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ESTADÍSTICA. PARA ESTUDIANTES DE INGENIERÍA,
CIENCIAS ADMINISTRATIVAS Y
CIENCIAS DE LA SALUD.
CAPÍTULO 7: MÉTODOS DE
MUESTREO Y DISTRIBUCIÓN DE
MEDIAS MUESTRALES.
Ing. Willians Medina.
Maturín, Agosto de 2015.
Capítulo 7. Métodos de muestreo. Distribución de las medias muestrales.
Estadística. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 1
PRESENTACIÓN.
La presente es una Guía de Ejercicios de Estadística para estudiantes de Ingeniería,
Ciencias, Tecnología, Ciencias Administrativas y Ciencias de la Salud dictada en las
carreras de Ingeniería Ambiental, Civil, de Computación, Eléctrica, Electrónica, Industrial,
Mecánica, de Petróleo, de Sistemas y Química, así como Contaduría Pública y
Administración de reconocidas Universidades en Venezuela.
El material presentado no es en modo alguno original, excepto la inclusión de las
respuestas a ejercicios seleccionados y su compilación en atención al contenido
programático de la asignatura y al orden de dificultad de los mismos.
Dicha guía ha sido elaborada tomando como fuente las guías de ejercicios y
exámenes publicados en su oportunidad por Profesores de Estadística en los núcleos de
Monagas y Anzoátegui de la Universidad de Oriente, además de la bibliografía
especializada en la materia y citada al final de cada capítulo, por lo que el crédito y
responsabilidad del autor sólo consiste en la organización y presentación en forma
integrada de información existente en la literatura.
Adicionalmente es conveniente mencionar que este trabajo ha sido realizado con
fines estrictamente académicos y su uso y difusión por medios impresos y electrónicos es
libre, no representando ningún tipo de lucro para el autor.
Finalmente, se agradece infinitamente la dispensa y atención a esta modesta
contribución en la enseñanza y aprendizaje de la Estadística, así como las sugerencias que
tengan a bien para mejorar este trabajo, las cuales pueden hacer llegar directamente a través
de los teléfonos: +58-424-9744352 ó +58-426-2276504, PIN: 2736CCF1 ó 7A264BE3,
correo electrónico: medinawj@udo.edu.ve ó medinawj@gmail.com, twitter: @medinawj ó
personalmente en la sección de Matemáticas, Universidad de Oriente, Núcleo de Monagas.
Ing. Willians Medina.
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Estadística. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 2
ACERCA DEL AUTOR.
Willians Medina es Ingeniero Químico, egresado de la Universidad de Oriente,
Núcleo de Anzoátegui, Venezuela. Durante el transcurso de su carrera universitaria se
desempeñó como preparador docente en el área de Laboratorio de Química I y
Termodinámica Aplicada de la carrera de Ingeniería Química de la referida Universidad.
En el año 1996 ingresó a la Industria Petrolera Venezolana, Petróleos de Venezuela
(PDVSA), desempeñando el cargo de Ingeniero de Procesos en la Planta de Producción de
Orimulsión, en Morichal, al sur del Estado Monagas hasta el año 1998, momento en el cual
comenzó su desempeño en la misma corporación como Ingeniero de Manejo de Gas en el
Complejo Operativo Jusepín, al norte del Estado Monagas hasta finales del año 2000.
Durante el año 2001 formó parte del Plan Integral de Adiestramiento (PIA) en San Tomé,
Estado Anzoátegui, donde recibió cursos de preparación integral en las áreas de producción
y manejo de petróleo y gas, pasando finalmente a la Gerencia de Manejo de Gas del Norte
del Estado Monagas, en la localidad de Punta de Mata, siendo responsable del tratamiento
químico anticorrosivo de gasoductos de la zona de producción de petróleo y gas hasta
finales del año 2002. Desde el año 2006, forma parte del Staff de Profesores de
Matemáticas, adscrito al Departamento de Ciencias, Unidad de Cursos Básicos del Núcleo
de Monagas de la Universidad de Oriente (UDO), cargo en el cual ha dictado asignaturas
tales como Matemáticas I (Cálculo Diferencial), Matemáticas II (Cálculo Integral),
Matemáticas III (Cálculo Vectorial), Matemáticas IV (Ecuaciones diferenciales), Métodos
Numéricos, Termodinámica y Fenómenos de Transporte para estudiantes de Ingeniería. Es
autor de compendios de ejercicios propuestos y formularios en el área de Matemáticas,
Física, Química, Mecánica Vectorial, Métodos Numéricos, Termodinámica, Estadística,
Diseño de Experimentos, Fenómenos de Transporte, Mecánica de los Fluidos e Ingeniería
Económica. Es miembro del Colegio de Ingenieros de Venezuela.
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7.1.- PRELIMINARES.
Población.
Conjunto de todos los individuos, medidas y objetos de interés. La población puede ser
finita o infinita, siendo su número el tamaño de la población, generalmente designada
como N.
Muestra.
Una porción o parte representativa de la población de interés. El número en la muestra se
denota por tamaño de la muestra o tamaño muestral, se denota como n y generalmente es
finito.
Muestreo.
Es el procedimiento por medio del cual se estudia una parte de la población llamada
muestra, con el objetivo de inferir con respecto a toda la población.
Ejemplo ilustrativo 7.1.
Podemos querer sacar conclusiones sobre las calificaciones promedio de 12000 estudiantes
del Núcleo de Monagas de la UDO (la población) al examinar tan sólo 100 estudiantes (la
muestra) seleccionados de esa población.
Ejemplo ilustrativo 7.2.
Podemos querer sacar conclusiones sobre el porcentaje de estudiantes aprobados en la
asignatura Estadística Aplicada durante un semestre si examinamos 120 estudiantes
seleccionados en diferentes secciones. En este caso, todos los estudiantes que inscriben la
materia en el semestre forman la población, mientras que los 120 seleccionados constituyen
la muestra.
Teoría del muestreo.
Es el estudio de las relaciones existentes entre una población y muestras extraídas de la
misma.
Ventajas del Muestreo:
Costos reducidos. El costo de estudiar todos los elementos en una población puede resultar
prohibitivo.
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Mayor rapidez para obtener resultados. Establecer contacto con la totalidad de la
población requeriría de demasiado tiempo y en la mayoría de los casos es físicamente
imposible verificar todos los elementos de la población.
Mayor exactitud o mejor calidad de la información. Los resultados de la muestra son
adecuados.
Factibilidad de hacer el estudio cuando la toma de datos implica técnicas destructivas.
Tipos de Muestreo:
Muestreos No Probabilísticos
Los elementos o individuos de la muestra se eligen sin tomar en cuenta su probabilidad de
ocurrencia. Por tanto, es imposible determinar el grado de representatividad de la muestra.
Estas pueden ser:
Muestreo por Juicio: También conocido como muestreo por selección experta o selección
intencional. El investigador toma la muestra seleccionando los elementos que a él le
parecen representativos o típicos de la población.
Muestreo Casual o fortuito: Se utiliza en los casos en que no es posible seleccionar los
elementos, y deben sacarse conclusiones con los elementos que estén disponibles.
Muestreo de Cuota: Se utiliza en el estudio de opinión de mercado.
Muestreo de Poblaciones Móviles: En este tipo de muestreo se utiliza métodos de captura,
marca y recaptura. Se utiliza mucho en el estudio de migración de poblaciones de animales
y otras características.
Muestreos Probabilísticos
Los elementos de la muestra son seleccionados siguiendo un procedimiento que brinde a
cada uno de los elementos de la población una probabilidad conocida de ser incluidos en la
muestra. Dentro de este tipo tenemos:
Muestreo Aleatorio Simple: Los elementos que conforman la muestra son seleccionados de
tal manera que cada elemento en la población tiene igual probabilidad de resultar
seleccionado. Es el tipo de muestreo que más se utiliza.
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Un método conveniente para seleccionar una muestra aleatoria simple consiste en
utilizar el número de identificación de cada uno de los elementos de la muestra y una tabla
de números aleatorios.
