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7/23/2019 Apuntes Resistencia de Materiales Iei
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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA METROPOLITANA
FACULTAD DE INGENIERIA
APUNTES ASIGNATURA
RESISTENCIA DE MATERIALES
INGENIERIA DE EJECUCION INDUSTRIAL
PROFESOR: RAUL ROSAS LOZANO
2006
Autor: Ral Rosas Lozano
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INDICE
I CONCEPTO DE ESFUERZO 1
1.1 Introduccin 1
1.1.1 Fuerzas y esfuerzos 1
1. Car!a a"ia# y esfuerzo nor$a# %
1.& Esfuerzo cortante '
1.( Esfuerzos so)re *#anos o)#icuos 1&
1.% Esfuerzo )a+o car!as )ia"ia#es 1,
1.- Esfuerzos *rinci*a#es 1 1.' Defor$acin de e#e$entos so$etidos a car!a a"ia# ,
II TORSIN (1
.1 Introduccin (1
. Esfuerzo cortante ((
.& Defor$acin *or cortante (,
.( F#ec/as !iratorias %0
III FE2IN -(
&.1 Introduccin -(
&. Esfuerzo de f#e"in -%
I3 ESFUERZOS CO45IN6DOS '%
(.1 Introduccin '%
(. Car!as co$)inadas a"ia#es y de f#e"in '-
(..1 F#e"in asi$7trica ',
(.. Car!as e"c7ntricas ,1
Autor: Ral Rosas Lozano
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3 TEOR86S DE F66 ,%
%.1 Introduccin ,%
%. Teor9a de# esfuerzo nor$a# $:"i$o ,,
%.& Teor9a de# esfuerzo cortante $:"i$o 0;
%.( Teor9a de #a ener!9a de distorsin 01
3I Co de e+es de trans$isin se!?n e# cdi!o 6S4E 0,
-.& Dise>o de e+es *or ri!idez torsiona# 1;;
3II EE4ENTOS DE SU=ECIN 1;0 '.1 Introduccin 1;0
'. Uniones re$ac/adas 11;
'..1 6n:#isis de #as +untas re$ac/adas 11
'.& =untas atorni##adas 11
'.( =untas so#dadas 1
'.(.1 Dise>o de so#daduras 1%
3III EE4ENTOS DE TR6NS4ISIN 1&1
,.1 6co*#a$ientos de f#ec/as 1&1
Autor: Ral Rosas Lozano
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I CONCEPTO DE ESFUERZO
1.1 INTRODUCCIN
E# *rinci*a# o)+eti@o de# estudio de #a resistencia de $ateria#es es dar a# in!eniero
#os $edios necesarios *ara ana#izar y dise>ar diferentes e#e$entos de $:Auinas y
estructuras. Tanto e# an:#isis co$o e# dise>o de una estructura i$*#ican #a
deter$inacin de esfuerzos y deformaciones.
1.1.1 Fuerzas y esfuerzos
En #a fi!ura 1B se $uestra una estructuraB #a cua# consta de dos e#e$entos 65 y
5C Aue en con+unto so*ortan una car!a de &; N.
Fi!ura 1
Autor: Ral Rosas Lozano
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Por consideraciones de #a est:tica se reconoce Aue 65 y 5C son e#e$entos de
dos fuerzas *or #o Aue estar:n so$etidos a car!as a"ia#es o*uestas y de# $is$o
@a#or en sus e"tre$osB co$o se indica en #a fi!ura .
Fi!ura
6# construir un dia!ra$a de s#ido #i)re de #a estructura y a*#icando #as
corres*ondientes ecuaciones de eAui#i)rioB se deter$ina Aue e# e#e$ento 65 se
encuentra so$etido a #a fuerza FA! "# $N y e# e#e$ento 5C a FC! %# $N.
Cortando #a )arra 5C en un *unto ar)itrario DB se o)tienen dos *artes 5D y CD
fi!ura &. Co$o de)en a*#icarse fuerzas de %; N en D a a$)as *orciones de #a)arra *ara $antener#as en eAui#i)rioB se deduce Aue se *roduce una fuerza interna
de %; N en #a )arra 5C cuando se a*#ica en 5 una fuerza de &; N yB se nota
ade$:sB Aue #a )arra 5C est: so$etida a tensin. Un an:#isis si$i#ar de$uestra
Aue #a fuerza en #a )arra 65 es de (; N y Aue est: so$etida a co$*resin.
Autor: Ral Rosas Lozano
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Fi!ura&
6unAue #os resu#tados o)tenidos re*resentan un *aso inicia#B necesario en e#
an:#isis de #a estructuraB no dice si #a car!a dada *uede so*ortarse con se!uridad.
E# Aue #a )arra 5CB se ro$*a o no )a+o esta car!a de*ende no so#o de# @a#or de
F5Csino ta$)i7n de# @a#or de #a seccin trans@ersa# de #a )arra y de# $ateria# de
Aue est: /ec/a.
a fuerza *or unidad de :reaB o intensidad de #as fuerzas distri)uidas so)re una
seccin dadaB se conoce co$o e# esfuerzo en dic/a seccin y se desi!na *or #a
#etra !rie!a . E# esfuerzo en un e#e$ento de #a seccin trans@ersa# de :rea A
so$etido a una fuerza a"ia# Pco$o se indica en #a fi!ura ( se o)tiene di@idiendo#a $a!nitud P de #a car!a *or e# :rea 6.
& ! P ' A (1)
Fi!ura (
Autor: Ral Rosas Lozano
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(a)
(b)
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Un si!no *ositi@o indicar: un esfuerzo de tensin e#e$ento en tensin y un si!no
ne!ati@o se>a#ar: un esfuerzo de co$*resin e#e$ento co$*ri$ido.
En e# S.I. #a unidad de esfuerzo se e"*resa en NG$. Esta unidad es un *asca+
(Pa). Sin e$)ar!oB e# *asca# es una cantidad $uy *eAue>a y en #a *r:ctica se
usan sus $?#ti*#os co$o e# i#o*asca# PaB e# $e!a *asca# 4*a y e# !i!a*asca#
H*a. Se tiene Aue
1 Pa J 1;&Pa J 1;&NG$
1 4Pa J 1;-Pa J 1;-NG$
1 HPa J 1;0Pa J 1;0NG$
Cuando se usan #as unidades a$ericanasB e# esfuerzo se e"*resa en #)G*u#! *si
#)G*u#!*si.
Autor: Ral Rosas Lozano
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1. C6RH6 62I6 K ESFUERZO NOR46
Co$o ya se /a @istoL #a )arra 5C es un e#e$ento de dos fuerzas y *or #o tanto #a
fuerza F5Cest: diri!ida a #o #ar!o de# e+e de #a )arra. Se dice entonces Aue #a )arra
est: so$etida a car!a a"ia#. a seccin Aue se /izo en #a )arra *ara deter$inar #a
fuerza interna y e# esfuerzo corres*ondiente era *er*endicu#ar a# e+e de #a )arraB #a
fuerza interna era *or tanto nor$a# a# *#ano de #a seccin y e# esfuerzo
corres*ondiente es conocido co$o un esfuerzo norma+. 6s9B #a e"*resin de#
esfuerzo nor$a# en un e#e$ento so$etido a car!a a"ia#B es
& ! P ' A (,)
De)e notarse Aue en esta e"*resinB se o)tiene di@idiendo #a $a!nitud PB de #a
resu#tante de #as fuerzas internas distri)uidas en #a seccin trans@ersa#B *or e# :rea
6 de dic/a seccinL re*resenta entonces e# @a#or $edio de# esfuerzo so)re #a
seccinB $:s Aue e# @a#or de# esfuerzo en un *unto es*ec9fico de #a seccintrans@ersa#.
Para definir e# esfuerzo en un *unto M de #a seccin trans@ersa#B se de)e
considerar una *eAue>a :rea 6 fi!ura %
Fi!ura %
Autor: Ral Rosas Lozano
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Di@idiendo e# @a#or F *or 6 se o)tiene e# @a#or $edio de# esfuerzo so)re 6.
aciendo Aue 6 tienda a ceroB se /a##a e# esfuerzo en e# *unto M
( )AFA
Q
=lim
0
En !enera# Qmed B aunAue e# esfuerzo @ar9a *oco en una seccin a#e+ada de#
*unto de a*#icacin de #a car!a. En #a *r:cticaB se su*ondr: Aue #a distri)ucin de
esfuerzos nor$a#es en un e#e$ento car!ado a"ia#$ente es unifor$eB e"ce*to en
#a in$ediata @ecindad de #os *untos de a*#icacin de #as fuerzas.
Autor: Ral Rosas Lozano
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1.& ESFUERZO CORT6NTE
as fuerzas internas estudiadas anterior$ente y #os corres*ondientes esfuerzos
eran nor$a#es a #a seccin considerada. Un ti*o $uy diferente de esfuerzo se
o)tiene a# a*#icar #as fuerzas trans@ersa#es P y P a# e#e$ento 65 $ostrado en #a
fi!ura -a.
a ) c
Fi!ura -
as fuerzas internas Aue a*arecen a# cortar e# e#e$ento 65 en #a seccin CB co$ose indica en #a fi!ura -)B y cuya resu#tante de)e ser i!ua# a P fi!ura -c son #as
fuerzas cortantes. ue!o en funcin de estoB e# esfuerzo cortanteB Aue se desi!na
*or #a #etra !rie!a tauB se define co$o
Autor: Ral Rosas Lozano
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A
Pmed = (-)
a distri)ucin de# esfuerzo cortante nunca *uede su*onerse unifor$e de)ido a
Aue 7ste @ar9a desde cero /asta un @a#or $:"i$o Aue *uede ser $uc/o $ayor
Aue e# @a#or $edio.
os esfuerzos cortantes se *resentan *rinci*a#$ente en *ernosB *asadores y
re$ac/es usados *ara unir di@ersos e#e$entos estructura#es y co$*onentes de
$:Auinas.
Eercicio N/ 1
Una !r?a est: co$*uesta de un *oste de $adera 5C de (Q( *u#! y un tirante
)arrenado de acero 65 de 1 *u#!. de di:$etroB co$o se $uestra en #a fi!ura '. a
!r?a #e@anta una car!a de ';;; #). Deter$inar e# esfuerzo nor$a# en #os
$ie$)ros 65 y5C y e# esfuerzo cortante trans@ersa# en e# *erno de 1 *u#!. de
di:$etroB en 6B Aue est: tra)a+ando a do)#e corte.
Autor: Ral Rosas Lozano
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Fi!ura '
So+uci0n o *ri$ero Aue se de)e /acer es deter$inar #as car!as Aue so*orta
cada $ie$)roL *ara e##o se de)e considerar e# dia!ra$a de s#ido #i)re de #a !r?a
y de #a cone"in en 6B ta# co$o se $uestra en #a fi!ura ,.
)
Fi!ura ,
os $ie$)ros 65 y 5C est:n so$etidos a car!a a"ia#. Si se a*#ica #as ecuaciones
de eAui#i)rio a# dia!ra$a de s#ido #i)re de #a fi!ura ,aB se o)tiene #os si!uientes
resu#tados
( ) ( ) ( ) ==
= TlbFFM AAC 13000057000713
5:0
#ue!o ( )
( )TpsiA
FAB
AB
AAB 1,16552
41
130002
===
( ) ( ) ( ) === ClbFFF CCY 56,16970013513000700021:0
Autor: Ral Rosas Lozano
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(a)
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#ue!o ( )CpsiAF
BCBC
C
BC 66,10604!4
56,16970
===
K de# dia!ra$a de s#ido #i)re de #a fi!ura 1.,) Aue es e# de #a cone"in en 6B
se tiene
=== lbVVFF AX 650002:0
#ue!o
( ) psi
A
VP
P
P 05,8276
4
1
65002
===
Autor: Ral Rosas Lozano
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Eercicio N/ ,
En #a fi!ura 0a e# esfuerzo a"ia# de co$*resin en e# *oste de $adera 5 es de
11%; *si y e# esfuerzo de tensin en #a )arra de acero 6 es de 10;;; *si.
Deter$inar e# @a#or de #a car!a P.
