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Profa. Ana Blanco de González, EdD 1
CÁTEDRA DE MATEMÁTICA I
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y SOCIALES
UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA
CÁTEDRA DE MATEMÁTICA I
FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y SOCIALES
UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA
PROFESORA ANA BLANCO DE GONZÁLEZ, EdDPROFESORA ANA BLANCO DE GONZÁLEZ, EdD
FUNCIONES FUNCIONES REALES DE UNA REALES DE UNA VARIABLE REALVARIABLE REAL
FUNCIONES FUNCIONES REALES DE UNA REALES DE UNA VARIABLE REALVARIABLE REAL
Profa. Ana Blanco de González, EdD 2
•Correspondencia
•Asociación
•Conjunto de pares ordenados
RELACIÓNRELACIÓN
Profa. Ana Blanco de González, EdD 3
Dominio: (Dom)
Rango: (Rgo)
Elementos del conjunto de partida que están relacionados
Elementos del conjunto de llegada que están relacionados
Imágenes:
Elementos del conjunto de partida que están relacionados
Profa. Ana Blanco de González, EdD 4
•Frases:
•Los países y sus capitales
•Los venezolanos y sus números de cédula
•Un estudiante y sus calificaciones
•Ecuaciones:
•y = x2
•Ejes cartesianos
Representación:
Profa. Ana Blanco de González, EdD 5
Conjunto de partida R Conjunto de llegada
Perú Lima
Colombia Bogotá
Venezuela Caracas
Ecuador Quito
Bolivia La Paz
Dom R = {P, C, V, E, V}
Rgo R = {L, B, C, Q, L}
Imag R = {L, B, C, Q, L}
Diagramas:
Profa. Ana Blanco de González, EdD 6
Relación donde todos
los elementos del conjunto de
partida tienen sólo una imagen
en el conjunto de llegada
Conclusión:
Todos los elementos del conjunto de partida están en el dominio
FUNCIÓNFUNCIÓN
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Definición de Función:
Dados dos conjuntos A y B tal que f: A B entonces:
f es función f A x B
a) x A, y B: (x,y) f
b) (x,y) f (x,z) f y = z
Profa. Ana Blanco de González, EdD 9
Notación funcionalNotación funcional
y =f (x)
Nombre de
la función
Variable
independiente
Variable
dependiente
•Se lee: y es igual a f de x
•Se interpreta: los valores de y dependen de los valores de x
• y es la imagen de x
• x es la preimagen o contraimagen de y
Profa. Ana Blanco de González, EdD 10
• Criterio para determinar el dominio de una función a partir de su gráfica:
Basta con trazar rectas verticales en los extremos de la gráfica. El Intervalo comprendido entre las rectas representa el dominio de la función
• Criterio para determinar el rango de una función a partir de su gráfica:
Basta con trazar rectas horizontales en los extremos de la gráfica. El Intervalo comprendido entre las rectas representa el rango de la función
• Criterio para determinar si una relación es una función a partir de su gráfica:
Basta con verificar que cualquier recta vertical corta a la gráfica en a lo más un punto
Profa. Ana Blanco de González, EdD 14
Funciones de una variable:Funciones de una variable:
Cuando el valor de una variable depende del valor de una variable independiente
Funciones de varias variables:Funciones de varias variables:
Cuando el valor de una variable depende del valor de varias variables independientes
Profa. Ana Blanco de González, EdD 15
Ejemplos:
i) El área de un círculo depende
(Función de una variable)
de la longitud de su radio
ii) El área de un triángulo
depende
(Función de dos variables)
de la longitud de su base
y la longitud de su altura
A(r)= .r2
A(b,h)=b.h/2
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Ejemplos:iii) El volumen de un paralelepípedo
depende de la longitud del ancho, largo y altura
(Función de tres variables)
iv) Las ganancias de una compañía dependen de varios factores: costo, producción, mano de obra, etc.
