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Intervalos deConfianza TLC
Medir ControlarMejorarAnalizarDefinirReconocer
Six Sigma
Entrenamiento Green Belt
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Acerca de este módulo…
Six Sigma, Una búsqueda del Proceso de Perfección
Ataca la variación y Logra Objetivos
El Teorema del Límite Central no es una herramienta. Es unteorema usado para cuantificar un parámetro de unapoblación dentro de un grado especificado de certidumbreutilizando datos de muestra
Los intervalos de confianza (CI) derivados del Teorema del
Límite Central, muestra una X% de confianza que elparámetro de la población de interés esté, como máximo, enun intervalo especificado a partir del estadístico de lamuestra; y podemos cuantificar nuestro grado de certidumbreacerca de la extrapolación del resultado dado de una prueba.
\DataFile\CLT.xls
\DataFile\ConfInt2.mtw
\DataFile\ConfInt.mtw
\DataFile|ConfInt3.mtw
\DataFile\ConfInt.xls
\DataFile\PartADrift.mtw
\DataFile\StatTables.xls
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Que aprenderemos …
1. Teorema del Límite Central y susaplicaciones
– Por qué el Teorema del Límite Centralnos permite hacer inferencias sobredatos sin saber su distribución
2. Importancia de los intervalos de confianza3. Como calcular intervalos de confianza para:
• Medias
• Desviaciones estándar o Variación
• Proporciones• Capacidades del Proceso
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Teorema del Límite Central(TLC)
• El TLC es la llave para la estadística deductiva: Permite el uso dela Distribución Normal y Distribuciones Muestrales.
• Los niveles de confianza se extraen del Teorema de Límite Central
• El Teorema de Límite Central no es una herramienta. Es un
Teorema utilizado para cuantificar un parámetro de una poblacióndentro de un grado especificado de certidumbre utilizando datos demuestra.
Teorema del Límite Central: Para casi todas las poblaciones, la
distribución de las medias de muestras (de las mismas) puede sersuficientemente aproximada por una distribución normal, siempreque el tamaño de la muestra sea lo suficientemente grande.
Referencia: Basic Statistics, Fourth Edition, Air Academy Press, Chapter 5.3
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Teorema del Límite Central (CLT)
Ejemplo: • Haga una muestra de 5 piezas cada hora
durante 20 horas y mida una dimensión.• Calcule la media de la dimensión para las 5 piezas muestreadas cada hora.
• Realice una gráfica con las 100 mediciones(5 x 20) y observe la distribución de todasellas (éstas son “observacionesindividuales”)
• Realice una gráfica con las 20 medias (que
se calcularon basadas en cada hora de producción) y observe la distribución de las20 medias (estas son “medias de muestra”)
• El resultado debe parecerse al diagramasiguiente
Distribución de
Medias de Muestra
Distribución de
ObservacionesIndividuales
Observaciones Individuales representan la distribución de la población;
e.j. valores reales de todas las observacionesen todos los subgrupos
Medias de muestra representan la distribución de las
medias; e.j. valores medios paralos subgrupos
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Teorema del Límite Central (Continuación)
Puntos significativos:La curva de medias de muestra es más estrecha (los valores extremos
“se acercan”) La curva de medias de muestra tiende a ser normal,independientemente de la forma de la distribución de observacionesindividualesPodemos normalmente aproximar “distribuciones de media” con una
distribución normal
Distr ibución de
medias de muestra Di str ibución de
observaciones individuales
Observaciones individuales
Representan la distribución de lapoblación, e.j. valores reales de todas lasobservaciones en todos los subgrupos
Medias de muestra
Representan la distribución de lasmedias, e.j. valores medios paralos subgrupos
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Desviación estándar de medias
s n x
x s =
También es llamado Error estándar de la Media
Desviación estándar de la distribución de
medias de muestra, X
Desviación estándar de Xs individuales
Tamaño de muestra utilizado para calcularn x s x
s
X
x s NOTA:
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Ejemplo del Teorema del Límite Central
Dado: Nueve observaciones por hora, durante 100 horas.
