Post on 28-Jan-2016
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Dr. Eberardo Osorio Rojas
FISICA I
Módulo: 2 Unidad: II Semana:04
MOVIMIENTO CIRCULAR
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME.mcu
Ecuación del movimiento uniforme : S= V . t Si hay espacio inicial queda S = V . t + S0
Aceleración normal o centrípeta a N – V2
R
Las gráficas de este movimiento serán las mismas que las de cualquier movimiento
uniforme luego A PARTIR DE LAS GRÁFICAS S/t Y V / t NO ES POSIBLE
DISTINGUIR EL MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME DEL CIRCULAR
UNIFORME YA QUE NO NOS PERMITEN SABER LA TRAYECTORIA, SOLO
INFORMAN DE LAS RELACIONES DE PROPORCIONALIDAD ENTRE LAS
DIFERENTES MAGNITUDES QUE DEFINEN EL MOVIMIENTO, PARA SABER
LA TRAYECTORIA NECESITAMOS EL VECTOR DE POSICIÓN EN FUNCIÓN
DEL TIEMPO Y REPRESENTARLO EN UN SISTEMA DE EJES DE REFERENCIA
X,Y.
Es aquel movimiento que describe una trayectoria circular con velocidad constante en módulo
11
P1
r1
P2
r2
s
r i
v
v
Magnitudes angulares
R
R
El vector velocidad es siempre tangente
a la trayectoria y normal al vector
v
r
El vector de posición cambia de
dirección. Cumple que = R
r
r
| |
Su trayectoria es una circunferencia de
radio R
Una circunferencia completa 360° 2 rad
Por definición R
s Se mide en rad
t
(rad/s) ó bien 1 rpm = rad/s
60
2
cteRt
R
t
sv
= cte (por ser R cte)
La ecuación del movimiento es:
)tt(t
00
Periodo T del movimiento, es el tiempo que tarda el móvil en dar una vuelta
completa y se mide en segundos
Frecuencia f del movimiento, es el número de vueltas que que tarda el móvil por
unidad de tiempo. Es la inversa del período. Se mide en seg-1 que también se
llaman Herzios (Hz)
V=ω.R
El período y la frecuencia son inversos:
Tiempo (s) número de vueltas
T (periodo) 1 vuelta
1 segundo f (frecuencia)
despejando T= 1
f = 2п
T
13 EL MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO (MCUA)
Es aquel movimiento que describe una trayectoria circular con velocidad, lineal y
angular, que varían de forma constante con el tiempo
La ecuación del movimiento es: t
2
1t
2
00
t0
magnitud lineal= magnitud angular por radio
S(espacio en metros)= ( ángulo en rad ) .R
V(velocidad)= (velocidad angular ).R
aT (aceleración tangencial) = (aceleración angula). R
. R = aT
MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME
(MCU)
R
v
v
t = t
t = 0
s Cuando: t = T (Periodo)
R = Radio
= 2/T (radianes/seg)
v = .R
Velocidad o frecuencia angular ()
Velocidad(v )
PERÍODO
Es el tiempo que demora el móvil en dar una vuelta.
Donde:
T = Periodo (seg)
FRECUENCIA. Es la inversa del periodo.
Unidad de la Frecuencia: Hertz (Hz) = 1/s = s-1
Tf
1
T = 2π r
v =
2π r
ωr =
2π
ω
Velocidad Angular, w
• Se denomina velocidad angular media al cociente
entre el desplazamiento angular y el tiempo.
tttw
ttt
ANGULO
COMPLETO
•Por tanto, el ángulo completo α, de una circunferencia
de radio r, medido en radianes, es:
•Su símbolo es rad.
22
r
r
radio
fLongCircun
03602 radianes
0
0
32.5714.3*2
3601 rad
1 revolución=360°
Prob. Calcular el periodo de revolución de un disco
que gira a 45 RPM, en seg. Solución:
= 2/T (radianes/seg)
seg
rad
seg
uto
revolucion
radianes
uto
esrevolucion 71.4
60
min1
1
2
min
45
segsegrad
radT
T3.1
/71.4
222
La aceleración centrípeta
En un movimiento circular uniforme la el vector velocidad cambia de
dirección, luego hay una aceleración:
LA ACELERACIÓN CENTRIPETA O NORMAL (aN)
a N = v2
r a N = ω2 r
Unidades : m / s2
a) Un punto se mueve por una circunferencia de radio igual 2.45 cm . La
relación entre el camino recorrido s y el tiempo t viene expresada por :
s=ct³ donde c=0.145 cm/s³. Hallar la velocidad tangencial, normal y total
si la velocidad lineal es 0.457 m/s.
