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7/21/2019 Analisis de Fuerzas y Balanceo
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ANALISIS DE FUERZAS Y BALANCEO
FREDY LEONARDO VERDUGO GONZALEZ
201010462
ING: EDGAR ABSALON TORRES
UNIVERSIDAD PEDAGOGICA Y TECNOLOGICA DE COLOMBIA
INGENIERIA ELECTROMECANICA
SECCIONAL DUITAMA
MECANISMOS II
2013
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El ejercicio consiste en realizar un anlisis dinmico de un mecanismo de cuatro barras,
posteriormente se balancea y nuevamente se analizan las fuerzas, con el fin de observar
el resultado de las fuerzas en las juntas y en los apoyos, para ello se realiza un anlisis
matemtico, una simulacin en geogebra, y se hace uso de Excel con el fin de observar
comportamiento, para comprobar el funcionamiento del modelo se hace el clculo para la
posicin puntual mostrada en la tabla 1
Eslabn 1 2 3 4
R [in] 10 6 19 16
M [blobs] - 0,006 0,15 0,07
Rg[in] 3 12 6
T [lb in] - - 0 30
Teta - -75 - -
W[rad/s] - 20 - -
Alfa[rad/s^2] - 0 - -
I[blobs-in^2] - 0.12 0.30 0.15Fp - - 2 20
deltafp - - 45 270Rp - - 15 16
ANALISIS MATEMATICO.
La figura 1 muestra el mecanismo en la posicin planteada, y el anlisis se hace en el
siguiente orden.
Figura1. Posicin dada del mecanismo.
1. Mediante triangulacin se desea determinar la posicin de los eslabones 3 y 4 en
funcin de teta 2, para ello se hace uso de la distancia d mostrada en la figura 2.
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De forma matemtica se tiene que:
Las ecuaciones 1, 2, 3, 4, 5, 6 representan la distancia d y la posicin de los ngulos
internos del mecanismo; estn de forma paramtrica con el fin de poder variar teta 2 paraobservar comportamientos, Siendo el angulo entre r1 y la recta d, angulo entre d yel eslabon 3, el angulo entre d y el eslabn 2, los ngulos teta 3 y 4 representan laposicin de los eslabones 3 y 4 respectivamente con respecto a la horizontal.
2. la ecuacin 7 hace referencia a la ecuacin de cierre sabiendo que teta 1 es 0 grados
en todo el movimiento del mecanismo.
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La ecuacin 8 hace referencia a la derivada de la posicin, es decir la ecuacin que
permite despejar velocidades angulares de los eslabones 3 y 4. El anlisis matemtico
arroja las siguientes expresiones para las velocidades.
Para el caso puntual
3. mediante derivacin de la ecuacin 7 se tienen las expresiones para la aceleracin
angular de los eslabones 3 y 4.asi se tiene que:
A partir de la ecuacin 11 y separando la parte real de la imaginaria se tienen las
expresiones para la aceleracin angular de 3 y 4; las cuales son:
=Ya para el caso puntual se tiene que el valor de y que se pueden observar en el anexo de Excel adjunto al documento.
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4. ya teniendo las aceleraciones angulares de los eslabones 3 y 4 se requiere saber la
aceleracin en los centros de gravedad cuando varia teta 2, esto se hace de la siguiente
manera:
Al separar la parte real de la imaginaria se tienen las componentes de la aceleracin del
centro de gravedad del eslabn 2, de la siguiente manera:
Y la magnitud de esta aceleracin es:
Los resultados se presentan en el anexo de Excel. A continuacin se tienen las
ecuaciones para el centro de gravedad del eslabn 3
Al separar la parte real de la imaginaria se tiene que:
Cuya magnitud es:
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Y por ltimo se tienen las ecuaciones para el centro de gravedad del eslabn 4
Separando parte real y parte imaginaria se tiene que:
Cuya magnitud es:
Los valores se encuentran en el anexo adjunto de Excel.
Una vez terminado el anlisis puntual se hizo el modelamiento en Excel que permite
establecer el siguiente comportamiento del mecanismo, todos los datos fueron obtenidos
a partir de las ecuaciones mencionadas durante el transcurso del documento. La grfica
1 muestra la velocidad angular de los eslabones 3 y 4, mientras que la grfica 2 muestra
la aceleracin angular de los mismos eslabones
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Figura 1. Velocidad angular de eslabones 3 y 4.
-40
-30
-20
-10
0
10
20
0 2 4 6 8w3
TETA 2 (radianes)
velocidad angular de 3
-40
-30
-20
-10
010
20
0 2 4 6 8w4
TETA 2 (radianes)
velocidad angular de 4
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
0 2 4 6 8
alfa3
teta 2 (radianes)
aceleracion angular de 3
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Figura 2. Aceleracin angular de los eslabones 3 y 4.
