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Introducción a la teoría de
carteras
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Conceptualización
del riesgo
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INTRODUCCIÓN
¿QUÉ ES RIESGO?
DICCIONARIO WEBSTER
ES LA POSIBILIDAD DE PÉRDIDA O EL GRADO DE
PROBABILIDAD
DE PÉRDIDA.
PELIGRO, CONTINGENCIA DE UN DAÑO
PROBABILIDAD DE QUE UNA SITUACIÓN TENGA UN
RESULTADO INDESEABLE
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¿Qué es el riesgo?
.
• El monto del riesgo se caracteriza por la probabilidad de
ocurrencia y por la magnitud de la pérdida.
Riesgo: *El riesgo es la posibilidad que de tener un
resultado distinto al que se esperaba
conseguir con una decisión.
* Variabilidad de los resultados futuros de las
decisiones. Dependen del entorno donde se
tomen.
RIESGO FINANCIERO ES NUESTRO ENFOQUE
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Contexto de Riesgo
Elementos de una decisión en contexto de riesgo:
– Objetivo
– Alternativas decisionales
– Estados naturales
– Probabilidades de ocurrencia de los estados naturales
– Resultado de cada alternativa en cada estado natural.
– Cálculo de valor esperado de cada resultado
– Criterio de Selección
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E1 E2 ... Ej … Em
P1 P2 … Pj … Pm
A1 R11 R12 … R1j … R1m
A2 R21 R22 … R2j … R2m
A3 R31 R32 … R3j … R3m
…….. …
…
…
…
… ….. … …..
Ai Ri1 Ri2 … Rij … Rim
…….. …
…
…
…
… ….. … …..
An Rn1 Rn2 … Rnj … Rnm
CRITERIO DE DECISIÓN EN SITUACIÓN
DE RIESGO: EL VALOR MONETARIO
ESPERADO RPV ij
m
jji
1
Altern
ativas d
ecis
ionale
s
Estados naturales
Probabilidades
Resultados
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• Riesgo:
– cuando se sabe los resultados posibles y las
probabilidades de cada resultado
– por ejemplo, juegos de dados
• Incertidumbre:
– Cuando no se sabe los resultados posibles o las
probabilidades de cada resultado.
– por ejemplo, Análisis de un químico nuevo
Diferencia entre riesgo e incertidumbre
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I.- OBJETIVO DE LA EMPRESA:
El objetivo principal de cualquier compañía es la
creación de valor para sus accionistas y para la sociedad.
Para esto debe gestionar de la forma más eficiente los
recursos utilizados y los riesgos que la empresa
encuentra para el desarrollo de su gestión.
La gestión del riesgo se transforma en un factor critico de
la estrategia.
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Como se mide el riesgo
Valor medio o esperanza
• El valor medio o esperanza de un conjunto de eventos es definido como:
donde:
• xi : resultado del evento i
• pi: probabilidad de que ocurra el evento i
• E(x): valor medio o esperaza
• N : número total de posibles eventos
N
i
ii xpXE
1
)(
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Como se mide el riesgo
Dispersión
• La varianza es el estadígrafo más usado para medir la
dispersión de una distribución.
• Es más utilizada la Desviación Estándar.
N
i
ii XExpXVAR
1
2))(()(
)()( XVARX
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Acción de Coca Cola 1987-2004
Cambio de Precio Diario
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0,14
-9 -7 -5 -3 -1 0 2 4 6 7
Pro
porc
ion d
e D
ias
Cambio Diario (%)
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El valor de US $1 en 1900
$1
$10
$100
$1.000
$10.000
$100.000
1900
1910
1920
1930
1940
1950
1960
1970
1980
1990
2000
Año
Dó
lare
s
Acciones Comunes
Bonos de Gobierno
T-Bills
15,578
147
61
2004
Retorno Nominal
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El precio de una acción refleja toda la información
relevante de la empresa emisora. Por ende también lo
hace la rentabilidad de mercado del precio.
Riesgo varía según la inversión :
Un pagaré del Tesoro no posee riesgo (libre de riesgo).
