Post on 01-Dec-2014
description
Anàlisi (III) Derivades Segon de batxillerat Josep M. Lluch IES Ramon Muntaner
1 Concepte de derivada 1.1 Derivada d’una funció en un punt Sigui f una funció definida en el punt ax = . S'anomena derivada de f en el punt ax = , i
es representa per )(' af , el límit següent (si existeix):
( ) ( )
'( )x a
f x f af a lím
x a→
−=−
També es pot expressar: 0
( ) ( )'( )
h
f a h f af a lím
h→
+ −=
Si existeix )(' af es diu que f és derivable en el punt ax = .
L’expressió ( ) ( )f x f a
x a
−−
es diu taxa de variació de la funció en l’interval [ ],a x ; la derivada
en un punt representa la taxa de variació instantània de la funció f en el punt ax = .
Exemple : Si 3( )f x x= i 1a = : ( )3
2
1 1
1'(1) 1 3
1x x
xf lím lím x x
x→ →
−= = + + =−
Interpretació geomètrica:
La derivada d'una funció f en el punt ax = és el pendent de la recta tangent a la gràfica de
f en el punt ( , ( ))P a f a=
1.2 Derivades laterals
1.2.1 Derivada lateral per la dreta És el límit següent (si existeix):
0
( ) ( )' ( )
( ) ( )
x a
h
f x f af a lím
x af a h f a
límh
+
+
+ →
→
−= =−
+ −=
a x
f(a)
f(x)
f(x) – f(a)
x – a
t P
Q
ββββ
αααα
( ) ( )
'( )
( )
x a
f x f atg
x a
pendent de PQ
f a lím tg tg
pendent de t
recta tangent
β
β α→
− = =−
=
= = =
a
αααα
' ( )tg f aα +=
Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades Josep M. Lluch_______________ _2
1.2.2 Derivada lateral per l’esquerra És el límit següent (si existeix):
0
( ) ( )' ( )
( ) ( )
x a
h
f x f af a lím
x af a h f a
límh
−
−
− →
→
−= =−
+ −=
Teorema : La condició necessària i suficient perquè f sigui derivable en ax = és que les derivades laterals en ax = existeixin i coincideixin. En aquest cas: '( ) ' ( ) ' ( )f a f a f a− += =
Si les derivades laterals existeixen en
ax = però no coincideixen, es diu que f té un punt angulós en ax = .
1.3 Recta tangent i recta normal a una corba L'equació de la recta tangent a la gràfica de f en el punt ))(,( afa és:
))((')( axafafy −=−
La recta perpendicular a la tangent en el punt ))(,( afa s'anomena normal a la gràfica en
aquest punt. La seva equació és:
)()('
1)( ax
afafy −−=−
(suposant que '( ) 0f a ≠ ).
Si '( ) 0f a = , l’equació de la normal és: x a= (recta paral·lela a l’eix d’ordenades) i la de la
tangent: ( )y f a= (recta paral·lela a l’eix d’abscisses)
a αααα
' ( )tg f aα −=
a
Punt angulós
a
f (a) tangent
normal
Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades Josep M. Lluch_______________ _3 Exemple : Calculem les equacions de la tangent i la
normal a la gràfica de ( )f x ln x= en el punt (1, 0).
( )
( )
1/( 1)
1 1 1
1/( 1)
1
1'(1)
1 1
1
x
x x x
x
x
ln x ln ln xf lím lím lím ln x
x x
ln lím x ln e
−
→ → →
−
→
− = = = = − − = = =
Tangent: 1y x= −
Normal: ( 1) 1y x y x= − − ⇔ = − +
1.4 Derivada infinita
Es diu que f té derivada infinita en ax = si hi és contínua i ∞=−−
→ ax
afxfax
)()(lím
Ho denotarem: ∞=)(' af
En aquest cas la funció f no és derivable en x a=
En els punts de derivada infinita la tangent a la gràfica és paral·lela a l'eix d'ordenades. De manera anàloga es defineixen les derivades laterals infinites . Si hi ha derivades laterals infinites de signe diferent en ax = , es diu que f té un punt de retrocés en ax = . 1.5 Funció derivada Si f és derivable en tots els punts del conjunt fDomE ⊂ podem definir la funció:
Ef :' ℝ
a )(' af
que assigna a cada nombre Ea∈ la derivada de f en ax = . Es diu funció derivada (o
derivada primera ) de f .
