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Manual Técnico
09-Abril-2010
José Luís Marques
Manual Técnico Página 2 de 81
José Luís Marques
Manual Técnico Página 3 de 81
Índice .............................................................................................................................................................. 3
LAJE DE PISO – LP1 ......................................................................................................................................... 4
LAJE DE TECTO – LT1 ...................................................................................................................................... 7
LAJE DE TECTO – LTC1 .................................................................................................................................. 10
LAJE DE ESCADA – LE .................................................................................................................................... 13
LAJE EM CONSOLA LC – Encastrada num apoio e sem rotação .................................................................. 16
LAJE MACIÇA – LM – Simplesmente apoiada ............................................................................................... 19
LAJE ARMADA EM CRUZ – LX1 ..................................................................................................................... 22
VIGA V1 – Simplesmente apoiada ................................................................................................................ 30
VIGA V2 – Duplamente encastrada .............................................................................................................. 33
VIGA V3 – Duplamente encastrada com carga concentrada ....................................................................... 37
VIGA V4 – Contínua de dois tramos desiguais ............................................................................................. 42
CÁLCULO DE EXCENTRICIDADES................................................................................................................... 48
CÁLCULO SÍSMICO ........................................................................................................................................ 51
FLEXÃO COMPOSTA ..................................................................................................................................... 54
PILAR P1 – Secção rectangular – Compressão simples ................................................................................ 56
SAPATA S1 – Concêntrica, homotética, rectangular .................................................................................... 58
SAPATA S2 – Concêntrica, homotética, quadrada ....................................................................................... 61
SAPATA S3 – Excêntrica, homotética, rectangular ....................................................................................... 63
SAPATA S4 – Excêntrica, homotética, quadrada .......................................................................................... 66
SAPATA S5 – Sapata de parede, concêntrica ............................................................................................... 69
SAPATA S6 – Sapata de parede, excêntrica ................................................................................................. 71
MURO DE SUPORTE ...................................................................................................................................... 73
BIBLIOGRAFIA ............................................................................................................................................... 81
Índice
José Luís Marques
Manual Técnico Página 4 de 81
1 – Dados:
Aço A 400 Betão B 15 Vão l=5.00 m Pé direito do piso 2,70 m
2 - Determinação da altura h
Cálculo da altura mínima – Artigo 113.2 102.2 do REBAP
30min
lh
Tipo de aço Valores de
A235 = 1.4
A400 = 1.0
A500 = 0.8
Tipo de laje Valores de
Simplesmente apoiada armada numa só direcção = 1.0
Duplamente encastrada, armadas numa só direcção = 0.6
Apoiada num bordo e encastrada no outro, armada numa só direcção
= 0.8
Em consola = 2.4
Simplesmente apoiada, armada em duas direcções = 0.7
Duplamente armada, armada em duas direcções = 0.5
Tipo de laje Espessura mínima
Laje de terraços não acessíveis definidos de acordo com o RSA 5 cm
Lajes submetidas principalmente a cargas distribuídas 7 cm
Lajes submetidas a cargas concentradas relativamente importantes 10 cm
Lajes submetidas a cargas concentradas muito importantes 12 cm
Lajes apoiadas directamente em pilares 15 cm
130
90,000,5minh 0.15 m
Adoptamos h = 0.24 m
3 - Determinação do peso próprio
Vamos estudar a laje B22-20 P3-4 com pp=5,52 kN/m2 e rigidez EI=18895 kNm2/m
4 - Determinação de combinação de acções Sd
Acções permanentes: Peso próprio pp = 3.52 kN/m
2
Divisórias div =1.51 kN/m2
Revestimento ver = 0.50 kN/m2
G = 5.53 kN/m2
Determinação do peso das divisórias
%)/( 2 direitoPémpesoDiv
Div = 1,40 x 2,70 x 0.40 = 1,51 (Art.º 15 do RSA e pagina 97 das Tabelas Técnicas) Acções variáveis:
Tipo de laje Sobrecarga
Compartimentos de habitação sc = 2,0 kN/m2
Lajes de tecto sc = 1,0 kN/m2
Lajes de cobertura Sc = 0.30 kN/m2
Sobrecarga sc =2.00 kN/m2
LAJE DE PISO – LP1
José Luís Marques
Manual Técnico Página 5 de 81
Q= 2.00 kN/m2
Combinação de acções:
QGSd 5,1 253.55,1dS 11,30 kN/m2
5 – Verificação aos estados limites de utilização (artº 12 do RSA) 5.1 – Combinações frequentes
QGSdf 1 230.053.5dfS 6,13 kN/m2
5.2 – Combinações quase permanentes
QGSdqp 2 220.053.5dfS 5.93 kN/m2
6 - Cálculos dos esforços 6.1 – Verificação ao estado limite último de resistência
Momento Flector
8
2lSM d
sd
8
00,53,11 2sdM = 35.31 kN.m
Esforço Transverso
2
lSV d
sd
2
00,53,11 sdV = 28,25 kN/m
6.2 – Verificação ao estado limite de fendilhação
Momento Flector de descompressão
8
2lSM
df
sdf
8
00,513,6 2sdfM = 19.16 kN.m
Momento Flector de fendilhação
8
2lSM
dqp
sdqp
8
00,593,5 2sdqpM = 18,53 kN.m
7 – Verificação ao estado limite de deformação
Cálculo da deformada
400
max
lf
400
500max f = 12,50 kN.m
EI
lSf
df
inst
4
384
5
18995
00,513,6
384
5 4instf =2,64 mm
dfS
GR 21
13,6
53,521 R =2,80
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Manual Técnico Página 6 de 81
R
EIX
8,2
18995X =6748
X
lSf
df
lprazo
4
384
5
6748
00,513,6
384
5 4instf =7,39 mm
8 – Verificação da segurança Esforços resistentes > Esforços actuantes
Mrd 38,20 kNm/m > 35,31 kNm/m Mfctk 39,20 kNm/m > 19,16 kNm/m M0 35,70 kNm/m > 18,53 kNm/m Vrd 42,90 kN/m > 28,25 kN/m
9 – Armadura de distribuição Laje B22-20 P3-4 Adistr=1,64 cm2 – MALHASOL AR46
10 – Nervuras transversais (tarugos) Número de tarugos
)10
int(h
ln
)
24.010
5int(
n = 2,08 = 2 tarugos
Distância entre tarugos
1
1
n
ld
12
00,51
d = 1,67 m
Armadura dos tarugos
1d
AdAt = 0,83 cm2 c/ 2 ø 8 mm
11 – Reacção dos apoios: Devido à acção G (acções permanentes)
2
lGRG
2
553,5 GR = 13,83 kN/m
Devido à acção Q (acções variáveis)
2
lQRQ
2
52QR = 5,00 kN/m
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Manual Técnico Página 7 de 81
1 – Dados:
Aço A 400 Betão B 15 Vão l=4,50 m
2 - Determinação da altura h Cálculo da altura mínima – Artigo 113.2 102.2 do REBAP
30min
lh
Tipo de aço Valores de
A235 = 1.4
A400 = 1.0
A500 = 0.8
Tipo de laje Valores de
Simplesmente apoiada armada numa só direcção = 1.0
Duplamente encastrada, armadas numa só direcção = 0.6
Apoiada num bordo e encastrada no outro, armada numa só direcção
= 0.8
Em consola = 2.4
Simplesmente apoiada, armada em duas direcções = 0.7
Duplamente armada, armada em duas direcções = 0.5
Tipo de laje Espessura mínima
Laje de terraços não acessíveis definidos de acordo com o RSA 5 cm
Lajes submetidas principalmente a cargas distribuídas 7 cm
Lajes submetidas a cargas concentradas relativamente importantes 10 cm
Lajes submetidas a cargas concentradas muito importantes 12 cm
Lajes apoiadas directamente em pilares 15 cm
130
90,050,4minh 0.135 m
Adoptamos h = 0.19 m
3 - Determinação do peso próprio
Vamos estudar a laje B22-16 P2.3 com pp=2,74 kN/m2 e rigidez EI=9442 kNm2/m
4 - Determinação de combinação de acções Sd
Acções permanentes: Peso próprio pp = 2,74 kN/m
2
G = 2,74 kN/m2
Acções variáveis:
Tipo de laje Sobrecarga
Compartimentos de habitação sc = 2,0 kN/m2
Lajes de tecto sc = 1,0 kN/m2
Lajes de cobertura Sc = 0.30 kN/m2
Sobrecarga sc =1.00 kN/m2
Q= 1.00 kN/m2
Combinação de acções:
QGSd 5,1 174,25,1dS 5,61 kN/m2
LAJE DE TECTO – LT1
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Manual Técnico Página 8 de 81
5 – Verificação aos estados limites de utilização (artº 12 do RSA) 5.1 – Combinações frequentes
QGSdf 1 1074,2dfS 2,74 kN/m2
5.2 – Combinações quase permanentes
QGSdqp 2 1074,2dfS 2,74 kN/m2
6 - Cálculos dos esforços 6.1 – Verificação ao estado limite último de resistência
Momento Flector
8
2lSM d
sd
8
50,461,5 2sdM = 14,20 kN.m
Esforço Transverso
2
lSV d
sd
2
50,474,2 sdV = 12,62 kN/m
6.2 – Verificação ao estado limite de fendilhação
Momento Flector de descompressão
8
2lSM
df
sdf
8
50,474,2 2sdfM = 6,94 kN.m
Momento Flector de fendilhação
8
2lSM
dqp
sdqp
8
50,474,2 2sdqpM = 6,94 kN.m
7 – Verificação ao estado limite de deformação
Cálculo da deformada
400
max
lf
400
450max f = 11,25 kN.m
EI
lSf
df
inst
4
384
5
9442
50,474,62
384
5 4instf =1,55 mm
dfS
GR 21
74,2
74,221 R =3,00
R
EIX
0,3
9442X =3147
José Luís Marques
Manual Técnico Página 9 de 81
X
lSf
df