Una acción común posee riesgo (título renta variable).
El riesgo máximo soportable depende de la actitud al
riesgo del decisor .
A mayor riesgo se exige una mayor rentabilidad .
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Clasificación del riesgo
• Riesgo no sistemático, específico o idiosincrático
Vinculado con factores que son propios de la empresa.
Ej. un nuevo gerente, un nuevo producto, etc.
• Riesgo sistemático o de mercado
Vinculado con factores no relacionados con la empresa.
Ej. acontecimientos políticos (elecciones) o macroeconómicos (inflación, cambio en tasa de interés, crecimiento de la economía, etc.).
• El riesgo total se compone entonces de:
Riesgo Total = Riesgo no Sistemático + Riesgo Sistemático
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Algunos tipos de riesgos
• Riesgo de Inflación
• Riesgo de Interés
• Riesgo de tipo de cambio
• Riesgo de variación de precios y costos.
• Riesgo político
• Riesgo de insolvencia
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Calificación del riesgo de insolvencia
• El riesgo de insolvencia es valorado, fundamentalmente, por
empresas de calificación o rating independientes.
• Estas empresas califican la capacidad y probabilidad de
pagar los intereses y el principal de la deuda de las
compañías.
• La calificación es entregada a través de una notación.
• Las más conocidas en USA son Moody's y Standard &
Poor's.
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Calificación del riesgo de insolvencia
Moody’s Standard & Poors
Alto Grado Aaa AAA
Aa AA
Grado Medio A A
Baa BBB
Especulación Ba BB
B B
Peligro no pago Caa CCC
Ca CC
C C
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INTRODUCCION A LA
TEORIA DE CARTERA DE
INVERSIONES
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• En 1952, Harry M. Markowitz publicó un trabajo de
investigación que es visto como el origen de la moderna
teoría de portafolios .
Supuestos de la Teoría de Cartera:
• Los inversionistas son racionales.
• Mercado de capitales sin fricciones.
• Los retornos de los activos siguen una distribución
normal.
• Lo único importante para los inversionistas es la media y
la varianza del rendimiento.
• Todos los tomadores de decisiones tienen aversión por
el riesgo y prefieren un rendimiento medio más alto y
una varianza de rendimiento más baja.
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Distribución Normal
• Se puede caracterizar el retorno promedio y la desviación de este a través de la Distribución Normal.
• La Distribución Normal. puede ser descrita por dos parámetros:
– Media μ
– Desviación estándar σ
• Bajo ciertos supuestos sobre preferencias, un inversionista considerara estas dos dimensiones para decidir en que activos invierte.
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Distribución normal con m =0 para varios valores
0
-2.50 -1.50 -0.50 0.50 1.50 2.50
x
0.25
0.5
1
f(x)
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Interpretación probabilista de la
Distribución Normal
• Entre la media y una desviación estándar, existe una probabilidad de aproximadamente 68%.
• Entre la media y dos desviaciones estándar, existe una probabilidad de aproximadamente 95%.
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Riesgo:
Cada curso de acción posee distintos resultados dependiendo del
entorno que rodea la decisión (variabilidad de los resultados).
Existen 3 posibles actitudes hacia el riesgo:
a) Deseo por el riesgo.
b) Aversión hacia el riesgo.
c) Indiferencia hacia el riesgo.
La utilidad marginal declinante del patrimonio explica esta teoría
donde muestra una relación entre el patrimonio y su utilidad:
a) Utilidad Marginal constante de la riqueza: indiferente al riesgo.
b) Utilidad Marginal decreciente de la riqueza: averso al riesgo.
c) Utilidad creciente de la riqueza: buscador de riesgo.
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Rentabilidad
• Valor Esperado:
–promedio ponderado de los resultados
estimados multiplicados por sus
probabilidades de ocurrencia
• Rentabilidad requerida: rentabilidad que
el inversor requiere de un activo,
teniendo en cuenta su riesgo.
