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utplutpl \\ ucgucg \\ centro de investigaciones en ingeniería hidráulica centro de investigaciones en ingeniería hidráulica & saneamiento& saneamiento

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Hidráulica de tuberíasHidráulica de tuberías

Redes ramificadasMétodos numéricos

aplicados al cálculo delaplicados al cálculo del coeficiente de fricción

Holger Benavides Muñoz

1. Diseño de redes ramificadas o abiertas

1.2 Modelos matemáticos para redes ramificadas.ramificadas.

Conferencia 03: “Métodos numéricos aplicados al cálculo del

coeficiente de fricción”Contenidos:

Punto fijo.Newton - Raphson

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Newton Raphson.Ejercicios de aplicación.Apoyo ofimático al cálculo (Excel – solver).

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BibliografíaSALDARRIAGA, J. 2000. Hidráulica de tuberías. Bogotá, Col., McGraw – Hill. 592 p.

SOTELO, G. 1987. Hidráulica General, vol. I, fundamentos. México, Limusa. 561 p.

MATAIX, C. 1982. Mecánica de fluidos y máquinas hidráulicas. 2ª de. México, HARLA.660 P.

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PEREZ, R. 1993. Dimensionado óptimo de redes de distribución de agua ramificadas. Universidad Politécnica de Valencia. Tesis doctoral.

Reconocimiento y agradecimiento: Dr. Ing. Rafael Pérez García. GMMF.

Darcy - WeisbachLa expresión para el cálculo de pérdidas en sistemas de tuberías a presión es:

Modelos matemáticos

sistemas de tuberías a presión es:

f = factor de fricción

252

2 82

QDgLf

gV

DLfhf

=

=

π

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L = longitud de tuberíaD = diámetro internoQ = caudal

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Cálculo del factor de fricción.

Para tubos lisos o rugosos en la zona de transición o turbulenta (para Re > 4000), se utiliza la ecuación de Colebrook-White para determinar el factor de

Modelos matemáticos

de Colebrook White para determinar el factor de fricción f de forma implícita de la ecuación de Darcy-Weisbach. Mediante un sencillo cálculo iterativo de punto fijo o por el método de Newton - Raphson, cuya convergencia está asegurada para los valores de Re y habitualmente empleados en redes de

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y pdistribución.

+−=

fDf Re51.2

7.3log21

10ε

Velocidad en función de pérdidas

⋅⋅⋅⋅⋅

+⋅

⋅⋅⋅−=

f

f

hDgDLv

DLhDg

V251.2

7.3log

2210

ε

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1

+−=

fDf Re51.2

7.3log21

10εCÁLCULO DE f POR TANTEOS

Re ε D(m) (m)

300000 0.0002 0.7

fx 1=

+−=

fDxg

Re51.2

7.3log2)( 10

ε

f i x g(x) f i+1

0 0.0010000 31.6227766 6.9324627 0.02080771 0.0208077 6.9324627 7.7379073 0.01670142 0.0167014 7.7379073 7.6956645 0.01688533 0.0168853 7.6956645 7.6978297 0.01687584 0.0168758 7.6978297 7.6977186 0.01687625 0.0168762 7.6977186 7.6977243 0.01687626 0.0168762 7.6977243 7.6977240 0.01687627 0.0168762 7.6977240 7.6977240 0.0168762

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8 0.0168762 7.6977240 7.6977240 0.01687629 0.0168762 7.6977240 7.6977240 0.0168762

10 0.0168762 7.6977240 7.6977240 0.0168762

CÁLCULO DE f POR NEWTON RAPHSONModelos matemáticos

( )

fx 1=

+−=

fDf Re51.2

7.3log21

10ε

( )( ) 1'1 −

−−=+

i

iiii xg

xxgxx

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( )

+⋅

−=

fD

xg

Re51.2

7.3

Re51.2

10ln2)(' ε

+−=

fDxg

Re51.2

7.3log2)( 10

ε

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CÁLCULO DE f POR NEWTON RAPHSON

Re ε D(m) (m)

308405 0.000001522 0.1522

Modelos matemáticos

f i x g(x) g'(x) Xi+1 f i+1

0 0.00100000 31.62277660 7.16982156 -0.02718175 7.81690675 0.016365531 0.01636553 7.81690675 8.35668789 -0.10658855 8.30469522 0.014499492 0.01449949 8.30469522 8.30619189 -0.10056864 8.30605513 0.014494743 0.01449474 8.30605513 8.30605514 -0.10055280 8.30605514 0.014494744 0.01449474 8.30605514 8.30605514 -0.10055280 8.30605514 0.014494745 0.01449474 8.30605514 8.30605514 -0.10055280 8.30605514 0.014494746 0.01449474 8.30605514 8.30605514 -0.10055280 8.30605514 0.014494747 0 01449474 8 30605514 8 30605514 0 10055280 8 30605514 0 01449474

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7 0.01449474 8.30605514 8.30605514 -0.10055280 8.30605514 0.014494748 0.01449474 8.30605514 8.30605514 -0.10055280 8.30605514 0.014494749 0.01449474 8.30605514 8.30605514 -0.10055280 8.30605514 0.01449474

10 0.01449474 8.30605514 8.30605514 -0.10055280 8.30605514 0.01449474

Ejemplo de cálculoCalcular el Q de agua que puede ser movido a través de una tubería de PVC de 293 mm de diámetro. Longitud: 730m, y con una carga gravitacional de: 43.5 m. Se asume

Modelos matemáticos

, y g gque la rugosidad absoluta (ε) en m es: 0.0000015. Por coefc. global de pérdidas menores se espera un Kfm: 11.8. La densidad del agua: 998.2 kg/m³. Viscosidad dinámica (µ): 0.001005 Kg/(m.s).

Viscosidad cinemática ( ) 0 001005 / 998 2

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Viscosidad cinemática (ν): 0.001005 / 998.2 =

Viscocidad cinemática: 1.00681E-06 m2/s

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Modelos matemáticos

⋅⋅⋅⋅⋅

+⋅

⋅⋅⋅−=

f

f

hDgDLv

DLhDg

V251.2

7.3log

2210

ε

V 2

−=

+ gVKHh fmif 2

2

1

Q = 0.31250 m3/s

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Deber

Practicar cálculos (a mano y encomputadora) para el cálculo de fcomputadora) para el cálculo de f(Colebrook – White)

Al menos 2 ejc. por los métodos de punto fijo Al menos 2 ejc. por el método de N-R.

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