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Alexander Fleming… 20 años insuperables en tu preparación
GUÍA 2 - CIENCIAS 34
DEFINICIÓN Se denomina circunferencia al lugar geométrico de todos los puntos de un plano cuya distancia a otro punto del mismo plano llamado centro, es constante. Esta longitud constante se denomina radio. Centro : O
Radio : OP , OP = R
Cuerda : CD
Diámetro : AB , AB = 2R
Secante : m
Tangente : n
Arco : CD, CTD
Flecha o Sagita : MH
Punto de tangencia: T Longitud de la
Circunferencia : 2 R
Área del círculo : R2
= 3.1416 ó = 22/7
CÍRCULO Es aquella superficie plana determinada por la unión de una circunferencia y su región interior. PROPIEDADES 1.
Si: L es tangente
OT es radio
Entonces:
OT L ; = 90°
2. Si: O es centro ON AB
Entonces:
AM = MB ; mAN=mNB
3. Si: PA y PB son tangentes y O es centro.
Entonces: PA = PB ; = Nota Inradio: Radio de la circunferencia inscrita. Circunradio: Radio de la circunferencia circunscrita. TEOREMA DE PONCELET En todo triángulo rectángulo la suma de las longitudes de los catetos es igual a la suma de las longitudes de la hipotenusa y el diámetro de la circunferencia inscrita.
Se cumple: TEOREMA DE PITHOT En todo cuadrilátero circunscrito a una circunferencia, la suma de las longitudes de dos lados opuestos es igual a la suma de las longitudes de los otros dos lados.
Se cumple:
POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS COPLANARES Circunferencias Exteriores
O1 O2 > R + r Circunferencias Tangentes Exteriores
O1 O2 = R + r
O A B
C
D M
H R P
m n
T
A
B
P
O
C
A B
a b
c
r a + b = c + 2r
a + c = b + d
A
B C
D
a
b
c
d
O1
13
O2
r
A M
O
N
B
L
T O
O1 O2
R
r
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GUÍA 2 - CIENCIAS
Circunferencias Secantes
R – r < O1 O2 < R + r
Circunferencias Tangentes Interiores
O1 O2 = R – r
Circunferencias Interiores Circunferencias Concéntricas
ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA 1. Angulo Central: 2. Angulo Inscrito
AB x AB 2x
3. Angulo Seminscrito 4. Angulo interior
AB 2x
AB BCx
2
5. Angulo exterior
AB BCx
2
AB BCx
2
6. Angulo exterior formado por dos tangentes
AE BE
180º
EJERCICIOS DE APLICACIÓN 1
1. En un triángulo rectángulo de semiperímetro igual a 32 unidades, el radio de la circunferencia inscrita mide 6 unidades. Calcular la longitud de la hipotenusa.
2. El perímetro de un cuadrilátero circunscrito a una circunferencia
es 20 y el lado menor mide 3. ¿Cuánto mide el lado mayor? 3. En un triángulo se encuentra inscrita una circunferencia. Hallar
la menor distancia de un vértice a un punto de tangencia, si los lados del triángulo miden 12; 18 y 20.
4. En la figura el perímetro
del triángulo ABC es 40 m y el lado AB = 8 m. Calcular TC.
5. Se tiene una circunferencia cuyo diámetro mide 20. Calcular la longitud de la flecha correspondiente al menor arco determinado por una cuerda MN, si MN = 16.
6. Un diámetro divide a una cuerda en 2 segmentos que miden 14
3 y 2 3 cm. ¿Cuál es la medida del radio, sabiendo que del
centro de la circunferencia a la cuerda hay una distancia de 8 cm?
7. Las bases de un trapecio isósceles miden 16 y 36 unidades.
¿Cuánto mide el radio de la circunferencia tangente a los cuatro lados del trapecio?
8. Los diámetros de dos circunferencias miden 13 cm y 27 cm. Si
la distancia entre los centros es de 25 cm, calcular la longitud de la tangente común interior a ambas circunferencias.
xºO
A
B P
A
Bxº
A Bxº
A
B
C
D
xº
AD
CB
xº
A
C
B
xº
A
B
Eº º
r R
O
O1 O2 < R – r
O1 O2 = 0
P Q
T
B
A C
O1
R
O2
r
O1
R
O2
r T
R r
O1 O2
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GUÍA 2 - CIENCIAS 36
9. Del gráfico la diferencia entre los perímetros de los triángulos ABC y QPC es 12 y el perímetro del cuadrilátero ABPQ es 18 .
Hallar PQ. 10. En un triángulo rectángulo ABC recto en B se traza la altura
BH , si la distancia entre los pies de las bisectrices de los
ángulos ABH y HBC miden 4 m, calcular el radio de la circunferencia inscrita en el triángulo ABC.
TAREA 1
1. En la figura: AB = 2 cm y CD = 10 cm. Hallar BC.
A) 8 cm B) 10 cm C) 12 cm D) 14 cm E) 24 cm
2. Calcular la longitud del radio de la circunferencia inscrita en un
triángulo rectángulo cuyos catetos miden 15 m y 20 m. A) 10 m B) 2,5 m C) 5 m D) 4 m E) F.D.
3. La suma de los catetos de un triángulo rectángulo es 15. Calcular la suma de los diámetros de las circunferencias inscrita y circunscrita a dicho triángulo. A) 7,5 B) 15 C) 30 D) 45 E) N.A.
4. El perímetro de un triángulo rectángulo es 56 m y el radio del círculo inscrito es 3 m. Hallar el radio del círculo circunscrito. A) 14 m C) 16 m E) 12,5 m B) 6 m D) 12 m
5. En un triángulo rectángulo la hipotenusa y el inradio suman 12 . Hallar el perímetro del triángulo. A) 6 B) 12 C) 24 D) 18 E) 36
6. Se tiene un triángulo ABC, donde AC = 24, BC = 10 y AB = 26. ¿Cuánto mide el radio del círculo inscrito en dicho triángulo? A) 2 B) 4 C) 6 D) 3 E) 5
7. La suma de longitudes de los radios de las circunferencias inscritas y circunscrita a un triángulo rectángulo es 14. Si uno de los catetos mide 18, calcular la longitud del otro cateto. A) 10 B) 8 C) 6 D) 4 E) 12
8. Calcular el perímetro de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide 10 y el inradio mide 2. A) 14 B) 18 C) 20 D) 22 E) 24
9. Tres lados consecutivos de un cuadrilátero circunscrito miden 6, 8 y 11. Hallar la longitud del cuarto lado. A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13
10. Se circunscribe un cuadrilátero ABCD a una circunferencia, de modo que BC = 6, CD = 9 y AD = 12. Hallar AB. A) 9 B) 10 C) 8 D) 18 E) 22
11. En un triángulo ABC se inscribe una circunferencia, cuyo punto
de tangencia con BC es M. Si AC = 10 y el perímetro del
triángulo es 42, hallar BM. A) 11 B) 12 C) 10 D) 13 E) 9
12. Se tiene una circunferencia inscrita a un triángulo ABC que es
tangente en “E” al lado AC . Hallar la medida de EC , si el
perímetro del triángulo mide 40 y AB = 8. A) 2 B) 10 C) 8 D) 6 E) 9
13. Un punto dista 8 m del centro de una circunferencia de diámetro 10 m. Hallar la distancia mínima del punto a la circunferencia. A) 1 m B) 2 m C) 3 m D) 4 m E) 5 m
14. Desde un punto que dista 9 m, de una circunferencia se traza una tangente que mide 15 m. Hallar la longitud del radio de la circunferencia. A) 5 m B) 8 m C) 9 m D) 10 m E) 14 m
15. Las distancias entre los centros de 3 circunferencias tangentes exteriores miden 12; 16 y 18. ¿Cuánto mide el radio menor? A) 5 B) 3 C) 7 D) 4 E) 6
16. En dos circunferencias tangentes interiores la distancia entre sus centros es 1 y el radio mayor mide 4. El radio menor medirá. A) 1/2 B) 1 C) 2 D) 3 E) 3,5
17. Los diámetros de dos circunferencias miden 2,5x y 1,5x. Si la distancia entre sus centros es 2x, las circunferencias son: A) Exteriores B) Tangentes exteriores C) Concéntricas D) Secantes E) Tangentes interiores
18. La distancia que hay entre los centros de 2 circunferencias tangentes exteriores es 14 cm. Si la diferencia de los radios es 6 cm, ¿cuántos mide el radio menor? A) 2 cm B) 3 cm C) 4 cm D) 5 cm E) 6 cm
19. La distancia que hay entre los centros de 2 circunferencias tangentes interiores, es 6 cm. Si la suma de sus radios es 10 cm, ¿cuánto mide el radio mayor? A) 1 cm B) 2 cm C) 3 cm D) 4 cm E) 5 cm
20. La menor distancia entre 2 circunferencias exteriores es 2 cm, y la mayor distancia es 18 cm. ¿Cuál es la suma de las medidas de los radios de estas 2 circunferencias? A) 6 cm B) 8 cm C) 10 cm D) 12 cm E) 16 cm
21. Los radios de las circunferencias miden 8; 3 y 1. Hallar el perímetro del triángulo determinado por los centros.
A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16
22. Los radios de las circunferencias miden 3 y 1. M y N son los centros de las circunferencias y T es punto de tangencia. Hallar PT.