lprazo
4
384
5
3147
50,474,2
384
5 4instf =4,65 mm
7 – Verificação da segurança Esforços resistentes > Esforços actuantes Mrd 29,30 kNm/m > 14,20 kNm/m Mfctk 34,20 kNm/m > 6,94 kNm/m M0 18,10 kNm/m > 6,94 kNm/m Vrd 20,40 kN/m > 12,62 kN/m
8 – Armadura de distribuição Laje B22-20 P3-4 Adistr=1,09 cm2 – MALHASOL AR38
9 – Nervuras transversais (tarugos) Número de tarugos
)10
int(h
ln
)
19.010
5.4int(
n = 2,27 = 2 tarugos
Distância entre tarugos
1
1
n
ld
12
50,41
d = 1,50 m
Armadura dos tarugos
1d
AdAt = 0,38 cm2 c/ 2 ø 6 mm
10 – Reacção dos apoios: Devido à acção G (acções permanentes)
2
lGRG
2
5,474,2 GR = 6,17 kN/m
Devido à acção Q (acções variáveis)
2
lQRQ
2
5.41QR = 2,25 kN/m
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Manual Técnico Página 10 de 81
1 – Dados:
Aço A 400 Betão B 15 Vão l=4,50 m
2 - Determinação da altura h Cálculo da altura mínima – Artigo 113.2 102.2 do REBAP
30min
lh
Tipo de aço Valores de
A235 = 1.4
A400 = 1.0
A500 = 0.8
Tipo de laje Valores de
Simplesmente apoiada armada numa só direcção = 1.0
Duplamente encastrada, armadas numa só direcção = 0.6
Apoiada num bordo e encastrada no outro, armada numa só direcção
= 0.8
Em consola = 2.4
Simplesmente apoiada, armada em duas direcções = 0.7
Duplamente armada, armada em duas direcções = 0.5
Tipo de laje Espessura mínima
Laje de terraços não acessíveis definidos de acordo com o RSA 5 cm
Lajes submetidas principalmente a cargas distribuídas 7 cm
Lajes submetidas a cargas concentradas relativamente importantes 10 cm
Lajes submetidas a cargas concentradas muito importantes 12 cm
Lajes apoiadas directamente em pilares 15 cm
130
90,050,4minh 0.135 m
Adoptamos h = 0.19 m
3 - Determinação do peso próprio Vamos estudar a laje B22-16 P2.3 com pp=2,74 kN/m2 e rigidez EI=9442 kNm2/m
4 - Determinação de combinação de acções Sd
Acções permanentes: Peso próprio pp = 2,74 kN/m
2
Peso da telha telh = 0,50 kN/m2 G = 3,24kN/m2
Acções variáveis:
Tipo de laje Sobrecarga
Compartimentos de habitação sc = 2,0 kN/m2
Lajes de tecto sc = 1,0 kN/m2
Lajes de cobertura Sc = 0.30 kN/m2
Sobrecarga sc = 0.30 kN/m2
Q= 0.30 kN/m2
Combinação de acções:
QGSd 5,1 30,024,35,1dS 5.31 kN/m2
LAJE DE TECTO – LTC1
José Luís Marques
Manual Técnico Página 11 de 81
5 – Verificação aos estados limites de utilização (artº 12 do RSA) 5.1 – Combinações frequentes
QGSdf 1 3,0024,3dfS 3,24 kN/m2
5.2 – Combinações quase permanentes
QGSdqp 2 3.0024,3dfS 3,24kN/m2
6 - Cálculos dos esforços 6.1 – Verificação ao estado limite último de resistência
Momento Flector
8
2lSM d
sd
8
50,431,5 2sdM = 13,33 kN.m
Esforço Transverso
2
lSV d
sd
2
50,431,5 sdV = 11,95 kN/m
6.2 – Verificação ao estado limite de fendilhação
Momento Flector de descompressão
8
2lSM
df
sdf
8
50,424,3 2sdfM = 8,20 kN.m
Momento Flector de fendilhação
8
2lSM
dqp
sdqp
8
50,424,3 2sdqpM = 8,24 kN.m
7 – Verificação ao estado limite de deformação
Cálculo da deformada
400
max
lf
400
450max f = 11,25 kN.m
EI
lSf
df
inst
4
384
5
9442
50,424,3
384
5 4instf =1,83 mm
dfS
GR 21
24,3
24,321 R =3,00
R
EIX
0,3
9442X =3147
José Luís Marques
Manual Técnico Página 12 de 81
X
lSf
df
lprazo
4
384
5
3147
50,424,3
384
5 4instf =5,50 mm
7 – Verificação da segurança Esforços resistentes > Esforços actuantes Mrd 29,30 kNm/m > 13,44 kNm/m Mfctk 34,20 kNm/m > 8,20 kNm/m M0 18,10 kNm/m > 8,20 kNm/m Vrd 20,40 kN/m > 11,95 kN/m
8 – Armadura de distribuição Laje B22-20 P3-4 Adistr=1,09 cm2 – MALHASOL AR38
9 – Nervuras transversais (tarugos) Número de tarugos
)10
int(h
ln
)
19.010
5.4int(
n = 2,27 = 2 tarugos
Distância entre tarugos
1
1
n
ld
12
50,41
d = 1,50 m
Armadura dos tarugos
1d
AdAt = 0,38 cm2 c/ 2 ø 6 mm
10 – Reacção dos apoios: Devido à acção G (acções permanentes)
2
lGRG
2
5,424,3 GR = 7,29 kN/m
Devido à acção Q (acções variáveis)
2
lQRQ
2
5.43,0 QR = 0,68 kN/m
José Luís Marques
Manual Técnico Página 13 de 81
1 – Dados:
Aço A 400 Betão B 15 Vão l=3.00 m
2 - Determinação da altura h Cálculo da altura mínima – Artigo 102 do REBAP
30min
lh
Tipo de aço Valores de
A235 = 1.4
A400 = 1.0
A500 = 0.8
Tipo de laje Valores de
Simplesmente apoiada armada numa só direcção = 1.0
Duplamente encastrada, armadas numa só direcção = 0.6
Apoiada num bordo e encastrada no outro, armada numa só direcção
= 0.8
Em consola = 2.4
Simplesmente apoiada, armada em duas direcções = 0.7
Duplamente armada, armada em duas direcções = 0.5
Tipo de laje Espessura mínima
Laje de terraços não acessíveis definidos de acordo com o RSA 5 cm
Lajes submetidas principalmente a cargas distribuídas 7 cm
Lajes submetidas a cargas concentradas relativamente importantes 10 cm
Lajes submetidas a cargas concentradas muito importantes 12 cm
Lajes apoiadas directamente em pilares 15 cm
130
90,000,3minh 0.09 m
Adoptamos h = 0.12 m
3 - Determinação de combinação de acções Sd
Acções permanentes:
Peso próprio = 0.12 25 = 3,0 pp = 3.00 kN/m2
Revestimentos (de tabela) rev =1.00 kN/m2
Peso degraus = (0.18 / 2 ) 25 = 2.25 deg=2.25 kN/m2
G = 6.25 kN/m2
Acções variáveis:
Tipo de laje Sobrecarga
Acessos em locais privados sc = 3,0 kN/m2
Acessos em locais públicos sc = 5,0 kN/m2
Sobrecarga sc =3.00 kN/m2
Q= 3.00 kN/m2
Combinação de acções:
QGSd 5,1 325,65,1dS 13.88 kN/m2
LAJE DE ESCADA – LE
José Luís Marques
Manual Técnico Página 14 de 81
4 - Cálculos dos esforços
Momento Flector
10
2lSM d
sd
10
00,388.13 2sdM = 12.49 kN.m
Esforço Transverso
2
lSV d
sd
2
00,388,13 sdV = 20.82 kN/m
5 - Cálculo das armaduras (fórmulas simplificadas):
cd
sd
fdb
M
2
800010,01
49,122
0.156
Se 31.0 Se 31.0
0'
1
d
a
1
31.0'
41.0'
Como 31.0
0'
1 = 0.180
syd
cds
f
fdbA
348
810100180.0 sA = 4.14 cm
2/m
Realizável com 6 Ø 10 p.m.l. ( Aef = 4.71 cm2)
)(5
1efectivasdist AA 71,4
5
1distA 0.94 cm
2/m
Realizável com 6 Ø 6 p.m.l. (Aef. = 1.70 cm2)
6 - Verificações 6.1 - Armadura:
Percentagem mínima ρ 0.15 % (A-400)
100
db
As
10010.01
000414,0 0.414 % (OK!)
Armadura máxima 00,112.004.0 sA = 48,00 cm2 (OK!)
José Luís Marques
Manual Técnico Página 15 de 81
6.2 - Fendilhação:
Espaçamento entre varões (a menor das três condições)
< h5,1 12.05,1 = 0.18 m = 18 cm
< 35 cm 35 cm
< 2 12,5 (1) 25 cm
(1) Duas vezes o valor da seguinte tabela (Art. 91 do REBAP)
Ambiente
Tipo de aço
A235
A400 A500
Pouco agressivo (w=0.3 mm)
---
12,5 cm 10 cm
Moderadamente agressivo
--- 7,5 cm 5 cm
Espaçamento de 100 / 6 varões = 16,66 cm (OK)
7 - Esforço transverso:
wdcdRD VVV
ddbVcd 6.16.01 10.06.16.010.01500cdV 51 kN
wdV 0
Valor da tensão
Tipo de betão
B15
B20 B25
1
0.50 0.60 0.65
2
2,4 3.2 4.0
rdsd VV 00,4582.20 kN (OK!)
8 – Reacção dos apoios: Devido à acção G (acções permanentes)
2
lGRG
2
325,6 GR = 9.38 kN/m
Devido à acção Q (acções variáveis)
2
lQRQ
2
33QR = 4,50 kN/m
José Luís Marques
Manual Técnico Página 16 de 81
1 – Dados:
Aço A 400 Betão B 15 Vão l=1.30 m
2 - Determinação da altura h Cálculo da altura mínima – Artigo 102 do REBAP
30min
lh
Tipo de aço Valores de
A235 = 1.4
A400 = 1.0
A500 = 0.8
Tipo de laje Valores de
Simplesmente apoiada armada numa só direcção = 1.0
Duplamente encastrada, armadas numa só direcção = 0.6
Apoiada num bordo e encastrada no outro, armada numa só direcção
= 0.8
Em consola = 2.4
Simplesmente apoiada, armada em duas direcções = 0.7
Duplamente armada, armada em duas direcções = 0.5
Tipo de laje Espessura mínima
Laje de terraços não acessíveis definidos de acordo com o RSA 5 cm
Lajes submetidas principalmente a cargas distribuídas 7 cm
Lajes submetidas a cargas concentradas relativamente importantes 10 cm
Lajes submetidas a cargas concentradas muito importantes 12 cm
Lajes apoiadas directamente em pilares 15 cm
130
4,230,1minh 0.104 m
Adoptamos h = 0.12 m
3 - Determinação de combinação de acções Sd
Acções permanentes:
Peso próprio = 0.12 25 = 3,0 pp = 3,00 kN/m2
Revestimentos (de tabela) rev =1,00 kN/m2
G = 4,00 kN/m2
Acções variáveis:
Tipo de laje Sobrecarga
Acessos em varandas sc = 5,0 kN/m2
Sobrecarga sc =5.00 kN/m2
Q= 5.00 kN/m2
Combinação de acções:
QGSd 5,1 00,500,45,1dS 13,50 kN/m2
Carga concentrada originada pelo encosto:
FS toen 5,1cos 5,05,1costoenS 0,75 kN/m
LAJE EM CONSOLA LC – Encastrada num apoio e sem rotação
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Manual Técnico Página 17 de 81
4 - Cálculos dos esforços
Momento Flector
lSlS
M toend
sd
cos
2
2 30,175,0
2
30,150.13 2
sdM = -12,38 kN.m
Esforço Transverso
toendsd SlSV cos 75.030.15,13 sdV = 18.30 kN/m
5 - Cálculo das armaduras (fórmulas simplificadas):
cd
sd
fdb
M
2
80010,01
39,122
0.152
Se 31.0 Se 31.0
0'
1
d
a
1
31.0'
41.0'
Como 31.0
0'
1 = 0.179
syd
cds
f
fdbA
348
810100179.0 sA = 4.11 cm
2/m
Realizável com 7 Ø 10 p.m.l. ( Aef = 5,50 cm2)
)(5
1efectivasdist AA 50,5
5
1distA 1,10 cm
2/m
Realizável com 6 Ø 6 p.m.l. (Aef. = 1.70 cm2)
6 - Verificações 6.1 - Armadura:
Percentagem mínima ρ 0.15 % (A-400)
100
db
As
10010.01
000411,0 0.411 % (OK!)
Armadura máxima 00,112.004.0 sA = 48,00 cm2 (OK!)
José Luís Marques
Manual Técnico Página 18 de 81
6.2 - Fendilhação:
Espaçamento entre varões (a menor das três condições)
< h5,1 12.05,1 = 0.18 m = 18 cm
< 35 cm 35 cm
< 2 12,5 (1) 25 cm
(2) Duas vezes o valor da seguinte tabela (Art. 91 do REBAP)
Ambiente
Tipo de aço
A235
A400 A500
Pouco agressivo (w=0.3 mm)
---
12,5 cm 10 cm
Moderadamente agressivo
--- 7,5 cm 5 cm
Espaçamento de 100 / 6 varões = 16,66 cm (OK)
7 - Esforço transverso:
wdcdRD VVV
ddbVcd 6.16.01 10.06.16.010.01500cdV 51 kN
wdV 0
Valor da tensão
Tipo de betão
B15
B20 B25
1
0.50 0.60 0.65
2
2,4 3.2 4.0
rdsd VV 00,5130.18 kN (OK!)
