Control de Procesos• ¿Qué es un sistema de control ?

– En nuestra vida diaria existen numerosos objetivos que necesitan cumplirse.

• En el ámbito doméstico– Controlar la temperatura y humedad de casas y

edificios• En transportación

– Controlar que un auto o avión se muevan de un lugar a otro en forma segura y exacta

• En la industria– Controlar un sinnúmero de variables en los procesos

de manufactura

Control de Procesos• En años recientes, los sistemas de control han

asumido un papel cada vez más importante en el desarrollo y avance de la civilización moderna y la tecnología.

• Los sistemas de control se encuentran en gran cantidad en todos los sectores de la industria:– tales como control de calidad de los productos

manufacturados, líneas de ensa,ble automático, control de máquinas-herramienta, tecnología espacial y sistemas de armas, control por computadora, sistemas de transporte, sistemas de potencia, robótica y muchos otros

Ejemplos de procesos automatizados

• Un moderno avión comercial

Ejemplos de procesos automatizados

• Satélites

Ejemplos de procesos automatizados

• Control de la concentración de un producto en un reactor químico

Ejemplos de procesos automatizados

• Control en automóvil

¿ Por que es necesario controlar un proceso ?

• Incremento de la productividad• Alto costo de mano de obra• Seguridad• Alto costo de materiales• Mejorar la calidad • Reducción de tiempo de manufactura• Reducción de inventario en proceso• Certificación (mercados

internacionales)• Protección del medio ambiente

(desarrollo sustentable)

Control de Procesos• El campo de aplicación de los sistemas de

control es muy amplia.• Y una herramienta que se utiliza en el

diseño de control clásico es precisamente:

La transformada de Laplace

¿Por qué Transformada de Laplace?

• En el estudio de los procesos es necesario considerar modelos dinámicos, es decir, modelos de comportamiento variable respecto al tiempo.

• Esto trae como consecuencia el uso de ecuaciones diferenciales respecto al tiempo para representar matemáticamente el comportamiento de un proceso.

¿Por qué Transformada de Laplace?

• El comportamiento dinámico de los procesos en la naturaleza puede representarse de manera aproximada por el siguiente modelo general de comportamiento dinámico lineal:

• La transformada de Laplace es una herramienta matemática muy útil para el análisis de sistemas dinámicos lineales.

¿Por qué Transformada de Laplace?

• De hecho, la transformada de Laplace permite resolver ecuaciones diferenciales lineales mediante la transformación en ecuaciones algebraicas con lo cual se facilita su estudio.

• Una vez que se ha estudiado el comportamiento de los sistemas dinámicos, se puede proceder a diseñar y analizar los sistemas de control de manera simple.

El proceso de diseño del sistema de control

• Para poder diseñar un sistema de control automático, se requiere– Conocer el proceso que se desea controlar,

es decir, conocer la ecuación diferencial que describe su comportamiento, utilizando las leyes físicas, químicas y/o eléctricas.

– A esta ecuación diferencial se le llama modelo del proceso.

– Una vez que se tiene el modelo, se puede diseñar el controlador.

Conociendo el proceso …• MODELACIÓN MATEMÁTICA

Suspensión de un automóvil

f(t)

z(t)

kb

m

Fuerza de entrada

Desplazamiento, salida del sistema

2

2 )()()()(dttzdm

dttdzbtkztf

maF

El rol de la transformada de Laplace

Conviertiendo ecs. diferenciales a ecs. algebráicas

Suspensión de un automóvil

kbsmssF

sZkbsmssZsF

sZmssbsZskZsF

dttzdm

dttdzbtkztf

2

2

2

2

2

1)()(

)()(

)()()()(

cero) a igual iniciales scondicione ndo(considera términocada a Laplace de ada transformla Aplicando

)()()()(

Función de transferencia

Conociendo el proceso…• MODELACIÓN MATEMÁTICA

Nivel en un tanque

qo(t)

Flujo de salida

R

(resistencia de la válvula)

h(t)

qi(t)

Flujo de entrada

dttdhAth

Rtq

tqthR

dttdhAtqtq

i

o

oi

)()(1)(

)()(

)()()(

Flujo que entra – Flujo que sale = Acumulamiento

A

(área del tanque)

