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Análisis de Componenetes Principales (ACP)La Selección Natural (en Gorriones)
Estudio R
Octubre de 2017
Estudio R Análisis de Componenetes Principales (ACP) Octubre de 2017 1 / 29
Contenido
Generalidades ACP
Objetivos del ACPAlgunas aplicacionesInterpretación geométricaInterpretación algebraicaEjemplo e implementación en RDatos de gorrionesMatriz de correlaciónEstandarizaciónGraficación (Biplot)
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Generalidades ACPObjetivos del ACP
Algunas aplicacionesInterpretación geométricaInterpretación algebraicaEjemplo e implementación en RDatos de gorrionesMatriz de correlaciónEstandarizaciónGraficación (Biplot)
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Generalidades ACPObjetivos del ACPAlgunas aplicaciones
Interpretación geométricaInterpretación algebraicaEjemplo e implementación en RDatos de gorrionesMatriz de correlaciónEstandarizaciónGraficación (Biplot)
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Generalidades ACPObjetivos del ACPAlgunas aplicacionesInterpretación geométrica
Interpretación algebraicaEjemplo e implementación en RDatos de gorrionesMatriz de correlaciónEstandarizaciónGraficación (Biplot)
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Ejemplo e implementación en RDatos de gorrionesMatriz de correlaciónEstandarizaciónGraficación (Biplot)
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Generalidades ACPObjetivos del ACPAlgunas aplicacionesInterpretación geométricaInterpretación algebraicaEjemplo e implementación en R
Datos de gorrionesMatriz de correlaciónEstandarizaciónGraficación (Biplot)
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Generalidades ACPObjetivos del ACPAlgunas aplicacionesInterpretación geométricaInterpretación algebraicaEjemplo e implementación en RDatos de gorriones
Matriz de correlaciónEstandarizaciónGraficación (Biplot)
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Generalidades ACPObjetivos del ACPAlgunas aplicacionesInterpretación geométricaInterpretación algebraicaEjemplo e implementación en RDatos de gorrionesMatriz de correlación
EstandarizaciónGraficación (Biplot)
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Generalidades ACPObjetivos del ACPAlgunas aplicacionesInterpretación geométricaInterpretación algebraicaEjemplo e implementación en RDatos de gorrionesMatriz de correlaciónEstandarización
Graficación (Biplot)
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Generalidades ACPObjetivos del ACPAlgunas aplicacionesInterpretación geométricaInterpretación algebraicaEjemplo e implementación en RDatos de gorrionesMatriz de correlaciónEstandarizaciónGraficación (Biplot)
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Generalidades ACP
El ACP se constituye como una técnica exploratoria, en etapas inicialesdel análisis de los datos.
Su propósito fundamental es reducir la dimensionalidad de un conjuntode datos.Transforma las variables originales en un conjunto de variables máspequeñas, las cuales son combinaciones lineales de las variablesoriginales y retienen la mayor parte de la variabilidad presente en lasvariables originales.Convierte un conjunto de variables posiblemente correlacionadas, en unconjunto de variables sin correlación lineal, denominadas ComponentesPrincipales (CP).
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Generalidades ACP
El ACP se constituye como una técnica exploratoria, en etapas inicialesdel análisis de los datos.Su propósito fundamental es reducir la dimensionalidad de un conjuntode datos.
Transforma las variables originales en un conjunto de variables máspequeñas, las cuales son combinaciones lineales de las variablesoriginales y retienen la mayor parte de la variabilidad presente en lasvariables originales.Convierte un conjunto de variables posiblemente correlacionadas, en unconjunto de variables sin correlación lineal, denominadas ComponentesPrincipales (CP).
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Generalidades ACP
El ACP se constituye como una técnica exploratoria, en etapas inicialesdel análisis de los datos.Su propósito fundamental es reducir la dimensionalidad de un conjuntode datos.Transforma las variables originales en un conjunto de variables máspequeñas, las cuales son combinaciones lineales de las variablesoriginales y retienen la mayor parte de la variabilidad presente en lasvariables originales.