C2
Fi!ura 0
Autor: Ral Rosas Lozano
14
"
#$
%
(a)
(b)
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So+uci0n En #a fi!ura 0) se $uestra e# dia!ra$a de s#ido #i)re de #a )arra
/orizonta#B *#anteando #a ecuacin de eAui#i)rio de $o$ento con res*ecto a#
e"tre$o C y considerando e# sentido anti/orario co$o *ositi@oB se tiene
0)16()16()6(:0 =+= PNTMC
*ero de #as condiciones de# *ro)#e$a se *uede esta)#ecer Aue
805071150
95005,019000
===
===
NxAxN
TxAxT
A
AA
Ree$*#azando estos dos @a#ores en #a ecuacin de $o$entoB se o)tiene e# @a#or
lbP 5,11612=
Autor: Ral Rosas Lozano
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1.( ESFUERZOS SO5RE P6NOS O5ICUOS
asta aAu9 se /a @isto Aue #as fuerzas a"ia#es e+ercidas so)re e#e$entos de dos
fuerzas !enera)an esfuerzos nor$a#es en dic/os e#e$entosB $ientras Aue #as
fuerzas trans@ersa#es causa)an esfuerzos cortantes. a razn *ara Aue se
o)ser@ara ta# re#acin entre fuerzas a"ia#es y esfuerzos nor$a#esB *or una *arteB y
fuerzas trans@ersa#es y esfuerzos cortantes *or otraB era Aue #os esfuerzos
esta)an deter$in:ndose s#o en *#anos *er*endicu#ares a# e+e de# e#e$ento.
6# considerar un e#e$ento de dos fuerzas so$etido a #as fuerzas P y PB co$o se
$uestra en #a fi!ura 1;a. Si se /ace un corte Aue for$e un :n!u#o con e# *#anonor$a# fi!ura 1;) y se di)u+a e# dia!ra$a de cuer*o #i)re de #a *arte de#
e#e$ento a #a izAuierda de #a seccin fi!ura 1;c se deter$inaB *artiendo de #as
ecuaciones de# eAui#i)rioB Aue #as fuerzas distri)uidas en #a seccin de)en ser
eAui@a#entes a #a fuerza P.
( a) (b)
c d e
Autor: Ral Rosas Lozano
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Fi!ura 1;
Desco$*oniendo P en sus co$*onentes F y 3B nor$a# y tan!encia# a #a seccin
res*ecti@a$ente fi!ura 1;dB se tiene Aue
senPVyPF == &os
a fuerza F re*resenta #a resu#tante de #as fuerzas nor$a#es en #a seccin y 3
re*resenta #a resu#tante de #as fuerzas cortantes. E# @a#or $edio de #os esfuerzos
en dic/a seccin son
&osAAdonde
AVy
AF ===
Ree$*#azando #as e"*resiones de F y 3 en #as de y res*ecti@a$enteB se tiene
&os&os 0
2
0 senA
P
yA
P
== (")
De estas e"*resiones se *uede deducir Aue es $:"i$o cuando @a#e ; o 1,;L
Aue es $:"i$o cuando @a#e (% o 1&% y ta$)i7n AueB2
mxmx
=
Por #o tantoB #os esfuerzos $:"i$os est:n dados *or
A
Pmx = y A
Pmx
2=
Autor: Ral Rosas Lozano
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Se de)e considerar dos cosas res*ecto de estas ecuaciones. a *ri$era es Aue
son a*#ica)#es a *artes Aue est:n car!adas ya sea a tensin o a co$*resin. a
se!unda y $:s i$*ortante es Aue #a #9nea de accin de #a car!a de)e *asar a
tra@7s de# centroide de #a seccin trans@ersa# y de)e coincidir con e# e+e.
Sie$*re e# esfuerzo nor$a# ser: $:"i$o o $9ni$o en #os *#anos *ara #os cua#es
e# esfuerzo cortante es cero.
Eercicio N -
Dos e#e$entos de $aderaB con seccin trans@ersa# unifor$e de & " % *u#!B est:n
unidos con *e!a$ento. Si P J ,;; #)B deter$ine #os esfuerzos nor$a# y cortante
en #a unin $ostrada en #a fi!ura 11.
'iura 11
So+uci0n
6*#icando #as ecuaciones (")B se tiene Aue
( ) ( ) ( ) ( ) psisenTpsi 4,2025&os2515
8008,4325&os
15
800 2 ====
Autor: Ral Rosas Lozano
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Se *uede de$ostrar Aue si e"iste un esfuerzo cortante en un *unto de cua#Auier
*#anoB de)e ta$)i7n e"istir en dic/o *unto un esfuerzo cortante de #a $is$a
$a!nitud *ero con si!no contrario en un *#ano orto!ona#. Para este efectoB se
considerar: e# dia!ra$a de s#ido #i)re de un *eAue>o )#oAue rectan!u#ar de
es*esor dzB se!?n se $uestra en #a fi!ura 1.
Fi!ura 1
Si una fuerza cortante dzdxV yxx = se a*#ica a #a cara su*erior de# )#oAueB #a e
cuacin = 0xF o)#i!a a esta)#ecer una fuerza diri!ida en sentido o*uesto a 3"en #a *arte inferior de# )#oAueB Auedando as9 e# )#oAue so$etido a un *ar de
sentido /orarioB este *ar de)er: ser co$*ensado *or otro *ar en sentido
anti/orario co$*uesto *or #as fuerzas dzdyV xyy = a*#icadas a #as caras
@ertica#es de# )#oAue. Por ?#ti$o #a a*#icacin de #a ecuacin de eAui#i)rio
= 0zM da #a si!uiente e"*resin
( ) ( ) == 0:0 dydzdxdxdzdyM yxxyz
Autor: Ral Rosas Lozano
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de #a Aue se o)tiene Aue
yxxy =
Con #o cua# Aueda de$ostrado #o Aue se *retend9a. Este *rinci*io es ta$)i7n
@:#ido cuando est:n actuando esfuerzos nor$a#es so)re #os *#anosB *uesto Aue
estos esfuerzos se *resentan en for$a de *ares co#inea#esB *ero de direccin
o*uesta y as9 e# $o$ento es cero con res*ecto a cua#Auier e+e.
Autor: Ral Rosas Lozano
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1.% ESFUERZO 56=O C6RH6S 5I62I6ES
6unAue se de+ esta)#ecido Aue #as e"*resiones desarro##adas en #a seccin
anterior son de @a#idez restrin!idaB #i$itada a #os casos de car!as centradasB e#
$7todo de# dia!ra$a de s#ido #i)re Aue se e$*#eo *ara deter$inar#as *uede
ta$)i7n ser usado *ara reso#@er #os *ro)#e$as en #os Aue inter@en!an car!as en
dos direcciones )ia"ia#es. a $anera de co$o *roceder Auedar: esta)#ecida en
e# si!uiente e+e$*#o.
Eercicio N/ "
En un *unto dado de un e#e$ento de una $:AuinaB se e@a#uaron #os si!uientes
esfuerzos ,;;; *si T y corte ceroB en un *#ano /orizonta# y (;;; *si C en un
*#ano @ertica#. Deter$ine #os esfuerzos en este *untoB en un *#ano inc#inado con
*endiente de & unidades @ertica#es *or ( /orizonta#es.
So+uci0n. Co$o una for$a de @isua#izar de $e+or $anera #os datos entre!adosB
se de)e di)u+ar e# )#oAue diferencia# Aue se $uestra en #a fi!ura 1&a Aue es un
di)u+o de #os esfuerzos y no un dia!ra$a de s#ido #i)re. En se!uida se traza e#
dia!ra$a de s#ido #i)reB donde de)en a*arecer #os @ectores de fuerza ordinarios.
Para este efecto se *uede uti#izar @arios dia!ra$as de s#ido #i)re acordes con #a
situacinB ta# co$o e# de# e#e$ento en for$a de cu>a definido *or #os tres *#anos
dados en #a fi!ura 1&) en #a Aue e# :rea so$)reada indica e# *#ano en Aue e#
esfuerzo Aue de)e ser e@a#uado act?a. 6 esta :rea se #e asi!nar: en for$a
ar)itraria #a $a!nitud diferencia# dA B #ue!o #as :reas corres*ondientes a #as caras
@ertica# y /orizonta# de# e#e$ento ser:n dAydA 8,06,0 B res*ecti@a$ente.
Autor: Ral Rosas Lozano
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as fuerzas Aue act?an so)re estas :reas son #as Aue est:n indicadas en e#
dia!ra$a. No se de)e o#@idar Aue son #os @ectores de fuerza #os Aue act?an so)re
dic/as :reas. Para #os fines *r:cticosB e# dia!ra$a de s#ido #i)re en e# *#ano de #a
fi!ura 1&c )astar:. 6/ora se a*#ican #as ecuaciones de eAui#i)rioB es decirB se
su$ar:n #as fuerzas en #a direccin nor$a# y tan!encia# *ara o)tener #os esfuerzos
*edidos.
Fi!ura 1&
Autor: Ral Rosas Lozano
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(a)
(b) (&)
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( ) ( ) ( ) ( ) ( )TpsidAdAdAFn 368008,08,080006,06,04000:0 ==+=
( ) ( ) ( ) ( ) psidAdAdAFt 576006,08,080008,06,04000:0 ==++=
ay Aue recordar Aue e# esfuerzo nor$a# sie$*re de)er: ser desi!nado co$o de
tensin T o de co$*resin C.
Autor: Ral Rosas Lozano
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1.- ESFUERZOS PRINCIP6ES
En #a fi!ura 1( se i#ustra un e#e$ento de# estado !enera# de esfuerzo
tridi$ensiona# donde se $uestran tres esfuerzos nor$a#es 2 3 y 3 z B todos
*ositi@osL y seis esfuerzos cortantes 2y B y2 3 yz 3 zy 3 z2 y 2z B ta$)i7n
*ositi@os. Este e#e$ento est: en eAui#i)rio est:tico yB *or #o tanto
2y ! y2 yz ! zy z2J 2z
os esfuerzos nor$a#es diri!idos /acia afuera de# e#e$ento se consideran
*ositi@os y son de tensin. os cortantes son *ositi@os siact?an en #a direccin
*ositi@a de un e+e de referencia. E# *ri$er su)9ndice de una co$*onente de
esfuerzo cortante indica e# e+e coordenadoB Aue es *er*endicu#ar a #a cara de#
e#e$entoL e# se!undo indica e# e+e de coordenadas *ara#e#o a dic/a co$*onente.
Autor: Ral Rosas Lozano
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Fi!ura 1(
Un esfuerzo cortante *ositi@o a*unta en #a direccin*ositi@a de# e+e coordenado
de# se!undo su)9ndice si act?a so)re una su*erficie Aue ten!a su nor$a# /acia
afuera en #a direccin *ositi@a. Contraria$enteB si #a nor$a# /acia afuera de #a
su*erficie esta en #a direccin ne!ati@a entonces e# esfuerzo cortante *ositi@oa*unta en #a direccin ne!ati@a de# e+e coordenado corres*ondiente a# se!undo
su)9ndice. ue!oB co$o ya se /a)9a $encionado anterior$enteB #os esfuerzos
Aue se $uestran en #a fi!ura 1( son todos *ositi@os
a fi!ura 1%a i#ustra un estado de esfuerzo *#ano o )ia"ia#B Aue es #o $:s usua#.
Una @ez Aue #os esfuerzos nor$a# y cortante so)re estos *#anos orto!ona#es sean
conocidosB #os esfuerzos nor$a# y cortante en cua#Auier *#ano o)#icuo es*ec9fico
Aue *ase *or e# $is$o *untoB *ueden f:ci#$ente ser deter$inados $ediante e#
$7todo de# dia!ra$a de s#ido #i)re estudiado en #a seccin anterior. Desde e#
*unto de @ista de# dise>oB !enera#$enteB #os esfuerzos cr9ticos son #os @a#ores
$:"i$os de tensinB de co$*resin y de $:"i$o esfuerzo cortante. Por #o tantoB
Autor: Ral Rosas Lozano
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e# $7todo de #a seccin 1.% no resu#ta adecuado a $enos Aue se conozcan #as
#oca#izaciones de ta#es *#anos.
a )
Fi!ura 1%
os esfuerzos nor$a#es $:"i$o y $9ni$o en un *unto de# cuer*o car!ado son
definidos co$o #os esfuerzos *rinci*a+es y #os *#anos en Aue e##os act?an se
deno$inan *+anos *rinci*a+es. E# tercer esfuerzo *rinci*a# en e# caso de
esfuerzo en e# *#ano "y es zAue es i!ua# a cero.
Para deter$inar #as fr$u#as Aue *er$itan e@a#uar y #oca#izar estos esfuerzos
*rinci*a#es se su*uso Aue e# e#e$ento de #a fi!ura 1%a fue cortado *or un *#ano
inc#inado en un :n!u#o B co$o se @e en #a fi!ura 1%)L e# :n!u#o es considerado
*ositi@o cuando se cuenta en sentido anti/orario. a fi!ura 1%) es e# dia!ra$a
de s#ido #i)re de# e#e$ento en for$a de cu>a de# cua# fueron deducidas #as
fr$u#as antes $encionadas y Aue son #as si!uientes
( ) ( )
2
2yx
xytg
=
(%)
Autor: Ral Rosas Lozano
*
+*
+*
+nt-A
n-A
+*
-A&os.
+*
-As/n.
*-A&os.
-As/n.
..
nt
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( )( ) 2
2
2,122
xy
yxyx
+
+=
(4)
( ) 22
2
xy
yx
mx
+
= (5)
( )
2
21
=
mx (6)
os @a#ores de de #a fr$u#a (%) dan #a orientacin de #os *#anos *rinci*a#es.