Muestreo Sistemático: Este tipo de muestreo se obtiene cuando los elementos de la muestra
son seleccionados en una manera ordenada. La manera de selección depende del número de
elementos incluidos en la población y el tamaño de la muestra. El número de elementos en
la población es dividido por el número deseado en la muestra y el cociente (resultado) se
redondea al entero más cercano, el cual indicará si cada décimo, cada onceavo, o cada
centésimo elemento en la población va a ser seleccionado.
kn
N
Muestra
Población
Se selecciona un punto de inicio aleatorio y después se elige cada k-esimo elemento de la
población. Es necesario que los elementos de la muestra estén en orden físico. Este orden
físico no debe relacionarse con la característica en estudio de la población.
Muestreo Estratificado: Para este tipo de muestreo se divide la población en grupos,
llamados estratos, que son más homogéneos que la población como un todo. Los elementos
de la muestra son seleccionados al azar o por un método sistemático de cada estrato. El
número de elementos seleccionado de cada estrato puede ser proporcional al tamaño del
estrato en relación con la población.
E
E
N
n
N
n
Al despejar el tamaño muestral para cada estrato ( En ):
nN
Nn E
E
Muestreo Por Conglomerado: Para este tipo de muestreo se divide la población en grupos
que son convenientes para el muestreo. Se selecciona una porción de los grupos al azar o
por un método sistemático y se toma todos los elementos o parte de ellos al azar o por un
método sistemático de los grupos seleccionados para obtener una muestra. Este tipo de
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muestreo produce un mayor error muestral que una muestra aleatoria simple del mismo
tamaño.
Ejercicios propuestos.
1. [JF] En la sección de estadística 2 se encuentran inscritos 45 estudiantes enumerados del
01 hasta 45. Determine:
a) Una muestra de 5 estudiantes utilizando i) la tabla de números aleatorios y ii)
Calculadora.
b) Una muestra de 6 estudiantes que debe consistir de cada 5to estudiante. El estudiante Nº
3 es el punto de partida.
c) Una muestra de 7 estudiantes utilizando su calculadora.
d) Una muestra de 8 estudiantes, tomando como punto de partida el estudiante Nº 2.
2. [JF] De una población de 50 individuos, deseamos extraer una muestra de 5 individuos.
a) Muestreo Aleatorio simple. b) Muestreo Sistemático
3. [JF] Una fábrica está conformada por 1000 empleados, se quiere tomar una muestra de
80 empleados. Se sabe que hay 250 empleados en el departamento de herrería, 270 en
mecánica, 200 en costura, 150 en carpintería y 130 en administración.
4. [JF] En cierto barrio se desea realizar un estudio para conocer mejor el tipo de
actividades de ocio que gustan más a sus habitantes. Para ello van a ser encuestados 100
individuos elegidos al azar. Como los gustos cambian con la edad y se sabe que en el barrio
viven 2500 niños, 7000 adultos y 500 ancianos. Determine el tamaño muestral
correspondiente a cada estrato.
Calculo del tamaño de la muestra.
El tamaño de la muestra depende de los siguientes elementos:
Tamaño de la población.
Nivel de confianza adoptado.
Error de estimación permitido.
Proporción en que se encuentre en el universo la característica estudiada (p).
Fórmulas para determinar el tamaño de la muestra:
Para Poblaciones Finitas ( 100000N ):
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Cuando se conoce la varianza poblacional: )1()1(
)1(22
2
ppNe
Nppn
Cuando no se conoce la varianza poblacional: )1()1(
)1(2
2/
2
2
2/
ppZNe
NppZn
Para Poblaciones Infinitas ( 100000N ):
Cuando se conoce la varianza poblacional: 2
2 )1(
e
ppn
Cuando no se conoce la varianza poblacional: 2
2
2/ )1(
e
ppZn
Nota: Cuando no es posible estimar la característica mediante un ensayo piloto (p en %)
adoptará la suposición de que dicho porcentaje es igual al 50%.
Ejercicios propuestos.
5. [JF] Para un trabajo de investigación de mercado en Venezuela, se cuenta con una
población de 24.000.000 de habitantes con una desviación estándar de 2, se quiere saber
cuántas personas viajarán al extranjero, con la decisión de radicar definitivamente en el país
de destino. ¿Cuál debe ser el tamaño de la muestra para un nivel de confianza de la
encuesta del 96% y un margen de error posible del 4%?
6. [JF] Para el mismo trabajo de investigación de mercado en una ciudad de Venezuela que
cuenta con una población de 10000 habitantes con una desviación estándar de 2, se quiere
saber cuántas personas viajarán al extranjero, con la decisión de radicar definitivamente en
el país de destino. ¿Cuál será el tamaño de la muestra para un nivel de confianza de la
encuesta del 96% y un margen de error posible del 4%?
7.2.- DISTRIBUCIONES MUESTRALES.
Parámetro.
Es una medida usada para describir alguna característica de una población, tal como una
media aritmética, una desviación típica o estándar de una población.
Estadístico.
Es una medida usada para describir alguna característica de una muestra, tal como una
media aritmética, una desviación típica o estándar de una muestra.
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El estadístico se utiliza como estimador del parámetro.
La estadística inferencial involucra el uso de un estadístico para sacar una conclusión o
inferencia sobre el parámetro correspondiente.
Los símbolos utilizados para representar los estadísticos y los parámetros son los
siguientes:
Medida Parámetro Estadístico
Media Aritmética x
Varianza 2 2s
Desviación Típica o Estándar s
Proporción p
Nº de Elementos N n
Distribuciones en el muestreo.
Cuando el tamaño de la muestra (n) es más pequeño que el tamaño de la población
(N), dos o más muestras pueden ser extraídas de la misma población. Un cierto estadístico
puede ser calculado para cada una de las muestras posibles extraídas de la población.
Distribución muestral.
La es una lista de todos los valores posibles para un estadístico y la probabilidad
relacionada con cada valor.
Error estándar.
La desviación estándar de una distribución en el muestreo de un estadístico, es
frecuentemente llamada el error estándar del estadístico. La diferencia entre los términos
desviación estándar y error estándar es que la primera se refiere a los valores originales
mientras que la última está relacionada con valores calculados.
Error muestral o error de muestreo.
Es la diferencia entre el parámetro poblacional y el estadístico de la muestra
utilizado para estimar el parámetro. Un error de muestreo usualmente ocurre cuando no se
lleva a cabo la encuesta completa de la población, sino que se toma una muestra para
estimar las características de la población.
Teorema del límite central
A continuación se presenta un enunciado del teorema del límite central.
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Si todas las muestras de un tamaño en particular se seleccionan de cualquier
población, la distribución muestral de medias se aproxima a una distribución normal. Esta
aproximación mejora con muestras más grandes.
Si la población o proceso del cual se toma una muestra tiene una distribución
normal, también la distribución de muestreo de la media tendrá distribución normal, sin
importar el tamaño de la muestra. El teorema de límite central establece que cuando el
tamaño de la muestra se incrementa la distribución de muestreo de la media así como de
otros estadísticos muéstrales se aproxima, en cuanto a su forma, a la distribución normal,
independientemente de la forma de la distribución de la población de la que fue tomada la
muestra.
El teorema del límite central en sí no dice nada acerca de la comparación de la
media de la distribución muestral de medias con respecto a la media de la población o
acerca de la dispersión de la distribución muestral de medias.
Uso de la distribución muestral
Es importante ya que se pueden tomar decisiones con base en los resultados
muestrales.
Una aplicación de la distribución muestral es la de determinar la probabilidad de
que una media muestral clasifique dentro de un rango dado. La distribución muestral está
distribuido normalmente si la muestra se toma de una población normal )30( n y el
teorema del límite central garantiza la normalidad en el proceso de muestreo, mientras que
la desviación normal puede utilizarse para el proceso de toma de decisiones.
6.1.- LA DISTRIBUCIÓN DE LAS MEDIAS MUESTRALES.
Distribución muestral de la media
Es una distribución de probabilidad de todas las medias posibles de las muestras de
un determinado tamaño de muestra de la población.