Convierte un conjunto de variables posiblemente correlacionadas, en unconjunto de variables sin correlación lineal, denominadas ComponentesPrincipales (CP).
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Generalidades ACP
El ACP se constituye como una técnica exploratoria, en etapas inicialesdel análisis de los datos.Su propósito fundamental es reducir la dimensionalidad de un conjuntode datos.Transforma las variables originales en un conjunto de variables máspequeñas, las cuales son combinaciones lineales de las variablesoriginales y retienen la mayor parte de la variabilidad presente en lasvariables originales.Convierte un conjunto de variables posiblemente correlacionadas, en unconjunto de variables sin correlación lineal, denominadas ComponentesPrincipales (CP).
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Objetivos del ACP
Obtener nuevas variables (componentes principales) que expresen lainformación contenida en los datos originales.
Reducir la dimensionalidad de los datos.Eliminar variables (si existe la posibilidad) que tengan poco aporte alobjetivo del estudio.Reconocer intuitivamente posibles patrones presentes en los datos.Contribuir a la interpretación de la información que poseen los datos.
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Objetivos del ACP
Obtener nuevas variables (componentes principales) que expresen lainformación contenida en los datos originales.Reducir la dimensionalidad de los datos.
Eliminar variables (si existe la posibilidad) que tengan poco aporte alobjetivo del estudio.Reconocer intuitivamente posibles patrones presentes en los datos.Contribuir a la interpretación de la información que poseen los datos.
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Objetivos del ACP
Obtener nuevas variables (componentes principales) que expresen lainformación contenida en los datos originales.Reducir la dimensionalidad de los datos.Eliminar variables (si existe la posibilidad) que tengan poco aporte alobjetivo del estudio.
Reconocer intuitivamente posibles patrones presentes en los datos.Contribuir a la interpretación de la información que poseen los datos.
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Objetivos del ACP
Obtener nuevas variables (componentes principales) que expresen lainformación contenida en los datos originales.Reducir la dimensionalidad de los datos.Eliminar variables (si existe la posibilidad) que tengan poco aporte alobjetivo del estudio.Reconocer intuitivamente posibles patrones presentes en los datos.
Contribuir a la interpretación de la información que poseen los datos.
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Objetivos del ACP
Obtener nuevas variables (componentes principales) que expresen lainformación contenida en los datos originales.Reducir la dimensionalidad de los datos.Eliminar variables (si existe la posibilidad) que tengan poco aporte alobjetivo del estudio.Reconocer intuitivamente posibles patrones presentes en los datos.Contribuir a la interpretación de la información que poseen los datos.
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Algunas aplicaciones
Mecánica
GenómicaInteligencia ArtificialEconomiaEstudios socialesAnálisis de imagen
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Algunas aplicaciones
MecánicaGenómica
Inteligencia ArtificialEconomiaEstudios socialesAnálisis de imagen
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Algunas aplicaciones
MecánicaGenómicaInteligencia Artificial
EconomiaEstudios socialesAnálisis de imagen
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Algunas aplicaciones
MecánicaGenómicaInteligencia ArtificialEconomia
Estudios socialesAnálisis de imagen
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Algunas aplicaciones
MecánicaGenómicaInteligencia ArtificialEconomiaEstudios sociales
Análisis de imagen
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Algunas aplicaciones
MecánicaGenómicaInteligencia ArtificialEconomiaEstudios socialesAnálisis de imagen
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Interpretación geométrica
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Nuevo sistema de coordenadas.Obtención de direcciones ortogonales (o componentes principales) conmáxima variabilidad.Las nuevas direcciones proporcionan una dispersión simple yparsimoniosa de la estructura de covarianza de los datos.Las componentes principales dependen de la matriz devarianzas-covarianzas o de la matriz de correlación.