Para un +ue!o dado de @a#ores de "yB "y y /ay dos @a#ores de se*arados 0;.
Esto *rue)a Aue #os *#anos *rinci*a#es son nor$a#es entre s9. Cuando #a t! es
*ositi@aB es *ositi@o y #a rotacin es en sentido anti/orario desde #os e+es " e y a
#os *#anos en Aue #os esfuerzos *rinci*a#es act?an. Cuando #a t! es ne!ati@aB
#a rotacin es en sentido /orario. Se de)e de+ar indicado Aue un @a#or de se
encontrar: sie$*re entre #os (% *ositi@os y ne!ati@os inc#usi@e con e# otro @a#or
0; $:s !rande. E# esfuerzo *rinci*a# de @a#or nu$7rico $ayor actuar: en e#
*#ano Aue for$e un :n!u#o de (% o $enor con e# *#ano de# $ayor nu$7rica$ente
de #os dos esfuerzos nor$a#es dados. Ta$)i7n se de)e notar Aue si uno o a$)os
esfuerzos *rinci*a#es son ne!ati@osB e# $:"i$o esfuerzo a#!e)raico *uede tener
un @a#or a)so#uto $enor Aue e# $9ni$o esfuerzo.
a fr$u#a (4)da #os dos esfuerzos *rinci*a#es en e# *#ano "y y e# tercero es & J
z J ;.
Autor: Ral Rosas Lozano
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a fr$u#a (5) da #os @a#ores de #os $:"i$os esfuerzos cortantesB estos ocurren
en *#anos Aue se encuentran a (% de #os *#anos *rinci*a#es.
a fr$u#a (6)esta)#ece una re#acin $uy ?ti# entre #os esfuerzos *rinci*a#es y e#
esfuerzo cortante $:"i$o.
Si #os @a#ores de 1y de #a fr$u#a (4)tienen e# $is$o si!noB entonces e# tercer
esfuerzo *rinci*a# & i!ua# a ceroB ser: e# $:"i$o o e# $9ni$o esfuerzo nor$a#.
ue!o e# $:"i$o esfuerzo cortante *uede ser 1 GB V ; G o 1V ; GB
se!?n #as $a!nitudes re#ati@as y #os si!nos de #os esfuerzos *rinci*a#es.
a direccin de# esfuerzo cortante $:"i$o se *uede deter$inar di)u+ando un
)#oAue de for$a de cu>a con dos caras *ara#e#as a #os *#anos en #os Aue se
*resentan e# $:"i$o y $9ni$o esfuerzo *rinci*a# y con #a tercera cara a (% con
#as otras dos. a direccin de# esfuerzo cortante $:"i$o de)er: ser o*uesta a#
$ayor de #os esfuerzos *rinci*a#es.
Otra re#acin $uy ?ti# entre #os esfuerzos *rinci*a#es y #os esfuerzos nor$a#es en
*#anos orto!ona#esB se o)tiene su$ando #os @a#ores de #os dos esfuerzos
*rinci*a#es dados *or #a fr$u#a (4). E# resu#tado es
yx +=+ 21 (7)
Aue se e"*resa diciendo AueB *ara esfuerzos *#anosB #a su$a de #os esfuerzos
nor$a#es en dos *#anos orto!ona#es cua#esAuiera en un *unto de un cuer*o esuna constante.
En todo #o Aue se /a @isto anterior$enteB #os esfuerzos W$:"i$oX y W$9ni$oX se
/an considerado co$o cantidades a#!e)raicas. Sin e$)ar!oB en #as a*#icaciones a
Autor: Ral Rosas Lozano
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*ro)#e$as de in!enier9a Aue son #os de este cursoB e# t7r$ino W$:"i$oX sie$*re
indicar: a# $ayor @a#or a)so#utoB es decirB #a $ayor $a!nitud.
En #os si!uientes e+e$*#os se @er: #a a*#icacin de #as fr$u#as @istas en esta
seccin.
Eercicio N/ %
En un *unto de un $ie$)ro estructura# so$etido a esfuerzo *#anoB e"isten #os
esfuerzos Aue se $uestran en #a fi!ura 1-aB en #os *#anos /orizonta# y @ertica#Aue *asan *or e# *unto $encionado.
a Deter$inar #os esfuerzos *rinci*a#es y e# $:"i$o esfuerzo cortante en e#
*unto.
) oca#izar #os *#anos en #os Aue dic/os esfuerzos act?an y $ostrar#os en un
croAuis.
So+uci0n. a De acuerdo con #a con@encin de si!nos Aue se /a esta)#ecidoB "
es *ositi@oB $ientras Aue y y "y son ne!ati@os. Para ser sustituidos en #as
fr$u#as (4)B (5)y (%)#os @a#ores dados son
" J 1;;;; *siB y J -,;;; *si y "y J (;;; *si
6# ree$*#azar estos @a#ores en #a fr$u#a (4)3se o)tieneB
Autor: Ral Rosas Lozano
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( )22
2,1 40002
800010000
2
800010000+
+
=
#ue!o
1 J 1;,(0 *si T y J ,,(0 *si C
*uesto Aue 1 y son de si!nos contrariosB e# $:"i$o esfuerzo cortante es
$:". J [1;,(0 ,,(0 ]G $:". J 0,(0 *si
) Cuando #os @a#ores dados se sustituyen en #a fr$u#a (%)se o)tiene
t! J (;;; G 0;;; J ;B(((( J 11B0, 11B0,
E# croAuis reAuerido es e# Aue se $uestra en #a fi!ura 1- c ).
Autor: Ral Rosas Lozano
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Fi!ura 1-
1.' DEFOR46CIN DE EE4ENTOS SO4ETIDOS 6 C6RH6 62I6
Considere una )arra /o$o!7nea 5C de #on!itud y seccin trans@ersa# unifor$e
6B so$etida a una car!a a"ia# P fi!ura 1'.
Autor: Ral Rosas Lozano
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(a)
(b)
(&)
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Fi!ura 1'
Se define #a defor$acin unitaria nor$a# en una )arra )a+o car!a a"ia# co$o e#
a#ar!a$iento *or unidad de #on!itud de dic/a )arra. Re*resent:ndo#a *or eB se
tiene
Le
= (1#)
donde es #a @ariacin de #on!itud y L #a #on!itud inicia#.
Si e# esfuerzo a"ia# no e"cede e# #9$ite de *ro*orciona#idad de# $ateria#B *uede
a*#icarse #a #ey de ooe y escri)ir
Autor: Ral Rosas Lozano
32
(a) (b)
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doreemplazanentonesL
eomoA
Pe!l"egoA
Pye! ====
!ALP= (11)
Esta ?#ti$a e"*resin *uede usarse s#o si #a )arra es /o$o!7nea ! constanteB
tiene seccin trans@ersa# A constante y esta car!ada en sus e"tre$os. Si #a )arra
est: car!ada en otras *artes o si consta de @arias secciones trans@ersa#esB y
*osi)#e$enteB de di@ersos $ateria#esB se de)e di@idir en tantas *artes
co$*onentes co$o sea necesarioB de ta# for$a Aue cada una de e##as satisfa!a
#as condiciones *ara usar 7sta ecuacin. #a$ando res*ecti@a$ente
iiii !ALP ,,, B #a fuerza internaB #on!itudB :rea de #a seccin trans@ersa# y $du#o
de e#asticidad Aue corres*onde a #a *arte i B e# a#ar!a$iento de #a )arra co$*#eta
ser:
=
=n
i ii
ii
!A
LP
1
(1,)
Eercicio N 4
Deter$ine #a defor$acin de #a )arra de acero E J 0 " 1;-*si indicada en #a
fi!ura 1,a )a+o #as car!as dadas.
Autor: Ral Rosas Lozano
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Fi!ura 1,
So+uci0n Se di@ide #a )arra en tres *artes co$o se $uestra en #a fi!ura 1,)B yse tiene
1= J 1 *u#! &J 1- *u#! 61J 6J ;B0 *u#! 6&J ;B& *u#!
Para encontrar #as fuerzas internas P1B PB y P&, se de)e *asar secciones *or cada
*arte co$*onente di)u+ando en cada caso e# dia!ra$a de cuer*o #i)re de #a
*orcin de )arra #oca#izada a #a derec/a de #a seccin fi!ura 1,c. Sa)iendo Aue
cada uno de #os cuer*os #i)res est: en eAui#i)rioB se o)tiene
P1J -; #) PJ 1% #) P&J &; #)
Autor: Ral Rosas Lozano
34
(a)
(b)
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Ree$*#azando todos #os @a#ores o)tenidos en #a ecuacin (1,)B se tiene
( )( ) ( )( ) ( )( )l10!9,75
3,0
1610!30
9,0
1210!15
9,0
1210!60
10!29
1 3333
6 p"=
+
+=
a )arra de #a fi!ura 1'B Aue se uti#iz *ara deducir #a ecuacin (11)y #a )arra de#
*ro)#e$a anteriorB ten9an a$)as un e"tre$o unido a un so*orte fi+o. En cada casoB
entoncesB e# a#ar!a$iento de #a )arra era i!ua# a# des*#aza$iento de su
e"tre$o #i)re. Sin e$)ar!oB cuando a$)os e"tre$os de #a )arra se $ue@enB e#a#ar!a$iento de #a )arra se $ide *or e# desplazamiento relativode un e"tre$o de
#a )arra con res*ecto a# otro. Si a# con+unto de #a fi!ura 10a Aue consta de tres
)arras e#:sticas de #on!itud L B conectadas *or un *asador r9!ido en 6B se #e
a*#ica una car!a P en 5 fi!ura 10)B cada )arra se defor$ar:.
Autor: Ral Rosas Lozano
35
(a)
(b)
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Fi!ura 10
Co$o #as )arras 6C y 6C est:n unidas a so*ortes fi+os en C y CB su acorta$iento
co$?n es A de# *unto 6. Por otra *arteB co$o a$)os e"tre$os de #a )arra 65
se $ue@enB e# a#ar!a$iento de 65 est: $edido *or #a diferencia entre #os
des*#aza$ientos A y B de #os *untos 6 y 5B es decirB *or e# des*#aza$iento
re#ati@o de 5 con res*ecto a 6. Re*resentando este des*#aza$iento *or AB B se
escri)e
!A
LP
ABAB ==
dnde A es e# :rea de #a seccin trans@ersa# 65 y ! e# $du#o de e#asticidad.
Eercicio N/ 5
a )arra co$*uesta de acero E J 0Q1;&*si $ostrada en #a fi!ura ;a consta
de dos se!$entosB 65 y 5DB cuyas :reas trans@ersa#es son 1 *u#!
y *u#!
res*ecti@a$ente. Deter$ine e# des*#aza$iento @ertica# de# e"tre$o 6 y e#
des*#aza$iento de 5 res*ecto a C.
Autor: Ral Rosas Lozano
36
(a)(b)
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Fi!ura ;
So+uci0n De)ido a #a a*#icacin de #as car!as e"ternasB #as fuerzas a"ia#es
internas en #as secciones 65B 5C y CD ser:n todas diferentes. Esas fuerzas se
o)tienen a*#icando e# $7todo de #as secciones y #a ecuacin de eAui#i)rio *or
fuerza @ertica#B co$o se indica en #a fi!ura ;). Usando #a con@encin de si!nos
Aue esta)#ece Aue fuerzas internas de tensin son *ositi@as y fuerzas internas de
co$*resin son ne!ati@asB e# des*#aza$iento @ertica# de 6 res*ecto a# so*orte fi+o
D es
( )( ) ( )( ) ( )( )l0127,0
2
12!19
2
12!5,17
1
12!215
10!29
13
p"AA =
+=
Co$o e# resu#tado es *ositi@oB #a )arra se a#ar!a y e# des*#aza$iento de 6 es /acia
arri)a.
6*#icando #a ecuacin (11)entre #os *untos 5 y CB se o)tiene
( )( )
( )( ) l00217,0
10!292
12!5,173
p"!A
LPCB
BC
BCBC
CB ===
6Au9 5 se a#e+a de CB ya Aue e# se!$ento se a#ar!a.
Autor: Ral Rosas Lozano
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Eercicio resue+8o N/ 6
E# con+unto $ostrado en #a fi!ura 1a consiste en un tu)o 65 de a#u$inio con
:rea trans@ersa# de (;; $$. Una )arra de acero con di:$etro de 1; $$ est:
unida a un co##ar9n r9!ido y *asa a tra@7s de# tu)o. Si se a*#ica una car!a de
tensin de ,; N a #a )arraB deter$ine e# des*#aza$iento de# e"tre$o C de #a
)arra. Considere EacJ ;; HPa y Ea#J '; HPa.
Fi!ura 1
So+uci0n E# dia!ra$a de cuer*o #i)re de# tu)o y de #a )arra fi!ura 1)B
$uestra Aue #a )arra est: so$etida a una tensin de ,; N y e# tu)o a una
co$*resin de ,; N.
