COMBINATORIA Por Osman Villanueva Garca Enseanza de las Matemticas para Profesores del SEIEM Pgina 1 NDICE: 1.Introduccin 2.Nmero factorial 3.Variaciones4.Permutaciones 5.Combinaciones 6.Nmeros combinatorios 7.Tringulo de Tartaglia 8.Binomio de Newton Introduccin: La combinatoria estudia las diferentes formas en que se pueden realizar la ordenacin o agrupamiento de unos cuantos objetos siguiendo unas determinadas condiciones o reglas. Una forma de hacer estos recuentos es utilizar los diagramas en rbol. Estos recuentos estn ntimamente relacionados con la probabilidad. Nmero factorial: es el producto de nmeros naturales consecutivos. Si n es un nmero natural, entonces su factorial es: n! = (n)(n-1)(n-2).........321 Todo producto tiene al menos dos factores, luego debemos admitir que: 0! = 1 y que 1! = 1 Variaciones ordinarias: Se llama variaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n (nsm) a los distintos grupos formados por n elementos de forma que: -los n elementos que forman el grupo son distintos (no se repiten) -Dos grupos son distintos si se diferencian en algn elemento o en el orden en que estn colocados (influye el orden). Vm,n = )! n m (! m COMBINATORIA Mat. Osman Villanueva Garca Pgina 2 Variaciones con repeticin: se llama variaciones con repeticin de m elementos tomados de n en n a los distintos grupos formados por n elementos de manera que: -los elementos que forman cada grupo pueden estar repetidos-Dos grupos son distintos si se diferencian en algn elemento o en el orden en que estos estn colocados (influye el orden). VRm,n = mn Permutaciones ordinarias: se llama permutaciones de m elementos a las diferentes agrupaciones de esos m elementos de forma que: -en cada grupo intervienen los m elementos sin repetirse ninguno (intervienen todos los elementos) -dos grupos son diferentes si el orden de colocacin de alguno de esos m elementos es distinto (influye el orden). Pm = m! Permutaciones con repeticin: se llama permutaciones con repeticin de m elementos donde el primer elemento se repite a veces , el segundo b veces, el tercer c, etc., a los distintos grupos que pueden formarse con esos m elementos de forma que: -intervienen todos los elementos-dos grupos se diferencian en el orden de colocacin de alguno de sus elementos. PRma,b,c... = !... c ! b ! a! m

Combinaciones: se llama combinaciones de m elementos tomados de n en n (nsm) a todas las agrupaciones posibles que pueden hacerse con los m elementos de forma que: -cada agrupacin est formada por n elementos distintos entre s -dos agrupaciones distintas se diferencian al menos en un elemento, sin tener en cuenta el orden. Cm,n = )! n m ( ! n! m = ||.|

\|nm = nmero combinatorio COMBINATORIA Mat. Osman Villanueva Garca Pgina 3 Combinaciones con repeticin: se llama combinaciones con repeticin de m elementos tomados de n en n, a los distintos grupos formados por n elementos de manera que: -los elementos que forman cada grupo pueden estar repetidos-dos agrupaciones distintas se diferencian al menos en un elemento, sin tener en cuenta el orden . CRm,n = ||.|

\| += +n1 n m)! 1 m ( ! n)! 1 n m ( Por ejemplo las combinaciones con repeticin de los elementos (a,b,c,d) tomados de dos en dos son:aa ab ac adbb bc bdcc cddd Otro ejemplo: en una bodega hay 12 botellas de ron, 12 de ginebra y 12 de ans .Un cliente compr 8 botellas en total . Cuntas posibilidades hay? CR8,3 =120 Resumen:

Intervienen todos sus elementos PERMUTACIONES No intervienen todos sus elementos VARIACIONES (Influyen el orden) COMBINACIONES(No influyen el orden) COMBINATORIA Mat. Osman Villanueva Garca Pgina 4 Nmeros combinatorios:Se llama nmero combinatorio de ndice m y orden n al nmero de combinaciones de m elementos tomados de n en n tales que nsm.

