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Francisco A. Sandoval
Análisis Estadístico y
Probabilístico
2013 fralbe
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AGENDA
CAP. 5: Valor Esperado
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Agenda
CAP. 5: Valor Esperado
• Valor esperado de una función de v.a.r.
• Valor esperado de una función de vec. a.
• Valor esperado de vectores y matrices.
• Valor esperado condicional
• Funciones características fralbe
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Objetivos
• Caracterización del valor esperado para v.a.r.,
vec.a. y condicional.
• Definir la función característica.
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VALOR ESPERADO DE FUNCIÓN DE VARIABLE ALEATORIA REAL
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Valor esperado de función de v.a.r.
Demostración:
𝐸 𝑦 &= 𝑌&𝑝𝑦 𝑌 𝑑𝑌∞
−∞
&= 𝑌 𝑝𝑥𝑦 𝑋, 𝑌 𝑑𝑋𝑑𝑌∞
−∞
∞
∞
Definición 1: Teorema Fundamental del Valor Esperado Si 𝑦 = 𝑔(𝑥), entonces
𝑌&𝑝𝑦 𝑌 𝑑𝑌∞
−∞
= 𝑔 𝑋 𝑝𝑥 𝑋 𝑑𝑋∞
−∞
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Valor esperado de función de v.a.r.
• Dado 𝑥 = 𝑋, 𝑦 pasa a ser una variable
aleatoria discreta que puede asumir un único
valor 𝑔(𝑥).
𝐸 𝑦 = 𝑝𝑥 𝑋 𝑌&𝛿 𝑌 − 𝑔 𝑋 𝑑𝑌&𝑑𝑋∞
−∞
∞
−∞
• Considerando la propiedad de la función
impulso
𝐸 𝑦 = 𝐸 𝑔 𝑥 = 𝑔 𝑋 𝑝𝑥 𝑋 𝑑𝑋∞
−∞
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Valor esperado de función de v.a.r.
• A partir de la definición 1, es posible llegar a
la definición de cantidades específicas bastante
importantes en la teoría de v.a.
• Conceptos como media, varianza y valor
medio cuadrático son fácilmente definidos a
través de una elección adecuada de la función
𝑔.
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Media
Definición 2: Media La media 𝑚𝑥 de una v.a. 𝑥 es definida a través de la definición 1, tomando 𝑔 𝑥 = 𝑥. Es decir:
𝑚𝑥 = 𝐸,𝑥- = 𝑋&𝑝𝑥 𝑋 𝑑𝑋∞
−∞
Ejemplos: Calcular la media de v.a. específicas muy prácticas: • media de una v.a. uniforme • medía de una v.a. gaussiana • media de una v.a. discreta fra
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Varianza (𝜍𝑥2) y desviación estándar (𝜍)
Ejemplos: Calcular la varianza de v.a. específicas: • varianza de una v.a. uniforme • varianza de una v.a. gaussiana • varianza de una v.a. discreta
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Ejemplo: Media de v.a. uniforme
𝑚𝑥 = 𝑋1
𝑏 − 𝑎𝑑𝑋 =
𝑎 + 𝑏
2
𝑏
𝑎
donde 𝑎 y 𝑏 son parámetros de la función densidad de probabilidad uniforme.
fdp fra
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Ejemplo: Media de v.a. gaussiana
𝑚𝑥 = 𝑋1
2𝜋𝜍𝑒
−𝑋−𝑚 2
2𝜎2 𝑑𝑋∞
−∞
efectuando un cambio de variable 𝑋 − 𝑚 = 𝛼 en la integral, se obtiene
𝑚𝑥 = 𝑚 1
2𝜋𝜍𝑒
−𝛼2
2𝜎2𝑑𝛼& + 𝛼1
2𝜋𝜍𝑒
−𝛼2
2𝜎2𝑑𝛼∞
−∞
∞
−∞
La primera integral es una integral de una función densidad de probabilidad gaussiana a lo largo de ℝ, siendo por tanto igual a 1. La segunda integral es nula porque se trata de la integral de una función impar (producto de una función impar por una función par) a lo largo de un intervalo simétrico en relación al origen. Por tanto:
𝑚𝑥 = 𝑚 donde 𝑚 es uno de los parámetros de la función densidad e probabilidad gaussiana.
