2013 ib física_tema_01

Primer año IB

La más fundamental de

las ciencias

El ámbito de la física

2013 - Hugo Vizcarra 2

La física es una ciencia que trata de explicar los fenómenos que rigen el comportamiento del universo, con ella modelamos los fenómenos y para lograrlo necesitamos definir las cosas que hay en el universo. Cada cosa es diferente por distintas razones, entre las más básicas tendríamos, su posición (concepto asociado con la distancia), su masa, el tiempo que tardan los cambios en las cosas, etc. Para cuantificar estas cantidades las compararemos contra estándares de medida, por ejemplo las distancias se expresan como múltiplos de una unidad básica llamada metro, las masas como múltiplos del kilogramo y los tiempos del segundo. En las ciencias experimentales como la física es indispensable realizar mediciones.

Física y la medición

El metro es la unidad de medida SI para la distancia, este patrón está definido como el trayecto que recorre la luz en el vacío durante un intervalo de 1/299 792 458 de segundo. Su símbolo es (m).

El kilogramos es la unidad de medida SI para la masa, su patrón se define como la masa de un cilindro prototipo de platino-iridio, que se guarda en la Oficina Internacional de Pesas y Medidas en Sèvres, Francia.

El segundo es la unidad de medida SI para el tiempo, su patrón está definido como la duración de 9 192 631 770 oscilaciones de la radiación emitida en la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del isótopo 133 del átomo de cesio (133Cs), a una temperatura de 0 K.

Sistema internacional de unidades

Cantidad física

Unidad de medida

Designación o nombre

Símbolo internacional

Longitud metro m

Masa kilogramo kg

Tiempo segundo s

Intensidad de corriente eléctrica ampere A

Temperatura termodinámica kelvin K

Intensidad luminosa candela cd

Cantidad de sustancia mol mol

Unidades básicas

Las siete unidades básicas se definen buscando cumplir con:

1. Invariabilidad en el tiempo, el estándar no debe cambiar con el trascurrir del tiempo.

2. Accesible, para ser fácilmente comparado.

3. Fácilmente reproducible, así su uso se extiende.

• Se llaman unidades derivadas a las que se obtienen como una combinación de las unidades base, dependiendo de la relación matemática entre las cantidades físicas involucradas. Por ejemplo, la rapidez media se obtiene mediante el cociente de la distancia recorrida y el intervalo de tiempo transcurrido. La unidad de medida de la distancia es el metro (m) y la del tiempo es el segundo (s), así que la unidad de medida de la rapidez es metro por segundo (m/s) que debería escribirse como (m s-1).

m/s m s-1

Cantidad física

Unidad de medida

Designación o nombre Símbolo

internacional

Área metro cuadrado m2

Volumen metro cúbico m3

Densidad kilogramo por metro cúbico kg m-3

Velocidad metro por segundo m s-1

Aceleración metro por segundo cuadrado m s-2

Masa molar kilogramos por mol kg mol-1

Momento magnético ampere metro cuadrado A m2

Unidades derivadas

Cantidad física

Unidad de medida

Designación o nombre

Símbolo internacional

(a) (b)

Frecuencia hertz Hz s-1 s-1

Fuerza newton N kg m s-2 kg m s-2

Presión pascal Pa N m-2 kg m-1 s-2

Energía joule J N m kg m2 s-2

Potencia watt W J s-1 kg m2 s-3

Voltaje volt V W A-1 kg m2 s-3 A-1

Unidades derivadas con nombres especiales

Múltiplos y submúltiplos

• Los múltiplos y submúltiplos decimales de las unidades del Sistema Internacional se originan como una alternativa que busca simplificar la notación de cantidades grandes y pequeñas.

• Las uñas de un ser humano crecen con una rapidez media de 1,0 ×10−9𝑚 𝑠-1, esta cantidad se podría escribir de una forma más simple utilizando el profijo nano que tiene un valor equivalente a 𝑛 = 10−9. En este caso la rapidez quedaría como 1,0 nm s-1.

• Dichos múltiplos no deben ser considerados como unidades de medida del SI, sino que deben ser denominados múltiplos y submúltiplos decimales de las unidades del SI.

• Ejemplo: kilometro (km) no es una unidad de medida, es un múltiplo decimal de la unidad metro.

Factor por el que se multiplica la

unidad

Prefijo

Nombre Símbolo

1024 yotta Y

1021 zetta Z

1018 exa E

1015 peta P

1012 tera T

109 giga G

106 mega M

103 kilo k

102 hecto h

10 deca da

Prefijos del Sistema Internacional de Unidades

Factor por el que se multiplica la

unidad

Prefijo

Nombre Símbolo

10-1 deci d

10-2 centi c

10-3 mili m

10-6 micro µ

10-9 nano n

10-12 pico p

10-15 femto f

10-18 atto a

10-21 zepto z

10-24 yocto y

Ejemplos Correcto Incorrecto

metro m mts, mt, Mt, M, m. mt.

kilogramo kg kgr, kgrs, Kilo, KG, Kg

gramo g gr, grs, Grs, g.

litro l o L Lts, lts, lt, Lt

kelvin K °K, k

centímetro cúbico cm3 cc, cmc, c.c.

kilómetro por hora km h-1 kph, kmxh

1. Las unidades de medida, sus múltiplos y submúltiplos sólo podrán designarse por sus nombres completos o por los símbolos correspondientes reconocidos internacionalmente.

