convergencia esta relacionada con la tendencia

que tiene un conjunto de valores, hacia un valor

dado, se estudia hacia donde tiende una sucesión,

cuando n crece indefinidamente.

VECINDAD:

• La vecindad esta asociada a la cercanía que se

desea un punto respecto a sus alrededores

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EJEMPLO DE VECINDAD:

Hallar el centro y radio de la vecindad definida por:

V0.1(2)

2

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1,9 2,1

SUCESIONES

• SUCESIÓN CRECIENTE: una sucesión que

aumenta Ejemplo: Un={1,2,3,4}

• SUCESIÓN DECRECIENTE: una sucesión

que disminuye Ejemplo: Un={1

2, 1

4, 1

8, …}

• SUCESIÓN CONVERGENTE: Es cuando se puede hallar su límite un número R.

• SUCESIÓN DIVERGENTE: Es cuando no tiene límite

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SUCESIONES

• Son criterios necesarios para trabajar los límites,

que a su vez son necesarios para hallar las

derivadas.

LIMITES DE UNA SUCESIÓN

Un=1

𝑛Es una sucesión que decrece y se hace tan

pequeño como se quiera

Un= (1, ½ , 1

3, 1

4, …) lim

𝑛→∞𝑈𝑛 = 0

0 11/21/31/4

Límite de la

Sucesión

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1. an= 3𝑛2+8

7𝑛2+3𝑛+1=

lim𝑛→∞

𝑈𝑛 = lim𝑛→∞

3𝑛2+8

7𝑛2+3𝑛+1= lim𝑛→∞

3𝑛2 + 8

= lim𝑛→∞

3𝑛2 + lim𝑛→∞

8

2, an= 1

𝑛+3= lim𝑛→∞

𝑈𝑛 = lim𝑛→∞

1

𝑛+3=

LIMITES DE UNA SUCESIÓN

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lim𝑛→∞

7𝑛2 + 3𝑛 + 1

lim𝑛→∞

7𝑛2+lim𝑛→∞

3𝑛 +lim𝑛→∞

1= 8

1=8

lim𝑛→∞

1

lim𝑛→∞

𝑛 + 3

=lim𝑛→∞

1

lim𝑛→∞

𝑛 + lim𝑛→∞

3 = 1

3

PROGRESIONES

Las progresiones aritméticas están asociadas con

secuencia donde los valores van creciendo o

decreciendo en la misma proporción.

TERMINO GENERAL:

Ua= Primer término

n = Número de términos de la progresión

d = Diferencia común

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EJEMPLOS PROGRESIONES

Un={1,3,5,7,9,..} hallar el termino general.

Ua=1 d=2

Un={Ua+(n-a)d} = 1 + 2(n-a)

Determine el 9 término

Un={Ua+(n-a)d} U9= 1 +2(9-1) = 17

Determine el 25 término

Un={Ua+(n-a)d} U25= 1 +2(25-1) = 49

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SUMA n PRIMERO TERMINOS

Las progresiones aritméticas están asociadas con

secuencia donde los valores van creciendo o

decreciendo en la misma proporción.

TERMINO GENERAL:

U1=-1/4 d = 1 hallar la suma de los 5 primeros

términos

U5={U1+(n-1)d} U5={-1/4+(5-1)*1}

U5=-1/4+4 U5= 15/4

SUMATORIA:

s= 𝑛(𝑈𝑎+𝑈𝑛)

2 s=

5(−1/4+15/4)

2= 5(14/4)

2= 70/4)

2= 8,75

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EJERCICIO

• Sea la progresión aritmética 𝑢𝑛 = 1,4,7,10,13…Hallar

• El la suma de los primeros 15 términos

U1={1} d = 1

Un={U1+(n-1)d} U15={1+(15-1)*3}

U15= 43

SUMATORIA:

s= 𝑛(𝑈𝑎+𝑈𝑛)

2 s=

15(1+U15)

2= 15(1+43)

2= 330

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