El rol de la transformada de Laplace

Conviertiendo ecs. diferenciales a ecs. algebráicas

Nivel en un tanque

111

)()(

)1)(()(

)()(1)(

Laplace de ada transformla Aplicando

)()(1)(

ARsR

RAssQ

sHR

AssHsQi

sAsHsHR

sQi

dttdhAth

Rtq

i

i

Función de transferencia

Conociendo el proceso…• MODELACIÓN MATEMÁTICA

Circuito eléctrico

)()(1

)(1)()()(

tedttiC

dttiC

tRidttdiLte

o

i

1

1)()(

1)()(E

)(1)()()(E

I(s)) para o(despejand ecuaciones las Combinando

)()(1)(1)()()(E

Laplace de ada transformla Aplicando

)()(1)(1)()()(

2

2i

i

i

RCsLCssEsE

RCsLCssEs

sCsECs

sCsERsCsELss

sEsICs

sICs

sRIsLsIs

tedttiC

dttiC

tRidttdiLte

i

o

o

ooo

o

oi

El rol de la transformada de Laplace

Conviertiendo ecs. diferenciales a ecs. algebráicas

Circuito eléctrico

Función de transferencia

La función de transferencia• Representa el comportamiento dinámico del proceso• Nos indica como cambia la salida de un proceso

ante un cambio en la entrada

• Diagrama de bloquesforzanteFunción

proceso del Respuesta)()(

proceso del entrada laen Cambioproceso del salida laen Cambio

)()(

sXsYsXsY

Proceso Entrada del proceso

(función forzante o

estímulo)

Salida del proceso

(respuesta al

estímulo)

La función de transferencia

Diagrama de bloques• Suspensión de un automóvil

Entrada

(Bache)

Salida

(Desplazamiento del coche)kbsms 2

1

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

x 104

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3x 10

-3

La función de transferencia

Diagrama de bloques• Nivel en un tanque

Qi(s)

(Aumento del flujo de entrada repentinamente)

H(s)

(Altura del nivel en el tanque1ARs

R

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-10

-5

0

5

10

15

20

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000-10

-5

0

5

10

15

20

25

La función de transferencia

Diagrama de bloques• Circuito eléctrico

Ei(s)

(Voltaje de entrada)

Eo(s)

(Voltaje de salida)11

2 RCsLCs

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

x 104

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

x 104

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Propiedades y teoremas de la transformada de Laplace más utilizados

en al ámbito de control• TEOREMA DE TRASLACIÓN DE UNA FUNCIÓN

(Nos indica cuando el proceso tiene un retraso en el tiempo)

• TEOREMA DE DIFERENCIACIÓN REAL(Es uno de los más utilizados para transformar las ecuaciones diferenciales)

Propiedades y teoremas de la transformada de Laplace más utilizados

en al ámbito de control• TEOREMA DE VALOR FINAL

(Nos indica el valor en el cual se estabilizará la respuesta)

• TEOREMA DE VALOR INICIAL(Nos indica las condiciones iniciales)

• Se tiene un intercambiador de calor 1-1, de tubos y coraza. En condiciones estables, este intercambiador calienta 224 gal/min de agua de 80°F a 185°F por dentro de tubos mediante un vapor saturado a 150 psia.

• En un instante dado, la temperatura del vapor y el flujo de agua cambian, produciéndose una perturbación en el intercambiador.

Ejemplo aplicado: Intercambiador de calor

• a) Obtenga la función de transferencia del cambio de la temperatura de salida del agua con respecto a un cambio en la temperatura del vapor y un cambio en el flujo de agua, suponiendo que la temperatura de entrada del agua al intercambiador se mantiene constante en 80°F.

• b) Determine el valor final de la temperatura de salida del agua ante un cambio tipo escalón de +20°F en la temperatura del vapor, y un cambio de +10 gal/min en el flujo de agua.

• c) Grafique la variación de la temperatura de salida del agua con respecto al tiempo.

Ejemplo aplicado: Intercambiador de calor

• Ecuación diferencial que modela el intercambiador de calor

Ejemplo aplicado: Intercambiador de calor

Intercambiador de calor• Ecuación diferencial

• Donde:• Ud0: Coeficiente global de transferencia de calor referido al diámetro exterior• (BTU/h °F ft2)• ATC0: Área de transferencia de calor referida al diámetro exterior (ft2)• Cp : Capacidad calorífica (BTU/lb °F)• tv : Temperatura del vapor (°F)• te : Temperatura del agua a la entrada (°F)• ts : Temperatura del agua a la salida (°F)• (te+ ts) / 2 :Temperatura del agua dentro de tubos (°F)• tref : Temperatura de referencia (°F)• w : Flujo de agua (lb/h)• m : Cantidad de agua dentro de tubos (lb)• : Valores en condiciones estables• Tv , Ts , W Variables de desviación

twtstv ,,

Intercambiador de calor• Linealizando

1

2• Evaluando en condiciones iniciales estables

3

• Restando (2) de (3)

Intercambiador de calor• Utilizando variables de desviación

• Aplicando la transformada con Laplace

Intercambiador de calor• Simplificando

• Datos físicos– Largo del intercambiador = 9 ft– Diámetro de coraza = 17 ¼’’– Flujo = 224 gal/min – Temperatura de entrada =80°F– Temperatura de salida = 185°F– Presión de vapor =150psia.– Número de tubos= 112 – Diámetro exterior de tubo = ¾ ’’ de diámetro y BWG 16, disposición cuadrada a 90°, con un

claro entre tubos de 0.63’’.– Conductividad térmica de los tubos = 26 BTU/hft°F, – Factor de obstrucción interno = 0.0012 hft2°F/BTU; externo = 0.001 hft2°F/BTU– Coeficiente global de transferencia de calor = 650 BTU/hft2°F

Intercambiador de calor• Calculando

las constantes

Intercambiador de calor• Función de transferencia

• Determine el valor final de la temperatura de salida del agua ante un cambio tipo escalón de +20°F en la temperatura del vapor, y un cambio de +10 gal/min en el flujo de agua.