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Teoría de Carteras
Riesgo y rentabilidad para un activo • Rentabilidad = Incremento de la riquez
Pi
DivPiPfR
Pf = Valor final de inversión
Pi = Valor inicial de la inversión
• 100 acciones de IBM, 9 meses
• Se compraron en $62, y vendieron en $101.50
• $0.80 dividendos
• Rentabilidad en 9 meses: 101.50 - 62 + 0.80
62
= 0.65 =65%
Rentabilidad annual: (1.65)12/9 - 1 = 0.95 = 95%
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Activos Individuales
• Las características de activos individuales
que son de interés son:
– Retorno Esperado
– Varianza y Desviación Estándar
– Covarianza y Correlación
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Media y Varianza de Activos individuales
N
i
ii RpRE
1
)(
2
1
2)()()(
N
i
ii RERpRERiERVar
)()( RVarR
pi = probilidad de ocurrencia
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¿Cómo se mide el riesgo el riesgo?
• Para tener una idea general de la variabilidad del precio de las acciones, se deberían observar las fluctuaciones en los precios de las acciones del año anterior.
• Varianza
Indica qué tan dispersos se encuentran los datos, en promedio, de la media de la población.
• Desviación Estándar • En la varianza, los resultados se expresan en unidades
originales al cuadrado, por lo que se requiere de una medida de desviación que sea útil en unidades originales que no estén al cuadrado.
• Esta medida es llamada desviación estándar y es la raíz cuadrada de la varianza.
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Rentabilidad Esperada
Estado de probabilidad rentabilidad
Economía (K1) P(K1) A EMPRESAS B
Recesión (K1) 0,20 4% -10%
Normal (K2) 0,50 10% 14%
Expansión (K3) 0,30 14% 30%
E(K) = P(k1)*k1 + P(k2)*k2 + ...+ P(kn)*kn
E(KA) = 0,2 (4%) + 0,5 (10%) + 0,3 (14%) = 10%
E(KB) = 0,2 (-10%)+ 0,5 (14%) + 0,3 (30%) = 14%
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Empresa A
( 4% - 10%)2 (0,2) = 7,2
(10% - 10%)2 (0,5) = 0
(14% - 10%)2 (0,3) = 4,8
Varianza = 12
Desv. Están. = 12 = 3,46%
= (ki –E(K)) P(ki) 2
S n
i=1
Empresa B
(-10% - 14%)2 (0,2) = 115,2
(14% - 14%)2 (0,5) = 0
(30% - 14%)2 (0,3) = 76,8
Varianza = 192
Desv. Están.= 192 = 13,86%
EMPRESAS
A B
Rentabilidad esperada 10% 14%
Desviación estándar 3,46% 13,86%
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Rentabilidades EEUU,
1926 – 2001
Rentabilidad Desviación
Promedio Estándar
Acciones empresas pequeñas 17.3% 33.2%
Acciones empresas grandes 12.7 20.2
Bonos corporativos LP 6.1 8.6
Bonos gobierno LP 5.7 9.4
Pagarés del tesoro 3.9 3.2
Source: Based on Stocks, Bonds, Bills, and Inflation: (Valuation
Edition) 2002 Yearbook (Chicago: Ibbotson Associates, 2002), 28.
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Conceptos introductorios
Utilidad:
–Satisfacción de disponer o utilizar un
bien o servicio.
– Preferencia que una persona le da a
la ocurrencia de ciertos eventos.
–Medida de la satisfacción que obtiene el
consumidor al consumir o adquirir un
bien o servicio en respuesta a sus
necesidades.