A) 3
B) 2 3
C) 4
D) 4 3
E) 5
A
B
C
Q
P
A
B
C
D
P
T
M N
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GUÍA 2 - CIENCIAS
23. Se tienen tres circunferencias tangentes exteriores entre sí de diferente tamaño; si las distancias entre sus centros son 12; 10 y 8 m respectivamente, ¿cuál es la longitud del radio mayor? A) 5 m B) 7 m C) 8 m D) 7,5 m E) F.D.
24. Desde un punto exterior a una circunferencia trazamos una
tangente que tiene la misma medida que el radio (7 2 cm).
¿Cuál es la distancia más corta del punto a la circunferencia?
A) 7 (2 – 2 ) cm B) 7 (2 + 2 ) cm C) 14 2 cm
D) 18 cm E) F.D.
25. En una circunferencia, una cuerda de 16 cm tiene una flecha de 2 cm. ¿Cuánto mide el radio de la circunferencia?
A) 15 cm B) 16 cm C) 15 3 cm
D) 17 cm E) 18 cm
26. En una circunferencia de radio 17, se puede trazar una cuerda que mide 16. ¿Cuánto mide la longitud de la flecha relativa a dicha cuerda?
A) 3 B) 5 C) 2 D) 3 E) 5
27. La distancia del centro de una circunferencia a una cuerda que mide 40, es igual a 21. ¿Cuánto mide el radio de dicha circunferencia? A) 25 B) 26 C) 27 D) 28 E) 29
28. Indicar lo verdadero (V) o falso (F) según corresponda: - La tangente y la circunferencia tienen un solo punto en
común. - La secante a una circunferencia, determina una cuerda. - La distancia entre los centros de dos circunferencias
tangentes es siempre igual a la suma de las longitudes de los radios.
- Todo radio perpendicular a una cuerda, divide a dicha cuerda en partes congruentes.
A) V F F F B) V V V V C) F V V V D) V V F V E) V F V V
29. Hallar: “AM”, si: AB + CD = 86; BC = 24 y PD = 14.
A) 14 B) 24 C) 32 D) 36 E) 21
30. En la figura: AB = 5 ; AD = 4 y CD = 3 . Hallar BC.
A) 1
B) 2 C) 3
D) 4
E) N.A.
31. Hallar la medida del radio de la circunferencia inscrita en un trapecio isósceles cuyas bases miden 2 y 6 cm respectivamente.
A) 2 cm B) 2 cm C) 3 cm D) 3 cm E) F.D.
32. En un sector circular AOB de 60°, se inscribe una circunferencia
de longitud 4 . Calcular la longitud del arco AB.
A) B) 2 C) 3 D) 4 E) 6
33. El ángulo de un sector circular es /4 radianes y su radio 16. Calcular la longitud de su arco. A) 4 B) 6 C) 8 D) 12 E) 16
34. En una circunferencia, una cuerda de 8 cm y un radio se bisecan. La medida del radio es:
A) 3
43 cm B) 2 cm C) 2 3 cm
D) 3
38cm E)
3
3cm
35. Dada una circunferencia, se observa que dos cuerdas PQ y
RS se cortan perpendicularmente en un punto M, de modo
que PM = MS = 21 cm y además: RM = MQ = 3 cm. ¿Cuánto mide el radio de esta circunferencia? A) 10 cm B) 18 cm C) 15 cm E) 20 cm D) 25 cm
36. Se tiene dos circunferencias de diámetro congruentes que
miden 2 3 cm. Hallar la longitud de la tangente común
exterior, sabiendo que la distancia entre sus centros es 6 3
cm.
A) 6 3 cm B) 4 3 cm C) 8 cm
D) 4 cm E) 6 cm
37. ¿Cuál es la longitud de la tangente exterior común a las circunferencias tangentes exteriores de radios 12 y 27 m respectivamente? A) 32 m B) 38 m C) 30 m D) 40 m E) 36 m
38. Tres circunferencias de radio 1, 2 y 3 m son tangentes exteriores 2 a 2. Calcular el radio de la circunferencia que pasa por los puntos de contacto entre dichas circunferencias. A) 0,5 B) 1 C) 1,5 D) 2,5 E) N.A.
39. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 6 y 8 tomando
como diámetros dichos catetos se trazan semicircunferencias las cuales determinan los puntos “E” y “F” sobre la hipotenusa. ¿Cuál es la longitud de EF? A) 2 B) 1 C) 1,4 D) 1,5 E) 0
40. En un triángulo isósceles ABC (AB = BC), se traza la altura CH, las circunferencias inscritas en los triángulos AHC y HBC,
determinan en el lado AB los puntos P y Q. Calcular AC si CH
– PQ = 3. A) 6 B) 3 C) 12 D) 9 E) 15
EJERCICIOS DE APLICACIÓN 2
ÁNGULOS EN LA CIRCUNFERENCIA
1. Calcular mBM , si ABCD es un cuadrado.
A
B
C
D
T
P
M
O
A
B
C
D
A
B
C
M
D
Alexander Fleming… 20 años insuperables en tu preparación
GUÍA 2 - CIENCIAS 38
2. En la figura el triángulo ABC es isósceles (AB = BC) y
m BCD = 20°, calcular mRB mAD .
3. Hallar “x” si + = 133°. “O” : centro. 4. Del gráfico; calcular: ° + ° si los polígonos sombreados son
regulares.
5. Si: TP = 4 y AB = 6, calcular mTL .
6. En la figura mostrada: mAB 140º y mCD 80º . Calcular
“x”. 7. Hallar “x”, si P = 50°.
8. Calcular “x”, sabiendo que: m BAC = 40°. 9. En la figura: AD = DE y m ABR = 25°. Calcular la m DCE (A y
C: puntos de tangencia). 10. Siendo A y B puntos de tangencia, hallar el valor de .
11. Se tiene un círculo y un semicírculo; donde A, B, C y F son
puntos de tangencia. Hallar el valor de x.
TAREA 2
1. Hallar el valor de x siendo O el centro de la circunferencia.
A) 80° B) 60° C) 40° D) 20° E) N.A.
A
B
C D
R
A
B
C
D E
R
°
°
A
T
B
L
P
O
A
B
C
D
x
A B
P
O
x
A
B
C
x
° °
A
B
O
C
D
x
A x°
C
B
O
80°
A
B
A
B
C
F
O1
x
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39
GUÍA 2 - CIENCIAS
2. En el cuadrilátero inscrito, ABCD, calcular x.
A) 15° B) 30° C) 45° D) 50° E) 60°
3. Los ángulos A, B y C de un cuadrilátero inscrito ABCD son proporcionales a los números 4, 3 y 5. Hallar la medida del ángulo D. A) 90° B) 100° C) 110° D) 120° E) 150°
4. Si: “O” es centro, hallar .
A) 100º B) 110º C) 115º D) 120º E) 150º
5. Hallar “x” si AB es diámetro.
A) 40º B) 60º C) 80º D) 100º E) 120º
6. En la figura, calcular (x + y).
A) 40º B) 60º C) 80º D) 160º E) N.A.
7. Si: B y C son puntos de tangencia, calcular .
A) 15º B) 25º C) 30º D) 45º E) 50º
8. Hallar “x”.
A) 50° B) 60° C) 70° D) 80° E) N.A.
9. Hallar “x”.
A) 15° B) 30° C) 45° D) 60° E) 75°
10. En la figura el ángulo P mide 40°. El valor del ángulo AOB es (O
es centro):
A) 115° B) 50° C) 100° D) 120° E) 130°
11. Un cuadrilátero inscrito en una circunferencia tiene tres lados
iguales, cada uno de los cuales subtiende un arco de 80°. ¿Cuánto mide el mayor de los ángulos internos del cuadrilátero? A) 116° B) 150° C) 100° D) 120° E) 16°
12. En la figura, hallar “x”, si: m A + m C = 110°.
A) 70° B) 60° C) 55° D) 40° E) 35°
13. En la figura, hallar .
A) 30° B) 40° C) 60° D) 70° E) 80°
14. En la figura O es centro y B el punto de tangencia. Calcular x.
A) 26° B) 13° C) 39° D) 28° E) 32°
15. AE es tangente, mAB 150º . Hallar mBC .
A) 150° B) 120° C) 160° D) 135° E) N.A.