Reglas del Sistema Internacional

2. Los símbolos de las unidades de medida, múltiplos y submúltiplos decimales, deberán representarse mediante letras rectas y verticales (no cursiva) .

3. No se colocarán puntos luego de los símbolos de las unidades de medida o de sus múltiplos o submúltiplos decimales.

Reglas generales para el uso del SI

ampere A A.

kilogramo kg kg.

milímetro mm mm.

2007 - Hugo Vizcarra

4. En caso de que el símbolo esté al final de una oración, podrá ser seguido de un punto, entendiendo que el punto no forma parte del símbolo sino de la oración.

5. Cuando el nombre de cualquier unidad de medida está al inicio de alguna oración o frase, se escribirá dicho nombre con letra inicial mayúscula, de acuerdo con las reglas de la gramática española.

Kilogramo es el nombre de la unidad de medida de masa.

Correcto Incorrecto

El voltaje en la red eléctrica peruana es de 220 V.

El voltaje de 220 V. en la red eléctrica peruana.

6. Los nombres de las unidades de medida, aunque correspondan a nombres propios, se escribirán con letra inicial minúscula, excepto el grado Celsius. En el caso de los símbolos de las unidades de medida deberán escribirse en letras minúsculas, excepto aquellos que derivan de nombres propios, cuyos símbolos se escribirán con letras mayúsculas. La unidad litro a pesar de no tener su origen en un nombre propio, lleva como símbolo L o l.

• La temperatura normal del cuerpo humano es de 37 Celsius.

• Juan toma 3 L de agua al día.

Temperatura kelvin K Kelvin

Fuerza newton N Newton

Energía joule J Joule

Presión pascal Pa Pascal

Corriente ampere A Ampere

Voltaje volt V Volt

Longitud metro m Metro

Masa kilogramo kg Kilogramo

Tiempo segundo s Segundo

7. Los nombres de las unidades de medida, múltiplos y submúltiplos, podrán utilizarse tanto si el valor numérico se escribe en letras como si se escribe en cifras.

8. Cuando se escriban valores numéricos entre -1 y 1 inclusive, los nombres de las unidades en singular.

Ejemplos correctos:

(1 metro), (0,25 segundo), (1,50 newtons), (0,002 kilogramo)

Correcto Incorrecto

5 m, 5 metros o cinco metros cinco m

7 mg, 7 miligramos o siete miligramos siete mg

4 mm, 4 milímetros o cuatro milímetros cuatro mm

El orden de magnitud de un número es la potencia de 10 más cercana a dicho número. Por ejemplo:

Al resolver un problema, es importante estimar el valor del resultado ya sea porque no requerimos del valor preciso o porque así tendríamos una idea del orden del resultado.

Orden de magnitud

Cantidad física Orden de magnitud

9,5 cm de radio 10 cm

Una masa de 2800 kg 103 kg

Una distancia de 75 km 102 km

El radio de la Tierra es 6375 km 104 km

En una hora hay 3600 s 103 s

Orden de magnitud

Longitud Orden de magnitud/m

Distancia al borde del universo observable 1026

Distancia a la galaxia Andrómeda 1022

Diámetro de la vía láctea 1021

Distancia a la estrella más cercana (Próxima Centauri) 1016

Diámetro del sistema solar 1013

Distancia al Sol 1011

Radio de la Tierra 107

Tamaño de una célula 10-5

Tamaño del átomo de hidrógeno 10-10

Tamaño de un núcleo 10-15

Tamaño de un protón 10-15

Longitud de Planck 10-35

Orden de magnitud

Masa Orden de magnitud/kg

Del universo 1053

De la vía láctea 1041

Del Sol 1030

De la Tierra 1024

De un Boeing 747 lleno 105

De una manzana 10-1

De una gota de lluvia 10-6

De una bacteria 10-15

Del virus más pequeño 10-21

Del átomo de hidrógeno 10-27

De un protón 10-27

De un electrón 10-30

Orden de magnitud

Tiempo Orden de magnitud/s

La edad del universo 1017

La edad de la Tierra 1017

Tiempo de viaje de la luz desde la estrella más cercana 108

Un año 107

Un día 105

El periodo de los latidos del corazón 1

El periodo de las ondas de luz roja 10-15

Tiempo que le toma a la luz cruzar a través de un núcleo 10-24

El tiempo de Planck 10-34

Ejemplo 1.- Un técnico médico extrae V = 15,24 cm3 de sangre de la vena de un paciente. En el laboratorio se determina que este volumen de sangre tiene una masa de m = 16,0 g. Estime la densidad de la sangre.

m = 16,0 g = 16,0 x 10-3 kg → Orden de magnitud = 10-2 kg

V = 15,24 cm3 = 14,24 x 10-6 m3 → Orden de magnitud = 10-5 m3

Densidad ≈ 𝜌 =𝑚

𝑉≈

10−2𝑘𝑔

10−5𝑚3 = 103 𝑘𝑔 𝑚−3

Si calculas la densidad utilizando la calculadora saldrá 1,05 × 103 𝑘𝑔 𝑚−3

Orden de magnitud

Ejemplo 2.- El volumen de sangre en el cuerpo humano varía con la edad, tamaño y sexo de la persona, pero en promedio es de unos 7 L. Un valor representativo de para la concentración de glóbulos rojos es de 7 800 000 por mm3. Estime el número de glóbulos rojos que hay en su cuerpo.

𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 = 7 𝐿 = 7 × 10−3𝑚3 ≈ 10−2𝑚3

𝑐𝑜𝑛𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 =𝑐é𝑙𝑢𝑙𝑎𝑠

𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛= 7,8 × 106

𝑐é𝑙𝑢𝑙𝑎𝑠

𝑚𝑚3= 7,8 × 106

𝑐é𝑙𝑢𝑙𝑎𝑠

𝑚𝑚3×

1 𝑚𝑚3

10−9𝑚3

= 7,8 × 1015 𝑐é𝑙𝑢𝑙𝑎𝑠

𝑚3 ≈ 1016 𝑐é𝑙𝑢𝑙𝑎𝑠

𝑁ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑐é𝑙𝑢𝑙𝑎𝑠 ≈ 1016𝑐é𝑙𝑢𝑙𝑎𝑠

𝑚3× 10−2𝑚3 = 1014 𝑐é𝑙𝑢𝑙𝑎𝑠

Orden de magnitud

1023 m

http://micro.magnet.fsu.edu/primer/java/scienceopticsu/powersof10/index.html

A 10 millones de años luz de nuestra galaxia

10 millones de años luz 23

1022 m

Un orden de magnitud más

cercano

1 millón de años luz 24

1021 m

Nuestra galaxia, la Vía

Láctea

100 000 años luz 25

1020 m

Estrellas en el borde de la galaxia Vía

Láctea

10 000 años luz 26

1019 m

Estrellas en la galaxia Vía

Láctea

1 000 años luz 27

1018 m

A 100 años luz de la

Tierra y nada más que estrellas

100 años luz 28

1017 m

Más estrellas a 10 años luz de la Tierra

10 años luz 29

1016 m

El Sol es la estrella más brillante a 1 año luz de la

Tierra

1 año luz 30

1015 m

El Sol se ve cada vez más

grande

1 billón de kilómetros (1 billón = 1012) 31

1014 m

El sistema solar a cien mil millones

de kilómetros

100 000 millones de kilómetros 32

1013 m

Nuestro sistema solar

1012 m

Órbitas de Mercurio,

Venus, Tierra, Marte y Júpiter

1011 m

Parte de las órbitas de

Venus, Tierra y Marte

100 millones de kilómetros 35

1010 m

Parte de la órbita de la

Tierra

10 millones de kilómetros 36

La Tierra y la órbita de la

1 millón de kilómetros 37

La Tierra desde cien mil kilómetros de

distancia

100 000 kilómetros 38

El hemisferio occidental de

la Tierra

El sureste de los estados

unidos

Diversos condados en

Florida

100 kilómetros 41

El suroeste de Tallahassee,

Florida

10 kilómetros 42

el Laboratorio Nacional de Alto Campo Magnético

1 kilómetro 43

Árboles cercanos a un

lago y a un laboratorio

100 metros 44

Árbol de roble

10 metros 45

Rama de un árbol de roble

1 metro 46

10-1 m

Hojas de roble en su tamaño real

10 centímetros 47

10-2 m

superficie de una hoja de

roble aumentada

10 veces

1 centímetros 48

10-3 m

superficie de una hoja de

roble aumentada 100 veces

1 milímetro 49

10-4 m

Células en la superficie de

las hojas

100 micrómetros 50

10-5 m

Célula individuales

10 micrómetros 51

10-6 m

El núcleo de la célula

1 micrómetro 52

10-7 m

La cromatina en el núcleo de la célula.

100 nanómetros 53

10-8 m

Hebras individuales

de ADN

10 nanómetros 54

10-9 m

Bloques de construcción

del ADN

1 nanómetros 55

10-10 m

Átomo de carbono

100 picómetros 56

10-11 m

Capa interna del átomo

10 picómetros 57

10-12 m

Espacio vacío entre

la capa interna y el

núcleo

1 picómetro 58

10-13 m

núcleo visto por debajo

de las capas electrónicas

100 fentómetros 59

10-14 m

Núcleo del átomo de carbono

10 fentómetros 60

10-15 m

Un protón

1 fentómetro 61

10-16 m

En busca de los Quarks

100 attómetros 62

Nuestras mediciones siempre estarán afectadas por incertidumbres de medición, que provienen de las limitaciones impuestas por: 1. La precisión y exactitud de los instrumentos de medida.