||.|

\|nm=)! n m ( ! n! m Propiedades: ||.|

\|0m=||.|

\|nm= 1Tringulo de Tartaglia o Pascal: ||.|

\|nm=||.|

\| n mm ||.|

\|nm+||.|

\|+1 nm=||.|

\|++1 n1 m

||.|

\|nn+||.|

\| +n1 n+................+||.|

\|nm= ||.|

\|++1 n1 m Binomio de Newton:

(a + b) = a + b (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a + b)4 = a4 + 4a3b + 6 a2b2 + 4ab3 + b4

........................................... Si nos fijamos atentamente, los coeficientes coinciden con los del tringulo de Pascal, los exponentes de a van disminuyendo desde n hasta 0 y los de b van aumentando desde 0 hasta n, y en cada trmino la suma de los exponentes de a y b es igual a n. Generalizando: (a + b)n =||.|

\|0nanb0 + ||.|

\|1nan-1b1 + ......................+||.|

\|1 nna1bn-1 + ||.|

\|nna0bn ||.|

\|00 ||.|

\|01||.|

\|11 ||.|

\|02||.|

\|12||.|

\|22 ||.|

\|03||.|

\|13||.|

\|23||.|

\|33 ||.|

\|04||.|

\|14||.|

\|24||.|

\|34||.|

\|44 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 COMBINATORIA Mat. Osman Villanueva Garca Pgina 5 Problemas Propuestos 1.Decuntasformasdistintaspuedensentarseochopersonasenunafilade butacas? 2.Decuntasformaspuedenmezclarselossietecoloresdelarcoiristomndolos de tres en tres? 3.Cuntos nmeros de 5 cifras diferentes se puede formar con los dgitos: 1, 2, 3, 4, 5? 4.Enunaclasede35estudiantessequiereelegiruncomitformadoportres alumnos. Cuntos comits diferentes se pueden formar? 5.Cuntos nmeros de tres cifras se puede formar con los dgitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5?6.Decuntasformasdistintaspuedensentarseochopersonasalrededordeuna mesa redonda? 7.Cuntasquinielasdeunacolumnahanderellenarseparaasegurarseelacierto de los 15 resultados? 8.CuntasapuestasdeLoteraPrimitivadeunacolumnahanderellenarsepara asegurarse el acierto de los seis resultados, de 49? 9.Enunabodegahaycincotiposdiferentesdebotellas.Decuntasformasse pueden elegir cuatro botellas? 10.Conlascifras1,2y3,cuntosnmerosdecincocifraspuedenformarse? Cuntos son pares? 11.Conel(punto,raya)delsistemaMorse,cuntassealesdistintassepueden enviar, usando como mximo cuatro pulsaciones? 12.Cuntas diagonales tiene un pentgono y cuntos tringulos se puede informar con sus vrtices? 13.Ungrupo,compuestoporcinco hombresysietemujeres,formauncomitde 2 hombres y 3 mujeres. De cuntas formas puede formarse, si: I.Puede pertenecer a l cualquier hombre o mujer. II.Una mujer determinada debe pertenecer al comit. III.Dos hombres determinados no pueden estar en el comit. 14.Con las cifras 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4; cuntos nmeros de nueve cifras se pueden formar? COMBINATORIA Mat. Osman Villanueva Garca Pgina 6 15.Conlasletrasdelapalabralibro,cuntasordenacionesdistintassepueden hacer que empiecen por vocal? 16.Cuntosnmerosdecincocifrasdistintassepuedenformarconlascifras impares? Cuntos de ellos son mayores de 70,000? 17.En el palo de seales de un barco se pueden izar tres banderas rojas, dos azules y cuatro verdes. Cuntas seales distintas pueden indicarse con la colocacin de las nueve banderas?18.Connuevealumnosdeunaclasesedeseaformartresequiposdetresalumnos cada uno. De cuntas maneras puede hacerse? 