Post on 30-Sep-2018
Análisis de Señales en Geofísica
5° Clase
Transformada Discreta de Fourier
Facultad de Ciencias Astronómicas y Geofísicas,
Universidad Nacional de La Plata, Argentina
Transformada Discreta
de Fourier
2
Discretización de la Respuesta en
Frecuencia Hemos visto que la respuesta en frecuencia ( ), de un sistema SLI con respuesta
impulsiva , es una función continua y periódica de la frecuencia digital :
n
H
h
1
0
21
2
0
( )
Tomemos muestras de ( ) a intervalos regulares de la frecuencia entre 0 y 2 :
( ) ( ) 0, 1
C
Ni n
n
n
N i k nM
k k nM
n
H h e
M H
H H k H h e k M
21
0
omo ( ) es una función periódica de período 2 , va a resultar una función
discreta, periódica, de período .
Esta ecuación:
k
N i k nM
k n
n
H H
M
H h e
0, 1
representa una transformación de números en números .n k
k M
N h M H
Transformada Discreta
de Fourier
3
Discretización de H(ω)
Con la idea de obtener una transformación inversa simple, vamos a limitar
la cantidad de puntos en frecuencia a la misma cantidad de puntos en tiempo:
21
0
0, 1
Aunque esta restricción no es estrictamente necesaria, al hacerlo nos quedan
ecuaciones con incógnitas.
Multipliquemos ambos miembros por
N i k nN
k n
n
i
H h e k N
N N
e
2
2 2 2 21 1 1 1 1
0 0 0 0 0
, sumemos sobre , e intercambiemos
el orden de las sumatorias:
Introduzcamos la relación de or
k mN
N N N N Ni k m i k n i k m i k m nN N N N
k n n
k k n n k
k
H e h e e h e
togonalidad de la Transformada Discreta de Fourier.
Transformada Discreta
de Fourier
4
Relación de Ortogonalidad de la
Transformada Discreta de Fourier
21
,
0
,
Esta relación está dada por la siguiente expresión:
Donde es el delta de Kronecker:
N i k m nN
n m
k
n m
e N
,
1 si
0 si
La relación de ortogonalidad es simple de verificar si pensamos a la sumatoria
como una suma vectorial en el plano complejo de vectores de módulo unitario
regular
n m
n m
n m
N
mente orientados en todas las direcciones. Para los casos en que ,
los vectores concatenados formarán un polígono cerrado, por lo tanto la resultante
será cero. Si , formarán una línea recta sob
n m
n m
re el eje real de longitud .N
Transformada Discreta
de Fourier
5
Transformada Discreta de Fourier
2 21
0
Haciendo uso de la relación de ortogonalidad, obtenemos una expresión simple que nos
permite calcular los coeficiente a partir de los valores :
n k
N i k m i k mN N
k n
k
h H
H e h e
1 1 1
,
0 0 0
21
0
2
El siguiente par de ecuaciones es conocido como la Transformada Discreta de Fourier:
1
N N Nn
n n m m
n k n
N i k nN
k n
n
i
n k
h N Nh
H h e
h H eN
1
0
0, 1
0, 1
Indicaremos del siguiente modo que es la Transformada Discreta de Fourier de :
N k nN
k
k n
k N
n N
H h
n k
k n
h H
H TDF h
Transformada Discreta
de Fourier
6
Transformada Discreta de Fourier
Si bien presentamos a como la respuesta impulsiva de un SLI y a como una versión
discretizada de su respuesta en frecuencia, la Transformada Discreta de Fourier (TDF)
puede aplicarse a cualquier
n kh H
secuencia. Puede pensarse como una forma general de mapear
números complejos en otros números complejos, donde tiempo y frecuencia juegan
roles idénticos e intercambibles.
No existe una definición
N N
21
0
2
estándar de la TDF sino que podrán encontrar otras versiones con
distintos signos y con diferentes factores, como por ejemplo:
1
1
N i k nN
k n
n
i k nN
n k
k
H h eN
h H eN
1
0
La cantidad de operaciones necesarias para calcular la TDF es proporcional a , sin
embargo existen algoritmos mucho más rápidos conocidos como FFT o transformada rápida
de Fourier, capa
N
N N
2ces de realizar el cálculo en log operaciones, la condición es que la
longitud de la secuencia sea una potencia de dos, es decir que existe entero, tal que 2 .
