Post on 03-Mar-2015
Análisis completo de una función
Dominio
Continuidad
Tipo de función
Periodicidad
Simetría
Asíntotas
Máximos y mínimos
Monotonía
Puntos de inflexión
Curvatura
Función 1
96)(
2
23
x
xxxxg
Tipo de función Racional
Dominio Se excluyen las raíces del denominador
Dom g(x) = 1,1
Dom g(x) = ),1()1,1()1,(
Función
Continuidad g(x) no es continua
Existe una discontinuidad x=1 y en x=-1
Estudiar el limite de g(x) x=1
Discontinuidad de 1ª especie de salto infinito
1
96)(
2
23
x
xxxxg
Estudiar el limite de g(x) x=-1Discontinuidad de
1ª especie de salto infinito
Función
Simetría
Par g(x) =g(-x)
Impar g(x) =-g(-x)
1
96)(
2
23
x
xxxxg
1
96
1)(
)(9)(6)()(
2
23
2
23
x
xxx
x
xxxxg
)()( xgxg
)()( xgxg
g(x) no es simétrica
Función 1
96)(
2
23
x
xxxxg
PeriodicidadPeriódica si se cumple
que: g(x) =g(x+T)
1)(
)(9)(6)()(
2
23
Tx
TxTxTxTxg)()( xgTxg
En nuestro caso g(x) no es periódica
Función 1
96)(
2
23
x
xxxxg
Asíntotas
Oblicuas
Horizontales
Verticales
Asíntota en y=mx+b, siempre que el grado
numerador sea una unidad mayor que el de denominador:
Las raíces del denominador que no lo
son del numerador
Asíntota en y=k, siendo k:
kxgx
)(lim
y=mx+b es el cociente
Función 1
96)(
2
23
x
xxxxg
Asíntotas VerticalesLas raíces del
denominador que no lo son del numerador
1012 xxLas raíces del denominador
4)1(9)1(6)1()1(
419161)1(23
23
p
p
Las raíces del denominador no lo son
del numerador:
Asíntotas verticales en:x=1 y x=-1
Función 1
96)(
2
23
x
xxxxg
Asíntotas Horizontales
No hay ya que el grado del numerador es mayor que el del denominador
Oblicuas
Asintota en y=mx+b, por que
el grado numerador es mayor que el del
denominador
y=mx+b, es el cociente
Asíntota oblicua en y=x-6,
Función 1
96)(
2
23
x
xxxxg
Máximos y Mínimos
Primera derivada
22
24
22
2342324
22
2322
)1(
91212)(
)1(
1812299121233)(
)1(
)96)(2()1)(9123()(
x
xxxxg
x
xxxxxxxxxg
x
xxxxxxxxg
I
I
I
Función 1
96)(
2
23
x
xxxxg
Máximos y Mínimos
Se iguala a cero la 1ª derivada
0912120)1(
91212)( 24
22
24
xxx
x
xxxxg I
Puntos candidatos
Se calcula la 2ª derivada
3x9514.3x
Puntos candidatos
32
23
32
2423
42
242223
)1(
)12603620(
)1(
)91212(4)1)(12244()(
)1(
)91212)(2)(1(2)1)(12244()(
x
xxx
x
xxxxxxxxg
x
xxxxxxxxxg
II
II
Función 1
96)(
2
23
x
xxxxg
Máximos y Mínimos
Se iguala a cero la 1ª derivada
Puntos candidatos
Se calcula la 2ª derivada
3x 9514.3x
Puntos candidatos
32
23
)1(
)12603620()(
x
xxxXg II
0).( candidatoptog II 0).( candidatoptog II
MAXIMO MINIMO
3x9514.3x
Función 1
96)(
2
23
x
xxxxg
Monotonía
Máximos y mínimos
Puntos no pertenecen al
dominio
Definen los
intervalos
Evaluar el signo de la 1ª derivada
0)( xg I 0)( xg I
Función g(x) decrece
Función g(x) crece
22
24
)1(
91212)(
x
xxxxg I
),3[]9154.3,( ]3,1()1,1()1,9154.3[
Función 1
96)(
2
23
x
xxxxg
Punto inflexión
Cambio concavo a convexo o viceversa
22
24
)1(
91212)(
x
xxxxg I
32
23
)1(
12603620)(
x