8 – Reacção dos apoios: Devido à acção G (acções permanentes)
FlGRG 50.030.14 GR = 5,70 kN/m
Devido à acção Q (acções variáveis)
lQRQ 30.15QR = 6,50 kN/m
José Luís Marques
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1 – Dados:
Aço A 400 Betão B 15 Vão l=3.00 m
2 - Determinação da altura h Cálculo da altura mínima – Artigo 102 do REBAP
30min
lh
Tipo de aço Valores de
A235 = 1.4
A400 = 1.0
A500 = 0.8
Tipo de laje Valores de
Simplesmente apoiada armada numa só direcção = 1.0
Duplamente encastrada, armadas numa só direcção = 0.6
Apoiada num bordo e encastrada no outro, armada numa só direcção
= 0.8
Em consola = 2.4
Simplesmente apoiada, armada em duas direcções = 0.7
Duplamente armada, armada em duas direcções = 0.5
Tipo de laje Espessura mínima
Laje de terraços não acessíveis definidos de acordo com o RSA 5 cm
Lajes submetidas principalmente a cargas distribuídas 7 cm
Lajes submetidas a cargas concentradas relativamente importantes 10 cm
Lajes submetidas a cargas concentradas muito importantes 12 cm
Lajes apoiadas directamente em pilares 15 cm
130
0,100,3minh 0.10 m
Adoptamos h = 0.15 m
3 - Determinação de combinação de acções Sd
Acções permanentes:
Peso próprio = 0.15 25 = 3,75 pp = 3.75 kN/m2
Revestimentos (de tabela) rev =1.00 kN/m2
G = 4,75 kN/m2
Acções variáveis:
Tipo de laje Sobrecarga
Acessos em locais privados sc = 3,0 kN/m2
Acessos em locais públicos sc = 5,0 kN/m2
Sobrecarga sc =3.00 kN/m2
Q= 3.00 kN/m2
Combinação de acções:
QGSd 5,1 375,45,1dS 11.63 kN/m2
LAJE MACIÇA – LM – Simplesmente apoiada
José Luís Marques
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4 - Cálculos dos esforços
Momento Flector
8
2lSM d
sd
8
00,363,11 2sdM = 13,08 kN.m
Esforço Transverso
2
lSV d
sd
2
00,363,11 sdV = 17,45 kN/m
5 - Cálculo das armaduras (fórmulas simplificadas):
cd
sd
fdb
M
2
80013,01
49,122
0.774
Se 31.0 Se 31.0
0'
1
d
a
1
31.0'
41.0'
Como 31.0
0'
1 = 0.106
syd
cds
f
fdbA
348
813100106.0 sA = 3,17 cm
2/m
Realizável com 7 Ø 10 p.m.l. ( Aef = 5,50 cm2)
)(5
1efectivasdist AA 50,5
5
1distA 1,10 cm
2/m
Realizável com 6 Ø 6 p.m.l. (Aef. = 1.70 cm2)
6 - Verificações 6.1 - Armadura:
Percentagem mínima ρ 0.15 % (A-400)
100
db
As
10013.01
000317,0 0.244 % (OK!)
Armadura máxima 00,112.004.0 sA = 48,00 cm2 (OK!)
José Luís Marques
Manual Técnico Página 21 de 81
6.2 - Fendilhação:
Espaçamento entre varões (a menor das três condições)
< h5,1 15.05,1 = 22,5 cm
< 35 cm 35 cm
< 2 12,5 (1) 25 cm
(3) Duas vezes o valor da seguinte tabela (Art. 91 do REBAP)
Ambiente
Tipo de aço
A235
A400 A500
Pouco agressivo (w=0.3 mm)
---
12,5 cm 10 cm
Moderadamente agressivo
--- 7,5 cm 5 cm
Espaçamento de 100 / 6 varões = 16,66 cm (OK)
7 - Esforço transverso:
wdcdRD VVV
ddbVcd 6.16.01
13.06.16.013.01500cdV 67.47 kN
wdV 0
Valor da tensão
Tipo de betão
B15
B20 B25
1
0.50 0.60 0.65
2
2,4 3.2 4.0
rdsd VV 47,6754,17 kN (OK!)
8 – Reacção dos apoios: Devido à acção G (acções permanentes)
2
lGRG
2
375,4 GR = 7,13 kN/m
Devido à acção Q (acções variáveis)
2
lQRQ
2
33QR = 4,50 kN/m
José Luís Marques
Manual Técnico Página 22 de 81
1 – Dados: Laje armada em cruz com dois bordos descontínuos e dois bordos com continuidade
Aço A 400 Betão B 15 Vão maior lx=6,20 m Vão menor ly=4,40 m
2 - Determinação da altura h Cálculo da altura mínima – Artigo 102 do REBAP
30min
lh
Tipo de aço Valores de
A235 = 1.4
A400 = 1.0
A500 = 0.8
Tipo de laje Valores de
Simplesmente apoiada armada numa só direcção = 1.0
Duplamente encastrada, armadas numa só direcção = 0.6
Apoiada num bordo e encastrada no outro, armada numa só direcção
= 0.8
Em consola = 2.4
Simplesmente apoiada, armada em duas direcções = 0.7
Duplamente armada, armada em duas direcções = 0.5
Tipo de laje Espessura mínima
Laje de terraços não acessíveis definidos de acordo com o RSA 5 cm
Lajes submetidas principalmente a cargas distribuídas 7 cm
Lajes submetidas a cargas concentradas relativamente importantes 10 cm
Lajes submetidas a cargas concentradas muito importantes 12 cm
Lajes apoiadas directamente em pilares 15 cm
130
5,020,6minh 0.10 m
130
7,020,6minh 0.14 m
Adoptamos h = 0.15 m; d=0,13 m
3 – Consulta às tabelas de Montoya
Relação entre os vãos 20,6
40,4
x
y
L
L0,70
(Condição necessária para utilizar este método: O vão maior não pode ultrapassar o dobro do vão menor.)
LAJE ARMADA EM CRUZ – LX1
José Luís Marques
Manual Técnico Página 23 de 81
Tabela do livro “Hormigon Armado de Pedro Jiménez Montoya e outros, Editora Gustavo Gili – 14ª Edição.
Escolhemos na tabela a configuração escolhida e cruzando com a relação do vão obtemos os coeficientes que utilizaremos mais à frente. No presente caso dois bordos contínuos e dois descontínuos, tiramos:
45001,02
yy lqM - Direcção Y e armadura inferior (no vão)
24001,02
yx lqM - Direcção X e armadura inferior (no vão)
101001,02
yy lqM - Direcção Y e armadura superior (no apoio)
80001,02
yx lqM - Direcção Y e armadura superior (no apoio)
43001,03
4
hE
lqw
y - Deformação (flecha) máxima
4 - Determinação de combinação de acções Sd
Acções permanentes: Peso próprio = 0.15 25 = 3,75 pp = 3.75 kN/m
2
Revestimentos (de tabela) rev =0.50 kN/m2
Divisórias div =0.75 kN/m2
G = 5.00 kN/m2
Acções variáveis:
Tipo de laje Sobrecarga
Compartimentos de habitação sc = 2,0 kN/m2
Lajes de tecto sc = 1,0 kN/m2
Sobrecarga sc =2.00 kN/m2
Q= 2.00 kN/m2
Combinação de acções:
QGSd 5,1 00,200.55,1dS 10,50 kN/m2
5 – Cálculos dos Momentos e armaduras 5.1 – Segundo a direcção YY e colocada na parte inferior
45001,02
yy lSdMsd
4540,450.10001,0 2
yMsd = 9,14 kNm
5.1.1 – Cálculo das armaduras (fórmulas simplificadas):
cd
sd
fdb
M
2
1000813,01
14,92
0.067
Se 31.0 Se 31.0
0'
1
d
a
1
31.0'
41.0'
Como 31.0
0'
1 067.01067.0 = 0,071
José Luís Marques
Manual Técnico Página 24 de 81
syd
cds
f
fdbA
348
813100071.0 sA = 2,12 cm
2/m
Realizável com 6 Ø 8 p.m.l. ( Aef = 3,02 cm2)
)(5
1efectivasdist AA 02,3
5
1distA 0,604 cm
2/m
Realizável com 6 Ø 6 p.m.l. (Aef. = 1.70 cm2)
5.1.2- Verificações
5.1.2.1 - Armadura:
Percentagem mínima ρ 0.15 % (A-400)
100
db
As
10013.01
00035,0 0.269 % (OK!)
Armadura máxima 00,113.004.0 sA = 52,00 cm2 (OK!)
5.2 – Segundo a direcção XX e colocada na parte inferior
24001,02
yx lSdMsd
2440,450.10001,0 2
xMsd = 4.87 kNm
5.2.1 – Cálculo das armaduras (fórmulas simplificadas):
cd
sd
fdb
M
2
1000813,01
87.42
0.036
Se 31.0 Se 31.0
0'
1
d
a
1
31.0'
41.0'
Como 31.0
0'
1 036.01036.0 = 0,037
syd
cds
f
fdbA
348
813100037.0 sA = 1.10 cm
2/m
Realizável com 6 Ø 8 p.m.l. ( Aef = 3,02 cm2)
)(5
1efectivasdist AA 02,3
5
1distA 0,604 cm
2/m
Realizável com 6 Ø 6 p.m.l. (Aef. = 1.70 cm2)
5.2.2- Verificações
5.2.2.1 - Armadura:
Percentagem mínima ρ 0.15 % (A-400)
100
db
As
10013.01
000302,0 0.232 % (OK!)
José Luís Marques
Manual Técnico Página 25 de 81
Armadura máxima 00,113.004.0 sA = 52,00 cm2 (OK!)
5.3 – Segundo a direcção YY e colocada na parte superior
101001,02
yx lSdMsd
10140,450.10001,0 2
xMsd = 20.53 kNm
5.3.1 – Cálculo das armaduras (fórmulas simplificadas):
cd
sd
fdb
M
2
1000813,01
53.202
0.151
Se 31.0 Se 31.0
0'
1
d
a
1
31.0'
41.0'
Como 31.0
0'
1 151.01151.0 = 0,128
syd
cds
f
fdbA
348
813100128.0 sA = 3.83 cm
2/m
Realizável com 8 Ø 8 p.m.l. ( Aef = 4.00 cm2)
)(5
1efectivasdist AA 00.4
5
1distA 0,80 cm
2/m
Realizável com 6 Ø 6 p.m.l. (Aef. = 1.70 cm2)
5.3.2- Verificações
5.3.2.1 - Armadura:
Percentagem mínima ρ 0.15 % (A-400)
100
db
As
10013.01
0004,0 0.307 % (OK!)
Armadura máxima 00,113.004.0 sA = 52,00 cm2 (OK!)
5.4 – Segundo a direcção XX e colocada na parte superior
80001,02
yx lSdMsd
8040,450.10001,0 2
xMsd = 16.26 kNm
5.4.1 – Cálculo das armaduras (fórmulas simplificadas):
cd
sd
fdb
M
2
1000813,01
26.162
0.120
José Luís Marques
Manual Técnico Página 26 de 81
Se 31.0 Se 31.0
0'
1
d
a
1
31.0'
41.0'
Como 31.0
0'
1 120.01120.0 = 0,105
syd
cds
f
fdbA
348
813100105.0 sA = 3.13 cm
2/m
Realizável com 8 Ø 8 p.m.l. ( Aef = 4.00 cm2)
)(5
1efectivasdist AA 00.4
5
1distA 0,800 cm
2/m
Realizável com 6 Ø 6 p.m.l. (Aef. = 1.70 cm2)
5.4.2- Verificações
5.4.2.1 - Armadura:
Percentagem mínima ρ 0.15 % (A-400)
100
db
As
10013.01
0004,0 0.307 % (OK!)
Armadura máxima 00,113.004.0 sA = 52,00 cm2 (OK!)
6 – Áreas de influência:
Para o cálculo das reacções dos apoios e esforços transversos, consideramos apenas as áreas de influência, ou seja, um trapézio para o lado maior e um triângulo para o lado menor; se forem vãos iguais serão consideradas as áreas de dois triângulos. As áreas de influência poderão ser diferentes em função das condições de apoio, conforme se ilustra.
(Do livro “Hormigon Armado de Pedro Jiménez Montoya e outros, Editora Gustavo Gili – 14ª Edição)
Área do trapézio:
2
40,4
2
)40,420,6(20,6TRAPÉZIO
A 8,80 m2
Área do triângulo:
2
2
40,440,4
TRIÂNGULOA 4,84 m2
José Luís Marques
Manual Técnico Página 27 de 81
7 - Esforço transverso: 7.1 Vão maior
Vão maior:
x
SdL
ÁreaSdV
20,6
80,850,10SdV 14,90 kN
wdcdRD VVV
ddbVcd 6.16.01
13.06.16.013.01500cdV 67.47 kN
wdV 0
Valor da tensão
Tipo de betão
B15
B20 B25
1
0.50 0.60 0.65
2
2,4 3.2 4.0
rdsd VV 47,6790,14 kN (OK!)