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Ejemplo: Media de v.a. gaussiana
Aclaraciones: • Una función 𝑓(𝑥) es par en el intervalo ,𝑎, −𝑎- si 𝑓 𝑥 = 𝑓 −𝑥 • una función 𝑓(𝑥) será impar en el intervalo 𝑎, 𝑏 si 𝑓 𝑥 = −𝑓(−𝑥).
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Varianza (𝜍𝑥2) y desviación estándar (𝜍)
• La raíz cuadrada 𝜍𝑥 de la varianza de una v.a. 𝑥 se denomina desviación estándar de la v.a.
• La varianza (o desviación estándar) es un parámetro asociado a la dispersión de la v.a. en torno de su medía.
Definición 3: Varianza La varianza 𝜍2 de una v.a. 𝑥, es definida a través de la definición 1, tomando 𝑔 𝑥 = 𝑋 − 𝑚𝑥
2. Es decir:
𝜍𝑥2 = 𝐸, 𝑥 − 𝑚𝑥
2- = 𝑋 − 𝑚𝑥2&𝑝𝑥 𝑋 𝑑𝑋
∞
−∞
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Valor cuadrático medio
• El concepto de valor cuadrático medio es importante y bastante utilizado en:
– problemas de optimización y estimación de parámetros.
– cuantizadores (optimizar los niveles de cuantización a través del críterio del mínimo error cuadrático)
Definición 4: Valor cuadrático medio El valor cuadrático medio 𝐸 𝑥2 de una v.a. 𝑥, es definida a través de la definición 1, tomando 𝑔 𝑥 = 𝑥2. Es decir:
𝜍𝑥2 = 𝐸,𝑥2- = 𝑥2&𝑝𝑥 𝑋 𝑑𝑋
∞
−∞
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Valor cuadrático medio
Ejemplos: Calcular el valor cuadrático medio de v.a. específicas: • valor cuadrático medio de una v.a. uniforme • valor cuadrático medio de una v.a. gaussiana
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VALOR ESPERADO DE FUNCIÓN DE VECTOR ALEATORIO
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Valor esperado de función de vector aleatorio
• El concepto de valor esperado de una variable aleatoria 𝑦, es examinado en una situación mas general en que 𝑦 es función de varias variables aleatorias, o sea
𝑦 = 𝑔(𝒙)
Definición 5: Teorema Fundamental del Valor Esperado (Caso General ) Si 𝑦 = 𝑔(𝒙), entonces
𝐸 𝑦 = 𝐸 𝑔 𝒙 = …∞
−∞
∞
−∞
𝑔 𝒙 𝑝𝑥 𝑿 𝑑𝑿∞
−∞
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Valor esperado de función de vector aleatorio
Propiedad 1: El valor esperado de una constante 𝑎 (que equivale a una v.a. que asume un único valor 𝑎 es igual a la propia constante, o sea,
𝐸 𝑎 = 𝑎
Propiedad 2: El valor esperado es un operador lineal, o sea,
𝐸 𝑎𝑖𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
= 𝑎𝑖𝐸,𝑥𝑖-
𝑛
𝑖=1
donde *𝑥𝑖+ son v.a. y *𝑎𝑖+ son constantes reales.
Propiedad 3: El módulo del valor esperado de una variable aleatoria es menor o igual al valor esperado del módulo de la v.a., o sea,
𝐸,𝑥- ≤ 𝐸, 𝑥 - fralbe
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Valor esperado de función de vector aleatorio
Propiedad 4: El operador valor esperado preserva el orden, en el sentido de que si dos v.a. 𝑥 y 𝑦 son tales que
𝑥 𝜔 ≥ 𝑦 𝜔 , ∀&𝜔 ∈ Ω entonces
𝐸 𝑥 ≥ 𝐸,𝑦-
Propiedad 5: En el caso de 𝑛 v.a. estadísticamente independientes 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛, se tiene para cualquier conjunto de funciones *𝑔1, 𝑔2, … , 𝑔𝑛+,
𝐸 𝑔𝑖(𝑥𝑖)
𝑛
𝑖=1
= 𝐸,𝑔𝑖(𝑥𝑖)-
𝑛
𝑖=1
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Valor esperado de función de vector aleatorio
• A partir del resultado general del Teorema
Fundamental del Valor Esperado, es posible
llegar a la definición de algunas cantidades
específicas ampliamente utilizadas en la teoría
de v.a.