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Interpretación algebraica
Las componentes principales son combinaciones lineales particulares dep− variables aleatorias X1, X2, ...Xp originales.Valores propiosVectores propios
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Ejemplo e implementación en R
Descripción del conjunto de datos (Gorriones.csv): " . . . el 1 defebrero del presente año (1898), cuando, después de una tormentaextraordinariamente severa de nieve, lluvia y aguanieve, varios gorrionesingleses fueron llevados al Laboratorio Anatómico de la Universidad deBrown. Setenta y dos de estas aves revivieron; sesenta y cuatro perecieron;. . . “.” . . . la tormenta fue de larga duración, y las aves fueron recogidas,no en una localidad, sino en varias localidades; . . . “. Este evento fuedescrito por Hermon Bumpus (1898) como un ejemplo clásico de laselección natural en acción.
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Descripción de variables
Sexo: Machos (m) y hembras (f)Edad: Adulto (a) y joven (y)Sobrevivió: Sí (SI) y no (NO)Longitud total (mm): LongitudTotal (desdel la punta del pico hastala punta de la cola)Extensión de las alas (mm): ExteAlas (de punta a punta de las alasextendidas)Peso (gr): peso del aveLongitud del pico y la cabeza (mm): LonPicoCabeLongitud del húmero (pulgadas): LonHumeroLongitud del fémur (pulgadas): LonFemurLongitud de tibia-tarso (pulgadas): LonTibTarsoAncho del cráneo (pulgadas): AncCraneoLongitud de la quilla (pulgadas): LonQuilla
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Lectura de datos
datos <- read.csv(file = "Gorriones.csv", dec = ",")head(datos, n = 3)
## Sexo Edad Sobrevivio LongitudTotal ExteAlas## 1 m a SI 154 241## 2 m a NO 165 240## 3 m a NO 160 245## Peso LonPicoCabe LonHumero LonFemur LonTibTarso## 1 24.5 31.2 0.687 0.668 1.022## 2 26.5 31.0 0.738 0.704 1.095## 3 26.1 32.0 0.736 0.709 1.109## AncCraneo LonQuilla## 1 0.587 0.830## 2 0.606 0.847## 3 0.611 0.842
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Resumen de datos
summary(datos[, 4:12])
## LongitudTotal ExteAlas Peso## Min. :152.0 Min. :230.0 Min. :22.60## 1st Qu.:157.0 1st Qu.:242.0 1st Qu.:24.57## Median :160.0 Median :246.0 Median :25.55## Mean :159.5 Mean :245.2 Mean :25.52## 3rd Qu.:162.0 3rd Qu.:249.0 3rd Qu.:26.50## Max. :167.0 Max. :256.0 Max. :31.00## LonPicoCabe LonHumero## Min. :29.80 Min. :0.6590## 1st Qu.:31.10 1st Qu.:0.7177## Median :31.60 Median :0.7330## Mean :31.57 Mean :0.7319## 3rd Qu.:32.02 3rd Qu.:0.7482## Max. :33.40 Max. :0.7800## LonFemur LonTibTarso## Min. :0.6530 Min. :1.011## 1st Qu.:0.7017 1st Qu.:1.112## Median :0.7130 Median :1.133## Mean :0.7130 Mean :1.134## 3rd Qu.:0.7312 3rd Qu.:1.162## Max. :0.7670 Max. :1.230## AncCraneo LonQuilla## Min. :0.5510 Min. :0.7340## 1st Qu.:0.5920 1st Qu.:0.8090## Median :0.6020 Median :0.8410## Mean :0.6025 Mean :0.8399## 3rd Qu.:0.6110 3rd Qu.:0.8652## Max. :0.6400 Max. :0.9270
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Matriz de correlación (gráfico)