7.1 Vão menor
Vão menor:
x
SdL
ÁreaSdV
40,4
84,450,10SdV 11,55 kN
wdcdRD VVV
ddbVcd 6.16.01
13.06.16.013.01500cdV 67.47 kN
wdV 0
Valor da tensão
Tipo de betão
B15
B20 B25
1
0.50 0.60 0.65
2
2,4 3.2 4.0
rdsd VV 47,6755,11 kN (OK!)
José Luís Marques
Manual Técnico Página 28 de 81
8 – Reacção dos apoios: 8.1 - Vão maior:
Devido à acção G (acções permanentes)
x
GL
ÁreaGR
20,6
80,800,5GR 7,10 kN
Devido à acção Q (acções variáveis)
x
QL
ÁreaQR
20,6
80,800,2GR 2,84 kN
8.2 - Vão menor: Devido à acção G (acções permanentes)
y
GL
ÁreaGR
40,4
84,400,5GR 5,50 kN
Devido à acção Q (acções variáveis)
y
QL
ÁreaQR
40,4
84,400,2GR 2,20 kN
9 – Verificação à Fendilhação:
Espaçamento entre varões (a menor das três condições)
< h5,1 15.05,1 = 22,5 cm
< 35 cm 35 cm
< 2 12,5 (1) 25 cm
(4) Duas vezes o valor da seguinte tabela (Art. 91 do REBAP)
Ambiente
Tipo de aço
A235
A400 A500
Pouco agressivo (w=0.3 mm)
---
12,5 cm 10 cm
Moderadamente agressivo
--- 7,5 cm 5 cm
Espaçamento de 100 / 6 varões = 16,66 cm (OK)
10 – Verificação à Deformação:
Módulo de Elasticidade E(GPa)
B15 E=26,0 GPa
B20 E=27,5 GPa
B25 E=29,0 GPa
(Artigo 17º do REBAP)
43001,03
4
hE
lSdw
y
José Luís Marques
Manual Técnico Página 29 de 81
4313.01026
40,45.10001,0
36
4
w 2,96x10-3
m = 2,96 mm
11 – Colocação das armaduras:
(Do livro “Hormigon Armado de Pedro Jiménez Montoya e outros, Editora Gustavo Gili – 14ª Edição)
José Luís Marques
Manual Técnico Página 30 de 81
1 – Dados:
Aço A 400 Betão B 15 Vão l=2,80 m
2 - Determinação da altura h Cálculo da altura mínima – Artigo 89 do REBAP
20min
lh
Tipo de aço Valores de
A235 = 1.4
A400 = 1.0
A500 = 0.8
Tipo de laje Valores de
Simplesmente apoiada = 1.0
Duplamente encastrada = 0.6
Apoiada numa extremidade e apoiada na outra = 0.8
Em consola (sem rotação do apoio) = 2.4
120
0,180.2minh 0.14 m
Adoptamos h = 0.24 m e b = 0,30 m
3 - Determinação de combinação de acções Sd
Acções permanentes:
Peso próprio = 0.24 0,30 25 = 1,80 pp = 1,80 kN/m Laje LE LE = 9,38 kN/m
G = 11,18 kN/m
Acções variáveis: Laje LE LE = 4,50 kN/m
Q = 4,50 kN/m
Combinação de acções:
QGSd 5,1 50,418,115,1dS 23,52 kN/m
4 - Cálculos dos esforços
Momento Flector
8
2lSM d
sd
8
80,252,23 2sdM = 23,05 kN.m
5 - Cálculo das armaduras (fórmulas simplificadas):
cd
sd
fdb
M
2
800021,030.0
05,232
0.218
VIGA V1 – Simplesmente apoiada
José Luís Marques
Manual Técnico Página 31 de 81
Se 31.0 Se 31.0
0'
1
d
a
1
31.0'
41.0'
Como 31.0
0'
1 = 0.265
syd
cds
f
fdbA
348
82130266.0 sA = 3,85 cm
2/m
Realizável com 5 Ø 10 p.m.l. ( Aef = 3,93 cm2)
6 - Esforço Transverso
Esforço Transverso
2
lSV d
sd
2
80,205.23 sdV = 32,93 kN/m
wdcdRD VVV
dbVcd 1 21.030,0500cdV 31,50 kN
5,3193,32wdV 1,43 kN (tem de ser absorvido pelos estribos)
dbVRd 2max 21.030,02400maxRdV 151,2 kN > Vsd
(max)6
12
6
1Rdw Vdb 2,151
6
125,2 kN
(max)3
22
3
2Rdw Vdb 2,151
3
2100,8 kN
Espaçamento de Estribos
Se
dbV wSD 26
1
Se
dbVdb wSDw 223
2
6
1
Se
dbV wSD 23
2
Espaçamento
ds 9,0
com máximo de 30 cm
ds 5,0
com máximo de 25 cm
ds 3,0
com máximo de 20 cm
José Luís Marques
Manual Técnico Página 32 de 81
Portanto 25,2 < Vsd < 100,8
Logo ds 5,0 com máximo de 25 cm
24.05,0s 0.12 adopta-se afastamento de 0.12 m
Admitindo estribos de Ø 6
s
fsydAdV swwd 9,0
10,0
348000)1057,0(21,09,0 4
wdV
wdV 37,49 > 1,43 que tinha de ser absorvido pelos estribos
wdcdRD VVV 49,3750,31RDV 68,99 kN
RDV 68,99 kN > SDV 32,93 kN OK
Estribos de 2 ramos em Ø 6 afastados 0,10 m.
7 – Deformada
Desnecessária - cumpre-se H(min)
8 – Fendilhação
Desnecessária – o espaçamento entre varões ultrapassa o mínimo
9 – Reacção de apoios
2
)(
lGR G
2
80,218,11)(GR 15,65 kN
2)(
lQR Q
2
80,250,4)(GR 6,30 kN
José Luís Marques
Manual Técnico Página 33 de 81
1 – Dados:
Aço A 400 Betão B 15 Vão l=3.70 m
2 - Determinação da altura h Cálculo da altura mínima – Artigo 89 do REBAP
20min
lh
Tipo de aço Valores de
A235 = 1.4
A400 = 1.0
A500 = 0.8
Tipo de laje Valores de
Simplesmente apoiada = 1.0
Duplamente encastrada = 0.6
Apoiada numa extremidade e apoiada na outra = 0.8
Em consola (sem rotação do apoio) = 2.4
0,120
60,070,3minh 0.11 m
Adoptamos h = 0.40 m d=0.37 e b = 0,25 m
3 - Determinação de combinação de acções Sd
Acções permanentes:
Peso próprio = 0.40 0,25 25 = 2,50 pp = 2,50 kN/m Laje LP1 LE = 10,00 kN/m
G = 12,50 kN/m
Acções variáveis: Laje LP1 LE = 4,50 kN/m
Q = 4,50 kN/m
Combinação de acções:
QGSd 5,1 50,450,125,1dS 25,50 kN/m
4 - Cálculos dos esforços
Momento Flector (a meio vão)
24
2lSM d
sd
24
70,350,25 2sdM = 14.54 kN.m
Momento Flector (sobre apoios)
12
2lSM d
sd
12
70.350.25 2sdM = 29.09 kN.m
VIGA V2 – Duplamente encastrada
José Luís Marques
Manual Técnico Página 34 de 81
5 - Cálculo das armaduras (fórmulas simplificadas):
A meio vão
cd
sd
fdb
M
2
800037,025.0
54.142
0.018
Se 31.0 Se 31.0
0'
1
d
a
1
31.0'
41.0'
Como 31.0
0'
1 = 0.020 (Mínimo regulamentar 0.15) = 0.15 %
syd
cds
f
fdbA
348
8372515.0 sA = 3.18 cm
2/m
Realizável com 4 Ø 12 p.m.l. ( Aef = 4.52 cm2)
Sobre os apoios
cd
sd
fdb
M
2
800037,025.0
09.242
0.087
Se 31.0 Se 31.0
0'
1
d
a
1
31.0'
41.0'
Como 31.0
0'
1 = 0.095 (Mínimo regulamentar 0.15) = 0.15 %
syd
cds
f
fdbA
348
8372515.0 sA = 3,18 cm
2/m
Realizável com 4 Ø 12 p.m.l. ( Aef = 4.52 cm2)
José Luís Marques
Manual Técnico Página 35 de 81
6 - Esforço Transverso
Esforço Transverso
2
lSV d
sd
2
70.350.25 sdV = 47.175 kN/m
wdcdRD VVV
dbVcd 1 37.025,0500cdV 46,25kN
25,46175.47wdV 0.925 kN (tem de ser absorvido pelos estribos)
dbVRd 2max 37.025,02400maxRdV 222 kN > Vsd
(max)6
12
6
1Rdw Vdb 222
6
137,0 kN
(max)3
22
3
2Rdw Vdb 222
3
2148,0 kN
Espaçamento de Estribos
Se
dbV wSD 26
1
Se
dbVdb wSDw 223
2
6
1
Se
dbV wSD 23
2
Espaçamento
ds 9,0
com máximo de 30 cm
ds 5,0
com máximo de 25 cm
ds 3,0
com máximo de 20 cm
Portanto 37,0 < Vsd < 148,0
Logo ds 5,0 com máximo de 25 cm
37.05,0s 0.185 adopta-se afastamento de 0.18 m
Admitindo estribos de Ø 6
s
fsydAdV swwd 9,0
18,0
348000)1057,0(37,09,0 4
wdV
wdV 36.69 > 0.925 que tinha de ser absorvido pelos estribos
wdcdRD VVV 69,3625,46RDV 82,94 kN
RDV 82.94 kN > SDV 47.17 kN OK
Estribos de 2 ramos em Ø 6 afastados 0,10 m.
