Funciones vectorialesde variable real

MSc Daniel G. Camacho

Universidad de Piura

Marzo 2010

1 Lımites y continuidad

2 Lımite

3 Continuidad

Funcionesvectoriales

de variable real

MSc Daniel G.Camacho

Lımites ycontinuidad

Lımite

Continuidad

Funciones vectoriales de variable real

Una funcion vectorial de una variable real, es una funciondel tipo

f : I ⊆ < → <n

f(t) es un punto en<n, entonces

f(t) = (x1(t), x2(t), . . . , xn(t))

Cada funcion xi : I ⊆ < → <, i = 1, . . . , n, es una funcionreal de variable real.

Las funciones xi : I ⊆ < → <, i = 1, . . . , n, se denominanfunciones coordenadas de la funcion f .

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de variable real

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Lımites ycontinuidad

Lımite

Continuidad

Funciones vectoriales de variable real

Una funcion vectorial de una variable real, es una funciondel tipo

f : I ⊆ < → <n

f(t) es un punto en<n, entonces

f(t) = (x1(t), x2(t), . . . , xn(t))

Cada funcion xi : I ⊆ < → <, i = 1, . . . , n, es una funcionreal de variable real.

Las funciones xi : I ⊆ < → <, i = 1, . . . , n, se denominanfunciones coordenadas de la funcion f .

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Lımites ycontinuidad

Lımite

Continuidad

Funciones vectoriales de variable real

Una funcion vectorial de una variable real, es una funciondel tipo

f : I ⊆ < → <n

f(t) es un punto en<n, entonces

f(t) = (x1(t), x2(t), . . . , xn(t))

Cada funcion xi : I ⊆ < → <, i = 1, . . . , n, es una funcionreal de variable real.

Las funciones xi : I ⊆ < → <, i = 1, . . . , n, se denominanfunciones coordenadas de la funcion f .

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de variable real

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Lımites ycontinuidad

Lımite

Continuidad

Funciones vectoriales de variable real

Una funcion vectorial de una variable real, es una funciondel tipo

f : I ⊆ < → <n

f(t) es un punto en<n, entonces

f(t) = (x1(t), x2(t), . . . , xn(t))

Cada funcion xi : I ⊆ < → <, i = 1, . . . , n, es una funcionreal de variable real.

Las funciones xi : I ⊆ < → <, i = 1, . . . , n, se denominanfunciones coordenadas de la funcion f .

Funcionesvectoriales

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Lımites ycontinuidad

Lımite

Continuidad

Lımite

Definicion:Sea f : I ⊆ < → <n una funcion definida en un intervalo abiertoI de< y sea t0 un punto de I o un punto de frontera de I. Se diceque el lımite de la funcion f , cuando t tiende a t0, es L(∈ <n),lo cual se escribe como

lımt→t0

f(t) = L

si dado cualquier ε > 0, existe un δ > 0 tal que

t ∈ I, 0 < |t − t0| < δ⇒ ‖f(t) − L‖ < ε

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Lımites ycontinuidad

Lımite

Continuidad

Teorema:Sea f : I ⊆ < → <n una funcion vectorial de variable real.Entonces lımt→t0 f(t) = L = (l1, l2, . . . , ln) ∈ <n, si y solo silımt→t0 xi(t) = li , donde f(t) = (x1(t), x2(t), . . . , xn(t)).

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Lımites ycontinuidad

Lımite

Continuidad

Definicion:Sea f : I ⊆ < → <n una funcion definida en el subconjuntoabierto I de< y sea t0 ∈ I. Se dice que f es continua en t0 si

lımt→t0

f(t) = f(t0)

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Lımites ycontinuidad

Lımite

Continuidad

Una funcion continua t0 tiene la propiedad de que unpequeno cambio en t produce pequenos movimientos enlas imagenes f(t) alrededor de f(t0).

Para una funcion continua,de la definicion de lımite:

|t − t0| < δt esta cerca de t0en menos que δ

⇒ ‖f(t) − f(t0)‖ < εf(t) esta cerca de f(t0)en menos que ε

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Lımites ycontinuidad

Lımite

Continuidad

Una funcion continua t0 tiene la propiedad de que unpequeno cambio en t produce pequenos movimientos enlas imagenes f(t) alrededor de f(t0).

Para una funcion continua,de la definicion de lımite:

|t − t0| < δt esta cerca de t0en menos que δ

⇒ ‖f(t) − f(t0)‖ < εf(t) esta cerca de f(t0)en menos que ε

Funcionesvectoriales

de variable real

MSc Daniel G.Camacho

Lımites ycontinuidad

Lımite

Continuidad

Teorema:Sea f : I ⊆ < → <n una funcion definida en el intervalo abiertoI de<, digamos que f(t) = (x1(t), x2(t), . . . , xn(t). Sea t0 ∈ I.La funcion f es continua en t0 si y solo si sus funcionescoordenadas xi : I ⊆ < → < lo son.