Post on 24-Apr-2015
Señales y Sistemas IGrupos 2, 6Análisis de Fourier en Tiempo Continuo y DiscretoContinuo y Discreto
Jan Bacca Rodríguez
jbaccar@unal.edu.co
Of: 411-203
Generalidades:
• Para el estudio de sistemas LIT es conveniente representar las señales como combinaciones lineales de señales básicas
• Con el conjunto de señales básicas se debe poder • Con el conjunto de señales básicas se debe poder construir una gran cantidad de señales
• La respuesta de un sistema LIT a cada señal básica debe ser simple
▫ Impulsos desplazados
▫ exponenciales complejas.
Respuesta de un LIT a una exponencial compleja
• Sea x(t) = est y h(t) la respuesta impulso de un sistema LIT.
• Si la integral final converge, H(s) es una constante compleja que depende solo de s
∫∞
∞−
−= τττ dtxhty )()()( ( )∫∞
∞−
−= ττ τ deh ts)(
∫∞
∞−
−= ττ τ dehe sst )( )(sHest=
Respuesta de un LIT a una exponencial compleja
• Sea x[n] = zn y h[n] la respuesta impulso de un sistema LIT.
• Si la sumatoria final converge, H(z) es una constante compleja que depende solo de z
∑∞
−∞=
−=k
knxkhny ][][][ ∑∞
−∞=
−=k
knzkh ][
∑∞
−∞=
−=k
kn zkhz ][ )(zHzn=
Respuesta de un LIT a una exponencial compleja
h(t)
h[n]
est H(s)est
H(z)znzn
• En ambos casos la salida del sistema es igual a la entrada multiplicada por una constante compleja.
• Las exponenciales complejas son vectores propios del espacio de sistemas LIT.
• H(s) y H(z) son sus valores propios
Respuesta de un LIT a una exponencial compleja
h(t)est H(s)est h[n] H(z)znzn
∑=k
ts
kkkesHaty )()(h(t)∑=
k
ts
kkeatx )(
∑=k
nkkk zzHany )(][h[n]∑=
k
nkk zanx ][
Ejemplo
• Sea el sistema : y(t) = x(t-3)
• y la señal de entrada x(t) = ej2t
• y(t) = ej2(t-3) = e-j6 ej2t
• H(j2) = e-j6• H(j2) = e
• Por otro lado, la respuesta impulso del sistema es h(t) = δ(t-3). De donde:
∫∫∞
∞−
−∞
∞−
− −== ττδττ ττ dedehsH ss )3()()( se 3−=
6)2( jejH −=
Ejemplo• Tomemos ahora la entrada:
x(t) = cos(4t)+cos(7t) → y(t) = cos(4(t-3))+cos(7(t-3))
• Por la relación de Euler:
( ) ( )tjtjtjtj eeeetx 7744 11)( −− +++= ( ) ( )tjtjtjtj eeeetx 7744
2
1
2
1)( −− +++=
( ) ( )tjtjtjtj ejHejHejHejHty 7744 )7()7(2
1)4()4(
2
1)( −− −++−+=
( ) ( )tjjtjjtjjtjj eeeeeeeety 721721412412
2
1
2
1)( −−−− +++=
( ) ( )( ) ( ) ( )( )37373434
2
1
2
1)( −−−−−− +++= tjtjtjtj eeeety
Combinaciones lineales de exponenciales complejas armónicas.
• x(t) es periódica con periodo T si x(t) = x(t+T) ∀t.
• Período fundamental To: Real positivo más pequeño que cumple la relación anterior.pequeño que cumple la relación anterior.
• Frecuencia fundamental:
• Señales armónicas: , k = 0, ±1, ± 2…
0
0
2
T
πω =
tjk
k et 0)( ωφ =
Combinaciones lineales de exponenciales complejas armónicas.
• Las señales φk(t) tienen frecuencias fundamentales que son múltiplos de ω0
• Todas son periódicas con período To
• Una combinación lineal de la forma:• Una combinación lineal de la forma:
es periódica con período To
∑∑∞
−∞=
∞
−∞=
==k
tjk
kk
kk eatatx 0)()( ωφ
Combinaciones lineales de exponenciales complejas armónicas.