Cifras significativas e incertidumbre

2. La interacción del método de medición con el mesurando

Al medir la temperatura de un cuerpo, la propia presencia del termómetro o sensor de temperatura modifica la temperatura a medir. Siempre que ejecutamos un método de medición , interactuamos con el mesurando (el objeto a medir)

3. La definición del objeto a medir

La cantidad a medir no esta totalmente definida, durante un salto largo por ejemplo, los granos de arena , los efectos de la gravedad y muchos factores más influirían en la longitud a medir.

4. La influencia del observador u observadores que realizan la medición

Todas estas limitaciones derivan en que no podamos obtener con certeza el valor del mesurando, sino que solo podamos establecer un rango posible de valores donde pueda estar razonablemente contenido. Lo que procuramos en toda medición es conocer las cotas o límites probabilísticos de estas incertidumbres.

𝑥 − ∆𝑥 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥 + ∆𝑥 Buscamos entonces un intervalo donde, con cierta probabilidad, podamos decir que se encuentra el mejor valor de la cantidad física x.

Este mejor valor 𝑥 es el valor más representativo de nuestra medición y al semi-ancho ∆𝑥 lo denominamos incertidumbre absoluta. Una forma de expresar la medida es:

𝑥 = 𝑥 ± ∆𝑥 También es posible expresar la incertidumbre en relación al valor más probable, a esto se le conoce como incertidumbre relativa porcentual y se expresa en %.

𝜀% =∆𝑥

𝑥 ∙ 100%

Ejemplos: 𝐿𝑜𝑛𝑔𝑖𝑡𝑢𝑑 = 12,5 𝑐𝑚 ± 0,5 𝑐𝑚 = 12,5 𝑐𝑚 ± 4%

Masa = 50 𝑔 ± 1 𝑔 = 50 𝑔 ± 2%

La precisión de un instrumento o de un método de medición esta asociada a su sensibilidad (menor variación que puede ser detectada con él) .

Un vaso se llena con agua 5 veces y en cada vez se mide su masa con el mismo instrumento: 𝑚1 = 125, 5 𝑔 ± 0,5 𝑔 𝑚2 = 125, 4 𝑔 ± 0,5 𝑔 𝑚3 = 125, 5 𝑔 ± 0,5 𝑔 𝑚4 = 125, 4 𝑔 ± 0,5 𝑔 𝑚5 = 125, 6 𝑔 ± 0,5 𝑔

Se puede decir que el método y/o instrumento es preciso.

Precisión y exactitud

Poca precisión

La exactitud de un instrumento o de un método de medición esta asociada a una buena calibración del mismo. Respecto del ejemplo anterior, si un laboratorio de mucho prestigio nos indica que el vaso con agua mencionado tiene una masa 𝑚 = 120, 5 𝑔 ± 0,5 𝑔.

Entonces llegaríamos a la conclusión de que nuestra balanza o método de medición tiene una calibración deficiente. Por lo tanto nuestras medidas son precisas pero poco exactas.

Exactitud

Mucha precisión pero poca exactitud

Exactitud

Precisión y exactitud

Las fuentes de incertidumbre tienen diversos orígenes y pueden clasificarse del siguiente modo: I. Incertidumbre introducida por el instrumento

• Incertidumbre de apreciación ap

La incertidumbre estará asociada con la mínima variación que podamos resolver con algún método de medición.

• Incertidumbre de exactitud exac

Representa la incertidumbre absoluta con la que el instrumento en cuestión a ha sido calibrado frente a patrones confiables.

Fuentes de incertidumbre

II. Incertidumbre de interacción int Proviene de la interacción del método de medición con el objeto a medir.

III. Falta de definición del objeto sujeto a medición def

Proviene del hecho que las cantidades físicas a medir no están medidas con infinita precisión.

En general en un experimento dado, todas las fuentes de incertidumbre estarán presentes, de modo que resulta útil definir la incertidumbre nominal de una medición como:

2 2 2 2 2

int .......nom ap def exac

Fuentes de incertidumbre

Según su carácter, las incertidumbres se pueden clasificar en sistemáticos y estadísticos. I. Incertidumbre sistemática

Se origina por las imperfecciones de los instrumentos y métodos de medición, y siempre se producen en el mismo sentido.

II. Incertidumbre estadística o aleatoria est

Son aquellos que se producen al azar, se cometen con igual probabilidad por exceso o por defecto.

2 2 2 2 2 2 2

int .......est nom est ap def exacx

Clasificación de la incertidumbre

74 2007 - Hugo Vizcarra

Supongamos que deseamos medir la altura de esta imagen con la regla representada.

Medición directa

El primer paso es alinear lo mejor posible el cero de la regla con el limite inferior de la imagen, tal como se observa en la figura.

Medición directa

Si ampliamos un poco la zona de medición con una lupa, observamos que no sabemos con precisión cuál es la medida. En todo caso esta se encuentra comprendida entre:

4,50 cm ≤ 𝐿 ≤ 4,60 𝑐𝑚

Parece ser 4,55 cm, por lo que la mejor forma de expresar la medida es:

𝐿 = 4,55 𝑐𝑚 ± 0,05 𝑐𝑚

Medición directa

4 LUPA 4

Como regla práctica, cada vez que se realiza una medición directa con un instrumento, es conveniente identificar con claridad:

Como este instrumento nos brinda la posibilidad de aproximar una cifra a lo largo de la mínima división, la incertidumbre asociada a esta medida es la mitad de la sensibilidad.