0 0

Intercambiador de calor

Flujo de agua entrada

Salida deAgua °T

Temp deVapor entrada

Salida devapor

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

224

234

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

220

240

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

5

10

15

20

25

30

35

40

185

188.85

La respuesta del proceso en el tiempo

Transformada Inversa De Laplace

sb

sb

sa

sa

sssssT

ssssssx

sssT

ssK

ssKsT

ssW

ssTsW

sKsT

sKsT

s

s

s

vvs

2121

42

2

1

1

2

2

1

1

583772.0583772.0583772.0213928.2

583772.0458658.4)(

parciales fraccionesen Expansión 1712995.1

792464.31712995.1

63766.725.50071712995.1

10573947.7201712995.1

381883.0)(

25.50071

201

)(

25.5007)(20)()(1

)(1

)(

La respuesta del proceso en el tiempo

TsseetT

emperaturTsseetT

sssssT

sssb

sssb

sssa

sssa

tts

tts

s

s

s

s

s

583772.0583772.0

583772.0583772.0

02

583772.01

02

583772.01

1792453.31637670.7)(

salida) de inicial at(Tss 792453.3792453.3637670.7637670.7)(

792453.3583772.0

792453.3637670.7583772.0

637670.7)(

792453.3583772.0213928.2

583772.0213928.2

792453.3583772.0

213928.2583772.0

213928.2583772.0

6376.7583772.0458658.4

583772.0458658.4

6376.7583772.0

458658.4583772.0

458658.4583772.0

Transformada Inversa De Laplace

El sistema de control automáticoTemperatura del agua de salida – Lazo abierto (sin

control)

Temperatura del agua de salida – Lazo cerrado (con control)

Tv(s)

(Aumento de la temperatura de vapor a la

entrada )

Ts(s)

(Aumento en la temperatura de agua

a la salida)

11

1sK

Controlador 1713.13819.0

s

+

-Valor

deseado Acción de

control

Variable controlada

La ecuación del controlador• ECUACIÓN DIFERENCIAL DE UN CONTROLADOR PID

Donde E(s) es la diferencia entre el valor deseado y el valor medido

sssE

sM

ssEsEssE

sM

ssEsEs

dttdedtteteKctm

di

di

di

di

11Kc)()(

)()(1E(s)Kc)()(

)()(1E(s)KcM(s)

Laplace de ada transformla Aplicando

)()(1)()(

El sistema de control automáticoTemperatura de agua a la salida – Lazo cerrado (con

control)

(el tiempo de estabilización para el sistema controlado es de 4 min, a partir del cambio en la entrada)

1713.13819.0

s

+

-Valor

deseado Acción de

control

Variable controlada

sKc dsi

11

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

1

2

3

4

5

6

X: 0.683Y: 4.91

-1 0 1 2 3 4 50

1

2

3

4

5

6

0 2 4 6 8 10 120

1

2

3

4

5

6

X: 0.683Y: 4.91

X: 6.873Y: 4.91

La respuesta del sistema de controlde nivel

• Comparación del sistema en lazo abierto (sin control) y en lazo cerrado (con control)

Con control Sin

control

Actividad independiente 1• Un sistema de suspensión

simplificada de un automóvil se puede representar por la figura siguiente:

• Las ecuaciones diferenciales que modelan al sistema están dadas por:

dttdx

dttdybtxtyk

dttydm

txtukdttdx

dttdybtxtyk

dttxdm

)()()()()(

)()()()()()()(

22

2

2

122

2

1

Actividad independiente 2a) Obtén la función de transferencia

(Tip: transforma ambas ecuaciones, despeja X(s) en ambas e iguálalas, finalmente reacomoda para dejar Y(s)/U(s) )

b) Se sabe que b=1300 Ns/cm, k1=2000 KN/cm, k2=50KN/cm, m2=1850 kg y m1 = 20 kg. Si se le aplica una cambio escalón unitario en la entrada de fuerza, obtén la expresión en el tiempo, es decir, la transformada inversa de dicha función.

c) Utilizando cualquier paquete de graficado, excel, matlab, mathematica, etc. Grafica la respuesta del desplazamiento en el tiempo para t = [0,20]

)()(sUsY