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Matemáticas NS y NMCalculadoras de pantalla gráfica
Primeros exámenes: 2006
Material de ayuda al profesor
Programa del Diploma
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Organización del Bachillerato Internacional
Buenos Aires Cardiff Ginebra Nueva York Singapur
Programa del Diploma
Primeros exámenes: 2006
Material de ayuda al profesor de
Matemáticas NS y NM
Calculadoras de pantalla gráfica
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596
Impreso en el Reino Unido por Anthony Rowe Ltd (Chippenham, Wiltshire)
Publicada en septiembre de 2005
por la Organización del Bachillerato Internacional
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Cardiff, Wales GB CF23 8GL
Reino Unido
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© Organización del Bachillerato Internacional, 2005
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El uso del género masculino en esta publicación no tiene un propósito
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Programa del Diploma
Material de ayuda al profesor de Matemáticas NS y NM:
calculadoras de pantalla gráfica
Versión en español del documento publicado en mayo de 2005 con el título
Mathematics HL/SL (graphic display calculators)—teacher support material
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ÍndiceÍndice
Material de ayuda al profesor de Matemáticas NS y NM: calculadoras de pantalla gráfica
Introducción 1
Propósito de este material de ayuda al profesor 1
Antecedentes del uso de calculadoras de pantalla gráfica 1
Modelos de calculadoras de pantalla gráfica usados en este documento 2
Características referentes al idioma en las calculadoras de pantalla gráfica 3
Ejemplo 1: Para ver los menús en español 3
Ejemplo 2: Para ver los menús de nuevo en inglés 4
Ayuda de Catalog 5
Ejemplo 1: Instalación de la ayuda de Catalog 5 Ejemplo 2: Uso de la ayuda de Catalog 5
Ejemplo 3: Para salir de la ayuda de Catalog 6
Ejemplo 4: Instalación de la ayuda de Catalog en chino 6
Ejemplo 5: Uso de la ayuda de Catalog en chino 7
Ejemplo 6: Para salir de la ayuda de Catalog en chino 7
Uso de la TI-84 Plus SE y de la Casio CFX-9850 Plus 8
Destrezas básicas para las representaciones gráficas 8
Elección de la ventana adecuada 8
Localización de raíces, máximos y mínimos 12
Determinación de las ecuaciones de las tangentes 15
Resolución gráfica de sistemas de ecuaciones 18
Cálculo del área bajo la curva entre dos puntos 19
Aplicación de transformaciones 21
Selección de herramientas básicas 23
Para hallar raíces de polinomios 23
Para resolver ecuaciones 25
Para resolver sistemas de ecuaciones 27
Estudio de relaciones trigonométricas 28
Resolución de ecuaciones trigonométricas 31
Suma de una progresión 33
Funciones y análisis 34
Cálculo del valor numérico de derivadas 34
Justificación de las expresiones de las derivadas 36
Estudio de gráficas de funciones y sus derivadas primera y segunda 38
Cálculo del valor numérico de integrales 40
Estadística y probabilidad 41
Dibujo de histogramas usando listas 41 Cálculo del valor de 43
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Índice
Cálculo de probabilidades en la binomial 43
Cálculo de probabilidades en la normal 45
Cálculo inverso en la normal 48
Diagramas de caja y bigotes 49
Matrices y vectores 51
Introducción de matrices en la calculadora 51
Álgebra de matrices 52
Cálculo del determinante de una matriz y de la matriz inversa 54
Las calculadoras de pantalla gráfica en la evaluación 56
Lo que los alumnos deben poner por escrito en los exámenes 56
Ejemplo 1 de pregunta 56
Ejemplo 2 de pregunta 57
Preguntas del tipo “compruebe que” en las que hay que volver a utilizar la solución = preguntas del tipo “halle” 58 Ejemplo 1 de pregunta 58
Ejemplo 2 de pregunta 60
Casos de uso de la calculadora de pantalla gráfica en el aula 62
Uso de la calculadora de pantalla gráfica en el aula 62
Ejemplos de uso de la calculadora de pantalla gráfica 62
Gestión de la memoria en una calculadora de pantalla gráfica 66
Terminología básica relacionada con la calculadora de pantalla gráfica 66 Hardware 66
Sistema operativo 66
Verificación de la versión del sistema operativo 67
Memoria 67
Funcionalidad, programas y aplicaciones flash 67
Programas integrados 67
Programas RAM 67
Verificación de la memoria RAM 68
Para restaurar la memoria RAM de la familia de modelos de la TI-83/84 68
Para restaurar la memoria RAM de la Casio CFX-9850 Plus/FX -9750 Plus/CFX -9950 Plus/
CFX1.0 Plus/Graph 65 Plus/Graph 35 Plus 69
Aplicaciones Flash (Apps) de la memoria ROM 70
Cómo eliminar aplicaciones Flash (APPS) de la memoria ROM de las calculadoras TI-83 Plus/
TI-83+SE/TI-84+/TI-84+SE 70
Para inicializar las memorias RAM y ROM de la Casio FX1.0 Plus 71
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IntroducciónIntroducción
Material de ayuda al profesor de Matemáticas NS y NM: calculadoras de pantalla gráfica
© Organización del Bachillerato Internacional, 2005 1
Propósito de este material de ayuda al profesorLa finalidad de este documento es servir de ayuda a los profesores que utilizan calculadoras de pantalla
gráfica en las asignaturas de Matemáticas Nivel Superior (NS), Matemáticas Nivel Medio (NM) y Ampliación
de Matemáticas NM del Programa del Diploma. También puede resultar útil como ayuda para el uso de
tecnología en otras asignaturas.
El uso de las calculadoras de pantalla gráfica ha generado varios debates, y esperamos que este documento
sirva para resolver algunas de las cuestiones que plantean profesores y alumnos, entre ellas:
• Cómo usar la calculadora
• Cómo usar la calculadora para mejorar la enseñanza y el aprendizaje
• Qué deben poner por escrito los alumnos en los exámenes cuando utilizan la calculadora
• Cómo gestionar la memoria de la calculadora
Estas cuestiones son comunes a todas las asignaturas en cuyos exámenes se permite el uso de calculadoras,
y la información interesa a cualquier profesor que utilice medios tecnológicos en la enseñanza. Para ilustrar
los puntos debatidos, se han incluido ejemplos detallados, de los cuales se pueden encontrar más en el
Centro pedagógico en línea (CPEL). Se espera que los profesores aporten sus propias sugerencias en el foro
de debate sobre calculadoras.
Antecedentes del uso de calculadoras de pantalla gráficaLa primera vez que IBO permitió utilizar calculadoras de pantalla gráfica fue a mediados de la década de
1990, y en septiembre de 1998 su uso pasó a ser obligatorio en tres de las asignaturas de matemáticas del
Programa del Diploma. Enseguida se puso de manifiesto que las consecuencias de esta decisión habrían de
ser más importantes para la enseñanza y la evaluación de las matemáticas de lo que en principio se había
previsto. El primer problema consistió en la gran disparidad entre las opciones que ofrecían los diversos
modelos que manejaban los alumnos. En consecuencia, se decidió establecer unos requisitos mínimos para
las calculadoras de pantalla gráfica, y se informó de ello a los colegios en agosto de 1999.
A partir de 2001, los alumnos que usasen calculadoras científicas con las cuatro operaciones básicas, olos primeros modelos que aparecieron de calculadoras de pantalla gráfica, estaban en desventaja en los
exámenes. Al plantear preguntas, los examinadores daban por sentado que todos los alumnos utilizaban
una calculadora de pantalla gráfica que cumplía con los requisitos mínimos.
En 2004, la calculadora de pantalla gráfica se hizo obligatoria en todas las asignaturas de matemáticas
del Programa del Diploma. A partir de mayo de 2006, los alumnos que no utilicen una calculadora de
pantalla gráfica adecuada en cualquier examen de matemáticas estarán en desventaja. En el Vademécum
se describen las condiciones de uso en los exámenes, y se incluye una lista de los modelos recomendados y
autorizados.
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Introducción
Modelos de calculadoras de pantalla gráfica usadosen este documentoVarios estudios indican que los nuevos modelos se afirman de modo significativo en el mercado en cuestión
de pocos años desde su aparición. A finales de 2004, la mayoría de los alumnos matriculados para los
exámenes de Matemáticas NS tenían acceso a uno de los modelos que se mencionan a continuación.
Texas Instruments Casio
TI-84 Plus Silver Edition CFX-9850G Plus/Graph 65 Plus
TI-84 Plus FX1.0 Plus
TI-83 Plus Silver Edition CFX-9950 Plus
TI-83 Plus FX-9750G Plus/Graph 35 Plus
En este documento las instrucciones se dividen en dos columnas, una para cada uno de los dos principales
modelos que se usan: la Texas Instruments TI-84 Plus Silver Edition (TI-84+SE) a la izquierda, y la Casio CFX-
9850 Plus (Casio 9850+) a la derecha. En cada modelo, las instrucciones se dividen a su vez en otras dos
columnas. La columna de la izquierda muestra las teclas que se deben presionar (“Presione”) y la columna
de la derecha muestra la pantalla tal como debería aparecer al seguir las instrucciones (“Aparece”). Véase a
continuación un ejemplo de este esquema.
TI-84+SE Casio 9850+
Presione Aparece Presione Aparece
1. y
Borre cualquier gráfica
almacenada.
C X ) =
X =
m 5
Borre cualquier gráfica
almacenada.
C X EX E
Téngase en cuenta que las pantallas que aparecen en las instrucciones pueden resultar distintas
dependiendo de la configuración establecida y del sistema operativo instalado en la calculadora.
La mayoría de los ejemplos bajo el encabezado de la TI-84+SE se pueden realizar con el modelo básico
TI-83 Plus y superiores. La TI-83 (sin “plus”) está prácticamente obsoleta y no puede almacenar o ejecutarciertas aplicaciones. Además, la posibilidad de actualizar sus prestaciones está limitada a un número de
programas.
Aparte de un par de variaciones en las opciones de texto y color, la Casio 9850+ es idéntica en funcionalidad
a la Casio FX-9750 Plus, la Casio Graph 65 Plus y la Casio Graph 35 Plus. También es posible realizar las mismas
funciones con la FX1.0 Plus y la Casio CFX-9950 Plus que con la Casio 9850+, aunque las teclas y los números
de menú pueden variar entre estos modelos. Las versiones de Casio que no son “plus” están prácticamente
obsoletas y es probable que no reúnan los requisitos mínimos para algunas asignaturas.