∆𝐿 = ±0,1 𝑐𝑚

2= ±0,05 𝑐𝑚

Medición directa

Instrumento Regla

Cantidad física a medir Longitud

Unidad de medida del instrumento cm

Sensibilidad o mínima división 0,1 cm

La medida de la altura de la imagen es entonces igual al valor mas probable, generado con las cifras exactas proporcionadas por el instrumento y la aproximada por el que realiza la medida (en este caso 4,55 cm), incluido el intervalo de incertidumbre (en este caso ±0,05 𝑐𝑚).

𝐿 = 4,55 𝑐𝑚 ± 0,05 𝑐𝑚

Esta medida tiene tres cifras significativas, notar que el valor mas probable para esta medida y su incertidumbre tienen la misma cantidad de decimales, no tendría sentido una medida:

𝐿 = 120,321 𝑚 ± 1 𝑚

ya que si la incertidumbre es del orden de 1 m, como podríamos asegurar el valor mas probables hasta las milésimas de metro.

Medición directa

Instrumento Regla

Incertidumbre asociada 0,05 cm

La medida es: 𝐿 = 4,95 𝑐𝑚 ± 0,05 𝑐𝑚

Tiene tres cifras significativas

Medición directa

Instrumento Regla

Tiene tres cifras significativas Una vez más notar como el valor más probable y la incertidumbre tienen la misma cantidad de decimales.

Instrumento Regla

Sensibilidad o mínima división 1 cm

Tiene dos cifras significativas, notar como el valor más probable y la incertidumbre tienen la misma cantidad de decimales.

Medición directa

¿Cuál es la medida de α?

Medición directa

Instrumento Transportador

Cantidad física a medir Ángulo

Unidad de medida del instrumento °

Sensibilidad o mínima división 1°

Incertidumbre asociada 0,5°

La medida es: 𝛼 = 44,5° ± 0,5°

Tiene tres cifras significativas Notar como el valor más probable y la incertidumbre tienen la misma cantidad de decimales.

Medición directa

Una pesa se coloca sobre la balanza digital que se observa en la figura, la balanza registra 19 g.

En este caso el instrumento tiene una sensibilidad de 1 g, se observa 19 g lo siguiente que detectaría es 1 g más, además el instrumento no permite aproximar una cifra a lo largo de esta sensibilidad así que en este caso la incertidumbre asociada es ± 1 𝑔.

Medición directa

Instrumento Balanza

Cantidad física a medir Masa

Unidad de medida del instrumento g

Sensibilidad o mínima división 1 g

Incertidumbre asociada 1 g

La medida es: M= 19 𝑔 ± 1 𝑔

Tiene dos cifras significativas Una vez más notar como el valor más probable y la incertidumbre tienen la misma cantidad de decimales (cero decimales).

Medición directa

Supongamos que desea medir el tiempo que le toma a una pequeña canica caer desde 7,00 m de altura. La medida se realiza con un cronómetro con sensibilidad 0,01 s, pero cada vez que se repite la medida, se obtiene un valor diferente, al parecer hay una incertidumbre aleatoria asociada con la medida. Los valores obtenidos son:

Medición directa - Incertidumbre aleatoria

Altura (m) / ∆𝐡 = ±𝟎, 𝟎𝟓 𝒎 Tiempo (s) / ∆𝒕 = ±𝟎, 𝟎𝟏 𝒔

7,00 1,51 1,32 1,43 1,54 1,39

El tiempo más representativo o más probable es el promedio.

𝑡𝑝𝑟𝑜𝑚 = 1,44 𝑠

Para un número de repeticiones pequeño, en este caso son 5, la incertidumbre absoluta se determina según:

∆𝑡 = 𝑡𝑚𝑎𝑥 − 𝑡𝑚𝑖𝑛

∆𝑡 = 1,54 𝑠 − 1,32 𝑠

2= 0,11 𝑠

Así, el tiempo que le toma a la canica caer los 7,00 m es:

𝑡 = 1,44 𝑠 ± 0,11 𝑠

Dada la simplicidad de esta determinación, se usa una sola cifra significativa para expresar la incertidumbre.

𝑡 = 1,4 𝑠 ± 0,1 𝑠

Nuevamente notar que el valor más probable y su incertidumbre tiene el mismo número de decimales.

OPERACIONES CON CIFRAS SIGNIFICATIVAS Los resultados de cálculos en que intervienen mediciones solamente deben tener números significativos. ADICIÓN Y SUSTRACCIÓN Para que el resultado de la adición sólo presente cifras significativas deberás observar qué cantidad tiene el menor número de cifras decimales. Así, en la suma 12,45 cm + 7,3 cm se tienen dos cantidades: la primera con dos decimales y la segunda con uno. El resultado de la adición tendrá el menor número de decimales. Así, la suma será:

12,5 cm + 7,3 cm = 19,8 cm

Medición indirecta

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN Verifica cuál es el factor que tiene el menor número de cifras significativas y, en el resultado, se conservará solamente un número de cifras igual al de dicho factor. Así, en el producto 11,2 cm x 6,7 cm se tienen dos cantidades: una con tres cifras significativas y otra con dos. El resultado deberás escribirlo entonces con dos cifras significativas.

