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20 – Dinámica + elementos finitos(caso lineal)

Diego Andrés Alvarez MarínProfesor Asistente

Universidad Nacional de ColombiaSede Manizales

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Nota

Una deducción teóricamente rigurosa de las ecuaciones que mostraremos en este capítulo debería hacerse utilizando el principio de Hamilton y su particularización el principio de D'Alembert utilizado en la mecánica Lagrangiana.

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Principio de D'Alembert

Este principio permite extender la segunda ley de Newton sobre equilibrio estático al caso dinámico por medio de la simple consideración que la fuerza de inercia (que para un cuerpo de masa constante es igual al producto de la masa por la aceleración) es una fuerza de sentido opuesto al sentido positivo de la aceleración.

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Ecuaciones de la elástodinámicaLas ecuaciones diferenciales de equilibrio son:

Las ecuaciones dinámicas de Cauchy-Navier son:

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Modificación del principio de los trabajos virtuales

Utilizando el principio de D'Alembert se puede incluir las fuerzas de inercia en el principio del trabajo virtual como términos adicionales a las fuerzas másicas:

donde:

y ρ es la masa por unidad de volumen (densidad).

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Por lo tanto, haciendo:

y reemplazando en el PTV obtenemos (aquí por cuestión de espacio solo consideramos las fuerzas de inercia y las otras fuerzas másicas b):

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Matriz de masa consistente (consistent mass matrix)

La matriz M que hemos encontrado es la llamada matriz de masa consistente:

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Matriz de masa concentrada (lumped mass matrix)

Es un esquema que crea una matriz diagonal empleando así menos recursos computacionales. Existen varias formas de generar esta matriz. Un esquema correcto debe preservar la masa total correcta para el elemento y preservar correctamente el centro de gravedad del mismo. Sería deseable también preservar el primer y segundo momento de inercia, pero esto raramente se logra.

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Matriz de masa concentrada (lumped mass matrix)

No existe un procedimiento único para calcular la matriz de masa concentrada. Existen en la literatura varios métodos para calcular dicha matriz:● Método HRZ● Método basado en cuadraturas de Lobatto

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Método HRZ(Hinton-Rock-Zienkiewicks)

● Este método produce una matriz concentrada (DLMM) a partir de la matriz consistente (CMM). Suponiendo que la masa del elemento finito es Me, tenemos:

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¿Cuál tipo de formulación utilizar?La matriz de masa consistente en general dará resultados más precisos (pero no mucho más). Algunos otros autores no afirman esto.

El cálculo con la matriz de masa concentrada es más rápido ya que la inversa de una matriz diagonal también es diagonal.

Si una malla es lo suficientemente refinada, los resultados serán aproximadamente los mismos independientemente si se usa matriz de masa consistente o concentrada.

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La matriz de masa consistente hace una representación más precisa de las propiedades inerciales de la estructura y además produce frecuencias naturales limitadas inferiormente por las exactas. Es decir, las frecuencias naturales calculadas siempre están por encima de los valores exactos y utilizando un número suficiente de elementos se pueden obtener resultados muy precisos.

La representación de masa concentrada no es tan precisa (algunos autores no afirman esto) y puede producir frecuencias naturales más altas o más bajas que las exactas. Sin embargo, para problemas grandes la representación de masa concentrada supone un ahorro considerable en el cálculo ya que da lugar a una matriz de masa diagonal.

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En conclusión:

No hay una respuesta definitiva a que tipo de matriz utilizar. La matriz de

masa consistente no es necesariamente la que brinda mejores

resultados.

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Análisis modal de sistemas no amortiguados

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Análisis modal de sistemas no amortiguados

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Análisis modal de sistemas amortiguados

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Ecuación de movimiento para vibración forzada para sistemas de

múltiples grados de libertad

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Particularizaciones de la matriz de masa consistente

Caso tridimensional:

Caso bidimensional (tensión/deformación plana):

Caso axisimétrico:

Caso barra unidimensional:

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Formulación para barras sometidas a fuerzas axiales

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b

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Matriz de rigidez del elemento cercha

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Matriz de masa del elemento cercha

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Formulación para vigas

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Formulación para el elemento viga de dos nodos

Matriz de masa consistente

Matriz de masa concentrada (lumped)Observe que la masa solo está dispuestaen el grado de libertad translacional

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Formulación para elementos de pórtico

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Matriz de rigidez de un elemento prismático sometido en sus extremos a carga axial,

flexión y cortante

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Matriz de masa para un elemento bajo movimiento axial

Matriz de masa para el elemento viga

Y superponiendo las contribuciones:

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Matriz de transformación

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Elemento triangular de tres nodos

t

t

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Elemento rectangular de cuatro nodos

t

t

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Solución de la ecuación

EXPLICARdescomposicion modal + NIGAM

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