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Correlación
Definición 6: Correlación 𝑟𝑥𝑦
La correlación 𝑟𝑥𝑦 entre dos variables aleatorias 𝑥 y 𝑦,
considerando 𝒙 = 𝑥, 𝑦 𝑇 es definida tomando 𝑔 𝒙 = 𝑔 𝑥, 𝑦 =𝑥𝑦 en la ecuación de la definición 5, o sea
𝑟𝑥𝑦 = 𝐸 𝑥𝑦 = 𝑋𝑌&𝑝𝑥𝑦 𝑋, 𝑌& 𝑑𝑋∞
−∞
∞
−∞
𝑑𝑌
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Covarianza
Definición 7: Covarianza 𝑘𝑥𝑦
La covarianza 𝑘𝑥𝑦 entre dos variables aleatorias 𝑥 y 𝑦,
considerando 𝒙 = 𝑥, 𝑦 𝑇 es definida tomando 𝑔 𝒙 = 𝑔 𝑥, 𝑦 =(𝑥 − 𝑚𝑥)(𝑦 − 𝑚𝑦) en la ecuación de la definición 5, donde 𝑚𝑥 y
𝑚𝑦 representan, respectivamente, las medias de las v.a. 𝑥 y 𝑦. Si
tiene en este caso,
𝑘𝑥𝑦 = 𝐸 (𝑥 − 𝑚𝑥)(𝑦 − 𝑚𝑦)
= (𝑋 − 𝑚𝑥)(𝑌 − 𝑚𝑥)&𝑝𝑥𝑦 𝑋, 𝑌& 𝑑𝑋∞
−∞
∞
−∞
𝑑𝑌
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Correlación – covarianza
Demostración:
𝑘𝑥𝑦 &&= 𝐸 𝑥 − 𝑚𝑥 𝑦 − 𝑚𝑦
= 𝐸 𝑥𝑦& − 𝑦𝑚𝑥 − 𝑥𝑚𝑦 + 𝑚𝑥𝑚𝑦
= 𝐸 𝑥𝑦 − 𝑚𝑥𝐸 𝑦 − 𝑚𝑦𝐸 𝑥 + 𝑚𝑥𝑚𝑦
= 𝐸 𝑥𝑦 − 𝑚𝑥𝑚𝑦
La covarianza y la correlación se encuentran relacionadas por la ecuación:
𝑘𝑥𝑦 = 𝑟𝑥𝑦 − 𝑚𝑥𝑚𝑦
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Correlación – covarianza
• En el caso particular de 𝑥 = 𝑦, para el cuadro
del slide anterior, establece una relación entre
la varianza y el valor medio cuadrático de una
v.a. Se tiene,
𝜍𝑥2 = 𝐸 𝑥2 − 𝑚𝑥
2
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Covarianza
• La covarianza entre dos v.a. es un parámetro real que indica, de cierta forma, la relación estadística entre dos v.a.
• Cuanto mayor es el valor del módulo de 𝑘𝑥𝑦 más fuerte es la relación estadística entre 𝑥 y 𝑦.
• Para examinar cuantitativamente el relacionamiento estadístico entre dos variables, es más adecuado la utilización de una cantidad normalizada, puesto que permite caracterizar la relación estadística máxima entre dos v.a. fra
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Coeficiente de Correlación
Definición 8: Coeficiente de Correlación 𝜌𝑥𝑦
El coeficiente de correlación 𝜌𝑥𝑦 entre dos v.a. 𝑥 y 𝑦 es definido por
𝜌𝑥𝑦 =𝑘𝑥𝑦
𝜍𝑥𝜍𝑦
donde 𝜍𝑥 y 𝜍𝑦 representan respectivamente las desviaciones
estándar de las variables 𝑥 y 𝑦, y 𝑘𝑥𝑦 la covarianza entre ellas.