6 cm/s²
Calcular la aceleración resultante si la aceleración tangencial es 6 cm/s²
y la aceleración normal es 450 cm/s²
450.04 cm/s²
Longitud de arco
La longitud de arco se define como:
Longitud de arco = (Circunferencia del círculo) x Ángulo formado por el arco
Ángulo alrededor del círculo total
totalánguloR
2
Cuando el ángulo se mide en radianes, el ángulo total es 2 y la longitud del arco es
RRarcodellongitud
22
Periodo y frecuencia
Al tiempo en que tarda un objeto en dar una vuelta completa se le llama
periodo (T) está dado por
2R = vT
222
R
R
v
RT
La frecuencia es el recíproco del periodo
f = 1/T = /2
La frecuencia es el número de revoluciones por segundo, se mide en hertz
(Hz) que se define como un ciclo por segundo (cps).
Otra unidad es las revoluciones por minuto rev/min o rpm.
Ejemplo Calcule la velocidad angular, la rapidez, la frecuencia, la aceleración
correspondiente en un punto del ecuador de la tierra si el periodo es 24 horas y
radio de la tierra es r = 6.4 x 106 m
El periodo es 24 h o sea
T = 24h (60 min/h)(60 s/min) = 86,400 s
La frecuencia es
f = 1/T = 1.16 x 10–5 Hz
El radio de la tierra es R = 6.4 x 106 m, la velocidad es
v = 2R/T = (2)(6.4 x 106)/86,400 = 465 m/s
La velocidad angular es
= 2f = 2(1.16 x 10–5) = 7.3 x 10–5 rad/s
La aceleración normal es
a = v2/R = (465)/(6.4 x 106) = 0.034 m/s2
MOVIMIENTO CIRCULAR NO
UNIFORME
Si una partícula se mueve en una trayectoria curva (no necesariamente circular) experimenta una aceleración radial dada por
av
rr
2
donde r es el radio de curvatura en el punto dado.
Cuando la velocidad también varia habrá una aceleración a lo largo de la tangente a la trayectoria, dada por:
ad v
d tt
Continuación
La aceleración resultante es la suma vectorial de las dos anteriores
a = ar + at
la magnitud de a es:
Si y son vectores unitarios en la dirección en que crece
y en la dirección radial, la aceleración puede expresarse como:
a a ar t
2 2
12
r
a a a r r t
v
r
d v
d t
2
Movimiento en una trayectoria
curva
La aceleración se descompone en radial y tangencial.
La aceleración radial se debe al cambio de dirección del vector velocidad.
La aceleración tangencial proviene del cambio en la magnitud de la velocidad.
at
a ar
ar a
at
Ángulo
R: radio de la circunferencia
V: vértice o eje de rotación
S
R
R
v recta
recta
S: arco de circunferencia
: ángulo
= S ⁄ R
El ángulo formado entre dos rectas que se unen en un punto llamado vértice se define como el cociente entre el arco de circunferencia y el radio del círculo. Para representar simbólicamente a los ángulos, generalmente se utilizan las letras del alfabeto griego, a (alfa); b (beta); g (gama); q (teta); f (fi), etc.
Ángulo, radianes y revolución
= 3600 = S ⁄ R = 2R ⁄ R = 2 radianes = 1 revolución
Expresado de otra forma, dividimos el perímetro de la
circunferencia en 360 partes iguales para obtener la
equivalencia de un grado en radianes
10 = 2 ⁄360 = ⁄180 = 3.1416 ⁄ 180
10 = 0.01745 rad.
3600 = 1 rev.= 2 rad
Aplicando la regla de tres simple, se encuentra que:
1 rad = 57.30
Rapidez.
Se define como rapidez instantánea v a la magnitud o valor numérico del
vector velocidad, por lo tanto es siempre positiva.
Ejemplos:
Una partícula se mueve a lo largo del eje x. Su posición varia con el tiempo de acuerdo
a la expresión: X=-4t + 2t^2 donde x esta en metros y t en segundos. La grafica para
este caso se ilustra en la figura. Nótese que la partícula se mueve en la dirección x
negativa para el primer segundo de movimiento, esta momentáneamente en reposo en
el instante t = 1s, y se mueve en la dirección x positiva en los tiempos t > 1s.
a) Determine el desplazamiento
de la partícula en los
intervalos t=0 a t=1s, y
t =1s a t = 3s.
b) Calcule la velocidad
promedio durante estos
dos intervalos.
c) Encuentre la velocidad
instantánea de la partícula t
= 2.5 s.
UAP
solución
a) Entre A y B la pendiente es negativa, entonces de aquí se deduce que
la velocidad es negativa en estos puntos.
En el primer intervalo, hacemos y
De la ecuación Remplazando el valor de el tiempo en ese
intervalo
Para calcular el desplazamiento durante el segundo intervalo
UAP
b) En el primer intervalo
En el segundo intervalo
c) En este intervalo lo que se hace derivar la ecuación , para obtener la
velocidad instantánea
UAP
b) Calcule la velocidad promedio durante estos dos intervalos.
c) Encuentre la velocidad instantánea de la partícula t = 2.5 s
v= -4 + 4t
Ejemplo.- Una partícula se mueve en dirección x > 0 durante 10 s con rapidez
constante de 18 km/h, luego acelera hasta 25 m/s durante 5 s. Calcular:
a) Su desplazamiento en los primeros 10 s.
b) La aceleración media en cada intervalo de tiempo.
c) La rapidez media del movimiento.