Si se toman muestras aleatorias repetidas de una población, y se calcula la media de
cada muestra, se puede observar que la mayoría de estas medias muéstrales ( x ) difieren
entre sí. La distribución de probabilidad de estas medias muestrales se denomina
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distribución muestral de la media, la cual tiene una media x
y una desviación estándar o
error estándar x
, entonces:
La distribución muestral de la media ( x ) tiene media x
, es decir: x
xE )(
La distribución muestral de la media tiene desviación estándar o error estándar: n
x
En esta sección también llegamos a otras conclusiones importante:
1. La media de la distribución muestral de medias será exactamente igual a la media de la
población, si somos capaces de seleccionar todas las muestras posibles del mismo tamaño
de una población dada, esto es xx . Aunque no seleccionemos todas las muestras,
podemos esperar que la media de la distribución muestral de medias se aproxime a la media
de la población.
2. Habrá menos dispersión en la distribución muestral de medias que en la población. Si la
desviación estándar de la población es , la desviación estándar de la distribución muestral
de medias es n
. Observe que cuando aumentamos el tamaño de la muestra disminuye el
error estándar de la media.
Nota: Si el tamaño muestral n no es una fracción pequeña del tamaño poblacional N,
entonces, al error estándar se le aplicará un factor de corrección, es decir:
Si 05.0N
n se requiere de un factor de corrección, por lo tanto, el error estándar a utilizar
sería: 1
N
nN
nx
El algoritmo siguiente muestra cómo elegir la fórmula apropiada para el cálculo de
la desviación estándar de la distribución de medias muestrales.
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Si la distribución de la población es normal, entonces: x
xx
z
sigue una distribución
normal estándar.
A menudo no conocemos el valor de la desviación estándar de la población, . De
nuevo, como la muestra es por lo menos 30, calculamos la desviación estándar de la
población con la desviación estándar de la muestra. La distribución real de la estadística es
la Distribución t de Student, que estudiaremos en el capítulo siguiente. Cuando utilizamos s
para sustituir , la nueva fórmula para encontrar el valor de z es: ns
xz x
/
.
A medida que aumenta el tamaño de la muestra, es decir, a medida que n , la
distribución muestral de la media se aproxima a la distribución normal independientemente
de la distribución de la población de origen de la muestra. La aproximación es
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suficientemente buena cuando 30n , entonces, el teorema del límite central es
aproximadamente válido y se aplica la distribución normal estándar (z).
Media de las medias muestrales
La distribución muestral de las medias muestrales es una lista de todas las medias
muéstrales posibles. Estas medias muéstrales al igual que cualquier lista de números, tienen
una media denominada media de las medias muéstrales o gran media. Esta media de las
medias se obtiene aplicando la siguiente fórmula:
k
xX
Donde k es el número de muestras en la distribución muestral, y esta se obtiene a
través de la fórmula de combinación.
!)(!
!
nNn
NCk nN
Sin reemplazo.
nNk Con reemplazo.
La media de la distribución muestral X es igual a la media de la población original
. ( X )
Varianza y error estándar de las medias muestrales:
La varianza en las medias muéstrales mide la dispersión de las observaciones
individuales (medias muéstrales) alrededor de su media (la gran media X ), esta se
determina de la siguiente manera:
k
Xx i
x
2
2)(
k
xi
x
2
2)(
El error estándar de la distribución muestral es una medida de la dispersión de las
medias muéstrales alrededor de . Por tanto, el error estándar x
, mide la tendencia a
sufrir del error de muestreo en el esfuerzo por estimar . Este se obtiene de la raíz
cuadrada de la varianza de la distribución de las medias muéstrales.
k
Xx i
x
2)(
k
Xx i
x
2)(
2
xx
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Ejemplo 7.1. Ilustración de elementos de la muestra y cálculo de parámetros y
estadísticos. Muestras sin reemplazo de tamaño 2.
Los seis pozos que conforman el campo exploratorio Corocito tienen una producción de en
miles de BND de 1.0, 1.2, 2.1, 0.7, 2.6 y 0.3. A partir de estos datos se pide calcular, sin
reemplazo:
a) El promedio de la producción del campo.
b) La desviación típica de la producción.
c) La media de la distribución muestral para muestras de tamaño 2.
d) La desviación típica de la distribución muestral para muestras de tamaño 2.
Solución.
a) Media poblacional.
n
X
6
3.06.27.01.22.10.1
6
9.7
3167.1 BND
b) Desviación típica poblacional.
n
nXn
i
i
2
1
2
Para determinar la desviación típica de la producción se elabora la tabla siguiente:
Elemento de la
población iX 2
iX
1 1.0 1
2 1.2 1.44
3 2.1 4.41
4 0.7 0.49
5 2.6 6.76
6 0.3 0.09
7.9 14.19
Capítulo 7. Métodos de muestreo. Distribución de las medias muestrales.
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6
)3167.1()6(19.14 2
6
7878.3
6313.0
7945.0 BND
Distribución de las medias muestrales.
Para muestras de tamaño 2. Cantidad de muestras:
nN Ck
26 Ck
15k muestras.
Las medias muestrales se muestran a continuación.
Muestra Elementos de
la muestra
Promedio de la
muestra, ix
1 1.0 - 1.2 1.10
2 1.0 - 2.1 1.55
3 1.0 - 0.7 0.85
4 1.0 - 2.6 1.80
5 1.0 - 0.3 0.65
6 1.2 - 2.1 1.65
7 1.2 - 0.7 0.95
8 1.2 - 2.6 1.90
9 1.2 - 0.3 0.75
10 2.1 - 0.7 1.40
11 2.1 - 2.6 2.35
12 2.1 - 0.3 1.20
13 0.7 - 2.6 1.65
14 0.7 - 0.3 0.50
15 2.6 - 0.3 1.45
c) Media de la distribución muestral.
k
Xx
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15
45.150.065.1...85.055.110.1
x
15
75.19
x
3167.1x
BND
Se verifica que la media de la distribución muestral es igual a la media poblacional.
d) Desviación típica de la distribución muestral.
k
kxx
k
i
i
x
22
1
)()(
Para determinar la desviación típica de la distribución muestral se elabora la tabla siguiente:
Muestra ix 2)( ix
1 1.10 1.2100
2 1.55 2.4025
3 0.85 0.7225
4 1.80 3.2400
5 0.65 0.4225
6 1.65 2.7225
7 0.95 0.9025
8 1.90 3.6100
9 0.75 0.5625
10 1.40 1.9600
11 2.35 5.5225
12 1.20 1.4400
13 1.65 2.7225
14 0.50 0.2500
15 1.45 2.1025
19.75 29.7925
15
)3167.1()15(7925.29 2
x
15
7870.3
x
2525.0x
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5025.0x
BND
Se puede demostrar que
1
22
N
nN
nx
.
La ecuación anterior se verifica cuando el muestreo se realiza sin reemplazo.
Ejemplo 7.2. Ilustración de elementos de la muestra y cálculo de parámetros y
estadísticos. Muestras con reemplazo de tamaño 2.
Una población consta de cinco números: 2, 3, 6, 8, 11. Considere todas las muestras
posibles de tamaño dos que pueden obtenerse con reemplazo de esta población. Encuentre
a) la media de la población, b) la desviación estándar de la población, c) la media de la
distribución muestral de medias, d) la desviación estándar de la distribución muestral de
medias, es decir, el error estándar de las medias.
Solución.
a) Media poblacional.
n
X
5
118632
5
30
6
b) Desviación típica poblacional.
n
nXn
i
i
2
1
2
Para determinar la desviación típica de la producción se elabora la tabla siguiente:
Elemento de la
población iX 2
iX
1 2 4
2 3 9
3 6 36
4 8 64
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5 11 121
30 234
5
)6()5(234 2
5
54
8.10
2863.3
Distribución de las medias muestrales.
Para muestras de tamaño 2. Cantidad de muestras:
nNk
25k
25k muestras.
Las medias muestrales se muestran a continuación.