6# deter$inar e# des*#aza$iento de# e"tre$o C con res*ecto a# e"tre$o 5B se
tiene
( )( )( ) ( )
m!A
LPBCBC 003056,0
10!200005,0
6,010!8092
3
===
Autor: Ral Rosas Lozano
38
(a) (b)
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E# si!no *ositi@o indica Aue e# e"tre$o C se $ue@e /acia #a derec/a con res*ecto
a# e"tre$o 5B ya Aue #a )arra se a#ar!a. E# des*#aza$iento de# e"tre$o 5 con
res*ecto a# e"tre$o fi+o 6 es
( )( )( )
m!A
LPBB 001143,0
10!7010!400
4,010!8096
3
=
==
E# si!no $enos indica aAu9 Aue e# tu)o se acortaB *or #o Aue 5 se $ue@e /acia #a
derec/a res*ecto a 6.
Co$o a$)os des*#aza$ientos son /acia #a derec/aB e# des*#aza$iento resu#tante
de C res*ecto a 6 es
mmmCBCBC 199,4004199,0003056,0001143,0 ==+=+=
Autor: Ral Rosas Lozano
39
7/23/2019 Apuntes Resistencia de Materiales Iei
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Eercicio resue+8o N/ 7
Una @i!a r9!ida 65 descansa so)re #os dos *ostes cortos $ostrados en #a fi!ura
a. 6C es de acero E J ;; HPa y tiene un di:$etro de ; $$L 5D es de
a#u$inio E J '; HPa y tiene un di:$etro de (; $$. Deter$ine e#
des*#aza$iento de# *unto F cuando se a*#ica una car!a @ertica# de 0; N so)re
este *unto.
Fi!ura
So+uci0n as fuerzas de co$*resin Aue act?an so)re cada *oste se deter$inan
a *artir de# eAui#i)rio de# e#e$ento 65B fi!ura ). Esas fuerzas son i!ua#es a #as
fuerzas internas en cada *osteB fi!ura c.
Autor: Ral Rosas Lozano
40
(a)
(b)
(-)(&)
7/23/2019 Apuntes Resistencia de Materiales Iei
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E# des*#aza$iento de #a *arte su*erior de# *oste 6C es
( )( )( ) ( )
=
== m!A
LPA
aAC
ACAC
A
4
92
3
10!86,210!20001,0
3,010!60
E# des*#aza$iento de #a *arte su*erior de# *oste 5D es
( )( )( ) ( )
=== m!A
LPB
alB#
B#B#B
4
92
3
10!02,110!7002,0
3,010!30
En #a fi!ura d se $uestra un dia!ra$a de #os des*#aza$ientos de #os *untos
6B 5 y F situados en e# e+e de #a @i!a. Por *ro*orciones en e# tri:n!u#o so$)readoB
e# des*#aza$iento de# *unto F es
=
+= mmFF 225,0600
400184,0102,0
Autor: Ral Rosas Lozano
41
7/23/2019 Apuntes Resistencia de Materiales Iei
42/143
Eercicio resue+8o N/ 1#
a )arra CE de Y *u#! de di:$etro y #a )arra DF de *u#! de di:$etro est:n
unidas a #a )arra r9!ida 65CD co$o se $uestra en #a fi!ura &a. Sa)iendo Aue
#as )arras son de a#u$inio y Aue E J 1;B1 Q 1; -*siB deter$ine a #a fuerza en
cada )arra y ) e# des*#aza$iento de# *unto 6.
Fi!ura &
So+uci0n Considerando e# dia!ra$a de cuer*o #i)re de #a )arra 65CDB fi!ura
&)B se o)ser@a Aue #as reacciones en 5 as9 co$o #as fuerzas Aue e+ercen #as
)arras son indeter$inadas. Sin e$)ar!o recurriendo a #a est:tica se escri)e
Autor: Ral Rosas Lozano
42
(a)
(-)
(b)
(&)
7/23/2019 Apuntes Resistencia de Materiales Iei
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( ) ( ) ( ) 020121810 == #FC!B FFM Q
Des*u7s de a*#icar #a fuerza de 1; #)B #a *osicin de #a )arra es 65CD fi!ura
&c. De #os tri:n!u#os se$e+antes 566B 5CC y 5DD se tiene
#C#C
6,02012
=
=
#A#A
9,02018
=
=
QQQ
Considerando #os des*#aza$ientos de #os e"tre$os C y D de #as )arras EC y FD
*roducidos *or #as fuerzas FCEy FDF res*ecti@a$enteB se tiene
!A
LF
!A
LF
#F
#F#F#
C!
C!C!C ==
Sustituyendo C y # en QQB
( )
( ) #FC!#FC!
#F
#F#F
C!
C!C! FFFF!A
LF
!A
LF333,0
24
306,06,0
2
4
3
4
1
2
2
1
4
1
=
==
Autor: Ral Rosas Lozano
43
7/23/2019 Apuntes Resistencia de Materiales Iei
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Sustituyendo C!F en QB se tiene
( ) ( ) ( ) $lbFy$lbFFF C!#F#F#F 5,25,702012)333,0(1810 ===
E# des*#aza$iento de# *unto D es
( )( )( ) ( )
l0504,010!1,10
3010!5,762
43
41
3
p"!A
LF#
#F
#F#F# ===
Ree$*#azando # en QQQB se tiene
( ) l04536,00504,09,0 p"AA ==
Autor: Ral Rosas Lozano
44
7/23/2019 Apuntes Resistencia de Materiales Iei
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II TORSION
.1 INTRODUCCIN
En e# $ateria# descrito en #a seccin anteriorB #as car!as e"teriores se a*#icaron
en ta# for$a Aue se *roduc9an ya esfuerzos nor$a#esB ya esfuerzos cortantes
en #os $ie$)ros. En 7sta unidad se estudiar: e# efecto de car!as de torsin
so)re #os $ie$)ros. Estas car!as !enera#$ente se *resentan en for$a de
*ares Aue /acen !irar #os $ie$)rosB yB co$o se @er: $:s ade#anteB *roducen
esfuerzos cortantes.
as f#ec/as o e+es circu#ares son #os $ie$)ros $:s co$?n$ente asociados con
car!as de torsin y se *resentan $uc/as a*#icaciones *r:cticas *ara e##osB
es*ecia#$ente en e# ca$*o de# dise>o de $:Auinas. as car!as de torsin
!enera#$ente se a*#ican *or $edio de *o#eas o en!ranes Aue $ue@en o son
$o@idos *or #as f#ec/as.
Co$o e+e$*#os de $ie$)ros su+etos a car!as de torsinB considere$os #as
fi!uras ( y %. a fi!ura (a i#ustra una f#ec/a ci#9ndrica fi+a en un
e"tre$oB con un disco en e# otro e"tre$o. Se a*#ican dos fuerzas i!ua#es y
o*uestas P en e# *#ano de# discoB co$o se $uestra. Estas dos fuerzasB
se*aradas una distancia d for$an una *ar. E# efecto de este *ar o *ar de
torsinB co$o !enera#$ente se #e ##a$aB es torcer e# e+e a#rededor de su e+e
#on!itudina#. En #u!ar de re*resentar e# *ar co$o dos fuerzasB se usar: #a
desi!nacin a#ternati@a de una #9nea cur@a cuya *unta indica #a direccin de#
*arB co$o se $uestra en #a fi!ura ().
Autor: Ral Rosas Lozano
45
7/23/2019 Apuntes Resistencia de Materiales Iei
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Fi!ura (
E# *ar resistente interno *uede deter$inarse a*#icando #a ecuacin de
eAui#i)rio [4e+eJ ; a un dia!ra$a de cuer*o #i)re de #a f#ec/a. Es decirB *ara
deter$inar e# *ar interno en cua#Auier *osicin de #a f#ec/aB corta$os 7sta
$ediante un *#ano i$a!inario *er*endicu#ar a# e+e de #a $is$a en e# #u!ar
deseado y /a##a$os #a su$a de #os $o$entos de# dia!ra$a de cuer*o #i)re
resu#tanteB con res*ecto a# e+e #on!itudina#. Para e# caso considerado aAu9B #a
fi!ura (d indica Aue e# *ar resistente interno es i!ua# a# *ar e"terno T. Para
una f#ec/a Aue est7 su+eta a @arios *ares a*#icados en diferentes #u!aresB es
necesario /acer e# dia!ra$a de cuer*o #i)re de @arias secciones. E# *ar
resistente interno es #a su$a de todos #os *ares e"ternos /asta e# *#ano en
cuestin.
Autor: Ral Rosas Lozano
46
(a)
(&)(-)
(b)
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Otro $7todo co$?n *ara a*#icar car!as torsiona#es se i#ustra en #a fi!ura
%a. En este casoB se a*#ica una so#a car!a P a una distancia r de# e+e
#on!itudina#. Por est:ticaB esta fuerza *uede desco$*onerse en una fuerza
y un *ar en e# centro de #a f#ec/aB co$o se indica en #a fi!ura %) y c.
Fi!ura %
En este casoB #a f#ec/a esta su+eta a un *ar TB Aue #a /ace !irar res*ecto a
su e+eB y ta$)i7n a una fuerza P. Si #a f#ec/a est: a*oyada en e# *unto de
a*#icacin de #a fuerzaB e# *ro)#e$a es de torsin si$*#e. Sin e$)ar!oB si
ade$:s #a f#ec/a *uede f#e"ionarse #i)re$ente )a+o #a a*#icacin de esta
fuerzaB e# *ro)#e$a se con@ierte en uno en Aue se co$)ina f#e"in y torsin.
os *ro)#e$as Aue contienen una co$)inacin de esfuerzos de torsin y de
f#e"in yGo esfuerzos a"ia#es se estudiar:n $:s ade#ante. En esta seccinB
se tratar: so#a$ente #a teor9a de #a torsin en f#ec/as de seccin circu#ar.
Por consi!uienteB en cua#Auier *ro)#e$a Aue se *resente en este ca*9tu#oB
se su*one Aue #as f#ec/as est:n a*oyadas de ta# $anera Aue todos #os
esfuerzos Aue no sean de torsinB se des*recian.
Esta seccin cu)re e# an:#isis y dise>o de f#ec/as circu#ares su+etas a
esfuerzos *or de)a+o de# # 9$ite de *ro*orciona#idad de# $ateria#. Se
discutir: )re@e$ente #a torsin de f#ec/as no circu#ares. as f#ec/as
circu#ares su+etas a esfuerzos en e# inter@a#o ine#:stico no se discuten en
este a*unte.
Autor: Ral Rosas Lozano
47
(a) (b) (&)
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. ESFUERZO CORT6NTE
Cuando un $ie$)ro de seccin circu#ar es so$etido a car!as de torsinB se
*roducen en e#B fuerzas cortantes internas. E# *roducto de estas fuerzas
cortantes *or sus res*ecti@as distancias desde e# e+e de #a f#ec/a *roduce
$o$entosB cuya su$a o resu#tante es e# *ar resistente interno descrito en #a
seccin anterior.
a fi!ura -) i#ustra #a accin de #as fuerzas internas Aue for$an e# *ar
resistente. Ka Aue estas fuerzas son tan!entes a #a su*erficie de# $ateria#B*roducen esfuerzos cortantes. a re#acin entre #as fuerzas tan!encia#es y
sus esfuerzos cortantes asociados es AP= . En este casoB es e#
esfuerzo cortante so)re e# :rea so$)readaB y P es #a fuerza cortante
actuando so)re esa :rea. as fuerzas cortantes y #os esfuerzos cortantes
act?an en direccin *er*endicu#ar a# radio @ector Aue une a# *unto en
cuestin con e# e+e de# $ie$)ro.
Fi!ura -
Autor: Ral Rosas Lozano
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(a) (b)
(&) (-)
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Para in@esti!ar #a torsin en #os e+esB se de)e conocer #a re#acin entre e#
*ar a*#icado y #os esfuerzos internos *roducidos *or ese *ar. Para
esta)#ecer esa re#acinB se /acen #as si!uientes su*osiciones
a) Una seccin de #a f#ec/a Aue es *#ana antes de #a torsinB *er$anece
*#ana des*u7s de #a torsin. Esto si!nifica Aue una seccin
trans@ersa# de #a f#ec/a no se a#a)ea des*u7s de #a car!a.
b) E#
di:$etro de #a f#ec/a no ca$)ia durante #a car!a.
&) os esfuerzos est:n en e# ran!o e#:stico. Es decirB #os esfuerzos
est:n de)a+o de# #9$ite de *ro*orciona#idad cortanteB y se a*#ica #a
ey de ooe.
-) as defor$aciones *or cortante @ar9an #inea#$ente desde cero en
e# e+e de# e#e$entoB /asta un $:"i$o en #as fi)ras e"tre$as.
a o)ser@acin y #a @erificacin e"*eri$enta# co$*rue)an Aue estas
su*osiciones est:n +ustificadas.