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Utilidad
• La utilidad expresa que tan deseable es el resultado de cada posible acción
U(a) = Sr U(r) P(r|a,e)
• Donde: – a = posibles acciones
– r = posibles resultados
– e = evidencia disponible
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Lotería • A cada posible resultado (escenario) se
la asocia una probabilidad de ocurrencia, al conjunto de estos se le denomina una lotería
• Cada estado de la lotería tiene una utilidad, de forma que se pueden ordenar de acuerdo a la preferencia del agente:
– Prefiere A a B – A > B
– Indiferente – A ~ B
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Axiomas de Utilidad 1. Orden – dados dos estados, se
prefiere uno u otro, o se es indiferente
2. Transitividad – si A > B y B > C, entonces A > C
3. Continuidad – Si A>B>C, existe algún valor de probabilidad, p, de forma que es indiferente entre obtener B o la lotería A, p y C,1-p
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Axiomas de Utilidad 4. Substitución – si el agente es indiferente
entre dos loterías A y B, entonces es indiferente entre dos loterías más complejas que son iguales excepto en que A es substituida por B en una de ellas
5. Monotonicidad – si hay dos loterías con los mismos resultados, A y B, y el agente prefiere A, entonces debe preferir la lotería en que A tiene mayor probabilidad
6. Descomposición – loterías compuestas se pueden reducir a loterías más simples usando las leyes de probabilidad
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Principio de Utilidad • Se prefiere la acción (decisión) que de la
mayor utilidad esperada:
U(A) > U(B) A > B (A es mejor que B)
• Si la utilidad es la misma se es indiferente:
U(A) = U(B) A ~ B (indiferencia)
• Normalmente se mide la utilidad en términos
monetarios, aunque la relación de utilidad y $
no es lineal!
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Actitud al Riesgo
• Ej. Considere una decisión en donde existe
• 20% de probabilidad de ganar $30
• 80% de probabilidad de ganar $5 => E(decisión) = $10
Pregunta: ¿ Prefiere Ud. $10 con seguridad o prefiere el valor
esperado de la l la decisión?
[i] Si prefiere la decisión, Ud. Es amante del riesgo
[ii] Si es indiferente entre las alternativas, Ud. Es neutral al
riesgo.
[iii] Si prefiere la alternativa que da un resultado seguro, por
sobre la decisión, Ud. es averso al riesgo.
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Curva indiferencia
E(r)
σ(r)
Utilidad creciente
Curva indiferencia
- Representa las
compensaciones
individuales riesgo- retorno.
- Supuestos:
1) 5 Axiomas
2) Codicia
3) Aversión al riesgo
4) Rentabilidades distribuidas
normalmente
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La Teoría de Cartera (Harry Markowitz)
Cartera: Combinación de activos para cumplir un objetivo deseado ( Rentabilidad, liquidez, seguridad, crecimiento, etc)
• Para construir una cartera de inversión se debe encontrar la composición óptima de títulos que entreguen el menor riesgo para un máximo retorno.
• Se debe resolver cuales son los títulos a considerar y cuanto de comprar de cada uno de ellos.
• El riesgo de la cartera se mide por la varianza o desviación estándar de sus retornos.
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Activo 1
Activo i
Activo j
Activo n
.
.
.
(r1, σ1)
(ri, σi)
(rj, σj)
(rn, σn)
Teoría de Cartera (Rentabilidad, Riesgo)
.
.
.
w1
wi
wj
wn
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La teoría de H. Markowitz propone buscar:
• Aquellas carteras o títulos que proporcionan el mayor
rendimiento para un riesgo dado, o bien,
• Determinar cuales son las carteras que soportan el
mínimo riesgo para un rendimiento conocido.
• A estas carteras se les denomina “carteras o portfolios
eficientes”.
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Inversor racional Rentabilidad esperada
y riesgo
)()(
1
i
n
i
ip rEwrE
ijjij
n
i
n
j
ii
n
i
ip www 1 1
2
1
22
Rentabilidad
Riesgo
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Retorno Esperado, Varianza, y Covarianza
Considere los siguientes dos activos
riesgosos. Hay una prob. de 1/3 para cada
estado de la economía y los únicos activos son
un fondo accionario y un fondo de bonos.