A
B
C x 20°
A
B C N
M x
A
B
C
x
A
F
M 2
A
B
C
O
20°
30°
A B
C D
E
x 50°
y
A B
C D
x 80°
50°
A
B
C
O A
B
C O
x 26°
A
B
C
E 50°
A
B
C
D
O P
A
C B
D
x
2x
Alexander Fleming… 20 años insuperables en tu preparación
GUÍA 2 - CIENCIAS 40
16. Del gráfico, A, B, C y D son puntos de tangencia. Calcular “x”.
A) 20° B) 30° C) 35° D) 40° E) 45°
17. Si: mAB 140º y m APT = 50°; calcular x.
A) 25° B) 30° C) 35° D) 45° E) 50°
18. En la figura, hallar: A + B + D; si mBC 45º y mAE 55º
A) 80° B) 100° C) 130° D) 140° E) N.A.
19. Del gráfico, calcular “x”, siendo mAB mBC .
A) 80° B) 70° C) 60° D) 40° E) 50°
20. Calcular “x”, si O es centro.
A) 135° B) 155° C) 150° D) 145° E) 130°
21. En la figura, calcular x.
A) 60° B) 50° C) 40° D) 30° E) 45°
22. En la figura, calcular x, si O es centro, mAB 63º , además
EC AO .
A) 10° B) 12° C) 15° D) 18° E) 21°
23. En la figura mostrada BP es bisectriz, P es punto de tangencia.
Siendo mFB 40º , calcular el valor de x.
A) 40° B) 36° C) 30° D) 20° E) 15°
24. Hallar x.
A) 42° B) 38° C) 36° D) 33° E) 30°
25. Del gráfico, AB = BC y mBD 50º . Calcular “x”.
A) 40° B) 25° C) 50° D) 60° E) 30°
26. Del gráfico, calcular “x”.
A) 85° B) 95° C) 75° D) 65° E) 90°
27. Hallar .
A) 12° B) 15° C) 18° D) 21° E) 24°
A
C
B
D
x 3x 2x
A B P
T
x
50°
A B
C
D
E
x
A P
B
C
60°
80°
x
O
A
B
C
x
20°
80°
A
B
C
D E O
x
A
B
C
F
P x
x
156°
x
A
D
B
C
x
85°
95°
18°
Alexander Fleming… 20 años insuperables en tu preparación
41
GUÍA 2 - CIENCIAS
28. En la figura, calcular x, si O es centro de la circunferencia. A) 45° B) 50° C) 55° D) 60° E) 70°
29. Del gráfico, C y T son puntos de tangencia. Hallar “x”.
A) 20° B) 22°30´ C) 15° D) 18° E) 30°
30. Del gráfico, calcular “x”.
A) 15° B) 18° C) 20° D) 22°30´ E) 24°
31. Hallar ° – °, si: MN//RS .
A) 80° B) 60° C) 90° D) 100° E) N.A.
32. En la figura BCDF es un paralelogramo BD//AE ; calcular la
m FEA, si: m CDF = 60°.
A) 15° B) 18° C) 30° D) 24° E) 16°
33. Si O y O1 son centros y mNB 80º , hallar mPM .
A) 100° B) 120° C) 130° D) 140° E) 160°
34. En la figura O1 y O2 son centros, tal que AB , es tangente.
Calcular: “ ”.
A) 45° B) 30° C) 34,5° D) 36° E) 37,5°
35. En la figura PF es tangente “M” es punto medio del arco AB.
Hallar “x”.
A) 90° B) 100° C) 110° D) 120° E) 130°
36. En la figura, hallar x.
A) 60° B) 30° C) 45° D) 80° E) 75°
TEOREMA DE THALES Tres o más rectas paralelas, determinan en una recta secante a ellas, segmentos que son proporcionales, a los segmentos determinados por las mismas rectas paralelas en cualquier otra secante a ellas.
Si: 321 L//L//L
Entonces: AB DE
BC EF=
A
B
C
D
E
F
L1
L2
L3
A
O B
C
x
40°
A B C
T
x
2x
A
B
C
O
x 6x
R S
M N O
° °
A
B
E
60°
C
D
F
A
N
B
M
P O
O1
A
B
O1
O2
A
B
F
x
P
M
40°
x
2x
Alexander Fleming… 20 años insuperables en tu preparación
GUÍA 2 - CIENCIAS 42
COROLARIO
Si: 1 2 3L / / L / / L
por Tales: BM BN
MA NC
TEOREMA DE LA BISECTRIZ INTERIOR
En el ABC:
a m
c n=
TEOREMA DE LA BISECTRIZ EXTERIOR
En el ABC:
a m
c n=
TEOREMA DEL INCENTRO
En el ABC “I”: incentro
a c m
b n
+=
Definición: Dos triángulos son semejantes si sus ángulos interiores tienen igual medida respectivamente y sus lados homólogos son proporcionales. Los lados homólogos en triángulos semejantes, son aquellos lados opuestos a ángulos de igual medida. Notación: ABC MNQ
Símbolo de semejanza: se lee “es semejante”
Se cumple: AB BC ACK
MN NQ MQ
Donde: K es razón de semejanza Casos de semejanza de triángulos Dos triángulos son semejantes, si dos ángulos del primer
triángulo son de igual medida que dos ángulos del segundo triángulo respectivamente.
Si: m BAC = m NMQ y m ACB = m MQN
Entonces: ABC MNQ
Dos triángulos son semejantes, si un ángulo del primer
triángulo es de igual medida que un ángulo del segundo y los lados que los determinan son proporcionales respectivamente.
Si: m BAC = m NMQ y AB MN
AC MQ
Entonces: ABC MNQ
Dos triángulos son semejantes si los tres lados del primer
triángulo son respectivamente proporcionales a los tres lados del segundo triángulo.
A
B
C
M
L1
L2
L3
N
A
B
C D
c a
m n
A
B
C D
a c
m
n
A
B
C
I
a
b
c m
n
M Q
N
A
B
C
A
B
C
N
M Q
M Q
N
c
b A
B
C
ck
bk
Alexander Fleming… 20 años insuperables en tu preparación
43
GUÍA 2 - CIENCIAS
Si: AB BC AC
MN NQ MQ Entonces: ABC MNQ
EJERCICIOS DE APLICACIÓN 3
1. Hallar “x” en el trapecio. a) 1 b) 2 c) 3 d)9 e) 8
2. Hallar: “ED” ; ACED ; BD = 8 ; 3BE = 4EC
a) 8 b) 4 c) 3 d) 7 e) 6
3. Calcular “x” ; DEAB ; DG = 6 ; GC = 9
a) 5 b) 10 c) 7 d) 8 e) 4
4. Hallar “x” ; AB = 12 ; AC = 16 ; BC = 14
a) 3 b) 6 c) 4 d) 8 e) 10
5. Hallar “AB” ; BE = 4 y EC = 12
a) 4 b) 12 c) 6 d) 8 e) 10
6. Hallar “AB” ; BC = 7
a) 7 b) 14 c) 10 d) 8 e) 9
7. Hallar “x” ; AB = 3BC
a) 15 b) 10 c) 5 d) 20 e) 1
8. Hallar “x”
a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 8
9. Hallar “AE” ; CE = 8 y 3
7
BD
BC
a) 5 b) 6 c) 7 d) 4 e) 8
10. Calcular “BD” ; AB = 9 y BC = 4
a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 9
M Q
N
a c
b A
B
C
ck
bk
ak
x
1
81
x
A C
E D
B
D A G C
E
B
x
A C
B
D
x
A C
B
D
E
A C
B
A C B
B
x 5
3 2 x
A
B
D C
E
C
D A
B
Alexander Fleming… 20 años insuperables en tu preparación
GUÍA 2 - CIENCIAS 44
11. Calcular “MN” ; AC = 60 ; 2NC = 3BN ; ACMN
a) 12 b) 24 c) 36 d) 48 e) 60
12. Hallar “AB” ; AD = 2 ; DC = 6
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
13. Hallar “BQ” ; QD = 5 ; CP = 3PD
ABCD: Paralelogramo a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25
14. Hallar “NC” ; AB//MN ; BN = 4 ; 6AB = 7MN
a) 8 b) 12 c) 16 d) 20 e) 24
15. Hallar “AD” ; BE = 3 y 3AM = 4MC
a) 6 b) 3 c) 9 d) 12 e) 15
TAREA DOMICILIARIA 1
1. La razón de dos segmentos es 3/5. Si uno de ellos mide 8 cm
más que el otro, ¿cuánto mide el segmento menor? A) 1 cm B) 12 cm C) 13 cm D) 9 cm E) 8 cm
2. En la figura, calcular AH + GB, si HI = IJ = JB, HE = 7 y CB = 8.
A) 42 B) 40 C) 28 D) 45 E) 43
3. Si: L1 // L2 // L3 // L4, calcular x.
A) 4 B) 6 C) 8 D) 9 E) 12
4. En la figura se tiene que EF//CD//AB . Calcular DF – BD.
A) 8,5 B) 7,5 C) 8,6 D) 7,6 E) 7
5. Del gráfico hallar “3m” si L1 // L2 // L3.
A) 2 B) 4 C) 6 D) 9 E) 12
6. Del gráfico calcular y – x si L1 // L2 // L3.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
7. Hallar x si AC + BD = 48.
A) 6 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18
8. En la figura L1 // L2 // L3 . Hallar “x”
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) N.A.