(Función de varias variables)
V(l,a,h)=l.a.h
G(c,l,k,q,p)=U
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Funciones cuyos dominios y rangos son subconjuntos de los números reales R
f : R R
Conjunto de partida
DominioRango
Conjunto de llegada
FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE
FUNCIONES REALES DE UNA VARIABLE
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Cálculo del dominio de una funciónCálculo del dominio de una función
Para calcular el dominio de cualquier función, deben considerarse las siguientes restricciones:
• Para funciones con raíces de índice par, la cantidad subradical debe ser mayor que cero o igual a cero
• Para funciones logarítmicas, el argumento debe ser mayor que cero
• Para funciones expresadas como fracciones, el denominador debe ser distinto de cero
• Se intersecan los dominios, una vez aplicadas las restricciones y el resultado es el dominio de la función
Profa. Ana Blanco de González, EdD 19
Ejemplo: Calcula el dominio de la siguiente función
Cálculo del dominio de una funciónCálculo del dominio de una función
5
)43(xLn f(x)
2
x
x
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• Se considera f como resultado de la operación de dos funciones:
Cálculo del dominio de una funciónCálculo del dominio de una función
• Se aplican las restricciones a cada una de las funciones:
)(4, ,-1)(- x 0 43 xi) 2 x
)43(xLn f(x) 2 x5
1 (x)f2
x
),5(505ii) xxx
Profa. Ana Blanco de González, EdD 21
- -1 0 4 5
• Se intersecan los intervalos resultantes de las restricciones:
Cálculo del dominio de una funciónCálculo del dominio de una función
• El intervalo resultado de la intersección es el
dominio de la función f: Dom f = (5,)
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Clasificación de funciones realesClasificación de funciones reales
Algebraicas
Trascendentes
Explícitas
Implícitas
Enteras
Racionales
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Clasificación de funcionesClasificación de funcionesSea f: A B
• Función Inyectiva
Si elementos distintos del dominio tienen imágenes distintas
f es inyectiva a,bA: ab f(a)f(b)
o también
f es inyectiva a,bA: f(a) = f(b) a = b
• Función Biyectiva:
Si f es inyectiva y sobreyectiva
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Clasificación de funcionesClasificación de funciones
Sea f: A B
• Función Sobreyectiva:
Si cada elemento del conjunto de llegada es imagen de algún elemento del dominio
f es sobreyectiva bB a A: b = f(a)
o también
f es sobreyectiva Ranf = B
• Función Biyectiva:
Si f es inyectiva y sobreyectiva
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Clasificación de funcionesClasificación de funciones
• Criterio para determinar si una función es inyectiva a partir de su gráfica:
Basta con verificar que cualquier recta horizontal corta a la gráfica en a lo más un punto
• Criterio para determinar si una función es sobreyectiva a partir de su gráfica:
Basta con verificar con rectas horizontales que a cualquier y le corresponde un x, es decir, al menos un punto según la gráfica
Profa. Ana Blanco de González, EdD 26
No es inyectiva
No es sobreyectiva
No es biyectiva
Es inyectiva
No es sobreyectiva
No es biyectiva
Es inyectiva
Es sobreyectiva
Es biyectiva