Es importante conocer el comportamiento de la aceleracin en los centros de gravedad,
por ende se hacen los clculos usando las ecuaciones anteriores y se presentan en latabla 1,
teta 2 ag2 mag ag3 mag ag4 mag
0 1200 22404,80279 13010,38466
60 1200 2995,502806 757,3376108
120 1200 2602,484291 683,442052
180 1200 2470,721765 534,9624448
240 1200 2714,293795 642,4295658
300 1200 6171,53624 2416,406772
360 1200 22405,42845 13010,64928285 1200 4545,502343 1519,853454
Tabla 1. Valores de aceleracin de los centros de gravedad
Una vez mostrados los valores de la aceleracin de los centros de gravedad se representan en la
grfica 3 que permite observar el comportamiento del mecanismo cuando se vara teta 2.
-1000
-500
0
500
1000
1500
2000
2500
0 2 4 6 8
alfa4
teta 2(radianes)
aceleracion angular de 4
-5000
0
5000
10000
15000
0 1 2 3 4 5 6 7
ag4
teta 2 ( radianes)
Aceleracion de G4
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Grafica3. Aceleraciones de los centro de gravedad
Ya teniendo las velocidades y aceleraciones en los eslabones se contina el anlisis con
el estudio de fuerzas en el mecanismo, para ello se realiza el anlisis de cada eslabn
por aparte, se tiene que:
ESLABON 2. Para la obtencin de las ecuaciones 15, 16, 17 se hace sumatorias de
fuerzas con respecto al eje x igual a masa por aceleracin en x, sumatorias con respecto
al eje y= a masa por aceleracin en y, y sumatorias de momentos igual al momento de
inercia por la aceleracin angular.
ESLABON 3.
ESLABON 4.
0
5000
10000
15000
20000
25000
0 1 2 3 4 5 6 7
ag3
teta 2 (radianes)
Aceleracion de G3
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Ya conociendo nuestra ecuaciones que permiten encontrar fuerzas del mecanismo se
modelan las ecuaciones en Excel (el Excel muestra el cambio de la posicin del
mecanismo, el documento de Excel presenta con claridad el posicionamiento de losvectores cuando se varia teta 2). De tal manera que para desarrollo de fuerzas de nuestro
anlisis se tiene un sistema de 9 x 9 que se presenta a continuacin:
Dnde:
[
]
[
]
Ya para la obtencin de resultados se remite al documento de Excel, donde se pueden
obtener los datos presentes en la tabla 2.
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Teta 2
F 285 0 60 120 180 240 300
f12x -363,041 -13328,78 -680,752 122,1179 289,9109 82,53562 -553,398
f12y 1509,65 -12310,84 -570,1484 235,856697 190,9706 706,3714 2258,302
f32x 357,950 13332,38 687,9523 -118,5180 -293,5110 -89,73562 549,7986
f32y -1512,43 12306,92 572,4668 244,4105 -182,416 -704,0531 -2262,219
f43x 468,4599 10584,15 354,0288 -6,005840 57,83435 207,1505 670,8933
f43y -783,309 10427,12 326,8025 -72,42230 -239,498 -370,4095 -1288,085
f14x 574,7736 9993,067 302,1182 -23,07674 80,90919 252,1023 838,7553
f14y -732,238 11167,02 384,6085 -70,06591 -221,943 -324,640 -1261,859
T12 280,1789 -73839,08 1850,960 114,1013 -1090,860 -1638,524 3935,022
Tabla 2. Datos de la solucin de la matriz de fuerzas para el giro competo del mecanismo.
La grafica 4 muestra el comportamiento de la fuerzas durante el giro del mecanismo,
-15000
-10000
-5000
0
5000
0 100 200 300 400
F12X
TETA 2
FUERZA F12X
-5000
0
5000
10000
15000
0 100 200 300 400
F12Y
TETA 2
FUERZA F12Y
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-2000
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
14000
16000
0 100 200 300 400
F32X
TETA 2
FUERZA F32X
-5000
0
5000
10000
15000
0 100 200 300 400
F32Y
TETA 2
FUERZA F32Y
-2000
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
0 100 200 300 400
F34X
TETA2
FUERZA F34X
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Figura 4. Fuerzas en las juntas, apoyos y momento torsor del mecanismo
Una vez terminado el anlisis de fuerzas se necesita hacer un balanceo del mecanismo,
para ello se hace uso del siguiente modelo matemtico:
Para el balanceo se utiliza el mtodo de lowen y berkof, para ello se hace uso de la
ecuacin 25.