Se puede demostrar que −1 ≤ 𝜌𝑥𝑦 ≤ 1
Por ser limitado, el coeficiente de correlación es más adecuado para indicar la relación estadística entre dos variables que la covarianza. fra
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Coeficiente de Correlación
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v.a. descorrelacionadas
Definición 9: v.a. descorrelacionadas Dos v.a. 𝑥 y 𝑦 son descorrelacionadas cuando
𝜌𝑥𝑦 = 0
o equivalentemente 𝑘𝑥𝑦 = 0
Lo que es equivalente individualmente a 𝑟𝑥𝑦 = 𝑚𝑥𝑚𝑦
Si dos v.a. son estadísticamente independientes, también son descorrelacionadas, puesto que
𝑟𝑥𝑦 = 𝐸 𝑥𝑦 = 𝐸 𝑥 &𝐸 𝑦 = 𝑚𝑥𝑚𝑦
El recíproco de este hecho, sin embargo, no es verdad. fra
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v.a. ortogonales
Los conceptos de media, varianza, valor medio cuadrático, covarianza y correlación, definidos hasta el momento, constituyen casos particulares de los conceptos más generales de momento conjunto y momento conjunto central.
Definición 10: v.a. ortogonales Dos v.a. son ortogonales cuando
𝑟𝑥𝑦 = 0&
Dos v.a. descorrelacionadas son ortogonales si y solamente si por lo menos una de ellas tiene media nula.
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Momento conjuntos
Definición 11: Momentos Conjuntos Los momentos conjuntos de 𝑛 v.a.’s & 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 son definidos considerando
𝑔 𝒙 = 𝑥1𝑘1𝑥2
𝑘2 …𝑥𝑛𝑘𝑛
donde las potencias 𝑘1, 𝑘2. … 𝑘𝑛 son números enteros, cada uno de ellos positivos o igual a cero, los momentos conjuntos son entonces dados por
𝐸 𝑥1𝑘1𝑥2
𝑘2 …𝑥𝑛𝑘𝑛 = … 𝑋1
𝑘1𝑋2𝑘2 …𝑋𝑛
𝑘𝑛 &𝑝𝒙 𝑿 𝑑𝑿∞
−∞
∞
−∞
∞
−∞
La suma 𝑘1 + 𝑘2 + ⋯+ 𝑘𝑛 se denomina orden del momento conjunto. fra
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Momentos conjuntos
Observe que:
• Las cantidades 𝐸,𝑥1𝑥2𝑥𝑛-, 𝐸,𝑥1𝑥22-, 𝐸,𝑥3
3- constituyen todos los momentos conjuntos de
tercer orden.
• La media constituye momentos de primer
orden.
• el valor medio cuadrático y la correlación
constituyen momentos de segundo orden. fralbe
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Momentos conjuntos centrales
Definición 12: Momentos conjuntos centrales Los momentos conjuntos centrales de 𝑛 v.a.’s 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 son definidos considerando
𝑔 𝒙 = 𝑥1 − 𝑚𝑥1
𝑘1𝑥2 − 𝑚𝑥2
𝑘2… 𝑥𝑛 − 𝑚𝑥𝑛
𝑘𝑛
donde las potencias 𝑘1, 𝑘2. … 𝑘𝑛 son números enteros, cada uno de ellos positivos o igual a cero, los momentos conjuntos centrales son entonces dados por
𝐸 𝑥1 − 𝑚𝑥1
𝑘1𝑥2 − 𝑚𝑥2
𝑘2… 𝑥𝑛 − 𝑚𝑥𝑛
𝑘𝑛
= … 𝑋1 − 𝑚𝑥1
𝑘1𝑋2 − 𝑚𝑥2
𝑘2… 𝑋𝑛
∞
−∞
∞
−∞
∞
−∞
− 𝑚𝑥𝑛 𝑘𝑛
𝑝𝒙 𝑿 𝑑𝑿 fralbe
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Momentos conjuntos centrales
Observe que
• La varianza y la covarianza constituyen ambos
momentos centrales de segundo orden.