• φ0(t) es una señal constante
• φ (t) tienen frecuencia fundamental ω y se
,...2,1,0,)()()( 0 ±±=== ∑∞
−∞=
kettatx tjk
kk
kk
ωφφ
• φ±1(t) tienen frecuencia fundamental ω0 y se llaman componentes fundamentales o primeras armónicas.
• φ±N(t) tienen frecuencia fundamental Nω0 y se llaman N-ésimas armónicas.
• La representación de x(t) como combinación lineal de armónicas es la Serie de Fourier de x(t)
Ejemplo
•
• a0 = 1, a±1 = ¼, a±2 = ½, a±3 = 1/3.
∑−=
=3
3
2)(k
ktjkeatx π
ππππππ 111111 −−−•
•
• x(t) = 1 + ½ cos(2πt) + cos(4πt) + 2/3 cos(6πt)
tjtjtjtjtjtj eeeeeetx ππππππ 642246
3
1
2
1
4
11
4
1
2
1
3
1)( ++++++= −−−
( ) ( ) ( )tjtjtjtjtjtj eeeeeetx ππππππ 664422
3
1
2
1
4
11)( −−− ++++++=
Ejemplo
• x(t) = 1 + ½ cos(2πt) + cos(4πt) + 2/3 cos(6πt) es una forma alternativa de escribir la Serie de Fourier para señales reales.
• Sea x(t) ∈ R
• De donde ak* = a-k
• En el ejemplo anterior los ak son reales, entonces ak = a-k
)(0 txeak
tjk
k =∑∞
−∞=
ω)(* tx= ∑
∞
−∞=
−=k
tjk
kea 0* ω ∑∞
−∞=−=
k
tjk
kea 0* ω
Formas Alternativas de la Serie de Fourier
• En general, para señales reales:
( )∑∑∞
=
−−
∞
−∞=
++==1
0000)(
k
tjk
k
tjk
kk
tjk
k eaeaaeatx ωωω
• Expresando ak en forma polar:
=−∞= 1kk
( )∑∞
=
−++=1
*0
00
k
tjk
k
tjk
k eaeaa ωω
{ }∑∞
=
+=1
002
k
tjkω
keaa Re
kj
kk eAa θ=
Formas Alternativas de la Serie de Fourier
( ){ }∑∞
=
++=1
002
k
tkωj
kkeAa θRe
{ }∑∞
=
+=1
002)(
k
tjkω
keaatx Re
• Expresando ak en forma cartesiana:
( )∑∞
=
++=1
00 cos2k
kk tkAa θω
∑=1k
kkk jCBa +=
( ) ( )[ ]∑∞
=
−+=1
000 sencos2)(k
kk tkCtkBatx ωω
Representación en Serie de Fourier de una Señal Periódica Continua.
• Se requiere un método para calcular los coeficientes usados en la representación de una señal en serie de Fourier (ak).
∑∞
−∞=
−− =k
tjntjk
k
tjn eeaetx 000)( ωωω
∑∞
−∞=
=k
tjk
keatx 0)( ω
Representación en Serie de Fourier de una Señal Periódica Continua.
• Integrando sobre un período
∫ ∑∫∞
−− =0
00
0
0)(
T
jnjk
k
T
jn deeadex τττ τωτωτω
0
0
2
ωπ
=T
• Intercambiando el orden de la suma y la integral
∫ ∑∫−∞=00 k
k
( )∫∑∫ −∞
−∞=
− =0
0
0
0
00
)(
T
nkj
kk
T
jn deadex τττ τωτω
Representación en Serie de Fourier de una Señal Periódica Continua.
• Por la relación de Euler:
( ) ( )( ) ( )( )∫∫∫ −+−=−000
0
0
0
0
0
0
sencos
TTT
nkj dnkjdnkde ττωττωττω
• Para k≠n se están integrando sinusoidales sobre un número de períodos completos.
• Para k=n se está integrando cos(0)=1 y sen(0)=0
( )
≠
==∫ −
nk
nkTde
T
nkj
0
0
0
0
0 ττω
000
Representación en Serie de Fourier de una Señal Periódica Continua.