Los resultados: = 500 segundos por llamada (la media de las medias)
= 25 segundos (basado en una muestra de 9 observaciones) x
s
x
n
x s
s =
Los parámetros de la población son:
Media = 500
Desviación estándar = 75
Desde: Calculamos:
75 ) 3 ( 25 9 25 = = =
= n x s s
La mesa de Entradas
x x
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Ilustrando el CLT
0 10 20 30 40 50 60 70 80
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
Exp1
F r e c u e n c i a
Distribución
original
(exponencial)
0 10 20 30 40 50 60 70 80
0
50
100
150
Media 20
F r e c u
e n c i a
Muestras dedistribuciónexponencial
n = 20
0 10 20 30 40 50 60 70 80
0
50
100
Media 10
F r e c u e n c i a n = 10
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
0
10
20
30
Media 50
F r e c
u e n c i a n=50
\DataFile\CLT.xls
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Una implicancia práctica
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1
Tamaño de Muestra 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0
Efecto del Tamaño de la Muestra sobre
la Desviación Estándar de la Media
D e s v i a c i ó n e s t á n d a r d e X - b a r
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Calculando el valor de Z
x o o
La base de cálculo estadístico/inferencial
o
s x z m -
= n
x z s X
m - =
n z x s X m * =
(i.e., Z tiene una distribución normal y se da como):
El valor Z para distribuciones de muestreo se puede calcular de la mismaforma que para individuales, pero se utiliza el error estándar del estadísticode la media s x en lugar de s.
m s
-=* x
n
Z x
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Diseño:
Determine el intervalo de confianza para el CP de un proceso
basado en su diseño
Fabricación: Determine el intervalo de confianza para el sigma de unproceso de maquinado
Administrativo/Transaccional/Servicio:
Determine el intervalo de confianza para el tiempo medio deprocesamiento de una orden de compra o pedido de servicio
Intervalos de Confianza -
Escenarios del Mundo Real
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¿Confianza en medio de laIncertidumbre?
Las posibilidades son aproximadamente 95 de 100 que el
intervalo de confianza calculado contenga el parámetro dela población, o…
Con un 95% de certidumbre, el parámetro de poblaciónestá dentro del intervalo
Las estadísticas de la media y de la desviación estándar son:
– estimaciones de la Mu (m) y Sigma (s) de la población
– basadas en sólo una muestra
La variabilidad existe de una muestra a otra
Al utilizar intervalos de confianza basados en la estadística, laincertidumbre se puede cuantificar
Normalmente, se calculan intervalos de confianza del 95%
N ov en t a
y
ci n c o
p or ci en
t o ci er t o
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Población vs. Muestra• La población corresponde al área total de
interés.
• La Muestra es un subconjunto de lapoblación.
• ¿Cuál es la relación entre la población y lamuestra?
Población
Muestra
¿Cuántarepresentatividadtiene la muestra?
Sí b l D fi i i d I l d
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Símbolos y Definiciones de Intervalos deConfianza
Medición Parám.de población
Estad.de
muestra Usar
Media Z
30 n
t
< 30 n
X
Varianza s 2
2 c s 2
DesviaciónEstándar s 2 c s
Capacidad
de proceso
C p 2 c
Proporción p Binomial oZ (aprox)
Riesgo Alpha a Típicamente5%
m
C p ^
^p
s conocido
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Intervalos de Confianza (CI)Los Intervalos de Confianza toman la forma general:
C.I.= Estadístico +/- K * (desvío estándar)Estadístico = Media, Varianza, CP, etc.
K = Constante basada en una distribución estadística
Los intervalos de confianza reflejan la variación entre muestras denuestras estimaciones unitarias.
Veamos los intervalos de confianza para:
Para la media, K es un valor t de las tablas de Student o Z de las tablas NormalesPara el desvío estándar, K es una función de la distribución Chi-cuadrado.Para Cp, K es también una función de la distribución Chi-cuadradoPara la proporción, p, K es una función de la distribución Binomial o Normal.
m
,sX , y C P
n
σ t X μ
n
σ t X //
I l d C fi l
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Intervalo de Confianza para laMedia
a = (1-.95) o 5%
n = cantidad de muestras tomadas
t (1-a /2), n-1 = valor t de tablas para: (1-a /2) = .975
y n-1 = 9 grados de libertad
Determinar el 95% CI para la media de 10 muestras de una prueba de vida.