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VALOR ESPERADO DE VECTORES Y MATRICES
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Valor esperado de vectores y matrices
• El valor esperado de un vector 𝒚 es definido
como u vector de la misma dimensión, cuyas
componentes son los valores esperados de las
componentes de 𝒚.
• El valor esperado de una matriz 𝑨 es definido
como una matriz de la misma dimensión,
cuyos elementos son los valores esperados de
los elementos de 𝑨. fralbe
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Vector media
El vector media 𝒎𝒙 de un vector aleatorio 𝒙 = 𝑥1&𝑥2 &… 𝑥𝑛
𝑇 es definido por
𝒎𝒙 = 𝐸,𝒙- esto significa que
𝒎𝒙 =&
𝐸 𝑥1
𝐸 𝑥2
⋮𝐸,𝑥𝑛-
=
𝑚𝑥1
𝑚𝑥2
⋮𝑚𝑥𝑛
o sea, el vector media de un vector aleatorio 𝒙 es el vector cuyas componentes son las medias de las componentes de 𝒙. fra
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Matriz covarianza
La matriz covarianza 𝐾𝑥 de un vector aleatorio
𝒙 = 𝑥1&𝑥2 &… 𝑥𝑛𝑇 es definida por
𝐾𝑥 = 𝐸 𝒙 − 𝒎𝒙 𝒙 − 𝒎𝒙𝑇
𝑲𝒙 =
𝜍𝑥12 𝑘𝑥1𝑥2
… 𝑘𝑥1𝑥𝑛
𝑘𝑥2𝑥1𝜍𝑥2
2 … 𝑘𝑥2𝑥𝑛
⋮𝑘𝑥𝑛𝑥1
⋮𝑘𝑥𝑛𝑥2
⋱&&&&& ⋮&&&&… &𝜍𝑥𝑛
2
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Media y Covarianza de Vectores aleatorios
Determinar la expresión del vector media y de la matriz covarianza de un vector aleatorio 𝒚 definido como una función lineal de otro vector aleatorio 𝒙, en función del vector media y de la matriz covarianza del vector 𝒙. En este caso considere
𝒚 = 𝑨𝒙 + 𝒃
𝐸 𝒚 = 𝐸 𝑨𝒙 + 𝒃 = 𝑨𝐸 𝒙 + 𝒃 O sea,
𝒎𝒚 = 𝑨𝒎𝒙 + 𝒃
Por otro lado, se tiene
𝑲𝒚 = 𝐸 𝒚 − 𝒎𝒚 𝒚 − 𝒎𝒚𝑇
= 𝐸 𝑨𝒙 − 𝑨𝒎𝒙 𝑨𝒙 − 𝑨𝒎𝒙𝑇 &
o aún, 𝑲𝒚 = 𝐸 𝑨 𝒙 − 𝒎𝒙 𝒙 − 𝒎𝒙
𝑇𝑨𝑇
finalmente, 𝑲𝒚 = 𝑨𝑲𝒙𝑨
𝑇 fralbe
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Matriz covarianza
Demostración:
Propiedad 6: Dado un vector aleatorio 𝒙, con matriz covarianza 𝑲𝒙, es posible hacer que sus componentes estén descorrelatadas dos a dos, a través de una transformación lineal.
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Ejemplo
Considere un vector aleatorio 𝒙 con matriz convarianza
𝑲𝒙 =2 11 2
Encuentre la matriz 𝑷, que transforma el vector aleatorio 𝒙, en un vector aleatorio 𝒚 con componentes descorrelatadas dos a dos.