19.Unamesapresidencialestformadaporochopersonas,decuntasformas distintas se pueden sentar, si el presidente y el secretario siempre van juntos? 20.Se ordenan en una fila 5 bolas rojas, 2 bolas blancas y 3 bolas azules. Si las bolas deigualcolornosedistinguenentres,decuntasformasposiblespueden ordenarse? 21.Decuntasformasdiferentessepuedencubrirlospuestosdepresidente, vicepresidenteytesorerodeunclubdeftbolsabiendoquehay12posibles candidatos? 22.Cuatro libros distintos de matemticas, seis diferentes de fsica y dos diferentes dequmicasecolocanenunestante.Decuntasformasdistintasesposible ordenarlos si: I.Los libros de cada asignatura deben estar todos juntos. II.Solamente los libros de matemticas deben estar juntos. 23.Unapersonatienecincomonedasdedistintosvalores.Cuntassumas diferentes de dinero puede formar con las cinco monedas? 24.Hallaelnmerodecapicasdeochocifras.Cuntoscapicashaydenueve cifras? Enlace de Problemas Resueltos (ltima visita 10 de junio de 2011): http://www.unlu.edu.ar/~dcb/matemat/combina1.htm COMBINATORIA Mat. Osman Villanueva Garca Pgina 7 Ejercicios Resueltos: 1.Cuntos nmeros de tres cifras se pueden formar con los dgitos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9? Las cifras se pueden repetir. La cifra de las centenas no puede ser cero. Variaciones con repeticin. Solucin: 900 nmeros diferentes.2. Un entrenador de ftbol disponeen la plantilla de su equipo de 7 delanteros de la misma calidad y que pueden actuar indistintamente en los tres puestos de ataque del equipo. Cuntas delanteras distintas podra confeccionar? Variaciones sin repeticin. Solucin: 210 delanteras de ataque. 3. De cuntas maneras diferentes se pueden repartir tres premios distintos entreJuan, Pedro, Mara, Alicia y Pilar? Variaciones sin repeticin. Solucin: 60 formas distintas de reparto. 4.Cuntos resultados diferentes se producen al lanzar 5 dados de distinto color y anotar los resultados de la cara superior? Variaciones con repeticin. Solucin: 7776 resultados diferentes. 5.Con un punto y una raya (smbolos clsicos del alfabeto Morse) Cuntas seales distintas de 5 dgitos pueden hacerse? Variaciones con repeticin. Solucin: 32 seales distintas. 6.De cuntas formas pueden sentarse 8 amigos en una fila de butacas de un cine? Permutaciones sin repeticin. Solucin: 40320 formas diferentes de sentarse. 7.Un tcnico de sonido tiene que unir 6 terminales en 6 conexiones. Si lo hiciera al azar, de cuntas formas diferentes podra completar las conexiones? Permutaciones sin repeticin. Solucin: 720 conexiones diferentes. 8.Con las letras de la palabra PELUCA: a) Cuntas ordenaciones distintas se pueden hacer? b)Cuntas empiezan por PEL? Permutaciones sin repeticin. Solucin: a) 720 b) 6 (slo jugamos con las letras UCA) COMBINATORIA Mat. Osman Villanueva Garca Pgina 8 9.Una persona est interesada en contar todos los posibles resultados en el juego de la LOTERA PRIMITIVA. Podras ayudarle? (Tenemos 49 nmeros del 1 al 49, debemos elegir 6) Combinaciones sin repeticin. Solucin: 13983816 boletosdiferentes. 10. Siete amigos hacen cola para el cine. Al llegar slo quedan 4 entradas. De cuntas formas podran repartirse estas entradas para ver la pelcula? Combinaciones sin repeticin. Solucin: 35 formas distintasde reparto. Ms Problemas Propuestos: