Análisis Numérico Métodos directos para la resolución...

Algebra matricial Sistemas de ecuaciones lineales Factorizacion de matrices Pivoteo

Analisis Numerico

Metodos directos para la resolucion de sistemas lineales

CNM-425

Departamento de MatematicasFacultad de Ciencias Exactas y Naturales

Universidad de Antioquia

terminos de la licencia de documentacion libre GNU.

Contenido

1 Algebra de matrices

2 Sistemas de ecuaciones lineales

3 Factorizacion de matrices

4 Pivoteo

Notacion

Definicion 1.1

Escalares: numeros reales o complejos, los denotamos en minusculas:

a, b, c, x, y, z...

Matrices: arreglos rectangulares de escalares, las denotamos en negrilla:

A, B, C, X, Y, Z, u, v . . .

a11 a12 · · · a1j · · · a1n

a21 a22 · · · a2j · · · a2n

......

ai1 ai2 · · · aij · · · ain

......

am1 am2 · · · amj · · · amn

⇐⇒A = [aij ]m×n

i : fila

j : columna

Matrices en Octave

Ejemplo:

2 3 5 −31 0 3 7−2 4 6 0

5 =⇒ a11 = 2, a14 = −3, a34 = 0, etc.

En Octave:

octave:#> A = [2 3 5 -3; 1 0 3 7; -2 4 6 0]A =

2 3 5 -31 0 3 7-2 4 6 0

octave:#> A(1,1)ans = 2

octave:#> A(1,4)ans = -3

octave:#> A(3,1)ans = -2

octave:#> A(2,1)-A(1,3)*A(2,4)ans = -34

Notacion

Definicion 1.2

vector columna: matrices que consisten de una sola columna

vector fila: matrices que consisten de una sola fila

vector: vector columna

octave:#> x = [8 6 -4 7]x =

8 6 -4 7

octave:#> y = [1; 6; 8]y =

octave:#> x(1,3)ans = -4

octave:#> x(3)ans = -4

octave:#> x(3,1)error: invalid row index = 3

octave:#> y(2,1)ans = 6

octave:#> y(2)ans = 6

Definicion 1.3 (Igualdad de matrices)

Dos matrices A = [aij ]m×ny B = [bij ]p×q

son iguales si tienen el mismonumero de filas (m = p) y columnas (n = q), y ademas

aij = bij , para todo i, j

octave:#> xx =

8 6 -4 7

octave:#> yy =

octave:#> x == yerror: mx el eq: nonconformantarguments (op1 is 1x4, op2 is 3x1)

octave:#> z = [8 -6 4 7]z =

8 -6 4 7

octave:#> x == zans

1 0 0 1

octave:#> z(2)=6; z(3)=-4;

octave:#> zz =

8 6 -4 7

octave:#> x == zans

1 1 1 1

Comandos para manipulacion de arreglos

Comando Descripcion

inicio:incremento:final Crea vector fila con sus elementos igualmente espaciadoslinspace(inicio,final,n) Crea vector fila con n elementos igualmente espaciadoszeros(m,n) Crea matriz de puros ceros con m filas y n columnasones(m,n) Crea matriz de puros unos con m filas y n columnasrand(m,n) Crea matriz m×n con entradas aleatoriasmagic(n) Crea “cuadrado magico” n×n

eye(n) Crea la matriz identidad n×n

octave:#> a = 0:0.25:1a =

0.00000 0.25000 0.5000 0.75000 1.00000

octave:#> b = linspace(0,1,5)a =

0.00000 0.25000 0.5000 0.75000 1.00000

octave:#> c = zeros(3,2)c =

0 00 00 0

octave:#> u = ones(2,3)u =

1 1 11 1 1

Comandos para manipulacion de arreglos

Comando Descripcion

inicio:incremento:final Crea vector fila con sus elementos igualmente espaciadoslinspace(inicio,final,n) Crea vector fila con n elementos igualmente espaciadoszeros(m,n) Crea matriz de puros ceros con m filas y n columnasones(m,n) Crea matriz de puros unos con m filas y n columnasrand(m,n) Crea matriz m×n con entradas aleatoriasmagic(n) Crea “cuadrado magico” n×n

eye(n) Crea la matriz identidad n×n

octave:#> r = rand(2,3)r =

0.75845 0.54151 0.336710.33042 0.11906 0.31983

octave:#> m = magic(3)m =

8 1 63 5 74 9 2

octave:#> unos = ones(3)unos =

1 1 11 1 11 1 1

octave:#> id = eye(3)id =

1 0 00 1 00 0 1

Funciones sobre arreglos

Funcion Descripcion

length(x) Retorna el numero de elementos de un vector x

[m.n] = size(X) Retorna el numero de filas y columnas de una matriz X

reshape(X,m,n) Retorna una matriz m×n con elementos tomados de X

max(x) Retorna el mayor elemento de un vector x

max(X) Retorna vector fila con los elementos mayores de cada columna de X

min(x) Retorna el menor elemento de un vector x

min(X) Retorna vector fila con los elementos menores de cada columna de X

octave:#> t = 1:6u =

1 2 3 4 5 6

octave:#> length(t)ans = 6

octave:#> uu =

1 1 11 1 1

octave:#> [m,n] = size(u)m = 2n = 3

octave:#> Q = reshape(t,2,3)Q =

1 3 52 4 6

octave:#> max(Q)ans =

octave:#> max(max(Q))ans = 6

octave:#> min(min(Q))ans = 1

Notacion

a11 a12 · · · a1j · · · a1n

a21 a22 · · · a2j · · · a2n

......