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VALOR ESPERADO CONDICIONAL
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Valor esperado condicional
Definición 11: Valor esperado condicional El valor esperado de 𝑦, condicionado al evento 𝑀, es definido por
𝐸 𝑦 𝑀 = 𝑌&𝑝𝑦|𝑀 𝑌 &𝑑𝑌&∞
−∞
Definición 12: Valor esperado condicional Para le caso particular 𝑦 = 𝑔(𝑥) el valor esperado de 𝑦, condicionado al evento 𝑀, es definido por
𝐸 𝑔(𝑥) 𝑀 = 𝑔(𝑋)&𝑝𝑥|𝑀 𝑋 &𝑑𝑋&∞
−∞
Y en el caso de función de vector aleatorio
𝐸 𝑔(𝒙) 𝑀 = 𝑔(𝑿)&𝑝𝒙|𝑀 𝑿 &𝑑𝑿&∞
−∞
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FUNCIONES CARACTERÍSTICAS
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Funciones Características de una variable
aleatoria real
Definición 13: Función Carácterística de v.a.r. La función característica de una v.a. 𝑥 es definida como
𝑀𝑥 𝑣 = 𝐸 𝑒𝑗𝑣𝑥
o sea
𝑀𝑥 𝑣 = 𝑒𝑗𝑣𝑋∞
−∞
𝑝𝑥 𝑋 𝑑𝑋
donde 𝑀𝑥 es una función de la v.a.r. 𝑣 y toma valores en el conjunto de los números complejos.
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Ejemplo: Cálculo de función característica
Calcular la función característica de: • una v.a. uniforme • una v.a. exponencial • una v.a. de Poisson • una v.a. gaussiana
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Funciones Características de una variable
aleatoria real
• En la determinación de funciones
características de v.a., las manipulaciones
algebraicas trabajosas pueden ser evitadas.
• Para esto, basta observar que, de no ser por
una sustitución de variables bastante simple,
𝑀𝑥 𝑣 coincide con la Transformada de
Fourier de 𝑝𝑥(𝑋).
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Funciones Características de una variable
aleatoria real
• La Transformada de Fourier de 𝑝𝑥(𝑋) es
definida por
ℱ 𝑝𝑥 𝑋 = 𝑝𝑥 𝑋 𝑒−2𝜋𝑓𝑋𝑑𝑋∞
−∞
se llega fácilmente a la relación
𝑀𝑥 𝑣 = ℱ 𝑝𝑥 𝑋 𝑓=−
𝑣2𝜋
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Funciones Características de una variable
aleatoria real
• Análogamente, conocida la función carácterística de una v.a. es posible obtener la fdp utiliando la transformada inversa de Fourier, dada por
𝑝𝑥 𝑋 = ℱ 𝑝𝑥 𝑋 𝑒𝑗2𝜋𝑓𝑋𝑑𝑓∞
−∞
se obtiene así
𝑝𝑥 𝑋 = ℱ−1 𝑀𝑥 𝑣 |𝑣=−2𝜋𝑓 =1
2𝜋 𝑀𝑥 𝑣 𝑒−𝑗𝑣𝑋𝑑𝑣
∞
−∞
donde ℱ−1 caracteriza la Transformada Inversa de Fourier.
fra
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Funciones Características de una variable
aleatoria real
Propiedad 7: 𝑀𝑥 0 = 1
Propiedad 8: 𝑀𝑥(𝑣) ≤ 1
Propiedad 9: Si 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, entonces
𝑀𝑦 𝑣 = 𝑒𝑗𝑣𝑏𝑀𝑥 𝑎𝑣
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Funciones Características de una variable
aleatoria real
Propiedad 10: Si *𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛+ son v.a. estadísticamente independientes y
𝑦 = 𝑥𝑖𝑛𝑖=1
entonces
𝑀𝑦 𝑣 = 𝑀𝑥𝑖(𝑣)
𝑛
𝑖=1
Propiedad 11:
𝐸 𝑥𝑘 = −𝑗 𝑘𝑑𝑘
𝑑𝑣𝑘𝑀𝑥 𝑣
𝑣=0
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Ejemplo: Funciones Características
Sean 𝑥 y 𝑦 dos v.a. estadísticamente independientes, ambas con fdp uniforme en el intervalo (−1,1- . Determinar la fdp de la v.a. 𝑧 definida como la suma de 𝑥 y 𝑦.
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Ejemplo: Funciones Características
Sean 𝑥 y 𝑦 dos v.a. estadísticamente independientes, ambas con fdp de Poisson de parámetro 𝑎. Determinar la fdp de la v.a. 𝑧 definida como la suma de 𝑥 y 𝑦.