Tasa de Retorno
Escenario Prob. Fondo Acc. Fondo en Bonos
Recesión 33,3% -7% 17%
Normal 33,3% 12% 7%
Boom 33,3% 28% -3%
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Fondo Accionario Fondo en Bonos
Tasa de Tasa de
Escenario Retorno Retorno
Recesión -7% 17%
Normal 12% 7%
Boom 28% -3%
Retorno Esperado 11,00% 7,00%
Varianza 0,0000 0,0000
Desviación Estándar 0,0% 0,0%
Retorno Esperado, Varianza, y Covarianza
%11)(
%)28(3
1%)12(3
1%)7(3
1)(
S
S
rE
rE
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Fondo Accionario Fondo en Bonos
Tasa de Desviación
Escenario Retorno al Cuadrado
Recesión -7% 3,24%
Normal 12% 0,01%
Boom 28% 2,89%
Retorno Esperado 11,00%
Varianza y desviación estándar.
%)89.2%01.0%24.3(3
1%05.2
%24.3%)7%11(2
%01,0%)12%11(2
%89,2%)28%11(2
Varianza de cartera accionaria = .)(1
2
n
iiP
PR
2
)))(((ii
RRE
2
)))(((ii
RRE
)(2
RP
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Fondo Accionario Fondo en Bonos
Tasa de Tasa de
Escenario Retorno Retorno
Recesión -7% 17%
Normal 12% 7%
Boom 28% -3%
Retorno Esperado 11,00% 7,00%
Varianza 0,02050 0,00670
Desviación Estándar 14,3% 8,2%
Retorno Esperado, Varianza, y Covarianza
)%)28%11(%)12%11(%)7%11((3
1%05.2
222
0205.0%3.14
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Fondo Accionario Fondo en Bonos
Tasa de Desviación Tasa de Desviación
Escenario Retorno al Cuadrado Retorno al Cuadrado
Recesión -7% 3,24% 17% 1,00%
Normal 12% 0,01% 7% 0,00%
Boom 28% 2,89% -3% 1,00%
Retorno Esperado 11,00% 7,00%
Varianza 0,0205 0,0067
Desviación Estándar 14,3% 8,2%
El Retorno y Riesgo de Porfolios
Note que las acciones tienen un retorno esperado
más alto que los bonos y un riesgo mayor. Veamos
ahora el tradeoff de riesgo-retorno para un porfolio
que es 50% invertido en bonos y 50% invertido en
acciones.
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Tasa de Retorno
Escenario Fondo Acc. F. de Bonos Porfolio
Recesión -7% 17% 5,0%
Normal 12% 7% 9,5%
Boom 28% -3% 12,5%
Retorno Esperado 11,00% 7,00% 9,0%
Varianza 0,0205 0,0067
Desviación Estándar 14,31% 8,16%
Rentabilidad esperada de Carteras
Rentabilidad esperada de una cartera:
% )7(%50% )11(%50%9 )()()( AABBP rEwrEwrE
Cartera: 50% invertido en acciones (wA) y 50% (wB) en bonos
)()(
1
i
n
i
ip rEwrE
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Varianza de una cartera
Varianza de Carteras con dos Activos
w: proporción de la riqueza invertida en el activo A
),()1(2)()1()()(22
BABApRRCovwwRVarwRVarwRVar
)()(),(
1
BB
N
i
AAiBA RERRERpRRCov
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» Covarianza: mide la relación lineal entre dos variables aleatorias.
» Correlación: dada la dificultad para interpretar la magnitud de la
covarianza se utiliza la correlación para medir el grado de
movimiento conjunto entre dos variables. Se encuentra entre –1 y +1
se calcula así:
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Fondo Accionario Fondo en Bonos
Tasa de Tasa de
Escenario Retorno Retorno
Recesión -7% 17%
Normal 12% 7%
Boom 28% -3%
Retorno Esperado 11,00% 7,00%
Varianza 0,02050 0,00670
Desviación Estándar 14,3% 8,2%
)()(),(
1
BB
N
i
AAiBA RERRERpRRCov
%)7%3%)(11%28)(3/1(
%)7%7%)(11%12)(3/1(
%)7%17%)(11%7)(3/1(),(ba
RRCOV
= -0,0117%
Covarianza de las rentabilidades de fondos accionarios y bonos:
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BAABBApwwRVarwRVarwRVar )1(2)()1()()(
22
%08,301,0)()( PP
RVarR
998.0)082)(.143(.
0117.