ai1 ai2 · · · aij · · · ain

......

am1 am2 · · · amj · · · amn

⇐⇒ A = [aij ]m×n

Fila i-esima de A:

Ai∗ =ˆ

ai1 ai2 · · · ain

octave:#> A(i,:)

Columna j-esima de A:

A∗j =

...anj

octave:#> A(:,j)

Comandos para extraer elementos de un arreglo

Comando Descripcion

A(i,:) Fila i-esima de A

A(:,j) Columna j-esima de A

A(:) Retorna una columna con todos los elementos de A

A(j:k) Retorna A(j), A(j+1), . . . , A(k)A(:,j:k) Retorna A(:,j), A(:,j+1), . . . , A(:,k)A(i,[1:i-1,i+1:n]) Retorna la fila i-esima sin el elemento A(i,i)

octave:#> AA =

2 3 5 -31 0 3 7-2 4 6 0

octave:#> A(1,:)ans =

2 3 5 -3

octave:#> A(:,2)ans =

octave:#> A(:)ans =

21-2304536-370

octave:#> A(3)ans = -2

Comandos para extraer elementos de un arreglo

Comando Descripcion

A(i,:) Fila i-esima de A

A(:,j) Columna j-esima de A

A(:) Retorna una columna con todos los elementos de A

A(j:k) Retorna A(j), A(j+1), . . . , A(k)A(:,j:k) Retorna A(:,j), A(:,j+1), . . . , A(:,k)A(i,[1:i-1,i+1:n]) Retorna la fila i-esima sin el elemento A(i,i)

octave:#> AA =

2 3 5 -31 0 3 7-2 4 6 0

octave:#> A(:,2:4)ans =

3 5 -30 3 74 6 0

octave:#> A(1:2,:)ans =

2 3 5 -31 0 3 7

octave:#> A(2,[1:1,3:4])ans =

octave:#> A([1:1,3:3],3)ans =

octave:#> A(2:3,1:2)ans =

1 0-2 4

Algebra de matrices

Definicion 1.4 (Suma de matrices)

Si A y B son matrices m× n, la suma de A y B es la matriz m× n que seobtiene al sumar las entradas correspondientes de cada matriz, i.e.,

A + B = [aij + bij ]

octave:#> X = [1 0 -1; 2 -3 5]X =

1 0 -12 -3 5

octave:#> Y = [-2 3 1; 2 4 -5]Y =

-2 3 12 4 -5

octave:#> X+Yans =

-1 3 04 1 0

octave:#> AA =

2 3 5 -31 0 3 7-2 4 6 0

octave:#> A+Xans =

error: operator +: nonconformantarguments (op1 is 3x4, op2 is 2x3)error: evaluating binary operator ‘+’near line 41, column 2

Algebra de matrices

Definicion 1.5 (Multiplicacion por escalar)

Si A es una matriz m× n y α un esclar, el producto de α por A es lamatriz m× n que se obtiene al multiplicar cada entrada de A por α, i.e.,

αA = [αaij ]

octave:#> XX =

1 0 -12 -3 5

octave:#> YY =

-2 3 12 4 -5

octave:#> X-Yans =

3 -3 -20 -7 10

octave:#> 2*Xans =

2 0 -24 -6 10

octave:#> -3*YY =

6 -9 -3-6 -12 15

octave:#> 2*X-3*Yans =

8 -9 -5-2 -18 25

Algebra de matrices

Definicion 1.6 (Transpuesta de una matriz)

Si A es una matriz m× n, su transpuesta, denotada por AT es la matrizn×m que se obtiene al intercambiar filas por columnas en A, i.e.,

A = [aij ] =⇒ AT = [aji]

octave:#> M = [1 2; 3 4; 5 6]M =

1 23 45 6

octave:#> M’ans =

1 3 52 4 6

octave:#> N = [1; 3; 0; 5]N =

octave:#> transpose(N)ans =

1 3 0 5

Algebra de matrices

Definicion 1.7 (Definicion de matriz adjunta)

Para una matriz A = [aij ], su conjugada esta definida por A = [ aij ]. Lamatriz transpuesta de A, denotada por A∗, es la transpuesta de laconjugada, i.e.,

A∗ = A

1− 4i i 23 2 + i 0

–∗

1 + 4i 3−i 2− i

octave:#> P = [1-4i i 2; 3 2+i 0]P =

1 - 4i 0 + 1i 2 + 0i3 + 0i 2 + 1i 0 + 0i

octave:#> ctranspose(P)P =

1 + 4i 3 - 0i0 - 1i 2 - 1i2 - 0i 0 - 0i

Definiciones

Definicion 1.8 (Propiedades de la transpuesta)

Si A y B son matrices del mismo tamano y α es un escalar, entonces

(A + B)T = AT + B

T y (A + B)∗ = A∗ + B

(αA)T = αAT y (αA)∗ = αA

Observaciones

Para escalares reales los conceptos de transpuesta y adjunta son losmismos

A∗ = A

Algunas veces la transposicion no cambia nada. Por ejemplo, si

1 2 32 4 53 5 6

A , entonces AT = A.