• Reemplazando en( )
≠
==∫ −
nk
nkTde
T
nkj
0
0
0
0
0 ττω
∑∞ 00 TT
• Se obtiene
( )∫∑∫ −∞
−∞=
− =0
0
0
0
00
)(
T
nkj
kk
T
jn deadex τττ τωτω
n
T
jn aTdex 0
0
0
0)( =∫ − ττ τω ∫ −=⇒0
0
00
)(1
T
tjn
n dtetxT
a ω
Representación en Serie de Fourier de una Señal Periódica Continua.
• La representación en Serie de Fourier de una señal continua está dada por dos ecuaciones:
• Ecuación de Análisis∫ −= 0)(
1 jk
k dexT
a ττ τω
• Ecuación de Síntesis
• Los ak se llaman coeficientes espectrales o coeficientes de Fourier de x(t)
∑∞
−∞=
=k
tjk
keatx 0)( ω
∫=0
)(0 T
k dexT
a ττ
katx →←FFFF
)(
Ejemplo:
• x(t) = sen(ω0t)
• Esta función es sencilla por lo que se puede usar la relación de Euler en lugar de la Ec. de análisis
tjtj eettx11
)(sen)( ωωω −−==
• De donde:
tjtj ej
ej
ttx 00
2
1
2
1)(sen)( 0
ωωω −−==
−=−
=
=
valores otros0
12
1
12
1
kj
kj
ak
Ejemplo:
++++=
42cos)cos(2)(sen1)( 000
πωωω ttttx
( ) ++−+= −− 0000
2
11)( ωωωω tjtjtjtj eeee
jtx
++
+−
+
42
42 00
2
1π
ωπ
ω tjtj
ee
tjj
tjj
tjtj eeeeej
ej
tx 0000 2424
2
1
2
1
2
11
2
111)( ω
πω
πωω −
−− ++
−+
++=
Ejemplo:
• Los coeficientes de Fourier serán:
=−=+
=
12
11
2
11
01
kjj
k
>
−=−=
=+=
−=+=−
=
−
20
2)1(4
2
2
1
2)1(4
2
2
1
12
11
2
11
22
4
4
k
kje
kje
kjj
j
a
j
jk
π
π
Ejemplo: Señal Cuadrada
• Hallar la representación en serie de Fourier de:
≤
=1
)(1Tt
tx
<≤=
20
)(1
TtT
tx
Periódica con período T
Ejemplo: Señal Cuadrada
• La descomposición de la señal en exponenciales complejas no es obvia, por lo que se debe usar la ecuación de análisis:
∫ −= jkk dexa ττ ωτ)(
1
• Debido a la simetría de la función es conveniente escoger el intervalo de integración
22
TT<≤− τ
∫=T
k dexT
a ττ )(
Ejemplo : Señal Cuadrada
∫−
−=2
2
)(1
T
T
jkk dex
Ta ττ ωτ ∫
−
−=1
1
1T
T
jk deT
τωτ 1
1
1 T
T
jkeTjk −
−−= ωτ
ω
( )111 TjkTjk ee
Tjk
ωω
ω−−= ( )1sen2
1Tkj
Tjkω
ω=
( )1sen2
TkTk
ωω
= ( )1sen2
2Tk
k
ω
ωπ
ω=
( )πω
k
Tk 1sen=
Representación en Series de Fourier de Señales Periódicas Discretas
• El análisis es muy similar al caso continuo.• El análisis es muy similar al caso continuo.
• Pequeñas diferencias surgirán de fenómenos como la periodicidad de exponenciales complejas discretas o el número finito de exponenciales armónicas en el dominio discreto
Combinaciones lineales de exponenciales complejas armónicas.
• x[n] es periódica con periodo N si x[n] = x[n+N] ∀ n.
• Período fundamental No: Entero más pequeño que cumple la relación anterior.que cumple la relación anterior.
• Frecuencia fundamental:
• Señales armónicas: , k = 0, 1, …, N0-1
•
0
0
2
N
πω =
nN
jk
k en 0
2
][
π
φ =
( )][][ 000
0
0
2
2
22
neeeen k
nN
jknj
nN
jknN
Nkj
Nk φφπ
πππ
====+
+
Representación en Serie de Fourier de una Señal Periódica Discreta.
• Sólo existen N0 exponenciales armónicas diferentes.