color <- c("darkblue", "darkred")library(psych)pairs.panels(datos[,4:12], bg = color[datos$Sexo],
hist.col = "forestgreen", density = TRUE,main = "Matriz de dispersión y correlación")
LongitudTotal
230 240 250
0.69 0.58
30.0 31.5 33.0
0.47 0.48
0.66 0.72
0.44 0.38
0.56 0.60 0.64
0.44
155
165
0.50
230
250 ExteAlas
0.57 0.50 0.68 0.58 0.53 0.43 0.58
Peso
0.52 0.52 0.44 0.45 0.47
24280.51
30.0
32.5 LonPicoCabe
0.62 0.62 0.58 0.53 0.49
LonHumero
0.82 0.75 0.51
0.66
0.76
0.55
0.66
0.74 LonFemur
0.81 0.52 0.45
LonTibTarso
0.46
1.05
1.20
0.38
0.56
0.62 AncCraneo
0.38
155 165 24 28 0.66 0.72 0.78 1.05 1.15 0.75 0.85
0.75
0.90
LonQuilla
Matriz de dispersión y correlación
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Matriz de correlaciones
cor(datos[, 4:12])
## LongitudTotal ExteAlas Peso## LongitudTotal 1.0000000 0.6909709 0.5838648## ExteAlas 0.6909709 1.0000000 0.5686500## Peso 0.5838648 0.5686500 1.0000000## LonPicoCabe 0.4694466 0.4990738 0.5192088## LonHumero 0.4846190 0.6779536 0.5188943## LonFemur 0.4447051 0.5782836 0.4441451## LonTibTarso 0.3776146 0.5316798 0.4544589## AncCraneo 0.4355363 0.4338913 0.4714846## LonQuilla 0.5008898 0.5801525 0.5126353## LonPicoCabe LonHumero LonFemur## LongitudTotal 0.4694466 0.4846190 0.4447051## ExteAlas 0.4990738 0.6779536 0.5782836## Peso 0.5192088 0.5188943 0.4441451## LonPicoCabe 1.0000000 0.6229937 0.6164174## LonHumero 0.6229937 1.0000000 0.8205803## LonFemur 0.6164174 0.8205803 1.0000000## LonTibTarso 0.5843728 0.7460385 0.8092996## AncCraneo 0.5347534 0.5120226 0.5212480## LonQuilla 0.4903663 0.5486094 0.4536862## LonTibTarso AncCraneo LonQuilla## LongitudTotal 0.3776146 0.4355363 0.5008898## ExteAlas 0.5316798 0.4338913 0.5801525## Peso 0.4544589 0.4714846 0.5126353## LonPicoCabe 0.5843728 0.5347534 0.4903663## LonHumero 0.7460385 0.5120226 0.5486094## LonFemur 0.8092996 0.5212480 0.4536862## LonTibTarso 1.0000000 0.4586951 0.3840558## AncCraneo 0.4586951 1.0000000 0.3840089## LonQuilla 0.3840558 0.3840089 1.0000000
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Longitud Húmero vs Longitud Fémur
with(datos, plot(LonFemur, LonHumero, pch = 19, col = Sexo))
0.66 0.68 0.70 0.72 0.74 0.76
0.66
0.68
0.70
0.72
0.74
0.76
0.78
LonFemur
LonH
umer
o
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Estandarización de variables
datosstd <- data.frame(scale(datos[, 4:12]))head(datosstd, n = 3)
## LongitudTotal ExteAlas Peso LonPicoCabe## 1 -1.5569728 -0.7591304 -0.6948140 -0.5328548## 2 1.5321934 -0.9402562 0.6609206 -0.8176024## 3 0.1280269 -0.0346270 0.3897737 0.6061354## LonHumero LonFemur LonTibTarso AncCraneo## 1 -1.9473421 -1.8674102 -2.7381900 -1.0321527## 2 0.2625343 -0.3744578 -0.9465370 0.2348699## 3 0.1758725 -0.1671033 -0.6029324 0.5682969## LonQuilla## 1 -0.25054259## 2 0.17821720## 3 0.05211138
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Longitud Húmero vs Longitud Fémur (estandarizadas)
with(datosstd, plot(LonFemur, LonHumero, pch = 19))with(datosstd, text(LonFemur, LonHumero,