Definiciones

Matriz diagional

λ11 0 · · · 00 λ22 · · · 0...

.... . .

...0 0 · · · λnn

octave:#> D = diag ([1, 2, 3])D =

1 0 00 2 00 0 3

Matrices diagonales son simetricas:

D = DT octave:#> D’

1 0 00 2 00 0 3

Algebra de matrices

Definicion 1.9 (Simetrıas)

Sea A = [aij ] una matriz cuadrada.

A es una matriz simetrica si AT = A

A es una matriz anti-simetrica si AT = −A

A es una matriz hermitiana si A∗ = A

A es una matriz anti-hermitiana si A∗ = −A

octave:#> A = [1 2+4i 1-3i; 2-4i 3 8+6i; 1+3i 8-6i 5]A =

1 + 0i 2 + 4i 1 - 3i2 - 4i 3 + 0i 8 + 6i1 + 3i 8 - 6i 5 + 0i

octave:#> B = [1 2+4i 1-3i; 2+4i 3 8+6i; 1-3i 8+6i 5]B =

1 + 0i 2 + 4i 1 - 3i2 + 4i 3 + 0i 8 + 6i1 - 3i 8 + 6i 5 + 0i

octave:#> transpose(A)- A

0 + 0i 0 + 8i 0 - 6i0 - 8i 0 + 0i 0 + 12i

0 + 6i 0 - 12i 0 + 0i

octave:#> ctranspose(A)- Aans =

0 - 0i 0 + 0i 0 + 0i

0 + 0i 0 - 0i 0 + 0i0 + 0i 0 + 0i 0 - 0i

octave:#> transpose(B)- Bans =

0 0 00 0 0

octave:#> ctranspose(B)- B

0 + 0i 0 - 8i 0 + 6i0 - 8i 0 - 0i 0 - 12i

0 + 6i 0 - 12i 0 - 0i

Producto de matrices

Definicion 1.10 (Producto interno)

x1 . . . xn

entonces el producto interno de x por y esta dado por

xy := x1y1 + x2y2 + · · ·+ xnyn =nX

Observaciones

x debe ser 1× n e y debe ser n× 1 y el resultado es un escalar:

x1×n yn×1 = [ · ]1×1 = escalar

Ejemplo:

2 4 −2˜

5 = (2)(1) + (4)(2) + (−2)(3) = 4

Definicion 1.11 (Producto de matrices)

SiA = [aij ]m×p

y B = [aij ]p×n,

entonces el producto de A por B es una matriz

C = [cij ]m×n

cuya entrada cij viene dada por el producto interno de la i-esima fila deA con la j-esima columna de B, i.e.,

cij =ˆ

ai1 ai2 . . . aip

...bpj

aikbkj .

Observaciones

El numero de columnas de A debe coincidir con el numero de filas de B:

Am×p Bp×n = Cm×n

Operacion Matriz Elemento a elemento

Multiplicacion ∗ .∗Potencia ∧ .∧

octave:#> x = [2 4 -2];octave:#> y = [1; 2; 3];

octave:#> x*yans = 4

octave:#> S = y*xS =

2 4 -24 8 -46 12 -6

octave:#> T = [1 2 3; 3 4 5]T =

1 2 34 5 6

octave:#> S*Tans =

28 56 -2852 104 -52

octave:#> T*S

error: operator *: nonconformant arguments

(op1 is 3x3, op2 is 2x3)error: evaluating binary operator ‘*’ near

line 111, column 2

octave:#> x.*xans =

4 16 4

octave:#> x.∧2ans =

4 16 4

Proposicion 1.1 (Propiedades de la suma y producto)

Si A, B y C tienen las dimensiones adecuadas,

A + B = B + A

A(B + C) = AB + AC

A(BC) = (AB)C

IA = AI = A

λ(AB) = (λA)B = A(λB)

Observacion

Si A, B y C son matrices n× n,

AB 6= BA

AB = AC ; B = C

Inversa de una matriz

Equivalencia entre sistemas lineales y matrices:

x1 − 4x2 = 33x1 + 7x2 = 1

⇐⇒

1 −43 7

– »

Para un sistema m× n:

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2

......

...an1x1 + an2x2 + · · · + annxn = bn

⇐⇒ Ax = b

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

......

. . ....

an1 an2 · · · ann

Definicion 1.12 (Inversa de una matriz)

An×n es una matriz no singular si existe una matriz Bn×n tal que

AB = BA = I (1)

Observaciones

Si A es no singular, la matriz B que satisface (1) es unica

A la matriz B se le denomina inversa de A

A la inversa de A se le denota por A−1

Ejemplo

1 21 3

=⇒ A−1 =

3 −2−1 1

porque

AA−1 =

1 21 3

– »

3 −2−1 1

1 00 1

Proposicion 1.2 (Propiedades)

Sea A una matriz no singular n× n. Entonces:

A−1 es no singular y su inversa satisface

A−1´−1

Si B es una matriz n× n no singular, AB es no singular y

(AB)−1 = B−1

Sistemas de ecuaciones

Problema: calcular (si es posible) una solucion del sistema de m

ecuaciones lineales algebraicas y n incognitas

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxm = b1

a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxm = b2

......