1
tangent
normal
a
'( )f a = + ∞= + ∞= + ∞= + ∞
a
'( )f a = − ∞= − ∞= − ∞= − ∞
a
' '( ) ( )f a f a− +− +− +− += − ∞ = + ∞= − ∞ = + ∞= − ∞ = + ∞= − ∞ = + ∞
punt de retrocés
Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades Josep M. Lluch_______________ _4
La funció derivada es denota de diferents formes: dx
dfDfxfy ,,)(','
Exemple : funció derivada de 3( )f x x=
( )3 3
2 2 2'( ) 3x a x a
x af a lím lím x a x a a
x a→ →
−= = + + =−
, per tant: 2'( ) 3f x x=
1.6 Derivades d’ordre superior Si 'f és derivable es pot calcular la seva derivada, que s'anomena derivada segona (o
segona derivada ) de f : ( ) '''( ) '( )f x f x= .
Es representa de diferents formes: 2
22 ,,)('',''
dx
fdfDxfy .
Per recurrència es poden definir les derivades successives: tercera, quarta,..., enèsima: [ ]'''( ) ''( ) 'f x f x= . . . . ( ) '1 )()( xfxf nn −=
2 Derivades de les funcions elementals
2.1 Taula de derivades
( )y f x= ' '( )y f x=
y k= ( )k∈ℝ ' 0y = y x= ' 1y = ry x= ( r ∈ℝ ) 1' ry rx −=
y x= 1'
2y
x=
ny x= 1
1'n n
yn x −
=
y ln x= 1'yx
=
ay log x= 1'y
xlna=
xy e= ' xy e= xy a= ( 0a > ) ' ·xy a lna=
y sin x= 'y cos x= y cos x= 'y sin x= −
y tg x= 2
1'ycos x
= = 21 tg x+
y cotg x= 2
21' (1 )y cotg x
sin x−= = − +
y arcsin x= 2
1'1
yx
=−
Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades Josep M. Lluch_______________ _5
y arccos x= 2
1'1
yx
−=−
y arctg x= 2
1'1
yx
=+
y arccotg x= 2
1'1
yx
−=+
2.2 Regles de derivació
2.2.1 Derivades i operacions amb funcions
Si f i g són derivables també ho són f g+ , ·f g , i f
g (si el denominador no
s’anul·la) i es compleix: ( ) ' ' 'f g f g+ = + ( · ) ' '· · 'f g f g f g= +
( · ) ' · ' ( )k f k f k= ∈ℝ
'
2'· · 'f f g f g
g g
= −
Si ,f g i h són derivables, també ho és · ·f g h i es compleix:
( · · ) ' '· · · '· · · 'f g h f g h f g h f g h= + +
2.2.2 Derivada d’una funció composta (regla de la c adena)
Si f és derivable en ax = i g és derivable en ( )y f a= llavors
))(())(( xfgxfg =� també és derivable en ax = i es compleix:
( ) '( ) '( ( ))· '( )g f a g f a f a=� (regla de la cadena )
Per reiteració, si h és derivable en ( ( ))z g f a= s'obté: ( ) '( ) '( ( ( ))· '( ( ))· '( )h g f a h g f a g f a f a=� �
Exemple : 3 3 23
1( ( )) ' ( ( ))· ·(3 1)y sin ln x x y cos ln x x x
x x= + ⇒ = + +
+
2.2.3 Derivada de la funció recíproca (o inversa)
Si f és derivable en ax = (amb 0)(' ≠af ) i existeix la funció recíproca 1f − ,
aquesta és derivable en ( )y f a= i es compleix:
Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades Josep M. Lluch_______________ _6
)('
1))((')( 1
afaff =−
Exemple : La recíproca de nxxf =)( és n xxf =− )(1 , llavors:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )1' '
1
' 11 · 1
n n nn n n n n
n nx x x n x x x
n x
−
−
= ⇒ = ⇒ = ⇒ =
2.2.4 Derivada logarítmica
S'utilitza sobretot per a derivar funcions potencials-exponencials de la forma: )()( xgxfy = (amb 0)( >xf )
Exemple : 4( ) xy sin x=
a) Apliquem logaritmes a cada membre: 4( ) xln y ln sin x =
b) Baixem l’exponent del segon membre: 4 ( )ln y x ln sin x=
c) Derivem cada membre: '
4 ( ) 4y cos x
ln sin x xy sin x
= +
d) Aïllem la derivada:
[ ]4' 4 ( ) 4 ' ( ) 4 ( ) 4xcos xy y ln sin x x y sin x ln sin x xcotg x
sin x
= + ⇔ = +
En general, si )()( xgxfy = , la derivada és:
( ) '( )' ( ) · '( )· ( ) ( )·
( )g x f x
y f x g x ln f x g xf x
= +
2.2.5 Derivada implícita
S’utilitza per derivar funcions en què la variable dependent, y , no està aïllada.