N N
N
Transformada Discreta
de Fourier
7
TDF en Notación Matricial
2 1
0
01 111 12
1
2 121 222
1 1 1 21
Sea . Podemos escribir la TDF como
En notación matricial tendremos:
1 1 1 1
1
1
1
Nik nN
k n
n
N
N
N NN
W e H W h
H
W W WH
H W W W
H W W
0
1
2
1 11
01 111 12
1
2 121 222
1 1 1 21
La TDF inversa nos quedará:
1 1 1 1
11
1
1
N NN
N
N
N N NN
h
h
h
hW
h
W W Wh
h W W WN
h W W W
0
1
2
1 11
NN
H
H
H
H
Transformada Discreta
de Fourier
8
TDF en Notación Matricial
Es decir que podemos escribir la transformada discreta de Fourier utilizando
notación matricial, del siguiente modo:
H=Wh
Premultiplicando por la matr
H H
iz transpuesta conjugada de W, también llamada
Hermitiana o Hermítica, y teniendo en cuenta que W es una matriz ortogonal,
obtenemos:
W H W Wh Ih
N
H1 h W H
N
Transformada Discreta
de Fourier
9
Propiedades de la TDF
La transformada discreta de Fourier no es más que la transformada Z
evaluada en puntos regularmente dispuestos sobre el círculo unidad.
En consecuencia la mayoría de las propiedades de la TDF nos resultarán
familiares debido a nuestro conocimiento previo de la transformada Z.
Analizaremos en detalle las siguientes propiedades de la TDF:
Periodicidad en tiempo.
Simetrías
Teorema del Corrimiento Li
neal de la Fase
Teorema de Convolución
Transformada Discreta
de Fourier
10
Periodicidad en Tiempo
Una de las consecuencias más importantes de haber discretizado la respuesta en
frecuencia ( ) para obtener la transformada discreta de Fourier , es la de
haber generado periodicidad en el dominio del
kH H
2 2 2 21 1 1
0 0 0
tiempo:
1 1 1
Ambas secuencias, tanto como , son periódica
N N Ni k n N i k n i k N i k nN N N N
n N k k k n
k k k
n N n
n k
h H e H e e H e hN N N
h h
h H
s de período . No nos estamos
refiriendo a la secuencia original, la cual sólo está definida para valores de entre
0 y 1, sino a la secuencia que nos devuelve la transformada discreta de Fourier
inv
N
n
N
ersa cuando la evaluamos en otros valores de .n
Transformada Discreta
de Fourier
11
Forma Centrada de la TDF
Como consecuencia de la peridodicidad de la transformada discreta de Fourier podemos
comenzar la sumatoria en cualquier punto del ciclo, siempre que la extendamos por un ciclo.
Es común escribir la TDF
1 22
2
1 22
2
del siguiente modo:
, 12 2
1
, 12 2
Llamaremos a estas últimas ecuaciones form
N
i k nN
k nN
n
N
i k nN
n kN
k
N Nk
H h e
h H e N NnN
a centrada de la TDF y a las anteriores forma
estándar de la TDF. La forma centrada es más apropiada para discutir las propiedades de
simetría de la TDF, mientras que la forma estándar es más apropiada para implementarla
computacionalemente ya que sólo utiliza subíndices positivos.
Transformada Discreta
de Fourier
12
TDF de una Secuencia Conjugada
1 22
2
Dada la TDF de una secuencia :
, 12 2
Tomemos el complejo conjugado:
n
N
i k nN
k nN
n
h
N NH h e k
1 22* *
2
1 22 ´* * *
´ ´
2
Hagamos el cambio de variables :́
N
i k nN
k nN
n
N
i k nN
k n n kN
n
H h e
k k
H h e TDF h
* * n kh H
Transformada Discreta
de Fourier
13
TDF de una Secuencia Real
*
*
Si es una secuencia real, entonces , en consecuencia su transformada de
Fourier deberá cumplir:
Cuando una función cumple con esta
n n n
k k
h h h
H H
igualdad, se dice que es una función Hermitiana.
Cuando una función es Hermitiana su parte real es par y su parte imaginaria es
impar: Re Re
k kH H
Im Im
O dicho de otra manera, su módulo es par y su argumento es impar:
k k
k k
H H
H H
arg arg
La transformada de Fourier de una función real es una función Hermitiana, es decir,
su espectro de amplitud es par y su espectro de fase es impar.
k kH H
Transformada Discreta
de Fourier
14
Descomposición Par e Impar
Toda secuencia se puede descomponer como la suma de dos secuencias, una par y
otra impar:
Donde:
2
n
par impar
n n n
par pan nn n
h
h h h
h hh h
y
2
Tomando Transformada de Fourier a estas ecuaciones, es fácil de ver las siguientes
propiedades:
r impar imparn nn n
n k
pa
n
h hh h
h H
h
Re
Im
La transformada de Fourier de una función par es real y la de una función impar es
imaginaria pura.