B
M
A C
N
A C
B
D
A D
P Q
B C
B
M
A C
N
M
A
B E C
D
A B
C D
E F
G H
I
J
A
B
C
D
E
F
4 7
2x+1 5x–5
L1
L2
L3
L4
x+3
2x–5
L1
L2
L3
6
15
2m
3m+4
L1
L2
L3
x
y x–3
y+4
8
10
A
12
21
7
B
C
D
E
F
G
H
x
8
3
16
x
L1
L2
L3
Alexander Fleming… 20 años insuperables en tu preparación
45
GUÍA 2 - CIENCIAS
9. En la figura: CF//BE//AD ; AC = 15, AB = 3, DF = 20. Hallar
DE.
A) 4 B) 5 C) 7 D) 5.5 E) N.A.
10. Hallar x, si L1 // L2 // L3.
A) 20 B) 15 C) 8 D) 10 E) 6
11. A partir del gráfico mostrado se pide calcular x, si PQ es
paralelo a BC y AD .
A) 2 B) 3 C) 1 D) 1/2 E) 2/3
12. En la figura L1 // L2 // L3 // L4. Hallar FH – EG, si EH = 27.
A) 4 B) 6 C) 8 D) 9 E) 12
13. En la figura, se cumple que: AO/2 = OB/3 = BC/4.
Halla MO, si MP = 45 y L1 // L2 // L3
A) 10 B) 12 C) 14 D) 16 E) 18
14. En la figura que se muestra, el segmento MN es paralelo a
AB , además: AM = 2MC y BN = 5 cm. ¿Cuántos mide NC ?
A) 3,5 cm B) 2,5 cm C) 1,5 cm D) 1 cm E) 3 cm
15. Considerando el gráfico anterior y asumiendo que BN excede a
NC en 2. Calcular NC, si además AM = 3 y MC = 2. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
16. Del gráfico calcular x si: 4(AB) = 3(BC); EF = 8.
A) 1 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8
17. Si en el triángulo ABC de la figura AC//DE , entonces el
triángulo ABC es:
A) Escaleno B) Rectángulo C) Isósceles D) Equilátero E) Isósceles y rectángulo
18. Del gráfico, calcular: E = m.b
n.a
A) 1 B) 2 C) 3 D) 2/3 E) 3/2
19. Hallar AR, si AB = 6, BC = 8 y AC = 7.
A) 3 B) 2 C) 1 D) 3,5 E) 1,5
20. En un triángulo ABC si AB = 18; BC = 12 y AC = 15, se traza la
bisectriz BF . Calcular la longitud de AF .
A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12
21. En el triángulo ABC, donde 5
7
BC
AB se traza la bisectriz
interior BD . Si AD = 3,5, ¿cuánto mide DC ?
A) 2,5 B) 3 C) 3 D) 1,5 E) 3,5
L1
L2
L3
A
C
1,5
1 B
L4 D
E
F
G
H
2
L1
L2
L3
A
24 8
x+9
B
C
D
E
F
5
A
B C
D
E F x
a
b
m
n
R A
B
C
A
B
C
D E
5
1 x–1
x+3
A
B
C P
N
M
O
L1
L2
L3
A
B C
D
Q P
x
4 2 2
2
A
B
C M
N A
B
D
C
E
F
Alexander Fleming… 20 años insuperables en tu preparación
GUÍA 2 - CIENCIAS 46
22. En el triángulo rectángulo ABC, BD es bisectriz del B,
AD = 8, DC = 10, entonces el lado BC mide:
A) 10 B) 8 C) 12 D) 16 E) 30
23. En un triángulo ABC, AB = 4, BC = 8 y AC = 6, se traza la
bisectriz exterior BE (E en la prolongación de CA ). Calcular
EA. A) 5 B) 4 C) 8 D) 2 E) 6
24. En un triángulo ABC, AB = 8, BC = 6 y AC = 7, se trazan las
bisectrices interior BD y exterior BE . Hallar DE:
A) 12 B) 18 C) 20 D) 22 E) 24
25. En un triángulo ABC, AB = 6, BC = 9 y AC = 10. Se traza la
bisectriz interior BD y la exterior BE . Hallar la medida de
ED .
A) 14 B) 16 C) 10 D) 24 E) 26
26. En un triángulo ABC, sobre BC y AC se toman los
puntos P y Q respectivamente, de modo que AB//PQ .
Hallar QC – AQ, si BP = 5, PC = 7 y AC = 36. A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12
27. Dado un triángulo rectángulo ABC recto en B, sobre el
cateto BC se toma un punto P desde el cual se traza PQ
perpendicular a BC (Q en AC ). Hallar QC, si AB = 12,
AC = 20 y BP = 4. A) 5 B) 10 C) 15 D) 16 E) 18
28. En un triángulo ABC se traza la bisectriz CF y luego por “F”,
una paralela a AC de modo que interseca a BC en Q. Hallar
BQ si BC = 6 y AC = 12. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
29. En un triángulo ABC se ubican los puntos M y N sobre AB y
BC respectivamente tal que MB = 1; BN = 2 y NC = 8. ¿Para
qué valor de AM, MN y AC son paralelas?
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
30. Los lados AB y BC de un triángulo ABC miden
respectivamente 18 m y 30 m. Por un cierto punto M del lado
AB se traza una paralela que corta al lado AC en N. Si MN =
5m, ¿a qué distancia está M de A? A) 3 m C) 6 m E) 9 m B) 15 m D) 2,50 m
31. En un triángulo ABC, la bisectriz del A corta a BC en
M. Por M se traza una paralela al lado AB , la que cota a AC
en el punto N. Si MN = 3 m, MB = 1 m y MC = 6 m; el lado
AC mide:
A) 18 m C) 10 m E) 19 m B) 9 m D) 21 m
32. En un triángulo ABC: AB – AC = 2, BC – AB = 2 y BC + AC =
20. Calcular el mayor segmento que determina la bisectriz en el lado de mayor longitud.
A) 5,33 C) 4,25 E) 6,70 B) 6,67 D) 5,50
33. Los lados de un triángulo ABC miden BC = 6, CA = 8; AB = 4
respectivamente. Por un punto M de AB se traza la paralela
MN al lado BC . Hallar la longitud de AM de modo que el
triángulo MAN y el trapecio BMNC tengan igual perímetro. A) 3,5 B) 2,0 C) 1,5 D) 2,5 E) 3,0
34. En un triángulo ABC se trazan la bisectriz interior AD y la
ceviana BP que se cortan perpendicularmente. Si 3
1
PC
AP y
BC = 25, hallar BD. A) 4,5 B) 5 C) 6 D) 7,5 E) 10
35. En un triángulo acutángulo ABC, se trazan las bisectrices
interiores AQ y CP . Hallar QC, si AP = 2, PB = 3 y BQ = 4.
A) 7
17 B)
7
22 C)
7
32 D)
7
12 E)
7
18
36. Dado el triángulo ABC, se traza la bisectriz interior BD y la
mediana BM . Hallar: AC
DM, si
5
3
BC
AB
A) 4
1 B)
5
1 C)
8
1 D)
7
2 E)
9
1
PROYECCIÓN ORTOGONAL La proyección ortogonal de un punto sobre una recta es el pie de la perpendicular trazada desde dicho punto hacia la recta. TEOREMAS EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO
AH : proyección ortogonal de AB sobre AC
HC : proyección ortogonal de BC sobre AC
Teoremas
1. c2 = bm a
2 = bn
2. a2 + c
2 = b
2 3. ac = bh 4. h
2 = mn
A
B
C
a
b
c
h
H
m n
A B
C
D 2x+3
2x–3
Alexander Fleming… 20 años insuperables en tu preparación
47
GUÍA 2 - CIENCIAS
TEOREMA DE LAS CUERDAS TEOREMA DE LAS SECANTES TEOREMA DE LA TANGENTE
EJERCICIOS DE APLICACIÓN 4
1. Hallar: x + y + z
a) 42 b) 47 c) 49 d) 45 e) 43
2. Hallar: “x” a) 1 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6
3. Hallar: x + y + z a) 13 b) 25 c) 17 d) 55 e) 65
4. Hallar: x
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
5. Hallar “x”; a x b = 36 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
6. Hallar: “x”
a) 3 b) 4 c) 6
d) 23
e) 33
7. Hallar: AB; 22AM ; AD = DC a) 2
b) 2
c) 22
d) 4
e) 24
8. Hallar: AB; BH = 2 a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10
A
B
C
D
P
a
b
x
y
A B
D
b
a
m
n
P
C
A
B
C
b
a
m
P
ab = xy
ab = mn
m2 = ab
x y z
9 16
3
2
7
x
12
5
x 24
7
y 15
8
z
2
3
x
32
a x b
4x
x
4 5
B
C A D
P
C A B H
M
B
C A D H
M
Alexander Fleming… 20 años insuperables en tu preparación
GUÍA 2 - CIENCIAS 48
9. Hallar: “AB”; BH = 9; HC = 4 y MH = 2 a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10
10. Hallar “AP”; BH = 4; AF = 6 ABCD es un cuadrado
a) 6 b) 8 c) 9 d) 10 e) 12
11. Hallar la mayor altura de un triángulo isósceles de lados: 8, 8 y 4.
a) 60 b) 8 c) 7 d) 6 e) 50
12. Hallar la menor altura del triángulo isósceles de lados 7, 7 y 8.
a) 22 b) 33 c) 44
d) 11 e) 55
13. Hallar: x a) 23 b) 24 c) 25 d) 26 e) 6
14. Hallar: “x”
a) 310
b) 6 c) 15 d) 20 e) 100
15. Hallar: b
a
a) 1/2 b) 2/9 c) 1/3 d) 9 e) 7
TAREA DOMICILIARIA 2
1. En la figura, la suma de las áreas de los cuadrados ABCD y
EFGC es 72 u2. Calcular la longitud de FA
A) 6u B) 9u C) 10u D) 8u E) 12u
2. En la figura, AB = 25; AH = 24 y HC = 30. Hallar HD.
A) 7,25 B) 8,75 C) 9,20 D) 6,25 E) 7,50
3. En la figura: EF EQ = 20; AE = 5 y AB = BC. Hallar la
longitud del segmento tangente CT.
A) 9
B) 9 3
C) 9 2
D) 9 5
E) 9 6
4. Los lados de un triángulo rectángulo tienen medidas que forman una progresión aritmética de razón igual a 1. Calcular la medida de la altura relativa a la hipotenusa. A) 1,2 B) 1,4 C) 1,6 D) 2,2 E) 2,4
5. Los lados menores de un triángulo rectángulo miden x y 3x+3,
el tercer lado mide 4x – 3. Calcular el perímetro del triángulo. A) 54 B) 56 C) 58 D) 60 E) 62
6. La hipotenusa de un triángulo mide 20 y la altura relativa a ella
mide 9,6. Calcular la medida del cateto mayor.
A) 18 B) 5 10
C) 16 D) 6 10
E) 12
7. Hallar AB.
A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12
8. Hallar BH.
A) 4 B) 6 C) 15 D) 5 E) 9
1 x
5
8 17
x
5
4 81
a b
A
B C
D
E F
G
A
B
C
D H
A
B
C
E
T
Q
F
x
A
B
C H 2 6
A
B
C H 3 12
M 2
B C
A D
H
P B C
A D
H
F
Alexander Fleming… 20 años insuperables en tu preparación
49
GUÍA 2 - CIENCIAS
9. Hallar HB.
A) 9 B) 12 C) 16 D) 13 E) 10
10. Hallar PQ. A) 6 B) 9 C) 10 D) 12 E) 15
11. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 5 y 12 cm. Hallar la altura relativa a la hipotenusa.
A) 13
60 B)
13
30 C)
13
15 D)
13
10 E)
13
20
12. La altura de un triángulo rectángulo determina en la hipotenusa segmentos de 9 y 16 . Calcular los catetos.
A) 15 y 20 C) 20 y 30 E) 30 y 40 B) 40 y 50 D) 50 y 60
13. Hallar R, OP = 8, ON = 15.
A) 16 B) 17 C) 18 D) 20 E) 23
14. Los lados de un triángulo miden 10 , 41 y 42 . ¿Cuánto hay
que disminuir cada lado para que el nuevo triángulo sea rectángulo? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
15. En un triángulo rectángulo las proyecciones de los catetos están
en la relación de 4 a 5. Hallar la relación de dichos catetos.
A) 5
2 B)
5
2 C)
5
3 D) 5 E)
5
4
16. El perímetro de un triángulo rectángulo es 56 y la suma de los cuadrados de sus lados es 1 250. Hallar la longitud del menor lado.
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 17. En un triángulo rectángulo, la suma de las longitudes de sus
catetos es 35. Calcular la longitud de la hipotenusa si la altura relativa a la hipotenusa mide 12.
A) 24 B) 25 C) 26 D) 27 E) 12 3
18. En un trapecio isósceles, calcular la longitud de la proyección
de una de sus diagonales sobre la base mayor, si la suma de las longitudes de sus bases es 10 cm. A) 2,5 cm B) 5 cm C) 7,5 cm D) 10 cm E) 6,5 cm
19. Los lados de un triángulo rectángulo están expresados por tres
números enteros consecutivos. Hallar la longitud de la proyección del lado mayor sobre el lado menor. A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 2,5
20. La altura trazada del vértice del ángulo recto de un triángulo rectángulo mide 60 cm y la proyección de uno de los catetos sobre la hipotenusa es de 25 cm. Hallar el perímetro del triángulo. A) 360 cm C) 380 cm E) 410 cm B) 370 cm D) 390 cm
21. Una rueda está apoyada en un ladrillo como muestra el gráfico.
Si: AB = 15 y BC = 9, entonces el radio de la rueda mide:
A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 17
22. En la figura, calcular el radio de la circunferencia, sabiendo que el lado del cuadrado ABCD mide 16.
A) 6 B) 5 C) 8 D) 10 E) 12
23. Hallar PB; si AP = 4; PC = 9 y PD = 12.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
24. Hallar CD; si AB = 5, AF = 4 y FC = 3.
A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 12
25. Hallar PT; si PA = 3 y AB = 9.
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6
26. En un triángulo rectángulo, el producto de las medidas de los
catetos es 48 cm2; si la hipotenusa mide 10 cm, ¿cuánto mide
la altura relativa a la hipotenusa? A) 12/5 cm C) 24/5 cm E) 5,5 cm B) 1,2 cm D) 5 cm
A
B
C H
15 20
P Q
3 12
A
B
C D
R
O
P M
N
A B
C
R
A
B C
D
r
A B
C
D
F
A
B
T
P
A B
C D
P
Alexander Fleming… 20 años insuperables en tu preparación
GUÍA 2 - CIENCIAS 50
27. Hallar BC, si AB = 3 y CD = 4.
A) 1,5 B) 2 C) 2,5 D) 3 E) 4
28. Hallar PC, si AP = 16, PB = 4 y PD = 32.
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6
29. Hallar AB, si: BC = 1 , CD = 2 y DE = 13 .
A) 3,5
B) 4,5
C) 6 D) 2,5
E) 6,5
30. Del gráfico, señalar lo correcto:
A) x2 = ab
B) x2 = 2ab
C) bax
D) x2 = a
2 – b
2
E) 2x = a + b 31. La figura muestra dos semicircunferencias. Indicar lo correcto:
A) a = 2c B) b = c C) a = b + c
D) a2 = b . c
E) c = 3b 32. En la figura, O es centro de la circunferencia. BF = 3 y OF = 9.
Hallar EF.
A) 3 B) 3,6 C) 4,2 D) 3,2 E) 4,6
33. En un triángulo equilátero ABC, cuyo lado mide 8 cm, se traza una perpendicular desde uno de los vértices, hasta el lado opuesto; del pie de esta perpendicular se traza otra perpendicular hacia uno de los otros lados. ¿Cuánto medirá esta perpendicular?
A) 3 cm B) 4 3 cm C) 3 3 cm
D) 4 cm E) 2 3 cm
34. Una hoja de papel de forma cuadrada, de 20 cm de lado, se
dobla juntando 2 esquinas opuestas. ¿Cuánto mide el doblez?
A) 10 2 cm B) 10 cm C) 25 cm
D) 40 cm E) 20 2 cm
35. Los lados de un rectángulo miden 15 y 20 cm respectivamente.
¿Cuál es la distancia de uno de los vértices a una de las diagonales? A) 18 cm B) 9 cm C) 12 cm D) 10 cm E) 13 cm
36. En un cuadrado ABCD cuyo lado mide 2 5 cm, hallar la
distancia que hay desde el vértice A hasta DM , siendo M el
punto medio de AB .
A) 2
5cm B)
2
5cm C)
5
5cm
D) 2 cm E) 1 cm
37. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B) los catetos AB y
BC miden 15 y 20 cm respectivamente; se traza la altura BH
Hallar la distancia que hay desde H hasta BC .
A) 10,2 cm B) 9,6 cm C) 12 cm D) 9 cm E) 8,5 cm
38. En el triángulo rectángulo MNS (recto en N), MN = 24 y NS =
36 MT es la mediana trazada del vértice M al lado SN . Hallar
la distancia de N a MT .