José Luís Marques
Manual Técnico Página 36 de 81
7 – Deformada
Desnecessária - cumpre-se H(min)
8 – Fendilhação
Desnecessária – o espaçamento entre varões ultrapassa o mínimo
9 – Reacção de apoios
2
)(
lGR G
2
70,350,12)(GR 23,125 kN
2)(
lQR Q
2
70,350,4)(GR 8,325 kN
José Luís Marques
Manual Técnico Página 37 de 81
1 – Dados:
Aço A 400 Betão B 15 Vão l=3.70 m
2 - Determinação da altura h Cálculo da altura mínima – Artigo 89 do REBAP
20min
lh
Tipo de aço Valores de
A235 = 1.4
A400 = 1.0
A500 = 0.8
Tipo de laje Valores de
Simplesmente apoiada = 1.0
Duplamente encastrada = 0.6
Apoiada numa extremidade e apoiada na outra = 0.8
Em consola (sem rotação do apoio) = 2.4
0,120
60,070,3minh 0.11 m
Adoptamos h = 0.40 m d=0.37 e b = 0,25 m
3 - Determinação de combinação de acções Sd
Acções permanentes:
Peso próprio = 0.40 0,25 25 = 2,50 pp = 2,50 kN/m Laje LP1 LE = 10,00 kN/m
G = 12,50 kN/m
Acções variáveis: Laje LP1 LE = 4,50 kN/m
Q = 4,50 kN/m
Combinação de acções:
QGSd 5,1 50,450,125,1dS 25,50 kN/m
Carga concentrada (das Tabelas Técnicas de Brazão Farinha, tiramos,
Esquema Fórmula para Reacções de apoios e Esforços Transversos
Fórmula para Momentos Flectores
)2(3
2
1 all
bFR
)2(23
2
bll
aFR
2
2
21l
baFM
2
2
12l
baFM
3
22
2l
baFM x
VIGA V3 – Duplamente encastrada com carga concentrada
l
Sd F
X
a b
José Luís Marques
Manual Técnico Página 38 de 81
l=3,70 m a= 1,70 m b=2,00 F=13.33x1,5=20,00 kN
4 - Cálculos dos esforços
Momento Flector (a meio vão) Devido à combinação de acções
24
2lSM d
sd
24
70,350,25 2sdM = 14.54 kN.m
Devido à carga concentrada
3
22
2l
baFM x
3
22
70,3
00,270,1202
xM = 33.77 kN.m
Momento Total (soma dos dois anteriores)
21 MMM sd = 14,54 + 33,77 = 48,31 kN.m
Momento Flector (sobre apoios)
Devido à combinação de acções
12
2lSM d
sd
12
70.350.25 2sdM = 29.09 kN.m
Devido à carga concentrada
2
2
21l
baFM
2
2
2170.3
00,270.120 M = 9,93 kN.m
2
2
12l
baFM
2
2
1270,3
00.270,120 M = 8.44 kN.m
Momento Total (soma dos dois anteriores)
21 MMM sd = 29,09 + 9,93 = 39.02 kN.m (no apoio 1)
21 MMM sd = 29,09 + 8.44 = 37.53 kN.m (no apoio 2)
5 - Cálculo das armaduras (fórmulas simplificadas):
A meio vão
cd
sd
fdb
M
2
800037,025.0
31.482
0.176
Se 31.0 Se 31.0
0'
1
d
a
1
31.0'
41.0'
José Luís Marques
Manual Técnico Página 39 de 81
Como 31.0
0'
1 = 0.207
syd
cds
f
fdbA
348
83725207.0 sA = 4.41 cm
2/m
Realizável com 4 Ø 12 p.m.l. ( Aef = 4.52 cm2)
Sobre os apoios
cd
sd
fdb
M
2
800037,025.0
02,392
0.142
Se 31.0 Se 31.0
0'
1
d
a
1
31.0'
41.0'
Como 31.0
0'
1 = 0.162
syd
cds
f
fdbA
348
83725162.0 sA = 3,44 cm
2/m
Realizável com 4 Ø 12 p.m.l. ( Aef = 4.52 cm2)
6 - Esforço Transverso
Esforço Transverso Devido à combinação de acções
2
lSV d
sd
2
70.350.25 sdV = 47.175 kN/m
Devido à carga concentrada
)2(3
2
1 all
bFV
)70,1270,3(
70,3
00,2203
2
1
V = 11,21 kN
)2(23
2
bll
aFV
)00,2270,3(
70,3
70,1202
3
2
V =8,22 kN
Esforço Transverso Total (soma dos dois anteriores)
21 VVVsd = 47,165 + 11,21 = 58,37 kN/m (no apoio 1)
21 VVVsd = 47,165 + 8.22 = 55,38 kN/m (no apoio 2)
José Luís Marques
Manual Técnico Página 40 de 81
wdcdRD VVV
dbVcd 1 37.025,0500cdV 46,25kN
25,4637,58wdV 12,12 kN (tem de ser absorvido pelos estribos)
dbVRd 2max 37.025,02400maxRdV 222 kN > Vsd
(max)6
12
6
1Rdw Vdb 222
6
137,0 kN
(max)3
22
3
2Rdw Vdb 222
3
2148,0 kN
Espaçamento de Estribos
Se
dbV wSD 26
1
Se
dbVdb wSDw 223
2
6
1
Se
dbV wSD 23
2
Espaçamento
ds 9,0
com máximo de 30 cm
ds 5,0
com máximo de 25 cm
ds 3,0
com máximo de 20 cm
Portanto 37,0 < Vsd < 148,0
Logo ds 5,0 com máximo de 25 cm
37.05,0s 0.185 adopta-se afastamento de 0.18 m
Admitindo estribos de Ø 6
s
fsydAdV swwd 9,0
18,0
348000)1057,0(37,09,0 4
wdV
wdV 36.69 > 12,12 que tinha de ser absorvido pelos estribos
wdcdRD VVV 69,3625,46RDV 82,94 kN
RDV 82.94 kN > SDV 47.17 kN OK
Estribos de 2 ramos em Ø 6 afastados 0,10 m. Para o outro apoio faz-se de igual modo.
7 – Deformada
Desnecessária - cumpre-se H(min)
8 – Fendilhação
Desnecessária – o espaçamento entre varões ultrapassa o mínimo
José Luís Marques
Manual Técnico Página 41 de 81
9 – Reacção de apoios
Devido à combinação de acções
2
)(
lGR G
2
70,350,12)(GR 23,125 kN
Devido à carga concentrada
)2(3
2
1 all
bFR
)70,1270,3(
70,3
00,2203
2
1
R = 11,21 kN
Devido à combinação de acções
2)(
lQR Q
2
70,350,4)(GR 8,325 kN
Devido à carga concentrada
)2(23
2
bll
aFR
)00,2270,3(
70,3
70,1202
3
2
R =8,22 kN
21 RRRA = 47,165 + 11,21 = 58,37 kN/m (no apoio 1)
21 RRRB = 47,165 + 8.22 = 55,38 kN/m (no apoio 2)
José Luís Marques
Manual Técnico Página 42 de 81
1 – Dados:
Aço A 400 Betão B 15 Vãos 1º tramo l1=3.70 m
2º tramo L2=4.10 m
2 - Determinação da altura h Cálculo da altura mínima – Artigo 89 do REBAP
20min
lh
Tipo de aço Valores de
A235 = 1.4
A400 = 1.0
A500 = 0.8
Tipo de laje Valores de
Simplesmente apoiada = 1.0
Duplamente encastrada (considerei esta) = 0.6
Apoiada numa extremidade e apoiada na outra = 0.8
Em consola (sem rotação do apoio) = 2.4
0,120
60,010,4minh 0.123 m
Adoptamos h = 0.50 m d=0.37 e b = 0,25 m
3 - Determinação de combinação de acções Sd 3.1 – Tramo 1
Acções permanentes:
Peso próprio = 0.50 0,25 25 = 2,50 pp = 3,13 kN/m Laje LP1 = 14,08 kN/m Laje LP4 = 7,73 kN/m Parede = 2,50 kN/m
G = 27,44 kN/m
Acções variáveis: Laje LP1 = 5,10 kN/m Laje LP4 = 2,80 kN/m
Q =7,90 kN/m
Combinação de acções:
QGSd 5,1 50,450,125,1dS 53,01 kN/m
3.2 – Tramo 2
Acções permanentes:
Peso próprio = 0.50 0,25 25 = 2,50 pp = 3,13 kN/m Laje LP2 = 11.97 kN/m Parede = 2,50 kN/m
VIGA V4 – Contínua de dois tramos desiguais
1,30 m
L1=3,70 m
Sd1=53,01 kN/m F=21.93 kN
1,30 2,80
L2=4,10 m
Sd2=32,85 kN/m
A B C
José Luís Marques
Manual Técnico Página 43 de 81
G = 17,60 kN/m
Acções variáveis: Laje LP2 = 4,30 kN/m
Q = 4,30 kN/m
Combinação de acções:
QGSd 5,1 50,450,125,1dS 32,85 kN/m
Carga concentrada l=4,10 m a= 1,30 m b=2,80 F=114,62x1,5=21,93 kN
4 - Cálculos dos Momentos Flectores (realizados pelo Método de Cross)
Momento Flector (nos apoios)
)1(apoiosdM 0 kNm
)2(apoiosdM -87,93 kNm
)3(apoiosdM 0 kNm
Momento Flector (sobre apoios)
)1(tramosdM 52,08 kNm
)2(tramosdM 42,51 kNm
5 - Cálculo das armaduras (fórmulas simplificadas):
Apoio 1 (B) (Momento negativo)
Se 31.0 Se 31.0
0'
1
d
a
1
31.0'
41.0'
cd
sd
fdb
M
2
1000847,025.0
93,872
0.15
Como 31.0
0'
1 15,0115,0 = 0,17
syd
cds
f
fdbA
348
8472517.0 sA = 6,18 cm
2/m
Realizável com 6 Ø 12 p.m.l. ( Aef = 6,79 cm2)
Tramo 1 (AB) (Momento positivo)
Se 31.0 Se 31.0
0'
1
d
a
1
31.0'
41.0'
José Luís Marques
Manual Técnico Página 44 de 81
cd
sd
fdb
M
2
1000847,025.0
08,522
0.09
Como 31.0
0'
1 09,0109,0 = 0,10
syd
cds
f
fdbA
348
8472510.0 sA = 3,47 cm
2/m
Realizável com 4 Ø 12 p.m.l. ( Aef = 4,52 cm2)
Tramo 2 (BC) (Momento positivo)
Se 31.0 Se 31.0
0'
1
d
a
1
31.0'
41.0'
cd
sd
fdb
M
2
1000847,025.0
51,422
0.07
Como 31.0
0'
1 07,0107,0 = 0,08
syd
cds
f
fdbA
348
8472508.0 sA = 2,78 cm
2/m
Realizável com 3 Ø 12 p.m.l. ( Aef = 3,39 cm2)
6 - Esforço Transverso (cálculos feitos pelo Método de Cross)
Esforço Transverso
ESQUERDA
tramosdV)1(
74,30 kN
DIREITA
tramosdV)1(
-121,83 kN
ESQUERDA
tramosdV)2(
103,76 kN
DIREITA
tramosdV)2(
-52,85 kN
6.1 – Tramo 1 (à esquerda)
ESQUERDA
tramosdV)1(
74,30 kN
wdcdRD VVV
dbVcd 1 47.025,0500cdV 70,50 kN
50,7030,74wdV 3,8 kN (tem de ser absorvido pelos estribos)
José Luís Marques
Manual Técnico Página 45 de 81
dbVRd 2max 47.025,02400maxRdV 282 kN > Vsd
(max)6
12
6
1Rdw Vdb 282
6
147,0 kN
(max)3
22
3
2Rdw Vdb 282
3
2188,0 kN
Espaçamento de Estribos
Se
dbV wSD 26
1
Se
dbVdb wSDw 223
2
6
1
Se
dbV wSD 23
2
Espaçamento
ds 9,0
com máximo de 30 cm
ds 5,0
com máximo de 25 cm
ds 3,0
com máximo de 20 cm
Portanto 47,0 < Vsd < 1887,0
Logo ds 5,0 com máximo de 25 cm
37.05,0s 0.185 adopta-se afastamento de 0.18 m
Admitindo estribos de Ø 8
s
fsydAdV swwd 9,0
23,0
1000348)1001,1(47,09,0 4
wdV
wdV 64,64 > 3,80 que tinha de ser absorvido pelos estribos
wdcdRD VVV 64,6450,70RDV 135,14 kN
RDV 135,14 kN > SDV 74,30 kN (OK!)
Estribos de 2 ramos em Ø 8 afastados 0,23 m. 6.2 – Tramo 1 (à direita)
ESQUERDA
tramosdV)1(
121,83 kN
wdcdRD VVV
dbVcd 1 47.025,0500cdV 70,50 kN
50,7083,121wdV 51,33 kN (tem de ser absorvido pelos estribos)
dbVRd 2max 47.025,02400maxRdV 282 kN > Vsd
(max)6
12
6
1Rdw Vdb 282
6
147,0 kN
(max)3
22
3
2Rdw Vdb 282
3
2188,0 kN
José Luís Marques
Manual Técnico Página 46 de 81
Espaçamento de Estribos
Se
dbV wSD 26
1
Se
dbVdb wSDw 223
2
6
1
Se
dbV wSD 23
2
Espaçamento
ds 9,0
com máximo de 30 cm
ds 5,0
com máximo de 25 cm
ds 3,0
com máximo de 20 cm
Portanto 47,0 < Vsd < 1887,0
Logo ds 5,0 com máximo de 25 cm
37.05,0s 0.185 adopta-se afastamento de 0.18 m
Admitindo estribos de Ø 8
s
fsydAdV swwd 9,0
23,0
1000348)1001,1(47,09,0 4
wdV
wdV 64,64 > 51,33 que tinha de ser absorvido pelos estribos
wdcdRD VVV 48.3650,70RDV 106,98 kN
RDV 106,98 kN > SDV 74,30 kN (OK!)
Estribos de 2 ramos em Ø 8 afastados 0,23 m. 6.3 – Tramo 2 (à esquerda)
Faz-se de forma análoga 6.3 – Tramo 2 (à direita)
Faz-se de forma análoga
7 – Deformada
Desnecessária - cumpre-se H(min)
8 – Fendilhação
Desnecessária – o espaçamento entre varões ultrapassa o mínimo
9 – Reacção de apoios (realizadas pelo Método de Cross)
)1(R 49,54 kN
)2(R 150,40 kN
)3(R 35,23 kN
10 – Distâncias dos Momento nulos e máximos Tramo 1
As distâncias de Momento Nulo são:
José Luís Marques
Manual Técnico Página 47 de 81
0 m a contar do apoio A (ou seja no apoio é zero) 0,90 a contar do apoio B Momento máximo a 1,40 a contar do apoio A
Tramo 2
As distâncias de Momento Nulo são: 1,01 m a contar do apoio B 0, 0 a contar do apoio C (ou seja no apoio é zero) Momento máximo a 2,49 a contar do apoio B
Como no ponto de momento de V=0 o M é máximo, então temos Vsd=0m a 1,40 m do apoio A e a 2,49 do apoio B. Para o cálculo dos comprimentos da armadura negativa, temos de somar lbnet à distância de momentos nulos.