Muestra Elementos de
la muestra
Promedio de la
muestra, ix
1 2 – 2 2
2 2 – 3 2.5
3 2 – 6 4
4 2 – 8 5
5 2 – 11 6.5
6 3 – 2 2.5
7 3 – 3 3
8 3 – 6 4.5
9 3 – 8 5.5
10 3 – 11 7
11 6 – 2 4
12 6 – 3 4.5
13 6 – 6 6
14 6 – 8 7
15 6 – 11 8.5
16 8 – 2 5
17 8 – 3 5.5
18 8 – 6 7
19 8 – 8 8
Capítulo 7. Métodos de muestreo. Distribución de las medias muestrales.
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20 8 – 11 9.5
21 11 – 2 6.5
22 11 – 3 7
23 11 – 6 8.5
24 11 – 8 9.5
25 11 – 11 11
c) Media de la distribución muestral.
k
Xx
25
115.95.8...45.22
x
25
150
x
6x
Se verifica que la media de la distribución muestral es igual a la media poblacional.
d) Desviación típica de la distribución muestral.
k
kxx
k
i
i
x
22
1
)()(
Para determinar la desviación típica de la distribución muestral se elabora la tabla siguiente:
Muestra ix 2)( ix
1 2 4
2 2.5 6.25
3 4 16
4 5 25
5 6.5 42.25
6 2.5 6.25
7 3 9
8 4.5 20.25
9 5.5 30.25
10 7 49
11 4 16
12 4.5 20.25
13 6 36
14 7 49
Capítulo 7. Métodos de muestreo. Distribución de las medias muestrales.
Estadística. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 19
15 8.5 72.25
16 5 25
17 5.5 30.25
18 7 49
19 8 64
20 9.5 90.25
21 6.5 42.25
22 7 49
23 8.5 72.25
24 9.5 90.25
25 11 121
150 1035
25
)6()25(1035 2
x
25
135
x
4.5x
3238.2x
Se puede demostrar que nx
22
.
La ecuación anterior se verifica cuando el muestreo se realiza con reemplazo.
Distribución de las medias muestrales.
ix if )( ixP
2 1 0.04
2.5 2 0.08
3 1 0.04
4 2 0.08
4.5 2 0.08
5 2 0.08
5.5 2 0.08
6 1 0.04
6.5 2 0.08
7 4 0.16
8 1 0.04
8.5 2 0.08
9.5 2 0.08
Capítulo 7. Métodos de muestreo. Distribución de las medias muestrales.
Estadística. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 20
11 1 0.04
25 1
Ejemplo 7.3. Ilustración de elementos de la muestra y cálculo de parámetros y
estadísticos. Muestras sin reemplazo de tamaño 3.
Resuelva el ejemplo 7.2 para el caso de muestras sin reemplazo de tamaño 3.
Solución.
La media ( 6 ) y la desviación estándar poblacional ( 2863.3 ) se determinaron en el
ejemplo 7.2. Se procederá a determinar los correspondientes estadísticos muestrales.
Para muestras de tamaño 3. Cantidad de muestras:
nN Ck
35 Ck
10k muestras.
Las medias muestrales se muestran a continuación.
Muestra Elementos de
la muestra
Promedio de la
muestra, ix
1 2 – 3 – 6 3.6667
2 2 – 3 – 8 4.3333
3 2 – 3 – 11 5.3333
4 2 – 6 – 8 5.3333
5 2 – 6 – 11 6.3333
6 2 – 8 -11 7.0000
7 3 – 6 – 8 5.6667
8 3 – 6 – 11 6.6666
9 3 – 8 – 11 7.3333
10 6 – 8 - 11 8.3333
c) Media de la distribución muestral.
k
Xx
10
3333.83333.7...3333.46667.3
x
10
60
x
Capítulo 7. Métodos de muestreo. Distribución de las medias muestrales.
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6x
Se verifica que la media de la distribución muestral es igual a la media poblacional e igual a
la media de la distribución muestral de cualquier tamaño de muestra.
d) Desviación típica de la distribución muestral.
k
kxx
k
i
i
x
22
1
)()(
Para determinar la desviación típica de la distribución muestral se elabora la tabla siguiente:
Muestra ix 2)( ix
1 3.6667 13.4444
2 4.3333 18.7778
3 5.3333 28.4444
4 5.3333 28.4444
5 6.3333 40.1111
6 7.0000 49.0000
7 5.6667 32.1111
8 6.6666 44.4444
9 7.3333 53.7778
10 8.3333 69.4444
60 378
10
)6()10(378 2
x
10
18
x
8.1x
3416.1x
Se puede demostrar que
1
22
N
nN
nx
.
Ejemplo 7.4. Uso de las fórmulas.
Resuelva el ejemplo 7.3 para el caso de muestreo con reemplazo usando las fórmulas
apropiadas.
Capítulo 7. Métodos de muestreo. Distribución de las medias muestrales.
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La media ( 6 ) y la desviación estándar poblacional ( 2863.3 ) se determinaron en el
ejemplo 7.2. Se procederá a determinar los correspondientes estadísticos muestrales.
Cantidad de muestras.
nNk
35k
125k muestras.
Media de la distribución muestral.
x
6x
Desviación estándar de la distribución de las medias muestrales.
Puesto que se trata de una cantidad de muestras considerablemente alta, no se enumerarán,
sino que se determinará la desviación estándar con la fórmula apropiada.
nx
3
2863.3
x
8973.1x
Ejemplo 7.5, Cálculo de media y desviación estándar de la distribución muestral con y
sin reemplazo.
[MS] Suponga que las estaturas de 3000 estudiantes varones en una universidad tiene una
distribución normal con media 68.0 pulgadas y desviación estándar 3.0 pulgadas. Si se
obtienen 80 muestras de 25 estudiantes cada una, ¿cuál será la media y la desviación
estándar de la distribución muestral de medias si las muestras se tomaron a) con reemplazo,
b) sin reemplazo?
Solución.
3000N Tamaño de la población.
0.68 Media poblacional.
0.3 Desviación estándar poblacional.
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25n Tamaño de la muestra.
a) Con reemplazo.
Media muestral.
x
0.68x
pulgadas.
Desviación estándar de la distribución de las medias muestrales.
nx
25
0.3
x
6.0x
pulgadas
b) Sin reemplazo.
Media muestral.
x
0.68x
pulgadas.
Desviación estándar muestral.
1
N
nN
nx
13000
253000
25
0.3
x
5976.0x
pulgadas
Ejercicios propuestos.
7. [JF] Una población de las ventas semanales (en miles de dólares) de un restaurante
vegetariano es 27, 32, 17, 21 y 32. Determine la distribución muestral para muestras de
tamaño 2, el error estándar de la distribución muestral y compare la gran media con la
media poblacional.
Capítulo 7. Métodos de muestreo. Distribución de las medias muestrales.
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8. [JF] Utilizando los datos del ejercicio anterior, determine la distribución muestral para
muestras de tamaño 3, el error estándar y compare la media poblacional con la gran media.
9. [MS] Una población consta de los cuatro números 3, 7, 11, 15. Considere todas las
muestras posibles de tamaño 2 que se pueden obtener con reemplazo de esta población.
Encuentre a) la media de la población, b) la desviación estándar de la población, c) la media
de la distribución muestral de medias, d) la desviación estándar de la distribución muestral
de medias. Verifique c) y d) directamente de a) y b) usando fórmulas apropiadas.
Respuesta: a) 9.0; b) 4.47; c) 9.0; d) 3.16.
10. [MS] Resuelva el problema 9 si se toman muestras sin reemplazo.
Respuesta: a) 9.0; b) 4.47; c) 9.0; d) 2.58.
11. [JF] Los siguientes datos representan el número de días de ausencia al año de una
población de seis empleados de una empresa pequeña: 1, 3, 6, 7, 9 y 10. Selecciones todas
las muestras de tamaño 3 y construye la distribución muestral de la media. Determine la
media de todas las medias muéstrales y compárela con la media poblacional. Determine el
error estándar.