Ka Aue #as defor$aciones *or cortante @ar9an *ro*orciona#$ente a #a
distancia a# e+eB #os esfuerzos cortantes de)en tener #a $is$a re#acin ey
de ooe. Esto se $uestra en #a fi!ura -dB donde #os esfuerzos so)re
cua#Auier ani##o de#!adoB ta# co$o e# :rea n #oca#izada a una distancia
radica# p a *artir de# e+eB son directa$ente *ro*orciona#es a #os esfuerzos
$:"i$osB Aue ocurren en #as fi)ras e"teriores e"tre$as.
Autor: Ral Rosas Lozano
49
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6# deter$inar #a re#acin entre estos esfuerzos $:"i$os y e# *ar Aue #os
*roduceB se ##e!a a #a si!uiente re#acin
%
T=
(1-)
donde
es e# $:"i$o esfuerzo cortante en e# e+e
T es e# *ar interno
es e# radio de #a seccin trans@ersa# de #a f#ec/a % es e# $o$ento *o#ar de inercia de #a seccin circu#ar
Para secciones circu#ares $acizasB
232
44 %
==
Para secciones circu#ares /uecas tu)osB
2
)(
32
)( 4444 ieie %
=
=
E# esfuerzo so)re cua#Auier fi)ra interna situada a una distancia a *artir
de# e+e de# $ie$)ro es
%
T=
(1")
Autor: Ral Rosas Lozano
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Eercicio N/ 11
Deter$inar e# $:"i$o esfuerzo cortante en un e+e de & *u#! de di:$etro. E#
*ar a*#icado es de &;;; #)*ies.
So+uci0n 6*#icando #a ecuacin (1-)*ara ca#cu#ar e# esfuerzo cortante en
#as fi)ras $as a#e+adasB se tiene
( ) ( )
( )6,6790
32
3
5,112!30004
psi%
T===
Eercicio N/ 1,
Ca#cu#ar e# *ar $:"i$o Aue *uede trans$itir un e+e $acizo de aceroB de (;
$$ de di:$etroB sin e"ceder un esfuerzo cortante de -; 4Pa.
So+uci0n Des*e+ando e# *ar T de #a ecuacin (1-)B se tiene
( )
mmNT
%T
%
T=
=== 23,75398220
324060
4
Autor: Ral Rosas Lozano
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.& DEFOR46CION POR CORT6NTE
os esfuerzos cortantes descritos en #as secciones anteriores son tan!entes
a #a su*erficie de #as secciones trans@ersa#es de# e+e. En #a discusin de
esfuerzos cortantes y #as defor$aciones *or cortante corres*ondientesB es
$:s con@eniente considerar un cu)o e#e$enta# de $ateria#B en @ez de una
su*erficie *#ana. En #a fi!ura ') se $uestra un cu)o e#e$enta# t9*ico deun e+e. E# ta$a>o de# cu)o es e"tre$ada$ente *eAue>oB tan *eAue>oB Aue
#os esfuerzos Aue act?an so)re #as su*erficies de# cu)o *ueden
considerarse co$o unifor$e$ente distri)uidos.
Autor: Ral Rosas Lozano
52
(&) (-) (/)()
(a)(b)
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Fi!ura '
En cua#Auier $o$ento en Aue se *resenten esfuerzos cortantes so)re una
su*erficie de un cu)o e#e$enta#B de)en *resentarse en #as cuatro
su*erficiesB co$o se $uestra en #a fi!ura '). Si se consideraB *or e+e$
*#oB e# cu)o e#e$enta# de $ateria# $ostrado en #a fi!ura 'c. So)re #a cara
ab act?a /acia arri)a una fuerza cortante @ertica#. Ka Aue e# cu)o de)e estar
en eAui#i)rioB [FyJ ; y de)e /a)er una fuerza @ertica# a P sAue act?e /acia
a)a+o. Esta fuerza act?a so)re #a cara cd fi!ura 'd.
Sin e$)ar!oB estas dos fuerzasB for$an un *ar. Ka Aue [4 J ; *ara e# cu)oB
de)e /a)er un *ar i!ua# y de sentido o*uesto *ara i$*edir #a rotacin. Esteact?a en #as caras ac y bd fi!ura 'e.
os esfuerzos cortantes Aue act?an so)re un cu)o e#e$enta# de $ateria#
/acen Aue e# cu)o se defor$e. Esta defor$acinB !enera#$ente se
considera co$o un :n!u#o fi!ura 'f. a re#acin entre e# esfuerzo
cortante y #a defor$acin se e"*resa co$o e# :n!u#o de #a fi!ura 'f y
est: dada *or #a ey de ooe. a constante de *ro*orciona#idad se ##a$a
$du#o de e#asticidad a# cortanteB ' $du#o de ri!idez a #a torsin.
E"*resada a#!e)raica$enteB
'= (1%)
donde
es e# esfuerzo cortante
' es e# $du#o de e#asticidad a# esfuerzo cortante
es #a defor$acin *or cortante
Autor: Ral Rosas Lozano
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,.-.1 9n:u+o de 8orsi0n
E# $:"i$o esfuerzo cortante en una f #ec/a su+eta a torsin *uede
deter$inarse a *artir de %T= . E# *ar a*#icado ta$)i7n /ace Aue e# e+e
se tuerza. E# :n!u#o de torsin es de i$*ortancia en $uc/as a*#icaciones
de in!enier9a. 4uc/as f#ec/as *ara $aAuinaria de)en dise>arse de ta#
$anera Aue no se defor$en de$asiadoL es decirB Aue no se tuerzan e"ce
si@a$ente. as /erra$ientas y $aAuinaria de *recisin frecuente$ente
reAuieren Aue e# :n!u#o de torsin Auede dentro de ciertos #9$ites es
*ecificados.
Si se considera una *arte de una f#ec/a so$etida a torsin $ediante *aresB
co$o se $uestra en #a fi!ura ,L #a #9nea interru$*ida indica #a *osicin de
una fi)ra #on!itudina# antes de #a torsinB y #a #9nea continua re*resenta su
*osicin des*u7s de Aue se /an a*#icado #os *ares. a defor$acin *or
cortante \ se $uestra en #a fi!ura , co$o e# :n!u#o n]$n. De)ido a Aue se
*roducen :n!u#os re#ati@a$ente *eAue>os co$o consecuencia de esfuerzos
cortantes $enores Aue e# #9$ite de *ro*orciona#idad a cortanteB #a tan!ente
de# :n!u#o *uede darse $ediante e# :n!u#o \ en radianes. E"*resado
$ate$:tica$ente
L
nntg
==
Autor: Ral Rosas Lozano
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Fi!ura ,
E# :n!u#o de torsin de #a f#ec/a es e# :n!u#o de rotacin de #a seccin
trans@ersa# y es e# :n!u#o $ostrado en e# e"tre$o 5 de #a fi!ura ,.
a e"*resin Aue *er$ite deter$inar e# @a#or de 7ste :n!u#o es
%'
LT=
(14)
donde es e# :n!u#o de torsinB en radianes
T es e# *ar interno
L es #a #on!itud de #a seccin de #a f#ec/a
' es e# $du#o de ri!idez a #a torsin
% es e# $o$ento de inercia *o#ar de #a seccin trans@ersa#
a ecuacin (14) e usarse ?nica$ente si e# e+e es /o$o!7neo H J
constanteB de seccin trans@ersa# constante y car!ado s#o en sus
e"tre$os.
Si e# e+e est: car!ado de otra $anera o si consta de @arias *orciones con
diferentes secciones y *osi)#e$ente de diferentes $ateria#esB se de)e
di@idir en sus *artes co$*onentes Aue satisfacen indi@idua#$ente #as
condiciones reAueridas *ara #a a*#icacin de #a ecuacin (14).
Autor: Ral Rosas Lozano
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Fi!ura 0
En e# caso de# e+e 65 de #a fi!ura 0 de)en considerarse cuatro *artes
diferentes 6CB CDB DE y E5. E# :n!u#o tota# de torsin entre 6 y 5 se
o)tiene su$ando a#!e)raica$ente #os :n!u#os de torsin de cada *arte
co$*onente. #a$ando iT B iL B i% y i' B e# torAue internoB #on!itudB
$o$ento *o#ar de inercia de #a seccin y $du#o de ri!idez corres*ondiente
a #a *arte i B e# :n!u#o de torsin tota# de# e+e se e"*resa co$o
=i ii
ii
'%
LT
(15)
E# torAue interno iT en cada *arte de# e+e se o)tiene /aciendo un corte a
tra@7s de esa *arte y di)u+ando e# dia!ra$a de cuer*o #i)re de #a *orcin de
e+e #oca#izada a un #ado de #a seccin.
Eercicio N/ 1-
Deter$inar e# :n!u#o de torsin en una f#ec/a de acero H J 1;;; *si de
*u#! de di:$etro y - *ies de #on!itud. E# *ar es de 1;;; #)*ie.
So+uci0n E# :n!u#o de torsin *uede ca#cu#arse se!?n #a ecuacin (14)B
( )( )
( ) ( )rad
%'
LT0458,0
322
10!12
12!612!10004
6
=
==
Autor: Ral Rosas Lozano
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Eercicio N/ 1"
Un e+e $acizo de & $ de #on!itud de)e trans$itir un *ar de &;;; N$ sin
e"ceder un esfuerzo cortante de '% 4PaB y ta$)i7n sin e"ceder un :n!u#o
tota# de torsin de &. Considerando Aue H J '' HPaB deter$ine e# di:$etro
$9ni$o Aue de)e tener este e+e.
So+uci0n To$ando co$o condicin cr9tica e# esfuerzo cortanteB se tiene
( )( ) mmm##
#%T 8,580588,0
32
2300010!754
6 ====
To$ando a/ora co$o condicin cr9tica e# :n!u#o de torsinB se tiene
( )
( ) ( )
( )( ) mmm##%'LT
69069,03210!77
33000
180!3 49 ====
6Au9B co$o en #a $ayor9a de #os *ro)#e$as de dise>oB #os reAuisitos de#
$ateria# re*resentado *or e# esfuerzo y su co$*orta$iento re*resentado
*or #a defor$acin no est:n re#acionadosB resu#tando dos di$ensiones
diferentes *ara e# dise>o. Co$o de)e$os esco!er un di:$etro Aue
satisfa!a tanto #os reAuisitos de# $ateria# co$o su co$*orta$ientoL estede)e ser e# $ayor de #os dosB es decirB e# di:$etro $9ni$o de# e+e de)e ser
-0 $$.
Autor: Ral Rosas Lozano
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Eercicio N/ 1%
E# e+e @ertica# 6D est: unido a una )ase fi+a en D y so$etido a #os torsores
$ostrados en #a fi!ura &;a. Un /ueco de (( $$ de di:$etro /a sido
*erforado en #a *orcin CD de# e+e. Sa)iendo Aue todo e# e+e est: /ec/o de
acero con H J ,; HPaB deter$ine e# :n!u#o de torsin en e# e"tre$o 6.
a
Autor: Ral Rosas Lozano
58
(&)
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d e
Fi!ura &;
So+uci0n Co$o e# e+e consta de tres *orciones 65B 5C y CDB cada una de
seccin unifor$e y con torAue interno constanteB *uede usarse #a ecuacin
(15).
aciendo un corte en e# e+e entre 6 y 5B y usando e# dia!ra$a de cuer*o
#i)re $ostrado en #a fi!ura &;)B se deter$ina Aue
mNTTM ABABy === 2500250:0
6/ora /aciendo un corte entre 5 y CB y usando e# dia!ra$a de cuer*o #i)re
de #a fi!ura &;cB se tiene
mNTTMBCBCy ==+=
225002000250:0
Co$o no /ay torAue a*#icado en D entonces TCDJ T5CJ %; N$.
Ca#cu#ando #os $o$entos de inercia *o#ar de #as secciones indicadas en #a
fi!ura &;dB se tiene
Autor: Ral Rosas Lozano
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( )
( )
( ) ( )[ ] 4744
46
4
48
4
10!043,9044,0060,032
10!272,132
060,0
10!952,732
030,0
m%%
m%%
m%%
C#C#
BCBC
ABAB
==
==
==
Uti#izando #a ecuacin (15)y recordando Aue H es constante *ara todo e#
e+eB se tiene
( )( ) ( )( ) ( )( )radAA 0388,010!043,9
6,02250
10!272,1
2,02250
10!952,7
4,0250
10!80
17689 =
++=
Eercicio N/ 14
Un e+e circu#ar 65 consta de un ci#indro de acero de 1; *u#! de #on!itud y
'G, *u#! de di:$etroB a# cua# se #e /a a)ierto una ca@idad de % *u#! de #ar!o
y %G, *u#! de di:$etro desde e# e"tre$o 5. E# e+e est: unido a so*ortes fi+osen a$)os e"tre$os y se #e a*#ica un torAue de 0; #)*ie en su seccin
centra#B co$o se $uestra en #a fi!ura &1a. Deter$ine e# torAue e+ercido
so)re e# e+e *or cada uno de #os so*ortes.
Autor: Ral Rosas Lozano
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a )
c d
Fi!ura &1
So+uci0n Construyendo e# dia!ra$a de cuer*o #i)re de# e+e y ##a$ando T6yT5#os torAues e+ercidos *or #os so*ortes fi!ura &1)B se tiene
T6^ T5J 0; #)*ie
Co$o esta ecuacin no es suf iciente *ara deter$inar #os torAuesdesconocidos T6y T5B e# e+e es est:tica$ente indeter$inado.
Sin e$)ar!oB estos torAues *ueden ser ca#cu#ados si se considera Aue e#
:n!u#o tota# de torsin de# e+e 65 de)e ser ceroB ya Aue a$)os e"tre$os
est:n restrin!idos. Si 1 y son #os :n!u#os de torsin de #as *artes 6C y
C5B se tiene Aue
J 1^ J ;
En #os dia!ra$as de cuer*o #i)re de una *eAue>a *orcin de# e+e inc#uyendo
e# e"tre$o 6 fi!ura &1c y e# e"tre$o 5 fi!ura &1dB se o)ser@a Aue T 1J
Autor: Ral Rosas Lozano
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T6y Aue TJ T5. Recordando #a ecuacin (15)y notando Aue #as *orciones
6C y C5 de# e+e est:n so$etidas a torAues o*uestosB se tiene
( )( ) ( ) ( )[ ]( ) ( ) ( )[ ] ABB
ABBA
TTT
T%L
%LTdondede
'%
LT
'%
LT
739,087325
8587325
0
4
44
12
21
2
2
1
121
=
=
===+=
Sustituyendo esta ?#ti$a e"*resin en #a ecuacin de eAui#i)rio ori!ina#B
resu#ta
1B'&0 T6J 0; #ue!o entonces T6J %1B'% #)*ie y T5J &,B% #)*ie.
Autor: Ral Rosas Lozano
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7/23/2019 Apuntes Resistencia de Materiales Iei
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.( FEC6S HIR6TORI6S
4uc/os *ro)#e$as en dise>o de $:Auinas contienen f#ec/as Aue trans$iten
*otencia desde una fuente /asta e# #u!ar donde se e+ecuta e# tra)a+o. Por
e+e$*#oB una f#ec/a trans$ite *otencia desde un $otor *ara /acer !irar #a
/7#ice de un )arco.
De)ido a su !ran uti#idad en esta seccin @ere$os #a re#acin entre #a
*otencia desarro##ada y e# *ar en una f#ec/a.
Si se considera una f#ec/a de radio R con una fuerza F a*#icada a su
su*erficie e"teriorB co$o se $uestra en #a fi!ura &.
Fi!ura &
Autor: Ral Rosas Lozano
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E# tra)a+o /ec/o *or #a fuerza P se define co$o #a fuerza $u#ti*#icada *or #a
distancia recorrida en #a direccin de #a fuerza. En una re@o#ucin
co$*#etaB #a fuerza /a)r: recorrido una distancia i!ua# a #a circunferencia
de #a f#ec/aB o R. EntoncesB e# tra)a+o desarro##ado *or #a fuerza es
Tra)a+o J PR a
Si #a f#ec/a est: !irando a una @e#ocidad de N re@o#uciones *or $inuto
r*$B #a distancia tota# recorrida *or $inuto es RN. Co$o #a Potencia
se define co$o #a cantidad de tra)a+o rea#izada en #a unidad de tie$*oB #a
*otencia desarro##ada *or #a fuerza P ser9a
Potencia J P R N )
a unidad usua# de *otencia es e# ca)a##o de fuerza /*B Aue es i!ua# a
&&;;; *ie#)G$in. Si en #a ecuacin ) P esta en #). y R en *u#!.B *ode$os
entonces di@idir#a entre 1 *u#!G*ie *ara con@ertir #a *otencia a #as unidades
*ie#)G$in. y di@idir#a nue@a$ente *or &&;;; *ie#)G$in.B #a e"*resin
entonces se con@ierte en
Potencia J P R N G 1Q&&;;; J PRN G -&;;; c
Refiri7ndose otra @ez a #a fi!ura &B se encuentra Aue e# *ar en #a f#ec/a es
TJ PR. Sustituyendo esta e"*resin en #a ecuacin cB se o)tiene
Autor: Ral Rosas Lozano
64
7/23/2019 Apuntes Resistencia de Materiales Iei
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(PNT
Potenia63000
= (16)
donde
Potenia J *otencia en ca)a##os de fuerza.
T J *ar en #a f#ec/a en #) *u#!
N J @e#ocidad de #a f#ec/a en r*$.
Eercicio N/ 15
Deter$inar #a *otencia trans$itida *or una f#ec/a si e# *ar es de 1;;; *u#!
#) y #a @e#ocidad es de -&; r*$.
So+uci0n. Usando #a ecuacin (16)B se ca#cu#a #a *otencia en ca)a##os de
fuerzaB co$o si!ue
( ) ( )(PPotenia
NTPotenia 10
63000
6301000
63000===
Eercicio N/ 16
Un $otor $ediante un con+unto de en!rana+esB $ue@e un e+e a -&; r*$.B
co$o se $uestra en #a fi!ura &&. E# $otor entre!a -; /* en 6 y (; /* en C.E# esfuerzo cortante *er$isi)#e es de -;;; *siB y e# :n!u#o de torsin
*er$isi)#e es de 1G1 rad. Si este e+e de)e ser $acizo y con un ?nico
di:$etroB deter$ine e# @a#or $9ni$o de este di:$etro.
Autor: Ral Rosas Lozano
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Fi!ura &&
So+uci0n. a so#ucin de este *ro)#e$a in@o#ucra cuatro consideraciones.
os esfuerzos cortantes en #a f#ec/a 65 y #a f#ec/a 5C no de)en e"ceder de
-;;; *siB y e# :n!u#o de torsin en estos dos e+es no de)e e"ceder de 1G1
rad.
E# *ri$er *aso consiste en deter$inar e# *ar en #os e+es 65 y 5C.
F#ec/a 65
( ) ( )l6000
630
6300060
63000p"lbTT
NTPotenia ===
F#ec/a 5C
( ) ( )l4000
630
6300040
63000p"lbTT
NTPotenia ===
Autor: Ral Rosas Lozano
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E# si!uiente *aso es dise>ar e# di:$etro so)re #a )ase de #a #i$itacin de#
esfuerzo cortante. Co$o%T= B so#a$ente de)e dise>arse e# e+e 65
*ara esta condicin. E# *ar en #a f#ec/a 5C es $enor Aue en #a f#ec/a 65B
de $odo Aue e# esfuerzo cortante no re!ir: #a f#ec/a 5C. ue!o
l(72,16000
6000
2
32
4
p"##
#
T
%
%
T==
==
Fina#$ente #as f#ec/as se dise>ar:n so)re #a )ase de #a #i$itacin de#
:n!u#o de torsin. En este caso no es entera$ente e@idente cua# f#ec/a
ri!e e# dise>oB ya Aue aunAue 65 es $:s corta Aue 5CB e# *ar en 65 es
$ayor Aue en 5C. Para estar se!urosB se dise>ar:n a$)as f#ec/as.
F#ec/a 65
( ) ( )
( )( ) l65,1
1211012
12106000
32 6
4
p"##
'
LT%
%'
LT=
===
F#ec/a 5C
( ) ( )
( )( ) l87,1
1211012
12254000
32 6
4
p"##
'
LT%
%'
LT=
===
Autor: Ral Rosas Lozano
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a co$*aracin de #os tres di:$etros ca#cu#ados indica Aue e# di:$etro
necesario *ara #a f#ec/a de)e ser D J 1B,' *u#!. !o)ierna e# :n!u#o de
torsin en 5C.
IIIF;Eo. En e# an:#isisB se conocen #as di$ensiones de #a @i!aB y
e# *ro)#e$a consiste en deter$inar ya e# esfuerzo $:"i$o *ara una car!a
dadaB ya #a car!a *er$isi)#e *ara un esfuerzo *er$isi)#e dado. En
*ro)#e$as de dise>oB se conocen #a #uz de #a @i!aB #as condiciones de car!a
y #os esfuerzos *er$isi)#esL y e# *ro)#e$a consiste en deter$inar #as
di$ensiones necesarias de #a seccin trans@ersa# de #a @i!a. 6# dise>ar
Autor: Ral Rosas Lozano
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sur!en $uc/as cuestiones *r:cticasB ta#es co$o #a se!uridadB econo$9a y
deta##es !enera#es. 6unAue estas *re!untas se res*onden $:s
co$*#eta$ente en un curso de dise>oB a#!unos de estos as*ectos se
considerar:n en esta unidad.
&. ESFUERZO DE FE2IN
Para descri)ir #a accin de #os esfuerzos de f#e"inB se considerar: una @i!a
su+eta a f#e"in *uraB co$o #a indicada en #a fi!ura &(a.
Su*on!a Aue #a @i!a est: for$ada de un !ran n?$ero de fi)ras
#on!itudina#es.
Cuando #a @i!a se f#e"ionaB #as fi)ras de #a *orcin su*erior se co$*ri$enB
$ientras Aue #as de #a *orcin inferior se a#ar!an. Intuiti@a$ente *ode$os
@er Aue en a#!una su*erficie se de)e *roducir #a transicin entre
co$*resin y tensin.
Esta su*erficie en #a cua# e# esfuerzo es cero se conoce co$o #a su*erficie
neutra o e+e neutroB y est: #oca#izada en e# centro de !ra@edad de #a seccin
trans@ersa#.
a fi!ura &() es un dia!ra$a de s#ido #i)re de #a *orcin izAuierda de #a
@i!a y $uestra #a distri)ucin de #as fuerzas en #as fi)ras de #a @i!a.
Autor: Ral Rosas Lozano
69
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Fi!ura &(
as fuerzas resu#tantes de tensin y co$*resin C y T son i!ua#es en$a!nitud y for$an e# $o$ento interno resistente de #a @i!a. a $a!nitud
de #os esfuerzos $:"i$os de tensin y de co$*resin en #a @i!aB asociados
a este $o$ento *uede deter$inarse a *artir de #a fr$u#a de #a f#e"inB Aue
se *resenta en #a seccin si!uiente.
En #a deduccin y uso de #a fr$u#a de #a f#e"inB se /acen ciertas su
*osiciones con res*ecto a #a accin de #a @i!a. En un tra)a+o de dise>onor$a#B estas su*osiciones se a*ro"i$an a #a accin rea# de #a @i!a. Si en
casos re#ati@a$ente raros de dise>o e#e$enta# sur!en situaciones donde
estas su*osiciones no son @:#idasB de)en e$*#earse otros $7todos de
an:#isisL #os cua#es est:n fuera de# a#cance de este curso.
as su*osiciones Aue se /acen a# usar #a fr$u#a de #a f#e"in son
1 a @i!a inicia#$ente es rectaB tiene seccin trans@ersa# constante y se
conser@a esencia#$ente recta cuando est: car!ada.
as car!as se a*#ican de ta# for$a Aue no se *roduce torsin.
Autor: Ral Rosas Lozano
70
(a)(b)
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& Todos #os esfuerzos en #a @i!a est:n *or de)a+o de# #9$ite de
*ro*orciona#idadL es decirB #a #ey de ooe es @:#ida.
( E# $du#o de e#asticidad de #as fi)ras a co$*resin es i!ua# a# de #as
fi)ras a tensin.
% a *arte de #a @i!a Aue est: co$*ri$idaB est: restrin!ida *ara $o@erse
#atera#$ente.
- as secciones *#anas antes de #a f#e"in se conser@an *#anas des*u7s de
#a f #e"in. Es decirB un *#ano Aue *ase a tra@7s de una seccin
trans@ersa# antes de #a f#e"in no se a#a)ear: des*u7s de Aue se car!ue#a @i!a. Esta su*osicin e"*#ica #a distri)ucin de esfuerzos en for$a
#inea# O6B y O5 $ostrada en #a fi!ura &().
Estas su*osiciones y #as caracter9sticas f9sicas asociadas con #a f#e"in
*ueden @erse en #a fi!ura &%. a fi!ura &%a y ) $uestra #a @i!a y dos
secciones *#anas a) y cd antes y des*u7s de #a f#e"in.