• ∑∑==
== 0
2
][][Nk
nN
jk
kNk
kk eananx
π
φ
• Cálculo de los coeficientes:
∑∑== 00 NkNk
∑=
−−
=0
000
222
][Nk
nN
jk
k
nN
jrnN
jr
eaeenx
πππ
( )
∑ ∑∑= =
−
=
−
=0 0
0
0
0
22
][Nn Nk
nN
rkj
kNn
nN
jr
eaenx
ππ
Representación en Serie de Fourier de una Señal Periódica Discreta.
( )
∑ ∑∑= =
−
=
−
=0 0
0
0
0
22
][Nk Nn
nN
rkj
kNn
nN
jr
eaenx
ππ
• Se puede demostrar que, análogamente al caso continuo:
•
±±=
=∑=
−
valores otros0
,...2,,0 000
2
0
0NNkN
eNk
nN
jkπ
• Si k = r
•
Representación en Serie de Fourier de una Señal Periódica Discreta.
0
2
0
0][ Naenx rNn
nN
jr
=∑=
−π
2π
Ec. de Análisis
Ec de Síntesis
•Como las son periódicas, los ak
también lo son
∑=
−
=0
0
2
0
][1
Nn
nN
jk
k enxN
a
π
∑=
=0
0
2
][Nk
nN
jk
keanx
π
nN
jk
k en 0
2
][
π
φ =
Ejemplo
• x[n] = sen(ω0n)
• Si la señal es periódica con M, Nenteros.
• Si MCD(M,N)=1, N=N0 es el período
M
N=
0
2
ωπ
• Si MCD(M,N)=1, N=N0 es el período fundamental.
• Por la relación de Euler:
nN
jMnN
jM
ej
ej
nx 00
22
2
1
2
1][
ππ−
−=
−=−
=
=
valores otros02
12
1
Mkj
Mkj
ak
Ejemplo: Señal cuadrada periódica discreta
2π −2
1 N njkπ
• Haciendo m = n + N1
•
∑=
−
=0
0
2
0
][1
Nn
nN
jk
k enxN
a
π
∑−=
−
=1
1
0
2
0
1 N
Nn
nN
jk
eN
π
( )
∑=
−−
=1 1
0
2
0
2
0
1 N
m
NmN
jk
k eN
a
π
∑=
−
=1
01
0
2
0
22
0
1 N
m
mN
jkNN
jk
eeN
ππ
Ejemplo: Señal cuadrada periódica discreta
• Los términos forman una serie geométrica de la forma αpm con:
▫ α = 1
▫ p =
1
0
2
0
2N
m
mN
jk
e
=
−π
2jk
π−▫ p =
• La suma de los primeros N términos de dicha serie es:
0
2
Njk
e
π−
p
pS
N
−−
=+
1
1 1
α
Ejemplo: Señal cuadrada periódica discreta
• Reemplazando:
0,
11
1
0
10
2
122
2
≠
−
=
+−
k
e
ea
N
Njk
NN
jk
k π
π
π
0,
1 0
2
0
≠
−
=−
k
e
eN
aN
jkk π
−
−
=−−
+−
+−
000
10
100
2
2
2
2
2
2
2
12
2
12
2
2
0
1
Njk
Njk
Njk
NN
jkNN
jkN
jk
eee
eee
N πππ
πππ
Ejemplo: Señal cuadrada periódica discreta
+
=1
0
0 sen
2
12sen
1
Nk
NN
k
Nak
π
π
0N
• Para k = 0:
( )
0
1
0
20
0
0
121
11 1
1
1
1
0
N
N
Ne
Na
N
Nn
N
Nn
nN
j +=== ∑∑
−=−=
−π
• Recordemos que para la señal cuadrada continua:
Ejemplo: Señal cuadrada periódica discreta
( )
≠
==
0
02
1
1
kk
Tksen
kT
T
ak
πω
Transformada de Fourier para Tiempo Continuo
<≤
≤=
0
1)(
1
1
TtT
Tttx
<≤
20 1 tT
Periódica con período T
Señal Cuadrada PeriódicaLos coeficientes de la Serie de Fourier de esta señal son:
( )0,
2sen
0
10 ≠= kTk
Tkak ω
ω
Reorganizando:Reorganizando:
( )0
12sen
ωωωω
k
k
TTa
=
=
Los Tak se pueden considerar muestras igualmente espaciadas de la función ( )
ωω 12sen T
Conclusiones
• Si, en una señal periódica, hacemos crecer el período, la señal se parecerá cada vez más a una señal de duración finita.