12. [AW] Se toma una muestra de n = 50 de una población grande, con una media de 12.2 y
una desviación estándar de 4.1. ¿Cuáles son la media y el error estándar de la distribución
muestral de las medias muestrales?
Ejemplo 7.6. Cálculo de probabilidades.
[RV] Cierta marca de neumáticos tiene una vida útil media de 21000 km con una
desviación de 800 km.
a) Suponiendo que las vidas útiles de los neumáticos están distribuidas normalmente, ¿cuál
es la probabilidad de que un neumático cualquiera dure menos de 20900 km?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que la vida útil media de 64 neumáticos sea inferior a 20900
km?
Solución.
21000 km Media poblacional.
800 km Desviación estándar poblacional.
a) ?)20900( xP
Capítulo 7. Métodos de muestreo. Distribución de las medias muestrales.
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Puesto que la muestra es de sólo un neumático, la desviación estándar de la distribución de
las medias muestrales es igual a la desviación estándar poblacional. De hecho, en
problemas de este tipo considerados en el capítulo correspondiente a la distribución de
probabilidad normal, no había discriminación para la desviación estándar o para la
varianza, porque siempre se consideraba sólo un elemento para su análisis.
Recordemos que para determinar ?)20900( xP disponemos de dos formas:
Primera forma:
Normalizar 20900x
xz
800
2100020900 z
13.0z
)13.0()20900( zPxP
)13.0(5.0)20900( xP
0517.05.0)20900( xP
4483.0)20900( xP
Segunda forma:
20900)20900(
xPxP
800
2100020900)20900( zPxP
Capítulo 7. Métodos de muestreo. Distribución de las medias muestrales.
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)13.0()20900( zPxP
El manejo de la gráfica de la distribución normal estándar y de la tabla de valores se efectúa
de la misma manera que para la primera forma explicada.
El profesor indicará la forma más conveniente de trabajo, o el estudiante lo decidirá
siempre y cuando tenga la libertad de elección.
b) Puesto que la muestra es de tamaño diferente de 1, la desviación estándar muestral debe
ser calculada con la fórmula apropiada.
Desviación estándar de la distribución de las medias muestrales.
nx
64
800
x
100x
xx
xPxP
20900)20900(
100
2100020900)20900( zPxP
)00.1()20900( zPxP
)00.1(5.0)20900( xP
3413.05.0)20900( xP
1587.0)20900( xP
Capítulo 7. Métodos de muestreo. Distribución de las medias muestrales.
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Ejemplo 7.7. Probabilidad con la condición “mayor que”.
[SW] Una máquina expendedora de refrescos está programada para que la cantidad de
refresco que sirva sea una variable aleatoria con una media de 200 mililitros y una
desviación estándar de 15 mililitros. ¿Cuál es la probabilidad de que la cantidad de
refrescos promedio (media) servida en una muestra tomada al azar de 36 sea cuando menos
de 204 mililitros?
Solución.
200 mL Media poblacional.
15 mL Desviación estándar poblacional.
36n Tamaño de la muestra.
?)204( xP
Desviación estándar de la distribución de las medias muestrales.
nx
36
15
x
5.2x
Probabilidad.
xx
xPxP
204)204(
5.2
200204)204( zPxP
)60.1()204( zPxP
Capítulo 7. Métodos de muestreo. Distribución de las medias muestrales.
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)60.1(5.0)204( xP
4452.05.0)204( xP
0548.0)204( xP
Ejemplo 7.8. Probabilidad con la condición “entre”. Error estándar calculado con
factor de corrección por población finita.
Se tiene para la venta un lote de 1000 pollos, con un peso promedio de 3.50 kg y una
desviación estándar de 0.18 kg. ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra aleatoria,
100 pollos de esta población, pesen entre 3.53 y 3.56 kg?
Solución.
1000N Tamaño de la población.
50.3 kg Media poblacional.
18.0 kg Desviación estándar poblacional.
100n Tamaño de la muestra.
?)56.353.3( XP
Desviación estándar de la distribución de las medias muestrales.
Puesto que se conoce el tamaño de la población, es necesario determinar la relación N
n
para conocer si se debe aplicar el factor de corrección por población finita.
1000
100
N
n
1.0N
n
Capítulo 7. Métodos de muestreo. Distribución de las medias muestrales.
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Puesto que 05.0N
n, se debe aplicar el factor de corrección por población finita, por lo
tanto la desviación estándar de la distribución de las medias muestrales se calcula a partir
de la ecuación:
1
N
nN
nx
11000
1001000
100
18.0
x
0171.0x
Probabilidad.
xxx
xPxP
56.353.3)56.353.3(
0171.0
50.356.3
0171.0
50.353.3)56.353.3( zPxP
)51.375.1()56.353.3( zPxP
)75.1()51.3()56.353.3( xP
4599.04998.0)56.353.3( xP
0399.0)56.353.3( xP
Capítulo 7. Métodos de muestreo. Distribución de las medias muestrales.
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Ejemplo 7.9. Probabilidad con la condición “entre” y “menor que”. Cálculo del
número de elementos de la muestra con cierta condición.
[MS] ¿En cuántas muestras del ejemplo 7.5 esperaría encontrar la media a) entre 66.8 y
68.3 pulgadas? b) menor que 66.4 pulgadas?
3000N Tamaño de la población.
0.68 Media poblacional.
0.3 Desviación estándar poblacional.
25n Tamaño de la muestra.
3000
25
N
n
008.0N
n
Puesto que 05.0N
n, no se debe aplicar el factor de corrección por población finita, por lo
tanto la desviación estándar de la distribución de las medias muestrales se calcula a partir
de la ecuación:
nx
25
0.3
x
6.0x
pulgadas
a)
xxx
xPxP
3.688.66)3.688.66(
6.0
0.683.68
6.0
0.688.66)3.688.66( zPxP
)5.000.2()3.688.66( zPxP
Capítulo 7. Métodos de muestreo. Distribución de las medias muestrales.
Estadística. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 31
)00.2()50.0()3.688.66( xP
4772.01915.0)3.688.66( xP
6687.0)3.688.66( xP
Cantidad de muestras que cumplen con la condición especificada.
806687.0 mN
49.53mN ó 53 muestras.
b)
xx
xPxP
4.66)4.66(
6.0
0.684.66)4.66( zPxP
33.5)4.66( zPxP
0)4.66( xP
Ejemplo 7.10. Cuidado! El dato proporcionado no es la desviación estándar
poblacional, sino la varianza poblacional.
[DL] Una población normal tiene una media de 60 y una varianza de 144. Usted seleccionó
una muestra aleatoria de tamaño 9. Calcule la probabilidad de que la medias muestrales
sean:
a) Mayor que 63.
b) Menor que 56.
c) Entre 56 y 63.
Capítulo 7. Métodos de muestreo. Distribución de las medias muestrales.
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Solución.
60 Media de la población.
1442 Varianza de la población.
9n Tamaño de la muestra.
Desviación estándar de la distribución de las medias muestrales.
nx
Obsérvese que no disponemos de la desviación estándar de la población, sino de la varianza
de la población, por lo cual es necesario un cálculo previo del parámetro desconocido.
2
144
12
Se determina entonces la desviación estándar de la distribución de las medias muestrales.
9
12
x
4x
a)
xx
xPxP
63)63(
4
6063)63( zPxP
)75.0()63( zPxP
Capítulo 7. Métodos de muestreo. Distribución de las medias muestrales.
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)75.0(5.0)63( xP
2734.05.0)63( xP
2266.0)63( xP
b)
xx
xPxP
56)56(
4
6056)56( zPxP
)00.1()56( zPxP
)00.1(5.0)56( xP
3413.05.0)56( xP
1587.0)56( xP
c)
xxx
xPxP
6356)6356(
Capítulo 7. Métodos de muestreo. Distribución de las medias muestrales.
