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Proyecto Final de Cálculo II
Pedro José Martínez y Luis Sebastián Espíndola.
Profesor: Eduardo Alba. II Semestre 2014-2015.
26 de abril de 2015
Volumen de un sólido construido a
partir de secciones transversales
triangulares
Sólido 1
Ejercicio 1
Imagina que el grosor de cada prisma triangular es tal que no exis-te espacio entre dos de ellos. Encuentra el volumen de cada prismatriangular por un método geométrico y úsalo para estimar el volumentotal de tu sólido.
Obtuvimos el volumen aproximado de nuestro sólido, tras sumar el volumenexacto de cada uno de los 8 prismas que formamos. Para obtener dicho volmense empleó la siguiente fórmula
Vprisma =1
2(b× h)× 12
9(1)
donde b es la medida de la base, h es la altura. Como se puede notar se estámultiplicando del área del triángulo por su espesor ( 12
9 ). Recordemos además,que la altura de cada triángulo es equivalente a la mitad de la base, por tantopodemos reescribir la ecuación1 de la siguiente manera
Vprisma =1
2b(b
2)(
12
9)
Vprisma =b2
4(12
9) (2)
1
Ahora haciendo uso de los valores para la base, descritos en la cuadro 1 y laecuación 2, se obtuvo el valor del volumen (este valor también se describe en lacuadro 1) de cada uno de los 8 prismas.
Cuadro 1: Valores usados para el cálculo del volumen aproximadoPrisma Base (cm) Altura (cm) Ancho (cm) Volumen (cm3)
1 7.54 3.77 1.33 18.952 9.98 4.99 1.33 33.203 11.31 5.66 1.33 42.644 11.93 5.97 1.33 47.445 11.93 5.97 1.33 47.446 11.31 5.66 1.33 42.647 9.98 4.99 1.33 33.208 7.54 3.77 1.33 18.95
Fuente: Elaboración propia
El volumen total resultante fue de 284.46 cm3
Ejercicio 2
1.- ¾Es tu sólido un cono? ¾Por qué sí o por qué no?
No lo es, pues una de las propiedades del cono, es que es un sólido de revolu-ción formado a partir de rotar un triángulo rectángulo alrededor de uno de suscatetos (Toledo, 2009) y evidentemente no se construyó nuestro sólido de estamanera.
2
2.- Ahora, imagina que en vez de 9 sub-intervalos (8 triángulos) tienesn sub-intervalos. Considera un sistema de coordenadas planas (x, y)ubicadas en el centro del disco y con el eje de x paralelo a las basesde los triángulos. Haz una grá�ca en el plano (x, y) de la base delprisma y la base de uno de sus triángulos.
Figura 1: Círculo de radio 6, con centro en el origen y cuerda que representa labase de un triángulo.
Ejercicio 3
Encuentra el grosor y de cada sección (triángulo) como función de n.
Considerando que la circunferencia corta con el eje x y con en el eje y enlos puntos (±6, 0) y (0,±6), respectivamente, tenemos que nuestro disco poseeun diámetro de 12 cm y considerando que ∆y es la variación del ancho de losprismas triangulares que vamos a utilizar para calcular el volumen de nuestrosólido, obtenemos la siguiente expresión:
∆y =12
n(3)
donde n representa el número de intervalos que deseemos usar, evidente-mente con el aumento de n el valor de ∆y disminuirá, haciendo que nuestraaproximación sea cada vez más exacta, a medida que n se vaya aproximando a∞.
3
Ejercicio 4
Supongamos que la base de un triángulo está a una distancia yi delpunto (0, 0). Encuentra el volumen del prisma triangular correspon-diente en función de yi y de n.
A partir de la ecuación 2 y reemplazando el número de intervalos, de 9 a n,queda,
Vprisma =b2
4(12
n) (4)
Ahora bien, dado que la base donde se asientan los prismas es un círculode 6 cm de radio y con centro en el origen de coordenadas, su ecuación es lasiguiente
x2 + y2 = 36 (5)
Sabemos que en este caso la medida de la base, está en función de yi, comose ve en la �gura 2. Para obrener el valor de la base en función de yi, se extraeun triángulo rectángulo como el de la �gura 3, el cual establece la relación entrela base y la distancia del origen de coordenas hasta cualquier punto (yi). Luegodespejando la ecuación 5 para x y, tomando en cuenta que x = b
2 (véase la �g.3), tenemos que
b
2=√
36− y2i
b = 2√
36− y2i (6)
Entonces para calcular el volumen de un prisma, cuya base pase por y = yi,la cual esté delimitada por x y −x, se sustituye 6 en 4 de la siguiente manera
Vprisma =1
4(2√
36− y2i )2(12
n)
Vprisma =1
4(4)(36− y2i )(
12
n)
Vprisma = (36− y2i )(12
n)
4
Figura 2: Dependecia de la base con respecto a yi
Figura 3: Triángulo de relación entre la medida de la base y yi
5
Ejercicio 5
Escribe una suma de Riemann que sea una estimación del volumende tu sólido. Usa la notación sigma.
n∑i=1
(36− y2i )(12
n)
Ejercicio 6
Escribe la integral que corresponde al volumen exacto de tu sólido.