...am1x1 + am2x2 + · · · + amnxm = bm

Tres posibilidades:

Solucion unica: existe uno y solo un conjunto de valores

x1 , x2 , . . . , xn

que satisfacen (2)

No existe solucion: no existe un conjunto de x′is que satisfagan

simultaneamente las ecuaciones de (2)

Infinitas soluciones: existen infinitos conjuntos de x′is que satisfacen

simultaneamente las ecuaciones de (2)

Ecuacion i-esima del sistema (2)

Ei : ai1x1 + ai2x2 + · · ·+ ainxm = bi (3)

El sistema (2) se puede escribir como

Dos sistemas

y S′ =

...E′

son equivalentes si tienen las mismas soluciones

Proposicion 2.1 (Operaciones elementales)

Dado un sistema lineal S, las siguientes operaciones elementalestransforman a S en un sistema equivalente S′:

1 Intercambiar la ecuacion i-esima por la ecuacion j-esima:

Ei ←→ Ej

2 Reemplazar la ecuacion i-esima por un multiplo no nulo de si misma:

λEi −→ Ei , λ 6= 0

3 Reemplazar la ecuacion i-esima por una combinacion de si misma y unmultiplo no nulo de la ecuacion j-esima:

Ei + λEj −→ Ei , λ 6= 0

Eliminacion Gaussiana

Ejemplo 2.1

Emplee operaciones elementales para resolver el sistema lineal

2x1 + x2 + x3 = 16x1 + 2x2 + x3 = −1−2x1 + 2x2 + x3 = 7

Solucion

2x1 + x2 + x3 = 16x1 + 2x2 + x3 = −1

−2x1 + 2x2 + x3 = 7

E2 − 3E1 −→ E2

−→

2x1 + x2 + x3 = 1− 2x2 + x3 = −1

−2x1 + 2x2 + x3 = 7

E3 + E1 −→ E3

−→

2x1 + x2 + x3 = 1−1 x2 − 2x3 = −4

3x2 + 2x3 = 8

3E2 + E3 −→ E3

−→

2x1 + x2 + x3 = 1−1 x2 − 2x3 = −4

− 4x3 = −4

El sistema (16) es equivalente al sistema

2x1 + x2 + x3 = 1x2 − 2x3 = −4

− 4x3 = −4(5)

El sistema (5) es triangular y se resuelve por sustitucion hacia atras:

x3 = 1

x2 = 4− 2x3 = 4− 2(1) = 2

2(1− x2 − x3) =

2(1− 2− 1) = −1

Procedimiento desarrollado: eliminacion Gaussiana

Numero de operaciones realizadas para un sistema n× n:

3+ n2 − n

3multiplicaciones/divisiones

2− 5n

6sumas/restas

Representacion matricial

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1

a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2

......

...an1x1 + an2x2 + · · · + annxn = bn

⇐⇒ Ax = b

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

......

. . ....

an1 an2 · · · ann

Matriz aumentada del sistema

[A|b] =

a11 a12 · · · a1n b1

a21 a22 · · · a2n b2

......

. . .... b3

an1 an2 · · · ann b4

Algoritmo Eliminacion Gaussiana

Fase de eliminacion

a11 a12 · · · a1n b1a21 a22 · · · a2n b2...

.... . .

......

an1 an2 · · · ann bn

| {z }

aij − λakj −→ aij

bi − λbk −→ bi

−→j = k, k + 1, . . . , n

a′11 a′

12 · · · a′1n b′1

0 a′22 · · · a′

2n b′2...

.... . .

......

0 0 · · · a′nn b′n

| {z }

[A′|b′]

for j = 1:n-1

for i = j+1:n

if A(i,j) != 0 % para evitar dividir por 0

lambda = A(i,j)/A(j,j);

A(i,j+1:n) = A(i,j+1:n) - lambda*A(j,j+1:n);

b(i)= b(i) - lambda*b(j);

Algoritmo Eliminacion Gaussiana

Fase de sustitucion hacia atras:

a′11 a′

12 · · · a′1n b′1

0 a′22 · · · a′

2n b′2...

.... . .

......

0 0 · · · a′nn b′n

a′nx′

n = b′n =⇒ x′n =

a′nn

a′iix

′i + a′

i,i+1x′i+1 + · · ·+ a′

inx′n = b′i =⇒ x

′i =

b′i −

a′ijx

a′ii

for = n:-1:1

x(i) = (b(i) - A(i,i+1:n)*x(i+1:n))/A(i,i);

gauss.m

function x = gauss(A,b)

% Resuelve sistema A*x=b por eliminacion Gaussiana

n = length(b);x = zeros(n,1);

for j = 1:n-1 % fase de eliminacion

for i = j+1:n

if A(i,j) != 0

lambda = A(i,j)/A(j,j);