Téngase en cuenta que pueden existir distintas formas de llegar al mismo resultado. Las posibilidades aquí
mostradas no son necesariamente las mejores o las más sencillas.
2 © Organisation du Baccalauréat International 2005
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Introducción
© Organización del Bachillerato Internacional, 2005 3
Características referentes al idioma en las calculadorasde pantalla gráficaLa opción de elegir un idioma se ha convertido en una característica importante de los recientes modelos
de calculadoras de pantalla gráfica. Texas Instruments incluye 12 “localizadores de idioma” en sus nuevos
modelos y Casio, en la FX1.0 Plus, ofrece la posibilidad de incorporar cierto número de idiomas. Si se ejecuta
un “localizador de idioma” (TI) o se incorpora un idioma (Casio), se cambia el idioma de la mayoría de los
menús de la calculadora, aunque existen algunas limitaciones y excepciones. En la Casio 9850+ no existen
opciones de idioma. Las Casio Graph 35 y Graph 65 están dirigidas a los mercados de idioma francés. Su
funcionalidad es idéntica a la de la Casio 9850+; la única diferencia es que algunas teclas llevan el nombre
en inglés y en francés.
La versión en francés de este documento usa las pantallas en francés de la TI- 84+SE (con la aplicación
“Français” instalada). La versión en español usa las pantallas en español de la TI-84+ SE (con la aplicación
“Español” instalada), a excepción de unas pocas que aparecen en inglés. Se encuentra disponible una
versión en chino de la ayuda de la aplicación Catalog para los usuarios que prefieran la ayuda en chino.Véase a continuación las instrucciones.
Ejemplo 1: Para ver los menús en español
TI-84+SE Casio FX1.0 Plus (no disponible en la 9850+)
Presione Aparece Presione Aparece
1. A a C
para localizar “Español”.
m a lpara acceder al
administrador del
sistema.
2. = para ejecutar
“Español”.
$ para acceder almenú de idiomas.
3. 1 para ver los
menús en español.
d d para seleccionar“Español”.
4. E para ver losmenús en español.
Para ver los menús en cualquiera de los otros idiomas se utiliza el mismo método.
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Introducción
4 © Organización del Bachillerato Internacional, 2005
Ejemplo 2: Para ver los menús de nuevo en inglés
TI-84+SE Casio FX1.0 Plus (no disponible en la 9850+)
Presione Aparece Presione Aparece
1. A a C
para localizar “Español”.
m a lpara acceder al
administrador del
sistema.
2. = para ejecutar
“Español”.
$ para acceder almenú de idiomas.
3. 2 para ver losmenús en inglés.
E para ver los menúsen inglés.
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Introducción
© Organización del Bachillerato Internacional, 2005 5
Ayuda de Catalog
Ejemplo 1: Instalación de la ayuda de Catalog
TI-84+SE
Presione Aparece
1. A a P
Utilice las teclas de las
flechas para localizar
“CtlgHelp”.
2. =para instalar la
ayuda de Catalog, y
después cualquier tecla.
= para volver a la
pantalla de inicio.
Ejemplo 2: Uso de la ayuda de Catalog
TI-84+SE
Presione Aparece
1. 1.5
2. m para acceder
al menú MATH. La
función “Frac” aparece
seleccionada.
3. + para ejecutar la
ayuda de Catalog.
4. r para pegar la
función “Frac” en la
pantalla de inicio.
5. = para aplicar la
función.
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Introducción
6 © Organización del Bachillerato Internacional, 2005
Ejemplo 3: Para salir de la ayuda de Catalog
TI-84+SE
Presione Aparece
1. A a P
Utilice las teclas de las
flechas para localizar
“CtlgHelp”.
2. = para ejecutar la
ayuda de Catalog.
3. 2 para salir de la
ayuda de Catalog.
Ejemplo 4: Instalación de la ayuda de Catalog en chino
TI-84+SE
Presione Aparece
1. A a P
Utilice las teclas de las
flechas para localizar
la ayuda de Catalog en
chino.
2. = para instalar
la ayuda de Catalog
en chino, y después
cualquier tecla.
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Introducción
© Organización del Bachillerato Internacional, 2005 7
Ejemplo 5: Uso de la ayuda de Catalog en chino
TI-84+SE
Presione Aparece
1. 1.5
2. m para ir al menú
MATH. La función “Frac”
aparece seleccionada.
3. + para ejecutar
la ayuda de Catalog.
Aparecerá la pantalla de
ayuda en chino.
4. = = para pegar
la función “Frac” en la
pantalla de inicio.
5. = para aplicar la
función.
Ejemplo 6: Para salir de la ayuda de Catalog en chino
TI-84+SEPresione Aparece
1. A a P
Utilice las teclas de las
flechas para localizar
“CtlgHelp”.
2. = para ejecutar la
ayuda de Catalog.
2 para abandonar laayuda de Catalog.
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Uso de la TI-84 Plus SE y de la Casio CFX-9850 PlusUso de la TI-84 Plus SE y de la Casio CFX-9850 Plus
Material de ayuda al profesor de Matemáticas NS y NM: calculadoras de pantalla gráfica
8 © Organización del Bachillerato Internacional, 2005
En esta sección se muestran, paso a paso, ejemplos de características, funciones y herramientas de las
calculadoras de pantalla gráfica. Éstos están organizados según las tareas de la función y, con frecuencia, se
utilizan ejemplos tomados de pruebas de examen anteriores.
En este documento se presuponen adquiridas ciertas destrezas básicas en el manejo de las calculadoras
de pantalla gráfica. Los usuarios noveles deben familiarizarse primero con sus calculadoras mediante los
“Conceptos básicos” del manual de Texas Instruments, o el “Inicio rápido” de la guía del usuario de Casio.
Los manuales también se pueden consultar en los sitios web que se indican a continuación.
Se debe prestar una atención especial a las instrucciones para introducir expresiones, editar, borrar, usar
paréntesis, almacenar valores en la memoria, cambiar la configuración del modo (especialmente las
configuraciones en grados o en radianes), configurar la ventana de gráficas, editar tablas, obtener gráficas,listas y matrices, realizar cálculos sencillos, representar datos, volver a la configuración predeterminada (por
defecto), instalar y ejecutar aplicaciones, y entender los mensajes de error.
Texas Instruments http://education.ti.com/us/global/guides.html (inglés)
http://education.ti.com/latinoamerica/productos/manuales.html (español)
Casio http://www.casio.co.jp/edu_e/support/ (inglés)
http://www.flamagas.com/default.asp?NODO=12110 (español)
http://www.silrun.info/
Sharp http://www.sharpusa.com/products/support/0,2309,,00.html (inglés)
http://www.sharpla.com/ (español)
Hewlett Packard http://www.hpmuseum.org/software/swcd.htm (inglés)
http://h41111.www4.hp.com/calculators/es/es/ (español)
Destrezas básicas para las representaciones gráficas
Elección de la ventana adecuada
Tarea A: Configuración predeterminada (gráficas)
TI-84+SE Casio 9850+
Presione Aparece Presione Aparece
1. A partir de la pantalla
inicial.
m
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Uso de la TI-84 Plus SE y de la Casio CFX-9850 Plus
© Organización del Bachillerato Internacional, 2005 9
2. ] + para acceder
a las funciones de
memoria.
Observación: puede ser
necesario utilizar co 2 M para llegar
a la pantalla inicial.
Mediante las teclas de
las flechas colóquese
sobre .
3. 7 para activar
“Reset” y cambiar la
configuración.
E para activar laopción “Graph”.
4. 2 para seleccionar la
configuración con los
valores predeterminados.
s £ para acceder aV- Window
(la configuración de lavista de la ventana).
5. 2 para confirmar. £`para seleccionar laconfiguración estándar
de la ventana.
En la TI-84+SE, el valor predeterminado en la
ventana de gráficas es±10
en los dos ejes.
En la Casio CFX-9850+, el valor estándar en la
ventana de gráficas es±10
en los dos ejes.
Tarea B: Utilizando la calculadora para obtener la gráfica de la función y = sen x( ln ) muestre las diferencias de apariencia de la misma según la configuración quese haya establecido para la ventana.
.
TI-84+SE Casio 9850+
Use el valor predeterminado ±10 de la ventanade gráficas.
Use el valor estándar ±10 de la ventana degráficas.
Presione Aparece Presione Aparece
1. A partir de la pantalla
inicial.
Observación: puede ser
necesario utilizar
c o 2 M para
llegar a la pantalla inicial.
m
2. Mediante las teclas de
las flechas colóquese
sobre .
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Uso de la TI-84 Plus SE y de la Casio CFX-9850 Plus
10 © Organización del Bachillerato Internacional, 2005
3. E para activar laopción “Graph”.
4. y
Utilice las teclas de
flecha para resaltar las
gráficas introducidas y
c para borrarlas.
Utilice las teclas de
flecha para resaltar las
gráficas introducidas y
@ y después ! paraborrarlas.
5. S l
m > 1 X
) ) )
=
S ( l (o % ! (X ) ) E
6. g &
7. z 2 = s @ £
8. = £
Con cada nuevo “zoom” parece como si se mostrase una gráfica distinta.
Este efecto parece todavía más acentuado cuando, en lugar de utilizar el “zoom”, se cambian los parámetros
de la ventana a y = –1,5 a +1,5 (y se mantienen así) mientras x se cambia de entre –2 a +2, a entre –1 a +1
y a entre –0,1 a +0,1.
9. Cambie los parámetros de configuración de la
ventana a:
Xmín = –0.1
Xmáx = 0.1
Xescal = 1
Ymín = –1.5
Ymáx = 1.5
Yescal = 1.
Cambie los parámetros de configuración de la
ventana a:
Xmin : –0.1
max : 0.1
scale : 1
Ymin : –1.5
max : 1.5
scale : 1.
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Uso de la TI-84 Plus SE y de la Casio CFX-9850 Plus
© Organización del Bachillerato Internacional, 2005 11
w
: . 1 =
. 1 =
1 =
: 1 . 5=
1 . 5 =
1 =
s £ para accedera V- Window.