A) 14,4 B) 14,6 C) 14 D) 15,6 E) 13,9
39. En el triángulo rectángulo ABC, recto en B, la mediatriz relativa
a la hipotenusa interseca a BC en M. Si AC = 12 y BC = 10 ,
encontrar el valor de BM.MC. A) 18,16 B) 16,18 C) 20,16 D) 16,20 E) 20,20
40. Se da un rectángulo ABCD, en el cual AD = 2. CD. Por B se
traza BE , perpendicular a AC . Si E está en AD y ED = 9 m,
entonces AD mide:
A) 12 m B) 9 m C) 6 m
D) 9 2 m E) 12 2 m
A
B
C
D
P
x
a b
E
F
G
a b
c
A
B
C
D
E
F
A B C
D E
P
Q
B
D
A C O
F
E
Alexander Fleming… 20 años insuperables en tu preparación
51
GUÍA 2 - CIENCIAS
ÁREA es la medida de la extensión de una superficie, expresado en unidades cuadráticas por tanto el número que represente el área de una región siempre debe ser positivo. Para abreviar se hará referencia al área de un triángulo, área de un polígono, etc. entendiendo que se trata del área de la región correspondiente. FIGURAS EQUIVALENTES: son las que tienen la misma área. FÓRMULAS PRINCIPALES DE ÁREAS DE REGIONES TRIANGULARES
h
b
a
b
S
b
hS
S
a
b
1. 2.
3. 4.
S
a
aaS
p = a+b+c
2
c
ba
r
c
ba
p = a+b+c
2
SR
c
a b
4. 5.
6. 7.
RELACIÓN ENTRE ÁREAS DE TRIÁNGULOS
h
mb
nh
bb
n
S1 b .h
S2 m.n=
S1 h
S2 n=
S2S1 S2S1
m aan
S1 m
S2 n=
S1 = S2
1.
3. 4.
2.
h
mb
nh
bb
n
S1 b .h
S2 m.n=
S1 h
S2 n=
S2S1 S2S1
m aan
S1 m
S2 n=
S1 = S2
1.
3. 4.
2.
x
xxxxxxxxx
x
x x
xx
x
x
x = S/4 x = S/6
a'h'
c'
b'h
c
ab
SS'
5.
7.
6.
S a b c h
S' a' b' c' h' 2222
2222
=====
ÁREA DE REGIONES CUADRANGULARES
a
a
aa S
b
a S
S = a2
S = a.b
a
1. Cuadrado 2. Rectángulo
D
d
h
b
S
S
S = b.h S = D.d
2
3. Romboide 4. Rombo
Alexander Fleming… 20 años insuperables en tu preparación
GUÍA 2 - CIENCIAS 52
b
B
hS
SX
Y
5. Trapezoide 6. Trapecio
PROPIEDADES DE TRAPECIOS
X Y
S1
S2
X = Y X = S1.S2
1.
S1 S2X
S1 = S2x = S/2
3.2.
PROPIEDADES DE TRAPEZOIDES
X
S1
S2
x y
x = S/2x.y = S1.S2
1. 2.
PROPIEDADES DE ROMBOIDES
z
w
x
y
wz
yx
x = y = z = w
ÁREA DE REGIONES CIRCULARES CÍRCULO: Es la región limitada SECTOR CIRCULAR por una circunferencia
rS
r
S
SEGMENTO CIRCULAR CORONA CIRCULAR
r
S
R
r
PROBLEMAS APLICATIVOS 1. En el cuadrante AOB mostrado, OB = 8u, BC = 10u, CDFA es
un cuadrado, calcule el área de la región triángulo CBF.
2. La base de un triángulo isósceles mide 10 m y la altura relativa uno a sus lados iguales mide 8 m. Hallar su área.
3. Una circunferencia de 2 cm de radio está inscrita en un
triángulo rectángulo de 10 cm de hipotenusa. El área de dicho triángulo es:
4. En la siguiente figura hallar el área de la región sombreada, si
ABCD es un cuadrado de área S. 5. Según el gráfico, calcule el área de la región sombreada, siendo
CDEF un rectángulo y (AB) (CD) = 18u2.
A
B C
D
A
B
C
D E
F
A
B
C
D F
O
Alexander Fleming… 20 años insuperables en tu preparación
53
GUÍA 2 - CIENCIAS
A
B
C
L P
N
37°
A B
C
O M
3
6. En un triángulo rectángulo que tiene un ángulo de 15°, se inscribe un cuadrado de área “A” que descansa sobre la hipotenusa. Hallar el área del triángulo rectángulo.
7. En el gráfico, calcule el área de la región sombreada, si el área
de la región triangular LBP es 30u2. L y N son puntos de
tangencia.
8. Hallar el área de la región ABC, si OM = 4 u.
9. Hallar el área de la región sombreada, si (AC) (CD) = 4 3 cm2
y mAPB = 140°. “C” es punto de tangencial.
10. Si en un triángulo ABC, las alturas miden 12 cm, 15 cm y 20
cm, entonces su área en cm2 es:
TAREA DOMICILIARIA 3
1. Hallar el área de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mide
4 m y un ángulo mide 30°.
A) 3 m2 C) 7 m
2 E) 2 3 m
2
B) 5 m2 D) 8 m
2
2. En la figura adjunta, AP = PQ = QD. Hallar el área A de la
región sombreada.
A) 5,5 cm2
B) 4,5 cm2
C) 3,5 cm2
D) 2,5 cm2
E) 1,5 cm2
3. Calcular el área de un triángulo equilátero de semiperímetro 12 m.
A) 16 m2 C) 24 m
2 E) 16 3 m
2
B) 18 m2 D) 32 m
2
4. Calcular el área de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa
mide 13 y un cateto mide 12. A) 30 B) 35 C) 40 D) 45 E) 50
5. Calcular el área de un triángulo equilátero de altura 3 .
A) 2 B) 3 C) 3 D) 4 E) 6
6. La mediana relativa a la hipotenusa de un triángulo mide 12,5.
Calcular su área si uno de los catetos mide 24. A) 42 B) 72 C) 84 D) 96 E) N.A.
7. Si el área de un triángulo rectángulo es de S m2, el producto de
sus catetos será de:
A) S2 m
2 C) S/3 m
2 E) S m
2
B) S/2 m2 D) 2S m
2
8. Hallar el área de un triángulo rectángulo si sus ángulos agudos
está en relación de 1 a 5 y la altura relativa a la hipotenusa mide 2. A) 8 B) 8,5 C) 3 D) 2 E) 1
9. El perímetro de un triángulo isósceles es 36, si la base mide 16, calcular su área. A) 16 B) 32 C) 36 D) 48 E) N.A.
10. Hallar el área de un triángulo cuyo dos de sus lados miden 5 y
8 y el ángulo que forman mide 60°.
A) 10 3 C) 20 3 E) 20
B) 18 D) 15 3
11. Se tiene un triángulo equilátero de 8 m de lado. Si se unen los
puntos medios de sus lados se obtiene un triángulo cuya área es:
A) 8 3 m2 C) 2 3 m
2 E) N.A.
B) 4 3 m2 D) 6 3 m
2
12. Calcular el área de un triángulo equilátero, sabiendo que el
radio del círculo inscrito mide “R”.
A) 3 3 R2 C) 3R
2 E)
2R
3
B) 3 R2 D) R
2
13. El ángulo B de un triángulo obtusángulo ABC mide 135°. Si el
lado AB mide a, calcular el área de dicho triángulo.
A) a2
2 C) 3a2 E)
2a 2
3
B) 2a2 D)
2a 2
4
14. Hallar el área de un triángulo equilátero cuya altura mide 6.
A) 6 3 C) 12 3 E) N.A.
B) 8 3 D) 16 3
15. La base de un triángulo isósceles mide 8 m, si la distancia del
baricentro a uno de los extremos de la base es 5 m, calcular su área.
A) 18 m2 C) 36 m
2 E) N.A:
B) 24 m2 D) 48 m
2
A
B
C
P
D 10°
A
B C
D Q P
A
4 cm
9 cm
1 cm
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GUÍA 2 - CIENCIAS 54
T
A D
B C
16. Las longitudes de los lados de un triángulo son 8, 10 y 12. Hallar el inradio y el circunradio.
A) 7
2; 16
7 C) 7 ; 16 7
7 E) 6 ; 9 16
2
B) 5
2; 16
5 D) 5 ; 16 5
5
17. Según el gráfico, calcular 2
1
S
S, si ABCD es un romboide.
A) 1/4 B) 1/2 C) 1 D) 1/8 E) 2 18. Uniendo los puntos medios de los lados del triángulo rectángulo
ABC se obtiene un triángulo cuyo cateto e hipotenusa miden 3 m y 5 m respectivamente. El área del triángulo ABC es:
A) 32 m2 C) 24 m
2 E) 36 m
2
B) 30 m2 D) 48 m
2
19. En un triángulo ABC, AC = 2 y BC = 4. Si la altura relativa a
AC mide 3, calcular la medida de la altura relativa a BC .