Profa. Ana Blanco de González, EdD 27
Clasificación de funciones reales
Sea f: A R
f es par x A: f(x) = f(-x)
f es impar x A -x A: f(x) = -f(-x)
• Una función par tiene gráfica simétrica con respecto al eje y
• Una función impar tiene gráfica simétrica con respecto al origen
• Una gráfica simétrica con respecto al eje x corresponde a una relación, no es función
• Existen funciones que no son pares ni impares
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Es par
Simétrica con respecto al eje y
y = f (x) = f (-x)
Es impar
Simétrica con respecto al eje y
y = f (x) - y = f (-x)
No es par
No es impar
-x x
y -x x
y
- y
Profa. Ana Blanco de González, EdD 29
Clasificación de funciones realesClasificación de funciones reales
Sea f: A R y un intervalo I A
f es creciente en I a,b I: a < b f(a) < f(b)
f es decreciente en I a,b I: a < b f(a) > f(b)
También
f es no-decreciente en I a,b I: a < b f(a) f(b)
f es no-creciente en I a,b I: a < b f(a) f(b)
Profa. Ana Blanco de González, EdD 30
Gráficamente:
En el intervalo (-,0) es Decreciente: a < b f (a) > f (b)
En el intervalo (0,) es Creciente: c < d f (c) < f (d)
f(a)
f(d)
f(c)
f(b)
- a b 0 c d
Profa. Ana Blanco de González, EdD 31
Gráficamente:
En el intervalo (-,0) f es Creciente: a < b f (a) < f (b)
En el intervalo (0,) f es Creciente: c < d f (c) < f (d)
f(d)
f(c)
f(b)
f(a)
- a b 0 c d
Profa. Ana Blanco de González, EdD 32
Clasificación de funciones realesClasificación de funciones reales
Sea f: A B
f tiene un máximo en a x A: f(x) f(a)
f tiene un mínimo en b x A: f(x) f(b)
También
f tiene un máximo en a f(a) es el máximo de Ranf
f tiene un mínimo en b f(b) es el mínimo de Ranf
Profa. Ana Blanco de González, EdD 33
Gráfica de una función real de una variable realGráfica de una función real de una variable real
Para graficar funciones es útil determinar los puntos de corte con los ejes coordenados, sea f(x) = y
Corte con el eje x: se resuelve la ecuación f(x) = 0 los puntos obtenidos pueden ser más de uno, se escriben (xi,0)
0 x
y
Corte con el eje y: se calcula: y = f(0) el punto es único, se escribe (0,f(0))
Conjunto de todos los puntos (x,f(x))
Profa. Ana Blanco de González, EdD 34
Traslado horizontal de la gráfica de una función real de una variable real:
La gráfica de g es equivalente a la gráfica de f trasladada a unidades horizontalmente
Siendo y = f(x) g(x) = f(x+a)
Si a > 0 la gráfica de f se traslada hacia la izquierda
Si a < 0 la gráfica de f se traslada hacia la derecha
0 x
y
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Traslado vertical de la gráfica de una función real de una variable real:
La gráfica de g es equivalente a la gráfica de f trasladada k unidades verticalmente
Siendo y = f(x) g(x) = f(x) + k
Si k > 0 la gráfica de f se traslada hacia arribaSi k < 0 la gráfica de f se traslada hacia abajo
0 x
y
Profa. Ana Blanco de González, EdD 36
Traslado simultáneo de la gráfica de una función real de una variable real:
La gráfica de g es equivalente a la gráfica de f trasladada a unidades horizontalmente k unidades verticalmente
Siendo y = f(x) g(x) = f(x+a) + k
0 x
y
Profa. Ana Blanco de González, EdD 37
Función Constante: f(x) = cEjemplos : y = 1 y = - 3 y = 5
Algunas Funciones RealesAlgunas Funciones Reales