11,2 cm x 6,7 cm = 75 cm2

Medición indirecta

mma 97,75,12) 2625,99 m

3 C.S. 3 C.S.

26,99 m3 C.S.

mmb 0,25,2) 2 35m

2 C.S. 2 C.S.

20,5 m2 C.S.

Medición indirecta

mNc 5,48,2) Nm6,122 C.S. 2 C.S.

Nm132 C.S.

3 C.S.

4 C.S.

3 C.S.

0,120)

Medición indirecta

) 2,8 4000m

11200m

2 C.S. 4 C.S.

41,1 10 m2 C.S.

0,089442719m

3 C.S.

28,94 10 m

3 C.S.

Medición indirecta

4 214,8 3,847076812m m

210,00 3,16227766s s

23,85m

3,162s

210,0 3,16227766 3,16m m m

3 C.S. 3 C.S.

4 C.S. 4 C.S.

3 C.S. 3 C.S.

Medición indirecta

(25,4 ) 0,428935133sen

22(0,25 )

0,0490873854

2 24,9 10 m

3 C.S. 3 C.S.

2 C.S. 2 C.S.

m2,316227766,310

2 C.S. 2 C.S.

Medición indirecta

Cuando dos cantidades medidas, es decir cantidades con incertidumbre, se tienen que sumar, sus incertidumbres se combinan y el resultado es más incierto que los sumandos. A este proceso se le llama propagación de la incertidumbre. En general si operamos con dos cantidades medidas (suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación, etc) la incertidumbre se propaga y el resultado termina con una incertidumbre que depende de las incertidumbres de las cantidades operadas.

Medición indirecta – propagación de la incertidumbre

1. Cuando dos cantidades físicas se suman o se restan sus incertidumbres absolutas se suman.

𝐴 = 𝑎 ± ∆𝑎 𝐵 = 𝑏 ± ∆𝑏

𝐴 + 𝐵 = 𝑎 + 𝑏 ± ∆𝑎 + ∆𝑏

𝐴 − 𝐵 = 𝑎 − 𝑏 ± ∆𝑎 + ∆𝑏

2. Cuando dos cantidades físicas se multiplican o dividen sus incertidumbres relativas porcentuales se suman.

𝐴 = 𝑎 ±∆𝑎

𝑎∙ 100%

𝐵 = 𝑏 ±∆𝑏

𝑏∙ 100%

𝐴 ∙ 𝐵 = 𝑎 ∙ 𝑏 ±∆𝑎

∆𝑏

𝑏∙ 100%

𝑏±

∆𝑎

∆𝑏

𝑏∙ 100%

2. Cuando una cantidad físicas se eleva a un exponente, su error relativo porcentual se multiplica por el exponente.

𝐴 = 𝑎 ±∆𝑎

𝑎∙ 100%

𝐴𝑛 = 𝑎𝑛 ± 𝑛∆𝑎

𝑎∙ 100%

Se mide la base y la altura de un rectángulo: b = 28,45 cm 0,05 cm h = 5,35 cm 0,05 cm Determine el área de este rectángulo. Solución: Área = largo x Ancho A = (28,45 cm 0,05 cm) x (5,35 cm 0,05 cm) Á = 28,45 cm×5,35 cm 28,45 cm×0,05 cm 0,05 cm×5,35 cm 0,05 cm×0,05 cm

A = 152,2075 cm2 1,4225 cm2 0,2675 cm2 0,0025 cm2

Como una de las cantidades multiplicadas tienen cuatro y la otra tiene tres cifras significativas, el resultado de la multiplicación debería escribirse con tres cifras. El resto de términos se suman. A = 152 cm2 1,6925 cm2

Finalmente la incertidumbre debe tener solo una cifra significativa, por lo tanto:

A = 152 cm2 2 cm2

Si en vez de hacer toda esta operación, aplicamos la ecuación de propagación del la incertidumbre para el producto, llegaremos al mismo resultado mucho más rápido.

𝐴 = 𝑏 × ℎ = 28,45 𝑐𝑚 × 5,35 𝑐𝑚 ±0,05

28,45 𝑐𝑚+

5,35 𝑐𝑚∙ 100%

A = 152,2075 cm2 1,1 % A = 152,2075 cm2 1,69 cm2

La incertidumbre de la respuesta debe tener solo una cifra, así que:

A = 152 cm2 2 cm2

Dados las siguientes cantidades medidas: A = 9,25 s 0,01 s B = 5,50 s 0,01 s Calcule las siguientes operaciones: A + B A – B A×B A B A3

A + B = (9,25 s + 5,50 s) (0,01 s + 0,01 s) = 14,75 s 0,02 s A – B = (9,25 s - 5,50 s) (0,01 s + 0,01 s) = 3,75 s 0,02 s

A×B = (9,25 s × 5,50 s) (0,01

5,50) ∙ 100%

A×B = 50,875 s2 0,290% = 50,875 s2 0,1475 s2 A×B = 50, 9 s2 0,1 s2

A B = (9,25 s 5,50 s) (0,01

5,50) ∙ 100%

A B = 1,681818 0,290% = 1,681818 0,004876

A B = 1,682 0,005 En este caso se ha agregado una cifra significativa ya que la incertidumbre no puede ser cero.

