Cálculo de PredicadosIng. César Grijalva

PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DEL ECUADOR SEDE IBARRA

Se trata de la interpretación de sentencias lógicas yde la corrección de argumentos lógicos. Lainterpretación está ligada con la validez.

A es válida si A es verdadera para todas lasinterpretaciones.

INTERPRETACIONES Y VALIDEZ

Una interpretación de una frase debe contenerinformación suficiente para determinar si la frase esverdadera o falsa.

Por Ejemplo:Han pagado todos los clientes.1) Primero debo preguntarme Qué necesito saber para

determinar si esta frase es verdadera?Saber quienes son los clientes, es decir el universo dediscurso.

INTERPRETACIONES Y VALIDEZ

2) Segundo es saber

“ ”.

INTERPRETACIONES Y VALIDEZ

Formalmente una interpretación lógica de una expresiónlógica contiene los siguientes componentes:

1. Tiene que haber un Universo de Discurso.

2. Para cada individuo debe haber una constante individualque se refiera solo a él.

3. A cada variable libre asignar una constante individual.

4. Tiene que haber una asignación para cada predicado quese utilice en la expresión, incluyendo los predicados dearidad cero que representan proposiciones.

INTERPRETACIONES Y VALIDEZ

Ej.∀xP(x): donde P es el predicado «ha pagado»

Supongamos 3 clientes María, Juan, Luis; M, J, L, senecesita una asignación si tanto María como Juan hanpagado, pero Luis no, entonces la asignación se da de laforma siguiente:

M J L

P(x) V V F

INTERPRETACIONES Y VALIDEZ

∴El valor de verdad de ∀xP(x), la frase es falsa

∀xP(x) solo es verdadera si P(M), P(J) y P(L) sontodas verdaderas, lo cual no es cierto ya que Luis noha pagado P(L) es falso.

INTERPRETACIONES Y VALIDEZ

Para la interpretación, seleccionamos un dominio infinitoque consta de n individuos a1, a2, a3,..an

∀xP(x) solo es verdadero si P(a1), P(a2), P(a3),..P(an)

son todos verdaderos.

LEY 1

∀xP(x) ≡ P(a1) ∧ P(a2) ∧ P(a3) ∧..P(an).

P(a1) ∧ P(a2) ∧ P(a3) ∧..P(an), solo tiene 2 posibles valoresVerdadero o Falso, esto hace que sean proposiciones.

INTERPRETACIONES Y VALIDEZ

Por lo tanto se puede decir que las interpretacionesen universos finitos transforma las expresiones deCálculo de predicados en proposiciones.

Por otro lado para decidir si ∃xP(x) es verdadero.

∃xP(x), es verdadero si existe al menos un x para elcual es válido P(x)

INTERPRETACIONES Y VALIDEZ

En la interpretación anterior

M J L

P(x) V V F

P(M) es verdadero y esto basta para que ∃xP(x) seaverdadero.

LEY 2

∃xP(x) ≡ P(a1) ∨ P(a2) ∨ P(a3) ∨...P(an).

INTERPRETACIONES Y VALIDEZ

La ley 1 y ley 2 permite demostrar que:

~∃xA ≡ ∀x~A es válido para todos los dominiosfinitos correspondientes a Morgan.

INTERPRETACIONES Y VALIDEZ

Para interpretar una frase con 2 argumentos.

Ejemplo:

Hay alguien que admira a todo el mundo.

- El universo de discurso consta de 3 personas, JuanMaría y Juana.

- El predicado en cuestión es Q(x , y): x admira a y.

