Post on 23-Feb-2017
Integración por Fracciones Parciales
Rolando Vilca Pacco
Semana 3
∫ .𝑰𝑳𝑨𝑻𝒆
∫ 𝑷 (𝒙)(𝒂𝟏+𝒃𝟏 ) (𝒂𝟐+𝒃𝟐 ) . ..+(𝒂𝒏+𝒃𝒏)
𝒅𝒙=∫ [ 𝑨𝒂𝟏+𝒃𝟏
+ 𝑩𝒂𝟐+𝒃𝟐
. . .+𝑲𝒏
𝒂𝒏+𝒃𝒏 ]𝒅𝒙
Técnicas de Integración: Integración por Fracciones Parciales
Consideremos la siguiente operación:
𝑓 (𝑥 )= 2𝑥+5 +
1𝑥+1 ¿
(𝑥+1 )2+(𝑥+5)1(𝑥+5)(𝑥+1)
¿2 𝑥+2+𝑥+5(𝑥+5)(𝑥+1)
¿3𝑥+7
(𝑥+5)(𝑥+1)∫ . ?𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑢𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑐𝑖ó𝑛𝑝𝑜𝑟 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒𝑠
𝐼𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎𝑡𝑎
𝑝𝑜𝑟 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠𝑝𝑎𝑟𝑐𝑖𝑎𝑙𝑒𝑠¿∫ 3 𝑥+7𝑥2+6 𝑥+5 ?
¿2
𝑥+5 +1
𝑥+1∫ . 𝐶𝑜𝑚𝑜𝑠𝑒 𝑙𝑙𝑒𝑔𝑎𝑎𝑒𝑠𝑡𝑎𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖ó𝑛
Fracciones parciales
∫ 𝑃 (𝑥)(𝑎1+𝑏1) (𝑎2+𝑏2 ) .. .+(𝑎𝑛+𝑏𝑛)
𝑑𝑥=¿¿
Para funciones racionales propias
Para funciones racionales propias
Consiste en descomponer a la fracción polinómica como una suma de fracciones
𝐸𝑗𝑚 .∫ 2𝑥+1(𝑥−1)(𝑥+3)
𝑑𝑥
∫ [ 𝐴𝑎1+𝑏1
+ 𝐵𝑎2+𝑏2
. . .+𝐾𝑛
𝑎𝑛+𝑏𝑛 ]𝑑𝑥
Casos que se presentan
∫ 2𝑥+1(𝑥−1)(𝑥+3)
𝑑𝑥 ∫ 𝑥2+2𝑥+4(𝑥−1)3
𝑑𝑥 ∫ 6 𝑥−1𝑥3(2𝑥−1)
𝑑𝑥 ∫ 𝑥+3𝑥2(𝑥¿¿2+9)
¿
∫ 4 𝑥(𝑥¿¿2+1)(𝑥¿¿2+2𝑥+3)𝑑𝑥 ¿
¿ ∫ 𝑥3−2𝑥𝑥2+3𝑥+2
𝑑𝑥
Caso 1: Factores lineales distintos𝐸𝑣𝑎𝑙ú𝑒∫ 2 𝑥+1
(𝑥−1)(𝑥+3)𝑑𝑥
2 𝑥+1(𝑥−1)(𝑥+3)
=𝐴
𝑥−1 +𝐵𝑥+3
2 𝑥+1(𝑥−1)(𝑥+3)
=(𝑥+3 ) 𝐴+(𝑥−1)𝐵
(𝑥−1)(𝑥+3)
2 𝑥+1(𝑥−1)(𝑥+3)
=𝐴𝑥+3 𝐴+𝐵𝑥−𝐵
(𝑥−1)(𝑥+3)
2 𝑥+1=𝐴𝑥+𝐵𝑥+3 𝐴−𝐵
2 𝑥+1=( 𝐴+𝐵 )𝑥+3 𝐴−𝐵
2=𝐴+𝐵1=3 𝐴−𝐵3=4 𝐴
𝐴=3/4 𝐵=5/ 4
2 𝑥+1(𝑥−1)(𝑥+3)
=𝐴
𝑥−1 +𝐵𝑥+3
2 𝑥+1(𝑥−1)(𝑥+3)
=3/ 4𝑥−1 +
5 /4𝑥+3
∫ 2𝑥+1(𝑥−1)(𝑥+3)
=∫ 3 /4𝑥−1+
5/ 4𝑥+3
∫ 3/ 4𝑥−1 +
5 /4𝑥+3=¿¿
34 𝑙𝑛|𝑥−1|+ 54 𝑙𝑛|𝑥+3|+𝐶
𝑰
𝑰𝑰
𝑰𝑰𝑰
Caso 2: Factores lineales repetidos𝐸𝑣𝑎𝑙ú𝑒∫ 𝑥2+2𝑥+4
(𝑥+1)3𝑑𝑥
𝑥2+2 𝑥+4(𝑥+1)3
=𝐴𝑥+1
+𝐵
(𝑥+1)2+
𝐶(𝑥+1)3
𝑥2+2 𝑥+4(𝑥+1)3
=𝐴(𝑥+1)2+𝐵 (𝑥+1 )+𝐶
(𝑥+1)3
𝑥2+2𝑥+4=𝐴(𝑥+1)2+𝐵 (𝑥+1 )+𝐶
𝐴=1
𝑥=−1
−12+2(−1)+4=𝐴(0)2+(0 )𝐵+𝐶
1−2+4=𝐶 𝐶=3
𝑥2+2𝑥+4=𝐴(𝑥2+2 𝑥+1)+(𝑥+1 ) 𝐵+𝐶
𝑥2+2𝑥+4=𝐴𝑥2+2𝐴𝑥+𝐴+𝐵𝑥+𝐵+𝐶
𝑥2+2𝑥+4=𝐴𝑥2+ (2𝐴+𝐵 ) 𝑥+ 𝐴+𝐵+𝐶
2 𝐴+𝐵=2 𝐵=0
∴𝑥2+2 𝑥+4(𝑥+1)3
=𝐴𝑥+1
+𝐵
(𝑥+1)2+
𝐶(𝑥+1)3
𝑥2+2 𝑥+4(𝑥+1)3
=1
𝑥+1+
0(𝑥+1)2
+3
(𝑥+1)3
∫ . ∫ .𝑥2+2 𝑥+4(𝑥+1)3
𝑑𝑥=[ 1𝑥+1
+3
(𝑥+1)3 ]𝑑𝑥¿∫ 1
𝑥+1 𝑑𝑥+∫3 (𝑥+1)− 3𝑑𝑥
¿ 𝑙𝑛|𝑥+1|− 32 (𝑥+1)−2+𝐶
∫ 𝑥2+2𝑥+4(𝑥+1)3
𝑑𝑥
∫ 𝑥2+2𝑥+4(𝑥+1)3
𝑑𝑥
𝑃𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠𝐶𝑟 í 𝑡𝑖𝑐𝑜𝑠 :
𝐶=?
𝐸𝑛𝑙𝑎𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖 ó𝑛 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟𝑖𝑧𝑎𝑑𝑎
Caso 3 Factor repetido y factor distinto
𝐷=16
𝐸𝑣𝑎𝑙ú𝑒∫ 6𝑥−1𝑥3(2 𝑥−1)
𝑑𝑥
6 𝑥−1𝑥3(2𝑥−1)
=𝐴𝑥 +
𝐵𝑥2
+𝐶𝑥3
+𝐷
(2 𝑥−1)
6 𝑥−1𝑥3(2𝑥−1)
=𝐴𝑥2(2𝑥−1)𝑥3(2 𝑥−1)
+𝐵𝑥 (2 𝑥−1)𝑥3(2𝑥−1)
+𝐶 (2 𝑥−1)𝑥3(2 𝑥−1)
+ 𝐷𝑥3
𝑥3(2 𝑥−1)
6 𝑥−1𝑥3(2𝑥−1)
=𝐴𝑥2 (2 𝑥−1 )+𝐵𝑥 (2𝑥−1 )+𝐶 (2𝑥−1 )+𝐷𝑥3
𝑥3 (2𝑥−1)
6 𝑥−1=𝐴𝑥2 (2𝑥−1 )+𝐵𝑥 (2𝑥−1 )+𝐶 (2𝑥−1 )+𝐷𝑥3𝑥=
12
3−1=𝐴𝑥2 (0 )+𝐵𝑥 (0 )+𝐶 (0 )+𝐷( 12 )3
2=𝐷8
𝑥=0−1=𝐴 .0 (2 𝑥−1 )+𝐵 .0 (2 𝑥−1 )+𝐶 (2 .0−1 )+𝐷 .0
−1=−𝐶 𝐶=1
𝑃𝐶
𝑃𝐶
6 𝑥−1=𝐴𝑥2 (2𝑥−1 )+𝐵𝑥 (2𝑥−1 )+𝐶 (2𝑥−1 )+𝐷𝑥3
𝐸𝑣𝑎𝑙ú𝑒∫ 6𝑥−1𝑥3(2 𝑥−1)
𝑑𝑥
6 𝑥−1=2 𝐴𝑥3− 𝐴𝑥2+2𝐵𝑥2−𝐵𝑥+2𝐶𝑥−𝐶+𝐷𝑥3
6 𝑥−1=(2 𝐴+𝐷 ) 𝑥3+ (2𝐵−𝐴 ) 𝑥2+(2𝐶−𝐵 ) 𝑥−𝐶
6 𝑥−1=𝑥3 (2 𝐴+𝐷 )+𝑥2 (2𝐵−𝐴 )+𝑥 (2𝐶−𝐵)−𝐶
0=(2 𝐴+𝐷 )
𝐶=1
0=(2 𝐴+16 ) 𝐴=−80=(2𝐵−𝐴 )
0=(2𝐵+8 ) 𝐵=−4
𝐷=16
6 𝑥−1𝑥3(2𝑥−1)
=𝐴𝑥 +
𝐵𝑥2
+𝐶𝑥3
+𝐷
(2 𝑥−1)
6 𝑥−1𝑥3(2𝑥−1)
𝑑𝑥=−8𝑥 +
−4𝑥2
+1𝑥3
+16
(2𝑥−1)∫❑ ∫ .[ ]𝑑𝑥∫ 6 𝑥−1𝑥3(2𝑥−1)
𝑑𝑥=∫−8𝑥 𝑑𝑥+∫−4 𝑥−2 𝑑𝑥+∫𝑥− 3𝑑𝑥+∫ 2 (8)(2 𝑥−1)
𝑑𝑥
∫ 6 𝑥−1𝑥3(2𝑥−1)
𝑑𝑥=−8 𝑙𝑛|𝑥|+4 𝑥−1− 12 𝑥− 2+8 𝑙𝑛|2𝑥−1|+𝐶
Caso 4 Factor lineal repetido y uno cuadrático distinto
𝐵=13
𝐸𝑣𝑎𝑙ú𝑒∫ 𝑥+3𝑥4+9𝑥2
𝑑𝑥𝑥+3
𝑥2(𝑥 ¿¿2+9)= 𝐴𝑥 +
𝐵𝑥2
+𝐶𝑥+𝐷𝑥2+9
¿
𝑥=0
9 𝐴=1 𝐴=1 /9
𝑥+3
𝑥2(𝑥¿¿2+9)= 𝐴𝑥 (𝑥2+9 )+𝐵 (𝑥2+9 )+(𝐶𝑥+𝐷)𝑥2
𝑥2(𝑥¿¿ 2+9)¿¿
𝑥+3=𝐴𝑥 (𝑥2+9 )+𝐵 (𝑥2+9 )+(𝐶𝑥+𝐷)𝑥2
3=𝐵 (02+9 )
𝑥+3=(𝐴𝑥3+9 𝐴𝑥 )+(𝐵 𝑥2+9𝐵 )+(𝐶𝑥3+𝐷𝑥2)𝑥+3=𝐴𝑥3+𝐶𝑥3+𝐵𝑥2+𝐷𝑥2+9 𝐴𝑥+9𝐵𝑥+3=(𝐴+𝐶 )𝑥3+(𝐵+𝐷)𝑥2+9 𝐴𝑥+9𝐵
𝐶=−1/9 𝐷=−1 /3
𝐵=13𝐴=1 /9 𝐶=−1/9 𝐷=−1 /3
𝑥+3𝑥4+9 𝑥2
=19 𝑥 +
13 𝑥2
+− 19 𝑥−
13
𝑥2+9
𝐸𝑣𝑎𝑙ú𝑒∫ 𝑥+3𝑥4+9𝑥2
𝑑𝑥
𝑥+3𝑥4+9 𝑥2
=19 𝑥 +
13 𝑥2
−
19 𝑥
𝑥2+9−
13
𝑥2+9
∫ 𝑥+3𝑥4+9 𝑥2
=∫ 19𝑥 +∫ 1
3 𝑥2− 19∫
𝑥𝑥2+9
− 13∫1
𝑥2+9
∫ 𝑥+3𝑥4+9 𝑥2
𝑑𝑥=19∫
1𝑥 𝑑𝑥+
13∫𝑥−2𝑑𝑥− 19∫
𝑥𝑥2+9
𝑑𝑥− 13∫1
𝑥2+9𝑑𝑥
𝑑𝑥
∫ 𝑥+3𝑥4+9 𝑥2
𝑑𝑥=19∫
1𝑥 𝑑𝑥+
13∫𝑥−2𝑑𝑥− 1
9 .2∫2 𝑥𝑥2+9
𝑑𝑥− 13 .∫1
𝑥2+32𝑑𝑥
∫ 𝑥+3𝑥4+9 𝑥2
𝑑𝑥=19 𝑙𝑛|𝑥|− 13 𝑥
−1− 118 𝑙𝑛|𝑥2+9|− 19 𝑡𝑔−1 𝑥3 +𝐶
Caso 5 Factores cuadráticos Distintos
𝐸𝑣𝑎𝑙ú𝑒∫ 4 𝑥(𝑥¿¿2+1)(𝑥¿¿2+2 𝑥+3)𝑑𝑥¿
¿
Caso 5 El integrando es una fracción impropia𝐸𝑣𝑎𝑙ú𝑒∫ 𝑥3−2 𝑥
𝑥2+3 𝑥+2𝑑𝑥
Ejercicio en clase, Integrar:
𝐸𝑣𝑎𝑙ú𝑒∫ 5 𝑥2−𝑥+1
𝑥3−4 𝑥𝑑𝑥
𝐸𝑣𝑎𝑙ú𝑒∫ 9𝑥−8(𝑥−3)(2𝑥−5) 𝑑𝑥
𝐸𝑣𝑎𝑙ú𝑒∫ 𝑥2
(𝑥−1 )3(𝑥2+4 )𝑑𝑥
𝑅𝑝𝑡 .19 𝑙𝑛|𝑥−3|− 292 𝑙𝑛|2 𝑥−5|+𝐶
𝑅𝑝𝑡 . 14 𝑙𝑛|𝑥|− 238 𝑙𝑛|𝑥+2|+ 198 𝑙𝑛|𝑥−2|+𝐶
𝑅𝑝𝑡 . 16 𝑥−1150 (𝑥−1 )2
− 2125
𝑙𝑛|𝑥2+4|+ 4125
𝑙𝑛|𝑥−1|− 22125
𝐴𝑟𝑐𝑇𝑔( 𝑥2 )+𝐶