r
k
impar
n k
H
h H
Transformada Discreta
de Fourier
15
Teorema de Parseval
2
Se define la energía de una secuencia como la suma de los cuadrados de
sus amplitudes, es decir:
El teorema de Parseval dice que la energía de
n n
n
Energía de h h
2 2
0
una secuencia de longitud
en el dominio de la transformada discreta de Fourier es veces la energía
de la secuencia en el dominio del tiempo:
n k
k
N
N
N h H
1 1
0
N N
n
Transformada Discreta
de Fourier
16
Teorema del Corrimiento
Lineal de la Fase
0 0
0
2
Veamos como se relaciona la TDF de una secuencia retardada en muestras, con
la TDF de la secuencia original:
Haciendo el cambio de v
i k nN
n n n nk
n
n
TDF h h e
0 0 0
0
0 00
0
0
2 2 2 2
2 2
ariables , obtenemos:
Observe que con los deb
k kk
i k m n i k n i k m i k nN N N N
n n m m n kkm m
i k n i k n i niN Nn n k k k
k
m n n
TDF h h e e h e e TDF h
TDF h e H e H e H e
0
2
idos recaudos para que siga siendo Hermitiana,
esta expresión es válida aún cuando queremos retardar una señal real en una fracción
del intervalo de muestro.
i k nN
kH e
Transformada Discreta
de Fourier
17
Teorema de Convolución
2
2
Consideremos dos secuencias y , con transformadas de Fourier:
G
Multipliquemo
n n
i k nN
k n
n
i k nN
k n
n
f g
F f e
g e
2 2 2
2 2 2
s las transformadas:
G
Tomando las transformada inversa al producto de las transformadas, obtenemos:
1 1
i k n i k m i k n mN N N
k k n m n m
n m n m
i k l i k l iN N N
k k n m
F f e g e f g e
F G e e f g eN N
2
1k n m i k n m lN
n m
k k n m n m k
f g eN
Transformada Discreta
de Fourier
18
Teorema de Convolución
2 2
Utilizando la relación de ortogonalidad de la transformada discreta de Fourier,
obtenemos:
1 1 1
i k l i k n m lN N
k k n m
k n m k
F G e f g eN N N
n mf g N ,
21
*
Es decir: *
Expresado en forma polar:
m l n n l n
n m n
i k lN
k k n n
k
n n k k
f g
F G e f gN
f g F G
Es decir que convolucionar en el dominio del tiempo es equivalente a multiplicar en
el dominio de las frecuencias. Multiplicar en frecuencias es equivale
F Gk kGFiii
k k k k k kF G F e G e F G e
nte a multiplicar
espectros de amplitud y sumar espectros de fase.
Transformada Discreta
de Fourier
19
Teorema de Convolución
De manera análoga se puede demostrar que multiplicar en tiempo es equivalente
a convolucionar en el dominio de las frecuencias:
1
n n j k jkj
TDF f g F GN
*
Observe que existe un factor 1 cuando convolucionamos en el dominio de las
frecuencias, que no aparece cuando convolucionamos en el dominio del tiempo.
T
n n k kf g F G
N
iempos y frecuencias tienen roles indistinguibles e intercambiables en la transformada
de Fourier, si determinada acción en un dominio tiene cierta consecuencia en el otro
dominio, esa misma acción en el segundo dominio tendrá igual consecuencia en el
primer dominio.
Transformada Discreta
de Fourier
20
Convolución Circular
Las TDF y no son en rigor las transformadas de las secuencias y de longitud
, sino que son las las transformadas de Fourier de dos secuencias infinitas, extendidas
a periódicas, de períod
k k n nF G f g
N
o , que en el primer ciclo coinciden con las secuencias originales.
Por lo tanto el producto de las transformadas en el dominio de las frecuencias
corresponde a la convolución de dos secuencias
k k
N
F G
periódicas e infinitas en el dominio del
tiempo. Es por ello que a esta convolución se la llama convolución circular a diferencia
de la convolución que hemos considerado hasta ahora que se denomina convolución lineal.