INTERPRETACIONES Y VALIDEZ

La siguiente tabla da una asignación:Las filas argumento 1 y columnas argumento 2

JUAN MARÍA JUANA ∀yQ(x, y) ∃yQ(x, y)

JUAN F V V F V

MARIA V F F F V

JUANA F V V F V

∀xQ(x, y) F F F

∃xQ(x, y) V V V

INTERPRETACIONES Y VALIDEZ

De la tabla anterior se concluye:

Juan admira a María y a Juana María solo admira a Juan Juana admira a María y a sí misma

Para averiguar «Hay alguien que admira a todo el mundo»∃x x admira a todo el mundo

La frase «x admira a todo el mundo» se puede traducir a la siguiente forma: ∀y Q(x, y )

INTERPRETACIONES Y VALIDEZ

Y como resultado de toda la frase «Hay alguien que admira a todo el mundo» se puede expresar:

∃x ∀y Q(x, y )

Para averiguar si esta frase es cierta buscaremos el valor de verdad para:

∀y Q(x, y ), en la interpretación dada en la tabla ésta subexpresión esFALSA. VER TABLA ANTERIOR.

Es falsa para Juan porque Juan no se admira así mismo.

Es falsa para María porque María no se admira así misma.

Es falsa para Juana porque Juana no admira a Juan.

INTERPRETACIONES Y VALIDEZ

Por lo tanto se puede concluir que:

∀y Q(x, y ) es falsa para todo x, no existe un x para el cual ∀y Q(x, y ) sea verdadero y consiguientemente:

∃x ∀y Q(x, y ) es falso a efectos de la interpretación dada. Fin del ejemplo.

INTERPRETACIONES Y VALIDEZ

ANÁLISIS

∃x ∀y Q(x, y) , si se intercambiaran los cuantificadores universal yexistencial el valor de verdad puede cambiar,Es decir no sería equivalente si pongo ∃x ∀y Q(x, y) ≠∀y ∃x Q(x, y), por lo que solo se permite intercambiar entre los cuantificadoresuniversal y existencial.

1. ∀x ∀y Q(x, y ) ≡ ∀y ∀x Q(x, y ) 2. ∃x ∃y Q(x, y ) ≡ ∃y ∃x Q(x, y )

De 1 es verdadero de ambos lados si y solo si Q(x, y) = V para todos los posibles x e y.

INTERPRETACIONES Y VALIDEZ

Si R es cualquier proposición, es decir es o bienVerdadero o bien Falso, sea cual fuere el individuo.

Entonces ∀xR y∃xR son ambas verdaderas si R esverdadero o bien ambas falsas si R esfalsa, concluimos entonces que:

∀xR ≡ ∃xR ≡ R

INTERPRETACIONES Y VALIDEZ

Los argumentos lógicos tienen que ser válidos en todas las circunstancias.

Si un argumento ha de ser correcto, tendrá que ser verdadero, para todas las interpretaciones.

Validez

DEFINICIÓN 2.6: Una expresión es válida si es verdadera en todas las interpretaciones. Para expresar que una expresión A es válida, escribiremos |= A

Todas las tautologías son expresiones válidas.

Por definición una expresión A no es válida si existe unasola interpretación que haga A falso y ~A verdadero.

Validez

DEFINICIÓN 2.7: Si B es una expresión, entonces diremos que toda interpretación que haga que B produzca V satisface a B.

Toda interpretación que satisface a B se denomina un modelo de B. Si B tiene un modelo, entonces se dice que B es viable.

Validez

Por tanto, una expresión A no es válida si ~A es viable. De modo equivalente, si ~A tiene un modelo, entonces A no puede ser válida.

DEFINICIÓN 2.8: Una expresión B que no tenga ningún modelo se denomina contradictoria.

Validez

Consiguientemente si A es válida entonces ~A es contradictoria.

La noción de validez nos permite definir la implicación lógica y la equivalencia lógica en la forma siguiente:

DEFINICIÓN 2.9 . Sean A y B dos expresiones. Decimos que A es lógicamente equivalente a B si A ⇔ B es válida. En este caso, escribiremos A≡ B. Además, decimos que A implica lógicamente a B, o que A⇒ B, si A⇒B es válida.

Validez

PROBLEMAS

1. Un universo contiene los tres individuos a , b, c. Para estos individuos, se define un predicado Q(x, y) y susvalores de verdad están dados por la siguiente tabla:

a b c

a V F V

b F V V

c F V V

Dado el universo descrito determinar los valores de verdad para:

PROBLEMAS

a) ∃x~Q(a, y) ,

b) ∀yQ(b, y), y

c) ∀yQ(y, y) ∧ ∃x ∀yQ(x, y)

PROBLEMAS

2. Es válida P(x) => (P(x) v Q(x)) ? Razone su respuesta.

3. Generar un modelo para:

(P(x) => Q(y)) ∧ ~Q(y) ∧ P(y))

PROBLEMAS

La ley siguiente se va a emplear como ilustración. Sin embargo, esta ley en sí es muy importante.