: . 1 E. 1 E
1 E: 1 . 5E1 . 5 E1 EUtilice E para volvera la ventana de gráficas.
10. g &
En la configuración predeterminada o estándar de la ventana de gráficas, la gráfica de y = x x + x3 − 2 2 sparece cortar una sola vez al eje x. Mediante el uso del “zoom” o cambiando los parámetros de configuración
de la ventana se pueden observar otras características claves de la curva.
Tarea C: Obtenga la gráfica de la función y = x x + x3 − 2 2 en la ventana predeterminadao estándar.
TI-83/84+SE Casio 9850+
Use el valor predeterminado ±10 de la ventanade gráficas.
Use el valor estándar ±10 de la ventana degráficas.
Presione Aparece Presione Aparece
1. y
Borre cualquier gráfica
almacenada.
Obtenga la gráfica
de la función
y = x x + x3 − 2 2 .
X ^ 3 -
2 X ^ 2+ X = g
m 5
Borre cualquier gráfica
almacenada.
Obtenga la gráfica
de la función
y = x x + x3 − 2 2 .
X ^ 3 -
2 X ^ 2+ X E &
2. z 2 = =
= para ampliar.s " £ £ ££ £ £ para ampliar.
Mediante el uso iterativo del “zoom” se puede observar que la gráfica corta al eje x al menos una vez en el
origen o cerca del mismo.
Otro modo de comprobarlo sería cambiando la configuración de los parámetros de la ventana, con x desde–1 a +2 e y desde –0,5 a +0,5.
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Uso de la TI-84 Plus SE y de la Casio CFX-9850 Plus
12 © Organización del Bachillerato Internacional, 2005
Tarea D: En la pantalla predeterminada, la gráfica y = sen(1 + sen x) parece presentar unmáximo local entre x = 0 y x = 4. Utilice el “zoom” y cambie la configuraciónpara poner de manifiesto otras características de esta curva.
TI-84+SE Casio 9850+
Use el valor predeterminado ±10 de la ventanade gráficas.
Use el valor estándar ±10 de la ventana degráficas.
Presione Aparece Presione Aparece
1. y
Borre cualquier gráfica
almacenada.
Obtenga la gráfica de la
función
y = sen(1 + sen x) .
m 5
Borre cualquier gráfica
almacenada.
Obtenga la gráfica de la
función
y = sen(1 + sen x).S 1 + S
X ) ) =
g
S ( 1 +S ( X )) E &
2. z 2 =
para ampliar.
s " £ £para ampliar.
Se puede observar un valor mínimo local entre dos máximos locales mediante el uso del “zoom” o
cambiando los parámetros de configuración de la ventana para x desde –0,5 a +4, y para y desde 0 a +1,5.
Localización de raíces, máximos y mínimosUna vez que se ha obtenido la gráf ica de una función, se puede usar la calculadora para determinar muchas
de las características importantes de la misma.
Ejemplo: Considere la función f x x x x( ) = − − +3 25 7 50.
Tarea A: Halle las coordenadas del cero (o raíz).
TI-84+SE Casio 9850+
Presione Aparece Presione Aparece
1. y
Borre cualquier gráfica
almacenada.
m 5Borre cualquier gráfica
almacenada.
2. En Y1 introduzca f x( ).
X m 3 -
5 X x -
7 X + 50 =
En Y1 introduzca f x( ).
X ^ 3 -5 X ^
2 - 7 X+ 5 0 E
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Uso de la TI-84 Plus SE y de la Casio CFX-9850 Plus
© Organización del Bachillerato Internacional, 2005 13
3. Cambie los parámetros de configuración de la
ventana a:
Xmín = –3.5
Xmáx = 5.5
Xescal = 1Ymín = –25
Ymáx = 65
Yescal= 10.
Cambie los parámetros de configuración de la
ventana a:
Xmin : –3.5
max : 5.5
scale : 1Ymin : –25
max : 65
scale : 10.
w
: 3 . 5
=
5 . 5 =
1 =
: 2 5 =
6 5 =
1 0 =
s £: 3 . 5E5 . 5 E1 E: 2 5 E6 5 E
1 0 E
4. g E &
5. " r 2 para
seleccionar la opción de
cálculo de ceros.
s %
6. < para mover el
cursor a la izquierda del
cero, después =.
! para hallar el cero.
7. Aparece una cruz sobre
la curva en ese punto,
así como una marca
en la parte superior de
la pantalla. En la parte
inferior de la pantalla
aparece un indicador
que pide que se ingrese
un valor para el extremo
superior del entorno.
Utilice las teclas de las
flechas para mover el
cursor a la derecha del
cero, después =.
Observación: Una
característica potente
de “G-solve” es que
permite hallar otras
raíces, máximos y
mínimos utilizando las
teclas de las flechas a
derecha e izquierda.
8/18/2019 Calculadoras de Pantalla Gráfica 2
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Uso de la TI-84 Plus SE y de la Casio CFX-9850 Plus
14 © Organización del Bachillerato Internacional, 2005
8. Aparece otra cruz sobre
la curva en ese punto,
así como otra marca
por encima de la curva.
En la parte inferior dela pantalla aparece
“Aprox?”. Utilice las
teclas de las flechas
para mover el cursor tan
cerca del cero como sea
posible, después =.
El cero está en (–2,979887, 0).
Tarea B: Halle las coordenadas del máximo local.
TI-84+SE Casio 9850+
Presione Aparece Presione Aparece
1. " r 4 para
seleccionar la opción de
cálculo de máximos.
s %
2. Para hallar el máximo,
utilice las teclas de
las flechas y mueva el
cursor primero justo a la
izquierda del máximo,
después =, luego
justo a la derecha del
máximo, después =,
y por último, muy cerca
del máximo y después
=.
Sobre los puntos de la
curva elegidos aparecen
cruces, y por encima de
la curva aparecen las
marcas de izquierda y
derecha.
" para hallar elmáximo.
Por debajo de la curva aparecen las coordenadas del máximo. El máximo se encuentra en
(–0,5941091, 52,184235).
8/18/2019 Calculadoras de Pantalla Gráfica 2
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Uso de la TI-84 Plus SE y de la Casio CFX-9850 Plus
© Organización del Bachillerato Internacional, 2005 15
Tarea C: Halle las coordenadas del mínimo local.
TI-84+SE Casio 9850+
Presione Aparece Presione Aparece
1. " r 3 s %
2. Para hallar el mínimo,
utilice las teclas de
las flechas y mueva el
cursor primero justo a
la izquierda del mínimo,
después =, luego justo a la derecha del
mínimo, después =,
y por último, muy cerca
del mínimo y después
=.
£ para hallar elmínimo.
Por debajo de la curva aparecen las coordenadas del mínimo. El mínimo se encuentra en
(3,9274436, 5,9639127).
Determinación de las ecuaciones de las tangentes
Ejemplo: Considere la función f x x x x( ) = − − +3 25 7 50.
Tarea A: Dibuje la tangente a la curva en x = 0.
TI-84+SE Casio 9850+
Presione Aparece Presione Aparece
1. y
Borre cualquier gráfica
almacenada.
m 5
Borre cualquier gráfica
almacenada.
2. En Y1 introduzca f x( ).
X m 3
- 5 X x
- 7 X +
5 0 =
En Y1 introduzca f x( ).
X ^ 3 -5 X ^2 - 7 X+ 5 0 E
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Uso de la TI-84 Plus SE y de la Casio CFX-9850 Plus
16 © Organización del Bachillerato Internacional, 2005
3. Cambie los parámetros de configuración de la
ventana a:
Xmín = –3.5
Xmáx = 5.5
Xescal = 1Ymín = –25
Ymáx = 65
Yescal = 10.
Cambie los parámetros de configuración de la
ventana a:
Xmin : –3.5
max : 5.5
scale : 1Ymin : –25
max : 65
scale : 10.
w
: 3 . 5
=
5 . 5 =
1 =
: 2 5 =
6 5 =
1 0 =
s £: 3 . 5E5 . 5 E1 E: 2 5 E6 5 E
1 0 E
4. g E &
5. " P 5
Aparece de nuevo
la curva con las
coordenadas de x e y en la parte inferior de la
pantalla.
s m d d dd !
6. 0 =
Se dibuja la tangente
en x = 0 y debajo
de la gráfica aparece
la ecuación de dicha
tangente.
Observación: la
Casio 9850+ no da
directamente la
ecuación de la tangente
en un punto de la curva.
Nos ofrece la pendiente
para un valor dado de x,
y con ello podemos
obtener la ecuación deforma manual.
e & s ! << < E
7. e d : 7X + 5 0E &
La ecuación de la tangente en x = 0 es y x= − +7 50.
8/18/2019 Calculadoras de Pantalla Gráfica 2
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Uso de la TI-84 Plus SE y de la Casio CFX-9850 Plus
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Tarea B: Halle el otro punto de corte de esta tangente con la curva.
TI-84+SE Casio 9850+
Presione Aparece Presione Aparece
1. y d d
: 7 X +
5 0 =
Con esto se introduce la
ecuación de la tangente
en x = 0 en el menú
y .
2. g
3. " r 5 para
seleccionar la opción de
intersección de curvas.
s % para hallar laintersección de estas
gráficas.
4. Bajo la gráfica aparecen
indicadores que piden
que se identifiquen
las curvas para las quese busca el punto de
intersección. Utilice las
teclas de las flechas para
mover el cursor justo a
la izquierda del punto
de intersección, sobre
la curva de la función
cúbica, después =.
%
La calculadora
encuentra la primera
intersección en x = 0.
5. Aparece una cruz sobre
la curva de la función
cúbica en ese punto, yse requiere la selección
de la segunda función.
= para seleccionar
la recta tangente como
segunda curva.
6. Mueva el cursor
tan cerca como sea
posible del punto de
intersección, después
=.
> para obtener el otropunto de intersección.
El punto de intersección es el (5, 15).
8/18/2019 Calculadoras de Pantalla Gráfica 2
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Uso de la TI-84 Plus SE y de la Casio CFX-9850 Plus
18 © Organización del Bachillerato Internacional, 2005
Resolución gráfica de sistemas de ecuaciones
Tarea A: Resuelva, si es posible,2 6 12
4 24
x + y =
x y =− .
TI-84+SE Casio 9850+
Use el valor predeterminado ±10 de la ventanade gráficas.
Use el valor estándar ±10 de la ventana degráficas.
Presione Aparece Presione Aparece
1. y
Borre cualquier gráfica
almacenada.
m 5Borre cualquier gráfica
almacenada.