A(i,j+1:n) = A(i,j+1:n) - lambda*A(j,j+1:n);

b(i)= b(i) - lambda*b(j);

for i = n:-1:1 % fase sustitution hacia atras

x(i) = (b(i) - A(i,i+1:n)*x(i+1:n))/A(i,i);

octave:#> A = [2 1 1; 6 2 1; -2 2 1];

octave:#> b = [1; -1; 7]

octave:#> gauss(A,b)ans =

Ejemplo 2.2 (Infinitas soluciones)

Utilice eliminacion Gaussiana para resolver el sistema

x + y + 4 = 42x + 2y + z = 6x + y + 2z = 6

Solucion

1 1 1 42 2 1 61 1 2 6

E2 − 2E1 −→ E2

−→

1 1 1 40 0 −1 −20 0 1 2

=⇒x + y + z = 4

−z = −2z = 2

Solucion = {(x, 2 − x, 2)|x ∈ R}

octave:#> A = [2 1 1; 6 2 1; -2 2 1];A =

2 1 16 2 1

-2 2 1

octave:#> b = [4; 6; 6]b =

octave:#> gauss(A1,b1)

Ejemplo 2.3 (Sin solucion)

Utilice eliminacion Gaussiana para resolver el sistema

x + y + 4 = 42x + 2y + z = 4x + y + 2z = 6

Solucion

1 1 1 42 2 1 41 1 2 6

E3 − E1 −→ E3

−→

1 1 1 40 0 −1 −40 0 1 2

=⇒x + y + z = 4

−z = −4z = 2

Solucion = ∅

octave:#> b2 = [4; 4; 6]

octave:#> gauss(A1,b2)ans =

Eliminacion de Gauss-Jordan

Variacion del metodo de eliminacion Gaussiana

En cada paso, el elemento pivote es forzado a ser 1

En cada paso, los terminos por encima y por debajo del pivote son eliminados

La solucion (en caso de existir) aparece en la ultima columna

a11 a12 · · · a1n b1a21 a22 · · · a2n b2...

.. . .

an1 an2 · · · ann bn

| {z }

Operacioneselementales

−→

1 0 · · · 0 s1

0 1 · · · 0 s2

. . ....

.0 0 · · · 1 sn

| {z }

Eliminacion de Gauss-Jordan

Ejemplo 2.4

Utilice el metodo de Gauss-Jordan para resolver el sistema lineal

2x1 + 2x2 + 6x3 = 42x1 + x2 + 7x3 = 6−2x1 − 6x2 − 7x3 = −1

Solucion

2 2 6 42 1 7 6

−2 −6 −7 −1

E1 −→ E1−→

1 1 3 22 1 7 6

−2 −6 −7 −1

E2 − 2E1 −→ E2E3 + 2E1 −→ E3

−→

1 1 3 20 −1 1 20 −4 −1 3

−E2 −→ E2−→

1 1 3 20 1 −1 −20 −4 −1 3

E1 − E2 −→ E1E3 + 4E2 −→ E3

−→

1 0 4 40 1 −1 −20 0 −5 −5

E3 −→ E3−→

1 0 4 40 1 −1 −20 0 1 1

E1 − 4E3 −→ E1E2 + E3 −→ E2

−→

1 0 0 00 1 0 −10 0 1 1

5 =⇒

Sistema lineal n× n:

a11x1 + a12x2 + · · · + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn = b2

......

...an1x1 + an2x2 + · · · + annxn = bn

⇐⇒ Ax = b

Si A es no singular,

Ax = b =⇒ A−1 (Ax) = A−1b

=⇒`A−1A

´x = A−1b

=⇒ x = A−1b

octave:#> A\b

Retomando el ejemplo anterior:

x1 + 2x2 = 2x1 + 3x2 = −1

⇐⇒ Ax = b

= A−1b

»3 −2−1 1

– »2−1

»8−3

octave:#> A2 = [1 2; 1 3];

octave:#> b3 = [2 -1];

octave:#> gauss(A2,b3)

Sea A una matriz no singular n× n. Entonces:

A−1 es no singular y su inversa satisface

A−1´−1

Si B es una matriz n× n no singular, AB es no singular y

(AB)−1 = B−1

¿Como distinguir las matrices no singulares de las singulares?

Proposicion 2.3 (Existencia de la inversa)

Sea A una matriz n× n. Los siguientes enunciados son equivalentes:

A−1 es no singular (su inversa existe)

AGauss−Jordan

−−−−−−−−−>I

Ax = 0 =⇒ x = 0

Proposicion 2.4 (Filas y columnas de un producto)

Suponga A una matriz m× p y B una matriz p× n.