( n
s x n
s n
t x << - - 1 , 2 /
m -a ( n t
- 1 , 2 / -a
La fórmula general del intervalo de confianza para la media es::
Media (X) = 260.16 Sigma de la muestra (s) = 14.99
Datos primarios obtenidos de la muestra:
247.5, 250.8, 283.3, 276.9, 242.4, 271.5, 275.4, 247.5, 256.6, 249.7
Primero – ¿Cual es ladistribución tde Student?
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¿Qué es la distribución t de Student?La distribución t de Student es una familia de distribuciones de formaacampanada (Normal) que varían con el tamaño de la muestra - mientras
más pequeño el tamaño de la muestra, más ancha y plana la distribución.
Statistics for
Experimenters -- BHH
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
- 4 - 3
. 6 - 3
. 2 - 2
. 8 - 2
. 4 - 2 - 1
. 6 - 1
. 2 - 0
. 8 - 0
. 4 0 0 .
4 0 .
8 1 .
2 1 .
6 2 2 .
4 2 .
8 3 .
2 3 .
6 4
DF2 DF10 DF30
K (según fórmula enpágina 16) es unvalor de t cuando sedesarrolla unintervalo de confianzapara la media
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Distribuciones t de Student, Aproximación Normal, Riesgo
Para dar una idea de los valores de t para el
95% (a = 0.05) de los intervalos deconfianza para muestras de diferentetamaño, mire la siguiente tabla:
Muestra valor t valor Z5 2.78 1.96
10 2.26 1.9620 2.09 1.9630 2.05 1.96100 1.98 1.961000 1.96 1.96
a = riesgo
Se puede usar Z
para estimar t
si N >= 30
y s es conocido
ta
/2=0.025 a
/2= 0.025
Statistics for
Experimenters -- BHH
df = grado de libertad
df = n-1
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Usando Tablas para hallar un valor tPara valores de t y Z para intervalos de confianza del 95% con df = 4, usamos :
Construya la tabla en la página anterior ….
d.f. 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005
1 6.313749 12.70615 25.45188 63.6559 127.3211
2 2.919987 4.302656 6.205373 9.924988 14.08916
3 2.353363 3.182449 4.176545 5.840848 7.4532
4 2.131846 2.776451 3.495406 4.60408 5.59754
5 2.015049 2.570578 3.163386 4.032117 4.773319
Table for a two tail t-test
a
a/2=0.025 a/2= 0.025
t
(1-a /2)=0.975
t=2.776
Z=1.96
df
1.9
.06
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Usar el valor t para n = 10 ...
260.16 - 2.26 * 14.99/ 10 < m <260.16 +2.26*14.99/ 10
260.16 - 10.71< m < 260.16 + 10.71
249.45 < m <270.87
Tenemos el 95% de confianza que la media del proceso realestá entre 249.44 y 270.87
Ahora hagamos este problema en Minitab…
10n14.99s
260.16X
==
=
( n
s x n
s n
t x < < -
- 1 , 2 /
m -a
( n
t - 1 , 2 / -a
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Intervalos de Confianza para la Media UsandoMinitab: Ejemplo 1
Determinar intervalos de confianza del 95% para estos datos:247.5, 250.8, 283.3, 276.9, 242.4, 271.5, 275.4, 247.5, 256.6 y 249.7.
