CÁLCULO DIFERENCIAL

LEYES DERIVADA

3.3 DERIVADA DE LAS FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTIMICA

3.3.1 Derivada de la función logarítmica

Derivada de y = lnx

Por medio de la definición de la derivada de una función f(x) como el siguiente límite:

puede mostrarse que

Y aplicando la regla de la cadena,

Ejemplo. Diferenciar y = ln (x2+1).

Solución. Sea u = x2 + 1 →

Ejemplo. Diferenciar y = x2ln(4x+2).

Solución. Empleando la regla del producto:

Derivadas de funciones logarítmicas con base b

Ejemplo1.

Recuerde que lne = 1

Ejemplo2:

CÁLCULO DIFERENCIAL

LEYES DERIVADA

En algunos casos para derivar funciones logarítmicas es necesario aplicar previamente una o varias de las propiedades de los logaritmos. Dichas propiedades se enuncian a continuación:

Logaritmo de una potencia:

Ejemplo1

Ejemplo2:

Apliquemos la propiedad número uno:

Ahora sí, procedemos a derivar:

Logaritmo de un producto:

Logaritmo de un cociente:

Ejemplo1:

Aplicamos la propiedad del producto:

Aplicamos la propiedad número uno:

Por último derivamos:

CÁLCULO DIFERENCIAL

LEYES DERIVADA

Ejemplo2:

Aplicamos la propiedad del cociente:

Ahora si derivamos:

3.3.2 Derivadas de funciones exponenciales

Derivada de la función exponencial natural

Daremos por mostrado que

Ejemplo. Derivar . Sea u = x3-2x+5

Solución.

Ejemplo. Sea

Solución. Primero usamos la regla de la derivada del cociente de dos funciones.

Diferenciación de funciones exponenciales con base a

Sea y = au, con a > 0, a ≠ 1. Entonces,

Ejemplo1

CÁLCULO DIFERENCIAL

LEYES DERIVADA

Ejemplo 2

Ejemplo 3