• En frecuencia, los coeficientes de su Serie de • En frecuencia, los coeficientes de su Serie de Fourier se acercarán cada vez más, aproximando una señal continua.
• Si queremos calcular la Transformada de Fourier de una señal de duración finita la podemos convertir en periódica, calcular la serie y hacer el período tender a infinito.
Transformada de Fourier
• Sea x(t) una señal de duración finita y la señal obtenida haciendo x(t) periódica con período T.
)(~ tx
∑∞
~ ω ∫ −=2
0)(~1
T
tjk dtetxa ω
• Integrar sobre un período equivale a integrar x(t) sobre todo el eje.
∑∞
−∞=
=k
tjk
keatx 0)(~ ω ∫−
−=
2
0)(~1
T
tjk
k dtetxT
a ω
)(~ tx
∫∞
∞−
−= dtetxT
a tjk
k0)(
1 ω
Transformada de Fourier
• Cuya envolvente será:
∫∞
∞−
−= dtetxTa tjk
k0)( ω
∫∞
−= tjωω
• De donde:
• Reemplazando en la Ec. de Síntesis
∑∞
−∞=
=k
tjkejkXT
tx 0)(1
)(~0
ωω
)(1
0ωjkXT
ak =
∫∞−
−= dtetxjX tjωω )()(
Transformada de Fourier
• Por otro lado: , reemplazando:
• Si ahora hacemos T→∞:
0
2ω
π=
T
∑∞
−∞=
=k
tjkejkXtx 000)(
2
1)(~ ωω
πω
• Si ahora hacemos T→∞:
▫
▫ ω0 → dω▫ kω0 → ω▫ La suma tiende a una integral
∫∞
∞−
= ωωπ
ω dejXtx tj)(2
1)(
( )txtx →)(~
Ejemplo
• x(t) = e-atu(t), a>0
∫∞
∞−
−= dtetxjX tjωω )()( ∫∞
−−=0
dtee tjat ω ( )∞
+−
+−=
0
1 tjaeja
ω
ω
1
ωja +=
1
• La transformada es compleja por lo que se debe graficar en dos partes
( ) ( )
−=∠+
= −
ajX
ajX
ωω
ωω 1
22tan
1
Ejemplo
• x(t) = e-a|t|, a>0
∫∞
∞−
−= dtetxjX tjωω )()(
∞0
∫∫∞
−−
∞−
− +=0
0
dteedtee tjattjat ωω
22
2
ω+=
a
a
ωω jaja ++
−=
11
Ejemplo
• Hallar la transformada de Fourier de δ(t).
• Aplicando la definición:
1)()( ===∆ −∞
−∫ tjtj edtetj ωωδω 1)()(0===∆
=∞−∫ t
edtetj δω
FFFF
Ejemplo
• Hallar x(t)
• Por la Ec. de Síntesis:
>
≤=
W
WjX
ωω
ω,0
,1)(
∫∞
∞−
= ωωπ
ω dejXtx tj)(2
1)( ∫
−
=W
W
tj de ωπ
ω
2
1
W
W
tj
jt
e
−
=ω
π2
1 ( )jWtjWt eetj
−−=π21
t
Wt
π)(sen
= )(sencW
Wtπ
=
Ejemplo
• Hallar la transformada de Fourier de x(t) = 1
• La señal no es absolutamente integrable
• No se puede aplicar la definición para calcular la transformada.
• Una señal constante en tiempo es el límite • Una señal constante en tiempo es el límite cuando T→∞ de un pulso de duración T.
• La transformada de esta señal es conocida.
ωω
ω)(Sen2
)( valoresotros0
1)(
TjX
Tttx =→←
≤
=FFFF
Transformada de Fourier en Tiempo Discreto
• Para hallar la transformada de Fourier de una señal continua se partió de la de una señal periódica cuyo período aumentaba.periódica cuyo período aumentaba.