∀x(P ⇒ Q(x)) ≡ P ⇒∀xQ(x)

P es una proposición y Q es un predicado. Parademostrar, se utiliza la ley de los casos. Dado que P es obien verdadera o bien falsa, se puede demostrar lavalidez de las dos equivalencias siguientes:

Validez

1 ∀x(V ⇒ Q(x)) ≡ V ⇒∀xQ(x)

2 ∀x(F ⇒ Q(x)) ≡ F ⇒∀xQ(x)

Estas dos equivalencias son válidas, dado que V ⇒ Q(x)

es Q(x), el lado izquierdo de 1 se reduce a ∀x Q(x). Poruna razón similar , el lado derecho de 1 se reduce a ∀x

Q(x) y ∀xQ(x) ⇔∀xQ(x) es evidentemente válido.

Validez

Además de 2 es válido porque ambos lados son siemprevedaderos: F ⇒ Q(x) es trivialmente verdadero, tambiénlo es F ⇒∀xQ(x).

En conclusión ∀x(P ⇒ Q(x)) ≡ P ⇒∀xQ(x)

Es válida independientemente de que P sea verdadera ofalsa.

Validez

Dado que la validez es muy importante, serían muyconvenientes unos métodos que permitieran mostrar siuna expresión es o no válida. Desafortunadamente, no haymétodos que funcionen en todos los casos. De hecho, elproblema es del tipo que se denomina indecidible. Losproblemas indecidibles no tienen una solución general, enel sentido de que no existe un método que puedaproporcionar de modo fiable una respuesta para elproblema. Si un problema es indecidible, entonces tieneuno que buscar casos especiales, o bien hay quecontentarse con métodos que a veces no llegan a darrespuesta; típicamente, esto sucede porque caen en algúntipo de bucle.

Validez

Para determinar que A no es válida, es entoncessuficiente dar un único contraejemplo; esto es bastacon dar una única interpretación para la cual Aproduzca el valor F.

Para probar que una condicional no es válida, essuficiente encontrar un modelo que haga que elantecedente sea verdadero, y el consecuente falso.

Para mostrar la forma de encontrar uno de esosmodelos, consideremos la siguiente expresión, queevidentemente no es válida:

Expresiones no validas

1) ∃xP(x) ⇒∀xP(x)

Si P(x) es cierto para algún x, esto no justifica, que P(x)sea cierto para todo x. Por ejemplo, si un programafunciona para ciertos datos de entrada, esto no nospermite concluir, que el programa funciona para todoslos posibles datos de entrada.

Expresiones no validas

A continuación se describirá la forma de hacerderivaciones en cálculo de predicados. En particular, sedan las reglas necesarias para insertar y eliminarcuantificadores universales y particulares.

También se presentará un concepto nuevo, “launificación”. La unificación goza de amplia difusión enlos lenguajes de programación lógicos y funcionales.

DERIVACIONES

PARTICULARIZACIÓN UNIVERSAL

A partir de ∀xP(x) debería ser posible derivar P(t) paracualquier termino t.

Ejemplo:

Si P(x) significa “x está domido”, entonces ∀xP(x)significa todo el mundo está dormido. De aquí se puedederivar que por ej. Juan está dormido.

DERIVACIONES

DERIVACIONES

DERIVACIONES

DERIVACIONES

EJEMPLO

Ahora vamos a dar unas cuantas derivaciones. La primera derivación es como sigue. Las premisas son:

Todos los seres humanos son mortales.

Sócrates es un ser humano.

A partir de estas premisa demostramos que

Sócrates es mortal.

Para realizar la derivación, supongamos que H(x) indicaque x es humano, y M(x) indica que él es mortal.

DERIVACIONES

DERIVACIONES