Exemple : 2 2x y y sin x cos y+ = Derivem cada membre, tenint en compte que ( )y f x= :
( )2 2 2 2
2
2
2 ' 2 ' ( ) ' ' 2 2
2'
2
xy x y y y sinx y cos x sin y y y x y sin x sin y x y y cos x
x y y cos xy
x y sin x sin y
+ + + = − ⇔ + + = − − ⇔
− −⇔ =+ +
Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades Josep M. Lluch_______________ _7
3 Teoremes relatius a funcions derivables
3.1 Derivabilitat i continuïtat Teorema: f derivable en x a f contínua en x a= ⇒ = El recíproc no és cert: pot ser que f sigui contínua en ax = sense ser-hi derivable. Exemples : a) xxf =)( és contínua en 0=x però no hi és derivable: ' (0) 1 ' (0) 1f i f+ −= = −
b)
=
≠
=
00
01
·)(
xsi
xsix
sinxxf és contínua en 0=x però no hi és derivable.
En efecte: 0 0 0
1·
( ) (0) 1
0x x x
x sinf x f x
lím lím lím sinx x x→ → →
− = = −
que no existeix
3.2 Estudi de la derivabilitat d’una funció
Teorema: Si f és contínua en ax = es compleix: ' ( ) '( )
x af a lím f x
−−→
= i ' ( ) '( )x a
f a lím f x++
→= (si aquests límits existeixen).
Exemple 1 : Estudiem la derivabilitat de la funció: ( ) 2 ( 3)f x ln x= + − en 4=x .
La funció és contínua en 4=x perquè és composició de funcions contínues. Notem que la funció es pot definir a trossos de la manera següent:
2 ( 3) 4( )
2 ( 3) 3 4
ln x si xf x
ln x si x
+ − ≥= − − < <
Llavors:
14
3'( )1
3 43
si xxf x
si xx
> −= − < < −
4 4
1' (4) '( ) 1
3x xf lím f x lím
x− −−→ →
−= = = −−
4 4
1' (4) '( ) 1
3x xf lím f x lím
x+ ++→ →
= = =−
Hi ha un punt angulós en 4=x .
Exemple 2 : Estudiem la derivabilitat de
≥++−<−
=012
012)(
2 xsixx
xsiexf
x
4
2
Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades Josep M. Lluch_______________ _8
Òbviament:
>+−<
=022
02)('
xsix
xsiexf
x
Estudiem la situació en 0=x .
a) Vegem primerament si )(xf és contínua en 0=x :
( )( )
0 0
2
0 0
(0) 1
( ) 2 1 1
( ) 2 1 1
x
x x
x x
f
lím f x lím e
lím f x lím x x
− −
+ +
→ →
→ →
=
= − =
= − + + =
⇒ )(xf és contínua en 0=x
b) Derivabilitat:
( )
'
0 0
'
0 0
(0) '( ) 2 2
(0) '( ) 2 2 2
x
x x
x x
f lím f x lím e
f lím f x lím x
− −
+ +
−→ →
+→ →
= = =
= = − + =
⇒ )(xf és derivable en 0=x i, per tant, en ℝ .
3.3 Teorema (o regla) de l’Hôpital
Siguin f i g dues funcions que compleixen:
a) ( ) ( ) 0x c x clím f x lím g x
→ →= = ,
b) Existeix '( )
'( )x c
f xlím
g x→
En aquestes condicions es compleix: ( ) '( )
( ) '( )x c x c
f x f xlím lím
g x g x→ →=
Aquest teorema també es compleix quan if g tendeixen a infinit i quan x tendeix a infinit.
La regla de l'Hôpital serveix per a resoldre diferents tipus d'indeterminacions en el càlcul de límits.
