Post on 19-Sep-2020
ALGUNOS RESULTADOS SOBRE EL ALGORITMO AVARICIOSO DE CHEBYSHEV
Eugenio Hernández
Colaboradores: P. Berná, O. Blasco, G. Garrigós, T. Oikhberg
XIV Encuentro Nacional de Analistas A.P. Calderón
21-24 Noviembre, 2018
MTM-2016-76566-P
..
.
.
.
.
.
.
.
1. NOTACIÓN
Base de Schauder:
Base de Cesàro:
• X = espacio de Banach sobre IF = I IR o
'a )
• D= Len ) n Sistema de Markus erich semi normalized con
functionals biortogonales BEten II,
• e : lek ) = On,
y• Os Cz I H eh It
,
I ten H E G s -
• Complete : X = span{#• Total I Si end Cx 1=0 f.n
,entombsx.
= O.
• x - EE,
einen .Sumas pariahs Snl
Eriksen) = II
,
Enix, en
.
.
sumpIt Sn It : = Kb so
• Medias de Cesaro : Cw = the ISnn =L
Sgp It Cn It : =p s -
NOTA : f =L emin × ) base trig .in Orden ( O,
-11,
- I,
2,
-2, . . . . }
no esSchauder
en L' CM ). pero es Cesaro em L' lit I .
Conjunto avaricioso:
Algoritmo avaricioso:
La eficiencia del algoritmo avaricioso se mide comparándolo con el error de la mejor aproximación
Parámetro de Lebesgue:
(Konyagin-Temlyakov-1998):
-
x EX,
ME IN ; AC IN es un Conjunto avarice.
Oso de
tamari m ( A E Glx,
m ' ) si IA f- m y nmeina ten I x ) I Z hf¢a¥ ten Cx ) I.
Egmlxl =
¥a
einen con A E G Cx,
m )
Tm IX ) = in f ( It x -
y I I i y-
- ntyzanen ,an Elf
,113km )
Lmftsl :-. Sup : Tinto ,
egmarariciosoj.
I BSchauder_ I Lm 1/31=012 ) ⇒
B es incondicional ydemocratic a
Nomenclature a : Si Lm 1/31=0117,
D se dice avaricious
Sistema incondicional:
Sistema democrático:
Ejemplo 1: Toda base ortonormal en un espacio de Hilbert es avariciosa
Ejemplo 2 (Temlyakov, 1999):
Ejemplo 3 (Temlyakov, 1999):
Kulm :
= ?ayEw 11Pa HE Ku donde Palxtrefaenlxsen
I Os Daa tal que si A,
B a IN,
IAI =L
BIENse tiene HnEaenH ED III. enll .
#de Haaren1
ai
LP ( to,
21 ) , Is p soo,
es avarice.
Osa .o
. zI
Para 7=1
ekin'T en
LPC 't ),
I's pea ,
NID
se tiene Lm IF,
47171) =pml } - It
.
2. ALGORITMO AVARICIOSO DE CHEBYSHEV
Algoritmo avaricioso de Chebyshev de orden m:
La eficiencia del algoritmo avaricioso de Chebyshev se mide comparándolo con el error de la mejor aproximación
Parámetro de Lebesgue:
Nota: El algoritmo avaricioso de Chevyshev fue definido por S. Dilworth, N. Kalton y D. Kutzarova (2003) y estudiado con más detalle por S. Dilworth, D. Kutzarova y T. Oihkberg (2016)
.
.
. es un element Cfml x ) E
span I en : NEA ) con A EG Ix,
m ) tal fire
It x - Cgmlxlll = min { Hx - Ia anent I an Elf )
Tm IX ) = inf ( Hx -
y It ? y-
- netyzanen ,an Elf
,113km )
oh Cfml It
Lmftsl := sup {"
: Trixie , Cfml x ) owari:de Chebyshev }
(P. Berná - 2018):
Sistema quasi-avaricioso:
NOTACIÓN
oh
Nomenclature a : Si Lm 1131=0127,
D se dice semi - avariciosa
( B Schauder ) B es semi - avariciosa ⇒
B es quasi - avaciciosaydemoarati.ca .