Solución
UAP
PROBLEMA
El movimiento de una partícula que se desplaza según una línea recta, viene definido por la relación
,donde x se expresa en metros y t en segundos. Calcular el tiempo, posición y aceleración cuando v=0
273615223
tttX
SOLUCIÓN:
V=dx/dt=
a=dv/dt =
Cuando v=0 ;
Factorizando (t-3)(t-2)=0
Luego la velocidad se hace cero cuando t=2s y t=3s
273615223
tttX
PARA t=2s :
x= ;x=1m
a= 12(2)-30= -6 ;a=-6m/s2
PARA t=3s :
x= ;x=0 m
a=12(3)-30=6 ;a=6m/s2
Movimiento de proyectiles
Para el movimiento de proyectiles
supondremos que la aceleración es
constante y dirigida hacia abajo, además
despreciaremos la resistencia del aire.
Ecuaciones del movimiento
Las ecuaciones del movimiento de un proyectil en
cualquier tiempo son:
x = vx0t = v0 (cos 0 )t
y = vy0t – ½gt2 = v0 (sen 0)t – ½ gt2
cos0
V
Xt
20
2
2
0
0
cos2
1
cos V
Xg
V
XSenVY
Se descarga agua con una velocidad inicial de 24 m/s, Sabiendo que la boquilla esta situada a 18m de un edificio. Calcular la altura máx. que puede alcanzar el agua, también calcular el ángulo α .
α
Vo = 24m/s
18m
GRAFICO:
RESOLUCIÓN:
Elegimos un punto A como origen de un sistema de coordenadas x-y.
x
y
18m
α
A
B
Vo
MOVIMIENTO HORIZONTAL
(Vo)x = 24 cos α x=(24 cos α)t
EN EL PUNTO B: x = d = 18m
18 = (24cos α)t , t = 3
4 cos α MOVIMIENTO VERTICAL
(Vo)y = 24 sen α
y=(24 sen α)t – (1/2) g t²
2
EN EL PUNTO B:
y = h , t = 3
4 cos α
Reemplazando valores en la expresión anterior tenemos:
h = (24 sen α) ( 3 ) - 4.9 ( 3 )²
4 cos α 4 cos α
h = 18 tang α - 2.76 sec²
Desde que: 1 = sec² α = 1 + tang² α cos α²
20
2
2
0
0
cos2
1
cos V
Xg
V
XSenVY
Reemplazando el valor tangencial para poder derivar sin problema:
h = 18 tang α – 2.76 – 2.76tang² α
h = 18 z – 2.76 – 2.76z²
Dh = 18 – 5.52 z = 0
18 = 5.52 z
z = 3.26
OJO: Tang α = z
La altura máxima : h = 18 z – 2.76 – 2.76z²
h = 18 (3.26) – 2.76 – 2.76(3.26)
h = 58.68 – 2.76 – 8.99
h = 46.53 m
α = 88.76°
CAIDA LIBRE
GRAVEDAD: Con el fin de distinguir la caída libre de los demás movimientos acelerados se ha adoptado designar la aceleración de dicha caída con el valor g= 9.8 m/seg2 = 980 cm/seg2
PROPIEDADES:
1)Respecto a un nivel de referencia el modulo de velocidad de subida es igual al modulo de velocidad de bajada.
2)Los tiempos de subida y de bajada son iguales respecto al nivel de referencia.
• FORMULAS BASICAS EN CAIDA LIBRE:
1. V = V0 ± gt (-) SUBE ; (+) BAJA Donde: V es la velocidad final V0 es la velocidad inicial g es la aceleración de la gravedad t es el tiempo 2. H = V0t ± (1/2)gt2
Donde: H ES LA ALTURA • 3. V2 = V2
0 ± 2gH
1. Un hombre salta sin velocidad inicial desde un muro de 5 m. de altura ¿ Cuanto tiempo tardara en alcanzar el suelo ? Considere en la tierra g = 9.8 m/s2
Solución:
y = V0y. t + (1/2)gt2
5 m = 0 + (1/2)(9.8 m/s2) t2
• t2 = 1.02 seg.
• t = 1.01 seg.
Ejemplo.-
Se lanza un cuerpo hacia arriba en dirección vertical con
una velocidad de 98 m/s desde el techo de un edificio de
100 m de altura. Encontrar,
a) El tiempo necesario para alcanzar la máxima altura.
b) La máxima altura que alcanza (medida desde el suelo).
Entre A y B : de v = v0 – gt 0 = 98 – 9,8 t t = 10 s
Solución.-
Tomamos t0 = 0, cuando se lanza el cuerpo en A,
luego v0=98m/s ; y0=100m
v = 0
A
B
C
yB
100m
y
La altura en B es: de yB = y0 + v0 ( t ) - (½) g ( t )2
yB = 100 + 98 ( 10 ) - (½) (9,8 ( 10 )2 yB = 590m
FIN