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7/17/2019 Análisis Vectorial
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Análisis Vectorial
ESCALARES Y VECTORES
La definición de una cantidad escalar es verdaderamente simple, el termino escalar serefiere a una cantidad que se representa con un simple numero real ya sea positivo o
negativo.
La definición de vector es un tanto mas compleja comparada a la definición del
escalar. Una cantidad vectorial tiene magnitud y dirección en el espacio (el espacio se
refiere a las dimensiones del sistema que para el caso de los campos eléctricos y
magnéticos el estudio se reduce a dos y tres dimensiones), como ejemplo de una
cantidad vectorial están la fuerza, la velocidad, la aceleración entre otros. Cada
cantidad tiene una magnitud y una dirección. Para entender mejor el concepto de
vector se hace una analogía con el desplazamiento de un punto ya que tienen las
mismas propiedades matemáticas: para empezar se toma un punto de partida P1 y se
mueve en una trayectoria arbitraria hasta el punto P2, el efecto neto de estemovimiento es igual que si moviera en linea recta (en la figura representada por D).
esta recta D recibe el nombre de desplazamiento y se caracteriza por tener una
magnitud (su longitud) y una dirección (de P1 a P2) como lo indica la flecha.
representacion de un vectorr
la representación geométrica de un vector se describe a continuación en un espacio
vectorial de tres dimensiones, para otra dimensiones la abstracción es sencilla. Esto
denota la magnitud del vector y su dirección va de el origen al punto final.
OPERACIONES CON VECTORES
SUMA VECTORIAL
dados los siguientes vectores A y B
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la suma vectorial se define componente a componente como se muestra a
continuación
la resta de vectores es un proceso análogo a la suma definido según los signos de
forma similar al álgebra escalar.
PRODUCTO PUNTO
Dados dos vectores A y B, el producto punto se define como la suma de los productos
componente a componente.
para el producto punto hay que considerar la siguiente convención
En principio podemos observar que bajo esta definición el producto escalar entre dos
vectores se realiza como si estuviéramos multiplicando dos polinomios
PRODUCTO CRUZ
para las aplicaciones físicas y en nuestro caso para los campos eléctricos y
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magnéticos el producto vectorial o cruz es de de vital importancia. El producto vectorial
permite encontrar un vector normal a los dos vectores objeto del estudio (A y B).
como en el producto punto esta operación entre vectores tiene las siguientes
restricciones:
aplicando las restricciones se tiene,
esta expresión se hace mas clara mediante el uso del determinante
VECTORES UNITARIOS
un vector unitario es aquel cuya magnitud es la unidad y generalmente se toma como
una cantidad sin dimensiones un ejemplo bastante común de vectores unitarios son
los que se toman en dirección de los ejes coordenados x,y,z. Un vector unitario en unadirección dada esta definido por por un vector en esa dirección divido entre su
magnitud.
SISTEMA DE COORDENADAS CILINDRICAS
en las coordenadas cilíndricas la localización de un punto P se especifica por medio de
tres cantidades, r , θ, z. Las definiciones de estas cantidades se especifican claramente
en la gráfica, donde también se ilustran los vectores unitarios y el vector de posicióndel punto. Se puede observar que cuando el vector de posición se proyecta sobre el
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plano xy, r es la longitud de esta proyección, mientras que θ es el ángulo que dicha
proyección forma con el eje x positivo, z es la misma que en el sistema de
coordenadas rectangulares.
Las relaciones entre coordenadas cartesianas y cilíndricas se describen a
continuación:
ahora se pueden definir tres vectores unitarios ortogonales entre si: z es el mismo que
en coordenadas rectangulares, el vector unitario para r se elige de manera que este en
la dirección en que r aumenta y sea perpendicular a z, entonces es paralelo al plano
xy. Θ se define perpendicular a los dos anteriores y en la dirección indicada.
COORDENADAS ESFERICAS
la figura muestra las coordenadas esféricas (ρ, φ, θ) del punto P en el espacio. La
primera coordenada esférica ρ es simplemente la distancia del origen a P . la segunda
coordenada es φ y es el ángulo 0P y el eje z positivo, φ siempre puede ser elegido
entre el intervalo [0, π]. por ultimo, θ es el ángulo familiar de las coordenadas
cilíndricas y siempre vamos a poder elegirlo en el intervalo [0, 2π].