),(
AB
ba
AB
baCov
Correlación entre las rentabilidades del fondo
accionarios y el de bonos.
Var (Rp)= (1/2)2 x 2,05% + (1/2)2x0,67% + 2x (1/2)x (1/2)x (-0,998)x 14,31%x8,61%
= 0,1%
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Tasa de Retorno
Escenario Fondo Acc. F. de Bonos Porfolio
Recesión -7% 17% 5,0%
Normal 12% 7% 9,5%
Boom 28% -3% 12,5%
Retorno Esperado 11,00% 7,00% 9,0%
Varianza 0,0205 0,0067 0,0010
Desviación Estándar 14,31% 8,16% 3,08%
Varianza de rentabilidad de carteras.
Varianza de la rentabilidad de una cartera de dos activos:
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Inversor racional Rentabilidad esperada
y riesgo
)()(
1
i
n
i
ip rEwrE
ijjij
n
i
n
jii
n
iip
www 1 1
2
1
22
2
Rentabilidad
Riesgo
Rentabilidad esperada y riesgo de Cartera con
n activos
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EJEMPLOS
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Escenario Prob. A B
Activo: % rentabilidad
1 0.25 -0.11 0.05
2 0.25 - 0.05 0.10
3 0.25 -0.03 -0.03
4 0.25 0.19 -0.10
Ejemplo 1
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Retorno Esperado y Varianza
Tabla 1: Caso activo A
Escenario Probab. R(A) ProbxR(A) (R(A)-E(R(A)))2 x Prob
1 0,25 -0,11 -0,028 0,00390625
2 0,25 -0,05 -0,013 0,00105625
3 0,25 0,03 0,008 0,00005625
4 0,25 0,19 0,048 0,00765625
E(R(A)) 0,015
Var(R(A)) 0,012675
Ds(R(A)) 0,112583
Tabla 2: Caso activo B
Escenario Probab. R(B) ProbxR(B) (R(B)-E(R(B)))2 x Prob
1 0,25 0,05 0,013 0,00050625
2 0,25 0,1 0,025 0,00225625
3 0,25 -0,03 -0,008 0,00030625
4 0,25 -0,1 -0,025 0,00275625
E(R(B)) 0,005
Var(R(B)) 0,005825
Ds(R(B)) 0,076322
Prof. Angel Haggar 59
Escenario Probab. R(A) R(B) (R(A)-E(A))*(R(B)-E(B)) (*)*Prob
1 0.25 -0.11 0.05 -0.005625 -0.00140625
2 0.25 -0.05 0.1 -0.006175 -0.00154375
3 0.25 0.03 -0.03 -0.000525 -0.00013125
4 0.25 0.19 -0.1 -0.018375 -0.00459375
Cov (R(A),R(B)) -0.007675
Corr(A,B) -0.89
Se puede concluir entonces, que los activos A y B se
comportan de manera muy distinta.
Covarianza
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Portafolio de dos Activos
Acción A B
E(R) 1.500% 0.500%
VAR(R) 1.268% 0.583%
Ds(R) 11.258% 7.632%
Cov(A,B) -0.768%
Corr(A,B) -0.89
Portafolio W(A) W(B) E(Rp) Ds(Rp)
1 100% 0% 1.500% 11.258%
2 90% 10% 1.400% 9.457%
3 80% 20% 1.300% 7.674%
4 70% 30% 1.200% 5.926%
5 60% 40% 1.100% 4.256%
6 50% 50% 1.000% 2.806%
7 40% 60% 0.900% 2.100%
8 30% 70% 0.800% 2.778%
9 20% 80% 0.700% 4.218%
10 10% 90% 0.600% 5.885%
11 0% 100% 0.500% 7.632%
Prof. Angel Haggar 61
E(Rp)
0,000%
0,200%
0,400%
0,600%
0,800%
1,000%
1,200%
1,400%
1,600%
0,000% 2,000% 4,000% 6,000% 8,000% 10,000% 12,000%
100% en Activo A
100% en Activo B
Correlación 1
Corr. Cercana a -1
Gráficamente
Riesgo
mín
Prof. Angel Haggar 62
Determinemos ahora, el retorno de un portafolio
de activos:
E( Rp ) = wk* E ( rk )
Var( Rp ) = wk2 *Var( rk ) + 2*wmwn*Cov( rm,rn)
Para el caso de dos activos, esto se reduce a:
E( Rp ) = w1* E ( r1 ) + w2* E ( r2 )
Var( Rp )=w12 *Var(r1)+ w2
2 *Var(r2) +2*w1w2*Cov( r1,r2)
Prof. Angel Haggar 63
Acción A Acción B
Retorno esperado .015 .020
Varianza .050 .060
Desviación estándar .224 .245
% de la inversión 40% 60%
Coeficiente de
correlación
.50
Considere la cartera formada por 2 acciones A y B.