Exemples :
1. ( )2
3 2 20 0 0
110 1 11
0 3 33 1x x x
x arctg x xlím lím límx x x→ → →
−− += = = = +
2. 20 0 0
1 01
/ 2 0 1x x x
cos x sin x cos xlím lím lím
x x→ → →
− = = = =
3. ( )2
2
3 33 3 3
2 2
xx x
x x x
lnlnlím lím lím
x x→+∞ →+ ∞ →+∞
∞ = = = = + ∞ ∞
0
1
Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades Josep M. Lluch_______________ _9
4. ( ) [ ]1 1 1
2
1( 1) 1( 1) 0·( )1 1/
( )x x x
ln x xlím ln x ln x lím límx
ln x ln x
+ + +→ → →
− ∞ −− = − ∞ = = = = −∞
2 2
1 1
( ) 0 ( ) 20
1 0 1x x
x ln x ln x ln xlím lím
x+ +→ →
+ = = = = − −
5. [ ]2
1 1 1 1
2
1 111 1 1 0 1
1 1 11 ( 1) 0 2x x x x
x ln x x xlím lím lím límxln x x x ln x ln x
x x x
→ → → →
− − − − = ∞ − ∞ = = = = = −− − + +
6. 0
1( 1) 0ln x
xlím x
+→ − = Sigui 0
1( 1) 0ln x
xA lím x
+→ = − = ; prenent logaritmes:
[ ]1 1 1
( 1) ( 1) ( 1) 0ln x ln x
x x xln A ln lím x ln A lím ln x ln A lím ln x ln x ln A
+ + +→ → →
= − ⇔ = − ⇔ = − ⇔ =
(segons l’exemple 4) Per tant: 1A =
4 Aplicacions a l’estudi de la gràfica d’una funció
4.1 Extrems relatius: màxims i mínims
Definició prèvia Si a i r són nombres reals, amb 0r > , s’anomena entorn de centre a i radi r l’interval obert ( , )a r a r− + . Es representa: ( )rE a
4.1.1 Màxim relatiu Es diu que la funció f té un màxim relatiu en el punt x a= si existeix un entorn
( )rE a tal que si ( )rx E a∈ i x a≠ es compleix: ( ) ( )f x f a< . Si la desigualtat es
compleix per a qualsevol x del domini de f , es diu màxim absolut . 4.1.2 Mínim relatiu Es diu que la funció f té un mínim relatiu en el punt x a= si existeix un entorn ( )rE a
tal que si ( )rx E a∈ i x a≠ es compleix: ( ) ( )f x f a> . Si la desigualtat es compleix
per a qualsevol x del domini de f , es diu mínim absolut .
a
r
a + r a – r
Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades Josep M. Lluch_______________ _10
Per a l’existència d’extrems relatius en un punt no cal que la funció hi sigui derivable, ni tan sols contínua. 4.1.3 Relació amb la derivada Condició necessària: Si f té un extrem relatiu en x a= i és derivable en x a= ,
es compleix: '( ) 0f a =
Nota : La condició anterior no és suficient: pot ser '( ) 0f a = sense que hi hagi extrem
en el punt x a= (per exemple: 3( )f x x= en 0x = )
Condicions suficients: Suposem que f admet derivades primera i segona en el punt x a= .
Si '( ) 0f a = i ''( ) 0f a > , f té un mínim relatiu en x a= .
Si '( ) 0f a = i ''( ) 0f a < , f té un màxim relatiu en x a= .
(Si '( ) 0f a = i ''( ) 0f a = , no es pot afirmar res.)
Aquestes condicions no són necessàries: pot ser que f tingui un extrem en x a=
amb ''( ) 0f a = (exemple: 4( )f x x= en 0x = ).
4.2 Monotonia: creixement i decreixement
4.2.1 Creixement en un punt i en un interval
4.2.1.1 Es diu que la funció f és creixent en el punt
a Dom f∈ si existeix un
entorn ( )rE a tal que:
( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
r
r
x E a i x a f x f a
x E a i x a f x f a
∈ < ⇒ ≤
∈ > ⇒ ≥ Si les desigualtats en els segons membres de les implicacions són estrictes es diu que f és estrictament creixent en el punt a .
Mínim sense continuïtat Mínim amb continuïtat però sense derivabilitat
Mínim amb derivabilitat
a a a
a x1
f (a) f (x1)
f (x2)
x2
Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades Josep M. Lluch_______________ _11
4.2.1.2 Es diu que la funció f és creixent en l’interval ( , )a b si per a qualsevol
parell de punts 1 2ix x de l’interval, amb 1 2x x< , es compleix:
( ) ( )1 2f x f x≤ .