2. : X / 3+ 2 =
4 X - 2
4 =
: X / 3+ 2 E4 X - 24 E
3. g &
4. ] r
5. 5
6. =
7. >hasta que aparezca
en la pantalla una cruz
que parpadea.
8/18/2019 Calculadoras de Pantalla Gráfica 2
25/80
Uso de la TI-84 Plus SE y de la Casio CFX-9850 Plus
© Organización del Bachillerato Internacional, 2005 19
8. = s %
9. = %
Cálculo del área bajo la curva entre dos puntos
Ejemplo: Considere la función f x x x x( )
= − − +
3 25 7 50.
Tarea A: Calcule el área bajo la curva entre x = 0, x = 5.
TI-84+SE Casio 9850+
Presione Aparece Presione Aparece
1. y
Borre cualquier gráfica
almacenada.
m 5Borre cualquier gráfica
almacenada.
2. En Y1 introduzca f ( x).
X m 3
- 5 X x
- 7 X +
5 0 =
En Y1 introduzca f ( x).
X ^ 3 -5 X ^2 - 7 X+ 5 0 E
3. Cambie los parámetros de configuración de la
ventana a:
Xmín = –3.5
Xmáx = 5.5
Xescal = 1Ymín = –25
Ymáx = 65
Yescal = 10.
Cambie los parámetros de configuración de la
ventana a:
Xmin : –3.5
max : 5.5
scale : 1Ymin : –25
max : 65
scale : 10.
w
: 3 . 5
=
5 . 5 =
1 =
: 2 5 =
6 5 =
1 0 =
s £: 3 . 5E5 . 5 E1 E: 2 5 E6 5 E
1 0 E
8/18/2019 Calculadoras de Pantalla Gráfica 2
26/80
Uso de la TI-84 Plus SE y de la Casio CFX-9850 Plus
20 © Organización del Bachillerato Internacional, 2005
4. g E &
5. y
Si acaba de realizar
el ejercicio sobre la
tangente, para borrar
la gráfica de la recta
tangente coloque el
cursor sobre el signo =
de Y2, después =.
El cuadrado negro
que hay sobre el signo
igual desaparece. Si
todavía no ha realizado
el ejercicio sobre las
tangentes, no hay
ninguna función en Y2.
s %
6. g " r 7
para seleccionar la
opción de cálculo de
áreas bajo la curva.
Aparece la gráfica
y un indicador paraintroducir el extremo
inferior del intervalo
para el área.
& £ para seleccionarla opción de cálculo de
áreas bajo la curva.
7. 0 = Aparece un indicador
que pide el extremo
inferior del intervalo.
Utilice hasta obtener x = 5
después E.
El área bajo la curva entre cero y cinco aparece sombreada y se da el valor de la integral como 110,41667.
8/18/2019 Calculadoras de Pantalla Gráfica 2
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Uso de la TI-84 Plus SE y de la Casio CFX-9850 Plus
© Organización del Bachillerato Internacional, 2005 21
Aplicación de transformaciones
Considere la curva f x x x x( ) = − +3 22 .
Tarea A: Halle la transformación de esta curva en g x f x( ) = −( )1 .Obsérvese que existe una variación muy significativa entre las sintaxis usadas por la T I-84+SE y por laCasio 9850+.
TI-84+SE Casio 9850+
Presione Aparece Presione Aparece
1. y
Borre cualquier gráfica
almacenada.
X ^ 3
- 2 X
^ 2 +
X =
m 5Borre cualquier gráfica
almacenada.
2. Introduzca:
Y1=X
Y2=X–1
Y3=Y13–2Y12+Y1.
X EX - 1 Ev $ ! 1^ 3 -
2 v $ !1 ^ 2 +v $ ! 1 E
Deje sin seleccionar las
gráficas de Y1 e Y2
u u ! u ! .
3. Cambie los parámetros de configuración de la
ventana a:
Xmín = –2
Xmáx = 5
Xescal = 1
Ymín = –5
Ymáx = 5
Yescal = 1.
Cambie los parámetros de configuración de la
ventana a:
Xmin : –2
max : 5
scale : 1
Ymin : –5
max : 5
scale : 1.
w
: 2 =
5 =
1 =
: 5 =
5 =
1 =
s £: 2 E5 E1 E: 5 E5 E1 E
8/18/2019 Calculadoras de Pantalla Gráfica 2
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Uso de la TI-84 Plus SE y de la Casio CFX-9850 Plus
22 © Organización del Bachillerato Internacional, 2005
4. g E &
5. y d
v > 1 =
( X - 1
) =
eDespués d d dpara llegar a Y4 y:
v $ ! 2^ 3 - 2v $ ! 2^ 2 +v $ ! 2E.
6. g &
La gráfica muestra ahora la traslación de una unidad a la derecha.
Tarea B: Halle la transformación de esta curva en h x f x( ) ( )= −2 1 .
TI-84+SE Casio 9850+
Presione Aparece Presione Aparece
1. y
Utilice las teclas de las
flechas para bajar hasta
Y3.
2 v > 1
= - 1 =
u u < = paraborrar la gráfica de Y2.
e u " ! paraborrar la gráfica de Y4.
Después introduzca
2 1 f x( ) − en Y4.
2 v $ !3 - 1 E
2. g &
La gráfica muestra ahora un estiramiento de razón dos en la dirección del eje y, y una traslación de menos
uno también en la dirección del eje y.
8/18/2019 Calculadoras de Pantalla Gráfica 2
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Uso de la TI-84 Plus SE y de la Casio CFX-9850 Plus
© Organización del Bachillerato Internacional, 2005 23
Selección de herramientas básicas
Para hallar raíces de polinomios
Muchas ecuaciones se pueden resolver de un modo más eficaz si se reduce el problema al cálculo de losceros o raíces de la gráfica de una función. Sin embargo, puede haber situaciones en las que sea preferible
hacerlo directamente. Los siguientes ejemplos ilustran cómo hallar raíces de polinomios.
Tarea A: Resuelva x x x + =3 22 5 6 0− − en x.
TI-84+SE Casio 9850+
Presione Aparece Presione Aparece
1. A y después utilice
las teclas de las flechas
para resaltar PolySmlt.
= y despuéscualquier tecla para
acceder al submenú de
PolySmlt.
Otra forma es: A
a 8 d d =
para saltar al submenú
de PolySmlt, después
cualquier tecla.
Utilice las teclas de las
flechas para resaltar
y después E
para acceder al submenúde Equation.
Otra forma es: aX para acceder alsubmenú de Equation.
2. = para ejecutar
el buscador de raícespolinómicas.
@ para ejecutar el
buscador de raícespolinómicas.
3. 3 = para
introducir el polinomio
de grado 3.
@ para elegir elpolinomio de grado 3.
4. Introduzca los
coeficientes.
1 =
: 2 =
: 5 =
6 =
Introduzca los
coeficientes.
1 E: 2 E: 5 E6 E
5. g para hallar las
soluciones.
! para hallar lassoluciones.
8/18/2019 Calculadoras de Pantalla Gráfica 2
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Uso de la TI-84 Plus SE y de la Casio CFX-9850 Plus
24 © Organización del Bachillerato Internacional, 2005
Tarea B: Resuelva 0 3 3 11 63 2= x x x + x4 − − − en x.
TI-84+SE Casio 9850+
Presione Aparece Presione Aparece
1. A y después utilice
las teclas de las flechas
para resaltar PolySmlt.
= y después
cualquier tecla para
acceder al submenú de
PolySmlt.
Otra forma es: a
8 d d = para
saltar al submenú de
PolySmlt, despuéscualquier tecla.
En la 9850+, el buscador
de raíces está limitado
a polinomios de
segundo o tercer grado.
El siguiente ejemplo
utiliza la opción “Solver”
para obtener resultados
similares.
2. = para ejecutar
el buscador de raíces
polinómicas.
3. 4 =
1 =
: 3 =
: 3 =1 1 =
: 6 =
a X
4. g £ para ejecutar laopción “Solver”, y
0 s . aX a / ^4 + a La / ^ 3+ a l a/ ^ 2 +
a S a /+ a C E1 E: 2 E: 3 E: 3 E1 1 E: 6 E .
5. Obsérvese que el
buscador de raíces
polinómicas no halló las
raíces exactas, sino sóloaproximaciones.
u o d para resaltar T.
8/18/2019 Calculadoras de Pantalla Gráfica 2
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Uso de la TI-84 Plus SE y de la Casio CFX-9850 Plus
© Organización del Bachillerato Internacional, 2005 25
6. & para hallar lassoluciones.
7. Para hallar otras raíces,
repita los pasos
anteriores, pero ingrese
otros valores de tanteo
para T.
Para resolver ecuacionesMuchas ecuaciones se pueden resolver de un modo más eficaz si se reduce el problema al cálculo de los
puntos de corte de las gráficas de dos funciones. Sin embargo, puede haber situaciones en las que sea
preferible hacerlo directamente. Los dos siguientes ejemplos ilustran cómo resolver ecuaciones.
Tarea A: Resuelva e = x x 3 , para x entre 4 y 5.
TI-84+SE Casio 9850+
Primero se debe escribir de nuevo la ecuación en la forma 0 = f x( ).
03= −e x x
Presione Aparece Presione Aparece
1. m 0 u c m 1o $ !
2. ] l X )
- X m 3
=
s l X -X ^ 3 ,4 . 5 ,4 , 5 )
3. 4 . 5 a
=
E
La solución es 4,5364036549… La solución es 4,536403655…
Obsérvese que sólo se obtiene una aproximación, y la precisión puede variar dependiendo de la
configuración establecida en la calculadora.
8/18/2019 Calculadoras de Pantalla Gráfica 2
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Uso de la TI-84 Plus SE y de la Casio CFX-9850 Plus
26 © Organización del Bachillerato Internacional, 2005
Tarea B: Resuelva sen2( x) = 2cos(3 x – 1), para x entre 0 yπ
2.
TI-84+SE Casio 9850+
Presione Aparece Presione Aparece
1. m 0 u c m 1o $ !
2. ( S X )
) x - 2
C 3 X )
+ 1 =
( S ( X) ) x -2 C (3 X ) +1 , s ;
/ 4 , 0, s ; /2 )
3. ] ^ / 4
=E
4. ] ( 0 ,
] ^ / 2
] ) =
5. u a =
La solución es 0,32864374674…
8/18/2019 Calculadoras de Pantalla Gráfica 2
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Uso de la TI-84 Plus SE y de la Casio CFX-9850 Plus
© Organización del Bachillerato Internacional, 2005 27
Para resolver sistemas de ecuacionesLa forma más eficaz de resolver los sistemas de ecuaciones es mediante la opción de resolución de sistemas
de ecuaciones.