A) 1,5 B) 2 C) 2,5 D) 3 E) 4,5
20. Hallar el área del triángulo ABC, si A es punto de tangencia.
(R = 4 m)
A) 8 m2
B) 12 m2
C) 16 m2
D) 24 m2
E) 32 m2
21. En la figura: ABC es un triángulo rectángulo y AP=AF. Hallar el
área del triángulo ABC.
A) 4 3 m2 C) 3 3 m
2 E) 4m
2
B) 12 3 m2 D) 6 3 m
2
22. Hallar el área de un triángulo ABC, cuyos vértices están dados
por las siguientes coordenadas: A = (0,1), B = (2,4), C = (4,0).
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
23. En la figura, ABC es un triángulo equilátero de lado “L”, BP=L/4
y AP= 13 . Hallar el área del triángulo equilátero ABC.
A) 4 B) 16
C) 4 13
D) 4 3
E) 8 24. Se tiene un triángulo isósceles ABC, en el que: AC=BC=25,
AB=40. Se traza AB//DE ( D en AC y E en BC ), de modo
que el área del triángulo EDC, sea igual al área del trapecio
ABED. Se pide hallar la distancia de C a DE .
A) 7.5 C) 7.5 3 E) N.A.
B) 7.5 2 D) 15
25. El área de un triángulo ABC es igual a 24 m2, el lado BC mide
12 m y la mediana AM mide 5 m. Hallar el menor de los otros
dos lados del triángulo. A) 10m B) 6m C) 8m D) 3m E) 5m
26. En un triángulo rectángulo cuyo perímetro es 40 m la diferencia de los catetos es 7 m. Luego la superficie de dicho triángulo en
m2, es:
A) 65 B) 120 C) 60 D) 1275 E) N.A.
27. Si en un triángulo isósceles ABC, la base AB = 15 m y la altura AM = 12 m, el área será:
A) 70 m2 C) 75 m
2 E) N.A.
B) 140 m2 D) 155 m
2
28. En un trapezoide ABCD sobre AD se toma un punto P de
manera que los triángulos ABP y PCD son equiláteros. Calcular el área del cuadrilátero si AB = 4 y CD = 6.
A) 18 3 B) 15 C) 16 D) 24 E) 19 3
29. La diagonal BD de un cuadrado ABCD se prolonga hasta un
punto E de manera que DE = 4 2 . Calcular el área del
cuadrilátero AECD, si el lado del cuadrado mide 10. A) 20 B) 80 C) 40 D) 60 E) 50
30. En el gráfico, ABCD es un cuadrado y T es punto de tangencia.
Si AB = 5 . Calcular el área de la región sombreada.
A) 52
B) 62
C) 7,52
D) 82
E) 92
RELACION DE AREAS
1. En un triángulo ABC se traza la ceviana BD de modo que 3AC
= 4DC. Calcular el área del triángulo BDC si el área de ABC es
48 m2.
A) 12 m2 C) 36 m
2 E) N.A.
B) 24 m2 D) 42 m
2
A
B C P H
B
A
C PP
6
F
18°
12°
A
B C
D
S1
S2
A
B
C
R
O
Alexander Fleming… 20 años insuperables en tu preparación
55
GUÍA 2 - CIENCIAS
2. Hallar el área del ABC.
A) 36 m2
B) 32 m2
C) 40 m2
D) 38 m2
E) N.A. 3. En un triángulo ABC, AB=8 y BC=10. Se toma “M” punto
medio de AC ; la distancia de “M” a AB es igual a 5. Calcular
la distancia de “M” a BC .
A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) N.A.
4. En un triángulo ABC se traza la ceviana BD tal que DC = 2AD.
Hallar el área del triángulo ABC si el área de ABD es 8 m2.
A) 18 m2 C) 24 m
2 E) 30 m
2
B) 16 m2 D) 26 m
2
5. M y N son los puntos medios de los lados AB y BC de un
triángulo ABC, si A ABC = 28 cm2, hallar el A MBN.
A) 9 cm2 C) 7 cm
2 E) 14 cm
2
B) 6 cm2 D) 12 cm
2
6. En un triángulo ABC, AB = 3m, BC = 4m se traza la bisectriz
interior BF (F en AC ). Calcular el área de la región triangular
BFC si el área de la región triangular ABC es 84 m2.
A) 18 m2 C) 36 m
2 E) N.A.
B) 24 m2 D) 48 m
2
7. La base de un triángulo mide 4 m. ¿Cuál es en metros la
longitud de una paralela a la base que divide a dicho triángulo en dos partes equivalentes?
A) 2 m C) 3 m E) 2( 2 – 1)m
B) 2 2 m D) 2 m
8. La base de un triángulo isósceles mide 18, se trazan dos
paralelas a la base que dividen al triángulo en tres regiones equivalentes. Calcular la longitud de la paralela más cercana a la base.
A) 3 2 C) 6 6 E) N.A.
B) 6 2 D) 8 6
9. En la figura mostrada A ABC = 64 2. Hallar: A PFE:
A) 4 2 C) 16
2 E) N.A.
B) 8 2 D) 24
2
10. El área de un ABD es 84 2 y AB : BC = 5 : 7. Se traza la
bisectriz interior BD . Calcular: área ABD.
A) 30 2 C) 35
2 E) 39
2
B) 32 2 D) 36
2
11. En un ABC, recto en B, BH es altura. Calcular: A AHB /
A BHC, si AB:BC = 2 : 3.
A) 2/3 C) 4/5 E) 16/81 B) 3/2 D) 4/9
12. En un PQR, A PQ y B QR , tal que PR//AB .
Si PR = 8, calcular AB, siendo las regiones AQB y PABR equivalentes.
A) 2 2 C) 2 E) 4 2
B) 4 D) 3 2
13. ¿Qué porcentaje del área NO sombreada representa el área sombreada?
A) 24% C) 58% E) N.A. B) 36% D) 68%
14. En La figura mostrada se tienen dos regiones equivalentes. Hallar EF/AC.
A) 1/2
B) 2 / 3
C) 1/4
D) 2 / 2
E) N.A.
15. En un triángulo ABC se traza AC//PQ de tal manera que
PBQ 2
ABC 5. Calcular PQ si AC = 20.
A) 5 2 C) 4 10 E) N.A.
B) 10 2 D) 5 10
16. En un triángulo se traza la altura al lado BC , si la altura mide
12 cm. ¿A qué distancia del vértice A se debe trazar una
paralela a BC para que se determine dos regiones
equivalentes?
A) 3 2 C) 6 E) N.A.
B) 6 2 D) 8 2
17. En un triángulo ABC de 54 cm2 de área, se ubica el punto “F”
sobre AB de modo que: AB = 3BF y M es punto medio de BC.
Calcular el área de la región AFMC.
A) 18 cm2 C) 36 cm
2 E) N.A.
B) 27 cm2 D) 45 cm
2
A
B
C
E F
P
A
B
C
E
F
A
B
C
D
M
a
2a
6m2
5 7 9 10 11
Alexander Fleming… 20 años insuperables en tu preparación
GUÍA 2 - CIENCIAS 56
18. Hallar el área de la región sombreada, si AE = EC y BF = 3FE y
A ABC = 40.
A) 3
B) 4 C) 5 D) 8 E) N.A.
19. Del gráfico AD = 2DB, 2EC = 2BE, FC = 3AF y A ABC = 60.
Hallar el área de la región sombreada.
A) 20 B) 30 C) 40 D) 80 E) N.A.
20. En una región triangular ABC de área 242, se ubican los
puntos medios “M” de AB , “N” de MC y L de AN tal que
BL interseca a MN en “F”. Hallar A LFN.
A) 2 2 C) 6
2 E) N.A.
B) 3 2 D) 9
2
21. El área de una región triangular ABC es 18 2, en las
prolongaciones de BA y BC se ubican los puntos “E” y “F”
respectivamente tal que AE = 2AB y CF = 3BC. Hallar: A ACFE.
A) 72 2 C) 162
2 E) N.A.
B) 144 2 D) 198
2
22. Del gráfico 3BD = 2AD, 5AE = 4EC y A ABC = 99. Hallar: A ELC.
A) 25
B) 33 C) 42 D) 45 E) N.A.
23. ¿En qué relación están S1 y S2?
A) 1/10
B) 1/15 C) 1/12 D) 1/9 E) N.A.
24. En la figura mostrada, hallar la relación de las áreas de las
regiones ABP y PMCQ si: 3
2
QC
AQ;
2
3
MC
BM
A) 15
13
B) 1
C) 14
13
D) 13
14
E) N.A.
25. Hallar: “S2 / S1”
A) 4/3
B) 4/5 C) 3/5 D) 2/3 E) N.A.
26. En un triángulo ABC, de área 26m2 AB = 8m y BC=10m. La
mediana AM y la bisectriz interior BD se cortan en O. Hallar
el área del triángulo BOM.