Desarrollo: Abrir archivo de datos
CONFINT2 Los datos han sido ingresados
en la columna C1(normalmente, ingresara suspropios datos)
Vaya a Stat > Basic Stat >Graphical Summary
El cuadro de dialogoaparecerá como se muestra
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Intervalos de Confianza para la MediaUsando Minitab: Ejemplo 1 (Continuación)
1. Resalte C1 X
2. Presione Select
3. X aparecerá en la
ventana Variables: 4. Seleccione OK
1 3
2
4
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276264252240
Median
Mean
275270265260255250
A nderson-Darling Normality Test
V ariance 224.69
Skewness 0.42928
Kurtosis -1.71776
N 10
M inimum 242.40
A -Squared
1st Q uartile 247.50
Median 253.70
3rd Q uartile 275.78
Maximum 283.30
95% C onfidence Interval for Mean
249.44
0.61
270.88
95% C onfidence Interval for Median
247.50 275.9195% C onfidence Interv al for StDev
10.31 27.37
P-V alue 0.082
Mean 260.16
StDev 14.99
95% Confidence Intervals
Summary for X
Intervalos de Confianza para la Media UsandoMinitab: Ejemplo 1 (Continuación)
El valor p es mayor que
0.05
Intervalo de Confianza del95% para la Media
Intervalos de Confianza para la Media
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Intervalos de Confianza para la MediaUsando Minitab: Ejemplo 2
Desarrollo: Abrir archivo de datos CONFINT2 Los datos fueron ingresados en la
columna C1 Vaya a Stat > Basic Stat > 1-
Sample t … El cuadro de dialogo
1-Sample t (Test and Confidence
Interval) aparecerá como semuestra
Determinar intervalos de confianza del 95% para estos datos:
247.5, 250.8, 283.3, 276.9, 242.4, 271.5, 275.4, 247.5, 256.6 y249.7.La prueba-t asume que los datos están normalmente distribuidos.Los resultados del Ejemplo 1 muestran que los datos estánnormalmente distribuidos.
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Intervalos de Confianza para la MediaUsando Minitab: Ejemplo 2 (Continuación)
1. Resalte C1 X
2. Presione Select
3. X aparecerá en la
ventana Variables: 4. Seleccione Graphs
1 3
2 4
Intervalos de Confianza para la Media Usando
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Intervalos de Confianza para la Media UsandoMinitab: Ejemplo 2 (Continuación)
1. Indique Boxplot of data
2. Seleccione OK
3. Seleccione OK nuevamente enel cuadro de dialogo:1-Sample t (Test and
Confidence Interval) 1
3
2
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X
280270260250240
_ X
Boxplot of X (with 95% t-confidence interval for the mean)
Intervalos de Confianza para la Media UsandoMinitab: Ejemplo 2 (Continuación)
Intervalo deconfianza del
95%
Box Plot (ver Minitab Help)
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Intervalos de Confianza para laMedia Usando Minitab: Ejemplo 2
(Continuación)La Ventana de Sesión de Minitab muestra losresultados del análisis estadístico
n
σ ˆ t X CI
n
σ ˆ σ
1) (n
) X (X σ ˆ X
0.025 X X
X
n
1 i
2 i
X
=
=
One Sample T: X
Variable N Media St Dev SE Media 95% CIX 10 260.160 14.990 4.740 (249.437, 270.883)
I t l d C fi
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Intervalos de Confianza parala Media Usando Minitab:
Ejemplo 3
20 15 10 5
15
10
5
0
Tiempo PC
F r e c u e n c i a
Ejemplo Transacción/Servicio
Calcule el intervalo de confianza del 95%para la media.
\DataFile\CONFINT.mtw
Los datos representan 5 pedidos de
compra muestreados durante unasemana de un total de 126 pedidos decompra generados durante la semana.
El tiempo se expresa en días.
I t l d C fi l M di
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Intervalos de Confianza para la MediaUsando Minitab: Ejemplo 3 (Continuación)
• Determinar intervalo de confianza del 95% para una muestra decinco ordenes de compra.
• Recuerde, la prueba-t asume que los datos están normalmentedistribuidos. Ésta es otra forma para determinar si los datosestán normalmente distribuidos.
Desarrollo: Abrir Archivo de datos CONFINT Los datos fueron ingresados en la
columna C2 Vaya a Stat > Basic Stat >
Normality Test… El cuadro de dialogo Normality
Test… aparecerá como semuestra
Seleccione los ingresos como semuestra
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INSTITUTO PARA LA CALIDAD © 2010. Prohibida su reproducción total o parcial sin permiso del autor y del Instituto para la Calidad de
la Pontificia Universidad Católica del Perú.Sample POs
P e r c e n t
20.017.515.012.510.07.55.0
99
95
90
80
70
60
50
40
30
20
10
5
1
Mean
0.381
12.10
StDev 2.765
N 5
AD 0.315P-Value
Probability Plot of Sample POsNormal
Intervalos de Confianza para la MediaUsando Minitab: Ejemplo 3 (Continuación)
Un valor-p mayor a 0.05significa que aceptaremos los
datos como normales
I t l d C fi l
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Intervalos de Confianza para laMedia Usando Minitab: Ejemplo 3
(Continuación) Ahora, determinar intervalo de confianza del 95% para la muestrade cinco ordenes de compra.
Desarrollo:
Usar archivo de datosCONFINT Los datos fueron ingresados
en la columna C2 Vaya a Stat > Basic Stat > 1-
Sample t … El cuadro de dialogo 1-
Sample t (Test and
Confidence Interval) aparecerá como se muestra
Intervalos de Confianza para la
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Intervalos de Confianza para laMedia Usando Minitab: Ejemplo 3
1. Resalte Sample POs 2. Presione Select
3. Sample POs aparecerá
en la ventana Variables 4. Seleccione Graphs
13
2 4
Intervalos de Confianza para la Media
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1. Indique Boxplot of data
2. Seleccione OK
3. Seleccione OK nuevamente en el cuadrode dialogo 1-Sample t
(Test and Confidence
Interval)
1
2
3
Intervalos de Confianza para la MediaUsando Minitab: Ejemplo 3 (Continuación)
7/21/2019 02 Analyze W1 Confidence Intervals Sp. Six Sigma Analyze
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Sample POs
171615141312111098
_ X
Boxplot of Sample POs(with 95% t-confidence interval for the mean)
Intervalo deconfianza del
95%
Intervalos de Confianza para la MediaUsando Minitab: Ejemplo 3 (Continuación)
Intervalos de Confianza para la
7/21/2019 02 Analyze W1 Confidence Intervals Sp. Six Sigma Analyze
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La Ventana de Sesión muestra los resultados de las pruebasestadísticas.
One Sample T: Sample POs
Variable N Media St Dev SE Media 95% CISample POs 5 12.0963 2.7654 1.2367 (8.6627, 15.5300)
Intervalo deconfianza del
95%
Intervalos de Confianza para laMedia Usando Minitab: Ejemplo 3
(Continuación)
7/21/2019 02 Analyze W1 Confidence Intervals Sp. Six Sigma Analyze
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Muestras de gran tamaño
(>=30)
El intervalo de confianza del 95% ¿aumentará o
disminuirá?
Si el tamaño de la muestra es 126 (las ordenes de compra detoda una semana) y s es conocida, podemos usar la estadística Zy calcular el intervalo de confianza, sin embargo, dejaremos a
Minitab hacer el trabajo por nosotros !¿qué le sucede al intervalo de confianza mientras aumenta eltamaño de la muestra?
Intervalos de Confianza para la Media Usando
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Intervalos de Confianza para la Media UsandoMinitab: Ejemplo 3 (Continuación)
• Determinar intervalo de confianza del 95% para laproducción de la semana de 126 ordenes decompra.
• Recuerde, la prueba-t asume que los datos estánnormalmente distribuidos.Desarrollados:
Abrir archivo de datosCONFINT
Los datos han sidoingresados en la columnaC1
Vaya a Stat > Basic Stat >
Normality Test… El cuadro de dialogo
Normality Test… aparecerácomo se muestra
Seleccione los ingresoscomo se muestra.
Intervalos de Confianza para la Media
7/21/2019 02 Analyze W1 Confidence Intervals Sp. Six Sigma Analyze
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Weekly POs
P e r c e n t
22.520.017.515.012.510.07.55.0
99.9
99
95
90
80
7060504030
20
10
5
1
0.1
Mean
0.156
12.10
StDev 2.696
N 126
AD 0.547
P-Value
Probability Plot of Weekly POsNormal
¿Comointerpretamos estevalor-p?
Intervalos de Confianza para la MediaUsando Minitab: Ejemplo 3 (Continuación)
Intervalos de Confianza para la Media Usando
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Intervalos de Confianza para la Media UsandoMinitab: Ejemplo 4
Ahora, Determinar intervalo de confianza del 95% para la
producción de la semana de 126 ordenes de compra.
Desarrollo: Usar archivo de datos
CONFINT Los datos fueron
ingresados en la columnaC1
Vaya a Stat > Basic Stat >1-Sample t …
El cuadro de dialogo 1-Sample t (Test and
Confidence Interval) aparecerá como semuestra
Seleccione los ingresoscomo se muestran
Seleccione
Intervalos de Confianza para la Media
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Seleccione
Intervalos de Confianza para la MediaUsando Minitab: Ejemplo 4
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Intervalos de Confianza para la Media
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Una muestra T: Weekly POs
Variable N Media St Dev SE Media 95% CIWeekly POs 126 12.1006 2.6958 0.2402 (11.6253, 12.5759)
Una muestra T: Sample POs
Variable N Media St Dev SE Media 95% CISample POs 5 12.0963 2.7654 1.2367 (8.6627, 15.5300)
La manera más práctica de reducir el tamaño del intervalo deconfianza es aumentar el tamaño de la muestra
n = 126
n = 5
Intervalos de Confianza para la MediaUsando Minitab: Ejemplo 4
Interpretar el Intervalo de
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Interpretar el Intervalo deconfianza
¿Que significa el intervalo de confianza del 95%?
• El 95% de las veces, la afirmación que se indica a continuaciónserá verdadera:
• “95%” es llamado el coeficiente de confianza o nivel de confianza • Los puntos finales del intervalo son conocidos como los límites
de confianza• La afirmación que “m” tiene un 95% de posibilidades de estarentre el límite de confianza inferior y el límite de confianzasuperior es considerada incorrecta, o al menos engañosa, ya quepuede ser entendido para implicar una m variable.
• Hay solamente un valor para la media de la población.
n
σ t X μ
n
σ t X //
Intervalo de confianza
Intervalo de confianza para
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@95 % confianza
a = .c
a
= c
.
= 6.6
c
a
= c
.
= . = = grados de libertad
n = 16 s = 1.86
De tablas Chi-Cuadrado
Un Green Belt recolecta 16 puntos de datos con una X de 10 y una sde 1.86.¿cuál es el intervalo de confianza del 95% par s?
30 20 10 0 c2
c2
p
A
c2p
a/2= 0.975
a/2= 0.025
Veamos como se ve una distribución Chi-Cuadrado y como obtener estos valores...
Intervalo de confianza paraSigma
( (
( 2
1,2/
2
1,2/1 11 --- -- nn
n sn s a a c s c
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¿Que es la distribución Chi-Cuadrado?
Una distribución con un solo parámetro, (nu), el número de grados de
libertad Una familia de distribuciones, f(c2), uno para cada valor de .
c2 es una variable aleatoria continua mayor o igual a cero.
Para pequeños valores de , la distribución está sesgada a la derecha.
A medida que aumenta, la distribución rápidamente llega a ser simétrica. Para grandes valores de , la distribución c2 está cerca de la curva normal.
0 5 10 15
0.0
0.1
0.2
0.3
f ( c 2 )
c2
=1
=2
=5 =8=10
STATISTICAL ANALYSIS FOR
DECI ION MAKING-- MH/PY
Intervalo de confianza para desviación estándar usando Minitab:
7/21/2019 02 Analyze W1 Confidence Intervals Sp. Six Sigma Analyze
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Intervalo de confianza para desviación estándar usando Minitab:
Ejemplo 5 (Continuación) • Un Green Belt recolecta 50 valores de datos de un proceso de
maquinado. ¿cuál es el intervalo de confianza del 95% para ladesviación estándar?
• La distribución Chi-Cuadrado asume que los datos estánnormalmente distribuidos.
Desarrollo: Abrir archivo de datos:
CONFINT3 Los datos fueron ingresados
en la columna C1 Vaya a Stat > Basic Stat >
Graphical Summary
El cuiadro de dialogo DisplayDescriptive Statistics
aparecerá como se muestra Seleccione ingresos como se
muestra
Si queremos un intervalo deconfianza diferente, podemos
cambiarlo aquí
Intervalo de confianza para desviación estándar usando Minitab:
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1201101009080
Median
Mean
1041031021011009998
A nderson-Darling Normality Test
V ariance 83.95
Skewness 0.259930
Kurtosis 0.467383
N 50
M inimum 76.74
A -Squared
1st Quartile 95.71
Median 100.16
3rd Q uartile 107.04
Maximum 123.16
95% C onfidence Interval for Mean
99.41
0.89
104.61
95% C onfidence Interv al for Median
98.72 103.23
95% C onfidence Interval for StDev
7.65 11.42
P-V alue 0.021
Mean 102.01
StDev 9.16
95% Confidence Intervals
Summary for GBData
pEjemplo 5 (Continuación)
7/21/2019 02 Analyze W1 Confidence Intervals Sp. Six Sigma Analyze
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Intervalo de Confianza para una proporción
N = población enteraconocida
n = cantidad de ítems en lamuestra
X = cantidad de ítems deinterés (e.j., ítemsaceptables) en lamuestra
p = proporción verdaderade ítems de interés enla población
Z = valor de la tabla Z
basado en el nivel deconfianza deseado;típicamente 1.96 para95%
$ p X
n = c z
p p
n =
- 1 $ ( $ )
La aproximación normal puede ser usada si lo siguiente es verdad :1
n/N < .10 np > 5 .1 < p < .9
c p c p oˆ
a ˆ
-
1
n El ancho del Intervalo de Confianza es proporcional a
Intervalo de confianza =
1 vea gráfica de Selección de distribución Discreta en datos suplementarios.
2
a (1 - )
n
p p Z p p
n
p p Z p ) ˆ 1 ( ˆ ˆ
) ˆ 1 ( ˆ ˆ -
- - 2
a (1 - )2
a (1 - )
Intervalo de Confianza
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Intervalo de Confianzapara Ejemplo de
ProporciónSe probaron 500 lámparas durante500 horas, 8 fallaron
¿cuál es el intervalo de confianzadel 90% para el verdaderoporcentaje de defectuosos?
Intervalo de Confianza de Proporción:
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Intervalo de Confianza de Proporción:Manual
Puesto que los datos no pasaron la prueba usando la aproximación normal,reconocemos que nuestra respuesta es una aproximación pobre. Para la respuestacorrecta, debemos utilizar una distribución de F que esté fuera del alcance denuestro entrenamiento Green Belt.
p = . . . (. )016 1645 016 984500
.0068 < p < .0252
Desde tablas,Determinar
Inverse Cum Prob
para a /2 = .050
500/N < .10 np = 8 > 5 .1 < p = .016 < .9N = cantidad total de lámparas
Aunque no es correcta la prueba, vamos a tratar laaproximación normal!
n
p p z p p
)ˆ1(ˆˆ
21
-= -a
\DataFile\ConfInt.xls Tab Proportion
Intervalo de Confianza de Proporción
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Intervalo de Confianza de Proporciónusando Minitab: Ejemplo 6
Quinientas lámparas fueron probadas durante 500 horas. Ocho fallaron. ¿cuál es el intervalo de confianza del 90% para el porcentaje
de defectuosos de la población?.
Desarrollo: Abrir Minitab Vaya a Stat > Basic
Stat > 1 Proportion…
El cuadro de dialogo:1 Proportion (Test and
Confidence Interval)
aparecerá como semuestra
Intervalo de Confianza de Proporción
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Intervalo de Confianza de Proporciónusando Minitab: Ejemplo 6
3
21. Tipee 500 en Number of
Trials:
2. Tipee 8 in Number of
Events:
3. Seleccione Options…
1
Intervalo de Confianza de Proporción
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1
2
3
1. En el cuadro de dialogo: 1
Proportion - Options, tipee90.0 en Confidence level:2. Seleccione OK3. En el cuadro de dialogo:
1 Proportion, Seleccione OK
Intervalo de Confianza de Proporciónusando Minitab: Ejemplo 6
Intervalo de Confianza para Proporción
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La Ventana de Sesión de Minitab muestra los resultados de las
pruebas estadísticas
El cuadro de dialogo 1 Proportion
No se confunda con el término “Cantidad de eventos” (“number
of events”) , porque usted define el evento -- en este caso
“defectuosas” La proporción de defectuosas en la muestra fue de 0.016.
90 veces de 100, la proporción de defectuosas en la poblaciónestará en el intervalo desde 0.007986 a 0.028684.
Valor-pMuestra X N Muestra p 90% CI Exacto1 8 500 0.016000 (0.007986, 0.028684) 0.000
Intervalo de Confianza para Proporciónusando Minitab: Ejemplo 6
Intervalo de Confianza para la Capacidad
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Intervalo de Confianza para la Capacidadde Proceso
Minitab calcula intervalos de confianza para la capacidad del proceso.