6ˆ
−6
(36− y2) dy
Ejercicio 7
Escribe la integral que corresponde al volumen exacto de tu sólido.
6ˆ
−6
(36− y2) dy =
Sacamos laantiderivadade ambostérminos yevaluamos en6 y -6, queda,
=
[36y − y3
3
]6−6
= 36(6)− (6)3
3− 36(−6) +
(−6)3
3
= 288
El volumen exacto de nuestro primer sólido es de 288 cm3, que al compararlocon el volumen aproximado obtenido en el ejercicio 1 (el cual fue de 284,36 cm3),obtenemos un margen de error1 sumamente bajo2, por lo que el resultado obte-nido en este ejercicio es lógico.
1El% de error se calculó con la fórmula % de error=|V olumenexacto−V olumenaprox.|
V olumenexacto×100
2El% de error fue de 1.26%
6
Cuadro 2: Valores usados para el cálculo del volumen aproximado del segundosólidoPrisma Base (cm) Altura (cm) Ancho (cm) Volumen (cm3)
1 7.99 3.99 1.11 17.692 7.91 3.96 1.11 17.383 7.70 3.85 1.11 16.454 7.30 3.65 1.11 14.785 6.63 3.32 1.11 12.226 5.64 2.82 1.11 8.927 4.25 2.13 1.11 5.028 2.40 1.20 1.11 1.60
Fuente: Elaboración propia
Sólido 2
En esta sección se pide realizar los mismos ejercios que en la sección anterior,aplicando las condiciones del nuevo sólido. Por tanto solo se enuncia el númerodel ejercicio.
Ejercicio 1
El volumen aproximado de nuestro segundo sólido se obtiene de la mismamanera que en el ejercicio 1 de la sección aterior, pero se utilizaron los datosdel cuadro 2
El volumen total resultante fue de 94.06 cm3
Ejercicio 2
Inciso 1
El sólido 2, tampoco es un cono, debido a que no estamos girando un trián-gulo en torno a uno de sus catetos (Toledo, 2009).
7
Figura 4: Base del Sólido 2, conformada por las rectas x = 0, y = 0, x = 8 &y = 5 3
√x
Inciso 2
Ejercicio 3
Considerando los límites que tiene la �gura, que vienen dados por las rectasx = 0, y = 0, x = 8 & y = 5 3
√x. Y al observar la �gura 4, se determina mediante
un sistema de ecuacione, que las curvas se cortan en la intersección de las rectasx = 8, e y = 10, es decir, el punto (8, 10) encontrado resolviendo el sistema deecuaciones
y = 5 3√x
x = 8
y = 53√
8
y = 5(2)
y = 10
Por tanto, el grosor delta y de cada sección del triángulo paralelo al eje x, yen función de n está dada por el ancho de la base, dividido para n subintervalos,asi:
∆y =10
n
8
Ejercicio 4
Primero se halla el área de uno de los triángulos que fueron pegados a labase
A(x) =b× h
2
si,
h =b
2
entonces,
A(x) =b× b
2
2
A(x) =b2
4
Luego, tomando en cuenta el grosor de cada prisma, se obtiene que el volu-men de los mismos, es
Vprisma =b2
4(10
n)
Para obtener los valores de b en función de n, consideramos el grosor total,que es igual a 8, y le restamos los valores de x despejados de la función
y = 5 3√x
x = (y
5)3
Entonces,para calcular el volumen de un prisma delimitado por las funcionesantes nombradas, se tiene que:
Vprisma = (1
4)(8− (
yi5
)3)(10
n)
Ejercicio 5
La suma de Riemman es la sumatoria de todos los volúmenes de los prismasdelimitados por la base
n∑i=1
(1
4)(8− (
yi5
)3)2(10
n)
9
Ejercicio 6
lı́mn→∞
n∑i=1
(1
4)(8− (
yi5
)3)2(10
n)
10ˆ
0
(1
4)(8− (
y
5)3)2 dy
10ˆ
0
(1
4)(8− (
y
5)3)2 dy
Ejercicio 7
10ˆ
0
(1
4)(8− (
y
5)3)2 dy =
= (1
4)
10ˆ
0
(64− 16y3
125+
y6
15625dy
= (1
4)
[64y − 16y4
500+
y7
109375
]100
= 102,86
El volumen exacto de nuestro segundo sólido es de 102,86 cm3, que al com-pararlo con el volumen aproximado obtenido en el ejercicio 1 (el cual fue de94,06 cm3), obtenemos un margen de error3 sumamente bajo4, por lo que el re-sultado obtenido en este ejercicio es lógico.
3El% de error se calculó con la fórmula % de error=|V olumenexacto−V olumenaprox.|
V olumenexacto×100
4El% de error fue de 8.56%
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Referencias
[1] Toledo, R. (6 de noviembre de 2009). Sólidos de revolución. Disponible ensolidos-de-revolucion.blogspot.com/2009/11/blog-post.html
[2] Stewart, James. Cálculo de una variable Trascendentes tempranas, 7th Edi-tion. Cengage Learning Editores, 01/2013. VitalBook �le.
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