xxxXg II
Igualar 2ª derivada a cero
Comprobar 3ª derivada distinta de cero
0126036200)1(
12603620)( 23
32
23
xxx
x
xxxXg II
42
234
42
2322
62
2322322
)1(
6014436014460)(
)1(
)12603620)(2(3)1)(607260()(
)1(
)12603620)(2()1(3)1)(607260()(
x
xxxxXg
x
xxxxxxxXg
x
xxxxxxxxXg
III
III
III
x=0.22702 es punto de inflexión
Función 1
96)(
2
23
x
xxxxg
Puntos no pertenecen al
dominio
Definen los
intervalos
Evaluar el signo de la 2ª derivada
0)( xg II 0)( xg II
Función g(x) concava
Función g(x) convexa
),1(]22702.0,1(
Punto inflexión
Curvatura
)1,22702.0[)1,(
32
23
)1(
12603620)(
x
xxxXg II
Representación de la función 1
96)(
2
23
x
xxxxg
Tipo de función Irracional
Dominio 0652 xx
65
1)(
2
xxxh
065)( 2 xxxp
2x
3x
Dominio ),3()2,())(( xhDom
Función
Función
Continuidad h(x) no es continua
Existe una discontinuidad por que la función no
esta definida en el intervalo (2,3)
Limites laterales de h(x) no existen en x=2+ y en
x=3-
Discontinuidad de 2ª especie
65
1)(
2
xxxh
Función
Simetría
Par h(x) =h(-x)
Impar h(x) =-h(-x)
)()( xhxh
)()( xhxh
hx) no es simétrica
65
1)(
2
xxxh
65
1
6)(5)(
1)(
22
xxxxxh
Función
PeriodicidadPeriódica si se cumple
que: h(x) =h(x+T)
)()( xhTxh
En nuestro caso h(x) no es periódica
65
1)(
2
xxxh
6)(5)(
1)(
2
TxTxTxh
Función
Asíntotas VerticalesLas raíces del
denominador que no lo son del numerador
3
20652
x
xxxLas raíces del
denominadorLas raíces del
denominador no lo son del numerador:
Asíntotas verticales en:x=2 y x=3
65
1)(
2
xxxh
Función
Asíntotas Oblicuas
No hay ya que el grado del numerador es menor que el del denominador
Horizontales
Asintota en y=kAsíntota horizontal
en y=0
65
1)(
2
xxxh
kxhx
)(lim
Función
Máximos y Mínimos
Primera derivada
2/32
22/1222/12
2/12
)65(
52
2
1)(
)65(
1
)65(
52
2
1
))65((
)52()65(21
0)(
xx
xxh
xxxx
x
xx
xxxxh
I
I
65
1)(
2
xxxh
Función
Máximos y Mínimos
Se iguala a cero la 1ª derivada
Puntos candidatos
Se calcula la 2ª derivada
No hay ni máximos ni
mínimos
65
1)(
2
xxxh
5.20520)65(
52
2
1)(
2/32
xxxx
xxh I
El punto 2.5 no pertenece
al dominio
Función
Monotonía
Máximos y mínimos
Puntos no pertenecen al
dominio
Definen los
intervalos
Evaluar el signo de la 1ª derivada
0)( xh I 0)( xh I
Función g(x) decrece
Función g(x) crece
),3(
2/32 )65(
52
2
1)(
xx
xxh I
65
1)(
2
xxxh
)2,(
Función
Punto inflexión
Cambio concavo a convexo o viceversa
2/52
2
)65(4
51408)(
xx
xxXh II
Igualar 2ª derivada a cero
Comprobar 3ª derivada distinta de cero
65
1)(
2
xxxh
2/32 )65(
52
2
1)(
xx
xxh I
0514080)65(4
51408)( 2
2/52
2
xxxx
xxXh II La ecuación no tiene
solución. Por tanto, no hay punto de inflexión
Función
Puntos no pertenecen al
dominio
Definen los
intervalos
Evaluar el signo de la 2ª derivada
0)( xh II 0)( xh II
Función g(x) concava
Función g(x) convexa
)2,(
Punto inflexión
Curvatura
),3(
65
1)(
2
xxxh
2/52
2
)65(4
51408)(
xx
xxXh II
Representación de la función65
1)(
2
xxxh