José Luís Marques
Manual Técnico Página 48 de 81
1 – Acções no pilar
Peso próprio do pilar P1 25 x 0,30 x 0,30 x 2,60 = 5,85 kN
P2 25 x 0,30 x 0,330 x 3,00 = 6,75 kN
Acção da viga V1 = 40,00 kN
V2 = 40,00 kN
V3 = 50,00 kN
V4 = 50,00 kN
TOTAL N = =192,60 kN
2 – Inércia das peças
12
3bhIY
12
3hbI X
Inércia dos pilares P1 e P2
12
30,03,0 3
YI 0,000675 m4
12
30,03,0 3
XI 0,000675 m4
Inércia das vigas V1 e V2
12
40,025,0 3
I 0,0013 m4
Inércia das vigas V3 e V4
12
50,025,0 3
I 0,0026 m4
3 – Esbelteza dos pilares - Comprimento efectivo de encurvadura
i
l0 ai 12
12 ll 0
- Para estruturas de nós móveis o menor de
)(15,00,1 21
min30,00,2
CÁLCULO DE EXCENTRICIDADES
X
Y
h
b
José Luís Marques
Manual Técnico Página 49 de 81
l
EIl
EI
VIGAS
PILARES
4
0013.02
60,2
000675,0
1
=0,39
4
0026,02
00,3
000675,0
60,2
000675,0
2
=0,39
3 1,00 (do REBAP, em função do apoio)
4 – Coeficientes η
ANDAR
- Para estruturas de nós móveis o menor de
)(15,00,1 21 = 1,0 + 0,15 (0,39 + 0,37) = 1,11
min30,00,2 = 2,0 + 0,30 x 0,37 = 2,11
ll 0 = 1,11 x 2,60 = 2,89 m
RÉS-DO-CHÃO
- Para estruturas de nós móveis o menor de
)(15,00,1 21 = 1,0 + 0,15 (0,39 + 1) = 1,21
min30,00,2 = 2,0 + 0,30 x 0,37 = 2,11
ll 0 = 1,21 x 2,60 = 3,63 m
5 – Cálculo da esbelteza
ANDAR
ai 12
12 = 30,0
12
120,086
i
l0 =0866,0
89,2= 33,37 < 35 Dispensa a Verificação à encurvadura
RÉS-DO-CHÃO
α1
α2
α3
José Luís Marques
Manual Técnico Página 50 de 81
ai 12
12 = 30,0
12
120,086
i
l0 =0866,0
63,3= 41,92 > 35 Não Dispensa a Verificação à encurvadura
6 – Cálculo das excentricidades
Excentricidade adicional – 0,02 m
Excentricidade de 2ª ordem
Nsd
Af ccd
4,0 =
50,160,192
3,0)108(4,0 23
=0,997
31051
hr= 097,010
30,0
5 3 = 0,017
10
12
2
ol
re =
10
63,3017,0
2
=0,022 m
Excentricidade de fluência
1
,
exp0
SgE
Sgc
a
Sg
sg
cNN
Ntt
eN
Me
Como o 70 é dispensado o cálculo da excentricidade de fluência.
7 – Momento flector actuante O Momento flector devido às excentricidades é
)( 2 casdsd eeeNM
Msd=(192,60x1,5) x (0,02+0,022)=12,13 KNm
José Luís Marques
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1 – Quantificação da acção sísmica
As medições do prédio estão nas folhas de cálculo anexas
PISO 2 – Altura 2,60 m
Designação das cargas Acção G Acção Q Total (G+Ψ2.Q)
Carga da cobertura 100,00
Carga das Lajes 240,00
Sobrecarga das Lajes 96,00
Carga das Paredes 260,00
Carga das Vigas 130,00
Carga dos pilares 35,10
Carga do piso G(2)=765,20
PISO 1 – Altura 3.00 m
Designação das cargas Acção G Acção Q Total (G+Ψ2.Q)
Carga da cobertura 0
Carga das Lajes 302,00
Sobrecarga das Lajes 308,00
Carga das Paredes 560,00
Carga das Vigas 162,50
Carga dos pilares 75,10
Carga do piso G(2)=1161,70
Carga total do edifício N=1926,80 kN
Altura total do edifício H=5,60 m
2 – Cálculo das forças e momentos sísmicos Tipo de Estrutura: Pórtico η=2,5 artº 33.2 REBAP
Tipo de terreno de fundação Tipo II Artº 20.2 REBAP
Artº 31.2 RSA
Zona sísmica Zona A (Lisboa) α=1 Artº 29 RSA
Zona sísmica α
A 1,0
B 0,7
C 0,5
D 0,3
Número de pisos 2
Frequência (artº 31.2 RSA)
CÁLCULO SÍSMICO
José Luís Marques
Manual Técnico Página 52 de 81
n
f12
=2
12=6 0 0,40
n
0 =
5,2
140,0 =0,16
2.1 - Verificação (art.º 31.2 do RSA)
0,04 . a < β < 0,16 . a
0,04 < β < 0,16
3 - Forças sísmicas
ii
iiiki
Gh
GGhF
Artº 32.2 RSA
Gi=765,10 + 1161,70 = 1926,80 kN
hi.Gi=(765.10 x 5,60) + (1161,70 x 3) = 7769,66
66,7769
80,192610,76560,516,02 kF = 170,00 kN
66,7769
80,192670,116100,316,01 kF = 138,28 kN
4 - Cálculo de Pilares
PISO 2
1º Grupo Número de pilares 12
de Pilares Secção 0,30 x 0,30 m2
Inércia Segundo direcção XX 0,000675 m4
PILARES
PILARkiPILAR
I
IFF =
000675,012
000675,028,138
=11,52 kN
22
hFM =
2
60,252,11 =38,54 KNm
PISO 1
José Luís Marques
Manual Técnico Página 53 de 81
1º Grupo Número de pilares 12
de Pilares Secção 0,30 x 0,30 m2
Inércia Segundo direcção XX 0,000675 m4
PILARES
PILARkiPILAR
I
IFF =
000675,012
000675,000,170
=14,17 kN
221
hFFM =
2
60,217.14 =18,42 KNm
2
hFM
Modelo de cálculo utilizado no cálculo dos Momentos
Distribuição da carga sísmica nos pisos
F2
F1 F2
José Luís Marques
Manual Técnico Página 54 de 81
1 – Momento final (excentricidade + sísmico)
O Momento-flector devido às excentricidades e sismo é
Msd=12,13 + 38,54= 50,67 kNm
cd
SD
fhb
N
=
310830,030,0
9,288
=0,401
cd
SD
fhb
N
2 =
32 10830,030,0
67,50
=0,235
85,0C 85,0401,0C -0,449
h
a5,0
30,0
02,05,0 0,433
Para 85,0 Para 85,0
C.55,0 C
2 - Valores do coeficiente β
ν <= 0,4 0,5 0,6 0,7 > 0,85
β 1,0 0,93 0,88 0,88 0,93
Como 85,0
C.55,0 =
1433,0
)449,0(401,055,0235,00,307
3 - Armadura das faces
syd
cd
f
fhbAA
2'
348
8
2
30,03,0307,03,18 cm
2
c/ 3 Φ12 (em cada face)
FLEXÃO COMPOSTA
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4 - Espaçamento das cintas
cm 30
cm 30
1412 12
cm 30
a
12 cm
14 cm
Verificação da armadura longitudinal
Mínima AcA %6,0 0,006x(30x30)=5,4 cm2
Máxima AcA %8 0,8x(30x30)=720 cm2
Como temos 8 Φ12 (9,04 cm2) está entre os limites regulamentares
José Luís Marques
Manual Técnico Página 56 de 81
1 – Dados:
Aço A 400 fsyd=204 MPa
Betão B 15 fcd=10,7 MPa
Vão l=2.50 m
2 – Dados:
Secção a = 30 cm
b = 30 cm
(Valor da mínima secção transversal = 20 cm)
3 – Acções:
Peso próprio do pilar (0,30 x 0,30 x 2,5 x 25 ) pp = 5,62
Pilar anterior N = 0
Viga V1 V1 = 50
Viga V2 V2 = 50
Viga V3 V3 = 0
Viga V4 V4 = 0
TOTAL N = 105,62 kN
Nsd = N x 1,5 Nsd = 158,43 kN
4 – Calculo de varejamento
4.1 – Comprimento efectivo de encurvadura
Tipo de apoio Valores de
Pilares isolados
Ambas as extremidades articuladas = 1,00
Ambas as extremidades encastradas = 0,50
Uma extremidade encastrada e outra articulada = 0,75
Uma extremidade encastrada e outra livre = 2,00
Pilares de
estruturas de
edifícios
Pilares entre pisos = 0,70 a 1,00
Pilar perfeitamente encastrado na sapata = 0,85
Pilar parcialmente encastrado na sapata = 0,90
Quando não há transmissão de momentos entre a sapata e o pilar
=1,35
ll 0 50,275,00l 1,875 m
4.2 – Esbelteza
Inércia
cA
Ii
hb
bh
i 12
3
PILAR P1 – Secção rectangular – Compressão simples
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Raio de giração
6
3bi ai
12
120,289 x 30 cm = 8,67 cm
Esbelteza
i
l0 cm
cm
67,8
5,187 21,62 < 35
Dispensa a verificação da segurança em relação à encurvadura
5 – Estado limite último de compressão
ssydccdsd AfAfN 85,0
5.1 – Secção de betão que por si só resiste ao esforço (A’c)
10007,1085,0
'N
A c
10007,1085,0
43,158'cA 0,0174 m2 = 174 cm2
6 – Cálculo das armaduras
cs AA '%8,0 = 0,008 X 174 = 1,39 cm2
cs AA %4,0 = 0,004 x 900 = 3,60 cm2
c/ 4 Ø 12 mm (4,52 cm2)
7 – Verificação da segurança
52,410204900107,1085,0 11
sdN 910,75 kN
Como sdRD NN 910,75 > 158,43 OK
8 – Calculo da armadura transversal (Artigo 122.1 e 122.2 do REBAP)
Espaçamento - menor de:
≤ 12 Ø ≤ x 12 = 14,4 cm
≤ a (menor dimensão do pilar) ≤ 30 cm
≤ 30 cm ≤ 30 cm
Como a armadura longitudinal é inferior a Ø 25 aplicaremos Ø 6 espaçados 14 cm.