Profa. Ana Blanco de González, EdD 38
Algunas Funciones RealesAlgunas Funciones Reales
Función Lineal: f(x) = m x + k
• A y = m x + k se le llama Ecuación de la recta
• La representación gráfica de la Función Lineal es
una recta cuyos puntos de corte con los ejes son:
- Corte con el eje x: (-k/m,0)
- Corte con el eje y: (0,k)
•Al valor m se le llama pendiente de la recta
Profa. Ana Blanco de González, EdD 39
f(x) = x +5 g(x) = -x +1 h(x) = x -3
Ejemplos de funciones lineales:
Profa. Ana Blanco de González, EdD 40
Algunas Funciones RealesAlgunas Funciones Reales
Función Cuadrática: f(x) = ax2 +bx +c
• Representación gráfica: una parábola
• Si a > 0 la concavidad es hacia arriba (f es cóncava)
• Si a < 0 la concavidad es hacia abajo (f es convexa)
• Corte con el eje x: (x1, 0)(x2, 0)
• Corte con el eje y: (0,c)
• Vértice: (-b/2a, f(-b/2a))
Profa. Ana Blanco de González, EdD 41
f(x) = x2 g(x) = -x2 -1 h(x) = (x-5)2 -1
Ejemplos de funciones cuadráticas:
Profa. Ana Blanco de González, EdD 42
Algunas Funciones RealesAlgunas Funciones Reales
Función Potencial: f(x) = a xn
•Si n = 0 corresponde a la función constante f(x) = a
• Si n < 0 la gráfica es una curva asintótica con respecto a los ejes coordenados
•Si n = -1 la gráfica se denomina hipérbola rectangular, y crece o decrece indefinidamente a medida que x toma valores cercanos a cero y viceversa
•Si 0 < n < 1 la gráfica es una curva, y crece o decrece moderadamente a medida que x cambia de valor
• Si n = ½ corresponde a la función raíz cuadrada f(x) = x, la gráfica es la mitad de una parábola
Profa. Ana Blanco de González, EdD 43
•Si n = 1/3 corresponde a la función raíz cúbica f(x) = 3x
•Si n = 1 corresponde a la función lineal f(x) = a x
• Si n > 1 la gráfica es una curva, y crece o decrece pronunciadamente a medida que x cambia de valor
• Si n = 2 corresponde a la función cuadrática f(x) = a x2
• Si n = 3 corresponde a la función cúbica f(x) = a x3
• El signo de a determina el cuadrante del sistema de coordenadas donde se ubica la gráfica de la función
• En economía estas funciones son usadas frecuentemente, consideradas sólo para valores a > 0
Algunas Funciones RealesAlgunas Funciones Reales
Función Potencial: f(x) = a xn
Profa. Ana Blanco de González, EdD 44
Ejemplos de funciones potenciales:
f(x) = x-1 g(x) = -x-1 h(x) = x-3 i(x) = -x-3
Profa. Ana Blanco de González, EdD 45
Ejemplos de funciones potenciales:
j(x) = x1/3 k(x) = x1/2 m(x) = x4 q(x) = -x4
Profa. Ana Blanco de González, EdD 46
f(x) = x3 g(x) = 2 x3 h(x) = - 2 x3
Ejemplos de funciones cúbicas:
Profa. Ana Blanco de González, EdD 47
Funciones Polinómicas:
f(x) = cnxn + c n-1xn-1 +... +c2x2 + c1x1 + c0
F.Cúbica:f(x)= c3x3 + c2x2 + c1x1 + c0
F.Cuadrática: f(x)= c2x2 + c1x1 + c0
F.Lineal:f(x)= c1x1 + c0
F.Constante:f(x)= c0
Algunas Funciones RealesAlgunas Funciones Reales
Profa. Ana Blanco de González, EdD 48
f(x) = x g(x) = -x - 1 h(x) = x-5- 1
Algunas Funciones RealesAlgunas Funciones Reales
Función Valor Absoluto: f(x) = xEjemplos:
Profa. Ana Blanco de González, EdD 49
f(x) = (½)x g(x) = 2x h(x) = (2x + 5) - 3
Algunas Funciones RealesAlgunas Funciones Reales
Función Exponencial: f(x) = ax (a>0 a1)
Ejemplos:
Profa. Ana Blanco de González, EdD 50