Mediante ecuacin de cierre se tienen las ecuaciones para los vectores de posicin de los
centros de gravedad con respecto a o2, este anlisis se presenta en las ecuaciones 26,
27, 28; de la siguiente manera:
-4000
-2000
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
0 100 200 300 400
F34Y
TETA2
FUERZA F34Y
-80000
-60000
-40000
-20000
0
20000
0 100 200 300 400
T12
TETA2
MOMENTO TORSOR 12
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Las expresiones para los vectores de los centros de gravedad se remplazan en la
ecuacin 25, donde se tiene que:
() ( ) ( ) () ( ) () ()
A continuacin se hace la ecuacin de cierre de mecanismo con cierre en el punto B, esto
se representa en la ecuacin 7, y se despeja , de la siguiente manera:
Y se reemplaza en la ecuacin 29,
() ( ) ()
()Al final se tiene una expresin independiente de y se tiene que:
Esta expresin proporciona la herramienta para forzar que Rt sea constante y el centro de
masa estacionario, para que esto suceda se hace que los parntesis sea 0, es decir:
De las ecuaciones 29 y 30 se despejan las nuevas condiciones del mecanismo, es decir:
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Ya teniendo las expresiones del balanceo se expresan en componentes, donde se tiene
que:
Una vez teniendo las componentes que definen el la nueva configuracin de los
eslabones 2 y 4 se deja ya sea la masa o la posicin constante con el fin de hacer
nuevamente el anlisis de fuerzas, las siguientes expresiones son el resultadomatemtico para el balanceo.
-0,61579068 0,492267768
-0,75789152 --1,312714047
Ya para el balanceo del mecanismo se deja constante la distancia
y se halla la
nueva masa que requieren los eslabones 2 y 4 es decir, para ello se hace que:
Y se tiene que la masa del eslabn 2 es:
Para hallar el nuevo angulo de esa masa con respecto a la distancia entre el origen 2 y el
punto A se tiene que:
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Se procede de la misma manera para el eslabn 4 y se tiene que:
Con el cambio de las masas de los eslabones 2 y 4 existe un cambio en los momentos de
inercia de los mismos eslabones, este cambio se ve en la siguiente expresin matemtica:
Es decir que los nuevos momentos de inercia de los eslabones 2 y 4 son:
Eslabn 1
Eslabn 2
De esta manera tenemos que si cambiamos los datos de los valores que estn en el
documento de Excel se encuentran las fuerzas en las juntas y en los apoyos, lo cual se
presenta en la tabla 3.
TETA 2
0 60 120 180 240 285 300 360
f12x -23364,6 -548,8 297,86 181,4 -192,7 -594,8 -758,3 -23366,3
f12y -20224,8 -536,05 143,9 617,1 947,26 1849,9 2937,9 -20225,1
f32x 23521,9 863,24 -140,6 -338,6 -121,6 372,5 601,11 23523,52
f32y 20053,84 637,28 229,6 -243,5 -846,03 -1971,0 -3108,9 20054,14f43x 20773,6 529,31 -28,15 12,69 175,232 483,0 722,213 20775,07
f43y 18174 391,62 -87,224 -300,6 -512,386 -1241,9 -2134,85 18174,47
f14x 18641,5 342,06 -89,731 95,924 337,37 866,49 1327,71 18643,08
f14y 20790,8 547,9 -130,86 -289,4 -399,43 -1109,8 -2092,39 20791,46
T12 -120464 2270,68 -193,76 -1309 -1601,7 1118,2 6357,66 -120463,7
Tabla 3. Despus del balanceo
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El comportamiento de se presenta a continuacin:
-25000
-20000
-15000
-10000
-5000
0
5000
0 50 100 150 200 250 300 350 400
F12X
TETA2
F12X
-25000
-20000
-15000
-10000
-5000
0
5000
10000
0 50 100 150 200 250 300 350 400
F12Y
TETA 2
F12Y
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Las grficas despus del balanceo muestran un comportamiento similar al que se
presenta antes del balanceo, con la diferencia que despus del balanceo el valor de cada
fuerza y del momento 12 aumentan, esto puede ser debido al aumento de las masas de
los eslabones 2 y 4 y a su momento de inercia, que despus del balanceo tambinaumenta; debido q el momento de inercia se calcul multiplicando la masa nueva del
balanceo por el radio entre o2 y g2, no obstante se observa que no todos los valores de
las fuerzas aumentan, esto puede ser debido a que la consideracin de los momentos del
inercia se tom como la masa por el radio de giro al cuadrado, sin embargo se puede
observar en comportamiento similar.
-5000
0
5000
10000
15000
20000
0 50 100 150 200 250 300 350 400
F14X
TETA 2
F14X
-140000
-120000
-100000
-80000
-60000
-40000
-20000
0
20000
40000
0 50 100 150 200 250 300 350 400
T12
TETA 2
T12
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