Post on 09-Jan-2016
description
Autovalores y AutovectoresAutovalores y Autovectores
Generalidades
Círculos de Gerschgorin
Método de las Potencias
Transformaciones Similares
Prof. Dra. Nélida Beatriz Brignole
Siguiente
Anterior
Definición del ProblemaDefinición del Problema
ticocaracterísPolinomioIA
xIA
AdeEspectroPniP
xxxA
i
0)det(
:0 xde ademássolución otra tengasistema el que para
0)(
:},1{
0
Siguiente
Anterior
EjemploEjemplo
0
0
0
0
1111
1110
2011
31311
0)42)(1(
111
110
201
)det()(
111
110
201
1
13
12
11
321
2
x
x
x
x
ii
IAAp
A
Siguiente
Anterior
Interpretación geométricaInterpretación geométrica
La multiplicación por A dilata a x , contrae a x, o revierte la dirección de x, dependiendo del autovalor de A
011
011
xAx
Siguiente
Anterior
Teorema de GerschgorinTeorema de Gerschgorin
Sea
con autovalores
Sean los círculos
Entonces
nxnCA
nii ,1
n
ijj
ijiii arrxZ1
iia-x/C
n
i
ii ZD1
Siguiente
Anterior
EjemploEjemplo
29
12
24
902
120
114
3
2
1
zquetalCzR
zquetalCzR
zquetalCzR
A
Siguiente
Anterior
Demostración Demostración
ikkjkij
n
ijj
ikii
kik
ikkjkij
n
j
kTikk
Ti
kkk
xxAxA
xx
xxA
xexAe
xxA
][][][][][
][elijo
][][][
1
1
Siguiente
Anterior
Demostración (cont.)Demostración (cont.)
.][][
][][][][
][][][][
1
11
1
cqdrAA
AxxAAx
xAAx
i
n
ijj
ijiik
n
ijj
ijkjk
n
ijj
ijiikk
jk
n
ijj
ijiikik
Siguiente
Anterior
Método de las PotenciasMétodo de las Potencias
i
n
i
ii
i
n
iiii
n
iiii
n
ii
i
n
ii
niiii
xxAvv
xxxxAAv
xv
xxxA
2 1111101
2111
110
10
21L.I.
Siguiente
Anterior
Método de las Potencias (cont.)Método de las Potencias (cont.)
ii
n
i
i
i
n
ii
ii
i
n
i
ii
xx
xxvA
xAxAvAAvv
2
12 11
211
2 1111110
2
2 111110
212
Siguiente
Anterior
Método de las Potencias (cont.)Método de las Potencias (cont.)
converge lentamente
22 1 0 1 1 1
2 1 1
0 1 1 12 1 1
1 1 1 1 1 2
1 1 1
1 1 1
lim lim
1 0 0
1
ni i
ii
kn
k k i ik i
i
kkk k
k
k
v Av A v A x A x
v A v x x
v x x
x
x
Siguiente
Anterior
Algoritmo: Método de las PotenciasAlgoritmo: Método de las Potencias
k
kk
kk
n
z
zv
vAz
k
vv
1
00
repetir
converg.hasta 0para
1 con Dado
Siguiente
Anterior
Efecto del EscaladoEfecto del Escalado
01
01
12
12
1
11
1
1
1
1
1
vA
vA
vA
vA
zA
zAv
z
zA
z
zA
Av
Av
z
zv
k
k
k
k
k
kk
k
k
k
k
k
k
k
kk
Siguiente
Anterior
Efecto del Escalado (cont.)Efecto del Escalado (cont.)
1
11 1 1
2 1 1
1 1
11 1 1
2 1 1
11 1 1 1
1 11 11 1
lim lim 1
kn
k i ii
i
k kn
k i ii
i
k
k kk k
x x
v
x x
x xv
x x
Siguiente
Anterior
Velocidad de ConvergenciaVelocidad de Convergencia
Cx
kv
xkv
k
k
nj
1
klim lineal orden de converg.*
oscilación negativos sautovalore
lentamente converge
:dominante relación
,2 relaciones laspor a determinad
21
1
2
1
j
Siguiente
Anterior
Cálculo del Autovalor Cálculo del Autovalor DominanteDominante
2
2x
xAx
xx
xAx
xxxAx
xxA
T
T
T
TT
Cociente de Rayleigh
Siguiente
Anterior
Cálculo del Mínimo Autovalor Cálculo del Mínimo Autovalor
kkkkk
kkkk
vxPzLUxPzPA
xzAxAz
xAx
xAxAA
xxA
111
si
1
1
11-nn
n1-n21
1
11
Siguiente
Anterior
Algoritmo MP InversoAlgoritmo MP Inverso
xx
xAx
vPx
z
zv
vzLU
k
LUPA
xx
T
T
n
mm
k
kk
kk
n
repetir fin
repetir
converg.hasta 0para
factorizar
1 con Dado
1
00
Siguiente
Anterior
Método de las Potencias con CorrimientoMétodo de las Potencias con Corrimiento
111
1
ˆ
||||||
)ˆ()ˆ(
1
)ˆ()ˆ(
ˆˆ
jjnn
jjj
jjj
jjjjj
jjj
xIAx
xxIA
xxxIxA
xxA
Siguiente
Anterior
ShiftingShifting
Siguiente
Anterior
Algoritmo MPI con CorrimientoAlgoritmo MPI con Corrimiento
ˆ)ˆ(
repetir fin
repetir
converg.hasta 0para
)ˆ( factorizar
ˆ,1 con Dado
1
00
xx
xIAx
vPx
z
zv
vzLU
k
LUIAP
xx
T
T
mm
k
kk
kk
n
Siguiente
Anterior
ResumenResumenMétodo Ecuación ComputaPotencias Máximo autovalor
λInverso Potencias
Mínimo autovalor λ
Con shifting
Autovalor más lejano a μ
Con shifting inverso
Autovalor más cercano a μ
)()1( kk Axx
)()1( kk xAx
)()1( )( kk xIAx
)()1()( kk xxIA
Siguiente
Anterior
Conclusiones: Método de las PotenciasConclusiones: Método de las Potencias Ventaja
– Simplicidad Desventajas
– Calcula los autovalores individualmente– Requiere un autovalor dominante– Surgen problemas con autovalores complejos– Requiere buena distancia entre el autovalor dominante y su vecino– La inicialización del autovector afecta la velocidad de convergencia