f(x) = ln x g(x) = ln (x + 3) h(x) = ln(x-5) - 2
Algunas Funciones RealesAlgunas Funciones Reales
Función Logarítmica: f(x) = logaxEjemplos:
Profa. Ana Blanco de González, EdD 51
Gráfica de una función a trozos
Gráfica de una función a trozos
• Considerando sus respectivos dominios, cada una de las funciones se grafica por separado
• Luego se representan en un sistema de coordenadas único
Profa. Ana Blanco de González, EdD 52
Ejemplo: construye la gráfica de la siguiente funciónEjemplo: construye la gráfica de la siguiente función
x4 si 5
4x1 si 23
1x5- si )5ln(
-5x- si 1
)(2 xx
x
x
xf
Profa. Ana Blanco de González, EdD 57
Ejemplo:Se representan las funciones dadas en un único sistema
de coordenadas, considerando los respectivos dominios
de cada función
- -5 -1 0 4 +
X-1 Ln(x+5) X2-3x+2 -5
Profa. Ana Blanco de González, EdD 59
Operaciones con funcionesOperaciones con funcionesAl operar funciones:• Se ubican en el sistema de ejes coordenados
los dominios de cada una de las funciones
• Se intersecan los dominios
• Se operan las funciones en cada uno de los intervalos así construidos
• En aquellos intervalos donde no se definen todas las funciones, no se realiza la operación (en ese caso no hay intersección)
Profa. Ana Blanco de González, EdD 60
Ejemplo: Dadas las funciones f y g, construye las funciones: f + g , f – g , f . g , f / g. Indica el dominio
6 si x (- , - 4)
g(x) = ln (x – 2) si x [-3, 1)
x - 3 + 1 si x [ 1, + )
x2– 3 x + 4 si x (- , - 3)
f (x) = x + 4 - 2 si x [-3, - 1]
ln (x – 2) si x (- 1, + )
Operaciones con funcionesOperaciones con funciones
Profa. Ana Blanco de González, EdD 61
f
- -3 -1 0
- -4 -3 0 1
g
Operaciones con funcionesOperaciones con funciones
• Los intervalos resultantes de la intersección son:
(-,-4) (-4,-3) (-3,-1) (-1,1) (1,)
• Cualquier función resultado de una operación entre f y g, estará definida en esos intervalos
Profa. Ana Blanco de González, EdD 62
x2– 3 x + 4 x + 4 - 2
- -3 -1 0
ln (x – 2)
- -4 -3 0 1
6 ln (x – 2) x - 3 + 1
Operaciones con funcionesOperaciones con funciones
• En el intervalo (-,-4) se operan las funciones: (x2– 3 x + 4) y 6
• En el intervalo (-4,-3) no se operan funciones, solo está (x2– 3 x + 4)
• En el intervalo (-3,-1) se operan las funciones: x + 4 - 2 y ln (x – 2)
• En el intervalo (-1,1) se operan las funciones: ln (x – 2) y ln (x – 2)
• En el intervalo (1,) se operan las funciones: ln (x – 2) y x - 3 + 1
Profa. Ana Blanco de González, EdD 63
Operaciones con funcionesOperaciones con funciones
Por ejemplo:
(x2– 3 x + 4) + 6 si x (-,-4]
(f + g)(x)= x + 4 - 2 + ln (x – 2) si x [-3,-1]
ln (x – 2) + ln (x – 2) si x (-1,1)
ln (x – 2) + x - 3 + 1 si x [1,)
El Dominio de la función f + g:
(-,-4] [-3,-1] (-1,1) [1,)
o también: (-,-4] [-3,)
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Cálculo de la compuesta de dos funciones
Cálculo de la compuesta de dos funciones
Dadas f(x) y g(x) para calcular la compuesta:
• Se verifica la condición de existencia de la compuesta
• Si se pide (f o g)(x), se calcula f(g(x)), es decir, se calcula g(x) y a este resultado se le aplica f
• Si se pide (g o f)(x), se calcula g(f(x)), es decir, se calcula f(x) y a este resultado se le aplica g
Profa. Ana Blanco de González, EdD 65