Veamos un ejemplo, dada dos secuencias y de longitud 4 :
(1,3,0,2)
(1
n n
n
n
a b
a
b
,0, 2,2)
El resultado de la convolución circular será la siguiente secuencia de período 4:
* (7,7,6,10)
Mientras que el resultado de la convolución linea
n na b
l será la siguiente secuencia de longitud 7:
* (1,3,2,10,6,4,4)n na b
Transformada Discreta
de Fourier
21
Diagrama de Convolución Circular
0 1 2 3 0 1 2 3
0 0 0 0 1 0 2 0 3
1 1 3 1 0 1 1
( 4
1 2
2 2 2 2 3 2 0 2 1
3 3 1 3 2 3 3 0
0 1 1 2 2 3 3
0 0 0 1 3 2
) ( 3) ( 2) ( 1)
( 1)
( 2) ( 1)
( 3) ( 2) 3( 1)
( 1) ( 22 1) 33 (
n k n k n n n n
k
b b b b b b b b
a a b a b a b a b
a a b a b a b a b
a a b a b a b a b
a a b a b a b a b
c a b a b a b a b a b
c a b a b a b a b
)
( 1) ( 2)
( 1
1 0 1 1 0 2 3 3 2
2 0 2 1 1 2 0 3 3
3 0 3 1 2 2
)
1 3 0
c a b a b a b a b
c a b a b a b a b
c a b a b a b a b
Transformada Discreta
de Fourier
22
Correlación Cruzada
Definimos la correlación cruzada ( ) entre dos secuencias y , como la
convolución entre ambas secuencias cuando la primera es revertida, adelantada
en su longitud y conjugada:
ab n na b
* * *
* * * * * * *
1 2 3 2 1 0
( ) *
Donde: ( , , , , , , )
ab n n n n k k
n
n N N N
a b a b A B
a a a a a a a
La correlación cruzada no es conmutativa. Conmutar las secuencias de entrada
es equivalente a revertir y conjugar el resultado:
(ab
*) ( )
Claro que si las secuencias son reales, la consecuencia de conmutar las entradas
sera únicamente la de revertir la secuencia resultante.
ba
Transformada Discreta
de Fourier
23
Correlación Cruzada
*
* *
( )
Demostración:
Sea , entonces la convolución de con es:
( ) *
Haciendo el siguiente cambio de variables , nos queda:
n n n n
ab n n m m m m m m
m m m
c a c b
c b c b a b a b
n m
* ( )ab n n
n
a b
Transformada Discreta
de Fourier
24
Correlación Cruzada
*
*2 2 2
*
Veamos a qué es igual la tranformada de Fourier de :
Si hacemos el cambio de variables , obtenemos:
n n
i k n i k n i k nN N N
k n n n
n n n
c a
C c e a e a e
m n
*2
*
Es decir que correlacionar en el dominio del tiempo, es equivalente a multiplicar
los espectros de amplitud y restar los espectros de fase:
Aki k m iN
k m k k
m
C a e A A e
* * ( )B Ak k
i
ab n n k k k k
n
a b A B A B e
Transformada Discreta
de Fourier
25
Diagrama de Correlación
0 1 2 3 4
* * * * * *
2 2 0 2 1 2 2 2 3 2 4
* * * * * *
1 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4
* * * * * *
0 0 0 0 1 0 2 0 3 0 4
*
*
2 0
* *
2 1 1 0
* * *
2 2 1 1 0 0
*
2
( )
( 2)
( 1)
( 0)
( 1)
ab n n
n
ab
ab
ab
ab
b b b b b
a a b a b a b a b a b
a a b a b a b a b a b
a a b a b a b a b a b
a b
a b
a b a b
a b a b a b
a b
* *
3 1 2 0 1
* * *
2 4 1 3 0 2
* *
1 4 0 3
*
0 4
( 2)
( 3)
( 4)
ab
ab
ab
a b a b
a b a b a b
a b a b
a b
Transformada Discreta
de Fourier
26
Autocorrelación
2* *
La autocorrelación es la correlación cruzada de una secuencia consigo misma:
( )
La transformada de Fourier de la autocorrelación es el espectro
A Ak ki
aa n n k k k k k
n
a a A A A A e A
de potencia.
El espectro de potencia es real, por lo tanto la secuencia autocorrelación en tiempo
es una función par o simétrica.
Al efectuar la operación autocorrelación podemos ver que se pierde la información
de fase. Es decir que todas las secuencias que tengan el mismo espectro de amplitud,
sin importar que espectro de fase posean, tendrán la misma autocorrelación y el mismo
espectro de potencia.
Transformada Discreta
de Fourier
27
La Correlación en el Dominio
de la Transformada Z
* *
*
La correlación cruzada es simple de escribir en el dominio de la transformada Z:
( ) * (1 ) ( )
En (1 ) estamos conjugando los coeficientes del polino
ab n na b A z B z
A z
mio pero no estamos
conjugando la variable compleja , en vez de ello estamos reemplazando por
1 , lo cual sobre el círculo unidad es equivalente a conjugarla.
La autocorrelación en el dominio de la t
z z
z
*
ransformada Z es igual al espectro de
potencia en el mismo dominio, y está dado por:
( ) (1 ) ( )aa A z A z
Transformada Discreta
de Fourier
28
Bibliografía:
Karl, John H. (1989), An introduction to Digital Signal
Processing, Academic Press, Chapter Five.