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la relación de las coordenadas esféricas con las cartesianas se ilustra a continuación:
GRADIENTE
El gradiente de un campo escalar es un vector que representa la magnitud y
dirección de la razón de incremento espacial máximo de un escalar.
Por ejemplo, la temperatura de un salón, la altitud de un terreno o el potencial
eléctrico de una región. El gradiente de dicha función escalar es la herramienta
que nos va a permitir saber cual es el incremento máximo de esta medida.
A continuación podemos observar el gradiente de campos escalares
representado por las flechas azules.
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El campo eléctrico, es un campo vectorial que se puede representar matemáticamente en
función
del gradiente así:
Existen muchos campos vectoriales que pueden escribirse como el gradiente de un
potencial escalar, uno de ellos es el campo electrostático, que deriva del potencial
eléctrico.
Todo campo que pueda escribirse como el gradiente de un campo
escalar se denomina potencial , consevativo o irrotacional. Así, una fuerza conservativa deriva de la energía potencial como
E ⃗ =−∇V
Ejemplo:Dada la función f ( x ,y ,z ) = 2 xy + 5y 2 − sin(z). su vector gradiente es:
∇ f =(∂ f ∂ x,∂ f ∂ y,∂ f ∂ z )=(2 y,2 x+10 y,−cos( z ))
DIVERGENCIA
Divergencia de una función:Es una función escalar que resulta de realizar el producto
punto del operador nabla con una función vectorial. Tiene como argumento una
función vectorial y produce como resultado una función escalar.
∇⋅ E ⃗
Divergencia
Y se puede definir utilizando el concepto de flujo, de esta manera:
∇⋅ E ⃗ =limτ →0∫ s E ⃗ ⋅\vectdaτ
La explicación de la anterior ecuación es:
En un determinado punto, la función divergencia de E , es igual al límite del flujo que
atraviesa a la superficie S de adentro hacia afuera, dividido por el volumen encerradopor la superficie y que contiene al punto tiende a cero.
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La divergencia de un campo vectorial mide la diferencia entre el flujo entrante y el flujo
saliente de un campo vectorial sobre la superficie que rodea un volumen.
La divergencia en un punto se puede clasificar en:
DIVERGENCIA POSITIVA: Cuando los vectores salen del punto. DIVERGENCIA NEGATIVA: Cuando los vectores entran al punto.
DIVERGENCIA CERO: Cuando la cantidad de vectores que salen yentran al punto es la misma.
ROTACIONAL:El rotacional tiene como argumento una función vectorial yproduce como resultado otra función vectorial.
Vector rotacional
∇×\vect E
Utilizando el concepto de integral de línea, podemos definir a la
componente en la dirección û del rotacional,de esta manera:
[∇×\vect E ]u=limS u→ 0∮c\vect E ⋅\vectdlS u
La explicación de la anterior ecuación es:
En un determinado punto, la componente en la dirección û de la funciónrotacional de E, es igual al límite de la circuitación de E a lo largo del
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contorno cerrado C (C está en un plano perpendicular a û) dividido por el
área S_u (S_u es una superficie encerrada por el contorno C y que pasa
por el punto ), cuando S_u tiende a cero.
Un campo vectorial que posee un rotacional cero se dice que es un
campo vectorial con rotacional nulo (también, campo vectorial irrotacionalo conservativo). Un campo vectorial con divergencia cero se conoce
como campo vectorial con divergencia nula (o solenoidal).
Si por ejemplo, un campo vectorial F(r) puede escribirse como como el gradiene
de un campo escalar g(r), entonces F(r) es inevitablemente un campo vectorial
con rotacional nulo, como resultado de la identidad vectorial:
∇× [∇ g (r )]=0
En forma semejante, si el campo vectorial F(r) puede expresarse como el
rotacional de otro campo vectoria G(r), entonces es posible demostrar que F(r)
es un campo vectorial con divergencia nula gracias a la identidad vectorial:
∇ . [∇× G(r )]=0
Las definiciones de los campos vectoriales con rotacional y divergencia nulos no
son ni mutuamente excluyentes ni mutuamente inclusivas. Es posible que un
campo vectorial tenga, al mismo tiempo, rotacional nulo y divergencia nula (p.e.F(r)=2x). También es posible que un campo vectorial tenga, al mismo tiempo un
rotacional no nulo y una divergencia no nula (p.e. F(r)=yx + zz)
CAMPO
Es una región del espacio,o todo el espacio, el cual tiene asociado a cada uno de
sus puntos, propiedades físicas determinadas por funciones escalares y
vectoriales.