Si la desigualtat és estricta, es diu estrictament creixent en l’interval.
Teorema : Una funció és creixent en un interval obert si ho és en cadascun dels punts de l’interval, i viceversa. 4.2.2 Decreixement en un punt i en un interval. 4.2.1.1 Es diu que la funció f és decreixent en el punt a Dom f∈ si existeix un
entorn ( )rE a tal que:
( )( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
r
r
x E a i x a f x f a
x E a i x a f x f a
∈ < ⇒ ≥
∈ > ⇒ ≤
Si les desigualtats en els segons membres de les implicacions són estrictes es diu que f és estric-tament decreixent en el punt a . 4.2.1.3 Es diu que la funció f és decreixent en l’interval ( , )a b si per a qualsevol parell de punts
1 2ix x de l’interval, amb
1 2x x< , es compleix:
( ) ( )1 2f x f x≥ .
Si la desigualtat és estricta, es diu estrictament decreixent en l’interval.
Teorema : Una funció és decreixent en un interval obert si ho és en cadascun dels punts de l’interval, i viceversa. 4.2.3 Relació amb la derivada Condicions suficients: Suposem que f és derivable en el punt x a= .
Si '( ) 0f a > , f és creixent (estrictament) en x a= .
Si '( ) 0f a < , f és decreixent (estrictament) en x a= .
(Si '( ) 0f a = , no es pot afirmar res.)
Aquestes condicions no són necessàries: f pot ser creixent o decreixent en x a=
amb '( ) 0f a = (per exemple: 3( )f x x= en 0x = ). Conseqüència: Si '( ) 0f a > en tots els punts d’un interval, la funció f serà creixent en l’interval.
Si '( ) 0f a < en tots els punts d’un interval, la funció f serà decreixent en l’interval.
a x1
f (a)
f (x1)
f (x2)
x2
Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades Josep M. Lluch_______________ _12
Condicions necessàries: Suposem que f és derivable en el punt x a= .
Si f és creixent en x a= , es compleix: '( ) 0f a ≥ .
Si f és decreixent en x a= , es compleix: '( ) 0f a ≤ .
Teorema : a) Si f és contínua en x a= i existeix un entorn d’aquest punt tal que a l’esquerra de
a la funció és creixent i a la dreta és decreixent, la funció presenta un màxim relatiu en x a= .
b) Si f és contínua en x a= i existeix un entorn d’aquest punt tal que a l’esquerra de a la funció és decreixent i a la dreta és creixent, la funció presenta un mínim relatiu en x a= .
4.3 Curvatura: concavitat i convexitat
4.3.1 Funció còncava Es diu que la funció f és còncava en un interval si tot segment que uneix dos punts de la gràfica dins de l’interval està per sobre de la gràfica. Es diu que la funció f és còncava en un punt x a= si ho és en un entorn d’aquest
punt. En cas que f sigui derivable en x a= la tangent en el punt ( ), ( )a f a estarà per
sota de la gràfica. 4.3.2 Funció convexa Es diu que la funció f és convexa en un interval si tot segment que uneix dos punts de la gràfica dins de l’interval està per sota de la gràfica. Es diu que la funció f és convexa en un punt x a= si ho és en un entorn d’aquest
punt. En cas que f sigui derivable en x a= la tangent en el punt ( ), ( )a f a estarà per
sobre de la gràfica.
a b
Funció còncava en un interval
a
Funció còncava en un punt
Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades Josep M. Lluch_______________ _13
b a
Funció convexa en un interval
a
Funció convexa en un punt
Teorema: Si una funció és convexa o còncava en tots els punts d’un interval, ho serà en tot l’interval. 4.3.3 Relació amb les derivades Condicions suficients: Suposem que f admet segona derivada en el punt x a= .
Si ''( ) 0f a > , f és còncava en x a= .
Si ''( ) 0f a < , f és convexa en x a= .
(Si ''( ) 0f a = , no es pot afirmar res.)
Aquestes condicions no són necessàries: f pot ser còncava o convexa en x a= amb
''( ) 0f a = (per exemple: 4( )f x x= en 0x = ). Conseqüència: Si ''( ) 0f a > en tots els punts d’un interval, la funció f serà còncava en l’interval.
Si ''( ) 0f a < en tots els punts d’un interval, la funció f serà convexa en l’interval.
Condicions necessàries: Suposem que f té derivada segona en el punt x a= .
Si f és còncava en x a= , es compleix: ''( ) 0f a ≥ .