A3 = (9,25 s)3 3 (0,01

9,25) ∙ 100%

A3 = 791,453125 s3 2,566875 s3 A3 = 791 s3 3 s3

Cantidades vectoriales

Se mide seis cantidades físicas, clasifícalas de alguna manera que no sea en básicas y derivadas.

1. La masa de una esfera es 2,0 kg .

2. La fuerza que la Tierra ejerce sobre una esfera es 19,6 N hacia abajo.

3. El tiempo que un proyectil permanece en el aire es 12 s .

4. La velocidad de un móvil es 18 m s-1 hacia la derecha.

5. La temperatura media de nuestro cuerpo es 36,5 °C .

6. La aceleración de la gravedad es 9,8 m s-2 hacia abajo.

1. La masa de una esfera es 2,0 kg.

2. La fuerza que la Tierra ejerce sobre una esfera es 19,6 N hacia abajo.

3. El tiempo que un proyectil permanece en el aire es 12 s.

4. La velocidad de un móvil es 18 m s-1 hacia la derecha.

5. La temperatura media de nuestro cuerpo es 36,5 °C.

6. La aceleración de la gravedad es 9,8 m s-2 hacia abajo.

Por la naturaleza de las cantidades físicas, algunas medidas especifican dirección y otras no.

Cantidad escalar

Cantidad vectorial

Tiene magnitud (número y unidad)

Tiene magnitud y dirección (número, unidad y dirección)

Vemos que la masa, el tiempo y la temperatura se pueden describir plenamente con un número y su respectiva unidad de medida, pero la fuerza, la velocidad y la aceleración tienen asociada una dirección y no pueden describirse solamente con un número.

Cuando una cantidad física es vectorial se representa mediante un vector. Geométricamente, un vector es representado por una línea recta con una flecha en uno de sus extremos. La dirección de la flecha determina la dirección del vector y la longitud de la línea, su magnitud.

Vector

36 m s-1

72 m s-1

12 m s-1 Origen del vector

Extremo del vector

Los vectores se representan simbólicamente mediante una pequeña flecha en la parte superior del símbolo del vector o formateando el símbolo en negrita.

𝐴 𝑜 𝑨

Su magnitud es siempre positiva y se representa mediante:

𝐴 , 𝑨 𝑜 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝐴

Vector

V1 = 30 ml V2 = 40 ml V1 + V2 = 70 ml

El volumen es una cantidad física escalar, si sumamos 30 ml de agua con 40 ml de agua el resultado es 70 ml de agua, el tipo de suma que siempre hemos realizado.

Suma de escalares

La fuerza es una cantidad física vectorial, si sumamos dos fuerzas de 300 N y 400 N en las direcciones representadas, su suma podría resultar 500 N, al parecer no se cumple el algebra que conocemos.

Suma de vectores

El procedimiento geométrico para sumar vectores consiste en dibujarlos uno a continuación del otro de tal forma que el origen del segundo coincida con el extremo del primero, el origen del tercero con el extremo del segundo y así sucesivamente. La suma será el vector que va del origen del primero al extremo del ultimo.

Suma de vectores

𝒄 𝒂

𝒂 + 𝒃 + 𝒄

Suma de vectores

𝒂 𝒄

Suma de vectores

𝒄 𝒂 𝒃

Suma de vectores

𝒃 𝒃

Propiedad conmutativa

𝑎 + 𝑏 + 𝑐

𝒄 𝒃

𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 𝑏 + 𝑎 + 𝑐 = 𝑐 + 𝑎 + 𝑏

𝒄 𝒂

𝑐 + 𝑎 + 𝑏

𝒄 𝒂 𝒃

𝑏 + 𝑎 + 𝑐

Cuando se suman dos vectores, muchas veces resulta cómodo e intuitivo un método alternativo.

Suma de vectores

𝒃 𝒂

Cuando se suman dos vectores, muchas veces resulta cómodo e intuitivo un método alternativo.

Suma de vectores

Si multiplicas el

vector 𝐴 por el escalar ( +2)

Si multiplicas el

vector 𝐴 por el escalar ( -1)

Si multiplicas el

vector 𝐴 por el escalar ( -3)

Multiplicación de un vector por un número

−3𝐴

0,5𝐴

Si multiplicas el

vector 𝐴 por el escalar ( +0,5)

La resta de vectores es la suma de un vector con el negativo de otro.

Resta de vectores

𝒂 𝒃

𝒂 + (−𝒃)

𝒂 − 𝒃

−𝒃 𝒃

Cuando se restan dos vectores, muchas veces resulta cómodo y útil un método alternativo.

Resta de vectores

𝒂 − 𝒃

𝒂 − 𝒃 𝒂

−𝒃

Cuando se restan dos vectores, muchas veces resulta cómodo y útil un método alternativo.