GINI : = sup { Heyn It :
gnavaricioso) Sfs
• 1A-
- ja en con Ac IN finite
• Lea =
T.gg En en con Ac IN finite y E =L EDI ,,
I Enl = I
him , := sup L ff}A,÷ : LAK 113km ) C para'
metro de democracia )
3. ACOTACIONES ELEMENTALES
Lema 1:
Lema 2:
La estimación universal del Lema 2 se alcanza para la base “suma” y su biortogonal, la base “diferencia”
Base “suma”:
Base “diferencia”:
.
I $ M . sistema ) :Emhlfslelmlp I S2 Kimi imhlfs)
(§ M - Sistema ) Linh (B.
) E 1+2 Mm donde
M = I sumpHenk I I gyp
1199118X I an-
- tanh,
AIR"
: HEH -
- sump 1¥ an I } y Bien )
la base canthi ca de sucesiones ( It en 11=1 )
Bt = I e :3 ,e : = ez ,
et -
- en - en . a ,con la
Norma de l'
I Heil=L,
lien 11=2 si n 72 )
Para la base “suma”:
Para esta sucesión puede probarse:
. Linh 1131 E 1+4 m
I xn ) = ( I,
I, I ,
- - -
e I , 4 I , I ,- I
,I
,. . .
,
- I,
I,
O,
O,
. . . . )- - - -
im in
• HI - C Gml It It Z I I l E ,I
, f- , . . .
, I ,2
, } , I ,0
,O
. . . 111 = 2 m t f-
-m_-• om tx I E IllI - 210,1,I,¥0 ,
0,
0,
- . . I I I = I
•LYN If ) z 2mt% = It 4 m
42
4. ACOTACIONES INFERIORES
Teorema 3:
Ejemplo (Sistema trigonométrico)
$ Cesaiw con constante A
Yih÷.
E 394441311713
para todo IA 1=1131 Em,
con
AT2B o
'B > 2A y 151=2 ,
17,1=2
B A
1 M 2M
. E={ e ""n×3 ! on PITT ),
LEPE
emlyakov 119991 : Lchmtfl ) I
Lmlz,
LP ) E Cp m' } - It
• CA so Isp E 2 -
l2mi lex
• B = I - l, . . .
,e )
,e=Lm# j 1B
-
-I e es el mildew de
K - - l
Dirichlet : 111,311ps in - %.
• A = I 2J josjsjo.tk ] lacunar : 111A Hp = Tm I 2J Em ) K - P)
• E es Schauder en MMI si Isp S2 y por tanto Cesaro ( D= 2)
Por elteorema 3, in 17,417 3 Y,}A÷ Cp M¥-121
CASO 2 EP so Intercambiar A y B
en#anteriocCASO p • Reemplazar el conjunto lacunar por polinomios
de Rudin - Shapiro : Rex ) =eiN×n'
en ein "
con Ene I I,
-23 y
I Ems 2" ? Con B -
- N + to, q . . .
. ,2 !
. z } se tiene 1143110=11 Rotter
Con A -
- Itt , . . ,H2'
- H ) se tiene 111A Ha = HD2 ! ,-211
,Im .
CASO p =L Con B =L - l,
. .
,l )
,111,3112=11Dell ,
= log my
A- = 121 : josjcjotm ) ,
2%4 my111amrm ⇒ WE HIT Dzceortfm -
Teorema 4: B Cesaro con constants
HIEA " £39215413,
para todo IAI = 1131 Em,
con A > 2 I B sopy )I
y 151 =L, 1%1=1 y letnlyll EI .
B y A.
I m 2M 4M
CASO 10=1 A y B como en el Caso Isps 2. Elegin y toe que
I ,zty= Ve con Ve = 2 IIe - Fe niche de de la Vallie -
PoussinDirichlet peg.
?de la Vallie - Rusin
111,3 y 11
,=
=HVeHzE3- e o e me o e se . e o e Ll
. .
5. ACOTACIÓN SUPERIOR
Teorema 5:
Base de Lindenstrauss:
$ Sistema de Markus enrich en X
LYN (B ) E 2912M ) -14µm ) GIM )
ton.
Gim Supt Hgmllifmararicioso )
Y 111 callJum ) = Sup ( - i IAKIBKM
,let =L
, 171=2}thy Blt
es el park metro de super - democracia.
I =L Xn } con in = en - Lean+ I I Gns ,
con
donde ten } es la base Camonica de l 'll Nl, y norma It Her .
Sab emos Lm IL ) I log m y , por ce Terre ma 5,
Linh I L ) = . 012 )
Parque Gm ILIE of y Trim ) = 011 ).