Tarea A: Halle una solución para el sistema de ecuaciones
2 6 12
4 24
x+ y =
x y =− .
TI-84+SE Casio 9850+
Presione Aparece Presione Aparece
1. A a 8
y utilice las teclas de
las flechas para resaltar
PolySmlt.
m Xpara acceder al
submenú de Equation.
2. = y después
cualquier tecla para
acceder al submenú de
PolySmlt.
3. 2 para ejecutar la
opción de resolución de
sistemas de ecuaciones.
! para ejecutar laopción de resolución de
sistemas de ecuaciones.
4. 2 = 2
para introducir dos
ecuaciones y dos
incógnitas.
5. = muestra el menú
de coeficientes.
! para seleccionardos incógnitas.
(Automáticamente
se seleccionan dos
ecuaciones.)
6.2 =
6 =
1 2 =
4 =
: 1 =
2 4 =
2 E6 E1 2 E4 E: 1 E2 4 E
7. g para hallar la
solución.
! para hallar lasolución.
(Los sistemas que no tienen solución, al igual que los que tienen muchas, pueden producir resultados
imprevistos en la calculadora.)
8/18/2019 Calculadoras de Pantalla Gráfica 2
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Uso de la TI-84 Plus SE y de la Casio CFX-9850 Plus
28 © Organización del Bachillerato Internacional, 2005
Tarea B: Halle una solución para el sistema de ecuaciones2 6 12
4 12 24
x+ y =
x+ y = .
TI-84+SE Casio 9850+
Presione Aparece Presione Aparece
1. Repita los pasos de la
tarea A, pero utilizando
los coeficientes:
2, 6, 12, 4, 12, 24.
Repita los pasos de la
tarea A, pero utilizando
los coeficientes:
2, 6, 12, 4, 12, 24.
2. Resultado Resultado
Tarea C: Halle una solución para el sistema de ecuaciones2 6 12
4 12 12
x+ y =
x+ y =.
TI-84+SE Casio 9850+
Presione Aparece Presione Aparece
1. Repita los pasos de la
tarea A, pero utilizando
los coeficientes:
2, 6, 12, 4, 12, 12.
Repita los pasos de la
tarea A, pero utilizando
los coeficientes:
2, 6, 12, 4, 12, 12.
2. Resultado Resultado
Estudio de relaciones trigonométricasLas características disponibles en las calculadoras de pantalla gráfica varían mucho según los modelos. La
TI-84+SE tiene una característica que permite cambiar el grosor de la gráfica de la función representada. La
Casio 9850+ tiene una opción que permite utilizar colores para comparar gráficas. Tanto la Casio FX-9750
Plus como la Casio 9850+ tienen una característica de gráfica doble que se puede usar para este tipo deestudio.
La representación gráfica de cada miembro de la relación trigonométrica sustenta la conclusión sobre la
validez de la misma. Sin embargo, estas gráficas no se pueden aceptar como demostraciones de la relación
que se investiga, ya que el hecho de que las gráficas parezcan coincidir no garantiza que la identidad sea
cierta. Sería una buena idea incluir un contraejemplo en la programación del tema.
8/18/2019 Calculadoras de Pantalla Gráfica 2
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Uso de la TI-84 Plus SE y de la Casio CFX-9850 Plus
© Organización del Bachillerato Internacional, 2005 29
Tarea A: Estudie la validez de la relación trigonométrica cos ( 2 ) = 1 – 2 sen2( ) utilizando las características gráficas de una calculadora de pantalla gráfica.
TI-84+SE (con el estilo de la gráfica) Casio 9850+ (con la pantalla de gráficas dobles)
Presione Aparece Presione Aparece1. y
Borre cualquier gráfica
almacenada.
m 5Borre cualquier gráfica
almacenada.
2. C 2 X )
=s m
3. 1 - 2 (
S X ) )
x =
D d d
4. u < < = para
mover el cursor a la
izquierda de Y2. Se
usará entonces una
línea más gruesa para lagráfica de Y2.
! E
5. Cambie los parámetros de configuración de la
ventana a:
Xmín = 0
Xmáx = 2π
Xescal = π/2
Ymín = –1.1
Ymáx = 1.1
Yescal = 0.5.
w0 =
2 " ^ =
" ^ / 2
=
: 1 . 1
=
1 . 1 =
. 5 =
C 2 X E
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Uso de la TI-84 Plus SE y de la Casio CFX-9850 Plus
30 © Organización del Bachillerato Internacional, 2005
6. g
Aparece primero la
gráfica de Y1 = cos 2 x El trazo más grueso de
Y2 = 1 – 2sen2
( x)aparece después encima
de la anterior.
&
7. o @
8. s e
9. 1 - 2 (S X ) xE
10. &Obsérvese que esta
imagen muestra dos
gráficas. La de la
izquierda representa
cos2θ , la de la derecha
representa 1 – 2sen2 .
Casio 9850+ (con gráficas de colores)
1. Introduzca en la
pantalla de gráficas
las funciones dadas
anteriormente.
2. Cambie los parámetros de configuración de la
ventana a:
Xmin : –2π
max : 2π
scale : π/2
Ymin : –3
max : 3
scale : 1.
3. u para seleccionary resaltar la segunda
gráfica 1 – 2sen2 .
4. $ @ e
8/18/2019 Calculadoras de Pantalla Gráfica 2
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Uso de la TI-84 Plus SE y de la Casio CFX-9850 Plus
© Organización del Bachillerato Internacional, 2005 31
5. &La gráfica de cos2θ
aparece dibujada en
azul oscuro. la gráfica
de 1 – 2sen2
aparecedibujada sobre la anterior
en anaranjado claro.
6. Cambie los parámetros de configuración de la
ventana a:
Xmin : 0
max : 2π
scale : π/2
Ymin : –1.6
max : 1.5
scale : 1.
7. E &
Resolución de ecuaciones trigonométricas
Considere las funciones
f ( t ) = 10 + 8 sen ( 2t )
g ( t ) = 15 + 6 sen ( 4t )
Tarea A: ¿Para cuántos valores de t entre 0 y 2π , sucede que f t g t ( ) ( )= ?
TI-84+SE Casio 9850+
Presione Aparece Presione Aparece
1. y
Borre cualquier gráfica
almacenada.
m 5Borre cualquier gráfica
almacenada.
2. Cambie los parámetros de configuración de laventana a:
Xmín = –20
Xmáx = 20
Xescal = 1
Ymín = –20
Ymáx = 20
Yescal = 1.
Cambie los parámetros de configuración de laventana a:
Xmin : –10
max : 10
scale : 1
Ymin : –10
max : 10
scale : 1.
3. 1 0 + 8
S 2 X )
=
1 0 + 8S 2 X E
8/18/2019 Calculadoras de Pantalla Gráfica 2
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Uso de la TI-84 Plus SE y de la Casio CFX-9850 Plus
32 © Organización del Bachillerato Internacional, 2005
4. 1 5 + 6
S 4 X )
=
1 5 + 6S 4 X E
5. g &
6. Cambie los parámetros de configuración de la
ventana a:
Xmín = 0
Xmáx = 2π
Xescal = π/2
Ymín = 0
Ymáx = 25
Yescal = 5.
Cambie los parámetros de configuración de la
ventana a:
Xmin : 0
max : 2π
scale : π/2
Ymin : 0
max : 25
scale : 5.
w
0 =
2 " ^ =
" ^ / 2
=
0 =
2 5 =
5 =
s £0 E 2 s; Es ; / 2E0 E2 5 E5 E
7. g E &
8. Examine las gráficas y observe que existen cuatro puntos de intersección, que son la respuesta a esta
tarea.
Tarea B: ¿Cuál es el menor valor positivo de t para el cual f t g t ( ) ( )= ?
TI-84+SE Casio 9850+
Presione Aparece Presione Aparece
1. " r 5 s
8/18/2019 Calculadoras de Pantalla Gráfica 2
39/80
Uso de la TI-84 Plus SE y de la Casio CFX-9850 Plus
© Organización del Bachillerato Internacional, 2005 33
2. Asegúrese de que el
cursor se encuentra
sobre la primera curva,
después =.
% %
3. Asegúrese de que el
cursor se encuentra
sobre la segunda curva,
después =.
Observación: Una característica potente de
“G-solve” es que permite obtener las otras
soluciones directamente presionando las teclas
de las flechas a derecha e izquierda de la actual,
sin necesidad de introducir nada más.
4. Elija un valor de tanteo,
por ejemplo, 0,5.
0 . 5 =
La solución aparece como x = 0,66539702.
Suma de una progresión
Tarea A: Halle la suma de los 30 primeros términos de la progresión aritmética cuyosprimeros términos son 3, 5, 7, 9...
TI-84+SE Casio 9850+
El n-ésimo término viene dado por: 3 2 1+ −( )n .Presione Aparece Presione Aparece
1. " s < 5 m 1o ! & & !
2. " s > 5 ( & %
3. 3 + 2 (
X - 1 )
, X , 1
, 3 0 )
=
3 + 2 (X - 1 ), X , 1, 3 0 ,1 ) ) E
La respuesta es 960.
8/18/2019 Calculadoras de Pantalla Gráfica 2
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Uso de la TI-84 Plus SE y de la Casio CFX-9850 Plus
34 © Organización del Bachillerato Internacional, 2005
Tarea B: Halle la suma de los 10 primeros términos de la progresión geométrica cuyosprimeros términos son 320, 240, 180, 135...
TI-84+SE Casio 9850+
El n-ésimo término viene dado por: 320 (0,75)n-1.
Presione Aparece Presione Aparece
1. " s < 5 m 1o ! & & !
2. " s > 5 ( & %
3. 3 2 0 (
. 7 5 )
^ ( X -
1 ) , X
, 1 , 1
0 ) =
3 2 0 (. 7 5 )^ ( X -1 ) , X, 1 , 10 , 1 )E
La respuesta es 1207,918701.