• Un enfoque similar se puede seguir en tiempo discreto.
• A partir de una secuencia finita de N1+N2+1 muestras se construye una señal de período N y se hace aumentar progresivamente N.
Transformada de Fourier en tiempo Discreto
• Para se puede definir:
∑=
−=
Nn
nN
jk
k enxN
aπ2
][~1
][~ nx
• Pero x[n] = entre –N1 y N2, entonces
• Ya que x[n] = 0 fuera del intervalo [-N1, N2]
= NnN
∑−=
−=
2
1
2
][1 N
Nn
nN
jk
k enxN
aπ
∑∞
−∞=
−=
n
nN
jk
enxN
π2
][1
][~ nx
Transformada de Fourier en tiempo Discreto
• Se define:
( )01 ωjk
k eXN
a =⇒∑∞
−∞=
−=n
njj enxeX ωω ][)(
• Reemplazando ak en la ecuación de síntesis:
( )∑=
=Nk
njkjk eeXN
nx 001
][~ ωω
−∞=n
( )∑=
=Nk
njkjk eeX 000
2
1ω
πωω
Transformada de Fourier en tiempo Discreto
• Si ahora se hace N→∞, ω0 →dω, la suma se convierte en una integral y
∫= ωω ω)(1
][ deeXnx njj
][][~ nxnx →
• Es la transformada inversa discreta de Fourier, mientras que
• Es la transformada discreta de Fourier
∫=π
ωω ωπ
2
)(2
1][ deeXnx njj
∑∞
−∞=
−=n
njj enxeX ωω ][)(
Transformada de Fourier en tiempo Discreto
• son los coeficientes de la combinación lineal de exponenciales complejas que
genera x[n].
• X(ejω) es el espectro de frecuencia de x[n]
)(2
ω
πω jeXd
• X(ejω) es el espectro de frecuencia de x[n]
• Los coeficientes de la serie de Fourier se pueden calcular a partir de la transformada.
• La transformada en tiempo discreto es periódica y de período 2π.
• La integral de la ecuación de síntesis se hace sobre un intervalo de longitud 2π.
Ejemplo
• x[n] = anu[n], |a|<1
• Aplicando la definición:
njnj enuaeX ωω −∞
∑= ][)(n
enuaeX−∞=∑= ][)(
( )∑∞
=
−=0n
njae ω
ωjae−−=
1
1
Ejemplo
• x[n] = a|n|, |a|<1
• Aplicando la definición:
∑∞
−∞=
−=n
njnj eaeX ωω )(
∑∑∞
−−
−− +=1
njnnjn eaea ωω ∑∑=−∞=
+=0nn
eaea
ωω
ω
jj
j
aeae
ae−−
+−
=1
1
1
( ) ( )∑∑∞
=
−∞
=
+=01 n
nj
m
mj aeae ωω
2
2
cos21
1
aa
a
+−−
=ω
Ejemplo
• Pulso rectangular
• Aplicando la definición:
∑N
>
≤=
Nn
Nnnx
0
1][
∑−=
−=N
Nn
njj eeX ωω )(
+=
2sen
2
1sen
ω
ω N
Transformada de Fourier para Señales Periódicas
• En teoría la transformada de Fourier se podría calcular para cualquier señal
• Muchas señales periódicas continuas no son absolutamente integrablesabsolutamente integrables
• Por las condiciones de Dirichlet su transformada de Fourier no se puede calcular usando la ecuación de análisis.
• Las funciones periódicas se pueden representar como sumas de exponenciales complejas.
• Teniendo la transformada de la exponencial compleja se podría calcular las de otras señales periódicas.