File PartADrift.mtw USL = 16, LSL = 4, Subgroup = 5
Intervalo de Confianza para la Capacidad
7/21/2019 02 Analyze W1 Confidence Intervals Sp. Six Sigma Analyze
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Intervalo de Confianza para la Capacidadde Proceso
Intervalo de Confianza para la Capacidad
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te a o de Co a a pa a a Capac dadde Proceso
16141210864
LSL Target USL
Process Data
Sample N 750
StDev(Within) 1.98534
StDev(Overall) 2.22023
LSL 4.00000
Target 10.00000
USL 16.00000
Sample Mean 10.08152
Potential (Within) Capability
Z.USL 2.98Cpk 0.99
Lower CL 0.93
Upper CL 1.05
CCpk 1.01
Z.Bench
Overall Capability
Z.Bench 2.46
Lower CL 2.15
Upper CL 2.83
Z.LSL 2.74
Z.USL
2.80
2.67
Ppk 0.89
Lower CL 0.84
Upper CL 0.94
Cpm 0.90
Lower CL 2.35
Upper CL 3.45
Z.LSL 3.06
Observed Performance
% < LSL 0.40
% > USL 0.53
% Total 0.93
Exp. Within Performance
% < LSL 0.11
% > USL 0.14
% Total 0.25
Exp. Overall Performance
% < LSL 0.31
% > USL 0.38
% Total 0.69
Within
Overall
Process Capability of PartA Drift(using 95.0% confidence)
Worksheet: PartADrift.MTW
Intervalo deConfianza para
Zbench
Fó l I t l d C fi
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/ 2 / 2
ˆ ˆ ˆ ˆ(1 ) (1 )ˆ ˆ
p p p p p Z p p Z
n na a
- -- Proporción:
Media:
Capacidad de Proceso: (
1ˆ
1ˆ
2
1,2/1
2
1,2/
-
-
---
n pC Cp
n pC
nn a a c c
Sigma: ( ( ( 2 2
1 / 2, 1/ 2 , 11 1
nn s n s n a a
c s c - -- - -
Fórmulas Intervalo de Confianza
a a
m - - -
( / 2, 1) (1 / 2, 1)
* *n n
s s X t X t
n n
Hemos aprendido
7/21/2019 02 Analyze W1 Confidence Intervals Sp. Six Sigma Analyze
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INSTITUTO PARA LA CALIDAD © 2010. Prohibida su reproducción total o parcial sin permiso del autor y del Instituto para la Calidad de
la Pontificia Universidad Católica del Perú.
Hemos aprendido … 1. Teorema del Límite Central y sus aplicaciones
– Por qué el Teorema del Límite Central nospermite hacer inferencias sobre datos sinconocer su distribución.
2. Importancia de los intervalos de confianza
3. Como calcular intervalos de confianza para:
• Medias• Desviaciones estándar o Variación
• Proporciones
• Capacidades del Proceso
Bibliografía Intervalos de
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INSTITUTO PARA LA CALIDAD © 2010. Prohibida su reproducción total o parcial sin permiso del autor y del Instituto para la Calidad de
la Pontificia Universidad Católica del Perú.
Bibliografía Intervalos deConfianza
Statistical Analysis for Decision Making , 6th Edition, written by MorrisHamburg and Peg Young, published by The Dryden Press.
Statistics for Experimenters, written by Box, Hunter and Hunter,published by the Wiley-Interscience.
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Intervalo de Confianza
Material Suplementario
Selección Distribución Discreta
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Selección Distribución Discreta
Hipergeometrico <0.10nN
no
comienzo
si Binomial(o)
np>5no si
Poisson .1 < p < .9no
Si Normal
m = nps = np(1-p)
m = l = nps2 = l
m = nps = np(1-p)
P(r) = aciertoTodo posible
Cd
. CN-d
n-rr
C N n
=
P (r) = mr e-m
r!
n!r! (n-r)!
pr (1-p)n-r P (r) =
r = cantidad de aciertosn = cantidad de pruebasp = probabilidad de aciertos
N = tamaño de poblaciónd = cantidad de aciertos enla poblaciónm = medias = desviación estándar