Funciones y análisis
Cálculo del valor numérico de derivadas
Una manera de aproximar el valor de la derivada de la función, f , en x = a es calcular el valor de la
expresión f a h f a h
h
( ) ( )+ − −2
para valores pequeños de h y estudiar el límite cuando h tiende a cero.
La mayoría de las calculadoras de pantalla gráfica tienen funciones incorporadas para calcular el valor de la
expresión anterior para distintos valores de h .
Tarea A: Halle el valor de la derivada de f x x( ) = 2 en x = 0 1 2, , y 3.
TI-84+SE Casio 9850+
Presione Aparece Presione Aparece
1. m 8 m 1 o $"
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Uso de la TI-84 Plus SE y de la Casio CFX-9850 Plus
© Organización del Bachillerato Internacional, 2005 35
2. 2 ^ X ,
X , 0 ,
. 1 ) =
2 ^ X ,0 , . 1) E
3. " = para pegar
el cálculo anterior.
< para pegar elcálculo anterior.
4. Utilice las teclas de las
flechas para cambiar 0,1
por 0,01.
< < 0 1) =
Utilice las teclas de las
flechas para cambiar 0,1
por 0,01.
< < 0 1) E
5. Utilice las teclas de las
flechas para cambiar
0,01 por 0,001.
" = < <
0 1 ) =
Utilice las teclas de las
flechas para cambiar
0,01 por 0,001.
< < < 0 1) E
6. Utilice las teclas de las
flechas para cambiar
0,001 por 0,0001.
" = < <0 1 ) =
Utilice las teclas de las
flechas para cambiar
0,001 por 0,0001.
< < < 0 1) E
Si no se introduce específicamente el valor de h ,
la calculadora toma por defecto el valor 0,001. Las
derivadas en 1, en 2 y en 3 se aproximarán con el
valor por defecto.
El límite parece ser 0,6931471811. Este es el valor
que se obtiene si se omite el valor de h en el
cálculo.
Se puede llegar a la conclusión de que el valor de la derivada de 2 x en x = 0 es 0,693147.
Tarea B: Compare cada valor con el valor de 2 x
para el mismo valor de x.
TI-84+SE Casio 9850+
Presione Aparece Presione Aparece
1. m 8 2 ^
X , X ,
1 ) =
m 1 o $" 2 ^ X, 1 ) E
2. Cambie el 1 por 2.
" =
< < 2 =
Utilice las teclas de las
flechas para cambiar el
1 por el 2.
2 E
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Uso de la TI-84 Plus SE y de la Casio CFX-9850 Plus
36 © Organización del Bachillerato Internacional, 2005
3. Cambie el 2 por 3.
" =
< < 3 =
Utilice las teclas de las
flechas para cambiar el
2 por el 3.
3 E
La siguiente tabla resume estos resultados y establece las comparaciones pedidas.
x 2 x Derivada de 2 x Derivada de 2 x
2 x
0 1 0,693147 0,693147
1 2 1,386294 0,693147
2 4 2,772589 0,693147
3 8 5,545178 0,693147
Se deduce que la derivada de 2 x es igual a 0,693147 veces el valor de 2 x .
Justificación de las expresiones de las derivadasA veces, los alumnos no disponen de los conocimientos matemáticos necesarios para proporcionar
una demostración formal de la derivada de una determinada función. Al igual que con las relaciones
trigonométricas, la equivalencia entre expresiones se puede verificar utilizando las características gráficas
de la calculadora junto a la derivación numérica, en este caso.
Tarea A: Compruebe que si y x está en radianes, entonces ′ = f x x( ) cos .
TI-84+SE Casio 9850+
Presione Aparece Presione Aparece
1. y
Borre cualquier gráfica
almacenada.
m 5Borre cualquier gráfica
almacenada.
2. S X ) = S X E
3. m 8 o " !
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Uso de la TI-84 Plus SE y de la Casio CFX-9850 Plus
© Organización del Bachillerato Internacional, 2005 37
4. v > 1 1
, X , X
) =
S X , X) E
5. C X ) C X E
6. u < < = para
mover el cursor a la
izquierda de Y3.
Se usará entonces una
línea más gruesa para lagráfica de Y3.
& y después utilice uy d para seleccionarcolores distintos para
cada función.
! o azul para Y1.@ o anaranjado para Y2.£ o verde para Y3.
7. Cambie los parámetros de configuración de la
ventana a:
Xmín = 0
Xmáx = 2 × πXescal = π/2
Ymín = –1.5
Ymáx = 1.5
Yescal = 0.5.
Cambie los parámetros de configuración de la
ventana a:
Xmin : 0
max : 2 × π
scale : π/2
Ymin : –1.5
max : 1.5
scale : 0.5.
w
0 =
2 " ^ =
" ^ / 2
=
: 1 . 5
=
1 . 5 =
. 5 =
s £0 E2 s ; Es ; / 2E: 1 . 5E1 . 5 E. 5 E
8. g
La gráfica de cos x deberecubrir a la gráfica de
la derivada de sen x.
E &
Las gráficas de Y1,Y2 e Y3 aparecen
sucesivamente. Se
observa claramente
que, cuando aparece,
Y3 recubre a Y2.
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Uso de la TI-84 Plus SE y de la Casio CFX-9850 Plus
38 © Organización del Bachillerato Internacional, 2005
Estudio de gráficas de funciones y sus derivadas primera y segunda
Tarea A: Represente gráficamente f x x x x x x( ) = − + + − +3 15 10 30 45 505 4 3 2 y suderivada ′ = − + + − x x x x( ) 15 60 30 60 454 3 2 .
El propósito de este ejercicio es examinar la gráfica de una función y su derivada, y comprobar cómo la
pendiente de la gráfica de la función viene dada por el valor de la derivada, destacando puntos determinados
donde el valor de la derivada es cero o existe un máximo o un mínimo locales.
TI-84+SE Casio 9850+
Presione Aparece Presione Aparece
1. y
Borre cualquier gráfica
almacenada.
m 5Borre cualquier gráfica
almacenada.
2. Cambie los parámetros de configuración de la
ventana a:
Xmín = –2
Xmáx = 4
Xescal = 1
Ymín = –70
Ymáx = 100
Yescal = 20.
Cambie los parámetros de configuración de la
ventana a:
Xmin : –2
max : 4
scale : 1
Ymin : –70
max : 100
scale : 20.
w
: 2 =4 =
1 =
: 7 0 =
1 0 0 =
2 0 =
s £
: 2 E4 E1 E: 7 0 E1 0 0 E2 0 E E
3. Introduzca f ( x) en Y1.
3 X ^ 5
- 1 5 X
^ 4 + 1
0 X ^ 3
+ 3 0 X
x - 4 5
X + 5 0
=
Introduzca f ( x) en Y1.
3 X ^ 5- 1 5 X^ 4 + 10 X ^ 3+ 3 0 Xx - 4 5X + 5 0E
4. Introduzca ′ f x( ) en Y2.
1 5 X ^
4 - 6 0
X ^ 3 +
3 0 X x
+ 6 0 X
- 4 5 =
Introduzca ′ f x( ) en Y2.
1 5 X ^4 - 6 0X ^ 3 +3 0 X x+ 6 0 X
- 4 5 E
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Uso de la TI-84 Plus SE y de la Casio CFX-9850 Plus
© Organización del Bachillerato Internacional, 2005 39
5. g &
Se debe resaltar que la derivada es negativa cuando la pendiente es negativa, y la derivada es positiva
cuando la pendiente es positiva, y que los valores más extremos de la derivada se hallan donde la pendiente
es más positiva o más negativa. También se debe tener en cuenta que cuando la derivada es cero, la tangente
a la gráfica de f es horizontal, y que estas situaciones corresponden a puntos donde existe un máximo
local, un mínimo local y un punto de inflexión de tangente horizontal (singular). Asimismo, se observará
que se dan puntos de inflexión en los puntos donde la derivada tiene valores máximos o mínimos locales.
Tarea B: Represente gráficamente f x x x x x x( ) = − + + − +3 15 10 30 45 505 4 3 2 y suderivada segunda ′′ = − + + f x x x x( ) 60 180 60 603 2 .
El propósito del siguiente ejercicio es examinar la gráf ica de una función y su derivada segunda, y comprobarcómo la concavidad de la gráfica está relacionada con que la derivada segunda sea positiva o negativa, y
también destacar cuándo es cero la derivada segunda.
TI-84+SE Casio 9850+
Presione Aparece Presione Aparece
1. y
Utilice las teclas de las
flechas para bajar hasta
Y3.
s e
Utilice las teclas de las
flechas para bajar hasta
Y3.
2. Introduzca f "(x) en Y3.
6 0 X ^
3 - 1 8
0 X ^ 2
+ 6 0 X
+ 6 0 =
Introduzca f"(x) en Y3.
6 0 X ^3 - 1 80 X ^ 2+ 6 0 X+ 6 0 E
3. Para impedir que
aparezca la gráfica en
Y2, utilice las teclas de
las flechas y coloque elcursor sobre el signo =
de Y2 y después =.
El cuadrado negro que
hay sobre el signo =
desaparece.
Para impedir que
aparezca la gráfica en
Y2, utilice las teclas de
las flechas y coloque elcursor sobre el signo =
de Y2 y después !.
El cuadrado negro que
hay sobre el signo =
desaparece.
4. g &
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Uso de la TI-84 Plus SE y de la Casio CFX-9850 Plus
40 © Organización del Bachillerato Internacional, 2005
Se debe observar que cuando la derivada segunda es positiva, la gráfica se abre hacia arriba (cóncava
positiva) y cuando la derivada segunda es negativa, la gráfica se abre hacia abajo (cóncava negativa).
También se debe ver la relación entre los puntos donde la derivada segunda es cero y los puntos de
inflexión.
La aparición simultánea de las tres gráficas puede dar lugar a otros análisis. Se debe resaltar el hecho de que f " = 0 no significa necesariamente que exista un punto de inflexión (por ejemplo, y = x4).
La opción “Colour Graph” de la Casio 9850+ o la opción de estilos de gráfica de la TI-84+SE son muy útiles
para comparar las gráficas en estos ejemplos.
Cálculo del valor numérico de integralesLa posibilidad que proporcionan la mayoría de las calculadoras de pantalla gráfica de calcular el valor
numérico de una integral se puede utilizar para obtener una buena aproximación de los valores de integrales
que no se pueden obtener por los métodos tradicionales o que conllevarían unos cálculos muy largos o
complejos. También se puede utilizar para comprobar los valores de integrales obtenidas por los métodos
tradicionales. El siguiente ejemplo está extraído de la prueba 2 del examen de Métodos Matemáticos NM demayo de 2003.