Ejemplo: Dadas f y g, calcula f o g y g o f
Cálculo de la compuesta de dos funcionesCálculo de la compuesta de dos funciones
Se calcula el dominio y el rango de f y g, para verificar la condición de existencia de (fog) ó (gof)
Domf = R Rgof = [-1,) Domg =(0,) Rgog = R
f(x) = x2 – 1 g(x) = Ln x
Profa. Ana Blanco de González, EdD 66
Para fog, la condición de existencia Rgog Domf se cumple: R R
Cálculo de la compuesta de dos funcionesCálculo de la compuesta de dos funciones
Entonces, se calcula f(g(x)):
(f o g)(x) = f (g(x))
(f o g)(x) = (Lnx)2 - 1
(f o g)(x) = (g(x))2 - 1
g(x) = Ln x f(x) = (x)2 – 1
(f o g)(x) = (Lnx)2 - 1
Profa. Ana Blanco de González, EdD 67
Cálculo de la compuesta de dos funcionesCálculo de la compuesta de dos funciones
(g o f)(x) = g (f(x))
(f o g)(x) = Ln (x2 - 1)
(g o f)(x) = Ln (f(x))
f(x) = x2 – 1 g(x) = Ln (x)
(f o g)(x) = Ln (x2 - 1)
Para gof, la condición de existencia Rgof Domg se cumple: [-1,) (0,)
Entonces, se calcula g(f(x)):
Profa. Ana Blanco de González, EdD 68
Cálculo de la inversa de una funciónCálculo de la inversa de una función
Para calcular la inversa de una función f:• Se verifica la condición de existencia de f - 1 • Analíticamente:
- en la ecuación y = f(x) se despeja x- se intercambian los nombres: en lugar de y se escribe x, en lugar de x se escribe f - 1
• Gráficamente: - las gráficas de f y f - 1 son simétricas con
respecto al origen
Profa. Ana Blanco de González, EdD 69
Ejemplo: Dada f(x) = x2 – 1 calcula f -1
Cálculo de la inversa de una funciónCálculo de la inversa de una función
(1) Se calcula el dominio y el rango de f: Domf = R Rgof = [-1,)
(2) Se representa gráficamente f, la cual es una función cuadrática
Profa. Ana Blanco de González, EdD 70
(3) Se verifica la condición de existencia de la inversa de f, es decir si f es una función biyectiva:
(i) ¿Es f inyectiva? No porque f(1) = f(-1) = 0
Cálculo de la inversa de una funciónCálculo de la inversa de una función
Para que f sea inyectiva se hace restricción al dominiogarantizando que no haya dos x con la misma imagen
(ii) ¿Es f sobreyectiva? No porque Rgof R
Para que f sea sobreyectiva se hace restricción al conjunto de partida garantizando que todas las y sean imagen de alguna x
Profa. Ana Blanco de González, EdD 71
Analíticamente:(1) Se despeja x de la ecuación:
Cálculo de la inversa de una funciónCálculo de la inversa de una función
1 y x
1 y x
1 xy
1x f(x)
2
2
2
(2) Se hace restricción, tomando una de las dos soluciones:
1 y x
Profa. Ana Blanco de González, EdD 72
Analíticamente:(3) Se intercambian los nombres: en lugar de y se
escribe x, en lugar de x se escribe f -1
Cálculo de la inversa de una funciónCálculo de la inversa de una función
!!!!!!! f -1 es la inversa de f !!!!!!!
1 x f
1 y x
1-
Profa. Ana Blanco de González, EdD 73
Gráficamente:Las gráficas de f –1 y f son simétricas con respectoal origen
Cálculo de la inversa de una funciónCálculo de la inversa de una función
Profa. Ana Blanco de González, EdD 74
Analíticamente:Se puede comprobar que f y f -1 son inversas, con
la composición de ambas funciones:
Cálculo de la inversa de una funciónCálculo de la inversa de una función
x
x
11x
1)1(x
1f(x)(f(x))f
1x(x)f
2
2
2
1-
-1
) )
x
1-1 x
11x(x))f(f
1(x)f(x))f(f
1x f(x)
21-
21-1-
2