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Teorema del Límite Central
Definición 14: Teorema del Límite Central Sea 𝑦𝑛 una v.a. definida por
𝑦𝑛 = 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
donde *𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛+ son v.a. estadísticamente independientes, identicamente distribuidas, todas con media 𝑚 y varianza 𝜍2. Entonces, la v.a. 𝑧𝑛 que caracteriza la suma normalizada
𝑧𝑛 =𝑦𝑛 − 𝑚𝑦𝑛
𝜍𝑦𝑛
y tal que
lim𝑛→∞
&𝑝𝑧𝑛𝑍 =
1
2𝜋𝑒−
𝑍2
2 fralbe
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FUNCIÓN CARACTERÍSTICA DE VECTOR ALEATORIO
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Función Característica de Vector Aleatorio
Definición 15: Función Característica de Vector Aleatorio La función característica de un vector aleatorio 𝒙, de dimensión 𝒏 es definida por
𝑀𝑥 𝒗 = 𝐸 𝑒𝑗𝒗𝑇𝒙
o sea
𝑀𝒙 𝒗 = … 𝑒𝑗𝒗𝑇𝒙∞
−∞
&𝑝𝑥 𝑿 𝑑𝑿∞
∞
∞
−∞
donde 𝑀𝑥 es una función de las 𝑛 variables *𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛+ que caracterizan el vector 𝒗, y toma valores en el conjunto de números complejos.
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Función Característica de Vector Aleatorio
Propiedad 12: 𝑀𝒙 𝟎 = 1
Propiedad 13: 𝑀𝒙(𝒗) ≤ 1
Propiedad 14: Si 𝒚 = 𝑨𝒙 + 𝒃, entonces
𝑀𝒚 𝒗 = 𝑒𝑗𝒗𝑇𝒃𝑀𝒙(𝑨𝑇𝒗)
Demostración
𝑀𝒚 𝒗 = 𝐸 𝑒𝑗𝒗𝑇𝒚 = 𝐸 𝑒𝑗𝒗𝑇 𝑨𝒙+𝒃 = 𝑒𝑗𝒗𝒃𝐸 𝑒𝑗𝒗𝑇𝑨𝒙
como 𝒗𝑇𝑨 = 𝑨𝑇𝒗 𝑇 fralbe
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Funciones Características de una variable
aleatoria real
Propiedad 15: Si las componentes *𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛+ del vector aleatorio 𝒙 son estadísticamente independientes, entonces
𝑀𝒙 𝒗 = 𝑀𝑥𝑖(𝑣𝑖)
𝑛
𝑖=1
Propiedad 16:
𝐸 𝑥1𝑘1 &𝑥2
𝑘2 …𝑥𝑛𝑘𝑛 = −𝑗 𝑘1+𝑘2+⋯+𝑘𝑛
𝑑𝑘1+𝑘2+⋯+𝑘𝑛
𝛿𝑣1𝑘1𝛿𝑣2
𝑘2 …𝛿𝑣𝑛𝑘𝑛
𝑀𝒙 𝒗
𝒗=𝟎
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Ejemplo: Función Característica de vectores
aleatorios
Sea 𝒙 un aleatorio bidimensional con función característica dada por
𝑀𝒙 𝒗 = 𝑒− 2𝑣12+2𝑣2
2+𝑣1𝑣2 Se desea determinar el vector media 𝒎𝒙 y la matriz covarianza 𝑲𝒙 del aleatorio 𝒙.
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REFERENCIAS
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Referencias
• ALBUQUERQUE, J. P. A.; FORTES, J. M.; FINAMORE, W. A.
(1993) Modelos Probabilísticos em Engenharia Elétrica;
Rio de Janeiro: Publicação CETUC.
• Marco Grivet, Procesos Estocásticos I, Centro de Estudios
em Telecomunicaciones – CETUC, 2006. [Slide]
• Universidad de Cantabria, Teoría de la Probabilidad, Teoría
de la Comunicación, Curso 2007-2008. [Slide]
• ALBERTO LEON-GARCIA, Probability, Statistics, and
Random Processes For Electrical
Engineering, Third Edition, Pearson – Prentice Hall,
University of Toronto, 2008.
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