Post on 22-Dec-2015
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Universidad de Costa RicaSede Guanacaste
IF-0323 Métodos Numéricos
Aproximaciones y errores
Elaborado por:Gallo Ruiz Dago A82501González Sibaja Jenniffer A92798
¿Por que se cometen errores?
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Aproximaciones y Errores
Seguro que más de una vez has dicho "esto pesa más o menos un kilo y medio" o "he echado unos 5 minutos en
el camino." En todas estas situaciones no estamos hablando con exactitud, sino que estamos dando una
idea del verdadero valor de la medida, o sea, una aproximación. Y claro, por pequeña que sea, siempre habrá alguna diferencia entre ese valor que estamos
dando y el real, o lo que es lo mismo, estamos cometiendo un error en la información que estamos
dando.
Seguro que más de una vez has dicho "esto pesa más o menos un kilo y medio" o "he echado unos 5 minutos en
el camino." En todas estas situaciones no estamos hablando con exactitud, sino que estamos dando una
idea del verdadero valor de la medida, o sea, una aproximación. Y claro, por pequeña que sea, siempre habrá alguna diferencia entre ese valor que estamos
dando y el real, o lo que es lo mismo, estamos cometiendo un error en la información que estamos
dando.
Punto Flotante
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Fl (x) = 0, d1 d2 … dk x 10k
-x = M * Be
Ejemplo:
Sea X = 54 ≈ 54.0 entonces -x = 0.54 * 102
Sea X = 2.236 entonces -x = 0.2236 * 101
Aproximaciones y Errores
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El origen del error puede presentarse por dos causas:
Aproximaciones y Errores
Error en los datos
Error computacional
Corte o truncamiento
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Una vez que sepas cuantas cifras significativas debes tener, el número se corta y discriminan los números a la derecha
Ejemplo:
El numero π (pi), tiene una expansión decimal de la forma:
π = 3,141592654, en flotante es igual a fl(π)= 0,3141592654 x 101
La representación flotante de π utilizando corte al 4 digito es:
fl(π)= 0,3141 x 101
Redondeo
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Para expresar x en forma normalizada con redondeo y corte, se sigue la regla: Si dk + 1 ≥ 5 entonces se suma 1 a dk
En otro caso se cortan los dígitos después del k-èsimo dígito.
Ejemplo:
El numero π (pi), tiene una expansión decimal de la forma:
π = 3,141592654, en flotante es igual a fl(π)= 0,3141592654 x 101
La representación flotante de π utilizando redondeo al 4 digito es:
fl(π)= 0,3142 x 101
Error Absoluto
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Ejemplo:
Si tenemos x= 3 y ͞x = 2.76
Error Absoluto = | 3 - 2.76 | = 0.24
x = valor real ͞x = el error
Error Relativo
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Ejemplo:
Si tenemos x= 3 y ͞x = 2.76
Error Relativo = | 3 - 2.76 |
x = valor real ͞x = el error
| 3 |= 0.08 = 8%
Aritmética de punto flotante
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En las computadoras los cálculos se realizan de
forma distinta a lo tradicional.
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Dígitos significativos (d.s): Si ͞ x es una aproximación de x, entonces ͞ x aproxima a x, con k dígitos o
cifras significativas, si k es el entero no negativo más grande se cumple:
∂ x ≤ 5 x 10-
k
Es el número de dígitos con que se trabaja en la aritmética de punto flotante, es
el número de corte y por ende donde se realiza el redondeo.
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Cotas de los errores:Teorema: Si x E R , x ≠ 0, donde ͞x es la aproximación de x, entonces:
Si ͞x se encuentra a partir de cortar k dígito, entonces: ∂ x ≤ 10-k Si ͞x se obtiene a partir de redondeo al k dígito, entonces: ∂ x ≤ 5 x 10-k
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Ejercicio:
1. Realice el siguiente calculo: (−10𝜋− 57)ξ7+𝑒3
1.1. Aplicando aritmética de redondeo a 4 dígitos.
1.2. Calcule los errores relativos y absolutos. Además determine los dígitos significativos, la precisión y exactitud del cálculo.