[AB]i∗ = [A]

[AB]∗j = A[B]∗j

[AB]i∗ = ai1[B]1∗ + ai2[B]2∗ + · · ·+ aip[B]p∗

[AB]∗j = [A]∗1b1j + [A]∗2b2j + · · ·+ [A]∗pbpj

Ejemplo

1 −2 03 −4 5

3 −5 12 −7 21 −2 0

−1 9 −36 3 −5

[AB]2∗ = [A]2∗B =ˆ

3 −4 5˜

3 −5 12 −7 21 −2 0

6 3 −5˜

[AB]∗j= A[B]∗j

1 −2 03 −4 5

−5−7−2

Ecuaciones con matrices

Proposicion 2.5 (Ecuaciones con matrices)

Si A una matriz n× n no singular, entonces la ecuacion

An×n Xn×p = Bn×p (7)

tiene solucion unica y esta dada por

X = A−1

Observaciones

Resolver la ecuacion matricial (7) es equivalente a resolver los p

sistemas lineales

Ax = B1∗ , Ax = B2∗ , . . . , Ax = Bp∗ (9)

Si X∗j es la solucion del sistema j-esimo en (9),

X = [X∗1|X∗2| · · · |X∗p]

Ecuaciones con matrices

Algoritmo para hallar la inversa

Hallar A−1 ⇐⇒ Resolver AX = I ⇐⇒ Resolver AX = I∗i

para j = 1, . . . , n.

Para el sistema j-esimo aplicamos Gauss-Jordan2

a11 a12 · · · a1n 0a21 a22 · · · a2n 1...

.... . .

......

an1 an2 · · · ann 0

| {z }

[A|I∗j ]

operacioneselementales−→

1 0 · · · 0 x1j

0 1 · · · 0 x2j

......

. . ....

...0 0 · · · 1 xnj

| {z }

[I|X∗j ]

Aplicando Gauss-Jordan simultaneamente a los n sistemas:

a11 a12 · · · a1n 1 0 . . . 0a21 a22 · · · a2n 0 1 . . . 0...

... . .

... . . 0

an1 an2 · · · ann 0 0 . . . 1

| {z }

GaussJordan−→

1 0 · · · 0 x11 x12 . . . x1n

0 1 · · · 0 x21 x22 . . . x2n

. . ....

0 0 · · · 1 xn1 xn2 . . . xnn

| {z }

[I|A−1]

Proposicion 2.6 (Computo de la inversa)

Dado A una matriz n× n, el metodo de eliminacion de Gauss-Jordan puedeser utilizado para hallar la inversa de A en caso de existir:

[A|I]Gauss-Jordan

−→ˆ

I|A−1˜

Observaciones

El algoritmo (10) falla cuando en lugar de la identidad I se obtiene unamatriz con una fila de ceros (A es singular)

Debido a la cantidad de calculos involucrados, el algoritmo (10) notiene aplicaciones practicas (sino teoricas):

n3 productos/divisiones n3 − 2n2 + n sumas/restas

Resolver el sistema Ax = b, calculando primero A−1 y luego A−1b

requiere

n3 + n2 productos/divisiones n3 − n2 sumas/restas

Eliminacion Gaussiana con sustitucion hacia atras requiere alrededor

3productos/divisiones y n3

3sumas/restas

Determinantes

Definicion 2.1 (Ecuaciones con matrices)

Si A = [a], entonces detA = a

Si A es n× n, el menor Mij asociado a A es el determinante de lasubmatriz (n− 1)× (n− 1) que se obtiene al subprimir la fila i-esima yla columna j-esima de A

El cofactor Aij se define como

Aij = (−1)i+jaijMij

Si A es n× n con n > 1, su determinante esta dado por

detA =nX

aijAij =nX

(−1)i+jaijMij (11)

o tambien por

detA =nX

aijAij =nX

(−1)i+jaijMij (12)

Ejemplo 2.5

Calcule el determinante de

2 −1 3 04 −2 7 0−3 −4 1 5

6 −6 8 0

Solucion

detA = −0M14 + 0M24 − 5M34 + 0M44

= −5M34

= −5 det

2 −1 34 −2 76 −6 8

= −5

−2 7−6 8

− (−1) det

4 76 8

+ 3det

4 −26 −6

= −30

Propiedades

Proposicion 2.7 (Efectos de las operaciones elementales)

Sea B la matriz que se obtiene de A por medio de alguna de las operacioneselementales:

Tipo I: Ei ←→ Ej

Tipo II: αEi −→ Ei, α 6= 0

Tipo III: λEi + Ej −→ Ej

Entonces:

detB = −detA si B se obtuvo de operaciones del tipo I

detB = α detA si B se obtuvo de operaciones del tipo II

detB = detA si B se obtuvo de operaciones del tipo III

Propiedades

Proposicion 2.8 (Otras propiedades)

Sean A y B matrices n× n

detAt = detA

det(AB) = detAdetB

Si A es no singular, det`

A−1´

= (detA)−1

Si A = [aij ] es triangular (superior o inferior) o diagonal, entonces

detA =nY

Relacion entre no singularidad y determinantes

Sea A una matriz n× n. Los siguientes enunciados son equivalentes:

La matriz A es no singular

detA = 0

La ecuacion Ax = 0 tiene solucion unica x = 0

El sistema Ax = b tiene solucion unica para todo vector b

Eliminacion Gaussiana con intercambio de filas puede realizarse en elsistema Ax = b para todo vector b

Factorizacion de matrices

Descomposicion de una matriz como producto de matrices en alguna“forma canonica”

La factorizacion permite expresar una matriz como producto dematrices mas “sencillas”

Segun las aplicaciones se tiene:

Factorizacion LU

Factorizacion de Cholesky

Factorizacion QR

Metodo Forma inicial Forma final

Eliminacion Gaussiana Ax = b Ux = b

Eliminacion Gauss-Jordan Ax = b Ix = b

Factorizacion LU Ax = b LUx = b

Factorizacion LU

Se busca descomponer una matriz An×n como

A = LU

u11 u12 · · · u1n

0 u22 · · · u2n

. . ....