Tarea A: Calcule el valor de eπ
x∫ 03
4 .
TI-84+SE Casio 9850+
Presione Aparece Presione Aparece
1. m 9 m 1 o $$
2. " l X )
( S X )
+ C X )
) , X ,
0 , 3 "
^ / 4 )
=
s l X (S X + CX ) , 0, 3 s ;/ 4 ) E
El valor de la integral es 7,46.
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Uso de la TI-84 Plus SE y de la Casio CFX-9850 Plus
© Organización del Bachillerato Internacional, 2005 41
Estadística y probabilidad
Dibujo de histogramas usando listas
Tarea A: Dibuje un histograma con los siguientes datos.
x 1 2 3 4 5
f 2 9 15 12 4
TI-84+SE Casio 9850+
Presione Aparece Presione Aparece
1. y
Borre cualquier gráfica
almacenada.
m 5Borre cualquier gráfica
almacenada.
2. s 1 m 2Borre cualquier dato
que hubiese en las listas.
u & $ !para cada lista.
3. Introduzca los datos en
la Lista 1.
1 =
2 =
3 =
4 =
5 =
Introduzca los datos en
la Lista 1.
1 E2 E3 E4 E5 E
4. Introduzca los datos en
la Lista 2.
> 2 =
9 =
1 5 =
1 2 =
4 =
Introduzca los datos en
la Lista 2.
> 2 E9 E1 5 E1 2 E
4 E
5. " y
6. = = para
seleccionar “On”.
! &
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Uso de la TI-84 Plus SE y de la Casio CFX-9850 Plus
42 © Organización del Bachillerato Internacional, 2005
7. d > > = para
seleccionar el icono de
gráfica de barras.
d&! paraasegurarse de que
el tipo de gráfica
seleccionada es el
histograma.
8. d " s 1
para insertar L1 en la
línea listaX.
d ! para asegurarsede que en XList está la
Lista 1.
9. d " s 2
para insertar L2 en la
línea Frec.
d £ para asegurarsede que en la frecuencia
está la Lista 2.
10. Cambie los parámetros de configuración de la
ventana a:
Xmín = 0
Xmáx = 6
Xescal = 1
Ymín = 0
Ymáx = 20
Yescal = 1.
Cambie los parámetros de configuración de la
ventana a:
Xmin : 0
max : 6
scale : 1
Ymin : 0
max : 20
scale : 1.
w
0 =
6 =
1 =
0 =
2 0 =
1 =
e s £0 E6 E1 E0 E2 0 E1 E
11. Observación: En L1 la frecuencia para uno se
dibuja de uno a dos, así que el eje x ha de ser uno
más que cinco.
e ! !Configure el inicio
(“Start”) en 0 y el ancho
de barra (“Pitch”) en 1.
0 E1 E
12. g &
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Uso de la TI-84 Plus SE y de la Casio CFX-9850 Plus
© Organización del Bachillerato Internacional, 2005 43
Cálculo del valor den
r
Tarea A: Halle8
3
.
TI-84+SE Casio 9850+
Presione Aparece Presione Aparece
1. 8 m < 3 m 1 o &£
2. 3 = 8 £ 3 E
La respuesta es8
356
= .
Cálculo de probabilidades en la binomialEjemplo: Se tiran ocho dados equilibrados de seis caras.
Tarea A: Halle la probabilidad de obtener exactamente dos seises.
Se trata de un caso de probabilidad binomial con n p= =81
6, .
Nos piden: P( ) x = 2 .
TI-84+SE Casio 9850+
Presione Aparece Presione Aparece
1. " v 0 m 2 % % !"
2. 8 , 1
/ 6 ,
2 ) =
d 2 E8 E1 / 6 EE
La respuesta es 0,2605.
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Uso de la TI-84 Plus SE y de la Casio CFX-9850 Plus
44 © Organización del Bachillerato Internacional, 2005
Tarea B: Halle la probabilidad de obtener a lo sumo dos seises.Nos piden P( ) x ≤ 2 .
TI-84+SE Casio 9850+
Presione Aparece Presione Aparece
1. " v a m e e % % ""
2. 8 , 1
/ 6 ,
2 ) =
d 2 E8 E1 / 6 E
E
La respuesta es 0,8652.
Tarea C: Halle la probabilidad de obtener al menos dos seises.Nos piden: P( ) x ≥ 2
TI-84+SE Casio 9850+
Presione Aparece Presione Aparece
La respuesta será 1 0 1− ( ) + ( ) p p .
1. 1 - "
v a me e % % ""
2. 8 , 1
/ 6 ,
1 ) =
d 1 E8 E1 / 6 E
E
3. m 11 - s: E
La respuesta es 0,3953.
8/18/2019 Calculadoras de Pantalla Gráfica 2
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Uso de la TI-84 Plus SE y de la Casio CFX-9850 Plus
© Organización del Bachillerato Internacional, 2005 45
Cálculo de probabilidades en la normalLa función densidad de probabilidad de la distribución normal,φ( x), define la distribución de probabilidad
de la variable aleatoria continua, X, en función de la media de su distribución, µ, y su desviación típica, σ .
Esta distribución es muy común entre las variables aleatorias. La gráfica deφ( x) tiene la forma característica
de una campana. Es simétrica respecto a la media, µ, y los puntos de inflexión de la curva de la campana seencuentran en µ ± σ.
El área total bajo la curva es igual a uno, y la probabilidad de que e l valor de X se encuentre entre los
valores x1 y x2 es igual al área bajo la curva entre esos dos valores. La ecuación de la curva viene dada por
φ σ
µ
σ ( )
( )
x
x
=− −
1
2
2
22
πe , aunque para cálculos elementales de probabilidad no es necesario saberla. La
función densidad de probabilidad de la distribución normal estándar para una variable z de media cero y
desviación típica uno viene dada por φ ( ) z z
=−1
2
2
2
πe .
La distribución normal general se puede transformar en la estándar mediante la transformación z x
= − µσ
.
Con las tablas tradicionales de la distribución normal, y con algunas calculadoras, es necesario hacer esta
transformación. Con otras calculadoras, generalmente se puede evitar esta transformación.
Considere a continuación el típico problema de una variable normalmente distribuida: una variable
normalmente distribuida, X , tiene una media igual a 100 y una desviación típica igual a 15.
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Uso de la TI-84 Plus SE y de la Casio CFX-9850 Plus
46 © Organización del Bachillerato Internacional, 2005
Tarea A: Halle la probabilidad de que 90 120< 130.
Teóricamente, aquí se necesita un extremo superior de +∞ y en el apartado c) un extremo inferiorde –∞. Se pueden utilizar los valores 1e99 y –1e99 respectivamente, pero se puede utilizar valores más
convenientes (al menos cinco veces la desviación típica a partir de la media) sin perder precisión en la
respuesta obtenida.
TI-84+SE Casio 9850+
Presione Aparece Presione Aparece
1. " v 2 E para volver almenú de la distribución
acumulada de la
normal.
2. 1 3 0 ,
1 " l 9
9 ) , 1
0 0 , 1
5 ) =
1 3 0 E1 ; 9 9E1 5 E1 0 0 E
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Uso de la TI-84 Plus SE y de la Casio CFX-9850 Plus
© Organización del Bachillerato Internacional, 2005 47
3. Con esto obtenemos
la solución 0,0228 con
tres cifras significativas.
Si cambiamos 1e99 por
1000, obtenemos unasolución idéntica a la
anterior al menos en 10
cifras decimales.
" v 2 1
3 0 , 1
0 0 0 ,
1 0 0 ,
1 5 ) =
E
Tarea C: Halle la probabilidad de que X < 80.
TI-84+SE Casio 9850+
Presione Aparece Presione Aparece
1. " v 2 e para volver al
menú de la distribución
acumulada de la
normal.
2. : 1 " l
9 9 ) ,
8 0 , 10 0 , 1
5 ) =
: 1 ;9 9 E
8 0 E1 5 E
1 0 0 E
3. Con esto obtenemos la
solución 0,0912 con tres
cifras significativas. Si
cambiamos −1 99e por
cero, obtenemos una
solución idéntica a la
anterior al menos en 10
cifras decimales.
" = para que
aparezca la entrada
anterior y así utilizar las
teclas de las flechas y
D para editarla.
E
Téngase en cuenta que como no se han introducido
los dos últimos parámetros (la media y la desviación
típica), la calculadora utiliza una media de cero y
una desviación típica de uno, que corresponden a
la distribución normal estándar. Si se utiliza la
calculadora de este modo, antes se deben convertir
los extremos superior e inferior a valores tipificados.
8/18/2019 Calculadoras de Pantalla Gráfica 2
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48 © Organización del Bachillerato Internacional, 2005
Cálculo inverso en la normalA continuación veamos un problema típico en el que se conocen las probabilidades de una variable
normalmente distribuida, y se piden los valores de la variable que corresponden a esas probabilidades: una
variable normalmente distribuida, X , tiene una media 500 y una desviación típica 100.
Tarea A: Halle el valor a, si el 5% de los valores de X son menores que a.
De nuevo, según el modelo de calculadora de pantalla gráfica que se utilice, puede ser necesario o no para
resolver este problema la distribución normal estándar.
TI-84+SE Casio 9850+
Presione Aparece Presione Aparece
1. En todos los casos,
comience por acceder
a la función normal
inversa mediante la
secuencia.
" v 3 .
m 2% ! £
2. Los parámetros para “invNorm” son (probabilidad
menor que, media, desviación típica).
. 0 5 ,
5 0 0 ,
1 0 0
) =
. 0 5 E1 0 0 E5 0 0 EE
La respuesta es a = 335,5.
Tarea B: Halle el valor b, si el 10% de los valores de X son mayores que b.
TI-84+SE Casio 9850+
Si la probabilidad de que sea mayor que b es 0,10; la probabilidad de que sea menor que b es 0,90.
Presione Aparece Presione Aparece
1. En todos los casos,
comience por acceder
a la función normal
inversa mediante la
secuencia
" v 3 .
E
2. . 9 , 5
0 0 ,
1 0 0
) =
. 9 E1 0 0 E5 0 0 EE
La respuesta es b = 628,2.