Herramienta para propósitos especiales– Muy buena si se conoce bien el problema
Necesidad de herramientas de propósito general ...– que exijan tomar menos decisiones– que calculen todo el espectro a la vez
Siguiente
Anterior
Transformaciones SimilaresTransformaciones Similares
Las matrices
se denominan SIMILARES si
no singular tal que
Las transformaciones similares
preservan los autovalores
nxnnxn BA ;nxnS
SBSA 1
Siguiente
Anterior
TeoremaTeorema
yyB
xSxSB
xxSBS
xxA
1
DemostraciónDemostraciónBdeautovectoresSxyBdeautovalores
AdeautovectorxseayAdeautovalorSea
SBSABasimilarASea nxnnxn
1;
Siguiente
Anterior
Factorización SucesivaFactorización Sucesiva
Propósito: Generar una sucesión de matrices similares,
tendiendo a lograr una forma especial
kkkkk
kkkk
SSSASSSA
SASA
1111
111
11
1111
Siguiente
Anterior
DiagonalizaciónDiagonalización
DXAXDXXA
xxxXA
xxxxxxA
nixxA
n
n
nnn
iii
1
2
1
21
221121
00
00
00
,1
•Autovalores distintos => Autovectores L.I. => Existe inversa de X
•Si A es simétrica => Sus autovalores son reales
X es ortogonal
Siguiente
Anterior
Es una buena idea emplear rutinas prefabricadas? Es una buena idea emplear rutinas prefabricadas?
Pregunta crucial que nos hemos hecho desde el principio.
“Diagonalizar matrices es un campo muy complejo de la matemática, y ha exigido gran cantidad de tiempo y de trabajo desarrollar y verificar todas las rutinas realizadas”
“Libros de tanta reputación y calidad como el Numerical Recipes recomiendan usar paquetes de rutinas. De hecho, existen gran cantidad de rutinas de calidad y que son aceptadas por la comunidad científica, como es el caso de EISPACK, IMSL o NAG. “
Siguiente
Anterior
ExperienciaExperiencia “Sin embargo, al ejecutar el código verificamos que el
programa comenzó a fallar y a generar datos erróneos. Tras varias semanas de verificación del código, llegamos a la conclusión que el código estaba mal: eran las rutinas de autovalores. Y estudiando en profundidad dichas rutinas percibimos que, por su implementación interna, tenía comentado un escalado para que fuera más deprisa. Eliminado el comentario del escalado, sí volvió a dar resultados correctos. Sin embargo, esto ya sentó las dudas sobre qué estabamos empleando para resolver nuestras ecuaciones. Por otro lado, analizamos los límites internos de las rutinas.“
Siguiente
Anterior
Rutinas prefabricadasRutinas prefabricadas “Emplear rutinas ya prefabricadas es, en nuestra opinión, una buena
opción para cuando no es un cálculo que hagamos con frecuencia o que suponga peso en los cálculos para nuestro algoritmo.”
“En caso de que la diagonalización sea una parte importante de nuestro trabajo, sólo podemos emplear rutinas prefabricadas para las primeras fases de prototipado o para generar baterías de pruebas para asegurarnos de la corrección de nuestras rutinas, y sin tomar como axiomas los resultados numéricos de ninguna de las dos rutinas.”
“Como rutinas prefabricadas hemos empleado las IMSL, que son bastante buenas. Están en Fortran, lo que fué una ventaja en las primeras fases del proyecto -en las que el Fortran fué nuestro lenguaje de programación- y un inconveniente en las últimas fases -que portamos todo el código a C, fundamentalmente por la gestión de memoria dinámica, de la que Fortran 77 carece y, en Fortran 90 y posteriores, es menos eficiente que en C.“
Siguiente
Anterior
Matrices TriangularesMatrices Triangulares
nia
atriangularesASi
IAgeneralEn
ii
n
iii
,1
0)(
0)det(,
1
¿Cómo transformar matrices arbitrarias
en matrices triangulares con los mismos autovalores?
Siguiente
Anterior
Teorema de SchurTeorema de Schur
Sea
Entonces existe una matriz unitaria tal que
donde es triangular superior.
Los elementos diagonales de son los autovalores de
nxnCAUAUUAUUT *1
T
T A
Siguiente
Anterior
Forma Real de SchurForma Real de Schur
Tdeconjugadoscomplejosautoval
deparunsonautovalsusTbieno
TderealautovalorunesTdonde
T
TT
TTT
TTTT
T
conUAUTquetal
ortogonalUEntoncesASea
xii
xii
kk
k
k
k
T
nxnnxn
.
.
000
00
0
,.
22
11
333
22322
1131211
Siguiente
Anterior
Lectura obligatoriaLectura obligatoria
Rao págs 270-291Rao págs 315-324