EJEMPLO 1
Prof. Angel Haggar 64
Rentabilidad esperada de la cartera:
1
( ) ( )
( ) ( )
0.4(0.015) 0.6(0.020)
0.018 1.80%
n
p i i
i
A A B B
E R x E R
x E R x E R
Prof. Angel Haggar 65
2 2 2 2 2
2 2
2
(.4) (.05) (.6) (.06) 2(.4)(.6)(.5)(.224)(.245)
.0080 .0216 .0132
.0428
p A A B B A B AB A Bx x x x
• Varianza de la cartera:
Prof. Angel Haggar 66
• Para una cartera de varianza mínima el %
de Inversión dentro de la cartera (X) para
cada activo es :
2
2 2 2
1
B A B ABA
A B A B AB
B A
x
x x
Prof. Angel Haggar 67
2
2 2
.06 (.224)(.245)(.5)59.07%
2 .05 .06 2(.224)(.245)(.5)
1 1 .5907 40.93%
B A B ABA
A B A B AB
B A
x
x x
Prof. Angel Haggar 68
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
0 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06
% i
nve
rtid
o e
n A
Varianza de la cartera
Prof. Angel Haggar 69
Ejemplo 2
Cartera formada por tres activos en tres estados naturales
con igual probalidad de ocurrencia:
Estados
(s) T-Bill
Retorno% Acción A
Retorno % Acción B
Retorno % (i=1) (i=2) (i=3) s1 “boom” 5 16 3 s2 “normal” 5 10 9 s3 “recesión” 5 1 15
3
1321 ppp
Probabilidades de ocurrencia
Prof. Angel Haggar 70
Retornos esperados
Para el activo libre de riesgo
Para las acciones A y B:
Para la cartera
Para cartera igualmente ponderada
%5][ 1 rE
%915933
1][
%9110163
1][
3
2
rE
rE
9)(5][ 321 wwwrE
%666.79253
1][
3
1321 ewrEwww
Prof. Angel Haggar 71
Riesgo de la cartera
Varianza de la cartera:
ij
n
ji
ji
jjii
n
ji
ji
j
n
j
jji
n
i
ii
n
i
ii
n
i
iippp
ww
rrrrwwE
rrwrrwE
rwrwErrE
1,
1,
11
2
11
22
))((
)()(
)(
n
i
n
i
n
jij
ijjiiip www1 1 1
222
Prof. Angel Haggar 72
Cálculo de varianzas y covarianzas
0
0
3
90)6)(8()0)(1()6)(7(
3
1],cov[
3
72)915()99()93(
3
1]var[
3
114)91()910()916(
3
1]var[
0]var[
31
21
3223
222
3
2
3
222
2
2
2
1
2
1
rr
r
r
r
Prof. Angel Haggar 73
Riesgo de la cartera:
180721143
1
2
32
2
3
2
2
2332
2
3
2
3
2
2
2
2
2
3223311323322112
13311221
2
3
2
3
2
2
2
2
2
1
2
1
3
2
1
2
33231
23
2
221
1312
2
1
3
2
1
2
wwww
wwwwσ
wwwwwwww
wwwwwww
w
w
w
w
w
w
p
t
p
Para cartera igualmente ponderada 27
6
3
1 2
321 ewwww