Estadística. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 34
4
6063
4
6056)6356( zPxP
)75.000.1()6356( zPxP
)75.0()00.1()6356( xP
2734.03413.0)6356( xP
6147.0)6356( xP
Una forma alternativa de calcular la probabilidad en el ítem c) en base a los resultados de a)
y b) es la siguiente:
1)63()6356()56( xPxPxP
)56()63(1)6356( xPxPxP
Las probabilidades )63( xP y )56( xP fueron calculadas en los ítem a) y b)
respectivamente, por lo cual:
1587.02266.01)6356( xP
6147.0)6356( xP
Ejemplo 7.11. Un ejercicio que podría conducir a un error de interpretación.
Supóngase que el voltaje medio en un circuito eléctrico tiene distribución normal con
media 110 voltios y desviación típica 1.5 voltios. Si se toman cuatro mediciones
independientes del voltaje, ¿cuál es la probabilidad de que las cuatro mediciones estén entre
106 y 108 voltios?
Solución.
Capítulo 7. Métodos de muestreo. Distribución de las medias muestrales.
Estadística. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 35
110 voltios Media poblacional.
5.1 voltios Desviación estándar poblacional.
El error de interpretación en el que se podría incurrir en este ejercicio es suponer que se
trata de una distribución de medias muestrales con muestras de tamaño 4, cuando en
realidad no lo es. Observe que las muestras son de tamaño 1, pues cada muestra es tomada
de manera independiente, una por una, y por lo tanto, la desviación estándar para el cálculo
de la probabilidad es la desviación estándar poblacional y no la desviación estándar de la
distribución de medias muestrales.
Se debe determinar en primer lugar la probabilidad de que una de las mediciones se
encuentre entre 106 voltios y 108 voltios, luego aplicar la regla de probabilidad para
eventos independientes.
?)108106( xP
108106)108106(
xPxP
5.1
110108
5.1
110106)108106( zPxP
)33.167.2()108106( zPxP
)33.1()67.2()108106( xP
4082.04962.0)108106( xP
0880.0)108106( xP
Para las cuatro mediciones independientes:
Capítulo 7. Métodos de muestreo. Distribución de las medias muestrales.
Estadística. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 36
4)0880.0()108106( xP
000060.0)108106( xP
Ejemplo 7.12. Toma de decisiones en base a una distribución de las medias muestrales
y probabilidades.
Una siderúrgica está produciendo actualmente cables para suspensión de puentes. La
característica más importante de este producto es su resistencia, el peso que puede soportar
antes de que se reviente. Por experiencias pasadas se sabe que el promedio de la resistencia
es de 6 toneladas con desviación típica de 43 de tonelada. Para efectos de control, se
selecciona una muestra de 9 cables y se adopta la siguiente regla de decisión:
Si la resistencia promedio está por encima de 6.5 toneladas o por debajo de 5.5 se suspende
el proceso. Si está entre 5.5 y 6.5 se deja tal como está.
a) ¿Cuál es la probabilidad de detener el proceso si la media de la producción es aún de 6
toneladas?
b) ¿Cuál es la probabilidad de detener el proceso si la media ya no es 6 toneladas sino 6.18
toneladas?
c) ¿Cuál es la probabilidad de continuar el proceso si el promedio es en realidad de 6.4
toneladas? ¿Si es de 5.8 toneladas?
Solución.
6 toneladas Media de la población.
75.0 toneladas Desviación estándar de la población.
9n Tamaño de la muestra.
a) ?)5.6()5.5( xPxP , 6 toneladas
b) ?)5.6()5.5( xPxP , 18.6 toneladas
c) ?)5.65.5( xP , 4.6 toneladas
Desviación estándar de la distribución de medias muestrales.
nx
Capítulo 7. Métodos de muestreo. Distribución de las medias muestrales.
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9
75.0
x
25.0x
a)
xxxx
xP
xPxPxP
5.65.5)5.6()5.5(
25.0
65.6
25.0
65.5)5.6()5.5( zPzPxPxP
)00.2()00.2()5.6()5.5( zPzPxPxP
)]00.2(5.0[)]00.2(5.0[)5.6()5.5( xPxP
)4772.05.0()4772.05.0()5.6()5.5( xPxP
0456.0)5.6()5.5( xPxP
b)
xxxx
xP
xPxPxP
5.65.5)5.6()5.5(
25.0
18.65.6
25.0
18.65.5)5.6()5.5( zPzPxPxP
)28.1()72.2()5.6()5.5( zPzPxPxP
Capítulo 7. Métodos de muestreo. Distribución de las medias muestrales.
Estadística. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 38
)]28.1(5.0[)]72.2(5.0[)5.6()5.5( xPxP
)3997.05.0()4967.05.0()5.6()5.5( xPxP
1036.0)5.6()5.5( xPxP
c)
xxx
xPxP
5.65.5)5.65.5(
25.0
4.65.6
25.0
4.65.5)5.65.5( zPxP
)40.060.3()5.65.5( zPxP
)40.0()60.3()5.65.5( xP
1554.04998.0)5.65.5( xP
652.0)5.65.5( xP
xxx
xPxP
5.65.5)5.65.5(
Capítulo 7. Métodos de muestreo. Distribución de las medias muestrales.
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25.0
8.55.6
25.0
8.55.5)5.65.5( zPxP
)80.220.1()5.65.5( zPxP
)80.2()20.1()5.65.5( FFxP
4974.03849.0)5.65.5( xP
8823.0)5.65.5( xP
Ejercicios propuestos.
13. [MS] Los pesos de 1500 balineras tienen distribución normal con media 22.40 onzas y
desviación estándar 0.048 onzas. Si de esta población se toman 300 muestras aleatorias de
tamaño 36, determine la media esperada y la desviación estándar de la distribución muestal
de medias si el muestreo se hizo a) con reemplazo, b) sin reemplazo.
Respuesta: a) oz 04.22x
, oz 008.0x
; b) a oz 04.22x
, oz 008.0x
.
14. [MS] Resuelva el problema 13 si la población consta de 72 balineras.
Respuesta: a) oz 04.22x
, oz 008.0x
; b) a oz 04.22x
, oz 0057.0x
.
15. [RV] Los pesos de la placenta en cierta especie de animales experimentales están
distribuidos normalmente con una media de 7 gramos y una desviación típica de 1.5
gramos. ¿Cuál es la probabilidad de que el peso promedio de la placenta en una muestra
aleatoria de 9 animales sea menor que 6 gramos?
Respuesta: 0.0228.
16. Una empresa eléctrica fabrica focos que tienen una duración que se distribuye
aproximadamente en forma normal, con media de 800 horas y desviación estándar de 40
Capítulo 7. Métodos de muestreo. Distribución de las medias muestrales.
Estadística. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 40
horas. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 16 focos tenga una vida
promedio de menos de 775 horas.
Respuesta: 0.0062.
17. [AW] Los clientes de un salón de belleza son un promedio de 40.7 personas por día,
con una desviación estándar de 12.9. Si se toma una muestra de 100 días ¿Cuál es la
probabilidad de que el número promedio de clientes exceda de 43?
Respuesta: 0.0375.
18. [RV] El valor promedio de las cuentas pendientes que figuran en los archivos de una
tienda comercial es de Bs 215 con una desviación estándar de Bs 33. ¿Cuál es la
probabilidad de que una muestra aleatoria simple de 36 cuentas seleccionadas del archivo
tengan un promedio igual o mayor a Bs 115?
Respuesta: 0.9988.
19. [RV] El número promedio de años de experiencia en conducir de cierto grupo de
camioneros es de 10 años y la desviación típica de 3 años. ¿Cuál es la probabilidad de que
una muestra aleatoria de 81 de estos camioneros arroje una media mayor de 10 años y 8
meses?
20. [DM] Una fibra sintética usada en la fabricación de alfombras tiene una resistencia a la
tensión distribuida normalmente con una media de 75.5 psi y una desviación estándar de
3.5 psi. a) Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de n = 6 fibras tenga una
resistencia a la tensión media muestral que exceda 75.75 psi. b) ¿Cómo cambia la
desviación estándar de la media muestral cuando el tamaño de la muestra se incrementa de
n = 6 a n = 49?