Resta de vectores

𝒂 − 𝒃

𝒃 𝒂

Si hacemos coincidir el origen del vector con el origen de coordenadas cartesianas del plano x – y, es posible especificar la dirección del vector a través del ángulo que este forma con el semieje +x.

Componentes rectangulares de un vector

Vector A = 𝐴 = 𝑨

Magnitud de 𝐴 = 𝐴 = 𝐴

Dirección de 𝐴 =

Dirección = 40° Dirección = 138°

x 42°

Dirección = 250° o -110° Dirección = 318° o -42°

A partir de la figura se puede deducir:

𝐴 = 𝐴 𝑥 + 𝐴 𝑦

Donde 𝐴𝑥 y 𝐴𝑦 son las

componentes rectangulares de

𝐴 y se obtienen mediante las siguientes ecuaciones:

𝐴𝑥 = 𝐴 cos 𝜃 𝐴𝑦 = 𝐴 𝑠𝑒𝑛 𝜃

Tomar en cuenta que 𝜃 es la dirección del vector y se mide desde el semieje +x.

Descomposición rectangular

𝐴 𝑥

𝐴 𝑦

A partir de la figura se puede deducir:

𝐴 = 𝐴𝑥2 + 𝐴𝑦

Donde 𝐴 es la magnitud del

vector y su dirección se obtiene :

𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝐴𝑦

𝐴𝑥

Composición rectangular

𝐴 𝑥

𝐴 𝑦

Son una forma de expresar dirección pura, no tienen unidades y su magnitud es unitaria. Para el plano cartesiano x – y son:

Vector unitario en la dirección + x = 𝑖

Vector unitario en la dirección + y = 𝑗

Recuerda que un signo menos indicaría dirección contraria.

Vectores unitarios

+𝑖 −𝑖

−𝑗

• Una fuerza 𝐹 = 200 𝑁 𝑖 tiene una magnitud de 200 N y está dirigida hacia +x.

• Una fuerza 𝐹 = − 100 𝑁 𝑗 tiene una magnitud de 100 N y está dirigida hacia -y.

• Una fuerza 𝐹 = 30 𝑁 𝑖 + 40 𝑁 𝑗 tiene una componente 𝐹𝑥 = +30 𝑁 y una componente 𝐹𝑦 = +40 𝑁, por lo tanto si

componemos estas componentes tenemos:

𝐹 = 𝐹𝑥2 + 𝐹𝑦

2 = 30 𝑁 2 + 40 𝑁 2 = 50 𝑁

𝜃 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝐹𝑦

𝐹𝑥= 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛

40 𝑁

30 𝑁= 53°

Por lo tanto tiene una magnitud de 50 N y una dirección de 53°

Vectores unitarios

𝑨 𝑩

𝑨 = 𝑨𝒙𝒊 + 𝑨𝒚𝒋

𝑩 = 𝑩𝒙𝒊 + 𝑩𝒚𝒋

𝑨 + 𝑩 = 𝑨𝒙 +𝑩𝒙 𝒊 + 𝑨𝒚 + 𝑩𝒚 𝒋

Suma de vectores por componentes

Dados los vectores:

𝐴 = 𝐴𝑥𝑖 + 𝐴𝑦𝑗 y 𝐵 = 𝐵𝑥𝑖 + 𝐵𝑦𝑗

Suma de vectores:

𝐴 + 𝐵 = 𝐴𝑥 +𝐵𝑥 𝑖 + 𝐴𝑦 + 𝐵𝑦 𝑗

Resta de vectores:

𝐴 − 𝐵 = 𝐴𝑥 −𝐵𝑥 𝑖 + 𝐴𝑦 − 𝐵𝑦 𝑗

Multiplicación de un vector por un número r:

𝑟 𝐴 = 𝑟𝐴𝑥𝑖 + 𝑟𝐴𝑦𝑗

Suma de vectores por componentes

Bibliografía

Este material tiene fines enteramente educativos

Todas las imágenes han sido tomadas de Internet.

Las reglas y la grafica de la diapositiva 68 son mis dibujos, así como todas las imágenes de vectores.

Física re-creativa (Experimentos de física usando nuevas tecnologías) de Salvador Gil/Eduardo Rodríguez

El método científico aplicado a las ciencias experimentales de Héctor G. Riveros y Lucia Rosas.

Física Universitaria de Sears Zemansky

Physics - Gregg Kerr and Paul Ruth

Physics - Chris Hamper

Física – Wilson Buffa

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· –En estrecha colaboración con el IB –Cumplimos con todos los requisitos del IB • Lo que no hacemos –Talleres para profesores del IB en línea –Cursos del IB Diploma

Proyecto 5to Bimestre IB Para: Leonardo Gutiérrez Por: Bernardo Beneitez Junio 23, 2013.

Xcode 9 IB Layout - Furman Universitycs.furman.edu/~cdurham/tutorials/Xcode9-IB-layout/Xcode 9 IB Layout.pdf · Xcode 9 IB Layout Tutorial Page 5 of 8 By Christopher Durham placing

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