Autor: Ral Rosas Lozano
71
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Fi!ura &%
Co$o #as secciones *#anas antes de #a f#e"in se conser@an *#anas des
*u7s de #a f#e"in su*osicin -B #as fi)ras de #a @i!a de)en ca$)iar de
#on!itud.
a *osicin ori!ina# de #as fi)ras Aue se $uestran en #a fi!ura &%c con
#9neas interru$*idas se /a $o@ido des*u7s de #a f#e"in a #a *osicin
$ostrada *or #a #9nea continua. as fi)ras su*eriores se /an acortadoB #as
fi)ras inferiores se /an a#ar!ado y #as fi)ras #oca#izadas en e# e+e neutro no
/an ca$)iado de #on!itud.
a fi!ura &%d es un dia!ra$a de #a distri)ucin de #a defor$acin en #a
seccin trans@ersa#. O)ser@e Aue #a defor$acin @ar9a #inea#$ente desde
cero en e# e+e neutro /asta un @a#or $:"i$o de co$*resin en #as fi)ras
su*eriores y /asta un @a#or $:"i$o de tensin en #as fi)ras inferiores.
Co$oB *or #a #ey de ooeB e# esfuerzo es *ro*orciona# a #a defor$acinB #a
distri)ucin de esfuerzos de #a fi!ura &%e tiene #a $is$a for$a Aue #a
distri)ucin de defor$acionesB *ero a una esca#a diferente. Por consi
!uienteB #os esfuerzos en una @i!a @ar9an ta$)i7n desde cero en e# e+e
neutro /asta un $:"i$oen #as fi)ras e"tre$as.
-.,.1 F0rmu+a de +a f+e2i0n
En #a fr$u#a de #a f#e"in se esta)#ece #a re#acin entre #os esfuerzos en
#as fi)ras y e# $o$ento resistente internoB #o cua# se #o!ra /acer de #a
si!uiente $anera
Autor: Ral Rosas Lozano
72
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a Se ana#iza una fi)ra #oca#izada a una distancia cua#Auiera a *artir de# e+e
neutroB y se deter$ina #a fuerza e+ercida en esta fi)ra de)ida a su
esfuerzoB y e# $o$ento de esta fuerza con res*ecto a# e+e neutro.
) Se o)tiene #a su$a de todos #os $o$entos de todas #as fi)rasB con
res*ecto a# e+e neutro. E# resu#tado ser: e# $o$ento interno resistente
de #a @i!a. Des*u7s de rea#izar todo este desarro# #o en for$a
$ate$:ticaB se o)tiene Aue #a fr$u#a de #a f#e"in es
)
M= (17)
donde
J esfuerzo en #as fi)ras e"tre$as de #a @i!a.
M J $o$ento f#ector interno en #a @i!a.
) J $o$ento de inercia de #a seccin trans@ersa# de #a @i!a.
J distancia desde e# e+e neutro de #a @i!a /asta #as fi)ras
e"tre$as.
Se de)e notar Aue e# e+e neutro sie$*re coincide con e# centroide de #a
seccin trans@ersa# si #a @i!a est: su+eta a esfuerzos $enores a #os de#
*unto de f#uencia yno se *resentan fuerzas a"ia#es.
Se su!iere Aue antes de a*#icar #a fr$u#a de #a f#e"in 3 re@ise sus a*untes
de #a asi!natura de $ec:nica en #o Aue res*ecta a# c:#cu#o de $o$ento
f#ectorB centroides y $o$entos de inercia.
a fr$u#a de #a f#e"in *uede ser usada *ara deter$inar #os esfuerzos
$:"i$os en #as fi)ras de @i!as en #as cua#es se conocen 4B cB e IB o se
*ueden deter$inar a *artir de #as car!as dadas y de #as di$ensiones.
Autor: Ral Rosas Lozano
73
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Frecuente$enteB #as @i!as tienen secciones trans@ersa#es asi$7tricas
se$e+antes a #as indicadas en #a fi!ura &-.
Fi!ura &-
E# *rocedi$iento *ara ana#izar estas @i!as es se$e+ante a# usado *ara
ana#izar @i!as con seccin trans@ersa# si$7trica. a ?nica diferencia es Aue
e"isten dos @a#ores de c. Si se Auiere deter$inar e# esfuerzo $:"i$o se
de)e usar #a $ayor distancia c. Sin e$)ar!oB si se @an a deter$inar #os
esfuerzos tanto en #as fi)ras de #a *arte su*erior co$o en #as fi)ras de #a
*arte inferiorB se a*#ica #a fr$u#a de #a f#e"in dos @ecesB usando #as
res*ecti@as distancias c.
Eercicio N/ 17
Deter$inar e# esfuerzo en #as fi)ras e"tre$as de #a @i!a $ostrada en #a
fi!ura &'.a Des*recie e# *eso de #a @i!aB
) Inc#uya e# *eso de #a @i!a densidad J &- #)G*ie&.
Autor: Ral Rosas Lozano
74
(a)(b)
(&) (-)
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Fi!ura &'
So+uci0n. a Tanto e# $o$ento $:"i$o de)ido a #a car!a concentrada
co$o e# $o$ento de inercia *uede deter$inarse uti# izando #os
*rocedi$ientos descritos en #a asi!natura de 4ec:nica. os res*ecti@os
@a#ores son (;; *ie#) y ' *u#! (.
E# esfuerzo en #as fi)ras e"tre$as su*eriores o inferiores es
( ) ( ) psi)M 1200
723122400 ===
) Si se inc#uye e# *eso de #a @i!a co$o una car!a unifor$e$ente
distri)uida de
_ J ( - &- G 1(( J - #)G*ie
e# $o$ento adiciona# de)ido a esta car!a es 1;, *ie#). E# esfuerzo
adiciona# de)ido a este $o$ento es
Autor: Ral Rosas Lozano
75
(a) (b)
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( ) ( )psi
)
M54
72
312108=
==
E# esfuerzo $:"i$o en #a @i!aB inc#uyendo su *ro*io *esoB es entonces
psi1254541200 =+=
De)e indicarse en a$)os casosB Aue si )ien e# esfuerzo en #as fi)ras
e"tre$as tiene e# $is$o @a#orB #a so#icitacin en #as fi)ras su*eriores es de
co$*resin y en #as fi)ras inferiores de tensin.
Eercicio N/ ,#
Deter$inar e# esfuerzo en #as fi)ras e"tre$as de #a @i!a $ostrada en #a
fi!ura &,.
Autor: Ral Rosas Lozano
76
(a)
(b)
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Fi!ura &,
So+uci0n. E# esfuerzo $:"i$o *uede deter$inarse a *artir de #a fr$u#a de
#a f#e"in. Sin e$)ar!oB en este caso se de)e ca#cu#ar *ri$ero I. Este
$o$ento de inercia con res*ecto a# e+e neutro #o de)e ca#cu#ar ustedB
a*#icando #os *rocedi$ientos *resentados en #a asi!natura de 4ec:nica. E#
@a#or de este $o$ento es -0& *u#!(.
E# $o$ento f#ector $:"i$o se deter$ina de #a $is$a $anera Aue en e#
e+ercicio anterior y su @a#or es de 1;; #)*ies.
6/ora se ca#cu#a e# esfuerzo y se o)tiene
( ) ( )$psi
)
M39,10
693
612100=
==
Eercicio N/ ,1
Deter$inar #os esfuerzos en #as fi)ras e"tre$as su*eriores e inferiores de #a
@i!a de seccin T $ostrada en#a fi!ura &0.
Autor: Ral Rosas Lozano
77
(a)
(b)
(&)
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Fi!ura &0
So+uci0n. Para a*#icar #a fr$u#a de #a f#e"inB se de)e conocer 4B I y c.
Todos estos @a#ores *ueden ser deter$inados a *artir de #o estudiado en #a
asi!natura de 4ec:nicaB *or #o tanto aAu9 se dar:n so#a$ente #os @a#ores y
usted de)er: @erificar#os. En #a fi!ura &0c se indica #a *osicin de# e+e
neutro y #os @a#ores de c. E# $o$ento f#ector $:"i$o @a#e (B% N$ y e#
$o$ento de inercia con res*ecto a# e+e neutro 1B'- Q 1; -$(.
ue!o e# esfuerzo en #as fi)ras e"tre$as inferiores es
( )( )( )T
m$N
)
M26
3
15,206801076,21
101005,4=
==
E# esfuerzo en #as fi)ras e"tre$as su*eriores es
( )( )( )C
m$N
)
M26
3
124081076,21
10605,4=
==
Autor: Ral Rosas Lozano
78
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IVESFUERZOS CO=INADOS
(.1 INTRODUCCIN
asta e# $o$entoB so#a$ente se /a tra)a+ado con car!as Aue *roducen un
so#o ti*o de esfuerzo. En #a rea#idad frecuente$ente se encuentran car!as
Aue no concuerdan con #as condiciones )a+o #as cua#es #as teor9as ):sicas
son @:#idas. a fi!ura (; $uestra @arios e+e$*#os de *ro)#e$as de este
ti*o. Estos *ro)#e$as *ueden reso#@erse $ediante una co$)inacin
adecuada de #os $7todos ya estudiados.
Autor: Ral Rosas Lozano
79
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Fi!ura (;
En esta unidad ana#izare$os a#!unos *ro)#e$as Aue in@o#ucran #a
su*er*osicin de esfuerzos PG6 y 4cGI.
(. C6RH6S CO45IN6D6S 62I6ES K DE FE2IN
Considere #a @i!a e$*otrada en un e"tre$o y su+eta a una car!a inc#inada
PB co$o se $uestra en #a fi!ura (1a. Esta car!a no es una car!a de
f#e"in *ura ni a"ia# *uraB sino Aue una co$)inacin de a$)as. Si se
desco$*one esta fuerza en sus co$*onentes /orizonta# y @ertica#B co$o se
indica en #a fi!ura (1) y cB estas co$*onentes act?an en #as direcciones
Aue *er$iten a*#icar #as t7cnicas ):sicas @istas con anterioridad.
Autor: Ral Rosas Lozano
80
(a) (b) (&) (-)(/)
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Fi!ura (1
a fuerza a"ia# P"*roduce esfuerzos de tensin J P"G6 en todas #as fi)ras.
a fuerza Py *roduce esfuerzos de f#e"in J 4cGI. Co$o estos dos
esfuerzos act?an *ara a#ar!ar o acortar #as fi)rasB *ueden co$)inarse
a#!e)raica$ente. os esfuerzos en cua#Auier fi)ra *ueden ca#cu#arse co$o
)
M
A
P =
(,#)
Todos #os esfuerzos de tensin se consideran *ositi@osB $ientras Aue #os de
co$*resin ne!ati@os. Esta con@encin de si!nos ayuda a deter$inar #a
natura#eza de #os esfuerzos fina#es. E# t7r$ino *uede ree$*#azarse *or
#a distancia !enera# y a *artir de# e+e neutroB si se reAuiere e# esfuerzo en
un *unto diferente a# de #as fi)ras e"tre$as.
Eercicio N/ ,,
Autor: Ral Rosas Lozano
81
(a) (b) (&)
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Ca#cu#ar #os esfuerzos $:"i$os en #a @i!a en @o#adizo de (; $$ " 1;; $$
$ostrada en #a fi!ura (.
Fi!ura (
So+uci0n. E# esfuerzo $:"i$o ocurrir: en e# e"tre$o e$*otradoB *ues en
ese *unto e# $o$ento f#ector es $:"i$o. a car!a trans@ersa# de #a fi!ura
(c *roduce esfuerzos de tensin en #as fi)ras su*eriores y de co$*resin
en #as inferiores. a car!a a"ia# de #a fi!ura () *roduce esfuerzos de
tensin en todas #as fi)ras. Entonces
)
M
A
P =
( )( )
( ) ( )( )
( )( ) )(024,21
10!10010!40121
10!5010!3603360
10!10010!40
11520su
333
33
33su TMPa=+=
Autor: Ral Rosas Lozano
82
(a) (b) (&)
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83/143
( )( )( ) ( )( )
( )( ) )(264,15
10!10010!4012
1
10!5010!3603360
10!10010!40
11520in333
33
33in CMPa==
".,.1 F+e2i0n asim>8rica
Este es otro de #os casos en Aue e# *rocedi$iento de #a su*er*osici-n
ofrece una so#ucin si$*#e a un *ro)#e$a $:s co$*#e+o Aue es e# de #a
f#e"in asi$7trica. Una de #as condiciones Aue de)e cu$*#irse *ara Aue #a
fr$u#a J4cGI sea @:#idaB es Aue #a car!a de)e estar a*#icada a #o #ar!o
de uno de #os e+es *rinci*a#es de #a seccin. os e+es *rinci*a#esB $ayor y
$enorB son aAue##os e+es con res*ecto a #os cua#es ocurren #os $o$entos
de inercia $:"i$o y $9ni$o res*ecti@a$ente. os e+es de si$etr9a son
sie$*re e+es *rinci*a#es.
a fi!ura (& $uestra una @i!a en @o#adizo Aue so*orta una car!a en e#
e"tre$o #i)re. a car!a no se a*#ica a #o #ar!o de un e+e *rinci*a# 22 o KK
$ostrados en #a fi!ura (&).