Respuesta: b) Se reduce en 0.929.
21. [AW] Los depósitos promedios en una entidad bancaria equivalen a US$ 7012 con una
desviación estándar de US$ 532 y están distribuido normalmente.
a) Si se selecciona un depósito aleatoriamente ¿Cuál es la probabilidad de que exceda de
US$ 6911?
b) Si se selecciona aleatoriamente una muestra de n = 35 depósitos ¿Cuál es la probabilidad
de que la media exceda de US$ 6911?
Capítulo 7. Métodos de muestreo. Distribución de las medias muestrales.
Estadística. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 41
22. [MS] El peso de los paquetes que recibe una bodega tiene una media de 300 lb y una
desviación estándar de 50 lb. ¿Cuál es la probabilidad de que un ascensor cargado con 25
paquetes, recibidos al azar, exceda su límite de seguridad, considerado como 8200 lb?
Respuesta: a) 0.0026.
23. [AW] El promedio de los años de experiencia de los pilotos de aerolínea en Venezuela
es de 25.2. Se asume una desviación estándar de 12 años. Este año usted debe tomar 36
vuelos comerciales. Usted espera que la experiencia promedio de los pilotos de los vuelos
que usted tome sea superior a 30. ¿Qué tan probable es que 30x ?
Respuesta: 0.0082.
24. [AW] En promedio, el nivel de producción en una planta de manufactura local es de
47.3 unidades por día, con una desviación estándar de 12.7. El gerente de planta tomará una
muestra de 100 días. Si la media muestral excede de 49, promete dar a todos los empleados
una bonificación de Navidad. ¿Qué tan probable es que los empleados disfruten de una feliz
navidad?
Respuesta: 0.0901.
25. [RV] Una empresa emplea 1500 personas. La cantidad promedio gastada durante un
año determinado, en servicios médicos personales por un empleado fue $25.75., y la
desviación típica fue $5.25. ¿Cuál es la probabilidad de que una muestra de 100 empleados
arroje una media comprendida entre 25 y 27?
26. [MS] 500 balineras tienen un peso promedio de 5.02 gramos y una desviación estándar
de 0.30 gramos. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 100 balineras
escogidas de este grupo tengan un peso combinado a) entre 496 y 500 gramos, b) más de
510 gramos.
Respuesta: a) 0.2164; b) 0.0015.
27. [RV] La ingestión media diaria de agua de un animal de laboratorio es de 16 gramos.
La desviación típica es de 2 gramos. ¿Cuál es la probabilidad de que la ingestión media
diaria de agua para una muestra aleatoria de 65 animales esté entre 15.50 y 16.25 gramos?
Respuesta: 0.8221.
Capítulo 7. Métodos de muestreo. Distribución de las medias muestrales.
Estadística. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 42
28. [RV] Los puntajes de facilidad de lectura de los niños de un jardín infantil están
normalmente distribuidos con una media y desviación típica 75 y 10 respectivamente.
¿Cuál es la probabilidad de que una muestra aleatoria de 25 niños arroje un promedio entre
70 y 78?
Respuesta: 0.9270.
29. [DM] Se fabrica tubería de PVC con un diámetro medio de 1.01 pulgadas y una
desviación estándar de 0.003 pulgadas. Encuentre la probabilidad de que una muestra
aleatoria de 9n secciones de tubería tenga un diámetro muestral mayor que 1.009
pulgadas y menor que 1.012 pulgadas.
30. [DM] La fuerza de compresión del concreto tiene una media de 2500 psi y una
desviación estándar de 50 psi. a) Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de
5n observaciones tenga una fuerza de compresión media muestral que esté en el
intervalo de 2499 a 2510 psi. b) ¿Cuál es el error estándar de la media muestral?
Respuesta: b) 22.361.
31. [DM] La cantidad de tiempo que un pasajero pasa esperando en el mostrador de registro
de un aeropuerto es una variable aleatoria con media 8.2 minutos y desviación estándar 1.5
minutos. Suponga que se observa una muestra aleatoria de n = 49 pasajeros. Encuentre la
probabilidad de que el tiempo promedio en la fila de estos pasajeros sea:
a) Menor que 10 minutos.
b) Entre 5 y 10 minutos.
c) Menor que 6 minutos.
Respuesta: a) 1; b) 1; c) 0.
32. [JF] Un proceso de manufactura producen unidades que miden en promedio 10
pulgadas de largo con una desviación estándar de 3.2 pulgadas. Si se toma una muestra de
100 unidades. a) ¿Cuál es la probabilidad de que la media se encuentre entre 9.5 y 10.5
pulgadas?, b) ¿Cuántas pueden descartarse de una muestra de 100?
Respuesta: b) 88 unidades.
33. [RV] Los pesos netos de los paquetes de cierto cereal tienen una media de 16 onzas y
una desviación típica de 0.5 onzas. Los pesos están normalmente distribuidos. ¿Cuál es la
Capítulo 7. Métodos de muestreo. Distribución de las medias muestrales.
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probabilidad de que una muestra aleatoria de 25 paquetes tenga un peso neto promedio
comprendido entre 15.8 y 16.2 onzas?
Respuesta: 0.9544.
34. [JF] Los ingresos para los trabajadores de una línea de producción tienen un promedio
de US$ 21.15 por hora con una desviación estándar de US$ 5.15. Si se toman 100 ingresos
de los trabajadores a) ¿Cuál es la probabilidad de que no exceda de US$ 20.35 por hora? b)
¿De qué se encuentre entre US$ 20.48 y US$ 21? C) ¿De que exceda de US$ 20.87?
35. [JF] En la clase de computadora que se le da a los estudiantes de estadística de segundo
nivel, los estudiantes tuvieron un promedio de 14.2 errores con una desviación estándar de
4.3.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que 15 estudiantes tengan más de 13 errores en el curso?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que 36 estudiantes tengan un promedio superior de 13
errores?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que 36 estudiantes tengan un promedio menor a 13.5 errores?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que 36 estudiantes tengan un promedio entre 14,4 y 16
errores?
36. [MS] Ciertos tubos fabricados por una compañía tienen tiempo de vida media de 800
horas y desviación estándar de 60 horas. Encuentre la probabilidad de que una muestra
aleatoria de 16 tubos tomados del grupo tengan tiempo de vida media a) entre 790 y 810
horas, b) menos de 785 horas, c) más de 820 horas, d) entre 770 y 830 horas; e) Desarrolle
el problema si se toma una muestra aleatoria de 64 tubos. Explique la diferencia.
Respuesta: a) 0.4972; b) 0.1587; c) 0.0918; d) 0.9544; d) a) 0.8164, b) 0.0228, c) 0.0038, d)
1.0000.
37. [AW] Un mecánico local en promedio cobra US$ 110 por hacer una reparación
determinada. Los registros muestran una desviación estándar de US$ 21.50 en cobros. Un
cliente se quejó recientemente porque su factura de US$ 115.50 era excesiva. Después de
un regateo considerable, el mecánico acepto reembolsar el dinero si la muestra de 36
trabajos similares revelaba tener una facturación promedio menor que la del cliente.
¿Piensa usted que el mecánico fue sabio al ofrecer esta negociación?
Capítulo 7. Métodos de muestreo. Distribución de las medias muestrales.
Estadística. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 44
38. Las estaturas de 1000 estudiantes están distribuidas aproximadamente en forma normal
con una media de 174.5 centímetros y una desviación estándar de 6.9 centímetros. Si se
extraen 200 muestras aleatorias de tamaño 25 sin reemplazo de esta población, determine:
a) El número de las medias muestrales que caen entre 172.5 y 175.8 centímetros.
b) El número de medias muestrales que caen por debajo de 172 centímetros.
Respuesta: a) 0.7607; b) 0.0336.
39. [MS] ¿Cuántas muestras aleatorias del problema 13 tendrán su media a) entre 22.39 y
22.41 oz?, b) mayor que 22.42 oz, c) menor que 22.37 oz, d) menor que 22.38 oz o mayor
que 22.41 oz?
