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Circuitos en serie LR
Algoritmo
Se identifican los datos del problema
se sustituyen los datos en la formula
correspondiente
se elimina fracción de la formula y se deriva la
formula
se sustituye el resultado en m
se multiplica por la formula y se procede a integrar
se despeja para encontrar el valor de la constante
de integración
Ejemplo:
Un circuito LR cuenta con un voltaje de 12 volts
y una inductancia de ½ Henry, indique la corriente
en función del tiempo si inicialmente se
encontraba apagado con una resistencia de 10 Ω
(ohms).
E= 12v
L= 1/2 henry
R= 10 Ω
[1
2
1 0 = 1 2 ] 2
+20i=24
M=∫ =
20 =24
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v=20x
dv=20dx
= 1
20 24 20
i* = +c
i=+c
=
i= solución general
Solución particular para cuando la corriente
está apagada
Inicio=apagado
1 = 0
0=
C=-
X=0
C=-
i=
-
∗ solución particular
x=tiempo transcurrido.
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Ecuaciones de Bernoulli
Una ecuación diferencial de Bernoulli se
resuelve mediante la sustitución de un factor “w”que es el inverso de la variable dependiente una
ecuación diferencial de Bernoulli se conforma
con la siguiente estructura:
=
Siendo n un exponente no una derivada
Para su resolución se debe convertir la ecuación
en una ecuación lineal modificando la variable
dependiente al sustituir la siguiente expresión.
1 = 1
Para representar el resultado se debe sustituir
nuevamente el valor del factor “w” encontrando
así la ecuación general.
Ejemplo:
Grafique la ecuación particular cuando y (1)=3 y
cuando pasa por el punto (2,2) de la ecuación.
Y´+
=
Y´ + =
N=2
1-n=-1
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Se sustituyen los valores y se resuelve la
operación
1 (
1
) = 1
1
=
Se saca a M
M=∫ = ∫ − = −ln = − =
−
–
− w (
)=-x*
−=
−
= 1
Se integran ambas partes
∗ − =1
∗ − =
W=−+
W=−
=
W=+cx
=+cx
Y= −+ solución general
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Solución particular:
Y (1)=3
C=+
=+
=
C=
Y=
+ solución particular
Graficar
x Y= +
-3 -
-2 -
-1 -
0 Ind
1 3
2 -
3 -
3
3
-3
-3
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Ecuaciones diferenciales lineales
homogéneas
aíces reales
Las raíces son reales se usara
y= Ejemplo:
2 ´ ´ 5 ´ 3 = 0
Convertir a ecuación polinómica
2 5 3 = 0
Se dan los valores de a, b y c de la formula
cuadrática
a= 2 b= -5 c= -3
Se resuelve la formula cuadrática con los
valores
= 5± 5 42322
= 5 ± 74
Se resuelven las dos X´s
=+
= 3
= − = -
Se sustituye en la fórmula del caso 1:
Y=+ −
solución general
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aíces iguales
Las raíces son iguales se usara
y= Ejemplo:
10
2 5 = 0
Convertir a ecuación polinómica
1 0 2 5 = 0
Se dan los valores de a, b y c de la formula
cuadrática
a= 1 b= -10 c=25
Se resuelve la formula cuadrática con los
valores
= 10± 10
412521
= 1 0 ± 02
Se resuelven las dos X´s
= + = 5
= − = 5
Se sustituye en la fórmula del caso 2:
Y=+ solución general
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aíces con números imaginarios
Las raíces son con números imaginarios se usara
= =
Y=+ + −
Y=
Ejemplo:
Y´´+y´+y=0
Convertir a ecuación polinómica
1 = 0 Se dan los valores de a, b y c de la formula
cuadrática
a= 1 b= 1 c=1
Se resuelve la formula cuadrática con los
valores
= 1 ± 1 41121
= 1 ± √ 32
Se identifica
± √
i
Se colocan los datos en la ecuación del caso 3:
Y=− √
√ solución general
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Grafique la solución particular
Y´´-2y´-8y=0
Cuando y (0)=1
Y´ (0)=2
1: convertir a ecuación polinómica
2 8 = 0
2: Sacar el valor de a, b y c requeridos en la
formula general
a=1 b= -2 c= -8
3: incluirlos en la formula cuadrática
= ± √ 42
= 2± 2 41821
4: dar solución a la formula
X=±
5: dando en
=+
= 4
=−
= -2
6: Se sustituye en la ecuación según el caso 1,2 y3 de las E.D.L.H.