0 0 · · · unn

l11 0 · · · 0l21 l22 · · · 0

. . ....

ln1 ln2 · · · lnn

Matrices triangulares simplifican los computos:

Lx = b ⇐⇒

l11 0 · · · 0 b1l21 l22 · · · 0 b2

. . ....

.ln1 ln2 · · · lnn bn

l11x1 = b1l11x1 + l22x2 = b2

. =...

l11x1 + l22x2 + · · · + lnnxn = bn

“Sustitucion hacia adelante”

Factorizacion LU

Se busca descomponer una matriz An×n como

A = LU

u11 u12 · · · u1n

0 u22 · · · u2n

. . ....

0 0 · · · unn

l11 0 · · · 0l21 l22 · · · 0

. . ....

ln1 ln2 · · · lnn

Matrices triangulares simplifican los computos:

Lx = b ⇐⇒

l11 0 · · · 0 b1l21 l22 · · · 0 b2

. . ....

.ln1 ln2 · · · lnn bn

l11x1 = b1l11x1 + l22x2 = b2

. =...

l11x1 + l22x2 + · · · + lnnxn = bn

“Sustitucion hacia adelante”

Proposicion 3.1 (Matrices elementales)

Una matriz elemental n× n es una matriz que surge cuando operacioneselementales se le aplican las filas (columnas) de la matriz idendidad n× n:

Ejemplo

E1 ←→ E2:2

1 0 00 0 10 1 0

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

a11 a12 a13

a31 a32 a33

a21 a22 a23

Ejemplo

E1 ←→ E2:2

1 0 00 0 10 1 0

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

a11 a12 a13

a31 a32 a33

a21 a22 a23

λE2 −→ E2:2

1 0 00 λ 00 0 1

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

a11 a12 a13

λa21 λa22 λa23

a31 a32 a33

Ejemplo

E1 ←→ E2:2

1 0 00 0 10 1 0

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

a11 a12 a13

a31 a32 a33

a21 a22 a23

λE2 −→ E2:2

1 0 00 λ 00 0 1

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

a11 a12 a13

λa21 λa22 λa23

a31 a32 a33

λE2 + E3 −→ E3:

1 0 00 1 00 λ 1

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

a11 a12 a13

a21 a22 a23

λa21 + a31 λa22 + a32 λa23 + a33

Ejemplo

E1 ←→ E2:2

1 0 00 0 10 1 0

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

a11 a12 a13

a31 a32 a33

a21 a22 a23

λE2 −→ E2:2

1 0 00 λ 00 0 1

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

a11 a12 a13

λa21 λa22 λa23

a31 a32 a33

λE2 + E3 −→ E3:

1 0 00 1 00 λ 1

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

a11 a12 a13

a21 a22 a23

λa21 + a31 λa22 + a32 λa23 + a33

Matrices elementales

El algoritmo para determinar la inversa se puede enunciar en terminosde matrices elementales

[A|I]Gauss-Jordan

−→ˆ

I|A−1˜

Si E1,E2, . . . ,Em son las matrices elementales asociadas a lasoperaciones elementales involucradas en (15), entonces

EmEm−1 · · ·E2E1A = I =⇒ A−1 = EmEm−1 · · ·E2E1 (14)

Proposicion 3.2 (Producto de matrices elementales)

An×n una matriz no singular si, y solo si, A se puede expresar como elproducto de matrices elementales

Demostracion

Por (1),

A = (EmEm−1 · · ·E2E1)−1 = E1

−1E2

−1 · · ·Em−1

Matrices elementales

El algoritmo para determinar la inversa se puede enunciar en terminosde matrices elementales

[A|I]Gauss-Jordan

−→ˆ

I|A−1˜

EmEm−1 · · ·E2E1A = I =⇒ A−1 = EmEm−1 · · ·E2E1 (14)

Proposicion 3.2 (Producto de matrices elementales)

An×n una matriz no singular si, y solo si, A se puede expresar como elproducto de matrices elementales

Demostracion

Por (1),

A = (EmEm−1 · · ·E2E1)−1 = E1

−1E2

−1 · · ·Em−1

Factorizacion LU

Metodo de eliminacion Gaussiana para Ax = b:

[A|b]operacioneselementales−→

U|b′˜ (15)

donde U es triangular superior

EmEm−1 · · ·E2E1A = U =⇒ A = E1−1

E2−1 · · ·Em

−1U = LU

Factorizacion LU

U|b′˜ (15)

EmEm−1 · · ·E2E1A = U =⇒ A = E1−1

E2−1 · · ·Em

−1U = LU

Ejemplo

2 2 24 7 76 18 22

−2E1+E2→E2−→

2 2 20 3 36 18 22

−3E1+E3→E3−→

2 2 20 3 30 12 16

−4E2+E3→E2−→

2 2 20 3 30 0 4

Factorizacion LU

U|b′˜ (15)