Respuesta: a) 237; b) 2; c) ninguno; d) 24.
40. [UNA] Un antropólogo desea estimar la estatura media de los hombres de cierto grupo
étnico (se supone que la altura se distribuye normalmente). Si la desviación estándar es
5.2 pulgadas y se escoge al azar 100 hombres. Calcule la probabilidad de que la
diferencia entre la media de la muestra y la media real de la población no exceda a 0.5
pulgadas. (Se supone que cada individuo se elige de manera independiente). [Sugerencia:
Suponga que es la media real de la población y x es la media de la muestra, para
calcular )5.0( xP ].
Respuesta: 0.9772.
41. [AW] El consumo diario de agua en Maturín promedia los 18.9 galones por hogar, con
una desviación estándar de 3.6 galones. El Alcalde de la ciudad desea estimar esta media no
conocida con una muestra de 100 hogares. ¿Qué tan probable es que el error de muestreo
exceda los 0.5 galones?
Respuesta: 0.1646.
42. [AW] El promedio del fondo de pensiones en la UDO, para una población de
profesores, es de Bs 40715, con una desviación estándar de Bs 19015. Halle la probabilidad
de que una muestra de 75 profesores produzca un error de muestreo menor que US$ 10000.
Respuesta: 0.3544.
Capítulo 7. Métodos de muestreo. Distribución de las medias muestrales.
Estadística. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 45
43. [DM] Suponga que se seleccionan al azar muestras de tamaño 25n de una población
normal con media 100 y desviación estándar 10. ¿Cuál es la probabilidad de que la media
muestral esté en el intervalo de xx
8.1 y xx
0.1 ?
Respuesta: 0.8504.
44. [AW] Agroisleña fabrica equipos para agricultura. Su trabajo requiere del uso de barras
de acero que deben tener una longitud promedio de por lo menos 90 pulgadas. Las barras
pueden comprarse a un distribuidor en Puerto Ordaz cuyas barras miden en promedio 47
pulgadas solamente, con una desviación estándar de 12 pulgadas, o de un proveedor en
Ciudad Bolívar cuyas barras miden en promedio 49 pulgadas, con una desviación estándar
de 3.6 pulgadas. Si Agroisleña debe comprar 81 barras, ¿debería utilizar el proveedor en
Puerto Ordaz o el de Ciudad Bolívar?
45. [MS] En una evaluación general las notas tuvieron distribución normal con media 72 y
desviación estándar 8. a) Encuentre la nota mínima del 20% superior de los estudiantes, b)
Encuentre la probabilidad de que en una muestra de 100 estudiantes tomada al azar, la nota
mínima del 20% superior de los estudiantes sea menor que 76.
Respuesta: a) 78.7; b) 0.0090.
Ejemplo 7.13. Cálculo del tamaño de la muestra.
[RL] Un investigador desea tener alguna idea concreta sobre la media de una población
para lo cual decide tomar una muestra aleatoria de la población, y usar el valor de la media
muestral como aproximación de la media de la población. Se sabe que la desviación típica
es 0.05. ¿Cuál debe ser el tamaño de la muestra, para que la probabilidad de que la media
muestral no difiera de la media de la población en más de 0.01 sea 0.95?
05.0 Desviación estándar de la población.
95.0)01.001.0( xP
Solución.
95.001.001.0
xxx
xP
Capítulo 7. Métodos de muestreo. Distribución de las medias muestrales.
Estadística. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 46
95.0/
01.0
/
01.0
nz
nP
De la tabla de distribución normal, para una probabilidad simétrica de 0.95 en torno a la
media, la probabilidad desde la media hasta el valor de z debe ser 0.95/2 = 0.475. El valor
correspondiente de z es z = 1.96.
96.1/
01.0
n
96.1/05.0
01.0
n
Al despejar el valor de n, obtenemos:
2
01.0
05.096.1
n
04.96n
Al aproximar al entero superior, obtenemos como resultado que el tamaño de la muestra es
97n .
En general, para obtener el tamaño de la muestra con un error estándar determinado, se
aplica la ecuación
2
2/
zn , donde 2/z es el valor de z que deja una probabilidad de
2/ a su derecha, siendo 1 la probabilidad del error estándar.
Ejercicios propuestos.
46. [DM] Una población normal tiene media 100 y varianza 25. ¿De qué tamaño deberá ser
la muestra aleatoria si se quiere que el error estándar del promedio muestral se 1.5?
47. [RL] A un productor de transistores le interesa estimar cuánto duran en promedio sus
transistores, sabiendo que la desviación típica es de 150 horas. Para hacerlo, toma una
muestra aleatoria y estima la media por la duración promedio en la muestra. ¿Cuántos
transistores debe tener la muestra para que la probabilidad de que la duración media en la
muestra difiera de la duración media de la población en más de 10 horas, sea 0.1?
Respuesta: 609.
Capítulo 7. Métodos de muestreo. Distribución de las medias muestrales.
Estadística. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 47
48. [RL] Se sabe que la resistencia a la tracción de los cables producidos por un cierto
fabricante es una variable aleatoria con media µ desconocida y desviación típica de 100 kg.
El valor de un cable es de 0.1 µ bolívares. Un cliente ofrece pagar al productor 0.1 x
bolívares por cada cable, siendo x la resistencia media en una muestra aleatoria que el
cliente toma para examinar la producción. ¿De qué tamaño debe ser la muestra para que la
probabilidad de que el comprador no sobrepague cada cable en más de Bs 5 sea 0.95?
Respuesta: 11.
49. [RL] Un investigador desea estimar la media de una población usando una muestra
suficientemente grande, para que la probabilidad de que la media muestral no difiera de la
media de la población en más del 25% de la desviación típica, sea 0.95. ¿De qué tamaño
debe tomarse la muestra?
Ejemplo 7.14. Cálculo de límites para una probabilidad dada.
[DL] Un proveedor de materiales de construcción afirma que el peso medio de sus
camiones cuando están totalmente cargados es 6000 libras, y la desviación estándar es 150
libras. Suponga que la población sigue la distribución normal. Se seleccionan al azar 40
camiones y se pesan. ¿Dentro de qué límites ocurrirá 95% de las medias de la muestra?
Solución.
6000 libras Media de la población.
150 libras Desviación estándar de la población.
40n Tamaño de la muestra.
Desviación estándar de la distribución de medias muestrales.
nx
40
150
x
72.23x
libras
Existen dos límites, uno inferior ( ix ) y uno superior ( sx ) en torno a la media muestral que
definen una probabilidad de 0.95.
Capítulo 7. Métodos de muestreo. Distribución de las medias muestrales.
Estadística. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 48
95.0)( si xxxP
95.0
x
s
xx
i xxxP
95.0
x
s
x
i xz
xP
De la tabla de distribución normal, para una probabilidad simétrica de 0.95 en torno a la
media, la probabilidad desde la media hasta el valor de z debe ser 0.95/2 = 0.475. El valor
correspondiente de z es 96.1z .
El límite inferior corresponde a 96.1z y el límite superior a 96.1z
Límite inferior. Límite superior.
96.1
x
ix
96.1
x
sx
xix 96.1 xsx 96.1
)72.23(96.16000ix )72.23(96.16000sx
5.5953ix 5.6046sx
El 95% de las medias muestrales se encuentra entre 5953.5 y 6046.5 libras.
En general, para obtener el los límites inferior y superior de la media muestral (simétricos)
que contienen una probabilidad 1 , se aplica la ecuación x
zx 2/ , donde 2/z es
el valor de z que deja una probabilidad de 2/ a su derecha.
Ejercicios propuestos.
50. En la fabricación de cojinetes para motores, se sabe que el diámetro promedio es de 5
cm con una desviación estándar igual a 0.05 cm. El proceso es vigilado en forma periódica
mediante la selección aleatoria de 64 cojinetes, midiendo sus correspondientes diámetros.
El proceso no se detiene mientras la probabilidad de que la media muestral se encuentre
entre dos límites especificados sea de 0.95. Determine el valor de estos límites.
Respuesta: 012.5988.4 x .