Y= − solución general
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7: con la solución general se sustituye el primer
valor que sería: y (0)=1
1= −
1=
= 1 resultado1
8: se continua a derivar la solución general y se
resuelve con: y (0)=2
Y´=4 2−
2=4
2−
2=4 2
= 2 2 4
= + Resultado 2
9: Se procede a despejar a de ambos resultados = 14
4 2 = 2 1
4 4 = 4
4
2
= 2
6 =2
= 26 = 1
3
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10: con este resultado respondemos el primer
resultado de
= 1
= 1 =
11: sustituimos los resultados de C en la
solución general para sacar la solución
particular
Y=
− solución particular
12: se tabula y grafica sustituyendo a x según sea
el caso.
x Y=
−
-3 134.47
-2 18.19
-1 2.47
0 1
1 36.44
2 1987.41
3 108 503.19
120
mil
100
mil
80
mil
60
mil
40
mil
-3 20
mil
3
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Dependencia lineal
Cuando el Wroskiano es
w=0 las funciones son linealmente dependientes
w≠0 las funciones son linealmente
independientes
Ejemplo:
= = = 4 3 1: ordenamos los datos en fila
W=| x
4 3
|
2: se deriva cada dato 2 veces para tener el mismo
número de columnas y filas
W=
3: se repiten las 2 primeras filas en la parte de
abajo
x 4 3 1 2x 4-6x0 2 -6
x 4 3 1 2x 4-6x0 2 -6x 4 3 1 2x 4-6x
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4: Se multiplica cruzado de 3 en 3 empezando de la
parte superior izquierda a la inferior derecha en
diagonal 3 veces y los resultados se suman luego
se restan con los resultados de hacer el mismo
proceso pero ahora de abajo hacia arriba
De arriba hacia abajo
W=
5: De abajo hacia arriba
W=
6: Dando como resultado después de sumar y
restar cada lado
(-12+8x-6+0) – (-6+8x-12)
7: Se suma y restan los valores y nos dará W=0por lo que es las funciones son linealmente
dependientes
x 4 3 1 2x 4-6x0 2 -6x 4 3 1 2x 4-6x
x 4 3 1 2x 4-6x0 2 -6
x 4 3 1 2x 4-6x
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Ecuación lineal homogénea
Y´´´-6y´´+11y´-6y=0
1: se convierte a una ecuación polinómica
6 1 1 6 = 0
2: se toman los coeficientes y se procede a buscar
el número de raíces acorde al máximo de Y primas
en este caso es 3
3: primero se ordenan los datos
1 -6 11 -6
4: se buscan los números que puedan dividir
exactamente al último número (-6)
1, 2, 3,-1,-2,-3
Luego se escoge cualquier número
Escogemos el 1
1 -6 11 -61
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Se baja el primer número directo
1 -6 11 -61 v
1
Se multiplica el número bajado por el que se
escogió y se coloca el resultado alado del
número bajado
1 -6 11 -61 v 1
1
Se resta o suma el resultado con el número dearriba
1 -6 11 -61 v 1
1 -5Se repite el proceso con el fin de eliminar al
último número que es -6
1 -6 11 -61 v 1 -5 6
1 -5 6 0
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Si el último número se elimina el numero escogido
es una raíz siendo =1
Se repite lo mismo con el resultado y se vaneliminando el número del final obteniendo en
total 3 raíces
Se escoge cualquiera de los números que dividen
a -6 exactamente
1 -6 11 -61 v 1 -5 6
1 -5 6 0-2 v 2 -6
1 -3 03 v 3
1 0
=1
=2
=3
Luego sustituimos en orden nuestras raíces en la
fórmula de Ecuaciones diferenciales lineales
homogéneas según sea el caso al que
corresponda
Y=
Entonces , , son independientes.