José Luís Marques
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1 – Dados:
Aço A 400 Betão B 15 Secção do pilar (a x b) = 0,40 x 0,30 m2 Resistência do terreno Rt = 0.30 Mpa = 300 KN/m2
2 – Acção na sapata Esforço axial do pilar Np=300 kN Peso da sapata (estimado) Np x 10 % = 300 x 0.10 = 30 kN TOTAL 300,00 + 30,00 = 330 kN
3 – Largura da Sapata
Rt
NBA
B – Lado menor aR
bNB
t
40.010003.0
30.03300.91 adopta-se 1.00 m
A – Lado maior bR
aNA
t
30.010003.0
40.03301,21 adopta-se 1.25 m
4 - Determinação da altura h
3
min
aAh
3
40,025,1min
h = 0.28 m
Adoptamos h = 0.40 m e d = 0,35 m
5 - Determinação de combinação de acções Sd Acções
Peso próprio = 1,25 1,00 0,40 25 = 12,50 pp = 12,50 kN/m Carga transmitida pelo pilar N= 300 kN/m N = 312,50 kN/m
NN sd 5,1 50,3125,1sdN 468,75 kN/m
6 - Determinação do tensão de segurança efectiva no terreno
S
Nefectiva
)00,125,1(
50,312
efectiva = 250 kN/m2 = 0,25 MPa < terr=0,30 OK
SAPATA S1 – Concêntrica, homotética, rectangular
a
b
A
B
José Luís Marques
Manual Técnico Página 59 de 81
5,1efectiva 0.25 x 1,5 = 0,375 Mpa
7 - Cálculos das Forças (Método das Bielas)
d
aANF sd
as
8
)(
358
)40125(75,468
asF = 142,29 kN
d
aANF sd
bs
8
)(
358
)30100(75,468
asF = 117,18 kN
8 - Cálculo das armaduras Direcção AA
syd
as
f
FA
110204
29,142
sA = 6,97 cm2
Por metro
00,1
97,6
B
As 6,97 cm2 pml Realizável com 7 Ø 12 p.m.l. ( Aef = 7,92 cm
2 )
Direcção BB
syd
as
f
FA
110204
18,117
sA = 5,74 cm2
Realizável com 7 Ø 12 p.m.l. ( Aef = 7,92 cm2)
Por metro
25,1
74,5
B
As 4,59 cm2 pml Realizável com 7 Ø 12 p.m.l. ( Aef = 7,92 cm
2 )
9 – Verificação ao punçoamento
Perímetro crítico
)2/(2 dbau
)2/35,030,040,0(2 u 2,50 m
Área para calcular a reacção do terreno que actua na base da tronco pirâmide
)4/()()( 2dhbhbaA
)4/35,0()35,030,0()35.030,0(40,0 2A 0,46 m2
Esforço de punçoamento
Vsd = Nsd – (Área * efectiva )= 468,75 – 0.46 x 0.375 x 1000 = 296,25 kN/m
= 296,25 / 2.50 = 118,50 kN/m
ddbVcd 6.16.01
35.06.16.035.0110005,0cdV 204,75 kN > 118,5 kN/m OK
José Luís Marques
Manual Técnico Página 60 de 81
Valor da tensão
Tipo de betão
B15
B20 B25
1
0.50 0.60 0.65
2
2,4 3.2 4.0
José Luís Marques
Manual Técnico Página 61 de 81
1 – Dados:
Aço A 400 Betão B 15 Secção do pilar (a x b) = 0,30 x 0,30 m2 Resistência do terreno Rt = 0.30 Mpa = 300 KN/m2
2 – Acção na sapata Esforço axial do pilar Np=200 kN Peso da sapata (estimado) Np x 10 % = 200 x 0.10 = 20 kN TOTAL 200,00 + 20,00 = 220 kN
3 – Largura da Sapata A ou B
Rt
NBA
tR
NBA
10003.0
2200.85 adopta-se 1.00 m
4 - Determinação da altura h
3
min
aAh
3
30,000,1min
h = 0.23 m
Adoptamos h = 0.40 m e h = 0,35 m
5 - Determinação de combinação de acções Sd
Acções
Peso próprio = 1,00 1,00 0,40 25 = 10 pp = 10,00 kN/m Carga transmitida pelo pilar N= 200,00 kN/m N = 210,00 kN/m
NN sd 5,1 00,2105,1sdN 0,315 kN/m
6 - Determinação do tensão de segurança efectiva no terreno
S
Nefectiva
)00,100,1(
00,210
efectiva = 210 kN/m2 = 0,21 MPa < terr=0,30 OK
5,1efectiva 0.21 x 1,5 = 0,315 MPa
SAPATA S2 – Concêntrica, homotética, quadrada
a
b
A
B
José Luís Marques
Manual Técnico Página 62 de 81
7 - Cálculos das Forças
d
aANF sd
a
8
)(
358
)30100(00,315
asF = 78,82 kN
8 - Cálculo das armaduras
syd
as
f
FA
110204
82,78
sA = 3,86 cm2
Realizável com 7 Ø 12 p.m.l. ( Aef = 7,92 cm2 )
9 – Verificação ao punçoamento
Perímetro crítico
)2/(2 dbau
)2/35,030,030,0(2 u 2,29 m
Área para calcular a reacção do terreno que actua na base da tronco pirâmide
)4/()()( 2dhbhbaA
)4/35,0()35,030,0()35.030,0(30,0 2A 0,396 m2
Esforço de punçoamento
Vsd = Nsd – (Área * efectiva )= 465 – 0,396 x 0.315 x 1000 = 340,26 kN/m
= 340,26 / 2.29 = 148.58 kN/m
ddbVcd 6.16.01
35.06.16.035.0110006,0cdV 204,75 kN > 148,58 kN/m OK
Valor da tensão
Tipo de betão
B15
B20 B25
1
0.50 0.60 0.65
2
2,4 3.2 4.0
José Luís Marques
Manual Técnico Página 63 de 81
1 – Dados:
Aço A 400 Betão B 15 Secção do pilar (a x b) = 0,40 x 0,30 m2 Resistência do terreno Rt = 0.30 Mpa = 300 KN/m2
2 – Acção na sapata Esforço axial do pilar Np=300 kN Peso da sapata (estimado) Np x 10 % = 300 x 0.10 = 30 kN TOTAL 300,00 + 30,00 = 330 kN
3 – Largura da Sapata
Rt
NBA
B – Lado menor aR
bNB
t
40.010003.0
30.03300.91 adopta-se 1.00 m
A – Lado maior bR
aNA
t
30.010003.0
40.03301,21 adopta-se 1.25 m
4 - Determinação da altura h
3
min
aAh
3
40,025,1min
h = 0.28 m
Adoptamos h = 0.40 m e h = 0,35 m
5 - Determinação de combinação de acções Sd
Acções
Peso próprio = 1,25 1,00 0,40 25 = 12,50 pp = 12,50 kN/m Carga transmitida pelo pilar N= 300 kN/m N = 312,50 kN/m
NN sd 5,1 50,3125,1sdN 468,75 kN/m
SAPATA S3 – Excêntrica, homotética, rectangular
a b
A
B
José Luís Marques
Manual Técnico Página 64 de 81
6 - Determinação do tensão de segurança efectiva no terreno
S
Nefectiva
)00,100,1(
00,210
efectiva = 210 kN/m2 = 0,21 MPa < terr=0,30 OK
5,1efectiva 0.21 x 1,5 = 0,315 MPa
7 - Cálculos das Forças
d
aANF sd
as
4
)(
354
)40125(75,468
asF = 284,59 kN
d
aANF sd
bs
4
)(
354
)30100(75,468
asF = 234,37 kN
8 - Cálculo das armaduras Direcção AA
syd
as
f
FA
110204
59,284
sA = 13,95 cm2
Por metro
00,1
95,13
B
As 13,95 cm2 pml Realizável com 7 Ø 16 p.m.l. ( Aef = 14,07 cm
2 )
Direcção BB
syd
as
f
FA
110204
37,234
sA = 11,48 cm2
Por metro
25,1
48.11
B
As 9,19 cm2 pml Realizável com 9 Ø 12 p.m.l. ( Aef = 10,17 cm
2 )
9 – Verificação ao punçoamento
Perímetro crítico
dabu 2
35,040,030,02 u 2,10 m
Área para calcular a reacção do terreno que actua na base da tronco pirâmide
)8/()2
()( 2dd
adabA
)8/35,02/35,040,0)35.040,0(30,0 2A 0,343 m2
Esforço de punçoamento
Vsd = Nsd – (Área * efectiva )= 468,75 – 0,343 x 0.315 x 1000 = 350,41 kN/m
= 340,41 / 2.10 = 162,10 kN/m
ddbVcd 6.16.01
35.06.16.035.0110005,0cdV 204,75 kN > 162,10 kN/m OK
José Luís Marques
Manual Técnico Página 65 de 81
Valor da tensão
Tipo de betão
B15
B20 B25
1
0.50 0.60 0.65
2
2,4 3.2 4.0
José Luís Marques
Manual Técnico Página 66 de 81
1 – Dados:
Aço A 400 Betão B 15 Secção do pilar (a x b) = 0,40 x 0,40 m2 Resistência do terreno Rt = 0.30 Mpa = 300 KN/m2
2 – Acção na sapata Esforço axial do pilar Np=200 kN Peso da sapata (estimado) Np x 10 % = 200 x 0.10 = 20 kN TOTAL 200,00 + 20,00 = 220 kN
3 – Largura da Sapata A ou B
Rt
NBA
tR
NBA
10004.0
2200.85 adopta-se 1.00 m
2 - Determinação da altura h
3
min
aAh
3
40,000,1min
h = 0.20 m
Adoptamos h = 0.60 m e h = 0,55 m
3 - Determinação de combinação de acções Sd
Acções Peso próprio = 1,00 1,00 0,60 25 = 10 pp = 15,00 kN/m Carga transmitida pelo pilar N= 300,00 kN/m N = 315,00 kN/m
NN sd 5,1 00,3155,1sdN 472,50 kN/m
6 - Determinação do tensão de segurança efectiva no terreno
S
Nefectiva
)00,100,1(
00,315
efectiva = 315 kN/m2 = 0,31 MPa > terr=0,30 OK
5,1efectiva 0.31 x 1,5 = 0,465 MPa
SAPATA S4 – Excêntrica, homotética, quadrada
a
b
A
B
José Luís Marques
Manual Técnico Página 67 de 81
7 - Cálculos dos esforços
Momento Flector
2
5,1 2lM
efcect
sd
2
70,031.0 2sdM = 0.077 x 1000 =
= 77,1 kN.m
8 - Cálculo das armaduras (fórmulas simplificadas):
cd
sd
fdb
M
2
800055,01
1,772
0.031
Se 31.0 Se 31.0
0'
1
d
a
1
31.0'
41.0'
Como 31.0
0'
1 = 0.03 Mínimo 0.15
syd
cds
f
fdbA
348
855100150.0 sA = 18,96 cm
2/m
Realizável com 10 Ø 16 p.m.l. ( Aef = 20,1 cm2)
)(5
1efectivasdist AA 1,20
5
1distA 4,02 cm
2/m
Realizável com 6 Ø 10 p.m.l. (Aef. = 4,71 cm2)
9 – Verificação ao punçoamento
Perímetro crítico
2/dbau
2/55,055,040,0 u 1,81m
Área para calcular a reacção do terreno que actua na base da tronco pirâmide
)16/)2
()2
( 2dd
ad
abA
)16/55,02/55,040,0)2/55.040,0(40,0 2A 0,439 m2
Esforço de punçoamento
Vsd = Nsd – (Área * efectiva )= 472,5 – 0,439 x 0.31 x 1000 = 336,41 kN/m
= 336,41 / 1,81 = 185,86 kN/m
ddbVcd 6.16.01
55.06.16.055.01500cdV 354,75 kN > 185,86 kN/m OK
José Luís Marques
Manual Técnico Página 68 de 81
Valor da tensão
Tipo de betão
B15
B20 B25
1
0.50 0.60 0.65
2
2,4 3.2 4.0
José Luís Marques
Manual Técnico Página 69 de 81
1 – Dados:
Aço A 400 Betão B 15 Largura da parede b=30 cm Resistência do terreno Rt = 0.30 Mpa = 300 KN/m2
2 – Acção na sapata Esforço axial do pilar Np=200 kN Peso da sapata (estimado) Np x 10 % = 200 x 0.10 = 20 kN TOTAL 200,00 + 20,00 = 220 kN
3 – Largura da Sapata
Rt
NB 00,1
10003,0
22000,1
B 0.73 adopta-se 0,75 m
4 - Determinação da altura h
4
min
aAh
4
30,075,0min
h = 0.138 m
Adoptamos h = 0.20 m e d = 0,15 m
5 - Determinação de combinação de acções Sd Acções
Peso próprio = 1,00 0,75 0,20 25 = 3,75 pp = 3,75 kN/m Carga transmitida pela parede N= 200 kN/m N = 203,75 kN/m
NN sd 5,1 75,2035,1sdN 305,625 kN/m
6 - Determinação do tensão de segurança efectiva no terreno
S
Nefectiva
)00,175,0(