rownames(datosstd), pos = 4))abline(h = 0, col = "red", lty = 2, lwd = 2)abline(v = 0, col = "blue", lty = 2, lwd = 2)
−2 −1 0 1 2
−3−2
−10
12
LonFemur
LonH
umer
o
1
2 345
678
9
10
11
12
13
14
15
16
17
1819
2021
2223
24
25
26
2728
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38 3940
41
42 43
4445
46
4748
49
50
51
52
5354
55
56
57
58
59
60
61
62
63
6465
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
767778
79
8081
82
83
84
8586
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100101
102103
104
105
106
107
108
109
110
111
112113
114
115116117
118
119
120
121
122
123124 125126
127
128
129
130131
132
133
134135
136
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Cálculo de las componentes principales
acp <- princomp(datosstd, cor = TRUE)biplot(acp, cex = 0.7)
−0.2 −0.1 0.0 0.1 0.2
−0.2
−0.1
0.00.1
0.2
Comp.1
Comp
.2
12
34
5
6
7
8
910
11
12
13
14
15
16
17
18
19
2021
22
23
24
25
26
27
28
29
3031
32
33
34
35
36
3738
39
40
41
4243
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
5455
56
57
58
59
60
61
62
6364
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
8081
82
83
84
85
86
87
88 89
90
91
92 93
94 95
96
97
98
99
100
101
102
103
104 105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130 131
132
133134
135
136
−10 −5 0 5 10
−10
−50
510
LongitudTotal
ExteAlas
Peso
LonPicoCabe
LonHumero
LonFemurLonTibTarso
AncCraneo
LonQuilla
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Valores propios
summary(acp)
## Importance of components:## Comp.1 Comp.2## Standard deviation 2.3046882 0.9988978## Proportion of Variance 0.5901764 0.1108663## Cumulative Proportion 0.5901764 0.7010427## Comp.3 Comp.4## Standard deviation 0.81280426 0.73068317## Proportion of Variance 0.07340564 0.05932199## Cumulative Proportion 0.77444838 0.83377037## Comp.5 Comp.6## Standard deviation 0.67837980 0.63624854## Proportion of Variance 0.05113324 0.04497913## Cumulative Proportion 0.88490361 0.92988274## Comp.7 Comp.8## Standard deviation 0.52104550 0.46168667## Proportion of Variance 0.03016538 0.02368384## Cumulative Proportion 0.96004812 0.98373196## Comp.9## Standard deviation 0.38263868## Proportion of Variance 0.01626804## Cumulative Proportion 1.00000000
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plot(acp$sdev, type="b")abline(v = 4, col = "red", lty = 2, lwd = 0.5)
2 4 6 8
0.5
1.0
1.5
2.0
Index
acp$
sdev
Estudio R Análisis de Componenetes Principales (ACP) Octubre de 2017 22 / 29
Vectores propios
loadings(acp)[,1:9]
## Comp.1 Comp.2 Comp.3## LongitudTotal -0.3100651 -0.48676787 -0.05636978## ExteAlas -0.3505712 -0.25833261 -0.33786910## Peso -0.3155630 -0.35142457 0.19791968## LonPicoCabe -0.3358877 0.11469994 0.29286266## LonHumero -0.3779134 0.25196559 -0.22209147## LonFemur -0.3628170 0.41308546 -0.14264156## LonTibTarso -0.3408942 0.46175891 -0.15231419## AncCraneo -0.2946541 0.03996533 0.78349062## LonQuilla -0.3017853 -0.33274799 -0.22582687## Comp.4 Comp.5 Comp.6## LongitudTotal 0.45377621 0.1326996 