Autor: Ral Rosas Lozano
83
7/23/2019 Apuntes Resistencia de Materiales Iei
84/143
Fi!ura (&
Sin e$)ar!oB si #a car!a se desco$*one en co$*onentes a #o #ar!o de es
tos e+esB co$o se indica en #a fi!ura (&cB entonces #a fr$u#a J 4cGI es
@:#ida *ara #os $o$entos *roducidos *or P " y Py. E# esfuerzo tota# en
cua#Auier *unto es #a su$a a#!e)raica de #os esfuerzos *roducidos *or #as
dos co$*onentes. Este enunciado se e"*resa a#!e)raica$ente *or
Y
Y
X
X
)
xM
)
yM= (,1)
Nue@a$ente se usa e# t7r$ino y en #u!ar de# ter$ino c*ara /acer $as !e
nera# #a ecuacin. Si se desea conocer e# esfuerzo $:"i$oB se de)e si$
*#e$ente ree$*#azar y *or c.
Autor: Ral Rosas Lozano
84
(a)(b) (&)
7/23/2019 Apuntes Resistencia de Materiales Iei
85/143
Eercicio N/ ,-
Para #a @i!a en @o#adizo de ( *u#! " - *u#! ta$a>o no$ina# $ostrada en #a
fi!ura ((B deter$inar e# esfuerzo en #as cuatro esAuinas de# a*oyo.
Fi!ura ((
So+uci0n. a fuerza o)#icua se desco$*one a #o #ar!o de #os e+es 2 e K. E#
$o$ento f#ector 4"*roduce esfuerzos de tensin a #o #ar!o de #a cara 65 y
esfuerzos de co$*resin a #o #ar!o de #a cara CDB $ientras Aue e# $o$ento
4y *roduce esfuerzos de tensin a #o #ar!o de #a cara 5C y esfuerzos de
co$*resin a #o #ar!o de #a cara 6D. os esfuerzos o)tenidos a *artir de
esos $o$entos se su*er*onen $ediante #a a*#icacin de #a fr$u#a (,1).
4"! (;- J 1((; *ie#). 4yJ 1;;- J -;; *ie#).
I" J 1G1(-& J ' *u#!(. Iy ! 1G1-( & J & *u#!(.
Autor: Ral Rosas Lozano
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A,
#,
(a)(b) (&)
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Sustituyendo estos @a#ores en #a fr$u#a (,1)B se tiene
( ) ( ) ( ) ( )( )TpsiAA 270
32
212!600
72
312!1440==
( ) ( ) ( ) ( ) ( )TpsiBB 117032
212!600
72
312!1440 =+=
( ) ( ) ( ) ( )( )CpsiAC 270
32
212!600
72
312!1440=+=
( ) ( ) ( ) ( )( )CpsiA# 1170
32
212!600
72
312!1440==
".,., Car:as e2c>n8ricas
Cuando a un $ie$)ro se #e a*#ica una car!a a"ia#B esta de)e coincidir con
#os e+es centroida#es de 7ste *ara Aue sea @:#ida #a e"*resin J PG6. En
a#!unos casos #a car!a se a*#ica *ara#e#a a #os e+es centroida#es de#
$ie$)roB *ero a una cierta distancia de e##osB co$o se indica en #a fi!ura(%a. Este ti*o de car!a se descri)e co$o e"c7ntricaB dnde #a distancia
e2 y ey entre #a #9nea de accin de #a car!a y #os e+es centroida#es K y 2
res*ecti@a$ente es #a e"centricidad con res*ecto a cada uno de e##os.
Fi!ura (%
Autor: Ral Rosas Lozano
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(a) (b) (&)
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Para reso#@er este ti*o de *ro)#e$asB #a car!a e"c7ntrica se desco$*one
en una fuerza Aue *asa *or e# centroide de #a seccin y un *arB co$o se
$uestra en #a fi!ura (%). Sin e$)ar!oB e# *ar no act?a a #o #ar!o de un e+e
*rinci*a#B *or #o Aue de)e desco$*onerse en #os *ares 4 " J Pey y 4y J
Pe".
E# *rocedi$iento *ara /acer esta desco$*osicinB se ana#iz en #a
asi!natura de $ec:nica ue!o e# esfuerzo en cua#Auier *unto *uede
ca#cu#arse usando #a ecuacin (,#) con e# $o$ento 4 J PeB y su @a#or
corres*onder: a #a su$a a#!e)raica de #os esfuerzos de)idos a PB 4 "y 4yB y
se e"*resa co$o
Y
Y
X
X
)
xM
)
yM
A
P= (,,)
Eercicio N/ ,"
Deter$inar #os esfuerzos en #as cuatro esAuinas de un )#oAue de , *u#! "
1 *u#!B cuando se a*#ica una car!a de (, #) en una esAuinaB co$o se
indica en #a fi!ura (-a.
Autor: Ral Rosas Lozano
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Fi!ura (-
So+uci0n. a car!a e"c7ntrica se desco$*one en una fuerza a"ia# y dos
*aresB 4"B y 4y. E# car:cter de #os esfuerzos ori!inados *or estas tres
cantidades se indica $ediante #os si!nos ^ o en #as esAuinas de #as
fi!uras (-cB d y e. Pri$ero se deter$inan #os $o$entos de inercia con
res*ecto a #os e+es 2 e K de #a si!uiente $anera
I"J 1G1 1 ,&J %1 *uI!(. c"J - *u#!.
IyJ 1G1 , 1&J 11% *uI!(. cyJ ( *u#!.
6 *artir de #a fr$u#a (,,)B se tiene
Autor: Ral Rosas Lozano
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(a) (b)
(&) (-) (/)
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( ) ( ) ( ) ( )( )TpsiAA 2500
512
44!48000
1152
66!48000
96
48000=++=
( ) ( ) ( ) ( )( )CpsiBB 500
512
44!48000
1152
66!48000
96
48000=+=
( ) ( ) ( ) ( )( )CpsiCC 3500
512
44!48000
1152
66!48000
96
48000==
( ) ( ) ( ) ( )( )CpsiAA 500
512
44!48000
1152
66!48000
96
48000=+=
Autor: Ral Rosas Lozano
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V TEORIAS DE FA;;A
%.1 INTRODUCCIN
6# dise>ar e#e$entos Aue resistan #as fa##as se de)e estar se!uro de Aue #os
esfuerzos internos no so)re*asen #a resistencia de# $ateria#. Si e# $ateria#
Aue se e$*#ear: es d?cti#B entonces #o Aue $:s interesa es #a resistencia de
f#uenciaB ya Aue una defor$acin *er$anente ser9a considerada co$o fa##aL
sin e$)ar!oB e"isten e"ce*ciones a esta re!#a.
4uc/os de #os $ateria#es $:s fr:!i#es o Aue)radizosB co$o #os /ierros
co#adosB no *oseen un *unto de f#uenciaB as9 Aue de)e uti #izarse #a
resistencia ?#ti$a co$o criterio de fa##a.
6# dise>ar e#e$entos Aue /an de /acerse de $ateria# fr:!i#B ta$)i7n es
necesario recordar Aue #a resistencia ?#ti$a a #a co$*resin es $uc/o
$ayor Aue a #a tensin.
as resistencias de #os $ateria#es d?cti#es son casi #as $is$as a tensin
Aue a co$*resin. Por #o !enera#B se considera Aue esto ocurrir: en e#
dise>o a $enos Aue se *osea infor$acin contraria.
6/ora se ana#izar: e# e#e$ento !enera# en esfuerzo )idi$ensiona# i#ustrado
en #a fi!ura ('. E# *ro)#e$a consiste en co$o re#acionar este estado de
esfuerzo con una so#a resistenciaB co$o #a de f#uencia a #a tensinB a fin de
#o!rar se!uridad. a so#ucin a este *ro)#e$a ser: #a $ateria de esta
unidad.
Autor: Ral Rosas Lozano
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Fi!ura ('
Autor: Ral Rosas Lozano
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%. TEOR86 DE ESFUERZO NOR46 4
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1
y*n = *ara #a f#uencia (,-)
1
"*n = *ara #a ru*tura
Autor: Ral Rosas Lozano
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%.& TEOR86 DE ESFUERZO CORT6NTE 4
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%.( TEOR86 DE 6 ENERH86 DE DISTORSIN
Esta teor9a es conocida ta$)i7n co$o #a teor9a de #a ener!9a de cortante o
teor9a de @on 4isesency. Esta teor9a es #a $:s con@eniente *ara e# caso
de $ateria#es d?cti#es. 6# i!ua# Aue #a teor9a de# esfuerzo cortante $:"i$oB
esta se e$*#ea s#o *ara definir e# *rinci*io de #a f#uencia.
Esta teor9a se ori!in a *artir de #a o)ser@acin de Aue $ateria#es d?cti#es
so$etidos a esfuerzos /idrost:ticos de i!ua# tensin o co$*resinB ten9an
resistencias de f#uencia $uy su*eriores a# de #os @a#ores o)tenidos *or e#
ensayo a tensin si$*#e. 6s9 se *ostu# Aue #a f#uencia no eraB de nin!una
$aneraB un fen$eno de tensin o de co$*resin si$*#esB sinoB $:s )ienBAue esta)a re#acionada de a#!?n $odo con #a distorsin defor$acin
an!u#ar de# e#e$ento esforzado.
a teor9a de #a ener!9a de distorsin *ostu#a Aue #a ener!9a de distorsin
ser9a i!ua# a #a diferencia entre #a ener!9a tota# de defor$acin y #a ener!9a
uti#izada *ara *roducir ?nica$ente un ca$)io de @o#u$en.
Para e# caso de torsin *uraB esta teor9a esta)#ece Aue
Ssy J ;B%'' Sy
Si co$*ara$os Ssy de #a teor9a de# esfuerzo cortante $:"i$o con e# de #a
teor9a de #a ener!9a de distorsinB se o)ser@a Aue este ?#ti$o *redice una
resistencia de f#uencia a# cortante sensi)#e$ente $ayor.
Para e# estudio de an:#isis y dise>o se define e# conce*to de esfuerzo de
@on 4ises a *artir de #a ecuacin
Autor: Ral Rosas Lozano
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2
221
2
1
+=
#ue!o #a fa##a *or f#uencia Aueda *redic/a *or.
J Sy
y #a se!uridad se *redice *or
,
y*
n = (,%)
Eercicio N/ ,%
ay un e#e$ento $ec:nico Aue se fa)rica con un acero cuyo *unto de
f#uencia es de %; *si. E# estado de esfuerzo en un *unto de# e#e$ento esta
dado *or "J ; *siB yJ , *si y "yJ 1 *si. Deter$inar e# factor de
se!uridad uti#izando #as tres teor9as de fa##a.
So+uci0n. Pri$ero se de)e deter$inar #os esfuerzos *rinci*a#es y e# es
fuerzo cortante $:"i$oL *ara e##o se uti#izar: #as fr$u#as (4)y (5).
( )22
2,1 122
820
2
820+
+
=
De aAu9 se o)tiene Aue 1J (B(( *si TB Aue ! 1B(( *si C y Aue
"y J 1,B(( *si. ue!o uti#izando #as fr$u#as *ara cada una de #as tres
teor9as de fa##aB se tiene
Autor: Ral Rosas Lozano
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Esfuerzo nor$a# $:"i$o 046,244,2450 == nn
Esfuerzo cortante $:"i$o ( ) 356,144,18250 == nn
Para #a teor9a de #a ener!9a de distorsin se de)e deter$inar *ri$ero
( ) ( ) ( ) 5,3244,1244,12!44,2444,24 22 =++=
#ue!o entonces
538,15,32
50 == nn
Autor: Ral Rosas Lozano
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Eercicio N/ ,4
a f#ec/a circu#ar $aciza de #a fi!ura (, tiene un #9$ite *ro*orciona# de -(
*si. Deter$ine e# @a#or de #a car!a R *ara #a fa##a *redic/a *or cada una
de #as tres teor9as de fa##a estudiadas. Se su*one Aue e# *unto 6 es donde
se *resentanB #os $ayores esfuerzos.
Fi!ura (,
So+uci0n. Introduciendo dos fuerzas i!ua#es y o*uestas de @a#or R a #o
#ar!o de #a #9nea EFB resu#ta e@idente Aue e# $o$ento f#e"ionante en e#
*unto 6 es de &-R y e# torAue es (R y #a car!a a"ia# 1R.
E# esfuerzo f#e"ionante en 6 es
( )( )
( )( )T
&&X
18
64
4
2364
==
Autor: Ral Rosas Lozano
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E# esfuerzo directo en 6 es
( )( )T
&&X
3
4
4
122 ==
ue!o e# esfuerzo nor$a# tota# 2J 1RG
E# esfuerzo cortante *or torsin en 6 es
( ) ( )
( ) &&
%
TXY
6
32
4
2244 ===
os $:"i$os esfue