EmEm−1 · · ·E2E1A = U =⇒ A = E1−1

E2−1 · · ·Em

−1U = LU

Ejemplo

2 2 24 7 76 18 22

−2E1+E2→E2−→

2 2 20 3 36 18 22

−3E1+E3→E3−→

2 2 20 3 30 12 16

−4E2+E3→E2−→

2 2 20 3 30 0 4

Factorizacion LU

En terminos de matrices elementales:

E3E2E1 =

1 0 00 1 00 −4 1

1 0 00 1 0−3 0 1

1 0 0−2 1 0

5 −4 1

A = E1−1

E2−1

E3−1

1 0 0−2 1 0

5 −4 1

2 2 20 3 30 0 4

5 = LU

Factorizacion LU

E3E2E1 =

1 0 00 1 00 −4 1

1 0 00 1 0−3 0 1

1 0 0−2 1 0

5 −4 1

A = E1−1

E2−1

E3−1

1 0 0−2 1 0

5 −4 1

2 2 20 3 30 0 4

5 = LU

Proposicion 3.3 (Factorizacion LU)

Si A es una matriz n× n tal que al aplicarle eliminacion Gaussiana noresulta un pivote cero, entonces A puede factorizarse como el productoA = LU donde:

1 L es una matriz triangular inferior y U es triangular superior

2 ℓii = 1 y uii 6= 0 para i = 1, . . . , n

3 Bajo la diagonal de L la entrada ℓij = 1 es el multiplo de la fila j-esimaque es restada de la fila i-esima con el fin de cancelar la entrada (i, j)

4 U es la matriz que se obtiene al aplicar eliminacion Gaussina

Factorizacion LU

E3E2E1 =

1 0 00 1 00 −4 1

1 0 00 1 0−3 0 1

1 0 0−2 1 0

5 −4 1

A = E1−1

E2−1

E3−1

1 0 0−2 1 0

5 −4 1

2 2 20 3 30 0 4

5 = LU

Proposicion 3.3 (Factorizacion LU)

Si A es una matriz n× n tal que al aplicarle eliminacion Gaussiana noresulta un pivote cero, entonces A puede factorizarse como el productoA = LU donde:

1 L es una matriz triangular inferior y U es triangular superior

2 ℓii = 1 y uii 6= 0 para i = 1, . . . , n

3 Bajo la diagonal de L la entrada ℓij = 1 es el multiplo de la fila j-esimaque es restada de la fila i-esima con el fin de cancelar la entrada (i, j)

4 U es la matriz que se obtiene al aplicar eliminacion Gaussina

Errores aritmeticos y de redondeo

Notacion punto flotante normalizada

Un numero en punto flotante con k dıgitos viene dado por

f = ±.d1d2 . . . dk × 10n, con d1 6= 0

y 0 ≤ di ≤ 9 para i = 1, . . . k.

Podemos aproximar un numero real x por una aproximacion en puntoflotante fl(x) por medio dos metodos:

Truncamiento: Si x = .d1d2 . . . dkdk+1dk+2 . . .× 10n, la aproximacionen punto flotante fl(x) viene dada por

fl(x) = .d1d2 . . . dk × 10n

Redondeo: Si x = ±.d1d2 . . . dkdk+1dk+2 . . .× 10n, la aproximacion enpunto flotante fl(x) viene dada por

fl(x) =

.d1d2 . . . dk × 10n si dk+1 < 5

.`d1d2 . . . dk + 10−k

´× 10n si dk+1 ≥ 5

Eliminacion Gaussiana y errores de redondeo

Ejemplo 4.1

Utilice aritmetica de redondeo a 3 dıgitos para resolver el sistema

−10−4x + y = 1x + y = 2

cuya solucion exacta viene dada por

1.0001y y =

1.0002

1.0001

Solucion

−10−4 1 11 1 2

104E1 + E2 −→ E2

−10−4 1 10 104 104

=⇒x = 0y = 1

Porque:

fl(104 + 1) = fl(0.10001 × 105) = 0.100 × 105 = 104

fl(104 + 2) = fl(0.10002 × 105) = 0.100 × 105 = 104

Pivoteo parcial

En el ejemplo anterior (4.1), multiplicar por 104 amplifico el error

Tecnica de pivoteo parcial:

⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆0 ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆0 0 a ⋆ ⋆ ⋆0 0 b ⋆ ⋆ ⋆0 0 c ⋆ ⋆ ⋆

Ejemplo (4.1) con pivoteo parcial:

−10−4 1 11 1 2

E1 ←→ E2

1 1 2−10−4 1 1

10−4E1 + E2 −→ E2

1 1 20 1 1

=⇒x = 1y = 1

Porque:

fl(104 + 1) = fl(0.10001 × 101) = 0.100 × 101 = 1fl(2× 104 + 1) = fl(0.10002 × 101) = 0.100 × 101 = 1

Referencias

R.L. Burden, J.D. Faires.Analisis numericoSeptima Edicion. Editorial Thomson. 2002.http://www.as.ysu.edu/∼faires/Numerical-Analysis/

J.W. EatonGNU Octave: A high-level interactive language for numericalcomputationsNetwork Theory Ltd., 2002http://www.network-theory.co.uk/octave/manual/

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