0.36031440## ExteAlas 0.25610634 0.2419548 0.02384397## Peso 0.07935593 -0.7038798 -0.46084211## LonPicoCabe -0.30567863 -0.3264084 0.73723935## LonHumero -0.02197200 0.0837826 -0.11938625## LonFemur 0.07732550 0.0761244 -0.04231837## LonTibTarso 0.13796632 -0.1776658 -0.13117472## AncCraneo 0.04854279 0.4795809 -0.23554995## LonQuilla -0.77518179 0.2179036 -0.15802907## Comp.7 Comp.8 Comp.9## LongitudTotal 0.51853028 0.13136187 -0.15575960## ExteAlas -0.64295510 -0.33808212 0.20932445## Peso -0.06240530 0.10097266 0.09766796## LonPicoCabe -0.20681677 -0.04051399 0.01834518## LonHumero -0.25053953 0.58145771 -0.56723163## LonFemur 0.23333115 0.31239139 0.71538857## LonTibTarso 0.30096834 -0.63401809 -0.29496225## AncCraneo -0.04561749 -0.08045686 -0.03649455## LonQuilla 0.24736838 -0.11168704 0.01339906
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Puntajes
head(acp$scores, n = 3)
## Comp.1 Comp.2 Comp.3 Comp.4## [1,] 3.8880757 -1.3522616 0.4160354 -1.1326393## [2,] 0.1575123 -1.4096787 0.4072278 0.4664938## [3,] -0.3388752 -0.4201252 0.7720830 -0.2187090## Comp.5 Comp.6 Comp.7 Comp.8## [1,] -0.09606579 0.3027823 -0.9560481 0.1354796## [2,] 0.09095160 -0.3538219 1.1263744 1.2205056## [3,] -0.07081691 0.2364849 -0.3398357 0.4256793## Comp.9## [1,] 0.61889581## [2,] -0.53167046## [3,] -0.03965116
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Concatenando resultados (por CP1)
datos2 <- data.frame(datos, acp$scores[, c(1, 2, 3)])a <- datos2[order(acp$scores[, 1], decreasing = TRUE), ]head(a, n = 3)
## Sexo Edad Sobrevivio LongitudTotal ExteAlas## 103 f NO 152 230## 89 f NO 153 231## 102 m y SI 155 237## Peso LonPicoCabe LonHumero LonFemur## 103 22.8 30.4 0.682 0.664## 89 23.9 30.1 0.680 0.662## 102 23.3 30.2 0.685 0.653## LonTibTarso AncCraneo LonQuilla Comp.1## 103 1.042 0.551 0.734 6.930919## 89 1.042 0.592 0.781 5.583038## 102 1.011 0.587 0.794 5.420028## Comp.2 Comp.3## 103 0.5303656 -0.7823108## 89 -0.3085137 1.0755231## 102 -1.2803161 0.4211979
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CP1 vs CP2 (código_1. . . )
color <- c("magenta4", "#66A61E")simbolos <- c(15, 17)with(datos2, plot(Comp.1, Comp.2, col = color[Sexo],
pch = simbolos[Sobrevivio],cex = 1.5, xlab = "CP1",ylab = "CP2",
main = "Grupo de aves sobre las componentes principales"))
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CP1 vs CP2 (código_2. . . )
legend("topleft",legend = c("Hembra", "Macho"),col = color,cex = 1,lty =1,lwd =2)
legend("topright",legend = c("Murió", "Sobrevió"),pch = simbolos,col = "black",cex = 1)
abline(h = 0, col = "red")abline(v = 0, col = "red")
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CP1 vs CP2 (código_3)
arrows(0, 0,acp$loadings[, 1]*5,acp$loadings[, 2]*5,col = "red",lwd = 2.5)
text(acp$loadings[, 1]*5.2,acp$loadings[, 2]*5.2,row.names(acp$loadings),cex = 1.3)
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Aves proyectadas sobre las componentes principales 1 y 2
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