8/18/2019 Calculadoras de Pantalla Gráfica 2
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Uso de la TI-84 Plus SE y de la Casio CFX-9850 Plus
© Organización del Bachillerato Internacional, 2005 49
Tarea C: El 50% central de valores de X se encuentran entre c y d . Halle c y d .
TI-84+SE Casio 9850+
Presione Aparece Presione Aparece
1. La probabilidad de quesea menor que c tiene
que ser 0,25; y de que
sea menor que d 0,75.
" v 3
eLos extremos del
intervalo serán los
valores que marcan el
25% inferior y el 75%
inferior.
2. Para hallar c :
. 2 5
, 5 0 0
, 1 0
0 ) = .
Para hallar c :
. 2 5 EE .
c = 432,6
3. Cambie el 0,25 por el
0,75.
" = u > >
7 =
Cambie el 0,25 por el
0,75.
e . 7 5E E
La respuesta es d = 567,4. Así pues, el 50% central de valores de X se encuentran entre 432,6 y 567,4.
Diagramas de caja y bigotesTarea A: Represente los siguientes datos mediante un diagrama de caja y bigotes.
x 1 2 3 4 5
f 2 9 15 12 4
TI-84+SE Casio 9850+
Presione Aparece Presione Aparece
1. y
Borre cualquier gráficaalmacenada.
m 5
Borre cualquier gráficaalmacenada.
2. Cambie los parámetros de configuración de la
ventana a:
Xmín = 0
Xmáx = 5
Xescal = 1
Ymín = 0
Ymáx = 10
Yescal= 1.
Cambie los parámetros de configuración de la
ventana a:
Xmin : 0
max : 5
scale : 1
Ymin : 0
max : 10
scale : 1.
8/18/2019 Calculadoras de Pantalla Gráfica 2
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Uso de la TI-84 Plus SE y de la Casio CFX-9850 Plus
50 © Organización del Bachillerato Internacional, 2005
3. s 1
Recuerde que si se ha
realizado el ejercicio de
histogramas, los valores
ya están introducidos.En ese caso vaya
directamente al paso 5.
m 2Borre cualquier dato
que hubiese en las
listas.
u & $ !para cada lista.
4. Introduzca los datos en
la Lista1.
1 =
2 =
3 =
4 =
5 =
Introduzca los datos en
la Lista1.
1 E2 E3 E4 E5 E
5. Introduzca los datos enla Lista2.
> 2 =
9 =
1 5 =
1 2 =
4 =
Introduzca los datos enla Lista2.
> 2 E9 E1 5 E1 2 E4 E
6. " y
7. = =
para seleccionar “On”.
m 2 ! &
8. d > > > >
=d & "
9. g e !
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Uso de la TI-84 Plus SE y de la Casio CFX-9850 Plus
© Organización del Bachillerato Internacional, 2005 51
Matrices y vectores
Introducción de matrices en la calculadora
Tarea A: Introduzca las dos siguientes matrices: A =
2 5 3
3 4 1
5 2 7
−
−−
, B =
7
10
8
.
TI-84+SE Casio 9850+
Presione Aparece Presione Aparece
1. "t < 1 m 3
2. 3 =
3 =3 E3 E
3. Introduzca los valores
de los elementos de la
matriz A.
2 =
5 =: 3 =
3 =
: 4 =
1 =
5 =
2 =
: 7 =
Introduzca los valores
de los elementos de la
matriz A.
2 E
5 E: 3 E3 E: 4 E1 E5 E2 E: 7 E
4. "t < 2 e d
5. 3 =
1 =3 E1 E
6. 7 =
1 0 =
8 =
7 E1 0 E8 E
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Uso de la TI-84 Plus SE y de la Casio CFX-9850 Plus
52 © Organización del Bachillerato Internacional, 2005
7. Si es necesario,
"M c m
para volver a la pantalla
de inicio.
Si es necesario, m1 para volver a lapantalla de inicio.
Álgebra de matricesIntroduzca las siguientes matrices, utilizando el procedimiento descrito en el apartado “Introducción de
matrices en la calculadora”.
A =
2 5 3
3 4 1
5 2 7
−−
−
, B =
7
10
8
, C =
−− −
− −
9 19 7
9 6 7
11 16 3
y D =
8
5
9−
.
Tarea A: Introduzca en la calculadora las matricesC y D. (Si se realizó el ejercicio anterior, A y B ya deben estar en la memoria. Si no, introdúzcalas ahora.)
TI-84+SE Casio 9850+
Presione Aparece Presione Aparece
1. "t < 3 m 3 d d
2. 3 =3 =
3 E3 E
3. : 9 =
1 9 =
7 =
9 =
: 6 =
: 7 =
: 1 1 =1 6 =
: 3 =
: 9 E1 9 E7 E9 E: 6 E: 7 E
: 1 1 E1 6 E: 3 E
4. "t < 4 e d
5. 3 =
1 =3 E1 E
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Uso de la TI-84 Plus SE y de la Casio CFX-9850 Plus
© Organización del Bachillerato Internacional, 2005 53
6. 8 =
5 =
: 9 =
8 E5 E: 9 E
Tarea B: Calcule 3 B – 2 D.
TI-84+SE Casio 9850+
Presione Aparece Presione Aparece
1. 3 "t
2 -
2 "t
4
m 1 o "
aparece una nueva lista
de opciones encima de
las teclas de función (F).Ahora se pueden
realizar los cálculos con
las matrices.
2. = 3 ! a L-2 ! a SE
La respuesta es 3 B – 2 D =
5
20
42
.
Tarea C: Calcule 5 A + C.
TI-84+SE Casio 9850+
Presione Aparece Presione Aparece
1. 5 "t 1
+ "t 35 ! a X+ ! a l
2. = E
La respuesta es 5 A + C =
1 44 8
24 26 2
14 26 38
−− −
−
.
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Uso de la TI-84 Plus SE y de la Casio CFX-9850 Plus
54 © Organización del Bachillerato Internacional, 2005
Tarea D: Calcule el producto de A y B.
TI-84+SE Casio 9850+
Presione Aparece Presione Aparece
1. "t 1 "
t 2! a X *! a L
2. = E
La respuesta es AB =
40
11
1
−−
.
Cálculo del determinante de una matriz y de la matriz inversa
A =
2 5 3
3 4 1
5 2 7
−−
−
Tarea A: Halle el determinante de la matriz A.
TI-84+SE Casio 9850+
Presione Aparece Presione Aparece
1. Introduzca la matriz A utilizando el procedimiento descrito en el apartado “Introducción de matrices
en la calculadora”.
2. "t > =
"t 1 )
=
m 1o "£ ! aX E
El determinante de la matriz A es 104.
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Uso de la TI-84 Plus SE y de la Casio CFX-9850 Plus
© Organización del Bachillerato Internacional, 2005 55
Tarea B: Halle la inversa de la matriz A.
TI-84+SE Casio 9850+
Presione Aparece Presione Aparece
1. "t 1 t
=m 1 o @! a F s) E
2. Aquí se muestra
la imagen de la
configuración de la
calculadora para que
escriba los números con
dos cifras decimales.(Para acceder a esta
pantalla presione M
y después seleccione 2
en flot presionando
d > > > =.)
La inversa de la matriz A es .
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Las calculadoras de pantalla gráfica en la evaluaciónLas calculadoras de pantalla gráfica en la evaluación
Material de ayuda al profesor de Matemáticas NS y NM: calculadoras de pantalla gráfica
56 © Organización del Bachillerato Internacional, 2005
Lo que los alumnos deben poner por escrito en los exámenesLos objetivos específicos de los cursos actuales de matemáticas del Grupo 5 establecen que los alumnos
deben “organizar y representar la información y los datos en forma de tablas, gráficas y diagramas”, y
“formular un razonamiento matemático y exponerlo con claridad”. Esto significa que es importante que los
alumnos aprendan a expresarse con eficacia en los exámenes.
El modelo de evaluación ha cambiado respecto al de los cursos de matemáticas anteriores: ahora, para
conseguir la puntuación total, los alumnos deben mostrar por escrito, en todas las pruebas, el procedimiento
utilizado. En la prueba 1 de Matemáticas NM y Matemáticas NS, ya no es posible obtener la puntuación total
por dar únicamente la respuesta correcta. Para conseguir todos los puntos asignados a una pregunta, larespuesta correcta deberá ir acompañada, generalmente, del proceso seguido para su obtención.
El debate sobre lo que los alumnos deben poner por escrito en los exámenes se ha venido planteando
desde hace tiempo, incluso antes de la aparición de las calculadoras de pantalla gráfica. Las respuestas
a las preguntas “¿Qué se debe poner por escrito en un examen cuando se ha utilizado la calculadora?” y
“¿Cómo se expone el procedimiento utilizado?” también se aplican a las situaciones en las que no se utiliza
la calculadora. La clave está en una buena comunicación.
Ejemplo 1 de preguntaEn una progresión aritmética, el primer término es –2, el cuarto término es 16 y el término n-ésimo es 11998.
a) Halle la diferencia común d.
b) Halle el valor de n. [6 puntos]
Escriba Razones (se busca que el alumno…)
u1 = –2, u4 = 16, un = 11998
u u n d n = + −( )1 1
Escriba la información dada en lenguaje
matemático y escriba todas las fórmulas
pertinentes al problema.
(a) 16 2 3= − + d (De aquí se deduce d = 6)
(b) 11998 = –2 + (n – 1)6
Plantee las ecuaciones.
Utilice la utilidad de resolución de ecuacionesde la calculadora para resolverlas (en este
ejemplo se utiliza la Casio 9850+).
(a) d = 6
(b) n = 2001
Escriba la solución.
Compruebe que la solución responde a lo que
se pregunta y no contiene errores.
Para resolver la mayoría de las preguntas, el primer paso consiste en extraer la información, seleccionar una
estrategia adecuada y luego utilizar dicha información. En numerosas ocasiones, para poder utilizarla, es
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Las calculadoras de pantalla gráfica en la evaluación
© Organización del Bachillerato Internacional, 2005 57
necesario reorganizar la información. Si se utiliza una calculadora de pantalla gráfica, es posible que haya
que escribir los datos de la forma adecuada para introducirlos en la calculadora: lo que algunos profesores
denominan “preparar la pregunta para la calculadora”. Por ejemplo, si se pide hallar el área entre curvas, es
probable que los alumnos deban identificar los puntos de intersección y anotarlos. También deben i