Por otro lado, Campo en física es la región en la que se ejerce sobre un
objeto una fuerza gravitatoria, magnética, electrostática o de otro tipo. Se
supone que estas regiones están recorridas por líneas de fuerza (líneas
de flujo) imaginarias, muy juntas, donde el campo es más intenso, y más
espaciadas, donde es más débil. A continuación se mostrara la gráfica de un campo eléctrico.
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Campo electrico
Para una mejor explicacion podemos ver el siguiente video.
El concepto de campo fue desarrollado por James Clerk Maxwell en su
teoría electromagnética.
o Campo: Asignación de un conjunto de números (usualmente 3) a cadapunto del espacio.
o Campo Gravitatorio: Campo de fuerzas que representa lainteracción gravitatoria.
o Campo Electrostático: Describe la influencia que una omás cargas ejercen sobre el espacio que les rodea.
o Campo Electromagnético: Campo físico, de tipo tensorial,que afecta a partículas con carga eléctrica.
o Campo Tensorial: Asignación de una aplicación multilineala cada punto de un dominio del espacio.
o Campo Espinorial: Tipo de campo físico que generaliza losconceptos de campos vectoriales y tensoriales.
o Campo Vectorial: Construcción del cálculo vectorial queasocia un vector a cada punto en el espacio euclídeo.
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TEOREMA FUNDAMENTAL DEL GRADIENTE
El teorema del gradiente establece que si existe una función escalar, y de ella obtenemos dos puntos y los unimos por
medio de una curva C, la integral de línea que describe el incremento entre dichos puntos es siempre el mismo. sin importar
la trayectoria que se escoja entre los puntos.
El teorema del gradiente aplica tanto para funciones F(x,y,z) como parafunciones F(x,y) y viene representado matemáticamente por la siguiente
expresión:
\int_{(L)}{\nabla{f}}.(ds)}=f(b)-f(a)
En donde
∇ f .(ds)
es el incremento infinitesimal. Además, cuando hacemos la integral
estamos sumando todos los incrementos de la función en todas las
direcciones.
A continuación se muestra una gráfica que ilustra mejor el concepto.
Ilustracion del teorema del gradiente
veamos un ejemplo.
sea:
t = xy2
En donde a=(0,0,0) y b=(2,1,0)Verificar que se cumple el teorema del gradiente
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En la grafica se muestra una linea recta que une los puntos a y b. y podemos observar en ella,
tres diferentes recorridos por los cuales se pueden unir los dos puntos.
comencemos por el camino I
sabemos que:
d ℓ=dxi+dyj+dzk
la variacion de x es entre cero y dos, mientras que Y y Z no tienen ningun cambio.
por lo tanto
d ℓ=dxi
por el camino II
d ℓ=dyjx=2
puesto que el incremento en z es cero y el valor de x es 2.
Podemos obtener entonces el gradiente de la funcion. y se tiene como resultado.
∇(t )= y2i+2 xyj+ok
reemplazando estos valores en el gradiente de la funcion se produce la expresion
∇(t )= y2+4 y
∇(t )dl =4 ydy
entonces como no hubo incremento en la direccion i tenemos que:
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Y por el camino III
X varia entre 0 y 2, Y varia entre 0 y 1, y Z=0
dl =dxi+dyj
∇(t )(ds)= y2dx+2 xydy
y al integrar nos queda como resultado:
=14 x2dx+ x22dx
=34 x2dx
entonces:
∫2034 x2dx=2
Referencias:
Serway Física. Editorial McGraw-Hill (1992)
Michael valero, Física Fundamental segunda edición [1982-1986]
http://es.wikipedia.org/wiki/Analisis_vectorial [ visitado: 15/10/09]
http://www.youtube.com/watch?v=FH2PU2wgx6M [video]
HAYT, William H., Buck, Teoria electromagnetica 7a edicion, Mc Graw Hill.
WANGSNESS Ronald k, Campos electromagneticos, editorial LIMUSA mexico.