Transformada de Fourier de la Exponencial Compleja
• Considere X(jω)=2πδ(ω-ω0)
• La correspondiente señal en tiempo sería:
( )∫∫∞∞
−== ωωωπδωω ωω dedejXtx tjtj 21
)(1
)( ( )∫∫∞−∞−
−== ωωωπδπ
ωωπ
dedejXtx 022
)(2
)(
tjwetx 0)( =
Transformada de Fourier para señales periódicas
• En general si ( )∑∞
−∞=
−=k
k kajX 02)( ωωπδω
( )∫ ∑∞ ∞
−= ωωωπδ ω dekatx tj21
)( ( )∫ ∑∞− −∞=
−= ωωωπδ
πω dekatx tj
kk 02
2
1)(
( )∑ ∫∞
−∞=
∞
∞−
−=k
tjk deka ωωωδ ω
0
∑∞
−∞=
=k
tjk
kea 0ω
Ejemplo
• Para la señal cuadrada periódica:
πω
k
Tksenak
)( 10=
( )∑∞
( )∑∞
−∞=
−=k
k kajX 02)( ωωδπω
( ) ( )∑∞
−∞=
−=k
kk
Tksen0
102 ωωδπω
π
( ) ( )∑∞
−∞=
−=k
kTksenk
010
2ωωδω
Ejemplos:• x(t) = sen(ω0t)
( )tjtj
ooo ee
jt
ωωω −−=2
1)(sen
( ) ( )( )jX ωωδωωδπ
ω +−−=)( ( ) ( )( )ooj
jX ωωδωωδπ
ω +−−=)(
Ejemplos:
• x(t) = cos(ω0t)
( )tjtj
ooo eet
ωωω −+=2
1)cos(
( ) ( )( )jX ωωδωωδπω ++−=)( ( ) ( )( )oojX ωωδωωδπω ++−=)(
Transformada de Fourier para Señales Periódicas Discretas• Al igual que en el caso continuo, las funciones
periódicas se pueden representar como sumas de exponenciales complejas, por lo que teniendo la transformada de la exponencial compleja se podría calcular las de otras señales periódicas.podría calcular las de otras señales periódicas.
• En el caso continuo, la transformada de la exponencial compleja es un impulso en la frecuencia de la exponencial.
• La transformada de señales discretas es periódica.
• Supongamos que será un tren de impulsos de período 2π
Transformada de Fourier de la Exponencial Compleja Discreta
• Considere
• La correspondiente señal en tiempo sería:
( ) ( )∑∞
−∞=
−−=l
j leX πωωπδω 22 0
• Un intervalo de longitud 2π contiene uno solo de los impulsos del tren
∫=π
ωω ωπ
2
)(2
1][ deeXnx njj
( )∫ ∑∞
−∞=
−−=π
ω ωπωωπδπ
2
0 222
1del nj
l
Transformada de Fourier de la Exponencial Compleja Discreta
• Tomemos el intervalo [- π, π], este contendría el impulso correspondiente a l = 0.
( )
( )∫
∫ ∑
−
−
∞
−∞=
−=
−−=
π
π
ω
π
π
ω
ωωωπδπ
ωπωωπδπ
de
delnx
nj
nj
l
0
0
22
1
222
1][
nje 0ω=
Transformada de Fourier para Señales Periódicas
• Si ahora tenemos ∑∞
−∞=
−=
kk
j
NkaeX
πωδπω 2
2)(
∫ ∑
−=
∞
−∞=π
ω ωπ
ωδππ
2
22
2
1][ de
Nkanx nj
kk
−∞=ππ2
2 Nk
∑ ∫=
−=Nk
nj
k deN
kaπ
ω ωπ
ωδππ
2
22
2
1
∑=
=Nk
nN
jk
kea
π2
∑ ∫=
∞
∞−
−=Nk
nj
k deN
ka ωπ
ωδ ω2
Ejemplo:
• x[n] = cos(ω0n)
( )njnj
ooo een ωωω −+=
2
1)cos(
( ) ( )
−++−−= ∑∑∞∞
j lleX πωωδπωωδπω 22)( ( ) ( )
−++−−= ∑∑
−∞=−∞= l
o
l
oj lleX πωωδπωωδπω 22)(
Ejemplo:
• [ ] [ ]∑∞
−∞=
−=k
kNnnx δ
[ ]∑ ∑−
=
−∞
−∞=
−=
1
0
21 N
k
nN
jk
l
k elNnN
aπ
δ
−1 21 N π
∑∞
−∞=
−=
k
kj
NkaeX
πωδπω 2
2)(
[ ]∑−
=
−=
1
0
21 N
k
nN
jk
enN
π
δ
N
1=
∑∞
−∞=
−=k N
kN
πωδ
π 22