A) 15 m2 C) 10 m
2 E) N.A.
B) 12 m2 D) 5 m
2
27. ABC es un triángulo de 75 m2 de área y cuyo baricentro es G,
se prolonga la mediana AD un segmento DE tal que
DE = 3
AD; calcular el área del triángulo BEG.
A) 25 m2 C) 15 m
2 E) 30 m
2
B) 2
75 m
2 D) 50 m
2
28. ABC es un triángulo con área 24 m2 en el cual AB = 8 m,
AC = 9 m, M es punto del lado BC tal que BC = 3BM. Hallar la
distancia del punto “M” al lado AB .
A) 2 m2 C) 8 m
2 E) N.A.
B) 4 m2 D) 12 m
2
29. Hallar el área de la región sombreada si el área del triángulo
ABC es 80 m2.
A) 20 m2
B) 28 m2
C) 30 m2
D) 42m2
E) N.A.
30. En la figura mostrada, calcular la relación entre el área de la
región sombreada y el área de la región no sombreada. Además
BM=MC; BP=4
AP y AQ=QR=RC.
A) 13/14 B) 15/13 C) 12/17 D) 13/17 E) N.A.
S1
S2
2b
b 2a
3a
c 4c A
B
C E
F P
A
B
C F
E
D
A
B
C E
L D
a
5a
S1
S2
A
B
C Q
P M
B
A C 4 3 2 1
3
4
5
A
B
P
M
Q R C
Alexander Fleming… 20 años insuperables en tu preparación
57
GUÍA 2 - CIENCIAS
A B
C D
2a
A B
C D
5 7
20°
REGIONES CIRCULARES 1. Hallar el área del círculo inscrito en un cuadrado de área 36
cm2.
A) 3 cm2 C) 9 cm
2 E) N.A.
B) 6 cm2 D) 16 cm
2
2. Hallar la razón entre el área del círculo inscrito y circunscrito a
un mismo cuadrado. A) 1/2 B) 1/4 C) 2/3 D) 1/8 E) N.A.
3. Halla el área del sector circular de radio 10 m y ángulo central
18°.
A) 5 m2 C) 10 m
2 E) 12,5 m
2
B) 7,5 m2 D) 2,5 m
2
4. Halla el área del círculo inscrito en un triángulo equilátero cuyo
perímetro mide 36 3 cm.
A) 36 cm2 C) 72 cm
2 E) 12 cm
2
B) 18 cm2 D) 9 cm
2
5. El área de una corona circular es 96 cm2. Si la suma de los
radios es 16 cm, ¿cuál es la diferencia de los mismos? A) 8 cm C) 7 cm E) 4 cm B) 9 cm D) 6 cm
6. Si la longitud de una circunferencia es 54 m, halla el área del círculo.
A) 625 m2 C) 784 m
2 E) 900 m
2
B) 676 m2 D) 729 m
2
7. Halla la longitud de una circunferencia, si se sabe que el área
de su círculo es 81 cm2.
A) 18 cm C) 9 cm E) 15 cm
B) 27 cm D) 12 cm
8. Hallar el área de un sector circular cuyo arco tiene longitud 2
cm y ángulo central 36°.
A) 10 cm2 C) 12 cm
2 E) 8 cm
2
B) 5 cm2 D) 16 cm
2
9. Hallar el área de un sector circular de radio 10 cm y ángulo
288°.
A) 10 cm2 C) 18 cm
2 E) N.A.
B) 80 cm2 D) 72 cm
2
10. ¿Cuál debe ser el radio de un sector circular cuyo arco tiene por
longitud 8 m, si su área debe ser 4 m2?
A) 4 m C) 1 m E) Falta el valor B) 2 m D) 1/2 m del ángulo central
11. ¿Cuál es el área del círculo inscrito en un sector circular de 60°
y 15 m de radio?
A) 100 C) 25 E) N.A.
B) 56,25 D) 6,25
12. En una circunferencia de radio 12 cm, un sector circular
subtiende un arco de longitud 5
12 cm. Hallar el área del sector.
A) 18 cm2 C) 72/5 cm
2 E) N.A.
B) 36 cm2 D) 144 cm
2
13. Hallar la medida del ángulo central de un sector circular
equivalente a un cuadrado de lado r10
; siendo r el radio del
sector. A) 18° B) 36° C) 48° D) 54° E) N.A.
14. Halla el área de la región sombreada.
A) ( – 1) m2 C) (2 – 2) m
2 E) (2 – 4) m
2
B) ( – 2) m2 D) ( – 2) m
2
15. Hallar el área de la región sombreada.
A) 4 / 3
B) / 4
C) 3 / 2
D) 3 / 4 E) / 3
16. En la figura se muestra 2 circunferencias concéntricas. Hallar el
área de la corona circular en función de AB.
A) (AB)2 / 4
B) (AB)2 / 3
C) (AB)2 / 2
D) (AB)2
E) 2 (AB)2
17. En el cuadrado ABCD mostrado, hallar el área de la región sombreada.
A) a2 / 4
B) a2 / 2
C) 2 a2 / 3
D) a2 / 6
E) 3 a2 / 4
18. Calcular el área del círculo inscrito en un triángulo equilátero, el
cual a su vez está inscrito en una circunferencia de longitud igual a 4 m.
A) m2 C) 6 m
2 E) 4 m
2
B) 2 m2 D) 8 m
2
19. Tomando como diámetro los catetos de un triángulo rectángulo
se trazan 2 semicírculos, cuyas áreas son 55 y 32. Hallar el área del semicírculo cuyo diámetro es la hipotenusa del triángulo. A) 55 B) 87 C) 64 D) 110 E) 32
20. Dentro de un círculo V de radio r se construye otro M tangente interiormente con V y de diámetro r, entonces:
A) V – M = 3331 % de V
B) V – M = 50% de V C) V – M = 75% de V
D) V M = 4
3 de V
E) V M = 6632 de V
V
O
A B
O
Alexander Fleming… 20 años insuperables en tu preparación
GUÍA 2 - CIENCIAS 58
A B
C D
A B C D
r
s
C
D A
B
R
21. Un hexágono regular tiene 24 3 cm2 de área. Desde sus
vértices como centro se describen hacia adentro, arcos de circunferencias que terminan en el punto medio de los lados adyacentes. Se pide hallar el área interior al hexágono y exterior a los arcos de circunferencia descritos.
A) 8 (3 3 - 3 ) cm2 D) 8 (3 3 - ) cm
2
B) 8 ( 3 - 3 ) cm2 E) N.A.
C) 8 ( 3 - ) cm2
22. En la figura, el diámetro del círculo mayor es 8. Si M, N, P y Q
son puntos medios de los respectivos radios, hallar el área de la región sombreada.
A)
B) 2
C) 3 D) 4
E) 6
23. En la siguiente figura, el área del cuadrado es 20 cm2. Calcular
el área de la región sombreada, si los arcos trazados tienen por
centro A y por radios ACyAB .
A) 9 cm2
B) 8 cm2
C) 15 cm2
D) 12 cm2
E) 10 cm2
24. En la figura ABCD es un cuadrado de lado 4, AD es una
semicircunferencia y AC es un cuarto de circunferencia. Hallar el área de la región sombreada.
A) F.D. B) 2 C) 6 D) 8 E) 4
25. En el rombo mostrado m B = 120° y CD = 4. Hallar el área de
la región sombreada.
A) 34 ( – 3 ) D) 3 (4 3 – )
B) 34 (3 3 – ) E) N.A.
C) 4 (3 3 – /3)
26. Calcular el área de la región sombreada.
ABCD es un cuadrado de lado R.
A) 6
R2
( 3 + ) D) 3
R2
(3 3 + 2 )
B) 12
R2
(3 3 + 2 ) E) N.A.
C) 12
R2
( 3 + 2 )
27. El apotema de un hexágono regular mide 6 3 . Hallar el área
del círculo circunscrito al hexágono. A) 120 C) 208 E) N.A.
B) 36 D) 144
28. Las circunferencias de diámetros BCyAD son concéntricas.
Hallar el área sombreada.
A) 4
(r + s)2 D)
4(r
2 – s
2)
B) 4
(r – s)2 E)
2(r + s)
2
C) 4
(r2 + s
2)
29. Se tiene 2 circunferencias tangentes exteriores e iguales de
radio 2 y centros O y O1. Desde O se trazan 2 tangentes a la
circunferencia de centro O1. Hallar el área de la región
comprendida entre las 2 tangentes y las 2 circunferencias.
A) 34 ( – 3 ) D) 2 3 –
B) 32 ( – 3 ) E) 4 3 – 2
C) 4 3 –
30. El área de un círculo se duplica cuando su radio se aumenta en
n, entonces r es igual a:
A) n ( 2 + 1) C) n E) 12
n
B) n ( 2 - 1) D) n (2 - 2 )
A
B
C
D
A
B
C Q
M
N
P