Si f és convexa en x a= , es compleix: ''( ) 0f a ≤ .
4.4 Punts d’inflexió
4.4.1 Definició Es diu que la funció f té un punt d’inflexió en x a= si hi és contínua i en un entorn d’aquest punt es compleix que a l’esquerra de a és còncava i a la dreta de a és convexa (o al revés).
a a
Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades Josep M. Lluch_______________ _14
Si hi ha inflexió en x a= i existeix '( )f a , la tangent en el punt ( ), ( )a f a travessa la
gràfica. 4.4.2 Relació amb la derivada segona Condició necessària: Si f té un punt d’inflexió en x a= i existeix ''( )f a es
compleix: ''( ) 0f a =
Nota : La condició anterior no és suficient: pot ser ''( ) 0f a = sense que hi hagi inflexió
en x a= (per exemple: 4( )f x x= en 0x = )
Condicions suficients: Suposem que f admet derivades primera, segona i tercera en el punt x a= . Si ''( ) 0f a = i '''( ) 0f a > , f té un punt d’inflexió en x a= (de convexa a còncava)
Si ''( ) 0f a = i '''( ) 0f a < , f té un punt d’inflexió en x a= (de còncava a convexa)
(Si ''( ) 0f a = i '''( ) 0f a = , no es pot afirmar res.)
Aquestes condicions no són necessàries: pot ser que f tingui una inflexió en x a=
amb '''( ) 0f a = (exemple: 5( )f x x= en 0x = ).
4.5 Generalització dels criteris d’extrems i mono tonia
'( ) 0f a f és creixent en x a> ⇒ =
'( ) 0f a f és decreixent en x a< ⇒ =
Resum (teorema de Taylor) Per saber quina és la situació en el punt ax = es calculen les derivades successives en aquest punt. ♦ Si la primera derivada que dóna diferent de zero és d'ordre parell , la funció té un extrem relatiu en ax = (mínim si és positiva, màxim si és negativa). ♦ Si la primera derivada que dóna diferent de zero és d'ordre imparell , la funció és creixent o decreixent en ax = segons que sigui positiva o negativa respectivament.
''( ) 0
''( ) 0
''( ) 0
f a f té mínim relatiu en x a
f a f té màxim relatiu en x a
f a i
> ⇒ = < ⇒ =
=
'''( ) 0 ( )
'''( ) 0 ( )
'''( ) 0
f a f és creixent en x a amb inflexió
f a f és decreixent en x a amb inflexió
f a i
> ⇒ = < ⇒ =
=
(4)
(4)
(4)
( ) 0
( ) 0
( ) 0 ...
f a f té mínim relatiu en x a
f a f té màxim relatiu en x a
f a i
> ⇒ =
< ⇒ = =
'( ) 0f a i=
Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades Josep M. Lluch_______________ _15
4.6 Generalització dels criteris d’inflexions i cur vatura
''( ) 0f a f és còncava en x a> ⇒ =
''( ) 0f a f és convexa en x a< ⇒ =
Resum (teorema de Taylor) Per saber quina és la situació en el punt ax = es calculen les derivades successives en aquest punt a partir de la segona. ♦ Si la primera derivada que dóna diferent de zero és d'ordre parell , la funció és còncava o convexa en ax = (segons si és positiva o negativa respectivament). ♦ Si la primera derivada que dóna diferent de zero és d'ordre imparell , la funció té un punt d’inflexió en ax = (de convexa a còncava si és positiva, de còncava a convexa si és negativa).
4.7 Relació entre les gràfiques de f i f ’ (exemple)
Observeu que: en l’interval en què la derivada és positiva la funció és creixent: (4, )+ ∞
en l’interval en què la derivada és negativa la funció és decreixent: ( , 4)− ∞
en el punt 4x = en què la funció té un extrem (mínim) la derivada val 0 . en els punts 1x = i 3x = en què la derivada té un extrem, la funció té inflexions.
