MATEMATICAS III

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FUNCIONES Y GRAFICAS

Funciones y gráficas

Sistema de coordenadas rectangulares

II I

III IV

P(a,b)

a

b

O

Fórmula de la distancia entre dos puntosd(P1,P2)= √(x2−x1)

2+(y2−y1)2

El punto medio M de un segmento entre P1y P2

M= x2+x1 , y2+y1

2 2

y

x

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Gráfica de ecuaciones

Graficar una ecuación quiere decirrepresentar en un plano coordenado todaslos pares ordenados que hacen que larelación se cumpla.

Existen formas de graficar una ecuaciónmarcando el mínimo número de puntos, estose consigue aplicando ciertas propiedades.

Intersecciones con los ejes. Simetrías.

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Intersecciones:Estos valores se los encuentran haciendo x=0para encontrar la intersección con y, y paraencontrar la intersección con x, hacemos y = 0

Simetrías:Para saber si la gráfica es simétrica con respecto• Al eje x sustituimos y por − y nos lleva a lamisma ecuación.• Al eje y sustituimos x por − x nos lleva a lamisma ecuación.• Al origen sustituimos simultáneamente x por −x y y por –y nos lleva a la misma ecuación.

Trace la gráfica de la ecuación: x = -y2 +3

Intersección con x hacer y = 0

x = - (0)2 +3 x = 3

Intersección con y hacer x = 0

0 = - y2 +3 y2 = 3 y =±√3

Simetrías

• Al eje x, sustituimos y por -y

x= - (-y)2 +3 x= - y2 +3

• Al eje y, sustituimos x por -x

- x= - y2 +3

• Al origen, sustituimos x por –x y y por -y

- x= - (-y)2 +3 - x= - y2 +3

Lleva a la misma ecuación, por lotanto es simétrica con respectoal eje x.

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Intersección con x

Intersección con y

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Circunferencias:

La forma de la ecuación de una circunferenciacon centro en el punto (h,k) esta dada de lasiguiente manera:(x−h)2+(y−k)2=r2

Si la circunferencia tiene su centro en el origendel sistema, la ecuación adopta la siguienteforma:

x2 + y2 = r2

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Encuentre el centro y radio de la circunferencia

x2 + y2 -10x +18 = 0

(x2 – 10 x + _ _ )+ y2 = -18

(x2 – 10 x + 25 )+ y2 = -18 +25

(x – 5)2+ y2 = 7 (x – h)2+ (y - k)2 = r2

h=5 y k = 0

Concluimos que la circunferencia tiene centro (5,0) yradio √7

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Rectas

Una recta queda definida si se conocen dos de sus puntos.

Formas de la ecuación de la recta:

General ax + by = c Punto-pendiente y – y1 = m (x – x1) Punto y pendiente con intersección con el

eje y y = mx + b

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La pendiente de la recta es:M = (y2-y1) / (x2-x1)

Rectas paralelas y perpendiculares

Dos rectas son paralelas si : m1 = m2; es decir si sus dos pendientes son iguales.

Dos rectas son perpendiculares si: m1m2 = -1; es decir el producto de sus dos pendientes es igual a -1.

Definición de función

Una función es una relación en la que se

agrega la restricción de que, a cada elementodel dominio le corresponde uno y solo uno delos elementos del rango.

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Dominio Rango

f

x y

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Variables:x se denomina variable independiente.y se denomina variable dependiente.

DominioEl dominio de una función es el conjunto numérico que contiene los valores de la variable independiente que hacen que la función dé como resultado un número real.

RangoEl rango, codominio o contradominio de una función es el conjunto numérico que se forma de los resultados de la función al aplicar los valores del dominio.

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Gráficas de Funciones

Toda función que tiene un dominio y unrango de números reales tiene unagráfica

Sea I un intervalo del dominio de una función f:f es creciente en I si f(x1) < f(x2) siempre que x1 < x2 en el intervalo I.

f es decreciente en I si f(x1) > f(x2) siempre que x1 < x2 en el intervalo I.

f es constante en I si f(x1) = f(x2) para toda x1 y x2.

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Función creciente, decreciente o constante

Al reemplazar la variable x por –x:

Si f(-x) = f(x) la función es parSi f(-x) = -f(x) la función es impar

Si f es par entonces es simétrica al eje vertical y.Si f es impar entonces es simétrica respecto al origen.

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Paridad de una función

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Encuentre el dominio y la imagen de f si: 2)3(

1)(

xxf

Dominio: todos los reales exceptocuando x = -3

Imagen: El intervalo abierto (0,+∞)

x y

0 1/9

1 1/16

2 1/25

-1 1/4

-2 1

-3 No existe

--- ---

Creciente : (-∞, -3)

Decreciente: (-3, +∞)

Dominio

Imag

en

Tipos de Funciones

Funciones Lineales

Del tipo f(x) = ax + b a ≠ 0Se llaman así porque su gráfica es una línea recta

Funciones Cuadráticas

Del tipo f(x) = ax2 + bx + c a ≠0Su gráfica es una parábola

Traza la gráfica de f

f(x) = (x - 3)2 - 2

Intersección con x hacer y = 0

0 = (x - 3)2 - 2

x2 - 6x + 9 – 2 = 0

x2 - 6x + 7 = 0

2

28366 x

2

86x

2

226 2x 23x

Intersección con y hacer x = 0

y = (0 - 3)2 - 2

y = 9 - 2

y = 7

x y

1 2

2 -1

3 -2

-1 14

--- --- Intersección con x

Intersección con y

y = x2 - 6x + 7 Centro de la parábola -b/2a -(-6)/2(1) = 3

y = (3)2 – 6(3) + 7 = 0 y = -2 Por lo tanto C(3,-2)

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f(x) = (x - 3)2 - 2

Traslación vertical

y = f(x) – c ; c unidades hacia abajo.

Traslación horizontal

y = y f(x - c) ; c unidades a la derecha

2

3

Para trazar la gráfica de: Traslade la gráfica de y = f(x)

y = f(x) - c c unidades hacia abajo

y = f(x) + c c unidades hacia arriba

Para trazar la gráfica de: Traslade la gráfica de y = f(x)

y = f(x - c) c unidades a la derecha

y = f(xc) c unidades a la izquierda

Translaciones verticales de las curvas (c > 0)

Translaciones horizontales de las curvas (c > 0)

Translaciones verticales de las curvas (c > 0)

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Operaciones con funciones

Son cuatro las operaciones fundamentales con funciones: suma, resta, multiplicación y división

)(

)()(

)()())((

)()())((

)()())((

xg

xfx

g

fCociente

xgxfxfgProducto

xgxfxgfDiferencia

xgxfxgfSuma

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La función resultante será (f o g)(x) = f(g(x)) y en caso de (g o f)(x) = g(f(x))

Composición de funciones

Se denota con “o” y se da entre dos o más funciones