75,203
efectiva = 271,66 kN/m2 = 0,27 MPa < terr=0,30 OK
5,1efectiva 0.27 x 1,5 = 0,405 MPa
SAPATA S5 – Sapata de parede, concêntrica
a=1,00 m
b
A=1,00 m
B
José Luís Marques
Manual Técnico Página 70 de 81
7 - Cálculos das Forças (Método das Bielas)
d
bBNF sd
bs
8
)(
358
)2075(625,305
asF = 60,03 kN
8 - Cálculo das armaduras
syd
b
sf
FA
110204
03,60
sA = 6,97 cm2
Realizável com 6 Ø 10 p.m.l. ( Aef = 4,71 cm2 )
9 - Cálculo da armadura de distribuição
4
s
d
AA
4
97,6dA = 1,74 cm2
Realizável com 5 Ø 6 p.m.l. ( Aef = 1,41 cm2 )
10 – Verificação ao punçoamento
Perímetro crítico
2u m
Área para calcular a reacção do terreno que actua na base da tronco pirâmide
1 haA
30,030,0 A = 0,60 m2
Esforço de punçoamento
Vsd = Nsd – (Área * efectiva )= 305,62 – 0.60 x 0.405 x 1000 = 62,62 kN/m
= 62,62 / 2 = 31,31 kN/m
ddbVcd 6.16.01
15.06.16.015.0110005,0cdV 78,75 kN > 31,31 kN/m OK
Valor da tensão
Tipo de betão
B15
B20 B25
1
0.50 0.60 0.65
2
2,4 3.2 4.0
José Luís Marques
Manual Técnico Página 71 de 81
1 – Dados:
Aço A 400 Betão B 15 Largura da parede b=30 cm Resistência do terreno Rt = 0.30 Mpa = 300 KN/m2
2 – Acção na sapata Esforço axial do pilar Np=200 kN Peso da sapata (estimado) Np x 10 % = 200 x 0.10 = 20 kN TOTAL 200,00 + 20,00 = 220 kN
3 – Largura da Sapata
Rt
NB 00,1
10003,0
22000,1
B 0.73 adopta-se 0,75 m
4 - Determinação da altura h
4
min
aAh
4
30,075,0min
h = 0.138 m
Adoptamos h = 0.35 m e d = 0,30 m
5 - Determinação de combinação de acções Sd Acções
Peso próprio = 1,00 0,75 0,35 25 = 3,75 pp = 6,56 kN/m Carga transmitida pela parede N= 200 kN/m N = 206,56 kN/m
NN sd 5,1 56,2065,1sdN 309,84 kN/m
6 - Determinação do tensão de segurança efectiva no terreno
S
Nefectiva
)00,175,0(
84,309
efectiva = 277,41 kN/m2 = 0,27 MPa < terr=0,30 OK
5,1efectiva 0.27 x 1,5 = 0,405 MPa
SAPATA S6 – Sapata de parede, excêntrica
a=1,00 m
b
A=1,00 m
B
José Luís Marques
Manual Técnico Página 72 de 81
7 - Cálculos das Forças (Método das Bielas)
d
bBNF sd
bs
4
)(
304
)3075(84,309
asF = 116,19 kN
8 - Cálculo das armaduras
syd
b
sf
FA
110204
19,116
sA = 5,69 cm2
Realizável com 8 Ø 10 p.m.l. ( Aef = 6,32 cm2 )
9 - Cálculo da armadura de distribuição
4
s
d
AA
4
32,6dA = 1,58 cm2
Realizável com 6 Ø 8 p.m.l. ( Aef = 3,02 cm2 )
10 – Verificação ao punçoamento
Perímetro crítico
00,1u m
Área para calcular a reacção do terreno que actua na base da tronco pirâmide
2
hbA
2
25,030,0 A = 0,45 m2
Esforço de punçoamento
Vsd = Nsd – (Área * efectiva )= 309,84 – 0.45 x 0.405 x 1000 = 127,59 kN/m
= 127,59 / 1 = 127,59 kN/m
ddbVcd 6.16.01
30.06.16.030.0110005,0cdV 171,00 kN > 127,59 kN/m OK
Valor da tensão
Tipo de betão
B15
B20 B25
1
0.50 0.60 0.65
2
2,4 3.2 4.0
José Luís Marques
Manual Técnico Página 73 de 81
1 – Dados:
Terreno
=40 º
=17,00 kN/m3
adm=0.2 mPa Materiais Aço A 400
Betão B 15 C=0 Sobrecarga Sc=3,00
2 – Pré-dimensionamento
3 – Cálculo dos pesos Peso do Muro P1 = 0,20 x (4 – 0.33 ) x 1,00 x 1,25 = 18,35 kN/m Peso da sapata P2 = 0,33 x 2,00 x 1,00 x 25 = 16,50 kN/m Peso das terras sobre sapata P3 = 1,3 x (4,00 – 0,33 x 1 ) x 17 = 81,10 kN/m
MURO DE SUPORTE
A
L/8
L/2
L/12
L
A
C B D
F
L
E
P1
P3
P2
Ia
d1
SC
K2 x ( x H + S)
K2 x S
H
HH
L= 3,00 m A= 20 cm B= 20 cm C= 50 cm D= 130 cm E= 33 cm F = 300 cm H=4,00 m
HH
L= 3,00 m A= 20 cm B= 20 cm C= 50 cm D= 130 cm E= 33 cm F = 300 cm H = 4,00 m
José Luís Marques
Manual Técnico Página 74 de 81
3 – Momento estabilizador
dorestabilizaM 18,35 x 0,60 + 16,5 x 1,00 + 81,1 x (0,50 + 0,20 + 1,30 / 2) = 137 kN/m
Se considerarmos = 0
sen
senK
1
12
401
4012
sen
senK 0,217
K2 x SC = 0,217 x 3,00 = 0,65 kN/m2
K2 x ( x H + SC) = 0.217 x (17 x 4 + 3) = 15,12 kN/m2
00,42
2,1565,0aI 31,54 kN/m
gH
gHHd
2
3
31
32417
23417
3
00,41d 1,39 m
1dIM aderrubador 39,154,31derrubadorM 43,84 kN.m
84,43
137
derrubador
dorestabiliza
M
M3,12 > 1,5 OK
4 - Escorregamento
321 PPPV 1,8150,1635,18V 115,95 kN/m
.
.
Horiz
tgVert
54,31
67,2695,115 Tg1,85 > 1,5 OK
Caso não verificasse, teríamos de aumentar o peso das terras a tardoz do muro, aumentando a sapata para esse lado.
José Luís Marques
Manual Técnico Página 75 de 81
5 – Verificação das tensões de segurança no terreno
N = 18,35 + 81,5 + 16,50 = 115,95 kN/m M= 18,35 x 0.4 + 31.54 x 1,39 – 81,1 x 0,35 = 22,8 kNm
N
Me
95,115
80,22e 0,197
6
00,2
6
B0,33 m
Como e > 6
B a base da sapata está toda comprimida
yI
MN
2
00,2
12
00,200,1
8,22
00,100,2
95,1153
92,175 kN/m2
23,775 kN/m2
1 0,00922 kN/cm2
4
3 )00238,000922,0(4
3
43 0,0075 > 0,02 kN/m2 OK
2 0,00238 kN/m2
A
C B D
F
H
E
P1
P3
P2
Ia
d1
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Manual Técnico Página 76 de 81
6 – Calcular armaduras
6.1 – Laje vertical (muro)
0,65 x 1,5 = 0,975 kN/m
15,12 x 1,5 = 22,68 kN/m
62
22
max
PlPlM
6
6,3)975,068,22(
2
60,3975,0 22
maxM 53,2 kN.m
lPl
T 2
max
60,32
68,22975,0maxT 42,6 kN/m
6.2 - Cálculo das armaduras (fórmulas simplificadas):
cd
sd
fdb
M
2
800017,01
20,532
0.230
Se 31.0 Se 31.0
0'
1
d
a
1
31.0'
41.0'
Como 31.0
0'
1 = 0.283
syd
cds
f
fdbA
348
817100283.0 sA = 11,06 cm
2/m
Realizável com 10 Ø 12 p.m.l. ( Aef =11,30 cm2)
)(5
1efectivasdist AA 30,11
5
1distA 2,26 cm
2/m
Realizável com 10 Ø 12 p.m.l. (Aef. = 7,90 cm2)
Pelo diagrama dos Momentos, suprime-se metade da armadura e o resto vai até acima. Contudo será necessário respeitar a armadura mínima do capítulo de paredes (REBAP) e das lajes (armadura de distribuição, etc.).
3,60
K2 x ( x H + S)
K2 x S
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Manual Técnico Página 77 de 81
6.3 - Esforço transverso:
wdcdRD VVV
ddbVcd 6.16.01
17.06.16.017.0110005,0cdV 76,50 kN
wdV 0
Valor da tensão
Tipo de betão
B15
B20 B25
1
0.50 0.60 0.65
2
2,4 3.2 4.0
rdsd VV 50,7660,42 kN (OK!)
7 – Calculo das Tensões
σ1=84.36 kN/m2 σ2=31,59 kN/m2
16,7150.0)00,2
59.3136.84(36.84'1
89,6530,1)00,2
59.3136.84(59,31'2
7.1 – Sapata anterior
Temos de contar com a carga da sapata (valor positivo), carga da reacção do trapézio (valor negativo), que
se decompõe em duas componentes – diagrama rectangular e diagrama triangular
σ 1 σ 2 σ' 1 σ' 2
0.50 1,30
2,00
José Luís Marques
Manual Técnico Página 78 de 81
622
222
max
PlPlPlM
6
50.0)16.7136.84(
2
50.016.71
2
50.0)2533.050.0( 222
maxM
= 10.615 x 1,5 = 15,915 kN.m
2max
PlPlPlV
2
50.0)16.7136.84(50.016.7150.0)2533.050.0(maxV
= 34,75 x 1,5 = 52,125 kN/m 7.2 - Cálculo das armaduras (fórmulas simplificadas):
cd
sd
fdb
M
2
800031,01
915,152
0.020
Se 31.0 Se 31.0
0'
1
d
a
1
31.0'
41.0'
Como 31.0
0'
1 = 0.002 (mínimo 0,15)
syd
cds
f
fdbA
348
83110015.0 sA = 10,68 cm
2/m
Realizável com 10 Ø 12 p.m.l. ( Aef =11,30 cm2)
)(5
1efectivasdist AA 30,11
5
1distA 2,13 cm
2/m
Realizável com 10 Ø 10 p.m.l. (Aef. = 7,90 cm2)
7.3 - Esforço transverso:
wdcdRD VVV
ddbVcd 6.16.01
17.06.16.031.0110005,0cdV 139,50 kN
wdV 0
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Valor da tensão
Tipo de betão
B15
B20 B25
1
0.50 0.60 0.65
2
2,4 3.2 4.0
rdsd VV 50,139125,52 kN (OK!)
8 - Cálculo das Sapatas 8.1 – Sapata posterior
Temos de contar com a carga da sapata e peso das terras sobre a mesma (valor positivo), carga da reacção
do trapézio (valor negativo), que se decompõe em duas componentes – diagrama rectangular e diagrama triangular
622
222
max
PlPlPlM
222
max 30,13
2
)59,3189,65(
30,12
2
)59,3189,65(
2
30.1)2533.030,1(1,81M
= 55,38 x 1,5 = 83,07 kN.m
2max
PlPlPlV
2
30,1)59,3189,65(30,159,311,8150.0)2533.030.1(maxV
= 28,46 x 1,5 = 42,69 kN/m
8.2 - Cálculo das armaduras (fórmulas simplificadas):
cd
sd
fdb
M
2
800031,01
07,832
0.108
Se 31.0 Se 31.0
0'
1
d
a
1
31.0'
41.0'
Como 31.0
0'
José Luís Marques
Manual Técnico Página 80 de 81
1 = 0.119 (mínimo 0,15)
syd
cds
f
fdbA
348
83110015.0 sA = 10,68 cm
2/m
Realizável com 10 Ø 12 p.m.l. ( Aef =11,30 cm
2)
)(5
1efectivasdist AA 30,11
5
1distA 2,13 cm
2/m
Realizável com 10 Ø 10 p.m.l. (Aef. = 7,90 cm
2)
8.3 - Esforço transverso:
wdcdRD VVV
ddbVcd 6.16.01
17.06.16.031.0110005,0cdV 139,50 kN
wdV 0
Valor da tensão
Tipo de betão
B15
B20 B25
1
0.50 0.60 0.65
2
2,4 3.2 4.0
rdsd VV 50,13969,42 kN (OK!)
José Luís Marques
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O método de cálculo é o apresentado, salvaguardando possíveis erros ao dactilografar os valores.
A bibliografia utilizada foi a seguinte:
- BETÃO ARMADO – Esforços Normais e de Flexão – J. D´ Arga e Lima
- HORMIGÓN ARMADO – Pedro Jimenez Montoya
- REBAP – Regulamento de Betão Armado e Pré-esforçado
- RSA – Regulamento de Segurança e Acções
- TABELAS TÉCNICAS – de Brasão Farinha
- Apontamentos do Curso
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BIBLIOGRAFIA