'''( ) 0 ( )
'''( ) 0 ( )
'''( ) 0
f a f té inflexió en x a de convexa a còncava
f a f té inflexió en x a de còncava a concexa
f a i
> ⇒ = < ⇒ =
=
(4)
(4)
(4)
( ) 0
( ) 0
( ) 0
f a f és còncava en x a
f a f és convexa en x a
f a i
> ⇒ =
< ⇒ =
=
(5)
(5)
(5)
( ) 0
( ) 0
( ) 0 ...
f a f té inflexió en x a
f a f té inflexió en x a
f a i
> ⇒ =
< ⇒ = =
''( ) 0f a i=
f
f ’
4 3
1
Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades Josep M. Lluch_______________ _16
Criteris suficients per a l'existència d'extrems i inflexions i per a la monotonia i la curvatura a partir de les d erivades
successives
f ' (a) < 0
f ' (a) = 0
f ' (a) > 0
f’’(a) < 0
f decreixent i convexa
en x = a
Màxim en x = a
(convexa)
f creixent i convexa
en x = a
f '''(a)<0
f '''(a)>0
f '''(a)<0
f '''(a)>0
f '''(a)>0
f '''(a)<0
f’’(a) = 0
f decreixent amb inflexió en x = a
inflexió amb tangent horitzontal en x = a
f creixent amb inflexió
en x = a
f’’(a) > 0
f decreixent i còncava
en x = a
mínim en x = a
(còncava)
f creixent i còncava
en x = a
Aquestes condicions són suficients però no necessàries :
♦ Pot haver-hi mínim en x a= sense que necessàriament sigui ''( ) 0f a > (pot ser ''( ) 0f a = ).
♦ Pot haver-hi màxim en x a= sense que necessàriament sigui ''( ) 0f a < (pot ser ''( ) 0f a = ).
♦ Pot haver-hi inflexió en x a= sense que necessàriament sigui '''( ) 0f a = .
a a
a a a
a
a a a
a a a
Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades Josep M. Lluch_______________ _17
4.5 Gràfica d’una funció. Exemple model
2
3
2
3
)1(12)(
−=
+−=
x
x
xx
xxf
1. Domini : { } { }2 2 1 0 1Dom f x x x= ∈ − + ≠ = −ℝ ℝ
2. Signe de la funció : Noteu que el denominador és positiu; per tant, el signe de f
només depèn del numerador: 00)( 3 >⇔> xxf 0>⇔ x
000)( 3 <⇔<⇔< xxxf .
Per tant f serà positiva si 0>x (gràfica al primer quadrant) i negativa si 0<x (gràfica al tercer quadrant).
3. Simetries :
−≠≠
−−−=−
)(
)(
)1()(
2
3
xf
xf
x
xxf per tant no és ni parella ni imparella: no té
cap mena de simetria. 4. Interseccions amb els eixos :
a) Amb l'eix d'abscisses: 0)( 3 =⇔=⇔= xxxf 00 . Intersecció: ),0( 0 .
b) Amb l'eix d'ordenades: 0)( =0f . Intersecció: )0,(0 .
5. Monotonia i extrems relatius : 2 2 3 3 2
4 3
3 ·( 1) 2( 1)· 3'( )
( 1) ( 1)
x x x x x xf x
x x
− − − −= = =− −
2
3
( 3)
( 1)
x x
x
−−
♦ Punts en què 'f és discontínua: 1=x .
♦ Punts en què 0)(' =xf :
==
⇔=−⇔=−3
00)3(·03 223
x
xxxxx
♦ Signe de la derivada:
• ⇒>⇒< 0)('0 xfx )(xf és estrictament creixent en )0,( ∞− .
• ⇒>⇒<< 0)('10 xfx )(xf és estrictament creixent en )1,0( .
• ⇒<⇒<< 0)('31 xfx )(xf és estrictament decreixent en )3,1( .
• ⇒>⇒> 0)('3 xfx )(xf és estrictament creixent en ),3( ∞+ . Extrems relatius : En 3=x la funció és contínua i passa de decreixent a creixent; per tant hi
ha un
mínim en el punt
=4
27,3))3(,3( f
6. Curvatura : 46
23232
)1(
6
)1(
)3(·)1(3)1(·)63()(''
−=
−−−−−−=
x
x
x
xxxxxxxf
♦ Punts en què ''f és discontínua: 1=x .
♦ Punts en què 0)('' =xf : 006 =⇔= xx .
0 1 3
Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades Josep M. Lluch_______________ _18
♦ Signe de la derivada segona: • ⇒<⇒< 0)(''0 xfx )(xf és convexa en )0,( ∞− .
• ⇒>⇒<< 0)(''10 xfx )(xf és còncava en )1,0( .
• ⇒>⇒> 0)(''1 xfx )(xf és còncava en ),1( ∞+ . Inflexions : En 0=x la funció és contínua i passa de convexa a còncava, per tant hi ha una inflexió en el punt )0,0())0(,0( =f . 7. Asímptotes i discontinuïtats :
a) Verticals : Només n'hi pot haver en 1=x : ∞+=→
)(lím1
xfx
(El signe positiu es
dedueix de l'estudi del creixement i de la concavitat.) Per tant, la recta 1=x és asímptota vertical de la funció. Hi ha una discontinuïtat infinita en 1=x . b) Horitzontals : ( )
xlím f x→+ ∞
= + ∞ ; ( )xlím f x→− ∞
= − ∞ . Per tant, no n'hi ha ni per la
dreta ni per l'esquerra.
c) Obliqües : 3
2
( )1 ( )
( 1)x x
f x xlím lím m
x x x→ ∞ →∞= = =
−
3
2( ( ) )
2 1x x
xlím f x mx lím x
x x→ ∞ → ∞
− = − = − +
2
2
22 ( )
2 1x
x xlím n
x x→ ∞
−= = =− +
Per tant, la recta d'equació 2+=⇔+= xynmxy és
asímptota obliqua de la funció per l'esquerra i per la dreta.
1x ====
2y x= += += += +
0 1 3
274
0 1
Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades Josep M. Lluch_______________ _19
5 Problemes d’optimització (o d’extrems condicionat s)
Aquests problemes consisteixen a trobar el valor màxim o mínim d'una magnitud (optimitzar-la) que depèn d'una altra, estant totes dues sotmeses a una condició que les relaciona o lliga. Cal expressar la magnitud a optimitzar com una funció f que depengui d'una sola variable
utilitzant la condició, i calcular el valor màxim o mínim de f . Exemple model : Calculem quines són les dimensions del triangle d'àrea màxima entre tots els que estan inscrits en una circumferència de radi 10r cm=
La funció que s'ha d'optimitzar (en aquest cas, maximitzar) és l'àrea del triangle:
xyxy
A ·2
·2 ==
De moment depèn de dues variables: x i y . El fet que el triangle estigui inscrit en la circumferència imposa a les variables la condició següent (teorema de Pitàgores):
222 10)10( =−+ xy
D'aquesta condició obtenim: 220 xxy −= . Substituint en l'expressió de l'àrea, podem expressar-la com una funció que depèn només de x :
Àrea = 220·)( xxxxA −= definida en l'interval [ ]0, 20
El valor màxim es presentarà per a algun valor de x en què )(' xf valgui 0 . (També es podria
donar en algun extrem de l'interval [ ]0, 20 , però tant )0(f com )20(f valen 0 .)
2
2
2
2
20
230
202
220·20)('
xx
xx
xx
xxxxxA
−
−=−
−+−= ;
==
⇒=−⇒=15
002300)(' 2
x
xxxxA
La solució 0=x no és vàlida (anul·la el denominador de la derivada). El valor màxim de l'àrea es dóna quan
cmx 15= . (Per confirmar que és un màxim i no un mínim es podria calcular
)('' xA i comprovar que 0)15('' <A ). Les dimensions són, doncs:
22 2 20·15 15 10 3base y cm= = − =
altura = cmx 15= . L'àrea màxima serà:
23752
15·310cmA == .
(Observeu que es tracta d'un triangle equilàter.)
2( ) · 20f x x x x= −= −= −= −
75 3
0 15 20
x
y
10
10
Anàlisi de 2n de batxillerat: 3. Derivades Josep M. Lluch_______________ _20
– 2 0 12− 2 12
3( ) 12f x x x= −
0si x< 0si x>
'( ) 0f x <
'( ) 0f x >[ ]2, 2si x∉ −
'( 2) 0f − = '(2) 0f = ( 2 , 2)si x∈ −
– 2 2 0
''( ) 6f x x=
Relació entre les derivades successives d'una funci ó, la monotonia, els extrems, la curvatura i els punts d'inflexió
'''(0) 0f >
Exemple:
''(0) 0f = ''( 2) 0f − < ''(2) 0f > ''( ) 0f x < ''( ) 0f x >
inflexió màxim mínim f f f en x = 0 en x = – 2 en x = 2 convexa còncava decreixent
si x < 0 si x > 0 en (– 2, 2) creixent en
2'( ) 3 12f x x= −
– 2 2
– 12
0
– 2 2 0
6
'''( ) 6f x =
3f(x) x 12x= −= −= −= −
( , 2)
(2, )
i− ∞ −+ ∞